空间向量及其线性运算(教案)
1.1.1+空间向量及其线性运算+教学设计-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
《1.1.1空间向量及其线性运算》教学设计一、教学内容解析《1.1空间向量及其运算》是人教A版《普通高中教科书·数学(选择性必修)》第一册(以下简称“教科书”) 第一章《空间向量与立体几何》的第一节内容，包括“空间向量及其线性运算”和“空间向量的数量积运算”两小节内容，其中第1课时“空间向量及其线性运算”要学习的核心知识有: 空间向量的概念;零向量、单位向量、相等向量、相反向量、共线向量、共面向量；空间向量的加法、减法以及数乘运算．这些核心知识是后续学习空间向量基本定理、空间向量运算的坐标表示、应用空间向量解决立体几何图形位置关系与度量关系的基石．二、学情分析在学习本节课内容之前，学生已在人教A版必修第二册中学习了《平面向量及其应用》和《立体几何初步》内容．大致了解了平面向量的基本研究思路与框架即“实际背景→基本概念→向量运算( 线性运算、数量积) →向量基本定理及坐标表示→向量的应用”，这也是研究和学习空间向量的基本研究思路．三、教学目标（1）了解空间向量的实际背景；理解空间向量及相关概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘运算；（2）经历由平面向量的概念、运算推广到空间向量的过程；通过空间向量加法结合律的证明体会维数增加对向量推广带来的变化；（3）在借助几何图形解释空间向量相关概念中进一步发展直观想象核心素养，领悟数形结合的思想方法，提升数学运算和逻辑推理能力; 从平面向量推广得到空间向量、空间向量问题转化为平面向量问题的过程中提升数学抽象素养，领悟类比、特殊与一般、转化与化归等思想.四、教学重难点重点: 空间向量及其相关概念，空间向量的线性运算；难点: 空间向量加法结合律的证明，空间向量的线性运算．五、教学策略分析本节课采用创设问题情境，设置问题链引导学生类比平面向量层层深入学习空间向量的概念、线性运算、运算律和位置关系等内容．学生通过自主探究、交流、师生互动等教学活动参与学习过程，突破学习中的难点和疑点．利用PPT等教学软件绘制图形、平移图形、展示图片，借助几何直观图形帮助学生分析和理解概念．六、教学过程设计1、情境引入如图所示，一只蚂蚁从A点出发，一直沿着棱爬行，先爬行到B点，再爬行到C点，那么它的实际位移是什么？若蚂蚁继续沿着棱从C点向上爬行到C1点，那么它的实际位移是什么？追问：位移在数学中可以用什么概念表示？这些向量是否位于同一平面？【设计意图】通过学生情境引入，引导学生回忆熟悉的平面向量，同时发现空间向量，感受到与平面向量的差异，进而激发学生的求知欲．师：通过平面向量及其应用的学习，我们知道平面内的点、直线可以通过平面向量及其运算来表示，他们之间的平行、垂直、夹角、距离等关系，可以通过平面向量运算得到，从而有关平面图形的问题可以利用平面向量的方法解决。
空间向量及其线性运算（教案）
空间向量及其线性运算（教案）课题：空间向量及其线性运算教学⽬标：1．运⽤类⽐⽅法，经历向量及其运算由平⾯向空间推⼴的过程； 2．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质； 3．理解空间向量共线的充要条件教学重点：空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质；教学难点：空间向量的线性运算及其性质。
教学过程：⼀、创设情景1、蚂蚁爬⾏的问题引⼊为什么要研究空间向量.2、平⾯向量的概念及其运算法则；⼆、建构数学1．空间向量的概念：在空间，我们把具有⼤⼩和⽅向的量叫做向量注：⑴空间的⼀个平移就是⼀个向量⑵向量⼀般⽤有向线段表⽰同向等长的有向线段表⽰同⼀或相等的向量⑶空间的两个向量可⽤同⼀平⾯内的两条有向线段来表⽰ 2．空间向量的运算定义：与平⾯向量运算⼀样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）b a AB OA OB+=+=b a-=-=)(R a ∈=λλ运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++ ⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3．平⾏六⾯体：平⾏四边形ABCD 平移向量a到D C B A ''''的轨迹所形成的⼏何体，叫做平⾏六⾯体，并记作：ABCD －D C B A ''''，它的六个⾯都是平⾏四边形，每个⾯的边叫做平⾏六⾯体的棱。
4．共线向量与平⾯向量⼀样，如果表⽰空间向量的有向线段所在的直线互相平⾏或重合，则这些向量叫做共线向量或平⾏向量．a 平⾏于b 记作b a //．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表⽰a 、b的有向线段所在的直线可能是同⼀直线，也可能是平⾏直线． 5．共线向量定理：共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b的充要条件是存在实数λ，A / B使a＝λb .三、数学运⽤1、例1 如图，在三棱柱111C B A ABC -中，M 是1BB 的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：（1）1BA CB +; （2）121AA CB AC ++; （3）AA --1解：（1）11CA BA CB =+ （2）AA =++121（3）11BA CB AC AA =--2、如图，在长⽅体///B D CA OADB -中，1,2,4,3======OK OJ OI OC OB OA ，点E,F 分别是//,B D DB 的中点，设===,,,试⽤向量,,表⽰OE 和OF解：j i OE 423+=2423++=3、课堂练习已知空间四边形ABCD ，连结,AC BD ，设,M G 分别是,BC CD 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）AB BC CD ++；（2）1()2AB BD BC ++；（3）1()2AG AB AC -+ ．四、回顾总结空间向量的定义与运算法则五、布置作业72页练习2,3《数学之友》选T3.1空间向量及其线性运算BCDMGA。
教案)空间向量及其运算
教案)空间向量及其运算一、教学目标1. 了解空间向量的概念，掌握空间向量的基本性质。
2. 学会空间向量的线性运算，包括加法、减法、数乘和点乘。
3. 能够运用空间向量解决实际问题，提高空间想象力。
二、教学内容1. 空间向量的概念：向量的定义、大小、方向、表示方法。
2. 空间向量的线性运算：(1) 向量加法：三角形法则、平行四边形法则。
(2) 向量减法：差向量、相反向量。
(3) 数乘向量：数乘的定义、运算规律。
(4) 向量点乘：点乘的定义、运算规律、几何意义。
三、教学重点与难点1. 教学重点：空间向量的概念、线性运算及应用。
2. 教学难点：空间向量线性运算的推导及证明，空间向量在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用多媒体教学，结合图形、动画，直观展示空间向量的概念和运算。
2. 利用实际例子，引导学生运用空间向量解决实际问题。
3. 组织小组讨论，培养学生团队合作精神，提高解决问题的能力。
五、教学安排1. 第一课时：空间向量的概念及表示方法。
2. 第二课时：空间向量的线性运算（向量加法、减法）。
3. 第三课时：空间向量的线性运算（数乘向量、向量点乘）。
4. 第四课时：空间向量线性运算的应用。
5. 第五课时：总结与拓展。
六、教学评价1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的发言和提问情况，评估学生的参与度和积极性。
2. 作业完成情况：检查学生完成的作业质量，评估学生对空间向量及其运算的理解和掌握程度。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括团队合作、问题解决能力和创新思维。
4. 课堂测试：通过课堂测试，了解学生对空间向量及其运算的掌握情况，及时发现并解决问题。
七、教学资源1. 多媒体教学课件：通过动画、图形等展示空间向量的概念和运算，增强学生的直观感受。
2. 实际例子：收集与空间向量相关的实际问题，用于引导学生运用空间向量解决实际问题。
3. 小组讨论材料：提供相关的问题和案例，供学生进行小组讨论。
4. 课堂测试卷：编写涵盖空间向量及其运算知识的测试卷，用于评估学生的学习效果。
【新教材精品教案】1.1.1空间向量及线性运算
理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用向量研究滑翔运动员呢，下面我们类比平面向量，研究空间向量，先从空间上的概念和平面向量的概念，给出空间向量的概念.的量叫做空间向量，向量的大小叫做向师生互动：1.想一想，向量线性运算的结果，与向量起点的选择有关吗？2.你能否证明这些运算律？证明结合律时，与证明平面向量的结合律有什么不同？】.-般地，对于三个不共为邻边作平行六面体，则c b a ,,的和等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量，另外，利用向量加法的交换律和结合，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得的方向向量.任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能是共面的，也可能是不共面的，那么，什么情况下三个空间向量共面呢?【师生互动：板书示范.】四课堂练习四归纳总结1．利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础．2．利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题．3．利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题．其中合理选取基底是优化运算的关键．五课后作业同步基础训练六板书设计空间向量及其线性运算空间向量的概念方向向量与共面向量加减运算及运算律例题1随堂练习设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养.教学反思：教学中主要突出了几个方面：一是创设问题情景，充分调动学生求知欲，并以此来激发学生的探究心理。
二是运用启发式教学方法，就是把教和学的各种方法综合起来统一组织运用于教学过程，以求获得最佳效果。
并且在整个教学设计尽量做到注意学生的心理特点和认知规律，触发学生的思维，使教学过程真正成为学生的学习过程，以思维教学代替单纯的记忆教学。
三是注重渗透类比法、归纳法等一般的数学思想方法。
新教材高中数学第1章空间向量及其线性运算教案新人教A版选择性必修第一册
新教材高中数学教案新人教A 版选择性必修第一册：第1章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其线性运算学 习 目 标核 心 素 养1.理解空间向量的概念．(难点)2.掌握空间向量的线性运算．(重点)3.掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用．(重点、难点)1.通过空间向量有关概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养.2.借助向量的线性运算、共线向量及共面向量的学习，提升学生的直观想象和逻辑推理的核心素养.国庆期间，某游客从上海世博园(O )游览结束后乘车到外滩(A )观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B )游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？图1 图2如果游客还要登上东方明珠顶端(D )俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那么他实际发生的位移是什么？又如何表示呢？1．空间向量(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：空间向量的大小． (3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a ，b ，c ，…表示；若向量a 的起点是A ，终点是B ，也可记作：AB →，其模记为|a |或|AB →|.2．几类常见的空间向量名称 方向 模 记法 零向量 任意 0 0 单位向量 任意 1相反向量 相反 相等 a 的相反向量：－aAB →的相反向量：BA →相等向量相同相等a ＝b3.空间向量的线性运算 (1)向量的加法、减法 空间向量的运算加法 OB →＝OA →＋OC →＝a ＋b减法CA →＝OA →－OC →＝a －b加法运算律①交换律：a ＋b ＝b ＋a②结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )①定义：实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 当λ>0时，λa 与向量a 方向相同； 当λ<0时，λa 与向量a 方向相反；当λ＝0时，λa ＝0；λa 的长度是a 的长度的|λ|倍． ②运算律a ．结合律：λ(μa )＝μ(λa )＝(λμ)a .b ．分配律：(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ，λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 思考：向量运算的结果与向量起点的选择有关系吗？ [提示] 没有关系． 4.共线向量(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．(2)方向向量：在直线l 上取非零向量a ，与向量a 平行的非零向量称为直线l 的方向向量．规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a ，都有0∥a .(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使a ＝λb .