解析几何中的几何条件代数化

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几何与代数关系

几何与代数关系几何和代数是数学的两个分支。

它们之间有许多相似之处和紧密的联系。

几何主要研究点、线、面等几何图形的性质和关系。

代数则主要研究算术运算、量与方程解法等数学计算方法。

虽然几何和代数看起来很不同，但它们之间存在着紧密的联系。

本文将介绍几何与代数之间的关系。

1.坐标系坐标系是几何和代数之间的最基本联系之一。

在几何中，我们使用点、线、面来描述几何图形。

在代数中，我们使用数学符号和方程来描述数学问题。

二维坐标系将几何图形表示为平面上的点(x,y)，其中x表示横坐标，y表示纵坐标。

坐标系的建立不仅使几何问题更加直观，而且使得使用代数工具解决几何问题更加便捷。

2.向量向量也是几何和代数之间的重要联系。

在几何中，向量是一条有方向的线段，它可以用长度和方向表示。

我们可以用向量表示几何中的平移、旋转、缩放等变换。

在代数中，向量由一个或多个数字组成，它们的运算与几何中的向量运算类似。

向量的引入不仅使几何问题具有更普遍的形式，而且使代数工具更加具体化。

3.类比与相似性几何和代数之间的一个有趣联系是类比和相似性。

在代数中，我们经常使用类比来解决问题，这种方法涉及到事物之间的相似性，即它们具有共同的属性。

在几何中，相似性涉及几何图形之间的形状和大小的共同属性。

几何中的相似性和代数中的类比都基于比较几何图形或数学对象的相似性。

4.三角函数三角函数是几何和代数之间的另一个联系点。

三角函数通常与三角形相关，其定义基于三角形内部的角度。

三角函数在代数中的定义给出了解决三角形问题的方法，例如求解三角函数的值以及求解三角形各边长和角度度量等。

在几何中，三角函数的定义描述了角度的度量和三角形的性质。

三角函数在几何和代数问题中都扮演着重要的角色。

5.代数解析几何代数解析几何是几何和代数之间的一种高级联系。

在代数解析几何中，我们使用代数技巧来研究几何问题。

我们使用坐标系将几何图形转化为方程式，并运用代数工具来分析几何属性。

代数解析几何为几何问题的解决提供了更加强大的工具。

解析几何的基本概念与方法

解析几何的基本概念与方法解析几何是数学中的一个分支，它研究的是几何图形的性质与运算方法，通过使用坐标系和代数方法，以解析的方式对几何问题进行研究和求解。

本文将介绍解析几何的基本概念与方法，包括平面解析几何和空间解析几何。

一、平面解析几何平面解析几何是解析几何的基础，它使用二维坐标系来描述平面内的几何图形。

在平面解析几何中，我们常常使用直角坐标系，即在平面上取定一个原点和两个相互垂直的坐标轴。

坐标轴的长度单位可以任意选择，通常为了方便计算，我们选择单位长度为1。

在平面解析几何中，我们可以通过坐标来表示点、直线和曲线。

例如，对于一个点P，我们可以用有序数对(x,y)来表示其坐标，其中x为点P在x轴上的投影坐标，y为点P在y轴上的投影坐标。

对于直线，我们可以使用线性方程来表示，例如y=kx+b，其中k为直线的斜率，b 为直线与y轴的截距。

平面解析几何的方法主要有两种：坐标法和方程法。

坐标法是通过将几何图形上的点和直线的坐标代入特定的方程中，解方程得出几何问题的解。

方程法是先建立问题的解析方程，然后利用代数运算方法求解问题。

二、空间解析几何空间解析几何是平面解析几何的拓展，它使用三维坐标系来描述空间内的几何图形。

在空间解析几何中，我们使用直角坐标系，该坐标系由三个相互垂直的坐标轴组成，分别称为x轴、y轴和z轴。

类似于平面解析几何，我们可以通过坐标来表示空间中的点、直线和曲面。

例如，对于一个点P，我们可以用有序数组(x,y,z)来表示其坐标，其中x为点P在x轴上的投影坐标，y为点P在y轴上的投影坐标，z为点P在z轴上的投影坐标。

对于直线，我们可以使用参数方程来表示，例如x=a+lt，y=b+mt，z=c+nt，其中(a,b,c)为直线上的一点，l、m、n为方向向量的分量，t为参数。

空间解析几何的方法同样有坐标法和方程法。

不过由于空间中的几何图形更为复杂，解析计算过程也复杂许多。

在研究空间解析几何时，我们常常借助向量运算、矩阵运算和线性代数的方法来求解问题。

解析几何综合问题(1)(把几何关系转化为代数关系)

