湖南省株洲四中高二数学 双曲线的几何性质 导学案(选修1-1)
高中数学 1-1.2.2.2双曲线的简单几何性质学案 新人教A版选修1-1
双曲线的简单几何性质学案新人教A版选修1-1【学习目标】掌握双曲线的简单几何性质。
一、课前预习案：王渊超《悲伤的双曲线》中，如果我是双曲线，你就是那渐近线…虽然我们有缘，能够生在同一个平面…无限接近不能达到。
这首歌就提到了双曲线的一个性质。
双曲线的性质在建筑、工业生产中都有着广泛的应用。
请你回忆一下对于椭圆的几何性质，我们研究了哪些方面？利用什么思想研究的？研究双曲线的几何性质你准备如何进行？二、课堂探究案：（一）几何性质由椭圆的哪些几何性质出发，类比探究双曲线22221x ya b-=的几何性质。
先画出图形1．范围：x y你能从代数的角度解释吗？2．对称性：双曲线关于轴、轴及都对称．你能从代数的角度解释吗？双曲线的中心：3．顶点：叫做双曲线的顶点，坐标为（），（）．实轴，其长为，半实轴长为；虚轴，其长为，半虚轴长为；实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线．焦点坐标，焦距。
4．离心率：cea =．范围：刻画双曲线的什么几何特性？如何刻画的呢？5．渐近线：双曲线22221x ya b-=的渐近线有什么特征？你能写出其渐近线的方程吗？双曲线22221y xa b-=的几何性质你能试着写出来吗？（二）课堂反馈1.双曲线221168x y-=实轴和虚轴长分别是（）．A．8、．8、C ．4、．4、2.双曲线224x y -=-的顶点坐标是（ ）．A ．(0,1)±B ．(0,2)±C ．(1,0)±D ．（2,0±） 3.双曲线22148x y -=的离心率为（ ）． A ．1 B．24.双曲线2241x y-=的渐近线方程是 ．（三）典型例题 求双曲线2214925x y -=的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程．中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
一、教材分析：本节课讲的是中国书法艺术主要是为了提高学生对书法基础知识的掌握，让学生开始对书法的入门学习有一定了解。
高二数学 2.2.2双曲线的简单几何性质导学案(1)新人教A版选修1-1
高中数学 2.2.2双曲线的简单几何性质(1)导学案 【自主学习】（预习教材P49~ P51） 问题1：由椭圆的哪些几何性质出发，类比探究双曲线22221x y a b-=的几何性质?范围：x ： y ：对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称．顶点：（ ），（ ）．实轴，其长为 ；虚轴，其长为 ．离心率：1c e a=>． 渐近线：双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为：0x y a b±=．问题2：双曲线22221y x a b-=的几何性质? 图形：范围：x ： y ：对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称．顶点：（ ），（ ）实轴，其长为 ；虚轴，其长为 ．离心率：1c e a=>． 渐近线：双曲线22221y x a b-=的渐近线方程为： ．新知：实轴与虚轴等长的双曲线叫 双曲线．【合作探究】例1．（教材P51例3）求双曲线22916144y x-=的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．例2求双曲线的标准方程：⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；⑶渐近线方程为23y x=±，经过点9(,1)2M-．【目标检测】1．双曲线221168x y-=实轴和虚轴长分别是（）．A．8、42 B．8、22 C．4、42 D．4、22 2．双曲线224x y-=-的顶点坐标是（）．A．(0,1)± B．(0,2)± C．(1,0)± D．（2,0±）3．双曲线22148x y-=的离心率为（）．A．1 B．2 C．3D．2 4．双曲线2241x y-=的渐近线方程是．5、已知双曲线的离心率2e=(5,3)M-，求其标准方程。
高中数学选修1-1优质学案4-2.2.2 双曲线的简单几何性质
2.2.2 双曲线的简单几何性质【课标点击】1.理解并掌握双曲线的几何性质，能运用双曲线的标准方程讨论双曲线的几何性质.2.理解渐近线的概念,明确双曲线的标准方程中各量的几何意义,并能根据双曲线的几何性质确定双曲线的标准方程.【预习导学】►基础梳理1.双曲线的几何性质.2.双曲线的有关几何元素．求双曲线的顶点、焦点、轴长、离心率、渐近线方程时，要先将方程化成双曲线的标准形式，然后求a 、b ，即可得到所求．3．双曲线的渐近线方程．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±a bx ，一般情况下，先求a 、b ，再写方程．两者容易混淆，可将双曲线方程中右边的“1”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程，这样就不至于记错了．(1) 若已知渐近线方程为mx ±ny ＝0，求双曲线方程．双曲线的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，可用下面的方法来解决．方法一 分两种情况设出方程进行讨论；方法二 依据渐近线方程，设出双曲线为m 2x 2－n 2y 2＝λ(λ≠0)，求出λ即可．(2)与x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．►自测自评1．双曲线x 24－y 2＝1的离心率是() A.32 B ．2 C.52 D.542．双曲线x 24－y 29＝1的渐近线方程是. 3．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是.►随堂巩固1．已知双曲线x 2m －y 25＝1(m >0)的右焦点F (3，0)，则此双曲线的离心率为() A ．6 B.322C.32D.34 2．双曲线C 的实轴长和虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0，2)，则双曲线C 的方程为()A.x 24－y 24＝1B.y 24－x 24＝1 C.y 24－x 28＝1 D.x 28－x 24＝1 3．以椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为焦点，离心率为2的双曲线方程为________． 4．求与双曲线x 216－y 29＝1共渐近线且过点A (23，－3)的双曲线方程．5．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，求双曲线的离心率．►课时训练1．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为() A ．2 B. 3 C.2D.322．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为() A ．y ＝±12x B ．y ＝±22x C ．y ＝±2x D ．y ＝±2x3．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为x ＋2y ＝0，则双曲线的离心率e 的值为() A.52B.62 C.2D ．24．设F 1和F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，若F 1，F 2，P (0，2b )是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为() A.32 B ．2 C.52D ．35．已知双曲线x 22－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，其中一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则PF 1→·PF 2→＝()A ．－12B ．－2C ．0D ．46．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的离心率e 为()A ．2B ．3C.43D.537．双曲线的渐近线方程为2x ±y ＝0，两顶点间的距离为4，则双曲线的方程为______________．8．若双曲线x 2k ＋4＋y 29＝1的离心率为2，则k 的值为________． 9．过点P (－3，0)的直线l 与双曲线x 216－y 29＝1交于点A ，B ，设直线l 的斜率为k 1(k 1≠0)，弦AB 的中点为M ，OM 的斜率为k 2(O 为坐标原点)，则k 1·k 2＝________．10．F 1、F 2为双曲线x 24－y 2＝－1的两个焦点，点P 在双曲线上，且∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是________．11．求适合下列条件的双曲线标准方程．(1)虚轴长为12，离心率为54； (2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x .12．设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B . (1)求双曲线离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，且P A →＝512PB →，求a 的值．►体验高考1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个交点在直线l 上，则双曲线的方程为()A.x 25－y 220＝1B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.3x 2100－3y 225＝1 2．设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得(|PF 1|－|PF 2|)2＝b 2－3ab ，则该双曲线的离心率为() A. 2 B.15 C ．4 D.173．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于()A ．2B ．2 2C ．4D ．4 24．双曲线x 24－y 2＝1的离心率等于________． 5．设双曲线C 经过点(2，2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为________，渐近线方程为________．6．已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝() A ．2 B.62 C.52D ．1[答案]►自测自评1．[答案]C[解析]∵a ＝2，b ＝1，c ＝a 2＋b 2＝5，∴e ＝52. 2．[答案] y ＝±32x [解析]a 2＝4，b 2＝9，焦点在x 轴上，∴渐近线方程为y ＝±b a x ＝±32x . 3．[答案]x 225－y 29＝1或y 225－x 29＝1．►随堂巩固1．[答案]C2．[答案]B3．[答案]x 24－y 212＝1 4．[答案]解：设所求双曲线方程为x 216－y 29＝λ(λ≠0)． 将点(23，－3)代入，得λ＝－14， ∴双曲线方程为y 294－x 24＝1. 5．[解析]只知渐近线方程，并不知焦点在哪个轴上，因此应分情况解答．[答案]解：设具有渐近线y ＝±34x 的双曲线方程为x 216－y 29＝λ(λ≠0)，即x 216λ－y 29λ＝1. λ＞0，焦点在x 轴上，a 2＝16λ，b 2＝9λ，c 2＝a 2＋b 2＝25λ，∴e 2＝c 2a 2＝2516，e ＝54. λ＜0，焦点在y 轴上，a 2＝9λ，b 2＝16λ，c 2＝a 2＋b 2＝25λ，∴e 2＝c 2a 2＝259，e ＝53.►课时训练1．[答案]C2．[答案]B3．[答案]A4．[答案]B[解析]由tan π6＝c 2b ＝33有3c 2＝4b 2＝4(c 2－a 2)，则e ＝c a＝2，故选B. 5．[答案]C[解析]由已知得，b 2＝2，c ＝2，点P 为(3，±1)，左、右焦点坐标分别为(－2，0)，(2，0)，结合向量的乘法，易知选C.6．[答案]D[解析]依题意，得2×2b ＝2a ＋2c ，即2b ＝a ＋c ，两边平方得4b 2＝a 2＋2ac ＋c 2，将b 2＝c 2－a 2代入化简得，3c 2－2ac －5a 2＝0.即3e 2－2e －5＝0，解得e ＝ 53. 7．[解析]由题意知a ＝2，当焦点在x 轴上时，有b a＝2 ∴b ＝4，双曲线方程为x 24－y 216＝1； 当焦点在y 轴上时，有a b＝2 ∵b ＝1，双曲线方程为y 24－x 2＝1. [答案]x 24－y 216＝1或y 24－x 2＝1 8．[解析]∵x 2k ＋4＋y 29＝1是双曲线， ∴k ＋4<0，k <－4.∴a 2＝9，b 2＝－(k ＋4)．∴c 2＝a 2＋b 2＝5－k . ∴c a ＝5－k 3＝2. ∵5－k ＝36，k ＝－31.[答案]－319．[解析]设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， ∴x 2116－y 219＝1，x 2216－y 229＝1.两式相减得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）16－（y 1＋y 2）（y 1－y 2）9＝0， 即k 1＝y 1－y 2x 1－x 2＝9（x 1＋x 2）16（y 1＋y 2）. ∵M ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，∴k 2＝y 1＋y 2x 1＋x 2，∴k 1·k 2＝916. [答案]91610．[解析]双曲线x 24－y 2＝－1的两个焦点是F 1(0，－5)、F 2(0，5)， ∵∠F 1PF 2＝90°，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2.即|PF 1|2＋|PF 2|2＝20.①∵|PF 1|－|PF 2|＝±2，∴|PF 1|2－2|PF 2|·|PF 1|＋|PF 2|2＝4.②①－②得2|PF 1|·|PF 2|＝16，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝4. [答案]411．[答案]解：(1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)． 由题知2b ＝12，c a ＝54，且c 2＝a 2＋b 2， ∴b ＝6，c ＝10，a ＝8，∴标准方程为x 264－y 236＝1，或y 264－x 236＝1. (2)当焦点在x 轴上时，由b a ＝32，且a ＝3，∴b ＝92. ∴所求双曲线方程为x 29－4y 281＝1. 当焦点在y 轴上时，由a b ＝32，且a ＝3，b ＝2. ∴所求双曲线方程为y 29－x 24＝1. 12．[答案]解：(1)∵曲线C 与l 相交于两个不同的点A 、B ，∴方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2＝1x ＋y ＝1有两个不同的实数解，∴(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0 ①∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠04a 4＋8a 2（1－a 2）>0'解得0<a <2且a ≠1. ∴e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a 2>1＋12＝32，∴e >62且e ≠ 2. (2)由题意知：P (0，1)，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由P A →＝512PB →，得(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)， ∴x 1＝512x 2，由①可知⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－2a 21－a 2，x 1·x 2＝2a 21－a 2， 以上两式相联消去x 1、x 2可得－2a 21－a 2＝28960， 由a >0，知a ＝1713.►体验高考1．[答案]A[解析]双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，因为一条渐近线与直线y ＝2x ＋10平行， 所以b 2＝2. 又因为双曲线的一个焦点在直线y ＝2x ＋10上，所以－2c ＋10＝0，所以c ＝5.由⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，c ＝a 2＋b 2＝5得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5b 2＝20. 故双曲线的方程为x 25－y 220＝1. 2．[答案]D[解析]根据已知条件，知||PF 1|－|PF 2||＝2a ，所以4a 2＝b 2－3ab ，所以b ＝4a ，双曲线的离心率e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝17，选择D. 3．[答案]C [解析]∵e ＝c a ＝2，∴c ＝2a .∵双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，不妨取y ＝b ax ，即bx －ay ＝0， ∵焦点F (c ，0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为 3. ∴bc a 2＋b 2＝3，∴bc c ＝3，∴b ＝ 3. ∵c ＝2a ，∴c 2－a 2＝b 2，∴4a 2－a 2＝3，a ＝1，c ＝2. 4．[解析]因为双曲线的方程为x 24－y 2＝1，所以a ＝2，b ＝1， 所以c ＝5，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝52. [答案]525．[解析]设C ：y 24－x 2＝λ(λ≠0) 过(2，2)，则224－22＝λ 1－4＝λ，λ＝－3∴C ：y 24－x 2＝－3 即x 23－y 212＝1 易得渐近线：x 3±y 23＝0 即y ＝±2x .6．[答案]D[解析]由题意得e ＝a 2＋3a＝2，∴a 2＋3＝2a ， ∴a 2＋3＝4a 2，∴a 2＝1，∴a ＝1.。