(4)如图，O 是直线l 上一点，在直线l 上取非零向量a ，则对于直线l 上任意一点P ，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得OP →＝λa .5．共面向量(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．(2)共面向量定理：若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .(3)空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件：存在有序实数对(x ，y ), 使AP →＝xAB →＋yAC →或对空间任意一点O ，有OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →.思考：(1)空间中任意两个向量一定是共面向量吗？(2)若空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，满足OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，则点P 与点A ，B ，C 是否共面？[提示] (1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面的两个向量，因此一定是共面向量．(2)由OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →得OP →－OA →＝13(OB →－OA →)＋13(OC →－OA →)即AP →＝13AB →＋13AC →，因此点P 与点A ，B ，C 共面．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间向量a ，b ，c ，若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ． ( ) (2)相等向量一定是共线向量． ( ) (3)三个空间向量一定是共面向量． ( ) (4)零向量没有方向．( )[提示] (1)× 若b ＝0时，a 与c 不一定平行． (2)√ 相等向量一定共线，但共线不一定相等．(3)× 空间两个向量一定是共面向量，但三个空间向量可能是共面的，也可以是不共面的．(4)× 零向量有方向，它的方向是任意的．2．如图所示，在四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1所有的棱中，可作为直线A 1B 1的方向向量的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 D [共四条AB ，A 1B 1，CD ，C 1D 1.]3．点C 在线段AB 上，且|AB |＝5，|BC |＝3，AB →＝λBC →，则λ＝________.－53 [因为C 在线段AB 上，所以AB →与BC →方向相反，又因|AB |＝5，|BC |＝3，故λ＝－53.] 4．在三棱锥A BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →化简的结果为________．0 [延长DE 交边BC 于点F ，连接AF ，则有AB →＋12BC →＝AF →，32DE →＋AD →＝AD →＋DF →＝AF →，故AB →＋12BC →－32DE →－AD →＝0.]空间向量的有关概念【例1】 (1)给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；②若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |； ③在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AC →＝A 1C 1→；④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p . 其中正确命题的序号是________．(2)如图所示，在平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′中，顶点连接的向量中，与向量AA ′→相等的向量有________；与向量A ′B ′→相反的向量有________．(要求写出所有适合条件的向量)(1)②③④ (2)BB ′→，CC ′→，DD ′→ B ′A ′→，BA →，CD →，C ′D ′→[(1)对于①，向量a 与b 的方向不一定相同或相反，故①错；对于②，根据相反向量的定义知|a |＝|b |，故②正确； 对于③，根据相等向量的定义知，AC →＝A 1C 1→，故③正确； 对于④，根据相等向量的定义知正确．(2)根据相等向量的定义知，与向量AA ′→相等的向量有BB ′→，CC ′→，DD ′→.与向量A ′B ′→相反的向量有B ′A ′→，BA →，CD →，C ′D ′→.]解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点(1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向． (2)注意点：注意一些特殊向量的特性．①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同.若两个向量模相等,方向相反,则它们为相反向量.[跟进训练]1．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是( ) ①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； ②平行且模相等的两个向量是相等向量； ③若a ≠b ，则|a |≠|b |；④两个向量相等，则它们的起点与终点相同． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3B [根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，①正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，②不正确；当a ＝－b 时，也有|a |＝|b |，③不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点与终点无关，④不正确．综上可知只有①正确，故选B.]空间向量的线性运算【例2】 (1)如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为向量AC 1的有( )①(AB →＋BC →)＋CC 1→； ②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→； ④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(2)已知正四棱锥P ABCD ，O 是正方形ABCD 的中心，Q 是CD 的中点，求下列各式中x ，y ，z 的值．①OQ →＝PQ →＋yPC →＋zPA →； ②PA →＝xPO →＋yPQ →＋PD →.[思路探究] (1)合理根据向量的三角形和平行四边形法则，以及在平行六面体中，体对角线向量等于从同一起点出发的三条棱向量的和．如AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→.(2)根据数乘向量及三角形或平行四边形法则求解． (1)D [对于①，(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→； 对于②，(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→； 对于③，(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→； 对于④，(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→.] (2)[解] ①如图，∵OQ →＝PQ →－PO →＝PQ →－12(PA →＋PC →)＝PQ →－12PC →－12PA →，∴y ＝z ＝－12.②∵O 为AC 的中点，Q 为CD 的中点， ∴PA →＋PC →＝2PO →，PC →＋PD →＝2PQ →， ∴PA →＝2PO →－PC →，PC →＝2PQ →－PD →， ∴PA →＝2PO →－2PQ →＋PD →，∴x ＝2，y ＝－2.1．空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．2．利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．[跟进训练]2．已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，设M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则MG →－AB →＋AD →等于( )A ．32DB →B ．3MG →C ．3GM →D ．2MG → B [MG →－AB →＋AD →＝MG →－(AB →－AD →)＝MG →－DB → ＝MG →＋BD →＝MG →＋2MG →＝3MG →.]共线问题【例3】 (1)设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB ＝e 1＋k e 2，BC ＝5e 1＋4e 2，DC ＝－e 1－2e 2，且A ，B ，D 三点共线，实数k ＝________.(2)如图所示，已知四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，判断CE →与MN →是否共线．[思路探究] (1)根据向量共线的充要条件求解．(2)根据数乘向量及三角形法则，把MN →表示成λCE →的形式，再根据向量共线的充要条件求解．(1)1 [AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(e 1＋k e 2)＋(5e 1＋4e 2)＋(e 1＋2e 2)＝7e 1＋(k ＋6)e 2. 设AD →＝λAB →，则7e 1＋(k ＋6)e 2＝λ(e 1＋k e 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝7λk ＝k ＋6，解得k ＝1.](2)[解] 法一：因为M ，N 分别是AC ，BF 的中点，且四边形ABCD ，四边形ABEF 都是平行四边形，所以MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →.又因为MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，以上两式相加得CE →＝2MN →，所以CE →∥MN →，即CE →与MN →共线．法二：因为四边形ABEF 为平行四边形，所以连接AE 时，AE 必过点N . ∴CE →＝AE →－AC →＝2AN →－2AM → ＝2(AN →－AM →)＝2MN →.所以CE →∥MN →，即CE →与MN →共线．证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P ，A ，B 可通过证明下列结论来证明三点共线． (1)存在实数λ，使PA →＝λPB →成立． (2)对空间任一点O ，有OP →＝OA →＋tAB →(t ∈R )． (3)对空间任一点O ，有OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1)．[跟进训练]3.如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F→＝23FC →.求证：E ，F ，B 三点共线．[证明] 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， 因为A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →，所以A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25A 1C →，所以A 1E →＝23AD →＝23b ，A 1F →＝25(AC →－AA 1→)＝25(AB →＋AD →－AA 1→)＝25a ＋25b －25c ，所以EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c ＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b －c . 又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，所以EF →＝25EB →，所以E ，F ，B 三点共线.向量共面问题1．什么样的向量算是共面向量？[提示] 能够平移到同一个平面内的向量称为共面向量． 2．能说明P ，A ，B ，C 四点共面的结论有哪些？ [提示] (1)存在有序实数对(x ，y )，使得AP →＝xAB →＋yAC →.(2)空间一点P 在平面ABC 内的充要条件是存在有序实数组(x ，y ，z )使得OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)．(3)四点中任意两点的方向向量与另外两点的方向向量共线，如PA →∥BC →.3．已知向量a ，b ，c 不共面，且p ＝3a ＋2b ＋c ，m ＝a －b ＋c ，n ＝a ＋b －c ，试判断p ，m ，n 是否共面．[提示] 设p ＝x m ＋y n ，即3a ＋2b ＋c ＝x (a －b ＋c )＋y (a ＋b －c )＝(x ＋y )a ＋(－x ＋y )b ＋(x －y )c . 因为a ，b ，c 不共面，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，－x ＋y ＝2，x －y ＝1，而此方程组无解，所以p 不能用m ，n 表示， 即p ，m ，n 不共面．