解析几何综合问题引例：已知)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为)0,3(2F ，离心率为e ；（1）若e=23，求椭圆的方程；（2）设直线kx y=与椭圆相交于A 、B 两点，M 、N 分别为线段AF 2,BF 2的中点，若坐标原点O 在以直线MN 为直径的圆上，且2322≤<e ，求k 的取值范围例1：椭圆C ：1422=+y x ，过点D （0，4）的直线l 与椭圆C 交于两点E 、F ，根据以下条件，尝试把几何关系转化为代数关系：（1）设B （0，41-），若BE=BF ，求直线l 的斜率；（2）A 是椭圆的右顶点，且∠EAF 的角平分线是x 轴，求直线l 的方程；（3）以线段OE 、OF 为邻边作平行四边形OEFP ，其中顶点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点，求O 到直线l 距离最小值；（4）若以EF 为直径的圆过原点，求直线l 的斜率；（5）点M 为直线y=21x 与该椭圆在第一象限内的交点，平行于OM 的直线l ，交椭圆于A 、B 两点，求证：直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形。

例2：设椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为F 1,F 2，上顶点为A ，过点A 与AF 2垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且2221=+Q F F F ,若过A 、Q 、F 2三点的圆恰好与直线l ：033=--y x 相切，过定点M(0,2)的直线l 1与椭圆C 交于G 、H 两点，（点G 在M 、H 之间）（1）求椭圆方程；（2）设直线l 1的斜率k>0,在x 轴上是否存在点P （m ，0），使得PG 、PH 为邻边的平行四边形是菱形，若存在，求出m 的取值范围，若不存在，请说明理由。

小结：（1）借助几何直观，把几何条件准确代数化，尽量减少变量个数；（2）明确算理，注意量与量的关系；（3）要有坚强的毅力，只要目标明确，坚持比方法重要。

高考数学中的解析几何中的运算法则

高考数学中的解析几何中的运算法则解析几何是数学的一个分支，它涉及了空间中的点、直线和平面等几何图形，并且通过坐标系将这些几何图形与代数方程联系起来。

在高考数学考试中，解析几何是一个非常重要的主题，通常会涉及到一些基本的运算法则。

本文将探讨高考数学中的解析几何中的运算法则。

一、向量的加减法解析几何中，向量通常用箭头表示，箭头代表了向量的大小和方向。

向量的加法和减法是指将两个向量相加或相减得到一个新的向量。

向量的加法和减法可以用尾部对齐的方法进行，即让向量的起点重合，然后将向量的终点连成一个新的向量。

例如，向量a和向量b的加法可以用如下公式表示：a +b = (a1+b1,a2+b2,a3+b3)其中，a1、a2和a3分别代表了向量a的x、y和z分量，b1、b2和b3分别代表了向量b的x、y和z分量。

向量的减法也可以采用类似的方法，只需要让b变成-b即可。

二、向量的数量积向量的数量积是指两个向量的乘积，通常用符号“·”表示。

向量的数量积的大小等于两个向量长度的乘积再乘以它们之间的夹角的余弦值。

向量的数量积也可以用向量的分量表示：a·b = a1b1 + a2b2 + a3b3例如，如果向量a和向量b的夹角为θ，则它们的数量积可以表示为：a·b = |a||b|cosθ其中，|a|和|b|分别代表向量a和向量b的长度。