高中数学选修1,1《双曲线》教案
高中数学选修1,1《双曲线》教案高中数学选修1-1《双曲线》教案【一】教学准备教学目标教学目标: 1.能用与椭圆对比的方法分析并掌握双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质;2.掌握双曲线的渐近线的概念和证明;3.明确双曲线标准方程中a、b、c的几何意义;4.能根据双曲线的几何性质确定双曲线的方程, 并解决简单问题.教学重难点教学重点: 双曲线的几何性质教学难点: 双曲线的渐近线教学过程教学过程:一、知识回顾:1. 双曲线的标准方程;2. 椭圆的几何性质及其研究方法.二、课堂新授:1. 要求学生按照研究椭圆几何性质的方法, 研究双曲线的几何性质.(1) 范围: 双曲线在不等式x≤-a与x≥a所表示的区域内.(2) 对称性: 双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的. 这时, 坐标轴是双曲线的对称轴, 原点是双曲线的对称中心. 双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.(3) 顶点: 双曲线和它的对称轴有两个交点, 它们叫做双曲线的顶点.顶点坐标A1 (-a, 0), A2 (a, 0)① 线段A1A2叫做双曲线的实轴, 它的长等于2a, a叫做双曲线的实半轴长.② 双曲线与y轴没有交点, 取点B1 (0,-b)、 B2 (0, b), 线段B1B2叫做双曲线的虚轴, 它的长等于2b, b叫做双曲线的虚半轴长.(4) 离心率: 双曲线的焦距与实轴长的比e = , 叫做双曲线的离心率.双曲线的离心率的取值范围是(1, +∞).2. 双曲线的渐近线(1) 观察: 经过A2、A1作y轴的平行线x = ±a, 经过B2、B1作x 轴的平行线y = ±b, 四条直线围成一个矩形. 矩形的两条对角线所在直线的方程是y =±x, 观察可知: 双曲线的各支向外延伸时, 与这两条直线逐渐接近.(2) 证明: 取双曲线在第一象限内的部分进行证明. 这一部分的方程可写为高中数学选修1-1《双曲线》教案【二】教学准备教学目标1、熟练掌握曲线的方程和方程的曲线概念;2、掌握坐标法和解析几何的概念3、掌握根据已知条件求平面曲线方程的基本步骤;4、学会根据已知条件求简单的平面曲线的方程。
人教新课标版数学高二选修1-1导学案 双曲线及其标准方程
2.2.1双曲线及其标准方程【教学目标】1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．【教学过程】一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生观看《2.2.1双曲线及其标准方程》课件“新课导入”部分，通过一首有趣而形象的诗歌及几幅美观的图片，引入本节课要学习的双曲线及其标准方程的知识.二、自主学习知识点一双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距；(2)关于“小于|F1F2|”：①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；②若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在；(3)若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的一支；(4)若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是线段F1F2的中垂线．知识点二双曲线的标准方程(1)两种形式标准方程焦点所在的坐标轴x轴y轴标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a 、b 、c 的关系式a 2＋b 2＝c 2(2)如果含x 2项的系数为正数，那么焦点在x 轴上，如果含y 2项的系数是正数，那么焦点在y 轴上．对于双曲线，a 与b 无截然的大小关系，因而不能像椭圆那样，通过比较a 与b 的大小来确定其焦点位置．三、合作探究问题1 若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F 1，F 2上，把笔尖放在点M 处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？答案 如图，曲线上的点满足条件：|MF 1|－|MF 2|＝常数；如果改变一下笔尖位置，使|MF 2|－|MF 1|＝常数，可得到另一条曲线．问题2 双曲线的标准方程的推导过程是什么？答案 (1)建系：以直线F 1F 2为x 轴，F 1F 2的中点为原点建立平面直角坐标系． (2)设点：设M (x ，y )是双曲线上任意一点，且双曲线的焦点坐标为F 1(－c,0)，F 2(c,0)． (3)列式：由|MF 1|－|MF 2|＝±2a ， 可得x ＋c2＋y 2－x －c 2＋y 2＝±2a .①(4)化简：移项，平方后可得(c 2－a 2)x 2－a 2y 2＝a 2(c 2－a 2)． 令c 2－a 2＝b 2，得双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．② (5)验证：从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方程②；以方程②的解(x ，y )为坐标的点到双曲线两个焦点(－c,0)，(c,0)的距离之差的绝对值为2a ，即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上，这样，就把方程②叫做双曲线的标准方程．(此步骤可省略)问题3 双曲线中a ，b ，c 的关系如何？与椭圆中a 、b 、c 的关系有何不同？ 答案 双曲线标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b 2＝c 2－a 2，即c 2＝a 2＋b 2，其中c >a ，c >b ，a 与b 的大小关系不确定；而在椭圆中b 2＝a 2－c 2，即a 2＝b 2＋c 2，其中a >b >0，a >c ，c 与b 大小不确定．探究点1 双曲线定义的理解及应用例1 (1)已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P 的轨迹中为双曲线的是( )A ．|PF 1|－|PF 2|＝±3B ．|PF 1|－|PF 2|＝±4C ．|PF 1|－|PF 2|＝±5D ．|PF 1|2－|PF 2|2＝±4(2)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________________．答案 (1)A(2)x 2－y 28＝1(x ≤－1)解析 (1)当|PF 1|－|PF 2|＝±3时，||PF 1|－|PF 2||＝3<|F 1F 2|＝4，满足双曲线定义， P 点的轨迹是双曲线．(2)如图，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和B ，根据两圆外切的条件 |MC 1|－|AC 1|＝|MA |，|MC 2|－|BC 2|＝|MB |, 因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝2，这表明动点M 与两定点C 2，C 1的距离的差是常数2.根据双曲线的定义，动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，这里a ＝1，c ＝3，则b 2＝8，设点M 的坐标为(x ，y )，其轨迹方程为x 2－y 28＝1 (x ≤ －1)．反思与感悟 双曲线定义的两种应用：(1)根据双曲线的定义判断动点轨迹时，一定要注意双曲线定义中的各个条件，不要一看到动点到两个定点的距离之差的绝对值是常数，就认为其轨迹是双曲线，还要看该常数是否小于两个已知定点之间的距离且大于零，否则就不是双曲线．(2)巧妙利用双曲线的定义求曲线的轨迹方程，可以使运算量大大减小，同时提高解题速度和质量.其基本步骤为：①寻求动点M 与定点F 1，F 2之间的关系；②根据题目的条件计算是否满足||MF 1|－|MF 2||＝2a (常数，a >0)；③判断：若2a <2c ＝|F 1F 2|，满足定义，则动点M 的轨迹就是双曲线，且2c ＝|F 1F 2|，b 2＝c 2－a 2，进而求出相应a ，b ，c ；④根据F 1，F 2所在的坐标轴写出双曲线的标准方程． 探究点2 待定系数法求双曲线的标准方程例2 (1)已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)和⎝⎛⎭⎫94，5，求双曲线的标准方程；(2)求与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线方程．解 (1)由已知可设所求双曲线方程为y 2a 2－x2b 2＝1(a >0，b >0)，则⎩⎨⎧32a 2－9b 2＝1，25a 2－8116b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，b 2＝9，∴双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.(2)方法一 设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意易求得c ＝2 5.又双曲线过点(32，2)，∴322a 2－4b2＝1. 又∵a 2＋b 2＝(25)2，∴a 2＝12，b 2＝8. 故所求双曲线方程为x 212－y 28＝1.方法二 设双曲线方程为x 216－k －y 24＋k ＝1(－4<k <16)，将点(32，2)代入得k ＝4，∴所求双曲线方程为x 212－y 28＝1.反思与感悟 待定系数法求方程的步骤(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴． (2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)． ②与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)共焦点的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－k －y 2b 2＋k ＝1(－b 2＜k ＜a 2)．(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值． (4)结论：写出双曲线的标准方程． 探究点3 双曲线定义的综合应用例3 已知A ，B 两地相距2000m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚4s ，且声速为340m/s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程．解 如图，建立直角坐标系xOy ，使A ，B 两点在x 轴上，并且坐标原点O 与线段AB 的中点重合．设爆炸点P 的坐标为(x ，y )， 则|P A |－|PB |＝340×4＝1 360. 即2a ＝1 360，a ＝680. 又|AB |＝2 000，所以2c ＝2 000，c ＝1 000，b 2＝c 2－a 2＝537 600. 因为|P A |－|PB |＝340×4＝1 360>0，所以x >0.因此炮弹爆炸点的轨迹(双曲线)的方程为x 2462 400－y 2537 600＝1(x >0)．反思与感悟 结合双曲线的定义，解决综合问题，诸如：实际应用题，焦点三角形问题等，要充分利用双曲线的定义、正弦定理、余弦定理等，利用化归思想，重点考查综合运用能力与求解能力．四、当堂测试1．平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是( )A.x 216－y 29＝1(x ≤－4) B.x 29－y 216＝1(x ≤－3) C.x 216－y 29＝1(x ≥4) D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 答案 D解析 |PF 1|－|PF 2|＝6<|F 1F 2|＝10，根据双曲线的定义可得D 正确． 2．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是( )A.12 B ．1或－2 C ．1或12D ．1答案 D解析 由于a ＞0,0＜a 2＜4，且4－a 2＝a ＋2，所以可解得a ＝1，故选D. 3．若方程x 210－k ＋y 25－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )A ．(5,10)B ．(－∞，5)C ．(10，＋∞)D ．(－∞，5)∪(10，＋∞) 答案 A解析 由题意得(10－k )(5－k )<0，解得5<k <10.4．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________.答案 16解析 由已知条件知m ＋9＝52，所以m ＝16.5．已知双曲线x 29－y 216＝1上一点M 的横坐标为5，则点M 到左焦点的距离是________．答案343解析 由于双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为F (5,0)，将x M ＝5，代入双曲线方程可得|y M |＝163，即为点M 到右焦点 的距离，由双曲线的定义知M 到左焦点的距离为163＋2×3＝343.五、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?(1)椭圆、双曲线的标准方程以及它们之间的区别与联系：程后，再运用待定系数法求解．求双曲线的标准方程也是从“定形”“定式”和“定量”三个方面去考虑．“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”是根据“形”设双曲线标准方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a ，b 的值．。
选修1-1双曲线性质导学案
5．求满足下列条件的双曲线方程： (1) 离心率为 54，半虚轴长为 2； (2) 与椭圆 x2＋ 5y2＝ 5 共焦点且一条渐近线方程为 y－ 3x＝ 0.
