完整版二次曲线的一般理论
第五章二次曲线一般理论
第五章 二次曲线的一般理论 主要问题：（1）几何性质 （2）化简 （3）分类5.1 二次曲线与直线的相关位置（x y y x y xy x 240256102222==+--+-与） 一、预备知识1、在平面上由)1(0222),(33231322212211=+++++=a y a x a y a xy a x a y x F 所表示的曲线，叫做二次曲线（系数都为常数）2、关于虚点⎩⎨⎧+==b kx y y x F 0),( ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-+=+)222,222(2)222,222(122i i y x i i y x平面上建立笛卡尔坐标系后，一对有序常数),(y x 表示平面上一个点，如果y x ,中至少有一个是虚数，我们仍认为),(y x 表示平面上一个点。
（一对共轭虚点的中点是实点）3、记号33231322212211222),(a y a x a y a xy a x a y x F +++++='131211121),(x F a y a x a y x F =++= '232212221),(y F a y a x a y x F =++=3323133),(a y a x a y x F ++= 222122112),(y a xy a x a y x ++=φ容易验证：),(),(),(),(321y x F y x yF y x xF y x F ++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=332313232212131211a a a a a a a a a A 二次曲线)(I 的矩阵 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=*22121211a aa a A ),(y x φ的矩阵 A I a a a a I a a I ==+=322121211222111,,33232322331313111a a a a a a a a k +=例：写出下列二次曲线的矩阵321,,F F F A 及04762)3(2)2(1)1(2222222=-+-+-==+y x y xy x x y by a x二、相关位置二次曲线0),(=y x F 与过点 且具有方向Y X :的直线⎩⎨⎧+=+=Yt y y Xt x x 00联立，0),(]),(),([2),(000020012=+++⇒y x F t Y y x F X y x F t Y X φ1、),(),(]),(),([,0),(002002001y x F Y X Y y x F X y x F Y X φφ-+=∆≠ 010>∆ 方程有两个不等实根⇒21,t t 有两个不同的实交点 020=∆ 方程有两个相等实根⇒21,t t 有两个相互重合的实交点 030<∆ 方程有两个共轭虚根⇒交于两个共轭的虚点2、0),(=Y X φ0),(),(10020010≠+Y y x F X y x F ，有唯一实根⇒有唯一实交点 ⇒≠=+0),(0),(),(2000020010y x F Y y x F X y x F 而没有交点⇒==+0),(0),(),(3000020010y x F Y y x F X y x F 且直线全部在二次曲线上 eg1、试确定的值k 使直线05=+-y x 与二次曲线032=++-k y x x 交于两个不同实点，043122=--+⎩⎨⎧+=+=y xy y x t k y ktx 与二次曲线交于一点注：平面直线方程：Yy y X x x 00-=- b kx y +=⎩⎨⎧+=+=Yt y y Xtx x 005.2、二次曲线的渐近方向、中心、渐近线一、渐近方向1、定义：满足Y X Y X :0),(的方向=φ叫做二次曲线的渐近方向，否则叫做非渐近方向)1(02),(22212211=++=Y a XY a X a Y X φ 渐近方向Y X :总有确定的点 2、按渐近方向分类 若112122212211110)(2)()1(,0a I a Y X a Y X a Y X a a -±-=⇒=++≠改写成 若22212220a I a X Y a -±-=⇒≠ 若,02211==a a 则一定有10:1012或=⇒≠Y X a 此时00021212122<-==a a a I故02>I 二次曲线的渐近方向是一对共轭的虚方向 02=I 二次曲线有一个渐近的实方向 02<I 二次曲线有两个渐近的实方向显然：二次曲线的渐近方向最多有两个，而非渐近方向有无穷个按渐近方向可分为三种类型（1） 02>I 椭圆形曲线 122=+y x （2） 02=I 抛物线曲线 2x y = （3） 02<I 双曲型曲线 122=-y x二、二次曲线的中心与渐近线 定义：如果点c 是二次曲线通过它的所有弦的中点，称点c 是二次曲线的中心),(00y x c 是二次曲线的中心⎩⎨⎧==⇒0),(0),(002001y x F y x F推论：)0,0(是二次曲线的中心⇒曲线方程不含y x 与的一次项 证：将直线方程代入，得：0),(]),(),([2),(000020012=+++y x F t Y y x F X y x F t Y X φ由于),(000y x M 是两交点的中心021=+⇒t t 0),(),(002001=+⇒Y y x F X y x F由于Y X :为任意非渐近方向⎩⎨⎧==⇒0),(0),(002001y x F y x F⎩⎨⎧=++=++003302201213012011a y a x a a y a x a（1） 若有唯一中心方程有唯一解⇒⇒≠=0221212112a a a a I（2） 若⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++⇒==⇒≠===—中心直线—中心上所有点都是二次曲线直线有无穷解）（无中心无解）（即0210131211231322121211231322121211221212112a y a x a a a a a a a a a a a a a a a a a I二次曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≠==≠2313221212112313221212112200a a a a a a a a a a a a I I 线心曲线无心曲线非中心曲线中心曲线： 定义：通过二次曲线的中心，而且以渐近方向为方向的直线叫做二次曲线的渐近线。
二次曲线的一般理论
3 F1 ( x 0 , y 0 ) X F2 ( x 0 , y 0 ) Y F ( x 0 , y 0 ) 0
扳摆扳锤(4)罢佰稗︽吵︽彪搬︽斑 邦﹀ 扯爸︽畅罢 (2)底爸邦︽碉︽倡爸邦︽ 罢册邦︽ 伴壁罢︽畅罢 (1)厂爸︽吵︽底拜﹀
佃罢︽捕邦︽便爸
传半︽衬罢︽斑
︽扳
第五章
二次曲线的一般理论