另外，如果两个向量垂直，则它们的数量积为0，因为它们之间的夹角是90度，cos90度等于0。

三、向量的叉积向量的叉积是指两个向量的乘积，通常用符号“×”表示。

向量的叉积得到的是一个新的向量，这个向量垂直于原来的两个向量，并且大小等于原来两个向量的大小之积再乘以它们之间的夹角的正弦值。

向量的叉积也可以用向量的分量表示：a×b = (a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)例如，如果向量a和向量b的夹角为θ，则它们的叉积可以表示为：|a×b| = |a||b|sinθ其中，|a×b|表示向量a和向量b的叉积的大小。

代数方程与解析几何

代数方程与解析几何引言：代数方程与解析几何是高中数学中重要的两个分支，代数方程研究的是数学方程的解，而解析几何则研究的是几何图形与代数方程之间的关系。

本文将从代数方程的基本概念开始，逐步展开讲解代数方程与解析几何的相关内容，帮助学生理解和掌握这两个分支的知识。

一、代数方程的基本概念1.1 代数方程的定义代数方程是含有未知数的等式，其形式为f(x) = 0，其中f(x)是一个多项式函数。

1.2 代数方程的次数代数方程的次数是指方程中最高次项的次数，如一次方程、二次方程等。

1.3 代数方程的根代数方程的根是指使方程成立的未知数的值，可以是实数根或复数根。

二、一元高次代数方程2.1 一元一次方程一元一次方程是形如ax + b = 0的方程，其中a、b为已知数，x为未知数。

2.2 一元二次方程一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知数，x为未知数。

2.3 一元高次代数方程的求解方法介绍一元高次代数方程的求根方法，包括配方法、因式分解法、求根公式等。

三、多元代数方程组3.1 二元一次方程组二元一次方程组是形如{ax + by = c,dx + ey = f}的方程组，其中a、b、c、d、e、f为已知数，x、y为未知数。

3.2 二元一次方程组的解法介绍二元一次方程组的解法，包括代入法、消元法等。

3.3 三元一次方程组及更高次方程组介绍三元一次方程组及更高次方程组的定义和解法。

四、解析几何基础知识4.1 点、直线、平面的坐标表示介绍点、直线、平面的坐标表示方法，包括点的坐标、直线的方程和平面的方程。

4.2 直线的斜率和截距介绍直线的斜率和截距的概念和计算方法。

4.3 直线的倾斜角和法线介绍直线的倾斜角和法线的定义和计算方法。

五、代数方程与解析几何的关系5.1 一元一次方程与直线的关系介绍一元一次方程与直线的关系，包括方程的解与直线上的点的关系。

5.2 一元二次方程与抛物线的关系介绍一元二次方程与抛物线的关系，包括方程的解与抛物线上的点的关系。

数学中的解析几何与空间几何

数学中的解析几何与空间几何解析几何与空间几何是数学中两个重要的分支，它们研究的对象都是几何图形和空间结构，但在方法和应用上存在一些区别。

本文将介绍解析几何和空间几何的概念、基本原理以及在实际问题中的应用。

一、解析几何的基本概念及原理解析几何是研究几何图形的代数方法，它将几何图形用代数方程来表示和处理。

解析几何的基本概念包括点、直线、平面、曲线等，这些概念在代数表达上都有相应的表示方法。

以平面几何为例，假设在平面上有两个点A（x1，y1）和B（x2，y2），则这两点所确定的直线方程可以表示为：(y-y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1)这个方程就是解析几何中直线的一般方程，它将几何图形转化为了代数表达式。

利用解析几何的方法，我们可以轻松地求解直线之间的交点、直线的斜率等几何问题。

二、空间几何的基本概念及原理空间几何则是研究空间结构和物体之间的几何关系，其研究对象包括点、直线、面、体等。

空间几何主要利用向量和矩阵的方法进行表示和分析。

以三维空间为例，假设有两个点A（x1，y1，z1）和B（x2，y2，z2），则这两点之间的向量可以表示为：AB = (x2-x1, y2-y1, z2-z1)利用向量的方法，我们可以计算空间中两点之间的距离、直线和平面的交点等复杂几何问题。