【例4】 已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若点M 满足OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →. (1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面； (2)判断M 是否在平面ABC 内．[思路探究] (1)根据向量共面的充要条件，即判断是否MA →＝xMB →＋yMC →；(2)根据(1)的结论，也可以利用OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →中x ＋y ＋z 是否等于1.[解] (1)∵OA →＋OB →＋OC →＝3OM →， ∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)， ∴MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →， ∴向量MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知向量MA →，MB →，MC →共面，而它们有共同的起点M ，且A ，B ，C 三点不共线，∴M ，A ，B ，C 共面，即M 在平面ABC 内．1．[变条件]若把本例中条件“OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →”改为“OA →＋2OB →＝6OP →－3OC →”，点P是否与点A 、B 、C 共面．[解] ∵3OP →－3OC →＝OA →＋2OB →－3OP →＝(OA →－OP →)＋(2OB →－2OP →)， ∴3CP →＝PA →＋2PB →，即PA →＝－2PB →－3PC →.根据共面向量定理的推论知：点P 与点A ，B ，C 共面．2．[变条件]若把本例条件变成“OP →＋OC →＝4OA →－OB →”，点P 是否与点A 、B 、C 共面． [解] 设OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →(x ，y ∈R )，则OA →＋xAB →＋yAC →＋OC →＝4OA →－OB →，∴OA →＋x (OB →－OA →)＋y (OC →－OA →)＋OC →＝4OA →－OB →，∴(1－x －y －4)OA →＋(1＋x )OB →＋(1＋y )OC →＝0，由题意知OA →，OB →，OC →均为非零向量，所以x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x －y －4＝0，1＋x ＝0，1＋y ＝0，显然此方程组无解，故点P 与点A ，B ，C 不共面．3．[变解法]上面两个母题探究，还可以用什么方法判断？[解] (1)由题意知，OP →＝16OA →＋13OB →＋12OC . ∵16＋13＋12＝1，∴点P 与点A 、B 、C 共面． (2)∵OP →＝4OA →－OB →－OC →，而4－1－1＝2≠1.∴点P 与点A 、B 、C 不共面．解决向量共面的策略1若已知点P 在平面ABC 内，则有AP →＝xAB →＋yAC →或OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →x ＋y ＋z ＝1，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数.2证明三个向量共面或四点共面，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示.1．一些特殊向量的特性(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的．(2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.(3)两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量．2.OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →称为空间平面ABC 的向量表达式．由此可知空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．3．证明(或判断)A ，B ，C 三点共线时，只需证明存在实数λ，使AB →＝λBC →(或AB →＝λAC →)即可，也可用“对空间任意一点O ，有OC →＝tOA →＋(1－t )OB →”来证明A ，B ，C 三点共线．4．空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使MP →＝xMA →＋yMB →，满足这个关系式的点都在平面MAB 内；反之，平面MAB 内的任一点都满足这个关系式．这个充要条件常用于证明四点共面．5．直线的方向向量是指与直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无穷多个，它们的方向相同或相反．6．向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是在a 与b 不共线的前提下才成立的，若a 与b 共线，则不成立．1．下列条件中使M 与A ，B ，C 一定共面的是( )A ．OM →＝2OA →－OB →－OC →B ．OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC → C ．MA →＋MB →＋MC →＝0D ．OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0C [由MA →＋MB →＋MC →＝0得MA →＝－MB →－MC →，故M ，A ，B ，C 共面．]2．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1，若点F 是侧面CD 1的中心，且AF →＝AD →＋mAB →－nAA 1→，则m ，n的值分别为( )A ．12，－12B ．－12，－12C ．－12，12D ．12，12A [由于AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12(DC →＋DD 1→)＝AD →＋12AB →＋12AA 1→，所以m ＝12，n ＝－12，故答案为A.]3．化简：12(a ＋2b －3c )＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －12b ＋23c －3(a －2b ＋c )＝________. 56a ＋92b －76c [原式＝12a ＋b －32c ＋103a －52b ＋103c －3a ＋6b －3c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋103－3a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52＋6b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋103－3c ＝56a ＋92b －76c .]4．给出下列四个命题：①方向相反的两个向量是相反向量；②若a，b满足|a|＞|b|且a，b同向，则a＞b；③不相等的两个空间向量的模必不相等；④对于任何向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.其中正确命题的序号为________．④[对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错；对于②，向量是不能比较大小的，故不正确；对于③，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故③错；只有④正确．]5．设两非零向量e1，e2不共线，且k e1＋e2与e1＋k e2共线，求k的值．[解]∵两非零向量e1，e2不共线，且k e1＋e2与e1＋k e2共线，∴k e1＋e2＝t(e1＋k e2)，则(k－t)e1＋(1－tk)e2＝0.∵非零向量e1，e2不共线，∴k－t＝0,1－kt＝0，解得k＝±1.。
《3.1.1 空间向量及其线性运算》教案
《3.1.1 空间向量及其线性运算》教案一､教学目标:1.运用类比的方法,经历向量及其线性运算由平面向空间推广的过程;2.了解空间向量的概念,掌握空间向量的线性运算及其性质;3.理解空间向量共线(平行)的充要条件及共线向量定理.二､教学重难点:1.空间向量的线性运算及其性质.2.空间向量及其线性运算法则的运算.三､教学方法建议:新授课､启发式——引导发现､合作探究.四､教学过程:(A)类问题(学生自学)1､在平面内既有大小又有方向的量叫平面向量.2､在空间,既有大小又有方向的量叫空间向量.3､空间向量的加法和数乘运算满足的运算律.加法交换律: a b b a ＋＝＋;加法结合律:()() a b c a b c ＋＋＝＋＋;数乘分配律:(λλλ a b a b ＋)＝＋.4､共线向量定理:空间任意两个向量 a , b ( a ≠0 ), a //b 的充要条件是存在实数λ,使 b =λ a .(B)类问题(学生练习,教师点拨)1､如图,在三棱柱111ABC A B C -中,M 是1BB 的中点,化简下列各式,并在图中标出化简得到的向量:(1)1 CB BA ＋; (2)112AC CB AA ＋＋; (3)1 AA AC CB －－.(C)类问题(学生思考,教师点拨)如图,在长方体111OADB CA D B 中,OA=3,OB=4,OC=2,OI=OJ=OK=1,点E,F 分别是DB,D1B1的中点.设 OI i ＝, OJ j ＝, OK k ＝,试用向量 i , j , k 表示OE 和 OF.五､问题解决情况检测:(A)类问题检测(B)类问题检测正方体AC1中,点E,F 分别为棱BC 和A1D1的中点,求证:四边形DEB1F 为平行四边形.(C)类问题检测已知空间四边形ABCD,连结AC,BD,设M,G 分别是BC,CD 的中点,化简下列各表达式,并标出化简结果向量:(1) AB BC CD ＋＋; (2)1()2AB BD BC ＋＋. 六､教学反思:。
新版高中数学《1.1.1空间向量及其线性运算》教学设计
空间向量及其线性运算教学设计(人教A版普通高中教科书数学选修第一册第一章)一、教学目标1.复习空间向量的相关概念2.能够熟练应用空间向量的线性运算及运算律3.理解并掌握共线、共面定理的推论，会用共线、共面定理及其推论解决问题二、教学重难点重点：空间向量的线性运算及运算律难点：共线、共面定理的推论三、教学过程1.复习回顾知识点一：空间向量的概念1.定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量.2.长度或模：向量的大小.3.表示方法：(1)几何表示法：空间向量用有向线段表示.(2)字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：AB，其模记为a或AB.|知识点二：空间向量的线性运算知识点三：共线定理与共面定理2.空间向量概念的应用【设计意图】通过简单的习题，加深学生对于空间向量概念的理解，纠正易错点.3.空间向量的加减运算【设计意图】选自课本中本节习题，旨在让学生体会表示未知向量时，可将未知向量放入三角形中，通过向量加减的三角形法将其表示出来.4.空间向量的数乘运算【设计意图】与例2对比，此题在加减运算的基础上加入数乘运算，是一道线性运算的综合题型，通过此题可以使学生加深对空间向量线性运算的认识，提高计算能力.5.空间向量共线、共面定理【设计意图】通过将共线、共面定理的推论以思考题的形式给出，使学生在证明的过程中加深对共线、共面定理的理解与记忆，同时引出推论.【设计意图】将推论引出后通过两个较为简单的练习题，让学生初步感受共线、共面定理推论的应用.【设计意图】用共线定理及其推论两种解法解此题目，让学生再次感受共线定理及推论在证明三点共线时的应用.,,.ABCD .AC O OA,OB,OC,ODOE OF OG OHE,F,G,H ====k,OA OB OC ODE,F,G,H 例5.如图，已知平行四边形过平面外一点作射线在四条射线上分别取点使求证：四点共面1111,,,,,,.OE OF OG OH====k OA OB OC ODOA OE OB OF OC OG OD OHOA OD OB OC OE OB OC OD ∴====∴-=-∴=-+∴k k k kABCD E F G H 四边形为平行四边形四点共面【设计意图】此题是第一课时例题，用共面定理的推论给出此题目的第二种解法，让学生再次感受共面定理及推论在证明四点共面问题时的应用，以达到开拓学生的思路的目的.6.归纳小结(1).用好已有的定理及推论：如共线向量定理、共面向量定理及推论等， 并能运用它们证明空间向量的共线和共面的问题.(2).在解决空间向量问题时，结合图形，将未知向量放入三角形中，再运用向量加减的三角形法则解决问题。
新人教版高中数学《1.1.1空间向量及其线性运算》教学设计
1.1.1空间向量及其线性运算教学设计一、教学目标（1）理解空间向量的概念，掌握空间向量的表示方法；会用图形说明空间向量加法，减法，数乘向量及它们的运算律；（2）会用向量共线和向量共面充要条件；（3）会用空间向量的运算及运算律解决简单的立体几何问题；形成事物与事物之间普遍联系及其相互转化的辨证观点；（4）通过探究、练习，提高学生对事物个性与共性之间联系的认识水平，提升学生的直观想象、数学运算、逻辑推理等数学学科核心素养.二、教学重难点教学重点：空间向量的概念和线性运算及其应用教学难点：空间向量的线性运算及其应用三、教学过程（一）创设情境，导入新课师生活动：阅读章前引言，章头图展示的是一个做滑翔伞运动的场景，可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向大小各异的力，你能用图示法表示这些力吗？设计意图：图1中的引入情境于学生而言，非常熟悉。
