空间向量及其线性运算(教案)

a

C'

B'

A'

D'D

A

B

C 课 题：空间向量及其线性运算 教学目标：

1．运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； 2．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质； 3．理解空间向量共线的充要条件

教学重点：空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质； 教学难点：空间向量的线性运算及其性质。 教学过程： 一、创设情景

1、蚂蚁爬行的问题引入为什么要研究空间向量.

2、平面向量的概念及其运算法则； 二、建构数学

1．空间向量的概念：

在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量 注：⑴空间的一个平移就是一个向量

⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）

b a AB OA OB

+=+=

b a OB OA BA

-=-= )(R a OP ∈=λλ

运算律：

⑴加法交换律：a b b a

+=+

⑵加法结合律：)()(c b a c b a

++=++

⑶数乘分配律：b a b a

λλλ+=+)(

3．平行六面体：

平行四边形ABCD 平移向量a

到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A ''''，它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。 4．共线向量

与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向

量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //．

当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b

的有向线段所在的直线可能是同

一直线，也可能是平行直线． 5．共线向量定理：

共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b

的充要条件是存在实数λ，

C B A

O

b b b

a

a

A / B

使a

＝λb .

三、数学运用

1、例1 如图，在三棱柱111C B A ABC -中，M 是1BB 的中点， 化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： （1）1BA CB +; （2）12

1

AA CB AC +

+; （3）CB AC AA --1

解：（1）11CA BA CB =+ （2）AM AA CB AC =+

+12

1

（3）11BA CB AC AA =--

2、如图，在长方体///B D CA OADB -中，1,2,4,3======OK OJ OI OC OB OA ，点E,F 分别是//,B D DB 的中点，设k OK j OJ i OI ===,,,试用向量k j i ,,表示OE 和OF

解：j i OE 423

+=

k j i OF 242

3

++=

3、课堂练习

已知空间四边形ABCD ，连结,AC BD ，设,M G 分别是,BC CD 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量： （1）AB BC CD ++；

（2）1

()2AB BD BC +

+； （3）1

()2

AG AB AC -+．

四、回顾总结

空间向量的定义与运算法则 五、布置作业

72页 练习2,3

《数学之友》选T3.1空间向量及其线性运算

B

C

D

M

G

A