此外，空间几何还可以与解析几何相结合，通过代数方程和几何图形的相互转化，进一步推广和应用。

三、解析几何与空间几何的应用解析几何和空间几何在实际问题中有着广泛的应用。

以解析几何为例，它在计算机图形学、经济学、物理学等领域都有着重要的应用。

在计算机图形学中，解析几何可以用于描述和处理图像、人工智能等方面的问题，帮助计算机生成真实、逼真的图像。

在经济学中，解析几何可以应用于生产函数的表示和分析，帮助研究经济发展的规律。

在物理学中，解析几何可以用于描述粒子运动的轨迹、电场分布等问题，为物理学研究提供了重要的数学工具。

而空间几何则广泛应用于地理学、建筑学、机械工程等领域。

掌握解析几何的基本原理解决初中数学中的解析几何题

掌握解析几何的基本原理解决初中数学中的解析几何题解析几何是数学中的一个重要分支，它以坐标系和代数运算为基础，通过几何图形的代数表示和分析来研究几何问题。

掌握解析几何的基本原理对于初中数学中的解析几何题目的解决是至关重要的。

本文将就解析几何的基本原理及其在初中数学中的应用进行探讨。

一、坐标系的建立解析几何的基本原理之一是建立坐标系。

坐标系是用来确定平面上每一个点位置的系统，由横坐标和纵坐标组成。

在平面直角坐标系中，我们通常将横坐标记作x，纵坐标记作y。

通过建立坐标系，我们可以将几何图形用代数方程表示，从而实现对几何问题的分析与解决。

二、直线的表示和性质直线是解析几何中最基本的图形之一。

在平面直角坐标系中，直线可以通过一元一次方程（即直线方程）表示。

直线方程的一般形式为y=kx+b，其中k为斜率，b为截距。

通过直线方程我们可以得到直线的斜率、截距以及与坐标轴的交点等重要性质，进而解决直线的相关问题。

三、距离和中点解析几何中的距离和中点问题是初中数学中常见的题型之一。

两点之间的距离可以通过距离公式来求解。

距离公式为d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)，其中（x1，y1）和（x2，y2）为两点的坐标。

