完整版二次曲线的一般理论

第五章二次曲线的一般理论

§ 5.1 二次曲线与直线的相关位置

1. 求直线x-y-1=0与二次曲线2x2 xy y2 x 2y 1 0的交点.

解：将y=x-1代入曲线方程,得

2 2

2x x x 1 x 1 x 2 x 1 1 0,

即0 0

故直线在二次曲线上•

2. 试决定k的值,使得

(1) 直线x y 5 0与二次曲线x23x y k 0交于两不同实点；

⑵直线x 1 kt

与二次曲线x23y24xy y 0交于一点；

y k t

⑶直线x ky 1 0与二次曲线y22xy (k 1)y 1 0交于两个相互重合的实点

x 1 t

⑷已知直线与二次曲线2x2 4xy ky2 x 2y 0有两个共轭虚点，求k

y 1 t

的值

解：(1). 将y=x+5代入二次曲线方程,得

2

x 2x k 5 0

2

Q 2 4 k 5 0

4k 16 0

k 4时，直线与二次曲线有两个不同的实交点•

1 2 0

(2).二次曲线的矩阵为 2 3 1/2

0 1/2 0

且v X，丫k,1 •, X o, y o 1,k

k 1,3时,原直线与二次曲线交于一个实点

k 49

时，直线与二次曲线有两个共轭虚交点。

24

§ 5.2 二次曲线的渐进方向、中心、渐进线

1. 求下列二次曲线的渐进方向，并指出曲线是属于何种类型的.

1 x

2 2xy y 2 3x y 0; 2

2

2 3x 4xy 2y 6x 2y 5 0;

3 2xy 4x 2y 3

0.

1

1 解:(1) Q X,Y X

2 2XY Y 2 0时，X : Y

1:1，同时 I ?

0,

1

1

曲线有一个实渐进方向，是抛物型的

k,1 k 2 4k 3 0,则 k 1 1,k 2 3,

1)当 k . 1 时,F , X o y o X F 2 X o ，y o Y 0, 2).当 k 2

3

时

，F

1

X 0

, y 0 X F 2

X 0

, y 0 Y

15

13 0,

2

(3). 二次曲线的矩阵为

(1 1

1 (1 k)/2

0 k)/2 1

解之, v X,Y

k,1 , X o ,y o

1 0,即―

4

k 1 1,k 2

5,

2k

0,即 k 2 6k 5

0,

1)当 1时, X,Y k,1 2k 0, 2)当

5时, 1,5 时, X,Y

直线与二次曲线有二重合实交点.

k,1

2k 0,

(4).二次曲线的系数矩阵为

2

2 1/2

1/ 2 1 0

1:( 1)

取(X 0,y

0)(“)，令V

0,即[

2

(1

k)(

1)]2 (k 2)(3 k) 0 解得k

24，且此时(1

,

1) 2

4( 1) k

28

28

2 Q X,Y 3X 2 4XY 2Y 2 0时,X :Y

且i 2

3 2 2 o, 2

2

曲线有两个共轭的虚渐进方向，是椭圆型的.

•••曲线有两个渐进方向，是双曲型的•

2. 判断下列二次曲线是中心曲线，无心曲线还是线心曲线

1 1

解：(1) QI 2

1 0 ,故为中心曲线；

1 2

1 2 1 2 Q A

2

4 1

7

1

1 1

有I 2

1 2 0,且 911

3]2

a 13

2

4

a 12

a 22

a 23

曲线为无心曲线；

an a 12 a 13 1 ,且有 一

一 一 3,

-

312

a 22 a 23

•••曲线为线心曲线. 3. 求下列二次曲线的中心 2 2

1 5x 2xy 3y 2x 3y 6 0;

2 2

2 2x 5xy 2y 6x 3y 5 0;

3 9x 2 30xy 25y 2 8x 15y 0;

2 2

4 4x 4xy y 4x 2y 0.

X;Y 0:1 或 1:0,且 *

〈0,

5x y 1

解1由

解得x

13 2 2 1 x 2xy 2y 2

2 2 x 4xy 4y

2

2

3 9x 6xy y

4x 6y 3 0; 2x 2y 1 0;

6x 2y 0.

••中心为

3 (, 13 )

28 28

2x

5 y 3 0 2 由 2

解得x 1, y 2 5 2y 3 x

2 2

--

中心为

1,2 J

3

an ai 2 3 a

13

4 Q ——

—

a i2 a

22

5 ^23 15 '

2

曲线没有中心.

曲线为线心曲线，中心直线方程为2x-y+仁0.

y y 。

丫

a i2 a \3 a 23

2,

4. 当a,b 满足什么条件时，二次曲线

2

小

x 6xy ay

3x by 4 0

(1) 有唯一中心;

(3) 有一条中心直线。

(1) 当12 1

3 3/2

1 3 3 a b/

2 ，I 2 3

a

3/2 b/2

4

曲线有唯一中心;

a ii a 22

(2)没有中心;

解：因为A

b 为任意实数时, a 9，

0 即 a 9,