．
§1.3.2
双曲线的简单几何性质
当堂训练
1．双曲线 2x2－ y2＝ 8 的实轴长是 (
)
A． 2
B．22
C． 4
D． 42
2．双曲线 mx2＋ y2＝ 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m的值为 (
)
A．－ 14
B．－ 4
C． 4
D.14
3．若双曲线 x28－ y2m＝1 的渐近线方程为 y＝± 2x，则实数 m等于 ( )
A．4 B．8
C．16 D．32
4．若直线 x＝ a 与双曲线 x24－ y2＝ 1 有两个交点，则 a 的值可以是 (
)
A．4 B．2
C．1 D．－ 2
5．设 a>1，则双曲线的离心率 e 的取值范围是 ( )
§ 1.3.2
双曲线的简单几何性质
编制：曹树建
审核：陈李琼
学习目标：
1． 掌握双曲线的简单几何性质．
2． 了解双曲线的渐近性及渐近线的概念．
曲线的简单几何性质
学习难点： 双曲线的渐近性及渐近线
课前预习案
教材助读：
阅读教材 56-58 页的内容，思考并完成下列问题：
()
A.x24 － y212 ＝ 1
1
D.x26 －y210＝1
B.x212 － y24 ＝ 1
C.x210 － y26 ＝
3．双曲线的渐近线方程为 y＝± 34x，则双曲线的离心率是 ( )
A.54
B．2
C.54 或 53
高中数学 2.3.2双曲线的简单几何性质(2)导学案 新人教版选修1 1 学案
§双曲线的简单几何性质(2)1．从具体情境中抽象出椭圆的模型；2．掌握椭圆的定义；3．掌握椭圆的标准方程．一、课前准备（预习教材理P58~ P60，文P51~ P53找出疑惑之处）复习1：说出双曲线的几何性质?复习2：双曲线的方程为221 914x y-=，其顶点坐标是( )，( )；渐近线方程．二、新课导学※学习探究探究1：椭圆22464x y+=的焦点是？探究2：双曲线的一条渐近线方程是0x+=，则可设双曲线方程为？问题：若双曲线与22464x y+=有相同的焦点，它的一条渐近线方程是0x+=，则双曲线的方程是？※典型例题例1双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m ，上口半径为13m ，下口半径为25m ，高为55m ，试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程．例2点(,)M x y 到定点(5,0)F 的距离和它到定直线l :165x =的距离的比是常数54，求点M 的轨迹．例3过双曲线22136x y -=的右焦点，倾斜角为30的直线交双曲线于,A B 两点，求,A B 两点的坐标．变式：求AB ？思考：1AF B ∆的周长？※动手试试练1．若椭圆22214x y a +=与双曲线2212x y a -=的焦点相同，求a 的值.练2 ．若双曲线2214x y m-=的渐近线方程为y x =，求双曲线的焦点坐标．三、总结提升※学习小结1．双曲线的综合应用：与椭圆知识对比，结合；2．双曲线的另一定义；3．（理）直线与双曲线的位置关系．※ 知识拓展双曲线的第二定义： 1的点的轨迹是双曲线．※当堂检测1．若椭圆2212516x y +=和双曲线22145x y -=的共同焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个交点，则12PF PF •的值为 （ ）A ．212B ．84C ．3D ．21 2．以椭圆2212516x y +=的焦点为顶点，离心率为2的双曲线的方程（ ） A. 2211648x y -= B. 221927x y -= C. 2211648x y -=或221927x y -= D. 以上都不对 3．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的直线，交双曲线于P 、Q ，1F 是另一焦点，若∠12PFQ π=，则双曲线的离心率e 等于（ ）11+24．双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_______________________.5．方程22141x y k k+=--表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值X 围．※夯基达标( ) A.22124y x -= B.22142y x -= C.22146y x -= D.221410y x -= C :22221y x a b-=的焦距为10,点P (2,1)在C 的渐近线上,则C 的方程为( ) A.221205y x -= B.221520y x -= C.2218020y x -= D.2212080y x -= 3.已知双曲线C 的焦点、实轴端点恰好分别是椭圆2212516y x +=的长轴端点、焦点,则双曲线C 的渐近线方程为( )A.430x y ±=B.340x y ±=C.450x y ±=D.540x y ±=4.若双曲线实轴的长度、虚轴的长度和焦距成等差数列,则该双曲线的离心率是( )A.35B.45C.53D.54l过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|为C的实轴长的2倍,则C的离心率为( )D.36.若0<k<a,则双曲线22221yxa kb k-=-+与双曲线22221yxa b-=有( )B.相同的虚轴D.相同的渐近线7.求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)虚轴长为16,(2)顶点间距离为6,渐近线方程为32y x=±;(3)求与双曲线2212x y-=有公共渐近线,且过点M(2,-2)的双曲线方程.8．已知双曲线的焦点在x轴上，方程为22221x ya b-=，两顶点的距离为8，一渐近线上有点(8,6)A，试求此双曲线的方程．※能力提升9.设12F F ,分别为双曲线22221(0y x a a b-=>,b >0)在左、右焦点,若在双曲线右支上存在点P ,满足|2PF |=|12F F |,且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为( )A.340x y ±=B.350x y ±=C.430x y ±=D.540x y ±=10.已知12F F ,分别是双曲线22221y x a b-=(00)a b >,>的左、右焦点,过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ,B 两点,若△2ABF 是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值X 围是( )A.(1)+∞B.(11,+C.(1D.11.设圆过双曲线221916y x -=的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，求圆心到双曲线中心的距离。
高中数学(双曲线)学案 新人教版选修1-1 学案
22、双曲线 和椭圆 有共同的焦点，则 。
23、椭圆 与双曲线 焦点相同，则 。
24、以椭圆 =1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程是。
A、 =1B、 =1
C、 =1D、 =1
某某省某某首峰中学高中数学《双曲线》学案新人教版选修1-1
1、双曲线的两个焦点为 ， ，其上一点 满足 ，求双曲线的标准方程。
2、已知双曲线 上一点 到左右焦点的距离之比为1：2，那么点 到右焦点的距离是。
3、F1、F2为双曲线 的两个焦点，点P在双曲线上，且 ，则
A、2B、4
C、8D、16
4、到两定点 、 的距离之差的绝对值等于6的点 的轨迹是
A、椭圆B、线段
C、双曲线D、两条射线
5、已知F1、F2为定点， ，则动点A的轨迹是
A、焦点为F1，F2的双曲线B、不存在
C、以F1，F2为端点且方向相反且无公共点的两条直线D、以上都有可能
6、若方程 表示双曲线，则实数k的取值X围是。
7、方程 表示双曲线，则 的取值X围是
A、 B、
C、 或 D、
8、双曲线 =1的离心率为 ，则实数m的值为。
17、双曲线的离心率为2，经过点M（-2，3），则双曲线的标准方程是。
18、双曲线 =1的渐近线方程是
A、y=± x B、y=± x
C、y=± x D、y=± x
19、双曲线的一条渐近线是 ，一个焦点是 ，求双曲线的标准方程和离心率。
20、焦点为（0，6）且与双曲线 有相同渐近线的双曲线方程为。
思考：4题中，“焦点为（0，6）”改为“ ”，双曲线方程为。
14、中心在原点，一个顶点为A（-3，0），离心率为 的双曲线方程是
高中数学 2.3.2双曲线的简单几何性质(1)导学案 新人教版选修1-1(1)
§2.3.2双曲线的简单几何性质(1) 学习目标 1．理解并掌握双曲线的几何性质．学习过程一、课前准备：（预习教材理P 56~ P 58，文P 49~ P 51找出疑惑之处） 复习1：写出满足下列条件的双曲线的标准方程： ①3,4a b ==，焦点在x 轴上；②焦点在y 轴上，焦距为8，2a =．复习2：前面我们学习了椭圆的哪些几何性质？二、新课导学：※ 学习探究问题1：由椭圆的哪些几何性质出发，类比探究双曲线22221x y a b -=的几何性质?范围：x ： y ：对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称．顶点：（ ），（ ）．实轴，其长为 ；虚轴，其长为 ． 离心率：1ce a =>．渐近线： 双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为：0x y a b±=． 问题2：双曲线22221y x a b-=的几何性质? 图形：范围：x ： y ：对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称．顶点：（ ），（ ）实轴，其长为 ；虚轴，其长为 ．离心率：1c e a=>． 渐近线：双曲线22221y x a b-=的渐近线方程为： ． 新知:实轴与虚轴等长的双曲线叫 双曲线．※ 典型例题例1求双曲线2214925x y -=的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程．变式：求双曲线22916144y x -=的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．例2求双曲线的标准方程：⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；⑵离心率2e=，经过点(5,3)M-；⑶渐近线方程为23y x=±，经过点9(,1)2M-．※动手试试练1．求以椭圆22185x y+=的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程．练2．对称轴都在坐标轴上的等到轴双曲线的一个焦点是1(6,0)F-，求它的标准方程和渐近线方程．三、总结提升：※ 学习小结 双曲线的图形、范围、顶点、对称性、离心率、渐近线． ※ 知识拓展 与双曲线22221x y a b -=有相同的渐近线的双曲线系方程式为2222x y a b λ-= (0)λ≠ 学习评价※ 当堂检测1．双曲线221168x y -=实轴和虚轴长分别是（ ） A ．8、42 B ．8、22C ．4、42D ．4、222．双曲线224x y -=-的顶点坐标是 （ ）A ．(0,1)±B ．(0,2)±C ．(1,0)±D ．（2,0±）3．双曲线22148x y -=的离心率为 （ ） A ．1 B 23．24．双曲线2241x y -=的渐近线方程是 ．5．经过点(3,1)A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程是 ． 课后作业1．求焦点在y 轴上，焦距是16，43e =的双曲线的标准方程．2．求与椭圆2214924x y +=有公共焦点，且离心率54e =的双曲线的方程．。
人教课标版高中数学选修1-1《双曲线的简单几何性质》教学设计
选修1-12.2.2双曲线的简单几何性质一、教学目标 1.核心素养培养直观想象、逻辑推理、数学建模、数据分析素养 2.学习目标（1）类比椭圆的性质，能根据双曲线的标准方程，了解它的简单几何性质（范围、对称性、顶点、实轴长、虚轴长等）．（2）理解渐近线和离心率的定义、范围，掌握参数,,,a b c e 间的关系 （3）能运用双曲线的几何性质解决一些简单的问题． （4）了解直线与双曲线的位置关系 3.学习重点双曲线的几何性质． 4.学习难点双曲线性质的应用，渐近线的理解． 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务 任务1预习教材4953P P - ，类比椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的哪些性质?如何研究这些性质? 任务2 完成53P 的练习 2.预习自测1.已知双曲线2213x y m m-=的一个焦点为()2,0，则此双曲线的实轴长为（ ）A ．1B ．3C ．2D ．23 答案：C解析：考查双曲线简单几何性质.2. .已知双曲线()222103x y a a -=>的离心率为2，则a =（ ） A ．2 B ．62C ．52D ．1 答案：D解析：考查双曲线简单几何性质.3.椭圆222134x y n +=和双曲线222116x y n -=有共同的焦点，则双曲线的离心率为（ ） A ．415B ．53C ．43D ．不能确定 答案：B解析：考查双曲线简单几何性质. （二）课堂设计 1.知识回顾1.焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b-=>>，焦点()()12,0,,0F c F c -，其中222c a b =+；2.焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b-=>>，焦点()()120,,0,F c F c -其中222c a b =+.3.()0l y kx b C F x y 直线:,与圆锥曲线:,=+=相交于1122()()A x y B x y ,,,两点,则：222121212114AB k x x k x x x x =+-=+(+)- 或21212122211114AB y y y y y y k k=+-=+(+)- 2.问题探究问题探究一 双曲线的几何性质根据双曲线的标准方程()222210,0x y a b a b-=>>研究它的性质1．（1）从形的角度看：双曲线位于直线x a =和x a =-的外侧，即在不等式x a ≤-与x a ≥所表示的平面区域内.（2）从数的角度看：利用方程研究，双曲线上点的坐标满足222210x y a b -=≥，故22x a ≥，即x a ≤-或x a ≥；这说明双曲线在不等式x a ≤-或x a ≥与所表示的平面区域内.2. （1）从形的角度看：双曲线与椭圆一样，既是中心对称图形，也是轴对称图形．