§5.1 二次曲线与直线的相关位置 §5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线
§5.3 二次曲线的切线 §5.4 §5.5 §5.6 二次曲线的直径 二次曲线的主直径和主方向 二次曲线方程的化简与分类
点笛︽布︽斑﹀ 倡爸邦︽罢册邦︽伴壁罢︽畅罢︽编︽雏半︽搬佰爸
︽罢的爸︽碘罢邦﹀
佃罢︽捕邦︽便爸 ︽扳 佃罢︽捕邦︽灯办︽ 扳
传半︽衬罢︽斑
I1 a11 a12
I2 a11 a12 a12 a22 a11 a12 a13
I 3 a12 a13
K1
︽扳
a22 a23
a13 a33
a23 a33
a22 a23 a23 a33
传半︽衬罢︽斑
a11 a13
佃罢︽捕邦︽便爸
§5.1
倡爸邦︽罢册邦︽伴壁罢︽畅罢︽拜爸︽扯爸︽畅罢︽编︽伴蠢办
︽底拜︽便︽邦﹀
倡爸邦︽罢册邦︽伴壁罢︽畅罢
F ( x, y) a11 x 2 2a12 xy a22 y 2 2a13 x 2a23 y a33 （1）
拜爸︽扯爸︽畅 罢
x x0 Xt y y0 Yt
( X , Y ) t 2 2F1 ( x0 , y0 ) X F2 ( x0 , y0 ) Y t F ( x0 , y0 ) 0
二次曲线的基本概念与性质
二次曲线的基本概念与性质二次曲线是数学中重要的曲线类型之一，具有独特的性质和应用。
本文将介绍二次曲线的基本概念和性质，帮助读者更好地理解和应用二次曲线。
一、二次曲线的定义与分类二次曲线是由二次方程表示的曲线，其一般形式为 ax^2 + bxy +cy^2 + dx + ey + f = 0，其中a、b、c、d、e、f为实数且a和c不同时为0。
二次曲线的形状和性质与a、b、c的值相关。
根据二次曲线的系数等特征，我们可以将其分为以下三种类型：1. 椭圆：当b^2 - 4ac < 0时，二次曲线为椭圆。
椭圆是一种闭合的曲线，具有两个焦点和长短轴，常用于描述行星轨道、电子轨道等。
2. 抛物线：当b^2 - 4ac = 0时，二次曲线为抛物线。
抛物线是一种开口朝上或朝下的曲线，具有顶点和对称轴，常用于物体抛体运动、天文学中的折射等问题。
3. 双曲线：当b^2 - 4ac > 0时，二次曲线为双曲线。
双曲线是一种开口朝上或朝下的曲线，具有两个分支和渐进线，常用于电磁波传播、双曲线函数等领域。
二、二次曲线的性质1. 零点与轴：二次曲线与x轴和y轴的交点称为零点。
根据二次方程的特性，二次曲线最多有两个零点。
而对于抛物线、椭圆和双曲线，还存在零点在无穷远处的情况，分别称为开口朝上、朝下和双曲线的渐进线。
2. 对称性：二次曲线通常具有对称性质。
椭圆和双曲线具有轴对称性，抛物线具有顶点对称性。
这种对称性便于在计算和应用中进行分析和求解。
3. 焦点和准线：对于椭圆和双曲线，存在两个焦点和两条准线。
焦点与准线是二次曲线的重要特性，与曲线的形状和离心率相关。
焦点和准线的性质在物理光学、电磁学等领域有广泛的应用。
4. 椭圆离心率：椭圆的离心率是一个重要的参数，表示椭圆形状的圆形程度。
离心率越接近于0，椭圆越接近于圆形；离心率越接近于1，椭圆越扁平。
离心率的大小对椭圆的性质和应用有重要影响。
三、应用与拓展二次曲线作为数学中的经典对象，广泛应用于各个领域。
第五章_二次曲线的一般理论
∴它的渐近线即为中心直线。
渐近线求法：求出中心，再求出渐近方向即可得到渐 近线的参数方程。
定理5.2.2 二次曲线的渐近线与这二次曲线或者没有
交点，或者整条直线在这二次曲线上成为二次曲线的 组成部分。
事实上，设
l
:
x
y
x0 y0
tX tY
1 ，∵
I2
1 a2b2
0
∴它有二不同实渐近方向；
对双曲线 xy 1 ，∵
I2
1 4
0
∴它也有二不同实渐近方向；
对抛物线 y2 2 px ，∵
0 I2 1
0 0
0
∴它有二相同的实渐近方向；
定义5.2.2 没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆 型的,有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物线型的, 有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲型的。
y0 ) y0 )
a11 a12
x0 x0
a12 a22
y0 y0
a13 a23
0 0
(*)(5.2 1)
二次曲线(1)的的中心坐标由下方程组决定：
FF21((
x, x,
y) y)
a11 a12
x x
a12 a22
y y
a13 a23
0 0
(5.2 2)
如果I2≠0，则(5.2－2)有唯一解，即为唯一中心坐标
§5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线
教学目标：
⑴理解二次曲线的渐近方向、中心、渐近线概念； ⑵掌握二次曲线的渐近方向、中心、渐近线的求法； ⑶能根据渐近方向和中心对二次曲线进行分类。
教学重点：
二次曲线的渐近方向、中心、渐近线概念及求法。
二次曲线的性质与图像
二次曲线的性质与图像二次曲线在数学中是一类重要的曲线，其性质与图像具有独特的特点。
本文将探讨二次曲线的性质，包括一般形式、焦点、顶点、对称轴以及与轴交点等方面，并通过图像展示这些性质。
一、一般形式一般来说，二次曲线可以通过一般二次方程的形式表示：$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$，其中A、B、C为常数，并且$A$和$C$不能同时为零。
二、焦点焦点是定义二次曲线的一种重要概念。
焦点与直线称为准线，对于椭圆和双曲线，焦点是有两个的，而对于抛物线，焦点只有一个。
焦点与准线之间的距离称为焦距，记作$p$。
三、顶点顶点是指二次曲线的最高点或最低点。
对于椭圆和双曲线来说，顶点通常称为实顶点，而对于抛物线来说，顶点则称为虚顶点。
四、对称轴对称轴是指二次曲线的中心轴线，对称轴上存在一个对称中心，与该中心的距离为焦距的一半。
沿着这条直线对称，可以保证曲线的形状不变。
五、与轴交点与轴交点是二次曲线与直线$x=0$和$y=0$的交点。
对于椭圆和双曲线，分别与$x$轴和$y$轴有两个交点，而对于抛物线，与$x$轴有一个交点。
接下来，通过图像展示二次曲线的性质。
首先是椭圆的图像。
椭圆有两个焦点，且两个焦点与中心之间的距离相等。
顶点位于椭圆的长轴上，并且对称轴即为长轴。
与轴交点位于长轴的两个端点。
接下来是双曲线的图像。
双曲线也有两个焦点，但是焦点与中心之间的距离大于曲线的长轴长度。
顶点位于双曲线的中心处，并且对称轴即为长轴。
与轴交点位于长轴的两个端点。
最后是抛物线的图像。
抛物线只有一个焦点，焦点位于抛物线的顶点处。
对称轴和抛物线的轴是同一条线，与轴交点位于抛物线的焦点。
综上所述，二次曲线的性质与图像包括一般形式、焦点、顶点、对称轴以及与轴交点等。
通过对这些性质的了解，我们可以更好地理解和应用二次曲线。