课堂上追问学生，飞行员收到来自不同方向的力又该如何表示，用图示法表示这些力吗?既贴近学生生活实际又自然将平面向量拓展到空间向量，既揭示了学习空间向量的必要性，又激发了学生的学习兴趣，也为后续空间向量的加法运算做了铺垫（尤其是在验证空间向量的加法结合律）.(二)类比归纳，形成概念问题 1 我们已经学习过平面向量的概念和线性运算，你能类比平面向量，给出空间向量的概念和线性运算吗？追问(1)：平面向量是什么的？你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？追问（2）：如何表示平面向量？？你能类比平面向量的表示，给出空间向量的表示吗？追问（3）：从平面向量的概念出发，我们又学习了不少新的概念. 你还记得吗？有哪些？你能把这些概念推广到空间向量中吗？与平面向量一样，在空间,我们把具有大小和方向的量叫做空间向量,空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.与平面向量一样，空间向量也用有向线段来表示，有向线段的长度表示空间向量的模。
空间向量可以用字母a,b,c,…表示.如图，若向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作向量AB,其模记为向量a的模或向量AB的模.如图所示，对于任意一个空间向量，我们都可以将其放在一个平面内研究，这时，这个空间向量就是我们熟悉的平面向量了.几何表示：字母表示：，向量的大小：，方向相同且长度相等问题2 在学习完平面向量的相关概念以后，我们研究了平面向量的线性运算.你能类比平面向量的线性运算，得出空间向量的线性运算及运算律吗？追问（1）：平面向量的线性运算有哪些？我们如何研究这些运算？答：平面向量有加法、减法和数乘运算. 先研究它们的定义及运算法则，再研究它们的运算律；追问（2）：平面向量的加法、减法和数乘运算的定义或法则分别是什么？你能类比它们得出空间向量的加、减和数乘运算的定义或法则吗？追问（3）：平面向量线性运算的运算律有哪些？你能类比它们得出空间线性运算的运算律吗？由于任意两个空间向量都可以通过平移，转化为同一平面内的向量，因此，我们猜想，空间向量的线性运算也具有和平面向量线性运算相同的运算律.数学结论是需要严格证明的, 由合情推理、猜想得到的结论不一定正确，需要严格证明.追问(4)：空间向量线性运算运算律的证明，和平面向量有哪些异同？除空间向量加法的结合律以外，其他运算律都可以转化为平面向量线性运算的运算律进行证明.结合律涉及三个向量，它们可能不在同一个平面内.追问（5）如何证明空间向量的加法结合律呢？如图，可将空间中任意三个不共面的向量，通过平移使它们起点重合，分别平移表示表示这三个向量的线段，构成一个平行六面体. 我们借助这个平行六面体来证明加法的结合律.一般地，对于三个不共面的向量a ，b ， c ，以任意点O 为起点， a ，b ， c 为邻边作平行六面体，则a ，b ， c 的和等于以O 为起点的平行六面体对角线所表示的向量.问题 3 平面向量的线性运算可以解决平面中的很多问题，空间向量的线性运算是否可以解决空间中相应的问题呢？由平面向量的线性运算，我们研究了平面向量的共线及线性表示等问题.追问（1）：你还记得两个向量共线的充要条件吗？这个充要条件对于空间向量也成立吗？ 追问（2）：任意两个空间向量都可以通过平移，移到同一平面内，三个向量呢？答：任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能共面，也可能不共面.追问（3）：你还记得平面向量基本定理的内容吗？它和三个空间向量共面有什么关系？问题4 如右图，已知平行四边形ABCD ，过平面AC 外一点O 作射线OA ，OB ，OC ，OD ，在四条射线上分别取点E ，F ，G ，H ，使OE OF OG OH k OA OB OC OD====. 求证： E ，F ，G ，H 四点共面.追问(1):如何证明E ，F ，G ，H 四点共面？答：可以通过证明E ，F ，G ，H 这四点构成的三个向量，如EF EH EG ，，共面，来证明这四点共面.追问(2):如何证明这三个向量共面？答：根据向量共面的充要条件，用EF EH ，表示EG 即可. 追问(3):如何实现上述表示？答：可以根据三角形法则，把EF EH EG ，，分别用,,,OE OF OG OH 等向量来表示；再利用已知条件，将它们转化用,,,OA OB OC OC 表示的形式.而由已知平行四边形ABCD ，得到=+AC AD AB ，从而可以得到,,,OA OB OC OC 的关系，进一步得到,,,OE OF OG OH 的关系，最终用用EF EH ，表示EG .思路小结：选择恰当的向量表示问题中的几何元素，通过向量运算得出几何元素的关系是解决立体几何问题的常用方法.问题5 回顾本节课的探究过程，你都学到了什么？1. 从知识层面，我们学习了空间向量的有关概念和线性运算.包括空间向量的概念，表示法以及零向量、单位向量、共线向量等相关概念；我们把平面向量的线性运算推广空间向量，研究了空间向量的加法、减法、数乘运算的定义、运算法则以及运算律；通过空间向量的线性运算，我们有了直线的方向向量，以及空间中证明向量或点共面的方法.2. 从本节课的研究方法上来看，我们始终类比平面向量的相关内容，在空间中进行推广，同时比较它与平面向量的共性和差异，并对差异之处进行了严格的证明，最终，在平面向量的相关内容推广过程中，既保持了原结论的延续性，又保证了新结论的严谨性.原有内容的融入到新内容中，这种兼容性是数学的特点， 是数学中常用的研究方法.今后继续研究空间向量的过程中，还会不断使用这样的方法.希望同学们在今后的学习中，继续大胆发现，勇于探索，严谨推理，体会数学的逻辑之美，严谨之美和广泛的应用.四、课外作业布置作业：教科书练P9复习巩固1,2,3,41.如图，E,F 分别是长方体''''D C B A ABCD -的棱CD AB ,的中点，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：（1）CB AA -' （2）'''C B AB AA ++（3）''D B AD AB +- （4）CF AB +2.如图，用',,AA AD AB 表示''',DB BD C A 及.3.如图，已知正方体''''D C B A ABCD -，F E ,分别是上底面''C A 和侧面'CD 的中心，求下列各式中x,y 的值：（1）)(''CC BC AB x AC ++=（2）AD y AB x AA AE ++='设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养．。
3.1空间向量及其运算教学设计教案
3.1空间向量及其运算教学设计教案第一篇：3.1空间向量及其运算教学设计教案教学准备1.教学目标（1）知识与技能：理解和掌握空间向量的基本概念，向量的加减法（2）过程与方法：通过高一学习的平面向量的知识，引申推广，理解和掌握向量的加减法（3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比、推广等思想方法的学习，运用向量的概念和运算解决问题，培养学生的开拓创新能力。
2.教学重点/难点【教学重点】：空间向量的概念和加减运算【教学难点】：空间向量的应用3.教学用具多媒体4.标签3.1.1空间向量及其加减运算教学过程课堂小结 1．空间向量的概念： 2．空间向量的加减运算课后习题第二篇：3.1空间向量及其运算教学设计教案教学准备1.教学目标1、知识与技能：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量。
2、过程与方法：通过类比、推广等思想方法，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会类比、推广的思想方法，对向量加深理解。
3、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不断拓展创新的学习习惯和品质。
2.教学重点/难点重点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；难点：理解空间向量基本定理；3.教学用具多媒体设备4.标签教学过程教学过程设计（一）.复习引入1、共线向量定理：2、共面向量定理：3、平面向量基本定理：4、平面向量的正交分解：（二）、新课探究：探究一.空间向量基本定理2、空间向量基本定理3、注意：对于基底{a,b,c},除了应知道向量a,b,c不共面，还应明确（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。
（2）由于零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是零向量。
（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。
苏教版数学高二-选修2-1教案 -2 空间向量及其线性运算 共面向量定理
3．1.1-2空间向量及其线性运算共面向量定理●三维目标1．知识与技能(1)了解空间向量与平面向量的联系与区别．(2)理解空间向量的线性运算及其性质．(3)理解共面向量定理．2．过程与方法(1)学生通过类比平面向量的学习过程了解空间向量的研究内容和方法，经历向量及其运算由平面向空间的推广，体验数学概念的形成过程．(2)通过类比平面向量基本定理，得出共面向量基本定理，并能利用共面向量基本定理证明向量共面，学会判定与证明向量共面及四点共面的方法．3．情感、态度与价值观逐步培养学生观察、分析、综合和类比能力，会准确地阐述自己的思路和观点，着重培养学生的认知能力．●重点难点重点：了解空间向量与平面向量的联系与区别，理解空间向量的线性运算及其性质．难点：共面向量定理的理解及应用．先回顾平面向量的定义及线性运算法则，类比得出空间向量的有关定义及运算法则，并通过空间图形进行严格的理论验证，从而突出教学重点．对于共面向量定理，完全可由平面向量基本定理类比得出，重在应用其证明共面问题，通过例题，体现向量法证明线线平行、线面平行的方法与步骤，从而突破教学难点．●教学建议本节内容是第三章《空间向量与立体几何》的第一节，由于是起始节，所以这节课中也包含了章引言的内容．章引言中提到了本章的主要内容和研究方法，即类比平面向量来研究空间向量的概念和运算．向量是既有大小又有方向的量，它能像数一样进行运算，本身又是一个“图形”，所以它可以作为沟通代数和几何的桥梁，在很多数学问题的解决中有着重要的应用．本章要学习的空间向量，将为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供一个十分有效的工具．采用的教学方式是通过问题启发引导学生自主完成概念的探究过程，紧紧围绕教学重点展开教学，并从教学过程的每个环节入手，努力突破教学难点．●教学流程回顾平面向量的定义，类比得出空间向量的定义、几何表示、符号表示；找出空间向量与平面向量的区别与联系．⇒回顾平面向量的线性运算法则，得出空间向量的线性运算法则，并通过空间图形加以验证，得出空间向量线性运算满足的运算律．理解单位向量、共线向量、平行向量等概念，理解共线向量定理成立的条件及作用．⇒理解共面向量的定义，区分向量共面与直线共面的区别，理解共面向量定理的内涵，会用共面向量定理证明向量共面，从而证明立体几何问题如共面问题、线面平行问题等．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握空间向量的线性运算法则，在常见的立体图形中，灵活的应用三角形和平行四边形法则进行空间向量的运算，实现利用给定向量表示某一向量的目的．⇒通过例2及变式训练，使学生体会共线向量定理的两个应用，正向可用来证明线线平行，逆用可用来求解字母参数，体会向量法解证立体几何问题的步骤与规律．⇒通过例3及变式训练，使学生体会共面向量定理的两个应用，正向可用来证明线面平行，四点共面，逆用可用来求解字母参数，体会向量法解证立体几何问题的步骤与规律．⇒通过易错易误辨析，体会零向量的特殊性，在分析向量间关系及向量运算时，应注意零向量的特殊性．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力.课标解读1.了解空间向量与平面向量的联系与区别，理解空间向量的线性运算及其性质，理解共线向量定理．(重点)2．体会共面向量定理的推导过程，掌握共面向量定理，会用共面向量定理判定向量共面，会用共面向量定理，证明线面平行问题．(难点)3．向量共线与共面和直线共线与共面的区别．(易混点)空间向量在空间，把既有大小又有方向的量叫做空间向量．空间向量的线性运算已知空间四边形ABCD，则AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0还成立吗？【提示】成立．根据向量的加法法则，表示相加向量的有向线段依次首尾相接，其和为从第一个向量的首指向最后一个向量的尾，故AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝AA→＝0.向量加法可以推广到有限个向量的和，并且可用口诀记忆：首尾首尾首指向尾．空间向量的线性运算定义(或法则)空间向量的数乘空间向量a与一个实数λ的乘积是一个向量，记作λa，满足：大小：|λa|＝|λ||a|.方向：当λ＞0时，λa与a方向相同；当λ＜0时，λa与a方向相反；当λ＝0时，λa＝0.共线向量定理【问题导思】共线向量一定是同一直线上的向量吗？【提示】共线向量不一定是同一直线上的向量，而是表示向量的有向线段只要可以平移到同一直线上即可，因此共线向量也叫平行向量．对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa.共面向量如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝x a＋y b.空间向量的线性运算图3－1－1如图3－1－1，在长方体ABCD －A′B′C′D′中，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：【思路探究】 观察各式涉及的向量在图形中的位置特点，将减法运算转化为加法运算，利用向量加法的三角形法则即可化简．【自主解答】(3)设M 是线段AC′的中点，则12AD →＋12AB →－12＝12AD →＋12AB →＋12＝12(AD →＋AB →＋)＝12＝AM →.向量，AM →如图所示．1．进行向量的线性运算，实质是进行向量求和，解题时应抓住两条主线：一是基本“形”，通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和；二是基于“数”，熟练掌握AB →＋BC →＝AC →及向量中点公式．2．用已知向量表示空间向量，实质是向量的线性运算的反复应用．