（2）从数的角度看：在双曲线方程中，以－x 、－y 代替x 、y 方程不变，因此双曲线是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图象；也是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心叫做双曲线的中心.3．双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的顶点，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的顶点是(,0)a ±，这两个顶点之间的线段叫做双曲线的实轴，它的长等于2a ,同时在另一条对称轴上作点()()120,,0,B b B b -，线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b ，a 、b 分别是双曲线的实半轴长和虚半轴长． 4. 双曲线()222210,0x y a b a b -=>>各支向外延伸时，与两条直线y ＝±b a x 逐渐接近，但永不相交，我们把这两条直线称为双曲线的渐近线，方程为y ＝±ba x. 5．双曲线的半焦距c 与实半轴长a 的比叫做双曲线的离心率，其取值范围是(1,)+∞．问题探究二 能运用双曲线的几何性质解决一些简单的问题例1.求双曲线22194x y -=的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．【知识点：双曲线的几何性质】详解：222229,4,13,3,2,13a b c a b a b c ===+====， 顶点()()123,0,3,0A A -，焦点()()1213,0,13,0F F -，实轴长26a =，虚轴长24b = 离心率133c e a ==， 在方程22194x y -=中将1换成0，得22094x y -=，即032x y±=． ∴23y x =±为双曲线的渐近线方程．变式引伸：已知双曲线的渐近线方程为43y x =±，并且焦点都在圆22100x y +=上，求双曲线方程．解法一：（1）当焦点在x 轴上时，设双曲线方程为22221x y a b-=，因为渐近线方程为43y x =±，则43b a =．又由焦点在圆22100x y +=上知10c =，所以222100a b c +==，可求得6a =，8b =．所求双曲线方程为2213664x y -=． （2）当焦点在y 轴上时，设双曲线方程为22221y x a b-=．由题设得22210043a b c a b ⎧+==⎪⎨=⎪⎩，解得：8,6a b ==．焦点在y 轴上时，双曲线方程为2216436y x -=． 综上所述，所求双曲线方程为2213664x y -=或2216436y x -=． 解法二：因为双曲线的渐近线方程为43y x =±．设双曲线方程为222234x y λ-=(0)λ≠． 又焦点都在圆22100x y +=上，所以2100c =．则22(3)(4)100λλ+=．解得4λ=±．所求双曲线方程为2222434x y -=±．即：2213664x y -=±． 点拔：双曲线与其渐近线的关系是：以0x ya b±=为渐近线的双曲线系方程为2222(0)x y a b λλ-=≠；双曲线2222(0)x y a b λλ-=≠的渐近线方程为0x y a b±=． 例2.求与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且经过点(3,23)M -的双曲线的方程．【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】详解：设所求双曲线方程为22(0)916x y λλ-=≠，由于双曲线过点(3,23)M -，有：22(3)(23)19164λ-=-=．故双曲线方程为2219164x y -=，即：221944x y -=． 点拔：与双曲线22221x y a b-=有共同渐近线的双曲线方程可设为2222(0)x y a b λλ-=≠的形式．当λ的值为正时，焦点在x 轴上，为负时焦点在y 轴上．例3.设双曲线22221x y a b-=(0)a b <<的半焦距为c ，直线l 过(,0)(0,)a b 、两点，且原点到直线l 的距离为34c ，求双曲线的离心率． 解：由直线l 过(,0)(0,)a b 、两点，得l 的方程为0bx ay ab +-=． 由点到l 的距离为34c ，得2234ab c a b=+．将22b c a =-代入，平方后整理得：2222216()1630a a c c -⨯+=．令22a x c=，则：2161630x x -+=，解得34x =或14x =． 由ce a =得，1e x =．故233e =或2e =． 因为0a b <<，故222212c a b b e a a a+===+>．所以应舍去233e =． 故所求离心率为2e =．点拔：此题易得出错误答案2e =或233e =，其原因是未注意到题设条件0a b <<，从而离心率2e >，而2323<，应舍去． 问题探究三 直线与双曲线的位置关系1.设直线方程为y kx m =+，双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，联立方程得22221y kx m x y a b =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并化简()22222222220b a k x a mkx a m a b ----=①当2220b a k -=，即bk a =±时，直线与渐近线平行，则直线与双曲线只有一个公共点.②当2220b a k -≠，即bk a ≠±时，0∆>⇔直线与双曲线相交⇔直线与双曲线有两个公共点； 0∆=⇔直线与双曲线相切⇔直线与双曲线有且只有一个公共点 0∆<⇔直线与双曲线相离⇔直线与双曲线无公共点 2.弦长问题设直线方程为y kx m =+，双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>于点()()111222,,P x y P x y 两点，则()()22121212PP x x y y =-+-()221212121y y x x x x ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥=-+ ⎪-⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()22121x x k =-+2121k x x =+-()22121214kx x x x =++-同理可得1212211PP y y k =+-()212122114y y y y k=++-()0k ≠3.双曲线的通径过双曲线的焦点且垂直于实轴的直线被双曲线截得的弦称为双曲线的通径，通径长为22b a.例4.过点(8,1)P 的直线与双曲线2244x y -=相交于A 、B 两点，且P 是线段AB 的中点，求直线AB 的方程．【知识点：双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系】详解一：设A 、B 的坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y ．则：221144x y -= ①222244x y -= ②①－②得：12121212()()4()()0x x x x y y y y +--+-=．∵Ｐ是线段AB 的中点， ∴121216,2x x y y +=+= ． ∴1212121224()y y x xx x y y -+==-+．∴直线AB 的斜率为2． ∴直线AB 的方程为12(8)y x -=-． 即2150x y --=．详解二：设A (,)x y ，则B (16,2)x y --． ∵A 、B 为双曲线上的点， ∴2244x y -= ①22(16)4(2)4x y ---= ②①－②得2321616160x y --+=． 整理得2150x y --=．例5.已知曲线C ：221x y -=及直线l ：1y kx =-． （1）若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；（2）若l 与C 交于A 、B 两点，O 是原点，且△OAB 的面积为2，求实数k 的值．【知识点：双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系】 详解：(1)曲线Ｃ与直线l 有两个不同的交点．则方程组2211x y y kx ⎧-=⎨=-⎩有两个不同的解，整理得：22(1)220k x kx -+-=，此方程必有两个不等的实根1x 、2x ．∴22210△48(1)0k k k ⎧-≠⎪⎨=+->⎪⎩． 解得22k -<<且1k ≠±时，曲线C 与直线l 有两个不同的交点． (2)设交点A 11(,)x y 、B 22(,)x y ，直线l 与y 轴交于点D （0,－1）．∴1221222121k x x k x x k -⎧+=⎪⎪-⎨-⎪⋅=⎪-⎩． ∵△△△121()2OAB OAD OBD S S S x x =+=+12122x x =-=．∴2212()(22)x x -=， 即22228811k k k-⎛⎫+= ⎪--⎝⎭．解得0k =或62k =±． 又∵22k -<<且1k ≠±，∴0k =或62k =±时，△OAB 的面积为2． 3.课堂总结 【知识梳理】椭圆、双曲线的标准方程的区别和联系双曲线的几何性质与椭圆的几何性质有不少相同或类似之处，要注意它们的区别与联系，不能混淆，列表如下 椭圆双曲线方程()2222+10,0x y a b a b=>> ()222210,0x y a b a b-=>> 图形范围 b y a ≤≤||,|x | R y a x ∈≥,||对称性对称轴：x 轴、y 轴对称中心：原点对称轴：x 轴、y 轴 对称中心：原点顶点 轴长 ,0,0(0,)0,a a b b （）、（）、（）--长轴长2a ，短轴长2b,0,0a a （）、（）-实轴长2a虚轴长2b离心率 ,(01)ce e a=<< ,(1)ce e a=>渐近线无 有两条，其方程为b y x a=±【重难点突破】 1．双曲线的渐近线(1)对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线的特有性质，画双曲线时应先画出它的渐近线．(2)要明确双曲线的渐近线是哪两条直线，过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，它们围成一个矩形，其两条对角线所在直线即为双曲线的渐近线．(3)“渐近”两字的含义：当双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近，接近的程度是无限的．(4)根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的方法：把标准方程中“1”用“0”替换得出的两条直线方程，即双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的渐近线方程为02222=-b y a x 即by x a =±；双曲线22221(0,0)y x a b a b -=>>的渐近线方程为22220y x a b -=，即a y x b=±. (5)渐近线是刻画双曲线的一个重要概念，根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程．渐近线为ny x m=的双曲线方程可设为：2222(0);x y m n λλ-=≠如果两条渐近线的方程为0Ax By ±=那么双曲线的方程可设为2222(0);A x B y m m -=≠与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线方程可设为.02222）（≠=-λλby a x 2．双曲线上两个重要的三角形(1)实轴端点、虚轴端点及对称中心构成一个直角三角形，边长满足222c a b =+称为双曲线的特征三角形．(2)焦点,F 过F 作渐近线的垂线，垂足为D ，则||,||,||,OF c FD b OD a OFD Δ===|亦是直角三角形，满足,||||||222OD FD OF +=也称为双曲线的特征三角形． 3．学习双曲线中应注意的几个问题：(1)双曲线是两支曲线，而椭圆是一条封闭的曲线； (2)双曲线只有两个顶点，离心率1e >；(3)等轴双曲线是一种比较特殊的双曲线，其离心率为2，实轴长与虚轴长相等，两条渐近线互相垂直；(4)注意双曲线中a b c e 、、、的等量关系与椭圆中a b c e 、、、的不同． 4.随堂检测1.已知双曲线221ax y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则a =（ ）A ．14-B ．4-C ．4D ．14答案：A解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】2.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线相互垂直，则双曲线的离心率为（ ）A．3 B．2C．5 2D．2 2答案：B解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】3.已知双曲线C的焦点、顶点恰好分别是椭圆2212516x y+=的长轴端点、焦点，则双曲线的渐近线方程为（）A．430x y±=B．340x y±=C．450x y±=D．540x y±=答案：A解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】4. 过双曲线2212yx-=的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若4AB=，则这样的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条．答案：C解析：【知识点：双曲线的几何性质，直线与双曲线的标准方程及几何性位置】5. 已知,,,a b c分别为双曲线的半实轴长、半虚轴长、半焦距，且方程20ax bx c++=无实根，则双曲线离心率e的取值范围是()A ． 152e <<-B ．12e <<C ．13e <<D ．152e <<+ 答案：D解析：【知识点：双曲线的几何性质】 由已知，04b 2<-=∆ac2222c 40,()4()10,410.c ca ac e e a a ∴--<∴--<--<即2525,1,125e e e ∴-<<+><<+又故.（三）课后作业 基础型 自在突破1.双曲线221916x y -=的一个焦点到一条渐近线的距离等于( ) A.3 B.3 C.4 D.2 答案：C解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】2．