5.0二次曲线的一般理论
本
节
完
今后我们还常常要引用下面的几个符号： 今后我们还常常要引用下面的几个符号：
I1 = a11 + a22,
I2 = a11 a12 a12
a11 a13 a22 , K1 = + a22 a13 a33 a23
a11 a23 I = a , 3 12 a33 a13 a12 a22 a23 a13 a23 ， a33
曲线的矩阵A 曲线的矩阵
3 1 ∗ A = , 1 4
I2 =
3 1 1 4
=11
解:
(2)
2x −6y =1
2 2
F (x, y) ≡ a x + a23 y + a33 =−1 3 13
曲线的矩阵A 曲线的矩阵 二次项系数矩阵
2 A = 0 0 0 − 6 0 0 0 − 1
1 1 F (x, y) = F′(x, y) = (4x) = 2x 1 x 2 2 1 ′(x, y) = 1 (−12y) = −6y F (x, y) = F 2 y 2 2
2 0 2 0 =−12 A∗ = , I2 = 0 −6 0 −6
解:
(3)
6xy =1
1 1 F (x, y) = F′(x, y) = (6y) = 3y 1 x 2 2
a11 a12 A = a12 a22
∗
显然，二次曲线（ ）的矩阵A的第一 的第一， 显然，二次曲线（1）的矩阵 的第一，第二与第三行 的元素分别是 F (x, y) , F (x, y) , F (x, y) 的系数 1 的系数. 3 2
a11 a12 a13 F (x, y) ≡ a11x + a y + a , 1 12 13 A = a12 a22 a23 F (x, y) ≡ a12x + a22 y + a23, 2 a a a 13 23 33 F (x, y) ≡ a13x + a23 y + a33, 3
第五章二次曲线的一般理论5.1-5.2
§5.1-5.2:第五章三、中心四、渐近线一、二次曲线与直线的相关位置二、二次曲线的渐近方向F (x , y ) a 11x 2+ 2a 12xy +a 22y 2+2a 13x +2a 23y +a 33=0,二次曲线(二元二次方程):预备知识一、复元素1. 复点共轭虚点:复点实点虚点2.复向量：M 1M 2复点122121{,}M M x x y y =--复向量虚向量12,1x x x λλ+=+121y y y λλ+=+称M 分M 1M 2 成定比λ.3. 复直线：直线的参数方程,实直线(t 为参数，它可为任意的复数)直线的一般式方程P187注:虚直线.二、有关记号111213122223132333F (x , y ) ≡xF 1(x , y ) + yF 2(x , y ) +F 3(x , y )111213122223132333a a a A a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭11121222a a A a a *⎛⎫=⎪⎝⎭二次曲线F (x , y )的系数矩阵.叫做Φ(x , y )的矩阵.令则令是F (x , y )的二次项部分11122I a a=+1112a a I =1112133122223a a a I a a a =约定符号132311122a a a K a a a a a =+练习: F (x, y )=2x 2-xy -y 2-x -2y -1=0(两个实根t 1≠t 2 )∆=[X F 1(x 0, y 0)+YF 2(x 0, y 0)]2 -Φ(X , Y )⋅F (x 0, y 0) 00,.x x Xt y y Yt =+⎧⎨=+⎩Φ(X , Y ) +2[XF 1(x 0, y 0)+YF 2(x 0, y 0)]+F (x 0, y 0)= 0:ΓF (x , y ) ≡a 11x 2+ 2a 12xy +a 22y 2+2a 13x +2a 23y +a 33=0一、二次曲线与直线的相关位置1. Φ(X , Y )≠02. Φ(X , Y )=0 ②与①有两个不同的实交点；两个重合的实交点;②与①有两个共轭的虚点. (1) ∆>0:2[XF 1(x 0, y 0)+YF 2(x 0, y 0)]t +F (x 0, y 0)= 0称X :Y 为非渐近方向称X :Y 为渐近方向平行于非渐近方向的直线与①总有两个交点, 这两点的线段称为弦(两个共轭虚根t 1, t 2 )P 18900,.x x Xt y y Yt =+⎧⎨=+⎩Φ(X , Y )+2[XF 1(x 0, y 0)+YF 2(x 0, y 0)]+F (x 0, y 0)= 0:ΓF (x , y ) ≡a 11x 2+ 2a 12xy +a 22y 2+2a 13x +2a 23y +a 33,一、二次曲线与直线的相关位置2. Φ(X , Y )=0(3) XF 1(x 0, y 0)+Y F 2(x 0, y 0)= F (x 0, y 0)=0时,2[XF 1(x 0, y 0)+YF 2(x 0, y 0)]+F (x 0, y 0)= 0唯一的实交点无交点②全部在二次曲线①上二、渐近方向求法:结论:()()X X YY12121a I -±-()()Y Y 122a I -±-二次曲线①按其(2) 抛物型曲线：椭圆型曲线I 2=0渐近方向分类:{P 192求法:三.中心C :二次曲线Γ: F (x , y )=0的中心坐标由下列方程组决定11112132122223(,)0,(,)0.F x y a x a y a F x y a x a y a ≡++=⎧⎨≡++=⎩推论1：(0, 0)是二次曲线的中心曲线方程中不含x 与y 的一次项.⇔二次曲线①按其中心分类:(1)中心曲线非中心曲线20I ≠1112(有唯一中心)11121222a a a a 无心曲线2︒线心曲线：11121311122I =抛物型曲线椭圆型,双曲型曲线P 194F 1F 20x y )0(1222>>=b a byx四、渐近线:求法:P196.5(1)定理2渐近线与这二次曲线关系非中心曲线双曲型曲线椭圆型曲线中心曲线无心曲线(抛物型曲线).(与中心是否在二次曲线上有关)曲线的渐近线?00x x y y X Y--=P196.5(1)证明：P196.8：定理2渐近线与这二次曲线关系分析:Γ: Φ(X, Y) t2+ 2[XF1(x0, y0)+YF2(x0, y0)]+F(x0, y0)= 0 (中心不在二次曲线上)(中心在二次曲线上)PUTAIN UNIVERSITY。
第五章二次曲线的一般理论
教学目标：
⑴理解二次曲线的渐近方向、中心、渐近线概念； ⑵掌握二次曲线的渐近方向、中心、渐近线的求法； ⑶能根据渐近方向和中心对二次曲线进行分类。
教学重点：
二次曲线的渐近方向、中心、渐近线概念及求法。
教学难点：
根据渐近方向和中心对二次曲线进行分类。
§5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线
Y
所以抛物线 y2 2 px的直径平行于它的渐近方向 1: 0.