图3－1－2如图3－1－2，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别为AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示：(1)AC 1→；(2)AP →； (3)A 1N →；(4)MP →＋NC 1→.【解】 (1)AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝b ＋c ＋a . (2)∵P 为D 1C 1→的中点， ∴D 1P →＝12D 1C 1→＝12AB →＝12b ，∴AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(3)A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN → ＝－AA 1→＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .(4)∵MP →＝MA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝12AA 1→＋AD →＋12AB → ＝12a ＋c ＋12b . NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a .∴MP →＋NC 1→＝(12a ＋c ＋12b )＋(12c ＋a )＝32a ＋12b ＋32c .共线向量定理的应用图3－1－3如图3－1－3，已知点E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，其中E ，H 是中点，F ，G 是三等分点，且CF ＝2FB ，CG ＝2GD.试判断四边形EFGH 的形状．【思路探究】 证明向量EH →∥FG →且模不相等． 【自主解答】 ∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点， ∴EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →. 又∵CF →＝2FB →，CG →＝2GD →， ∴CF →＝23CB →，CG →＝23CD →，∴FG →＝CG →－CF →＝23CD →－23CB →＝23(CD →－CB →)＝23BD →， ∴BD →＝32FG →，∴EH →＝34FG →，∴EH →∥FG →，|EH →|＝34|FG →|.又点F 不在直线EH 上，∴EH ∥FG ，且EH≠FG ， ∴四边形EFGH 是梯形．1．证明EFGH 为梯形，必须证明两点：①EH →∥FG →； ②|EH →|≠|FG →|.2．利用向量共线可证空间图形中的两直线平行，为向量法证明立体几何问题奠定了基础．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝e 1＋k e 2，BC →＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2，且A 、B 、D 三点共线，求实数k 的值．【解】 ∵BC →＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2. ∴BD →＝BC →＋CD →＝(5e 1＋4e 2)＋(e 1＋2e 2)＝6e 1＋6e 2. ∵A ，B ，D 三点共线， ∴AB →＝λBD →.∴e 1＋k e 2＝λ(6e 1＋6e 2)．∵e 1，e 2是不共线向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝6λ ，k ＝6λ ，∴k ＝1.共面向量定理的应用如图3－1－4，直三棱柱ABC －A′B′C′，点M ，N 分别为A′B 和B′C′的中点．证明：MN ∥平面A′ACC′.图3－1－4【思路探究】 利用向量的线性运算得到向量MN →可以由平面A′ACC′内两个不共线的向量表示即可．【自主解答】 因为MN →＝MA′→＋A′N →，且点M ，N 分别为A′B 和B′C′的中点，所以MN →＝12BA′→＋12(A′B′→＋A′C′→)＝12(B′A′→＋AA′→)＋12(A′B′→＋A′C′→)＝12AA′→＋12A′C′→. 因为MN ⊄平面A′ACC′，所以MN ∥平面A′ACC′.1．判断三个向量共面，即利用向量的线性运算实现其中一个向量能用另外两个向量惟一表示．2．利用向量判断线面平行有两种方法：一是利用共线向量定理，找出平面内的一个向量与直线上的向量共线；二是利用共面向量定理，找出平面内不共线的两个向量能表示出直线上的向量．两种方法中注意说明直线不在平面内．已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋e 2，AC →＝2e 1＋8e 2，AD →＝3e 1－3e 2，求证：A ，B ，C ，D 四点共面．【证明】 令λ(e 1＋e 2)＋μ(2e 1＋8e 2)＋ν(3e 1－3e 2)＝0， 则(λ＋2μ＋3ν)e 1＋(λ＋8μ－3ν)e 2＝0.∵e 1，e 2不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＋3ν＝0，λ＋8μ－3ν＝0，解得λ＝－5，μ＝1，ν＝1是其中一组解，则AB →＝15AC →＋15AD →，∴A 、B 、C 、D 四点共面.忽略零向量导致错误下列命题：①空间任意两个向量a ，b 不一定是共面的； ②a ，b 为空间两个向量，则|a |＝|b |⇔a ＝b ； ③若a ∥b ，则a 与b 所在直线一定平行； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中错误命题的序号是________． 【错解】 ②【错因分析】 ①空间任意两个向量都是共面的．②向量的模相等时，两个向量不一定相等，还要看向量的方向．③当a ∥b 时，它们所在直线平行或重合．④当b ＝0时，a 与c 不一定平行．【防范措施】 向量的平行(共线)不具备传递性，即若a ∥b ，b ∥c ，不一定有a ∥c ，但当b 为非零向量时，向量平行(共线)具备传递性，即若b ≠0，则当a ∥b ，b ∥c 时，有a ∥c .【正解】 ①②③④1．空间向量是平面向量的拓广和延伸，空间向量的线性运算法则和运算律与平面向量具有可类比性，但空间向量比平面向量应用范围更广泛．2．共线向量定理是判定两向量共线的充要条件，利用共线向量定理可以解决两方面的问题：(1)判定两向量共线；(2)由两向量共线，求待定字母的值．3．共面向量定理是判断三向量共面的理论依据，依此可以证明三向量共面，从而证明四点共面与线面平行问题．1．在空间四边形ABCD 中，AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝______. 【解析】 AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝AC →＋CD →＋DA →＝AD →＋DA →＝0. 【答案】 02．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，化简式子：DA →－DB →＋B 1C →－B 1B →＋CB 1→－CB →＝________.【解析】 DA →－DB →＋B 1C →－B 1B →＋CB 1→－CB →＝BA →＋BC →＋BB 1→＝BD →＋BB 1→＝BD 1→. 【答案】 BD 1→3．有下列命题：①平行于同一直线的向量是共线向量；②平行于同一平面的向量是共面向量；③平行向量一定是共面向量；④共面向量一定是平行向量．其中正确的命题有________．【解析】 “共面向量一定是平行向量”不正确，即共面向量不一定共线．①②③均正确． 【答案】 ①②③图3－1－54．如图3－1－5，在空间四边形ABCD 中，E 、F 为AB 、CD 的中点，试证EF →，BC →，AD →共面．【证明】 空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，利用多边形加法法则可得⎭⎪⎬⎪⎫EF →＝EA →＋AD →＋DF →，EF →＝EB →＋BC →＋CF →.①又E 、F 分别是AB 、CD 的中点，故有EA →＝－EB →，DF →＝－CF →.②将②代入①中，两式相加得 2EF →＝AD →＋BC →. 所以EF →＝12AD →＋12BC →，即EF →与BC →、AD →共面．一、填空题1．下列命题中真命题的个数是________． ①空间中任两个单位向量必相等；②将空间中所有的单位向量移到同一起点，则它们的终点构成一个圆； ③若两个非零向量a ，b 满足a ＝k b ，则a ，b 同向； ④向量共面即它们所在的直线共面．【解析】 ①是假命题，单位向量模相等，但方向不一定相同，因此空间中任两个单位向量不一定相等；②是假命题，将空间中所有的单位向量移到同一起点，则它们的终点构成一个球面； ③是假命题，当k>0时，a ，b 同向，当k<0时，a ，b 反向；④是假命题，表示共面向量的有向线段所在的直线可以“平移”(平行移动)到同一平面，但不一定共面．【答案】 02．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 和BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则B 1M →＝________.【解析】 B 1M →＝B 1B →＋BM →＝c ＋12BD →＝c ＋12B 1D 1→＝c ＋12b －12a ＝－12a ＋12b ＋c .【答案】 －12a ＋12b ＋c3．非零向量e 1、e 2不共线，若k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，则k ＝________. 【解析】 若k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，则 k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，λk ＝1，∴k ＝±1. 【答案】 ±14．空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA →上，且OM →＝2MA →，N 为BC 的中点，则MN →＝________.(用a ，b ，c 表示)【解析】 如图， MN →＝ON →－OM → ＝12(OB →＋OC →)－23OA → ＝12(b ＋c )－23a ＝－23a ＋12b ＋12c .【答案】 －23a ＋12b ＋12c5．如图3－1－6，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为BD 1→的是________．图3－1－6①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→－A 1A →)＋DD 1→.【解析】 (A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→，(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→＋C 1D 1→＝BD 1→.【答案】 ①② 6．有四个命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面； ②若p 与a ，b 共面，则p ＝x a ＋y b ；③若MP →＝xMA →＋yMB →，则P 、M 、A 、B 共面； ④若P 、M 、A 、B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →. 其中真命题是________(填序号)．【解析】 由共面向量定理知，①真；若p 与a ，b 共面，当a 与b 共线且p 与a 和b 不共线时，就不存在实数组(x ，y)使p ＝x a ＋y b 成立，故②假．同理③真，④假．【答案】 ①③7．在下列各式中，使P ，A ，B ，C 四点共面的式子的序号为________． ①OP →＝OA →－OB →－OC →； ②OP →＝17OA →＋14OB →＋12OC →；③PA →＋PB →＋PC →＝0； ④OP →＋OA →＋OB →＋OC →＝0； ⑤OP →＝12OA →－OB →＋32OC →.【解析】 根据四点共面的充要条件，易知①②④不适合，③⑤适合． 【答案】 ③⑤8．已知点G 是△ABC 的重心，O 是空间任一点，若OA →＋OB →＋OC →＝λOG →，则λ＝________.【解析】 如图，取AB 的中点D ， OG →＝OC →＋CG → ＝OC →＋23CD →＝OC →＋23·12(CA →＋CB →)＝OC →＋13＝13OA →＋13OB →＋13OC →. ∴OA →＋OB →＋OC →＝3OG →. 【答案】 3二、解答题图3－1－79．如图3－1－7，已知平行六面体ABCD －A′B′C′D′，M 是线段CC′的中点，G 是线段AC′的三等分点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1)AB →＋BC →； (2)AB →＋AD →＋AA′→； (3)AB →＋AD →＋12CC′→；(4)13(AB →＋AD →＋AA′→)．【解】 (1)AB →＋BC →＝AC →.(2)AB →＋AD →＋AA′→＝AC →＋AA′→＝AC →＋CC′→＝AC′→. (3)AB →＋AD →＋12CC′→＝AB →＋BC →＋CM →＝AC →＋CM →＝AM →.(4)13(AB →＋AD →＋AA′→)＝13AC′→＝AG →. 向量AC →，AC′→，AM →，AG →如图所示．10．如图3－1－8所示，四边形ABCD 、ABEF 都是平行四边形且不共面，M 、N 分别是AC 、BF 的中点，判断CE →与MN →是否共线．图3－1－8【解】 ∵M 、N 分别是AC 、BF 的中点，四边形ABCD 、ABEF 都是平行四边形， ∴MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →，MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，∴12CA →＋AF →＋12FB →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →， ∴CE →＝CA →＋2AF →＋FB →＝2(MA →＋AF →＋FN →)＝2MN →， ∴CE →∥MN →，即CE →与MN →共线．