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22144x y -=B ．22144y x -=C ．22148y x -=D ．22184x y -= 答案：B解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】3．双曲线与椭圆2211664x y +=有相同的焦点，它的一条渐近线为y x =-，则双曲线的方程为（ ） A ．2296x y -= B ．22160y x -= C ．2280x y -=D ．2224y x -= 答案：D解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质，椭圆的几何性质】4．中心在原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为（ ）A ．54y x =±B ．45y x =±C ．43y x =±D ．34y x =±答案：D解析：【知识点：双曲线的几何性质】5. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线均和圆22:650C x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A. 22154x y -=B.22145x y -= C.22136x y -=D. 22163x y -= 答案：A解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质，圆的几何性质】6．双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两焦点分别为12F F 、，以12F F 为边作等边三角形，若双曲线恰平分三角形的另两边，则双曲线的离心率为( ) A ．1＋ 3B ．4＋2 3C ．23－2D ．23＋2解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】 答案：A 能力型 师生共研7．设12F F 、分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近方程为( ) A ．450x y ±= B ．340x y ±= C ．430x y ±= D ．540x y ±= 答案：C解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】8.双曲线221x y -=与直线y kx =没有公共点，则k 的取值范围是______________． 答案： 11k k ≤-≥或解析：【知识点：直线与双曲线的位置关系】9.设1a >，则双曲线()222211x y a a -=+的离心率的取值范围是_________. 答案：25e <<解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】10.求与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且经过点(3,23)M -的双曲线的方程．答案：见解析解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】设所求双曲线方程为22(0)916x y λλ-=≠，由于双曲线过点(3,23)M -，有： 22(3)(23)19164λ-=-=．故双曲线方程为2219164x y -=，即：221944x y -=． 探究型 多维突破11. 已知F 1和F 2是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左，右焦点，P 在双曲线右支上，且124PF PF =，求双曲线的离心率的取值范围． 答案：见解析解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】点P 在双曲线右支上，故有1212||||2,||4||,PF PF a PF PF 又-==所以21121228||,||.||||||,33a aPF PF PF PF F F ==+≥当且仅当三点共线时取等号．所以28102,333a a a c +=≥即53c a ≤，双曲线的离心率1e >.所以双曲线离心率的取值范围为]351，（.12. 设双曲线C ：2221x y a-=（0a >）与直线l ：1x y +=相交于不同的两点A 、B ．(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围； (2)设直线l 与y 轴的交点为P ，且512PA PB =．求a 的值． 答案：见解析解析：【知识点：直线与双曲线的位置关系】(1)由C 与直线l 相交于不同的两点A 、B 得方程：22211x y a x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩有两个不同的实数解．消去y 并整理得2222(1)220a x a x a -+-=． ①所以22221048(1)0a a a a ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩解得02a <<且1a ≠． 双曲线的离心率22111a e a a +==+． ∵02a <<且1a ≠，∴62e >且2e ≠． (2)设11(,)A x y ，22(,)B x y ，(0,1)P ．∵512PA PB =， ∴11225(,1)(,1)12x y x y -=-由此得12512x x =．由于1x 、2x 是方程①的两根，且210a -≠，所以222172121a x a =--，222252121a x a=--． 消去2x 得222289160a a -=-， 由0a >得1713a =．(四) 自助餐1．双曲线2233x y -=的渐近线方程是（ ） A ．3y x =±B ．13y x =±C ．3y x =±D ．33y x =± 答案：C解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】2． 已知点P 在双曲线221916x y -=上，则P 到双曲线焦点距离的最小值是（ ）A ．9B ．3C ．2D ．无最大值和最小值 答案：C解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】3．经过点1(,2)2P 且与双曲线2241x y -=仅有一个公共点的直线有（ ）A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 答案：A解析：【知识点：直线与双曲线的位置关系】4. 若双曲线221x y -=的右支上一点(,)P a b 到直线y x =的距离为2，则a b +的值为（ ）A ．12-B．1 2C．1 2±D．2±答案：B解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】5. 双曲线2214x yb+=的离心率e∈(1,2)，则b的取值范围是（）A．012b<<B．102b-<<-C．120b-<<D．80b-<<答案：C解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】6．已知双曲线22221x ya b-=(0,0)a b>>的离心率152e+=，A与F分别是左顶点和右焦点，B点的坐标为(0,)b，则∠ABF等于（）A．120B．90C．60D．30答案：B解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】7.若过双曲线2213yx-=的右焦点2F，作直线l与双曲线的两支都相交，则直线l的倾斜角α的取值范围是______________.答案：233,,⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭πππ解析：【知识点：直线与双曲线的位置关系】8.双曲线221169x y -=上有点P ，1F 、2F 是双曲线的焦点，且123F PF π∠=，则△12F PF 的面积是__________． 答案：93解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】9．已知PQ 为过双曲线的一个焦点F 且垂直于实轴的弦，F '是另一个焦点，若90PF Q '∠=，则双曲线的离心率为__________．答案：12+解析：【知识点：双曲线的几何性质】10.若双曲线的渐近线方程为230x y ±=，且两顶点间的距离为6，求该双曲线的标准方程. 答案：见解析解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】设所求双曲线方程为()22094x y λλ-=≠ 分00λλ><与讨论，焦点在x 轴上双曲线标准方程为22194x y -=，焦点在y 轴上双曲线标准方程为2241981y x -= 11．已知双曲线的中心在原点，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率为2，且过点(4,10)-．（1）求此双曲线的方程；（2）若直线系30kx y k m --+=（k 为参数）所过定点Ｍ恰在双曲线上，求证：12F M F M ⊥．答案：见解析解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质，直线与椭圆的位置关系】 ①2222222212c a b b e a a a +===+=， ∴1b a=．设双曲线的方程为22x y λ-=． ∵点(4,10)-在双曲线上，∴24106λ=-=．∴双曲线的方程为：226x y -=．②证明：直线系方程为：(3)()0k x m y -+-=过定点(3,)M m ．∵M 在双曲线上，∴2236m -=， ∴3m =±．∴(3,3)M ±． 又∵双曲线的焦点为1(23,0)F -、2(23,0)F ．∴121F M F M k k ⋅=-， ∴12F M F M ⊥．12．已知直线1y ax =+与双曲线2231x y -=交于A 、B 两点．（1）若以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值；（2）是否存在这样的实数a ，使A 、B 两点关于直线12y x =对称？若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．答案：见解析解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质，直线与椭圆的位置关系】 （1）由22131y ax x y =+⎧⎨-=⎩消去y 得： 22(3)220a x ax ---= ①依题意得：230△0a ⎧-≠⎨>⎩，解得：66a -<<且3a ≠± ②设11(,)A x y 、22(,)B x y ，则：1221222③32④3a x x a x x a ⎧+=⎪⎪-⎨-⎪•=⎪-⎩∵以AB 为直径的圆过坐标原点．∴OA ⊥OB ． ∴12120x x y y += ⑤2121212()1y y a x x a x x =+++．由③④⑤得：22222(1)1033a a a a a -+⋅+⋅+=--． 解得1a =±满足②∴1a =±(2)假设存在实数a ，使A 、B 两点关于直线12y x =对称．则直线1y ax =+与12y x =垂直． ∴112a ⋅=-，即2a =-．直线l 的方程为21y x =-+． 将2a =-代入③得124x x +=．∴A 、B 中点的横坐标为2，纵坐标为2213y =-⨯+=-．但A 、B 中点（2，－3）不在直线12y x =上． 故不存在实数a ，使A 、B 两点关于直线12y x =对称． 三、 数学视野回顾椭圆定义的拓展，我们在教材第46页双曲线标准方程的推导过程中，对()()2222x c y x c y a ++--+=±和()()22222222c a x a y a c a --=-分别进行变形整理，类似可以得到.双曲线的第二定义：点P 满足,1,PF e e F l d=>∉，则P 点的轨迹为椭圆.其中F 为定点，l 为定直线，e 为离心率，d 为点P 到直线l 的距离.双曲线的第三定义：点P 满足21,1PA PB k k e e ⋅=->，则P 点的轨迹为椭圆，其中,k k分别表示点P与两定点A,B连线的斜率，e为离心率. PA PB。
高中数学选修1-1优质学案：第1课时 双曲线的简单几何性质
2.2.2 双曲线的简单几何性质第1课时双曲线的简单几何性质学习目标1.了解双曲线的简单性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质．知识点一双曲线的几何性质知识点二等轴双曲线思考在双曲线标准方程中，若a＝b，其渐近线方程是什么？[答案]y＝±x.梳理实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x.1．双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点．(×) 2．双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔．(√)3．方程y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±ba x.(×)4．等轴双曲线的离心率为 2.(√)类型一 双曲线的几何性质例1 求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．考点 双曲线的几何性质题点 由双曲线的方程研究几何性质 解 将9y 2－4x 2＝－36化为标准方程x 29－y 24＝1，即x 232－y 222＝1，∴a ＝3，b ＝2，c ＝13. 因此顶点为A 1(－3,0)，A 2(3,0)， 焦点为F 1(－13，0)，F 2(13，0)， 实轴长2a ＝6，虚轴长2b ＝4， 离心率e ＝c a ＝133，渐近线方程为y ＝±b a x ＝±23x .反思与感悟 讨论双曲线的几何性质，先要将双曲线方程化为标准形式，然后根据双曲线两种形式的特点得到几何性质．跟踪训练1 求双曲线x 2－3y 2＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率．考点 双曲线的几何性质题点 由双曲线的方程研究几何性质 解 将方程x 2－3y 2＋12＝0化为标准方程y 24－x 212＝1，∴a 2＝4，b 2＝12，∴a ＝2，b ＝23， ∴c ＝a 2＋b 2＝16＝4.∴双曲线的实轴长2a ＝4，虚轴长2b ＝4 3.焦点坐标为F 1(0，－4)，F 2(0,4)，顶点坐标为A 1(0，－2)，A 2(0,2)，渐近线方程为y ＝±33x ，离心率e ＝2.