例 3 求二次曲线
F (x, y) x2 2xy y2 2x 2 y 3 0
的共轭于非渐近方向 X :Y 的直径.
解 F1(x, y) x y 1, F2(x, y) x y 1, 直径方程为
X (x y 1) Y(x y 1) 0, 即 (X Y )(x y 1) 0.
(5.3-1)
显然，直径通过曲线的中心 (0,0)
例 2 求抛物线 y2 2 px 的直径.
解
F(x, y) 2 px y2 0,
F1(x, y) p, F2(x, y) y. 所以共轭于非渐近方向 X :Y 的直径为
Xp Yy 0,
即 y X p, XF1(x, y) YF2(x, y) 0, (5.3-1)
为渐近线，其中 ( x0 ,
y0
)
为
中心， X : Y 为渐近方向。
∴ ( X ,Y ) 0 且 F1(x0 , y0 ) X F2 (x0 , y0 )Y 0 ， ∴若 F ( x0 , y0 ) 0 ， 则l与曲线不相交，
若 F ( x0 , y0 ) 0 ，则 l 整个在曲线上。
§5.3 二次曲线的直径
(ka22 X a22Y ) : (ka12 X a12Y ) a22 : a12
关于二次曲线的一般理论)
在平面直角坐标系中，二次曲线都可以用二元二次方程
)0,0(022222≠+≠=+++++C A B F Ey Dx Cy Bxy Ax
来表示。
①当02
<-AC B 时，它表示椭圆。
②当02
=-AC B 时，它表示抛物线。
③当02
>-AC B 时，它表示双曲线。
初中的反比例函数x
k y =的图象是双曲线，而根据上述判别方法可知反比例函数0=-k xy 的A=0,B=1,C=0,此时02>-AC B ，它表示双曲线。
为什么“①当02<-AC B 时，它表示椭圆；②当02=-AC B 时，它表示抛物线；③当02>-AC B 时，它表示双曲线”可以严格证明之。
证明的基本思想是把)0,0(022222≠+≠=+++++C A B F Ey Dx Cy Bxy Ax 通过坐标平移公式和坐标旋转公式化成圆锥曲线的各种标准形式，例如.2212222
22py x px y b y a x ±=±==±或或。
第五章 二次曲线的一般理论
a11 a12 a13 A a12 a22 a23
a13 a23 a33
A*
a11 a12a12Biblioteka a22I1 a11 a22
I2
a11 a12
a12 a22
a11 a12 a13
I3 a12 a22 a23
a13 a23 a33
F ( x, y) a11 x 2 2a12 xy a22 y2 2a13 x 2a23 y a33
F1( x, y) a11 x a12 y a13 F2 ( x, y) a12 x a22 y a23
F3 ( x, y) a13 x a23 y a33
( x, y) a11 x2 2a12 xy a22 y2
F ( x0 , y0 ) 0. (4)是 矛 盾 方 程, 直 线(2)与 二 次 曲 线 (1)无 交 点.
3 F1( x0 , y0 ) X F2 ( x0 , y0 ) Y F ( x0 , y0 ) 0. 此时(4)是恒等式, 直线(2)全部在二次曲线(1)上.
§5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线
( X ,Y ) t 2 2F1( x0 , y0 ) X F2 ( x0 , y0 ) Y t
F ( x0 , y0 ) 0
（4）
对（3）或（4）可分以下几种情况来讨论：
( X ,Y ) t 2 2F1( x0 , y0 ) X F2( x0 , y0 ) Y t （4）
F ( x0 , y0 ) 0
第五章 二次曲线的一般理论
在平面上，二元一次方程
ax by c 0
代表直线，因此直线也称为一次曲线。
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2 0.方 程 (4)有 两 个 相 等t1与 的t2,实 直根 线 (2)与 二 次(1曲 )有线 两 个 相 互 重点合。的 实
2Байду номын сангаас
x2
,
y1
2
M y2
的定比
2
)。
⑷ 共轭复元素：
若 x1与 x2 ，y1 与 y2 分别为共轭复数，则称 P（ x1 , y1 ） 与 P （ x2 ， y2 ）为一对共轭复点。显然实点与其自身共 轭；二共轭复点连接线段的中点为实点。若二直线li ： a i x+ bi y+ ci =0，i =1，2 满足 a1 与 a2 共轭， b1 与 b2 共轭， c1 与 c2 共轭，则称 l1 与 l2 是一对共轭复直线，若二向量的
F 1 (x ,y ) a 1x 1 a 1y 2 a 13
F 2(x,y)a 1x 2a 2y 2a 23
F 3 (x ,y ) a 1x 3 a 2y 3 a 33
(x ,y ) a 1x 2 1 2 a 1x 2 y a 2y 2 2
a11 a12 a13 A a12 a22 a23
对应分量为共轭复 数，则称这二向量为共轭复向量。
注：在复平面上无法推广实平面上的距离公式，这是
因为，在实平面上 d²=（ x2 - x1）²+（ y2 - y1 ）²而在复平
面上，公式右端为一复数，其平方根有两个地位均等的值， 无法确定其中一个为二点间的距离。
三 为了方便起见，特引进一些记号：
F ( x ,y ) a 1 x 2 1 2 a 1 x 2 a 2 y y 2 2 2 a 1 x 3 2 a 2 y 3 a 3
二次曲线的性质与判定解析
二次曲线的性质与判定解析二次曲线是代数几何中重要的一个概念，它在数学和其他学科中有广泛的应用。
本文将详细探讨二次曲线的性质与判定解析，并对其相关理论进行阐述。
一、二次曲线的定义二次曲线是由二次方程定义的曲线，其表达形式为\(ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0\)，其中a、b、c是实数，且\(a^{2}+b^{2}+c^{2}\neq 0\)。
二、二次曲线的类型根据二次曲线的系数和方程的特征，可以将二次曲线分为以下几类：1. 椭圆：当二次曲线满足\(b^{2}-4ac<0\)时，曲线的解析形式为\(\frac{(x-x_{0})^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-y_{0})^{2}}{b^{2}}=1\)，其中\((x_{0},y_{0})\)是椭圆中心的坐标。
2. 双曲线：当二次曲线满足\(b^{2}-4ac>0\)时，曲线的解析形式为\(\frac{(x-x_{0})^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-y_{0})^{2}}{b^{2}}=1\)，其中\((x_{0},y_{0})\)是双曲线中心的坐标。