中点可以通过两个点的横坐标和纵坐标的平均数来求解，即中点的横坐标为(x1+x2)/2，纵坐标为(y1+y2)/2。

掌握距离和中点的求解方法，可以帮助我们更好地理解和解决相关问题。

四、角的表示和性质在解析几何中，角可以通过坐标表示。

角的大小可以通过两个向量的夹角来确定。

两个向量的夹角可以通过向量的数量积公式来求解，即a·b=|a||b|cosθ，其中a和b为向量，θ为两个向量的夹角。

角的性质和特殊角的求解也是解析几何重要的内容之一。

五、解析几何在图形证明中的应用解析几何所涉及的坐标和方程可以用来证明几何图形的性质。

通过合理选择合适的坐标系、建立正确的方程，我们可以轻松地证明几何图形之间的关系。

数学解析几何题解题技巧

数学解析几何题解题技巧解析几何作为高中数学重要的一部分，是数学中的一门重要学科。

解析几何题目通常涉及到点、线、面等几何元素，并结合数学分析的方法进行求解。

解析几何题解题技巧的掌握对于学生的考试成绩和数学水平有着重要的影响。

本文将介绍一些解析几何题解题的常见技巧和方法。

一、坐标表示法在解析几何中，常常使用坐标表示法来解决问题。

坐标表示法利用数轴上的点与数的对应关系，将几何问题转化为数学问题进行求解。

在解析几何题目中，常用的坐标表示法包括直角坐标系、极坐标系等。

直角坐标系是最常见的坐标表示法之一。

在直角坐标系中，我们用x和y两个坐标轴来表示二维平面上的点。

在解析几何题目中，可以通过设定坐标原点，确定x轴和y轴的正负方向，来表示点的位置。

利用直角坐标系，我们可以计算线的斜率、距离等问题，从而解决解析几何题目。

极坐标系是另一种常用的坐标表示法。

在极坐标系中，我们用极径和极角来表示平面上的点。

极径表示点到坐标原点的距离，极角表示点与极轴的夹角。

利用极坐标系，我们可以更方便地表示圆、曲线等等问题，从而解决解析几何题目。

二、方程表示法方程表示法是解析几何题目中另一个重要的解题方法。

通过建立方程，可以用代数的方法求解几何问题。

在解析几何题目中，常常利用点、线、曲线的方程来表示几何元素的性质和关系。

例如，对于一条直线，可以通过两点式、点斜式、一般式等不同形式的方程来表示。

在解析几何题目中，可以通过已知条件，建立直线的方程，并结合其他几何元素的方程，解得问题的答案。

对于一条曲线，通常可以通过解析几何的知识，建立其方程，并通过求解方程，得到曲线上的点坐标等问题。

在解析几何题目中，方程表示法是解决问题的重要手段之一。

三、向量表示法向量表示法是解析几何题目中另一个常用的技巧。

向量表示法利用向量的性质和运算，可以更方便地表示点、线、面等几何元素，从而解决解析几何问题。

在解析几何题目中，常常通过设立向量的起点和终点，来表示点或线段。

掌握初中数学如何正确利用解析几何解决平面和空间形的问题

掌握初中数学如何正确利用解析几何解决平面和空间形的问题解析几何是数学中的一个重要分支，它研究的是平面和空间中的几何图形及其性质。

初中数学作为数学教学的重要阶段，学习解析几何对于学生的数学素养和问题解决能力培养有着重要的作用。

本文将介绍如何正确利用解析几何解决平面和空间图形的问题。

一、解析几何的基本概念解析几何是利用代数方法研究几何问题的学科，它将几何图形的性质转化为代数表达式，并通过代数方法进行求解。

在解析几何中，我们使用坐标系来描述平面和空间中的点、直线、曲线等图形。

其中，平面几何使用二维坐标系，空间几何使用三维坐标系。

二、平面解析几何的应用1. 平面图形的性质判断通过坐标系，我们可以利用解析几何的方法判断平面图形的性质。

例如，给定一个三角形的三个顶点坐标，我们可以通过计算三角形的边长、角度等来判断三角形的形状（例如是否为等边三角形、等腰三角形等）。

2. 直线的方程与性质解析几何中，直线可以用一元一次方程表示。

利用解析几何的方法，我们可以求解直线的方程，进而研究直线的性质。

例如，给定直线上两个点的坐标，我们可以通过计算和求解方程来得到直线的方程式，从而研究直线的斜率、与坐标轴的交点等。

3. 圆的方程与性质圆是平面几何中的重要图形，它的方程也可以通过解析几何的方法求解。

利用解析几何，我们可以得到圆心和半径的表达式，进而研究圆的性质。

例如，给定圆心和半径，我们可以求解圆的方程，并通过方程研究圆的直径、切线等。

三、空间解析几何的应用1. 空间图形的性质判断类似于平面解析几何，空间解析几何也可以用来判断空间图形的性质。

例如，给定四面体的四个顶点坐标，我们可以通过计算四面体的体积、表面积等来判断四面体的形状（例如是否为正四面体、直角四面体等）。

2. 平面与直线的位置关系在空间中，直线与平面的位置关系是解析几何的一个重要问题。

给定直线和平面的方程，我们可以通过求解方程组来判断直线是否与平面相交、平行或重合。

通过解析几何教学体会代数与几何之间的转化

通过解析几何教学体会
代数与几何之间的转化
通过平面解析几何的学习，体会用代数方法处理几何问题的思想、进一步体会数形结合的思想方法，是本章最根本的思想教学目标．
结合课标要求与北京市考纲要求，本专题的重点内容有：直线平行与垂直的条件，直线的几种方程形式，距离公式，圆的标准方程，直线与圆的位置关系，椭圆与抛物线的定义、标准方程与性质，直线与圆锥曲线的位置关系（主要是直线与椭圆的位置关系）．
在平面直角坐标系中建立直线、圆与圆锥曲线的方程，运用代数方法研究它们的几何性质及其相互间的位置关系，这是本章学习的核心内容和重点知识目标．
解析几何把数学的两个基本对象——形和数有机地联系起来，这就使得坐标法的作用更加明显，这对于人们发现新结论也具有重大意义．我们在用坐标法解决几何的过程中，除了将“形”翻译为“数”和将“数”翻译为“形”这两个环节外，还有一个关键环节就是代数运算，这也是很多学生的弱点．因此，通过具体问题的解答示范与训练，培养学生数形结合的思维习惯，形成用代数方法解决几何问题的能力和一定的代数运算能力，是解析几何最突出的能力教学目标．。