图3－1－911．如图3－1－9，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，AB ＝2EF ，H 为BC 的中点．求证：FH ∥平面EDB.【证明】 因为H 为BC 的中点，所以FH →＝12(FB →＋FC →)＝12(FE →＋EB →＋FE →＋ED →＋DC →)＝12(2FE →＋EB →＋ED →＋DC →)．因为EF ∥AB ，CD ∥AB ，且AB ＝2EF ，所以2FE →＋DC →＝0，所以FH →＝12(EB →＋ED →)＝12EB→＋12ED →. 因为EB →与ED →不共线，由共面向量定理知，FH →，EB →，ED →共面． 因为FH ⊄平面EDB ，所以FH ∥平面EDB.已知A 、B 、M 三点不共线，对于平面ABM 外的任一点O ，确定下列各条件下，点P 是否与A 、B 、M 一定共面．(1)OB →＋OM →＝3OP →－OA →； (2)OP →＝4OA →－OB →－OM →.【思路探究】 判断点P 是否在平面MAB 内，可先看MP →能否用向量MA →、MB →表示．当MP →能用MA →、MB →表示时，点P 位于平面MAB 内，否则点P 不在平面MAB 内．【自主解答】 (1)原式可变形为 OP →＝OM →＋(OA →－OP →)＋(OB →－OP →) ＝OM →＋PA →＋PB →，∴OP →－OM →＝PA →＋PB →， ∴PM →＝－PA →－PB →，∴P 与M 、A 、B 共面． (2)原式可变形为OP →＝2OA →＋OA →－OB →＋OA →－OM →＝2OA →＋BA →＋MA →， ∴AP →＝－AO →－AB →－AM →，表达式中还含有AO →， ∴P 与A 、B 、M 不共面．1．解答本题中注意构造以P 、A 、B 、M 中某一点为起点，另三点为终点的三个向量来判断此三向量是否共面，若共面又共起点，此四点必共面，否则不共面．2．要证四点共面，可先作从同一点出发的三个向量，由向量共面推知点共面，应注意待定系数法的应用．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点M 满足OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →.(1)判断MA →、MB →、MC →三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内．【解】 (1)∵OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，∴13(OA →－OM →)＋13(OB →－OM →)＋13(OC →－OM →)＝0， ∴MA →＋MB →＋MC →＝0， ∴MA →＝－MB →－MC →，∴MA →、MB →、MC →三个向量是共面向量． (2)由(1)知MA →、MB →、MC →三个向量共面， 又有共同起点M ，所以M 、A 、B 、C 四点共面， 即点M 在平面ABC 内．。
1.1.1-空间向量及其线性运算-教案-2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修二
1.1.1 空间向量及其线性运算1教学内容类比平面向量，建构空间向量及其运算的研究框架； 空间向量的概念，空间向量的线性运算及其运算律；空间向量共线、共面的充要条件；用空间向量线性运算解决几何中的平行、共面问题.2教学目标（1）类比平面向量及其应用，构建空间向量及其运算的研究框架.（2）能类比平面向量，给出空间向量的概念，能解释相等向量、相反向量、共线向量的相互关系；能提过具体实例解释空间向量共线、共面的充要条件. 能通过具体实例说明空间向量共线、共面的充要条件，能解释其几何意义，会用于判断两个向量是否共线，会用空间向量共面定理判别三个向量是否共面.（3）能应用平行四边形法则和三角形法则进行空间向量的加减运算；能借助平行六面体解释空间三个向量之和的几何意义；能类比平面向量，进行空间向量的数乘运算. （4）能将平面向量线性运算的运算律推广到空间，并能进行证明；会用空间向量的线性运算表示空间中的基本元素.（5）会用空间向量的线性运算解决立体几何问题中的共面和平行问题. 3教学重点与教学难点教学重点：本章内容整体框架的建构；空间向量及其相关概念；空间向量的线性运算及其运算律的验证；空间向量共线、共面的充要条件.教学难点：空间向量加法结合律的证明；空间向量共面的充要条件. 4教学过程设计 关键点：引导语：通过“平面向量及其应用”的学习，我们知道，平面内的点、直线可以通过平面向量及其运算来表示，它们之间的平行、垂直、夹角、距离等关系可以通过平面向量运算而得到，从而有关平面图形的问题可以利用平面向量的方法解决.在“立体几何初步”中，我们用综合几何方法研究了空间几何体的结构特征以及空间点、直线、平面的位置关系.一个自然的想法是，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量表示空间中点、直线、平面等基本元素，通过空间向量运算解决立体几何问题.在本章，我们就来研究这些问题.下面我们类比平面向量研究空间向量，先从空间向量的概念和表示开始.平面向量方向 大小空间向量类比大小方向任务一:空间向量的基本概念.阅读教材第2页（5分钟）并完成问题1， 2，3. 问题1.类比平面向量及其相关的概念完成下表：平面向量空间向量向量具有大小和方向的量向量基本概念长度或模 平面向量的大小表示方法 几何表示法：有向线段；字母表示法AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 或a ⃗零向量 长度为0的向量. 注：大小为0，方向任意，只有一个.特殊向量 单位向量 长度等于1个单位的向量. 注：大小为1，方向待定，有无数个. 相等向量 大小相等且方向相同的向量 向量间的关系相反向量 大小相等且方向相反的向量平行向量 方向相同或相反的非零向量.规定：零向量与任一向量平行. 共线向量 平行向量问题2：利用空间向量的有关概念解题，判断对错，并说明理由. (1) 若向量a 和向量b 都是单位向量，则a=b. （ ） (2) 零向量和任何向量平行. （ ） (3) 相反向量一定共线 . （ ） (4) 共线向量一定相等. （ ）(5) 若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是平行向量. （ ） (6) 零向量没有方向.（ ）(7) 平行于同一个向量的两个向量是平行向量.（ ) (8) 若向量a 和向量b 不共线，则两个向量不平行.（ ）变式训练1.给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；②若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |； ③在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AC →＝A 1C 1→；④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p . 其中正确命题的序号是________．问题3：如图，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，写出满足下列条件的所有的向量.（1）写出与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量. （2）写出与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 相反的向量. （3）写出与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的向量. 师生活动： 在一组判断习题中完成对空间向量及其相关概念的学习，尤其对共线向量和平行向量概念的理解，与学生探讨最后教师总结：其本质就是根据相等向量的定义得知向量的可移动性，也为后续的知识打好基础.设计意图：学生通过阅读并独立思考，通过类比的手法给出空间向量的概念以及相关知识点 ，锻炼学生的猜想探究能力,结合平面向量的知识得出空间向量间的关系，并能掌握它们之间的差别与联系，同时也锻炼学生的概括理解能力；同时有意训练学生在特殊的几何体中去感受空间向量的关系，也为后续的共面向量定理做好准备.任务二:空间向量的线性运算.引导语：数学中，引进一种量后，一个很自然的问题就是要研究它们的运算.由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，这样任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算.因此，我们把平面向量的线性运算推广到空间，定义空间向量的加减法以及数乘运算.核心知识点：空间向量的线性运算 (1)向量的加法、减法空间向量的运算加法 OB →＝OA →＋OC →＝a ＋b减法CA →＝OA →－OC →＝a －b加法运算律①交换律：a ＋b ＝b ＋a②结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )(2)空间向量的数乘运算①定义：实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa 与向量a 方向相同； 当λ<0时，λa 与向量a 方向相反；当λ＝0时，λa ＝0；λa 的长度是a 的长度的|λ|倍． ②线性运算的运算律（其中λ，μ是实数） a ．结合律：λ(μa )＝μ(λa )＝(λμ)a .b ．分配律：(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ，λ(a ＋b )＝λa ＋λb .问题4：结合教材第3页的探究问题，你能证明加法的结合律吗？在证明时与平面向量的结合律有什么不同?可以发现，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 其中包含问题:(1)向量加减法有几种法则？它们的原则是什么？ (2)对于两个向量来说，空间向量与平面向量有何区别？ (3)空间任意两个向量的线性运算，平面向量的结论都适用吗？总结：一般地，对于三个不共面的向量a ，b ，c ，以任意点O 为起点，a ，b ，c 为邻边作平行六面体，则a ，b ，c 的和等于以O 为起点的平行六面体对角线所表示的向量.另外，利用向量加法的交换律和结合律，还可以得到：有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变.师生活动：教师先让学生思考，再师生一起归纳:对于问题（1）让学生去回答，通过回答的过程完成记忆的唤醒，对加法的三角形法则和平行四边形法则加深理解，同时减法的三角形法则要注意是“共起点，连终点，方向指向被减向量”；对于问题（2）平面向量在一个平面内可以平移，而空间向量在空间也可以平移，平移后的向量与原向量是同一向量，由此得出空间任意两个向量都可转化为共面向量；对于问题（3）答案是肯定的，在于学生一问一答的交流中得出结论：空间任意两个向量的线性运算，平面向量的结论都适用.设计意图：通过具体问题，引导学生初步归纳空间向量的线性运算的运算律，并从宏观上构建研究空间向量的路径.为巩固所学知识，安排一道例题和变式：例1.如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为向量AC 1→的有( )①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→；④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个变1.如图所示，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若AB→＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( )A.－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋cC.－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c教师根据以上问题的回顾教师提出追问1：对任意两个空间向量a 与b ，如果a→=λb→(λ∈R )，a 与b 有什么位置关系？反过来，a 与b 有什么位置关系时,a→=λb →？设计意图：通过具体问题，引导学生初步归纳空间向量的共线向量定理.任务三: 共线向量定理.(1)共线向量定理：对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使a ＝λb .(2)如图，O 是直线l 上一点，在直线l 上取非零向量a ，则对于直线l 上任意一点P ，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得OP →＝λa . 同时我们把与向量a 平行的非零向量称为直线l 的方向向量．问题5： 如图，如果l 为经过已知点A 且平行于已知向量 a 的直线，那么对任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t,满足哪个等式？答：在l 上取AB →=a ，可得AP→ =t a→=t AB→ .问题6：运用向量的加法还可以得出什么？答：OP→ =OA→ +AP→ , OP→ =OA→ +t a→=OA→ +t AB→ ,还可以得出OP→ =(1−t )OA→ +t OB→ .师生活动：共同研讨得出共线向量定理的推论：设O,A,B 三点不共线，那么点P 在直线AB 上的充要条件是：存在唯一实数t,使得OP→ =(1−t )OA→ +t OB→ .设计意图：通过教师的引导学生逐步得出共线定理的推理，培养了学生的猜想探究能力. 任务四: 共面向量定理.根据平面向量知识，回答下列问题：问题6：当向量a ，b 不共线时，对于平面内任一向量p 是否都能用向量a ，b表示？怎样表示？答： 是，存在唯一的有序实数对(x ，y )，使向量p ＝x a ＋y b .问题7：任意两个向量是共面的，若空间有三个向量，在什么条件下可以共面呢？【提示】若三个向量中其中一个可以被另外两个线性表示，即向量p ,a ，b ，存在有序数对（x ，y ）使得p =x a +y b 时，这三个向量共面。