3. 抛物线：当二次曲线满足\(b^{2}-4ac=0\)时，曲线的解析形式为\((x-x_{0})^{2}=4p(y-y_{0})\)，其中\((x_{0},y_{0})\)是抛物线的焦点坐标，p是抛物线的焦距。
三、二次曲线的性质1. 对称性：椭圆、双曲线和抛物线都具有关于x轴、y轴和原点的对称性。
2. 焦点与准线：椭圆和双曲线都有焦点和准线，而抛物线只有焦点和直线。
焦点是曲线上所有点到两个定点的距离之和等于定值的点。
准线是与焦点处于同一直线上的点的轨迹。
3. 离心率：椭圆和双曲线都有离心率的概念，而抛物线没有。
离心率是描述曲线形状和性质的重要参数，它可以判断曲线的形状是否扁平或细长。
4. 焦直线：椭圆和双曲线都有与焦点和准线垂直的直线，称为焦直线，与曲线的交点构成了曲线的形状。
(完整版)二次曲线知识点归纳总结
(完整版)二次曲线知识点归纳总结一、二次曲线的定义与特点二次曲线是由二次项和一次项组成的方程，通常具有以下特点：- 方程的最高次数为2；- 方程的二次项系数不为0；- 方程在坐标系中的图像可以表示为一条弯曲的曲线。
二、二次曲线的标准方程二次曲线的标准方程为：$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F =0$，其中$A$、$B$、$C$、$D$、$E$、$F$为常数。
根据方程中$B^2 - 4AC$ 的取值，可以将二次曲线分为三种情况：1. 当 $B^2 - 4AC > 0$ 时，二次曲线为椭圆；2. 当 $B^2 - 4AC = 0$ 时，二次曲线为抛物线；3. 当 $B^2 - 4AC < 0$ 时，二次曲线为双曲线。
三、二次曲线的图像与性质1. 椭圆：常见于求解平面几何问题，具有两个对称轴和中心点，对称轴互相垂直，以中心点为焦点的椭圆正好满足椭圆方程的定义。
2. 抛物线：常见于物体抛射运动的描述，具有一个对称轴和一个顶点，对称轴垂直于抛物线的轨迹，抛物线方程的开口方向和参数决定了抛物线的形状。
3. 双曲线：常见于电磁波传播、双曲线函数的图像等领域，具有两个对称轴和两个焦点，对称轴互相垂直，以两个焦点为焦点的双曲线正好满足双曲线方程的定义。
四、二次曲线的应用1. 数学领域：- 二次曲线是数学分析和几何学的基础，广泛应用于数学定理的证明和推导。
- 抛物线的研究在牛顿力学、光学和电磁学等领域有重要意义。
- 双曲线在微分方程、概率论和复变函数等数学领域发挥重要作用。
2. 物理领域：- 二次曲线在物体运动、力学系统和信号处理等问题中有着广泛的应用。
- 抛物线的轨迹描述了物体在重力作用下的运动规律，是研究机械能转化和守恒的重要工具。
- 双曲线函数可以描述电磁波的传播特性，对于无线通信、光学和电路设计等有重要影响。
3. 工程领域：- 二次曲线在建筑设计中用于确定弧形建筑物的结构参数。
N二次曲线的一般理论
目的： 确定点的新旧坐标之间的关系。 这由新旧坐标系的之间的位置关系来确定. 坐标系的位置是由坐标原点和坐标轴的方向 确定。 新坐标系的位置，就由新原点 O ' 的旧坐标， 以及坐标轴Ox 到新坐标轴O ' x ' 的角度 确定.
坐标系的平移（移轴）: 坐标轴的方向不 变，改变坐标原点
坐标系Oxy
a11 x0 a12 y0 b1 0, a12 x0 a22 y0 b2 0,
2 0
c a x 2a12 x0 y0 a22 y
* 2 11 0
2b1 x0 2b2 y0 c F ( x0 , y0 )
方程组
a11 x0 a12 y0 b1 0, a12 x0 a22 y0 b2 0,
展开后合并同类项就有
a a11
* 11 * a12 a12 * a22 a22
移轴以后
二次项系数不变，一次项系 数要改变，为了消去一次项， 必须并且只须新坐标原点的 ( x0 , y0 ) 坐标 满足方程
b a11 x0 a12 y0 b1 ,
* 1 * b2 a12 x0 a22 y0 b2 ,
a11 a12 a12 a22 0，则方程组有唯一解.
如果
如果
a11 a12
a12 a22
=0，即a11 : a12 a12 : a22
(1)a11 : a12 a12 : a22 b1 : b2 ,此时方程是同解方程 (2)a11 : a12 a12 : a22 b1 : b2 ,此时方程是矛盾方程.
例1：求二次曲线x 2 xy y 2 3 x 6 y 3 0的中心.
解：对称中心就是(0,3)
二次曲线的基本性质及方程式
二次曲线的基本性质及方程式二次曲线是一类具有特定形状和性质的曲线，它的方程可以通过一些特定的形式描述。
本文将介绍二次曲线的基本性质以及常见的方程式。
一、二次曲线的基本性质1. 二次曲线的定义：二次曲线是平面上所有满足二次方程的点的集合。
其一般形式为Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E、F为常数，且A和C不能同时为0。
2. 二次曲线的对称性：二次曲线通常具有关于x轴、y轴或者原点的对称性。
当A=C且B=0时，二次曲线关于x轴对称；当A=0且B=C时，二次曲线关于y轴对称；当A=C且B≠0时，二次曲线关于原点对称。
3. 二次曲线的类型：根据方程中各项的系数，可以确定二次曲线的类型。
当B^2-4AC>0时，二次曲线为双曲线；当B^2-4AC=0时，二次曲线为抛物线；当B^2-4AC<0时，二次曲线为椭圆。
4. 二次曲线的焦点和准线：对于双曲线和抛物线，它们都有焦点和准线。
焦点是曲线上所有点到两个定点（称为焦点）的距离之和相等的点；准线是与曲线中所有点到直线的距离相等的直线。
而对于椭圆来说，它也有两个焦点，但没有准线。
二、二次曲线的方程式1. 双曲线的方程式：双曲线的一般方程为Ax^2 - Cy^2 = 1，其中A和C为正常数。
在此一般方程的基础上，双曲线还有一些常见的特殊形式，如横轴为主轴、纵轴为主轴的双曲线方程。
2. 抛物线的方程式：抛物线的一般方程为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
抛物线还可以表达为以顶点为中心的顶点式方程或焦点为中心的焦点式方程。
3. 椭圆的方程式：椭圆的一般方程为(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中h、k分别为椭圆的中心在x轴和y轴上的坐标；a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴。
椭圆的方程式还可以表达为标准方程或参数方程。
三、应用举例1. 双曲线的应用：双曲线在数学和物理中有广泛的应用。
解析几何课5二次曲线
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2. ( X , Y ) 0，这时又可分三种情况 ：
1 F1 ( x0 , y0 ) X F2 ( x0 , y0 ) Y 0. 此 时(4)是 关 于t的 一 次 方 程 , 直 线( 2)与 二 次 曲 线 (1)有 唯 一 实交点 . 2 F1 ( x0 , y0 ) X F2 ( x0 , y0 ) Y 0.