几何问题代数化

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几何问题代数化
作者：王镱家
来源：《初中生世界·八年级》2017年第05期
老师说，数学分为几何与代数两大部分.几何问题讲究“证”，就是用已有的条件来证明命题是否成立；代数问题讲究“算”，就是计算.这两部分的联系看似不紧密，在学习了一些几何知识之后，我发现它们其实是和谐的整体.在求解一些几何问题时，我们经常可以通过代数化的方
法来处理，下面的这道例题就是.
如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥BC，AE=CE，AB=3，BC=9，求BE的长.
解决这个问题可用设未知数的方法，将BE、AE表示出来，再通过勾股定理列方程就行了.其实，设未知数列方程求解就是一种几何问题代数化的形式.具体过程如下：
解：设CE=x，则AE=x，BE=BC-CE=9-x.在Rt△ABE中，由勾股定理得：
AB2+BE2=AE2，即32+（9-x）2= x2，所以x=5.故BE=4.
同学们，你们是不是也跟我一样经常会遇到这类可以利用代数化的方法来解决的几何题呢？代数与几何，如同阴与阳，缺一不可.合理利用几何问题代数化，便可成功解题哦！
教師点评：几何问题代数化就是用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题进行处理，同时通过观察代数结果的几何含义，最终解决几何问题.伟大的数学
家笛卡尔曾设想：“把一切问题归结为数学问题，把一切数学问题归结为代数问题，把一切代数问题归结为方程.”他的这个设想帮助他成功创立了解析几何，实现了几何问题代数化的目标.王同学从这个角度阐述了几何问题中的“数”和“形”的联系，对于帮助同学们解决几何问题、掌握数学思想、建构相对完整的数学知识网络都有很好的启发意义.
（指导教师：张文明）。