类型二 由双曲线的几何性质求标准方程例2 求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)以直线2x ±3y ＝0为渐近线，过点(1,2)；(2)与双曲线y 24－x 23＝1具有相同的渐近线，且过点M (3，－2)；(3)过点(2,0)，与双曲线y 264－x 216＝1离心率相等；(4)与椭圆x 225＋y 216＝1有公共焦点，离心率为32.考点 双曲线性质的应用 题点 由双曲线的几何性质求方程解 (1)方法一 由题意可设所求双曲线方程为4x 2－9y 2＝λ(λ≠0)，将点(1,2)的坐标代入方程解得λ＝－32.因此所求双曲线的标准方程为y 2329－x 28＝1.方法二 由题意可设所求双曲线方程为x 2m －y 2n＝1(mn >0)．由题意，得⎩⎨⎧1m －4n＝1，n m ＝49，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－8，n ＝－329.因此所求双曲线的标准方程为y 2329－x 28＝1.(2)设所求双曲线方程为y 24－x 23＝λ(λ≠0)．由点M (3，－2)在双曲线上，得44－93＝λ，λ＝－2.故所求双曲线的标准方程为x 26－y 28＝1.(3)当所求双曲线的焦点在x 轴上时，可设其方程为x 264－y 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝116，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1；当所求双曲线的焦点在y 轴上时，可设其方程为y 264－x 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－14<0(舍去)．综上可知，所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.(4)方法一 由椭圆方程可得焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，即c ＝3且焦点在x 轴上． 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．因为e ＝1＝c a ＝32，所以a ＝2，则b 2＝c 2－a 2＝5，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1.方法二 因为椭圆焦点在x 轴上，所以可设双曲线的标准方程为x 225－λ－y 2λ－16＝1(16<λ<25)．因为e ＝32，所以λ－1625－λ＝94－1，解得λ＝21.故所求双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1.反思与感悟 (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式． (2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧．①焦点在x 轴上的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．②焦点在y 轴上的双曲线的标准方程可设为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．③与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－λ－y 2b 2＋λ＝1(λ≠0，－b 2<λ<a 2)．④与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．⑤渐近线为y ＝kx 的双曲线方程可设为k 2x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ⑥渐近线为ax ±by ＝0的双曲线方程可设为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)． 跟踪训练2 求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在x 轴上，虚轴长为8，离心率为53；(2)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分； (3)焦点在x 轴上，离心率为2，且过点(5,4)． 考点 双曲线性质的应用 题点 由双曲线的几何性质求方程 解 (1)由题意知，2b ＝8，c a ＝53，又c 2＝a 2＋b 2，∴a ＝3，b ＝4， 故双曲线方程为x 29－y 216＝1.(2)由题意知，2a ＝6,2c ＝4a ＝12， 又b 2＝c 2－a 2， ∴a 2＝9，b 2＝27，∴双曲线方程为x 29－y 227＝1或y 29－x 227＝1.(3)∵ca＝2，∴双曲线为等轴双曲线，则可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ>0)， 将点(5,4)代入双曲线方程，得λ＝9， ∴双曲线方程为x 29－y 29＝1.类型三 与双曲线有关的离心率问题 命题角度1 求双曲线离心率的值例3 双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为( ) A ．2或233B ．2 C.233D. 3考点 双曲线的几何性质 题点 求双曲线的离心率 [答案] A[解析] 因为双曲线的两条渐近线的夹角为60°，所以有以下两种情况(以焦点在x 轴上为例)：(1)如图①所示，其中一条渐近线的倾斜角为60°；(2)如图②所示，其中一条渐近线的倾斜角为30°.所以该渐近线的斜率为k ＝3或k ＝33.当双曲线焦点在x 轴上时， 有b a ＝3或b a ＝33. 因为b 2＝c 2－a 2，所以c 2－a 2a 2＝3或c 2－a 2a 2＝13，所以e 2＝4或e 2＝43，得e ＝2或e ＝233；同理，当双曲线焦点在y 轴上时， 则a b ＝3或a b ＝33， 所以b a ＝33或ba ＝ 3.同理可得e ＝233或e ＝2.故选A.反思与感悟 求双曲线离心率的常见方法 (1)依据条件求出a ，c ，再计算e ＝ca.(2)依据条件建立参数a ，b ，c 的关系式，一种方法是消去b 转化为离心率e 的方程求解，另一种方法是消去c 转化成含b a 的方程，求出ba后，利用e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2求解．跟踪训练3 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过A (a,0)，B (0，b )两点，且原点到直线l 的距离为34c .则双曲线的离心率为________． 考点 双曲线的几何性质 题点 求双曲线的离心率 [答案] 2[解析] 如图所示，在△OAB 中， |OA |＝a ，|OB |＝b ，|OE |＝34c ， |AB |＝a 2＋b 2＝c .因为|AB |·|OE |＝|OA |·|OB |， 所以c ·34c ＝ab ，即34(a 2＋b 2)＝ab ， 两边同除以a 2，得34⎝⎛⎭⎫b a 2－b a ＋34＝0， 解得b a ＝3或b a ＝33(舍去)．所以e ＝c a＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝2.命题角度2 求离心率的取值范围例4 已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2为钝角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为( ) A ．(1，＋∞) B ．(2＋1，＋∞) C ．(1，2＋1) D ．(1，3)考点 双曲线的几何性质 题点 求双曲线离心率的取值范围 [答案] B[解析] 由题设条件可知△ABF 2为等腰三角形，且AF 2＝BF 2， 只要∠AF 2B 为钝角即可．由题设可得AF 1＝b 2a ，所以有b 2a >2c ，即2ac <c 2－a 2，解得e ∈(1＋2，＋∞)． 故选B.反思与感悟 求离心率的取值范围技巧 (1)根据条件建立a ，b ，c 的不等式；(2)通过解不等式得c a 或ba的取值范围，求得离心率的取值范围．跟踪训练4 若在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右支上到原点O 和右焦点F 距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围为________． 考点 双曲线的几何性质 题点 求双曲线离心率的取值范围 [答案] (2，＋∞)[解析] 由于到原点O 和右焦点F 距离相等的点在线段OF 的垂直平分线上，其方程为x ＝c2.依题意，在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，所以直线x ＝c 2与右支有两个交点，故应满足c 2>a ，即ca>2，得e >2.1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2B ．22C ．4D ．4 2考点 双曲线的几何性质题点 由双曲线的方程研究几何性质[答案] C[解析] 双曲线的标准方程为x 24－y 28＝1，故实轴长为4.2．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是( )A.x 225－y 29＝1B.x 225－y 29＝1或y 225－x 29＝1C.x 2100－y 236＝1D.x 2100－y 236＝1或y 2100－x 236＝1考点 双曲线性质的应用题点 由双曲线的几何性质求方程[答案] B[解析] 由题意知，a ＝5，b ＝3，∴双曲线标准方程为x 225－y 29＝1或y 225－x 29＝1.3．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1(a >0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于() A.3414B.324 C.32D.43考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线的离心率[答案] C[解析] 由题意知a 2＋5＝9, 解得a ＝2，则e ＝c a ＝32.4．双曲线x 2－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )A.22B.12C ．1 D. 2考点 双曲线的几何性质题点 由双曲线的方程研究几何性质[答案] A[解析] 双曲线x 2－y 2＝1的顶点坐标为(±1,0)，渐近线y ＝±x ，所以x ±y ＝0，所以顶点到渐近线的距离为d ＝|±1±0|2＝22. 5．已知双曲线x 29－y 2m＝1的一个焦点在直线x ＋y ＝5上，则双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±34x B ．y ＝±43x C ．y ＝±223x D ．y ＝±324x 考点 双曲线性质的应用题点 以离心率或渐近线为条件的简单问题[答案] B[解析] 根据题意，双曲线的方程为x 29－y 2m＝1，则其焦点在x 轴上，直线x ＋y ＝5与x 轴交点的坐标为(5,0)，则双曲线的焦点坐标为(5,0)，则有9＋m ＝25，解得m ＝16，则双曲线的方程为x 29－y 216＝1，其渐近线方程为y ＝±43x ，故选B.1．渐近线是双曲线特有的性质，两方程联系密切，把双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)右边的常数“1”换为“0”，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax ±by ＝0变为a 2x 2－b 2y 2＝λ，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程．2．准确画出几何图形是解决[解析]几何问题的第一突破口．利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形．。
高中数学选修1-1学案：2 2(第二课时)双曲线的几何性质学案
§2.2.2双曲线的简单几何性质学习目标（1）理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；（2）掌握双曲线的标准方程。
【重点难点】重点：双曲线的几何性质 难点：双曲线的渐近线学习过程一、 课前预习1、双曲线k y x 222=-的焦距是6，求k 。
2、椭圆的几何性质二、探究互动双曲线的简单几何性质①范围：由双曲线的标准方程得，222210y xb a=-≥，进一步得：．这说明双曲线在不等式所表示的区域；②对称性：双曲线是以轴和轴为对称轴，为称中心；③顶点：双曲线有个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做，焦点不在的对称轴叫做。
④渐近线：直线叫做双曲线22221x ya b-=的渐近线；⑤离心率：双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率（1e>）．※ 典型例题例 3：求双曲线22916144y x -=的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．练习1：求双曲线22nx my mn -=(0,0)m n >>的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．练习2：求适合下列条件的双曲线的标准方程 （1）虚轴长为12，离心率为54（2）求与双曲线2y 2x 22=-有公共渐近线，且过点M(2,-2)的双曲线方程.例4：双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图（1），它的最小半径为12m ，上口半径为13m ，下口半径为25m ，高为55m ．试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程（各长度量精确到1m ）．例5：如图，设(),M x y 与定点()5,0F 的距离和它到直线l ：165x =的距离的比是常数54，求点M 的轨迹方程．三．巩固提升1．已知双曲线方程如下，求它们的两个焦点、离心率e 和渐近线方程． ⑴22169144x y -=； ⑵22169144x y -=-2．求双曲线的标准方程：⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；⑵焦距是10，虚轴长是8，焦点在y轴上；3．求以椭圆22185x y+=的焦点为顶点，而以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程。