定义5.2.3 如果点C是二次曲线的通过它的所有 弦的中点(C是二次曲线的对称中心)，那么点C叫 做二次曲线的中心. 定理5.2.1 点C(x0 ,y0)是二次曲线(1)的中心，其 充要条件是： F1 ( x0 , y0 ) a11 x0 a12 y0 a13 0 (5.2 1) F2 ( x0 , y0 ) a12 x0 a22 y0 a23 0 推论 坐标原点是二次曲线的中心，其充要条 件是曲线方程里不含x与y的一次项.
F2(x0,y0)=0的点(x0,y0)叫做二次曲线的奇异点，简称 奇点；二次曲线的非奇异点叫做二次曲线的正常 点.
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定理5.3.1 如果(x0,y0)是二次曲线(1)的正常点， 那么通过(x0,y0)的切线方程是 (x-x0)F1 (x0,y0)+ (y-y0)F2 (x0,y0)=0， (x0,y0)是它的切点. 如果(x0,y0)是 二次曲线(1)的奇异点，那么通过(x0,y0)的切线不确 定，或者说过点(x0,y0)的每一条直线都是二次曲线(1) 的切线. 推论 如果(x0,y0)是二次曲线(1)的正常点，那么 通过(x0,y0)的切线方程是：
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§5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线
1.二次曲线的渐近方向 定义5.2.1满足条件Φ(X,Y)=0的方向X:Y叫做 二次曲线的渐近方向，否则叫做非渐近方向. 定义5.2.2没有实渐近方向的二次曲线叫做 椭圆型的，有一个实渐近方向的二次曲线叫做 抛物线型的，有两个实渐近方向的二次曲线叫 做双曲型的. 即1)椭圆型：I2>0 2)抛物型： I2＝0 3)双曲型： I2<0
第五章 二次曲线的一般理论
很容易得到：
F1( x,
y)
1 2
Fx'
( x,
y);
F2( x,
y)
1 2
Fy'
(
x,
y);
F ( x, y) xF1( x, y) yF2( x, y) F3( x, y)
所以二次曲线方程
a11 x2 2a12 xy a22 y2 2a13 x 2a23 y a33 0
变为
F ( x, y) xF1( x, y) yF2( x, y) F3( x, y) 0
1. 二次曲线的渐近方向 由二次曲线与直线的位置关系，我们知道当
( X ,Y ) a11 X 2 2a12 XY a22Y 2 0
时，直线与二次曲线有三种情况： A.有一个实交点，B.没有交点，C.直线曲线上.
定义5.2.1 满足条件Φ (X,Y ) = 0的方向 X:Y 叫做二次 曲线的渐近方向，否则叫做非渐近方向.
（1）无心曲线：aa1121
a12 a22
a13 a23
（2）线心曲线：a11 a12 a13 a12 a22 a23
从二次曲线按渐近方向的分类：
椭圆型：I2 > 0；抛物型： I2＝0；双曲型： I2 < 0， 可知，椭圆型和双曲型都是中心曲线；
抛物型是非中心曲线，包括无心和线心曲线。 定义5 通过二次曲线的中心，而且以渐近方向为方
一般二次曲线是否有对称中心或顶点呢？是否 有互相垂直的对称轴呢？怎样找到中心或顶点以及 对称轴，从而把二次曲线的方程化简呢？
本章就是按照这样的考虑展开讨论的，但是把 二次曲线的方程简化为标准方程并不是我们全部目 标，我们还希望结合方程的简化，对二次曲线的几 何性质作一般的分析。
空间解析几何-第4章二次曲面的一般理论
( I ) a11 x a22 y a33 0, a11a22 0;
2 2
( II ) a22 y 2a13 x 0, a22 a13 0;
2
( III ) a22 y 2 a33 0, a22 0.
定理5.6.2 通过适当选取坐标系，二次曲线 的方程总可以写成下面九种标准方程的一种形式：
F1 ( x0 , y0 ) a11 x0 a12 y0 a13 0 F2 ( x0 , y0 ) a12 x0 a22 y0 a23 0
推论 坐标原点是二次曲线的中心，其充要条 件是曲线方程里不含x与y的一次项.