数学中的代数与几何的综合应用

数学中的代数与几何的综合应用在数学的广袤领域中，代数和几何犹如两颗璀璨的明珠，各自闪耀着独特的光芒。

然而，当它们相互融合、协同作用时，所展现出的力量和魅力更是令人叹为观止。

代数为几何提供了精确的量化工具，几何则为代数赋予了直观的形象表达，二者的综合应用在解决各种数学问题以及实际生活中的难题时，发挥着至关重要的作用。

代数与几何的结合，最常见的体现便是在解析几何中。

通过建立坐标系，我们可以将几何图形中的点、线、面等元素用代数方程来表示。

比如，一条直线可以用形如 y ＝ kx ＋ b 的方程来描述，其中 k 为斜率，b 为截距。

而一个圆则可以用方程（x a)²＋（y b)²＝ r²来表示，其中（a, b) 为圆心坐标，r 为半径。

这种将几何对象转化为代数方程的方法，使得我们能够运用代数运算来研究几何图形的性质。

例如，要求两条直线的交点，只需联立它们的方程求解即可。

如果是求一个点到一条直线的距离，也可以通过相关的代数公式进行计算。

这种方法不仅简化了几何问题的求解过程，还为我们提供了一种通用且系统的研究手段。

在实际应用中，代数与几何的综合应用更是无处不在。

比如在物理学中，运动轨迹的研究就离不开这两者的结合。

假设一个物体做平抛运动，我们可以通过建立直角坐标系，利用代数中的运动学公式和几何中的图形关系，来描述物体在不同时刻的位置、速度和加速度等物理量。

通过求解相关的代数方程，我们能够准确地预测物体的运动轨迹和最终的落点。

再比如在工程设计中，代数与几何的综合应用也发挥着重要作用。

当设计一个桥梁的结构时，工程师需要考虑桥梁的承重能力、稳定性以及美观性等多个因素。

通过建立几何模型，并运用代数中的力学公式进行计算和分析，能够确定桥梁各个部分的尺寸、形状和材料，以确保桥梁的安全性和可靠性。

在数学竞赛和考试中，代数与几何的综合问题也是常见的题型。

这类问题通常需要我们灵活运用代数和几何的知识，通过巧妙的转化和推理来求解。

高等代数在解析几何问题中的应用研究

高等代数在解析几何问题中的应用研究引言高等代数是数学中非常重要的一个分支，它不仅作为数学的一种基础理论，而且在实际应用中也有着广泛的应用。

在解析几何中，高等代数的理论和方法被广泛地应用于解决各种几何问题，比如直线、平面、曲线、曲面等几何对象的性质和相互关系等方面。

本文将探讨高等代数在解析几何问题中的应用研究，通过具体的案例分析来展示高等代数在解析几何中的重要性和应用价值。

一、高等代数在解析几何中的基本概念1. 向量和向量空间在解析几何中，向量是一个非常基本的概念，它代表了空间中的一个有方向和大小的量。

高等代数中的向量和向量空间理论为解析几何问题的研究提供了基本的工具和方法。

通过向量的加法、数乘等运算，我们可以方便地描述和分析空间中各种几何对象的性质和相互关系。

2. 矩阵和线性变换3. 行列式和特征值行列式和特征值是高等代数中的另一个重要概念，它们在解析几何中也有着重要的应用。

通过计算几何对象的行列式和特征值，我们可以得到这些对象的面积、体积、特征向量等重要信息，从而深入地研究和分析解析几何问题。

1. 直线和平面的关系在解析几何中，直线和平面是两个基本的几何对象，它们的相互关系是解析几何中的重要问题之一。

通过高等代数的理论和方法，我们可以方便地分析直线和平面的交点、夹角、相交关系等问题。

通过向量的法向量和点向量表示，我们可以求解直线和平面的交点和夹角，从而深入地研究它们的相互关系。

2. 曲线和曲面的性质3. 空间中的投影和旋转在解析几何中，空间中的投影和旋转是非常常见的问题，它们涉及到向量空间的坐标变换和线性变换等内容。

通过矩阵和线性变换的理论和方法，我们可以方便地分析空间中的投影和旋转的性质，从而深入地研究解析几何中的这些重要问题。

高等代数在解析几何中有着广泛的应用前景和研究价值。

随着解析几何和高等代数理论的不断发展和深入，我们相信高等代数在解析几何中的应用研究将会取得更加显著的成果和进展，为解析几何问题的研究提供更加有效的工具和方法。

几何变换与解析几何

几何变换与解析几何在数学的广袤领域中，几何变换与解析几何犹如两颗璀璨的明珠，相互辉映，为我们揭示了空间与图形的奥秘。

几何变换，简单来说，就是对几何图形进行某种规则的移动、旋转、缩放、反射等操作。

想象一下，我们手中有一个三角形，通过将它平移一段距离，或者绕着一个点旋转一定角度，又或者放大缩小其尺寸，这就是几何变换在起作用。

这种变换不仅能够改变图形的位置和形状，还能帮助我们从不同的视角去理解和研究图形的性质。

解析几何则是另一种强大的工具，它通过引入坐标系，将几何图形中的点用坐标表示，把几何问题转化为代数问题来解决。

比如说，一条直线在平面直角坐标系中可以用一个方程来描述，一个圆也可以用特定的方程来表达。