高中数学_3.1.1 空间向量的线性运算教学设计学情分析教材分析课后反思
本节课分为6个环节：引入概念，概念形成，概念深化，应用概念，归纳小结和布置作业。
其中重点是概念的形成和概念的深化，实际教学时间25分钟1。
引入概念在引入概念环节中，我以一个生活实例（学生从宿舍到操场上完操回到教室再由教室到餐厅就餐的过程）引出空间向量的问题，通过追问激发学生学习新概念的兴趣，并给出本节课具体的研究方向。
这节课作为《空间向量与立体几何》一章的第一节课，我希望让它也起到章节“导游图”的作用。
2。
概念形成首先我向学生展示预习学案当中学生复习巩固的平面向量的知识。
教师引导：接着我给出平面向量概念的PPT，由学生从定义、表示、方向刻画、大小刻画、特殊向量、向量间的特殊关系等方面探究空间向量的概念。
我想学生提出问题：在已知平面向量的基本概念情况下如何研究空间向量的基本概念？学生回答：将平面向量的相关知识推广到空间向量。
师生小结：我通过问题串帮助学生将概念梳理清楚，让他们体会到空间向量与平面向量的概念完全相同，只是所处的环境不同而已。
以前研究的向量都位于平面内，现在他们可以在空间中任意平移了。
在这个过程中让学生明确空间向量的研究方法，体会数学的严谨性。
接着我通过提问让学生类比平面向量去定义空间向量的加法，减法和数乘运算，同时得到多个空间向量求和的多边形法则，让学生进一步体会空间向量与平面向量之间的关系，突出教学重点。
3。
概念深化为了简化运算就需要研究空间向量线性运算的运算律。
我向学生提出以下问题：平面向量中学习过哪些线性运算的运算律？这些运算律是不是也可以推广到空间中去呢？咱们先来看看哪些可以直接由平面结论得到？（PPT给出）学生通过探究发现由于加法交换律和分配律都只涉及到一个或两个向量，可以看作同一平面上的问题，可由平面结论直接得出；而空间中任意三个向量可能不共面，所以加法结合律还需要重新证明。
接着由学生自主完成对加法结合律的证明。
教师小结：通过结合律的证明能培养学生的空间观念，他们还能进一步体会空间向量中的某些问题与平面向量中相应问题的不同之处。
教案)空间向量及其运算
教案)空间向量及其运算教案内容：一、教学目标1. 了解空间向量的概念，理解向量的几何表示和坐标表示。
2. 掌握空间向量的线性运算，包括加法、减法、数乘和点乘。
3. 能够应用空间向量的运算解决实际问题。
二、教学重点与难点1. 空间向量的概念及其几何表示。
2. 空间向量的坐标表示及其运算。
3. 空间向量的应用问题。
三、教学准备1. 教师准备PPT或黑板，用于展示向量的图形和运算过程。
2. 准备一些实际问题，用于引导学生应用向量知识解决。
四、教学过程1. 引入：通过展示一些实际问题，如物体运动、几何图形等，引导学生思考向量的概念和作用。
2. 讲解：向学生介绍空间向量的概念，讲解向量的几何表示和坐标表示。
通过示例和图形，让学生理解向量的加法、减法、数乘和点乘运算。
3. 练习：让学生通过练习题的方式，巩固对向量运算的理解和掌握。
可以提供一些选择题和填空题，以及一些应用问题。
4. 应用：引导学生将向量知识应用到实际问题中，如物体运动、几何图形等。
可以让学生分组讨论和展示解题过程。
5. 总结：对本节课的主要内容和知识点进行总结，强调重点和难点。
五、作业布置1. 完成课后练习题，包括选择题、填空题和应用问题。
2. 准备下一节课的预习内容，了解空间向量的线性组合和叉乘。
六、教学反思在课后，教师应反思本节课的教学效果，包括学生的参与度、理解程度和掌握情况。
根据学生的反馈和表现，调整教学方法和策略，以便更好地进行后续教学。
六、教学评价1. 评价方式：通过课堂讲解、练习题和实际问题解决，评价学生对空间向量的概念理解和运算掌握程度。
2. 评价标准：学生能准确地描述空间向量的概念，理解向量的几何表示和坐标表示；能熟练地进行向量的加法、减法、数乘和点乘运算；能将向量知识应用到实际问题中，解决问题。
七、拓展与延伸1. 向量的线性组合：向学生介绍空间向量的线性组合概念，讲解线性组合的性质和运算规律。
2. 向量的叉乘：向学生介绍空间向量的叉乘概念，讲解叉乘的性质和运算规律。
空间向量及其线性运算——教学设计
选修2-1第3章3.1 空间向量及其线性运算高中数学教学设计师：同学们不仅能够善于动脑，而且能够团结互助，非常好！老师很高兴。
在各位同学的思考下我们完善了空间向量的相关概念。
老师这有一个疑问空间中任意两个向量是共面的。
对不对？（提问）那我们在计算空间向量时不就可以把空间向量移到同一个平面上进行计算了吗？同学们能不能根据这一想法结合课本总结一下空间向量的加法、减法、数乘的定义呢？各小组再次快速的讨论下。
教师巡视各小组给出指导及建议。
老师提问学生回答并且板书。
师：同学们都非常的棒，总结的很到位，那让我实际操作下，试试看各位同学是真本事还是纸上谈兵。
例1、（课件展示）请学生板演生：对学生讨论生：空间向量的加法减法数乘的定义与平面向量一样→→→→→→→→→→=-=+=+=aOPOAOBABbaABOAOBλ满足的预算律平面向量的运算律相同→→→→→→→→→→→→→→+=+++=+++=+babacbacbaabbaλλλ)()(分配率结合律交换律其余学生在座位完成例题，板书设计教学反思。
1.1.1空间向量及其线性运算教案--2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
1.1.1 空间向量及其线性运算一、教学目标1. 了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示法和字母表示法；2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；3. 了解共面向量的意义，掌握其表示方法，理解共线向量定理和共面向量定理及其推论.二、教学重难点1. 教学重点空间向量的线性运算和运算律.2. 教学难点共线向量定理及共面向量定理.三、教学过程（一）新课导入我们已经学过了平面向量，那么能否把平面向量推广到空间向量呢？我们先来看空间向量的概念和表示.（二）探索新知探究一空间向量的概念及表示空间向量的定义：与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.空间向量用字母a，b，c，…表示.与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模.如图1.1-1，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作AB，其模记为||a或||AB.图1.1-2所示的正方体中，过同一个顶点O的三条棱上的三条有向线段表示的三个向量为OA，OB，OC，它们是不共面的向量，即它们是不同在任何一个平面内的三个向量.与平面向量一样，我们规定，长度为0的向量叫做零向量，记为0.当有向线段的起点A 与终点B重合时，AB 0.模为1的向量叫做单位向量.与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为-a.如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有//0a.方向相同且模相等的向量叫做相等向量.因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.空间向量是自由的，对于空间中的任意两个非零向量，可以通过平移使它们的起点重合.因为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不共线向量可以确定一个平面，也就是说，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量.如图1.1-3，已知空间向量a ，b ，以任意点O 为起点，作向量OA OB ==，a b ，我们就可以把它们平移到同一个平面α内.问题1 平面向量与空间向量有什么区别与联系？（学生自主思考，举手回答，教师引导，做最后总结）（1）区别：平面向量研究的是二维平面的向量，空间向量研究的是三维空间的向量.（2）联系：空间向量的定义、表示方法及零向量、单位向量、相反向量、相等向量和共线向量（平行向量）的概念都与平面向量相同.探究二 空间向量的线性运算由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，这样任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算.下面我们把平面向量的线性运算推广到空间向量的线性运算.问题2 如图1.1-4和图1.1-5，计算λ+-，，a b a b a .（学生以小组为单位讨论，每组选出代表回答，教师总结）（1）OA AB OB +=+=a b ；（2）OA OC CA -=-=a b ；（3）当0λ>时，OA PQ λλ==a ；当0λ<时，OA MN λλ==a ；当0λ=时，λ=0a .问题3 由此是否能得出空间向量线性运算的运算律？（学生自主思考，举手回答，教师引导，做最后总结）空间向量线性运算的运算律：（1）交换律：+=+a b b a ；（2）结合律：()()()()λμλμ++=++=，a b c a b c a a ；（3）分配律：()()λμλμλλλ+=++=+，a a a a b a b .问题4 如图1.1-6，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，分别标出AB AD AA '++，AB AA AD '++表示的向量.从中体会向量加法运算的交换律和结合律.一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？在平行四边形ABCD 中，AB AD AC +=；在平行四边形ACC A ''中，AC AA AC ''+=；在平行四边形ABB A ''中，AB AA AB ''+=；在平行四边形AB C D ''中，AB AD AC ''+=.故AB AD AA AB AA AD AC '''++=++=.一般地，对于三个不共面的向量a ，b ，c ，以任意点O 为起点，a ，b ，c 为邻边作平行六面体，则a ，b ，c 的和等于以O 为起点的平行六面体对角线所表示的向量.利用向量加法的交换律和结合律，可以得到：有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变.探究三 共线向量及共面向量问题5 对任意两个空间向量a 与b ，如果()λλ=∈R a b ，a 与b 有什么位置关系？反过来，a 与b 有什么位置关系时，λ=a b ？共线向量定理：类似于平面向量共线的充要条件，对任意两个空间向量a ，b ()≠0b ，//a b 的充要条件是存在实数λ，使λ=a b .如图1.1-7，O 是直线l 上一点，在直线l 上取非零向量a ，则对于直线l 上任意一点P ，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得OP λ=a .与向量a 平行的非零向量称为直线l 的方向向量.这样，直线l 上任意一点都可以由直线l 上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定.如图1.1-8，如果表示向量a的有向线段OA所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.问题6 我们知道，任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能是共面的，也可能是不共面的.那么，什么情况下三个空间向量共面呢？带着问题6来进行探究.问题7 对平面内任意两个不共线向量a，b，由平面向量基本定理可知，这个平面内的任意一个向量p可以写成x y=+p a b，其中(x，y)是唯一确定的有序实数对.对两个不共线的空间向量a，b，如果x y=+p a b，那么向量p与向量a，b有什么位置关系？反过来，向量p与向量a，b有什么位置关系时，x y=+p a b？可以发现，如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使x y=+p a b.（共面向量定理）例1 如图1.1-9，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使OE OF OG OHkOA OB OC OD====.求证：E，F，G，H四点共面.证明：因为OE OF OG OHk OA OB OC OD====，所以OE kOA OF kOB OG kOC OH kOD ====，，，. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AC AB AD =+.因此EG OG OE kOC kOA k AC =-=-=()()k AB AD k OB OA OD OA =+=-+-OF OE OH OE =-+-EF EH =+由向量共面的充要条件可知，EH EF EG ，，共面，又EH EF EG ，，过同一点E ，从而E ，F ，G ，H 四点共面.（三）课堂练习1.下列命题：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面；③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量.其中正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3 答案：A解析：a 与b 共线，a ，b 所在直线也可能重合，故①错误；根据向量的意义知，空间任意两向量a ，b 都共面，故②错误；三个向量a ，b ，c 中任意两个一定共线，但它们三个却不一定共面，故③错误；因为空间任意两向量平移之后均可共面，所以空间任意两向量均共面，故④错误.综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.2.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是111111,,,,,A A AB BC CC C D D A 的中点，则( )A.0EF GH PQ ++=B.0EF GH PQ --=C.0EF GH PQ +-=D.0EF GH PQ -+= 答案：A解析：观察平面六面体1111ABCD A B C D -可知，向量,,EF GH PQ 平移后可以首尾相连，于是0EF GH PQ ++=.故选A.3.已知空间向量a ，b ，且2AB =+a b ，56BC =-+a b ，72CD =-a b ，则一定共线的三点是( )A. A ，B ，DB. A ，B ，CC. B ，C ，DD. A ，C ，D答案：A解析：567224BD BC CD a b a b a b =+=-++-=+，2,2BA AB a b BD BA =-=--∴=-，,,A B D ∴三点共线，故选A.4.已知三个向量a ，b ，c 不共面，并且,235,71822=+-=--=-++p a b c q a b c r a b c ，向量p ，q ，r 是否共面？答案：假设存在实数,λμ，使λμ=+p q r ，则(27)(318)(522)λμλμλμ+-=-+-++-+a b c a b c .∵a ，b ，c 不共面，∴27131815221λμλμλμ-=⎧⎪-+=⎨⎪-+=-⎩，解得5313λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 即存在实数51,33λμ==，使λμ=+p q r ，∴p ，q ，r 共面. （四）小结作业小结：1.空间向量的概念； 2.空间向量的线性运算； 3.空间共线向量与共面向量.作业：四、板书设计1.1.1 空间向量及其线性运算1. 空间向量的相关概念：空间向量；模；零向量；单位向量；相反向量；共线向量（平行向量）；相等向量.2. 空间向量线性运算的运算律：（1）交换律；（2）结合律；（3）分配律.3. 共线向量定理；共面向量定理.。