二次曲线(1)的的中心坐标由下方程组决定：
．这种坐标变换叫做移轴（坐标平移）．
设P是平面内任意一点，它对标架 O; i, j 和 O; i, j 的坐标分别为
( x, y )与 ( x, y)，则有
y P
y'
x x x0 y y y0
j j O i i O' (x0 , y0 ) x' x
x2 y2 [1] 2 2 1 (椭圆) a b
x y [2] 2 2 1 (虚椭圆) a b 2 2 x y [3] 2 2 1 (双曲线) a b
2
2
x2 y 2 [4] 2 2 0 (点或相交于实点的共轭虚直线) a b
x y [5] 2 2 0 (两相交直线) a b
或
x x cos y sin ( x0 cos y0 sin ) y x sin y cos ( x0 sin y0 cos )
(完整版)第五章二次曲线的一般理论
221340;x ktx y xy y y k t=+⎧+--=⎨=+⎩与二次曲线交于一点{}{}()()00,,1,,1,v X Y k x y k ===r第五章 二次曲线的一般理论§5.1 二次曲线与直线的相关位置1.求直线x-y-1=0与二次曲线222210x xy y x y -----=的交点. 解: 将y=x-1代入曲线方程,得()()()222112110,00x x x x x x --------==即故直线在二次曲线上.2.试决定k 的值,使得(1) 直线50x y -+=与二次曲线230x x y k -++=交于两不同实点;(2) 直线(3) 直线10x ky --=与二次曲线22(1)10y xy k y ----=交于两个相互重合的实点;(4) 已知直线11x ty t =+⎧⎨=-⎩ 与二次曲线222420x xy ky x y ++--=有两个共轭虚点，求k的值解: (1). 将y=x+5代入二次曲线方程,得()()22250245041604,x x k k k k -++>--+>-->∴<-Q 时直线与二次曲线有两个不同的实交点.(2). 二次曲线的矩阵为12231/201/20----且 .()()1,,1120,k X Y k k φφ===-≠时，()()5,,,1120,k X Y k k φφ===-≠时1,5k ∴=当()()()2210,11210,650,4k k k k ∆=+---=-+=即即{}{}()()00,,1,,1,0,v X Y k x y ==r121,5,k k ==()22211,2011011X Y X XY Y X Y I φ=++==-==Q 时，：：，同时，()()()()()21211002002100200430,1,3,11).1,,10,2132).3,,,150,21,3,k k k k k F x y X F x y Y k F x y X F x y Y k φ=-+====+=-+≠=+=-+≠∴=k,1则当时当时时原直线与二次曲线交于一个实点. (3). 二次曲线的矩阵为11011(1)/20(1)/21k k -----且令解之，得 1） 当 2） 当 时，直线与二次曲线有二重合实交点.(4). 二次曲线的系数矩阵为221/2211/21k----且:1:(1)X Y =-取00(,)(1,1),0,x y =<V 令即27[(1)(1)](2)(3)02k k k ++---+<解得 4924k >，且此时1(1,1)24(1)2024k k Φ-=+-+=->≠， 4924k ∴>时, 直线与二次曲线有两个共轭虚交点。
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第五章二次曲线的一般理论§ 5.1 二次曲线与直线的相关位置1. 求直线x-y-1=0与二次曲线2x2 xy y2 x 2y 1 0的交点.解：将y=x-1代入曲线方程,得2 22x x x 1 x 1 x 2 x 1 1 0,即0 0故直线在二次曲线上•2. 试决定k的值,使得(1) 直线x y 5 0与二次曲线x23x y k 0交于两不同实点；⑵直线x 1 kt与二次曲线x23y24xy y 0交于一点；y k t⑶直线x ky 1 0与二次曲线y22xy (k 1)y 1 0交于两个相互重合的实点x 1 t⑷已知直线与二次曲线2x2 4xy ky2 x 2y 0有两个共轭虚点，求ky 1 t的值解：(1). 将y=x+5代入二次曲线方程,得2x 2x k 5 02Q 2 4 k 5 04k 16 0k 4时，直线与二次曲线有两个不同的实交点•1 2 0(2).二次曲线的矩阵为 2 3 1/20 1/2 0且v X，丫k,1 •, X o, y o 1,kk 1,3时,原直线与二次曲线交于一个实点k 49时，直线与二次曲线有两个共轭虚交点。
24§ 5.2 二次曲线的渐进方向、中心、渐进线1. 求下列二次曲线的渐进方向，并指出曲线是属于何种类型的.1 x2 2xy y 2 3x y 0; 222 3x 4xy 2y 6x 2y 5 0;3 2xy 4x 2y 30.11 解:(1) Q X,Y X2 2XY Y 2 0时，X : Y1:1，同时 I ?0,11曲线有一个实渐进方向，是抛物型的k,1 k 2 4k 3 0,则 k 1 1,k 2 3,1)当 k . 1 时,F , X o y o X F 2 X o ，y o Y 0, 2).当 k 23时，F1X 0, y 0 X F 2X 0, y 0 Y1513 0,2(3). 二次曲线的矩阵为(1 11 (1 k)/20 k)/2 1解之, v X,Yk,1 , X o ,y o1 0,即―4k 1 1,k 25,2k0,即 k 2 6k 50,1)当 1时, X,Y k,1 2k 0, 2)当5时, 1,5 时, X,Y直线与二次曲线有二重合实交点.k,12k 0,(4).二次曲线的系数矩阵为22 1/21/ 2 1 01:( 1)取(X 0,y0)(“)，令V0,即[2(1k)(1)]2 (k 2)(3 k) 0 解得k24，且此时(1,1) 24( 1) k28282 Q X,Y 3X 2 4XY 2Y 2 0时,X :Y且i 23 2 2 o, 22曲线有两个共轭的虚渐进方向，是椭圆型的.•••曲线有两个渐进方向，是双曲型的•2. 判断下列二次曲线是中心曲线，无心曲线还是线心曲线1 1解：(1) QI 21 0 ,故为中心曲线；1 21 2 1 2 Q A24 1711 1有I 21 2 0,且 9113]2a 1324a 12a 22a 23曲线为无心曲线；an a 12 a 13 1 ,且有 一一 一 3,-312a 22 a 23•••曲线为线心曲线. 3. 求下列二次曲线的中心 2 21 5x 2xy 3y 2x 3y 6 0;2 22 2x 5xy 2y 6x 3y 5 0;3 9x 2 30xy 25y 2 8x 15y 0;2 24 4x 4xy y 4x 2y 0.X;Y 0:1 或 1:0,且 *〈0,5x y 1解1由解得x13 2 2 1 x 2xy 2y 22 2 x 4xy 4y223 9x 6xy y4x 6y 3 0; 2x 2y 1 0;6x 2y 0.••中心为3 (, 13 )28 282x5 y 3 0 2 由 2解得x 1, y 2 5 2y 3 x2 2--中心为1,2 J3an ai 2 3 a134 Q ———a i2 a225 ^23 15 '2曲线没有中心.曲线为线心曲线，中心直线方程为2x-y+仁0.y y 。