苏教版数学高二选修1-1学案 2.3.2 双曲线的几何性质
2.3.2双曲线的几何性质学习目标 1.了解双曲线的几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质.知识点一双曲线的几何性质思考类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的哪些几何性质？答案范围、对称性、顶点、离心率、渐近线.梳理标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－a y≥a或y≤－a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)知识点二双曲线的离心率思考在椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征，怎样描述双曲线的“张口”大小呢？答案双曲线x2a2－y2b2＝1的各支向外延伸逐渐接近渐近线，所以双曲线的“张口”大小取决于b a 的值，设e ＝c a ，则ba ＝c 2－a 2a＝e 2－1. 当e 的值逐渐增大时，ba的值增大，双曲线的“张口”逐渐增大.梳理 定义：双曲线的焦距与实轴长的比e ＝ca ，叫做双曲线的离心率.性质：离心率e 的取值范围是(1，＋∞).e 越大，双曲线的张口越大. 知识点三 双曲线的相关概念实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线方程是y ＝±x ，离心率为 2.1.等轴双曲线的离心率是1.( × )2.椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同.( × )3.双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点.( × )4.方程y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax .( × )类型一 已知双曲线的标准方程研究几何性质例1 求双曲线x 2－3y 2＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率.考点 双曲线的几何性质题点 由双曲线的方程研究几何性质 解 将方程x 2－3y 2＋12＝0化为标准方程为y 24－x 212＝1，∴a 2＝4，b 2＝12，∴a ＝2，b ＝23， ∴c ＝a 2＋b 2＝16＝4，∴双曲线的实轴长为2a ＝4，虚轴长为2b ＝43；焦点坐标为F 1(0，－4)，F 2(0,4)；顶点坐标为A 1(0，－2)，A 2(0,2)；渐近线方程为y ＝±33x ；离心率e ＝2.反思与感悟 已知双曲线方程求其几何性质时，若不是标准方程的要先化成标准方程，确定方程中a ，b 的对应值，利用c 2＝a 2＋b 2得到c ，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质.跟踪训练1 求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.考点 双曲线的几何性质题点 由双曲线的方程研究几何性质 解 将9y 2－4x 2＝－36变形为x 29－y 24＝1，即x 232－y 222＝1，∴a ＝3，b ＝2，c ＝13， 因此顶点坐标为(－3,0)，(3,0)； 焦点坐标为(－13，0)，(13，0)； 实轴长是2a ＝6，虚轴长是2b ＝4； 离心率e ＝c a ＝133；渐近线方程为y ＝±b a x ＝±23x .类型二 由双曲线的几何性质确定标准方程 例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x ；(3)求与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)的双曲线方程. 考点 双曲线性质的应用 题点 由双曲线的几何性质求方程解 (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0).由题意知2b ＝12，c a ＝54，且c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8，∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)设以y ＝±32x 为渐近线的双曲线方程为x 24－y 29＝λ(λ≠0).当λ>0时，a 2＝4λ，∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝94；当λ<0时，a 2＝－9λ，∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1.∴双曲线的标准方程为x 29－y 2814＝1或y 29－x 24＝1.(3)设与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x 22－y 2＝λ(λ≠0).将点(2，－2)代入双曲线方程， 得λ＝222－(－2)2＝－2，∴双曲线的标准方程为y 22－x 24＝1.反思与感悟 (1)求双曲线的标准方程的步骤：①确定或分类讨论双曲线的焦点所在的坐标轴；②设双曲线的标准方程；③根据已知条件或几何性质列方程，求待定系数；④求出a ，b ，写出方程.(2)①与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－λ－y 2b 2＋λ＝1(λ≠0，－b 2<λ<a 2)；②与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；③渐近线方程为ax ±by ＝0的双曲线方程可设为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0). 跟踪训练2 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点为(0,13)，且离心率为135；(2)双曲线过点(3,92)，离心率e ＝103； (3)渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点A (2，－3).考点 双曲线性质的应用 题点 由双曲线的几何性质求方程解 (1)依题意可知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13， 又c a ＝135，∴a ＝5，b ＝c 2－a 2＝12，故所求双曲线的标准方程为y 225－x 2144＝1.(2)由e 2＝109，得c 2a 2＝109，设a 2＝9k (k >0)，则c 2＝10k ，b 2＝c 2－a 2＝k .∴设所求双曲线方程为x 29k －y 2k ＝1，①或y 29k －x 2k＝1.② 将(3,92)代入①，得k ＝－161，与k >0矛盾，无解； 将(3,92)代入②，得k ＝9.故所求双曲线的标准方程为y 281－x 29＝1.(3)方法一 ∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，若焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则b a ＝12.①∵A (2，－3)在双曲线上，∴4a 2－9b 2＝1.②联立①②，无解.若焦点在y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a b ＝12.③∵A (2，－3)在双曲线上，∴9a 2－4b 2＝1.④联立③④，解得a 2＝8，b 2＝32. 故所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.方法二 由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设双曲线方程为x 222－y 2＝λ(λ≠0).∵A (2，－3)在双曲线上， ∴2222－(－3)2＝λ，即λ＝－8. 故所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.类型三 求双曲线的离心率例3 分别求适合下列条件的双曲线的离心率： (1)双曲线的渐近线方程为y ＝±32x ；(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，且原点到直线l 的距离为34c . 考点 双曲线的几何性质 题点 求双曲线的离心率解 (1)若焦点在x 轴上，则b a ＝32，∴e ＝b 2a 2＋1＝132； 若焦点在y 轴上，则a b ＝32，即b a ＝23，∴e ＝b 2a 2＋1＝133. 综上可知，双曲线的离心率为132或133. (2)依题意得直线l ：bx ＋ay －ab ＝0. 由原点到l 的距离为34c ，得aba 2＋b 2＝34c ， 即ab ＝34c 2，∴16a 2b 2＝3(a 2＋b 2)2， 即3b 4－10a 2b 2＋3a 4＝0， ∴3⎝⎛⎭⎫b 2a 22－10×b 2a 2＋3＝0. 解得b 2a 2＝13或b 2a2＝3.又∵0<a <b ，∴b 2a2＝3，∴e ＝1＋b 2a2＝2. 反思与感悟 求双曲线的离心率，通常先由题设条件得到a ，b ，c 的关系式，再根据c 2＝a 2＋b 2，直接求a ，c 的值.而在解题时常把c a 或b a 视为整体，把关系式转化为关于c a 或ba 的方程，解方程求之，从而得到离心率的值.同时也要注意问题中条件对离心率的限制，以保证问题结果的准确性.跟踪训练3 (1)若双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则双曲线的离心率为________.考点 双曲线的几何性质答案 54或53解析 若焦点在x 轴上，则b a ＝34，∴e ＝b 2a 2＋1＝54； 若焦点在y 轴上，则a b ＝34，即b a ＝43，∴e ＝b 2a 2＋1＝53. 综上可知，双曲线的离心率为54或53.(2)已知双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点坐标为(3,0)，则该双曲线的离心率e ＝________.考点 双曲线的几何性质 题点 求双曲线的离心率 答案 32解析 因为双曲线的右焦点坐标为(3,0)， 所以c ＝3，b 2＝5，则a 2＝c 2－b 2＝9－5＝4， 所以a ＝2，所以e ＝c a ＝32.1.双曲线的一个顶点坐标为(－1,0)，一条渐近线方程为y ＝－2x ，则双曲线方程为____________.考点 双曲线性质的应用 题点 由双曲线的几何性质求方程 答案x 2－y 24＝1 解析 由题意知a ＝1，又ba ＝2，∴b ＝2，∴双曲线方程为x 2－y 24＝1. 2.设双曲线x 2a ＋y 29＝1的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a ＝________.题点 以离心率或渐近线为条件的简单问题 答案 －4解析 ∵方程表示双曲线， ∴a <0，标准方程为y 29－x 2－a ＝1，∴渐近线方程为y ＝±3－ax ， ∴3－a＝32，解得a ＝－4. 3.如果双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为________.考点 双曲线的几何性质 题点 求双曲线的离心率 答案2解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，由题意得 ba ×⎝⎛⎭⎫－b a ＝－1， 即b 2a2＝1，所以e ＝1＋b 2a2＝ 2. 4.若双曲线x 24－y 2m ＝1的渐近线方程为y ＝±32x ，则双曲线的焦点坐标是________.考点 双曲线性质的应用题点 以离心率或渐近线为条件的简单问题 答案 (±7，0)解析 由渐近线方程为y ＝±m 2x ＝±32， 得m ＝3，所以c ＝7，且焦点在x 轴上. 所以双曲线的焦点坐标为(±7，0).5.设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为________.考点 双曲线的几何性质题点 由双曲线的方程研究几何性质答案 y ＝±22x 解析 ∵2b ＝2,2c ＝23，∴b ＝1，c ＝3， 则a ＝c 2－b 2＝2，∴b a ＝22.故双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .1.渐近线是双曲线特有的性质，两方程联系密切，把双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右边的常数“1”换为“0”，就是渐近线方程.反之由渐近线方程ax ±by ＝0变为a 2x 2－b 2y 2＝λ，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程.2.准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口.对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质.利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形.一、填空题1.若双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m 的值为________. 考点 双曲线的几何性质题点 由双曲线的方程研究几何性质 答案 －14解析 双曲线的标准方程为y 2－x 2－1m＝1， ∴a 2＝1，b 2＝－1m.由题意得b 2＝4a 2，∴－1m ＝4，∴m ＝－14.2.双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为________.考点 双曲线的几何性质题点 由双曲线的方程研究几何性质答案 23解析 ∵双曲线x 24－y 212＝1的一个焦点坐标为F (4,0)，其中一条渐近线方程为y ＝3x ，∴点F (4,0)到3x －y ＝0的距离为432＝2 3.3.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程是________. 考点 双曲线性质的应用 题点 由双曲线的几何性质求方程 答案 y 24－x 24＝1解析 由题意得2a ＋2b ＝22c ，即a ＋b ＝2c ，又因为a ＝2，所以b ＝2c －2，所以c 2＝a 2＋b 2＝4＋b 2＝4＋(2c －2)2，即c 2－42c ＋8＝0，所以c ＝22，b ＝2，所求的双曲线的标准方程是y 24－x 24＝1.4.