空间向量及其线性运算 教学设计-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
1.1“空间向量及其运算”单元-课时教学设计一、内容及其解析1.内容：空间向量及其线性运算、空间向量的数量积运算。
2.内容解析：内容的本质：向量是既有大小也有方向的量，即用有向线段表示空间中具体存在的矢量；空间向量是平面向量的延伸，基本具有平行向量的性质，具有加法、减法和数乘等线性运算以及数量积运算，并且均满足运算律：结合律、交换律和结合律，向量在数学、物理以及现代科技中有着广泛应用。
蕴含的数学思想和方法：在教学时，最能体现数学思想的是类比思想，将空间向量类比比较平面向量，得出向量的性质与运算。
在解题时，所蕴含的数学思想则是方程思想、数形结合思想和转化思想。
知识的上下位关系：“平行向量的延伸——空间向量的含义——空间向量线性运算——空间向量数量积运算”,其中，空间向量是平面向量的延伸，空间向量的线性运算表示向量与向量间的加法、减法和数乘，并且在学习空间向量的数量积运算前要学会向量间的关系（平行或相交或异面、有夹角与无夹角）。
育人价值：从我们对向量知识的认识可知，向量的教学可以有效地将几何与代数知识相联系，实现各类知识之间的联系性教学帮助学生掌握其中的数学方法。
向量作为联系代数与几何的媒介，很多向量问题可以利用代数与几何的知识来综合解决，有利于培养学生的数形结合思想。
在数字与字母的组合下，数运算、多项式运算为AxA=A的形式，数与多项式的运算为AxB=B的形式。
向量运算除了以上的类型，还包括较为特殊的数量积运算，即是AxA=B的形式。
在向量运算背景下，我们得以实现对长度、面积和体积等度量单位的计算问题，向学生们展现了不一样的计算类型。
通过几何体，巩固学习空间向量的含义与运算，有利于培养学生空间想象能力即数学抽象、直观想象和数学运算等数学核心素养。
教学重点：通过类比平面向量的概念来归纳并理解空间向量的含义，发现空间向量也与平面向量满足线性运算(加法、减法和数乘），懂得运算律，以及学会空间向量的数量积计算方法和几何意义。
教案)空间向量及其运算
空间向量及其运算第一章：空间向量的概念1.1 向量的定义介绍向量的定义和表示方法解释向量的方向和大小1.2 向量的图形表示绘制向量的起点和终点展示向量的箭头表示法1.3 向量的坐标表示介绍坐标系的概念解释如何用坐标表示向量第二章：空间向量的运算2.1 向量的加法介绍向量加法的定义和性质演示向量加法的图形表示法2.2 向量的减法介绍向量减法的定义和性质演示向量减法的图形表示法2.3 向量的数乘介绍向量数乘的定义和性质解释数乘对向量大小和方向的影响第三章：空间向量的线性组合3.1 线性组合的概念介绍线性组合的定义和表示方法解释线性组合的性质3.2 线性相关的向量组介绍线性相关的定义和判定条件展示线性相关向量组的例子3.3 线性无关的向量组介绍线性无关的定义和判定条件解释线性无关向量组的重要性第四章：空间向量的线性变换4.1 线性变换的概念介绍线性变换的定义和表示方法解释线性变换的性质4.2 矩阵与线性变换介绍矩阵的概念和表示方法解释矩阵与线性变换的关系4.3 线性变换的矩阵表示解释线性变换的矩阵表示方法演示如何求解线性变换的矩阵第五章：空间向量的内积和外积5.1 内积的概念介绍内积的定义和表示方法解释内积的性质和几何意义5.2 内积的计算公式介绍内积的计算公式和推导过程演示如何计算两个向量的内积5.3 外积的概念介绍外积的定义和表示方法解释外积的性质和几何意义5.4 外积的计算公式介绍外积的计算公式和推导过程演示如何计算两个向量的外积第六章：空间向量的投影6.1 投影的概念介绍向量投影的定义和表示方法解释投影的性质和几何意义6.2 投影的计算方法介绍投影的计算方法和推导过程演示如何计算一个向量在另一个向量上的投影6.3 投影的应用解释投影在几何和物理中的应用展示投影在坐标变换和图像处理中的应用第七章：空间向量的正交性7.1 正交性的概念介绍正交性的定义和表示方法解释正交性的几何意义和重要性7.2 正交向量组介绍正交向量组的定义和判定条件展示正交向量组的例子7.3 施密特正交化解释施密特正交化的概念和推导过程演示如何将一组向量正交化第八章：空间向量的范数8.1 范数的概念介绍范数的定义和表示方法解释范数的性质和几何意义8.2 常见范数介绍常见范数的概念和计算方法演示如何计算向量的不同范数8.3 范数与向量空间解释范数与向量空间的关系展示范数对向量空间结构的限制第九章：空间向量的角度和距离9.1 角度的概念介绍向量角度的定义和表示方法解释向量角度的几何意义9.2 角度的计算方法介绍向量角度的计算方法和推导过程演示如何计算两个向量之间的角度9.3 距离的概念介绍向量距离的定义和表示方法解释向量距离的几何意义9.4 距离的计算方法介绍向量距离的计算方法和推导过程演示如何计算两个向量之间的距离第十章：空间向量的应用10.1 向量在几何中的应用解释向量在几何中的作用和应用展示向量在证明几何定理和解决问题中的应用10.2 向量在物理中的应用介绍向量在物理中的基本概念和应用解释向量在力学和电磁学中的应用10.3 向量在工程和计算机科学中的应用介绍向量在工程和计算机科学中的应用展示向量在图像处理、机器学习和数据可视化等方面的应用第十一章：空间向量的分解11.1 向量分解的概念介绍向量分解的定义和表示方法解释向量分解的意义和几何意义11.2 向量的线性组合分解介绍向量的线性组合分解方法和步骤演示如何将一个向量分解为线性组合11.3 向量的正交分解解释向量的正交分解的概念和推导过程演示如何将一个向量正交分解为两个正交向量的和第十二章：空间向量组的极大线性无关组12.1 极大线性无关组的概念介绍极大线性无关组的定义和判定方法解释极大线性无关组的意义和重要性12.2 基底的概念介绍基底的概念和表示方法解释基底的作用和几何意义12.3 基底的选取方法介绍基底的选取方法和策略展示如何选择合适的基底第十三章：空间向量空间和子空间13.1 向量空间的概念介绍向量空间的概念和性质解释向量空间的作用和重要性13.2 子空间的概念介绍子空间的概念和判定方法解释子空间的意义和几何意义13.3 子空间的性质和运算介绍子空间的性质和运算规则演示如何计算子空间的交集和并集第十四章：空间向量的线性映射14.1 线性映射的概念介绍线性映射的定义和表示方法解释线性映射的性质和几何意义14.2 线性映射的矩阵表示解释线性映射的矩阵表示方法和推导过程演示如何求解线性映射的矩阵14.3 线性映射的性质和运算介绍线性映射的性质和运算规则展示线性映射的图像和特点第十五章：空间向量的应用案例分析15.1 向量在几何中的应用案例分析向量在几何中的经典应用案例解释向量在解决几何问题中的作用和方法15.2 向量在物理中的应用案例分析向量在物理中的经典应用案例解释向量在解决物理问题中的作用和方法15.3 向量在工程和计算机科学中的应用案例分析向量在工程和计算机科学中的经典应用案例解释向量在解决工程和计算机科学问题中的作用和方法重点和难点解析1. 向量的概念及其表示方法：向量是具有大小和方向的量，可以用箭头表示法、坐标表示法等方法表示。
高二数学(人教A版)《空间向量及其线性运算》【教案匹配版】最新国家级中小学精品课程可修改文字
所以有：a + (b + c)＝(a + b ) + c.
高中数学
高中数学高二上册
追问(5) 如何证明空间向量的加法结合律呢？
a c b
一般地，对于三个不共面的向量 a， b，c，以任意点 O为起点， a，b，c为 邻边作平行六面体，则 a，b，c的和等 于以O为起点的平行六面体对角线所表 示的向量.
＝(a + b) + c， λ(μa)＝(λμ)a； ③分配律： (λ+μ)a＝λa + μa， λ(a+b)＝λa + λb.
空间向量的线性运算
高中数学高二上册
高中数学
平面向量的线性运算
空间向量的线性运算
(3)运算律：
(3)运算律：
①交换律： a + b＝b + a； ①交换律： a + b＝b + a；
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高中数学
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追问(3) 你还记得平面向量基本定理的内容吗？它和
三个空间向量共面有什么关系吗？
p
bp
α O.
a
若 p在α内，则有 p＝xa +yb；
若 p＝xa +yb，则 p在α内.
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平面向量基本定理
空间向量共面的充要条件
若向量 a，b是平面α内
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追问(4) 空间向量线性运算运算律的证明，和平面向量有哪些异同？
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平面向量的线性运算
空间向量的线性运算
(3)运算律：
(3)运算律：
①交换律： a + b＝b + a； ①交换律： a + b＝b + a；
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a
C'
B'
A'
D'D
A
B
C 课 题：空间向量及其线性运算 教学目标：
1．运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； 2．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质； 3．理解空间向量共线的充要条件
教学重点：空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质； 教学难点：空间向量的线性运算及其性质。
教学过程： 一、创设情景
1、蚂蚁爬行的问题引入为什么要研究空间向量.
2、平面向量的概念及其运算法则； 二、建构数学
1．空间向量的概念：
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量 注：⑴空间的一个平移就是一个向量
⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）
b a AB OA OB
+=+=
b a OB OA BA
-=-= )(R a OP ∈=λλ
运算律：
⑴加法交换律：a b b a
+=+
⑵加法结合律：)()(c b a c b a
++=++
⑶数乘分配律：b a b a
λλλ+=+)(
3．平行六面体：
平行四边形ABCD 平移向量a
到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A ''''，它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。
4．共线向量
与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向
量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //．
当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b
的有向线段所在的直线可能是同
一直线，也可能是平行直线． 5．共线向量定理：
共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b
的充要条件是存在实数λ，
C B A
O
b b b
a
a
A / B
使a
＝λb .
三、数学运用
1、例1 如图，在三棱柱111C B A ABC -中，M 是1BB 的中点， 化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： （1）1BA CB +; （2）12
1
AA CB AC +
+; （3）CB AC AA --1
解：（1）11CA BA CB =+ （2）AM AA CB AC =+
+12
1
（3）11BA CB AC AA =--
2、如图，在长方体///B D CA OADB -中，1,2,4,3======OK OJ OI OC OB OA ，点E,F 分别是//,B D DB 的中点，设k OK j OJ i OI ===,,,试用向量k j i ,,表示OE 和OF
解：j i OE 423
+=
k j i OF 242
3
++=
3、课堂练习
已知空间四边形ABCD ，连结,AC BD ，设,M G 分别是,BC CD 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量： （1）AB BC CD ++；
（2）1
()2AB BD BC +
+； （3）1
()2
AG AB AC -+．
四、回顾总结
空间向量的定义与运算法则 五、布置作业
72页 练习2,3
《数学之友》选T3.1空间向量及其线性运算
B
C
D
M
G
A。