丫a i2 a \3 a 232,4. 当a,b 满足什么条件时，二次曲线2小x 6xy ay3x by 4 0(1) 有唯一中心;(3) 有一条中心直线。
(1) 当12 13 3/21 3 3 a b/2 ，I 2 3a3/2 b/24曲线有唯一中心;a ii a 22(2)没有中心;解：因为Ab 为任意实数时, a 9，0 即 a 9,6. 求下列二次曲线的渐进线。
7. 试证二次曲线成为线心曲线的充要条件是I ? I s O 成为无心曲线的充要条件 是 I 2 O, I 3 o .证：(1)若二次曲线为线心曲线，则鱼L 亚些,此时有I 2|3 O ,a 12a 22a 23反之,- X?xCRHx x o由 a11 2a 12a 22O，即 a11丫 丫y y o22a 12x X oa ?2 O y o化简，得渐进线方程为:2an(x x o )2a 12(x x °)(y y o ) a 22(y y o )2o1 6x2 xy 2 2 x 3xy23 x 2xyy 2 3x 20； 2y 2y3yo ； 2x 2y0.解：(1)由G 1 6x y2 1 2x yO解得中心为 O故渐进线方程为 0,即 2x y 1o 与3xo.(2)由3x2y3x 2y 2解得中心为 3 o 25,故得渐进线方程为 即 x 2y 1 O 与 x 2x+5 3x5 o.(3)原方程变形为(x y)22(x y) 4 O ，即为两条平行直线。
其渐进线方程为中心直线: x+y+ 仁O.即曲线为线心曲线。
（2）若曲线为无心曲线,坐 亟,从而I 20,丨3 0否则由（1）知曲线为线心曲线 a i2a 22a 23反之，若I 20,丨3 0,则必有 生 亟 空,即曲线为无心曲线。
a i2a 22a 238求以点（0, 1）为中心，且通过点（2, 3）, （4, 2）与（-1 , -3 ）的二次曲线 方程。
解：设所求的二次曲线方程为ax 2 bxy cy 2 dx ey f 0,因为（0, 1 ）是其中心，点（2, 3）,（4, 2）,（-1 , -3 ）在曲线上，它们关于（0, 1） 的对称点（-2 , -1 ）,（ -4 , 0）,（ 1 , 5）也在曲线上，从而4a 6b 9c 2d 3e f0, 4a 2b c 2d e f0, 16a 8b 4c 4d 2e f 0,16a-4b f 0, a-3ab 9c d 3e f 0, a 5b 25c d 5e f 0,由上六式解得 b 1, d 1, f 4, a c e 0.,•••所求方程为xy x 4 0.§ 5.3 二次曲线的切线1.求以下曲线在所给点或经过所给点的切线方程(1) 曲线3x 2 4xy 5y 2 7x 8y 3 0在点21 ;⑵ 曲线 2 x xy 2y x4y 3 0,经过点 -2 , -1 ； ⑶曲线 2x 2xy 2y x2y 1 0,经过点 0,2 .解 (1) ’ Q F 2,1 0,即点 2,1 在一二次曲线上 」9,且 F 2,1—,F 2 2,1 52所求切线方程为 -x 25 y 1 0,即9x 10y 280.2(2)Q F 2, 14,即点 2, 1不在二次曲线上，且F 2, 12,F 22, 10,若I 2 I 3 0,则匀a i2a 22,有 aila i2 , a i2 a 22 , 1 3a i2a 23 a i3a 22 a i3 a 230,从而有a i3 a i2或 ai3a 23a 22 a 23a i2a 22 a i2 a 22 a i3a 23,都有巴a i2a i3 a 23 a 33a i2 a \3 a 22a 232•••所求切线方程为 -x 3 y 2 2x 2 x y 2 y 2 2 9 0,2即x 0.2.求以下曲线的切线方程，并求出且点的坐标 (1)曲线x 2 4xy 3y 2 5x 6y 3 0的切线平行于直线x 4y 0 2 2 o（2）曲线x xy y3的切线平行于x 轴.解：（1）设切点为（X 0,y °），则切线为:（x X 0）F 1（X 0,y °） （y 『。
爪仏小）0， 这切线与直线x 4y 0平行，从而F 1（x 0, y 0）： F 2（x 0,y 0） 1:4，5即 4（X 0 2y 。
-） （2x 。
3y 。
）0，所以 2x 。
5y 。
70 （1）2又因为（X 0 , y °）在二次曲线上，故有 X 0 4x °y 0 3y ° 5x ° 6y ° 3 0 ................................ （ 2） 由（1） （2）得1或X 04。
所以曲线的方程是x 4y-8 0或x 4y-5 0。
y 。
1y 。
3⑵ 设切点为（X 0,y °）,因为切线的方向数X:Y 为1:0或0:1,1 0当X : Y 1:0时，由方程组X 02y2 2x X 0 y ° y °1, 2 或1,2，平行于ox 轴的切线方程为y=2与y=-2. 3. 求下列二次曲线的奇异点。
奇异点为（-1，1）1 3x2 2y 2 6x 4y 1 0;2 2xy 2y2x 1 0;3 x 22xy2y2x 2y 1 0.1由3x 3 0解得 x=-12y2y=1解:,且 F 1,1 0,所求切线方程为X 2 y 10,即 y 1 0与 x y 30.(3) Q F 0,29,且 F , 0,23,F 2 0,2 3,2解得切点为 3,丄y 1 0如作 x 1 口2由'解得,且F 1,10,x y 0 y 1•••奇异点为(-1,1).x y 1 0 3由 y得x y 1 0,且此直线在二次曲线上，x y 1故x-y-1=0上的所有点都是二次曲线的奇异点.4. 试求经过原点且切直线 4x+3y+2=0于点(1,-2)，切直线x-y-1=0于点(0, -1) 的二次曲线方程•解：二次曲线过原点二 可设其方程为 a11x2a 12xy a 22 y2a 13x 2a 23y 0以其上一点x°,y°为切点的切线方程为：an X D a 12 y ° a^ x ai 2 x g a 22 y 0 a 23 y a^x 。
a 23y ° 0故以(1,-2)为切点的切线方程为a 112a 12°13 x a 12 2a 22 a 23 y °13 2a 23 0以点(0,- 1) 为切点的切线方程为 ^2 耳3xa ?2 a ?3 ya ?3 0,此两直线方程分别与4x+3y+2=0和x-y-1=0同解，从而有行于已知直线y mx 的切线，求这些切线切点的轨迹方程.2 2解：过曲线 ¥1 1上一点(X g , y g )的切线方程为：一x 氏a hb ha h按题设有九：尢an 2a 12 Ona-12 2a 22a 234 °12a 13a 22毘1 1解得 a 23 1,a 22 2,an 3a 23J112,a 12氐 &232a 132,故所求二次曲线方程为:6x 2 3xy5、设有共焦点的曲线族2x a 2 ht ；2y 2x y 0.21这里'是一个变动的参数, 作曲线的平消去参数h 并整理，得所求轨迹方程为：mx 2 (m 2 1)xy my 23从而这些切线的切点的全体符合方程组a 2 hm(a 2 b 2) 0.2当 3 * * * * * * * * * 132即a 9,b 9时:;次曲线没有中心;3 a b2(3)当a=b=9时，二次曲线有一条中心直线。