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线方程为y ＝±33x ，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线的方程为____________. 考点 双曲线性质的应用 题点 由双曲线的几何性质求方程 答案 x 24－y 243＝1解析 双曲线的右顶点为(a,0)，一条渐近线为x ＋3y ＝0， ∴1＝a1＋(3)2＝a2，∴a ＝2. 又b a ＝33，∴b ＝233， ∴双曲线的方程为x 24－y 243＝1.5.若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为________.考点 双曲线的几何性质 题点 求双曲线的离心率答案 53解析 ∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(3，－4)，∴3b ＝4a ， ∴9(c 2－a 2)＝16a 2，∴e ＝c a ＝53. 6.已知双曲线的离心率为2，则双曲线的两条渐近线的夹角为________.考点 双曲线性质的应用题点 以离心率或渐近线为条件的简单问题答案 90°解析 由c a ＝2，得c 2a 2＝2. 又c 2＝a 2＋b 2，∴a 2＝b 2，即a ＝b ，∴双曲线的两条渐近线的夹角为90°.7.与双曲线x 2－y 24＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的标准方程是________________. 考点 双曲线性质的应用题点 由双曲线的几何性质求方程答案 x 23－y 212＝1 解析 设所求双曲线的标准方程为x 2－y 24＝λ. 将点(2,2)代入，可得λ＝3，∴双曲线的标准方程为x 23－y 212＝1. 8.F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A ，B 两点.若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为________. 考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线的离心率答案 7 解析 如图，由双曲线定义得，BF 1－BF 2＝AF 2－AF 1＝2a ，因为△ABF 2是正三角形，所以BF 2＝AF 2＝AB ，因此AF 1＝2a ，AF 2＝4a ，且∠F 1AF 2＝120°，在△F 1AF 2中，4c 2＝4a 2＋16a 2＋2×2a ×4a ×12＝28a 2，所以e ＝7.9.已知双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 作平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________.考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线位置关系答案 3215解析 由题意求出双曲线中a ＝3，b ＝4，c ＝5，则双曲线渐近线方程为y ＝±43x ， 不妨设直线BF 斜率为43， 可求出直线BF 的方程为4x －3y －20＝0，(*)将(*)式代入双曲线方程解得y B ＝－3215， 则S △AFB ＝12AF ·|y B |＝12(c －a )·3215＝3215. 10.若在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右支上到原点O 和右焦点F 距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围为________.考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线离心率的取值范围答案 (2，＋∞)解析 由于到原点O 和右焦点F 距离相等的点在线段OF 的垂直平分线上，其方程为x ＝c 2.依题意，在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，所以直线x ＝c 2与右支有两个交点，故应满足c 2>a ，即c a>2，得e >2. 二、解答题 11.已知双曲线的一条渐近线方程为x ＋3y ＝0，且与椭圆x 2＋4y 2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程.考点 双曲线性质的应用题点 由双曲线的几何性质求方程解 由椭圆方程为x 264＋y 216＝1，可知椭圆的焦距为8 3. ①当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝48，b a ＝33， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝36，b 2＝12. ∴双曲线的标准方程为x 236－y 212＝1. ②当双曲线的焦点在y 轴上时， 设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝48，a b ＝33， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝12，b 2＝36. ∴双曲线的标准方程为y 212－x 236＝1. 由①②可知，双曲线的标准方程为 x 236－y 212＝1或y 212－x 236＝1. 12.点P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且PF 1⊥PF 2，若△F 1PF 2的面积是9，求a ＋b 的值.考点 双曲线性质的应用题点 以离心率或渐近线为条件的简单问题解 设PF 1＝m ，PF 2＝n ，则|m －n |＝2a ，①又因为PF 1⊥PF 2，所以m 2＋n 2＝4c 2，②①2－②得－2mn ＝4a 2－4c 2，所以mn ＝－2a 2＋2c 2.又因为△F 1PF 2的面积是9，所以12mn ＝9， 所以c 2－a 2＝9.又因为双曲线的离心率e ＝c a ＝54， 所以c ＝5，a ＝4，所以b ＝3，所以a ＋b ＝7.13.设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >1，b >0)的焦距为2c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线的离心率e 的取值范围. 考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线离心率的取值范围解 直线l 过(a,0)，(0，b )两点，得到直线方程为bx ＋ay －ab ＝0. 由点到直线的距离公式，且a >1，得点(1,0)到直线l 的距离为d 1＝(a －1)ba 2＋b 2，同理得到点(－1,0)到直线l 的距离为d 2＝(a ＋1)b a 2＋b 2，由s ≥45c 得到2ab c ≥45c .(*) 将b 2＝c 2－a 2代入(*)式的平方，整理得4c 4－25a 2c 2＋25a 4≤0， 两边同除以a 4后，令c 2a 2＝x ，得到4x 2－25x ＋25≤0， 解得54≤x ≤5， 又e ＝c a ＝x ，故52≤e ≤ 5. 即e 的取值范围为⎣⎡⎦⎤52，5. 三、探究与拓展14.F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过点F 2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M ，满足|MF 1→|＝3|MF 2→|，则此双曲线的渐近线方程为________.考点 双曲线的几何性质题点 由双曲线的方程研究几何性质答案 y ＝±22x 解析 由双曲线的性质可得|MF 2→|＝b ，则|MF 1→|＝3b .在△MF 1O 中，|OM →|＝a ，|OF 1→|＝c ，cos ∠F 1OM ＝－a c， 由余弦定理可知a 2＋c 2－(3b )22ac ＝－a c， 又c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＝2b 2，即b a ＝22， 故此双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 15.设双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A ，B . (1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，且P A →＝512PB →，求a 的值. 考点 直线与双曲线的位置关系 题点 直线与双曲线的位置关系解 (1)将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2a2－y 2＝1中， 得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，(*)所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)>0， 解得0<a <2且a ≠1，又双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝ 1a 2＋1， 所以e >62且e ≠ 2. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).因为P 为直线与y 轴的交点，所以P (0,1).因为P A →＝512PB →， 所以(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1). 由此得x 1＝512x 2.由于x 1，x 2是方程(*)的两根，且1－a 2≠0，所以1712x 2＝－2a 21－a 2，512x 22＝－2a 21－a 2. 消去x 2，得－2a 21－a 2＝28960. 由a >0，解得a ＝1713.。
高二数学选修1-1_《双曲线的简单几何性质》导学案
2.2.2.双曲线的简单几何性质
学习目标：
1、掌握双曲线的简单的几何性质。
2、了解双曲线的渐近线及渐近线的概念，会用几何性质求双曲线的标准方程。
学习过程：
一、双曲线的几何性质
1、填表
2、思考：双曲线的顶点有几个，其坐标是什么？
3、思考：椭圆与双曲线的离心率都是e,其范围相同吗？分别是什么？
二、双曲线的渐近线与等轴双曲线
1、在双曲线122
22=-b
y a x 的各支向外延伸时，与两条直线 逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线，也可以将这两条渐近线方程写为
2、在方程122
22=-b
y a x 中，如果b a =，那么双曲线的方程为222a y x =-，它的实轴和虚轴长都等于a 2，此时渐近线方程为 ，它们相互 ，并且 双曲线实轴和虚轴所成的角，实轴长和虚轴长的双曲线叫
做 。
3、思考焦点在y 上的双曲线122
22=-b
y a x 其渐近线方程是什么？
4、等轴双曲线的离心率是多少？
5、例1：求双曲线14416922=-x y 的实轴长和虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。
6、例2：已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，其 实轴长是虚轴长的2倍，且双曲线过点（1,52）。
过该双曲线的右焦点2F 的直线l 交双曲线右支于
A 、
B 两点，AB =4。
（1）求此双曲线的方程
（2）设双曲线的左焦点为1F ,求△1ABF 的周长。
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一、导学 标准方程
22
22
1x y a b -= 22
22
1y x a b -= 图形
范围
对称性 顶点 离心率 渐近线
2．________________________________________________________的双曲线叫等轴双曲线。
焦点在x 轴(y 轴)上得等轴双曲线的标准方程是___________________（ ） 3．双曲线的离心率e 的范围为______________,e 越大，双曲线的开口__________________ 二、导练
4．化双曲线方程为标准方程
（1）2
2
916144x y -= （2） 2
2
916144y x -=-
（3）2
2
294x y -=
三、导疑
5．类比双曲线22221x y a b -=的几何性质探究。
得出双曲线22
221y x a b
-=的几何性质，并填好
导学案中表。
6．求下列双曲线的实半轴长和虚半轴长，焦点坐标，顶点坐标，离心率，渐近线方程 （1）2
2
916144x y -= （2） 2
2
916144y x -=-
四、评价
7．求符合下列条件的双曲线的标准方程： （1）顶点在x 轴上，两顶点间的距离是8，54
e =
（2）焦点在y 轴上，焦距是16，43
e =
8．求与椭圆
2214924x y +=有公共焦点，且离心率54
e =的双曲线的方程。
9．求等轴双曲线的离心率和渐近线方程
2.2.2双曲线的几何性质（2）
学习目标：进一步掌握双曲线的几何性质，会利用定义、渐近线、离心率解决有关问题 一、导学
1． 复习双曲线的几何性质
二、导练
2．下列各对双曲线中，有相同离心率又有相同渐近线的是( )
2222
A
11393x y x y -=-=和 2222
B 1133x x y y -=-=和 222
2C
1133
x y y x -=-=和 2222
D
11393
x x y y -=-=和 3．双曲线
22
1412
x y -=的焦点到渐近线的距离为________________________ 4．双曲线2
2
44kx y k +=的离心率小于2，则k 的取值范围是( )
(),0A
-∞ ()3,0B - ()12,0C - ()12,1D -
三、导疑
5．12,F F 为双曲线221164x y -=的两个焦点，点P 在这双曲线上，且123
F PF π∠=，求12F PF 的面积。
6．求与双曲线
22
1916
x y -=有共同渐近线，且经过点(-的双曲线方程
7．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，求此双曲线的离心率。
一、评价
8．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一渐近线经过点(4,2)-，求它的离心率
9．12,F F 分别是双曲线22
221x y a b
-=的左右焦点，若双曲线上存在点A 使1290F AF ∠=，
且123AF AF =，求它的离心率。
10．求以椭圆22
185
x y +=的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程。