这样一来，我们就可以运用代数运算和方程求解的方法来研究几何图形的性质和关系。

那么，几何变换和解析几何之间有着怎样紧密的联系呢？首先，几何变换可以通过解析几何的方法进行精确的描述和计算。

在坐标系中，我们可以通过矩阵运算来实现图形的平移、旋转和缩放等变换。

例如，对于一个点的坐标（x, y) ，如果要将其在 x 方向平移a 个单位，在 y 方向平移b 个单位，那么变换后的坐标就变成了（x ＋a, y ＋b) 。

而旋转和缩放的变换则可以通过更复杂的矩阵运算来实现。

其次，解析几何为研究几何变换的性质提供了便利。

通过方程和坐标，我们可以清晰地看到几何变换对图形的顶点、边、角度等元素的影响。

比如，对于一个经过旋转的图形，我们可以通过计算旋转前后顶点坐标的变化，来确定图形的旋转中心和旋转角度。

再者，几何变换在解析几何中有着广泛的应用。

在解决一些几何问题时，我们常常通过适当的几何变换，将复杂的图形转化为更简单、更易于处理的形式。

比如，通过平移和旋转，可以将一个不在坐标轴上的图形移动到坐标轴上，从而方便我们进行计算和分析。

举个例子，假设我们要计算两个相交直线所形成的夹角。

如果直接从几何角度去求解，可能会比较复杂。

但如果我们先通过适当的旋转和平移，将其中一条直线与坐标轴重合，那么问题就可以转化为计算另一条直线与坐标轴的夹角，这样就大大简化了计算过程。

解析几何解题技巧归纳

解析几何是数学中的一个重要分支，主要研究平面和空间中的点、直线、曲线以及它们之间的关系。

在解析几何中，解题技巧的掌握对于提高解题效率和准确性至关重要。

下面将从以下几个方面对解析几何解题技巧进行归纳总结。

1. 理解基本概念和性质解析几何的基本概念包括点、直线、曲线等，而基本性质则包括距离、角度、斜率等。

在解题过程中，首先要对题目中涉及的基本概念和性质有清晰的理解，这样才能准确地运用相关公式和方法进行求解。

2. 利用坐标系解析几何中，坐标系是解决问题的重要工具。

通过建立合适的坐标系，可以将问题转化为代数方程或函数的形式，从而利用代数方法进行求解。

在建立坐标系时，要考虑到题目的特点和要求，选择合适的坐标系类型，如直角坐标系、极坐标系等。

3. 利用几何性质解析几何中的几何性质是解题的关键。

通过观察和分析几何图形的性质，可以得出一些结论和关系，从而简化问题的求解过程。

例如，利用平行线的性质可以解决与平行线相关的题目；利用垂直线的性质可以解决与垂直线相关的题目等。

4. 利用相似三角形相似三角形是解析几何中常用的一个工具。

通过构造相似三角形，可以将问题转化为已知条件和未知量之间的关系，从而进行求解。

在构造相似三角形时，要注意选择合适的基准点和基准线，以及利用已知条件和几何性质进行推导。

5. 利用对称性对称性是解析几何中的一个重要性质。

通过利用对称性，可以将问题转化为已知条件和未知量之间的关系，从而进行求解。

在利用对称性时，要注意选择合适的对称轴和对称中心，以及利用已知条件和几何性质进行推导。

6. 利用参数方程参数方程是解析几何中常用的一种表示方法。

通过将问题转化为参数方程的形式，可以简化问题的求解过程。

在利用参数方程时，要注意选择合适的参数和参数范围，以及利用已知条件和几何性质进行推导。

7. 利用三角函数三角函数是解析几何中常用的一个工具。

通过利用三角函数，可以将问题转化为已知条件和未知量之间的关系，从而进行求解。

解析几何中常见“几何特征代数化”

在解析几何中，“几何特征代数化”是坐标法实施的关键步骤，它与代数运算结合在一起，是数形结合思想运用的最好体现.许多复杂的几何条件需要利用平面几何知识进行分解后才能转化，需要学生对几何图形有较强的分析能力，并准确把握图形的元素、关系.因此，解析几何问题必须首先将题目的条件或结论中的几何特征转化为代数形式.转化的常见策略有：（1）几何特征直接代数化；（2）先把几何条件用几何方法进行恰当地分解或处理，再代数化.即对难以“直译”的条件先利用平面几何知识“转化”为“简单、易翻译”的条件后再进行代数化.本文以“平行四边形”条件的代数转化、“等腰直角三角形”条件的代数转化、“四点共圆”条件的代数转化为例，谈谈解析几何中“几何特征代数化”的转化策略.题型一：“平行四边形”条件的代数转化几何性质对边平行对边相等对角线互相平分代数实现斜率相等或向量平行长度相等，横（纵）坐标差相等中点重合例1（2015年新课标2卷理科20）已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与椭圆C有两个不同的交点A,B，线段AB的中点为M.（1）证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值；（2）若直线l过点(m3,m)，延长线段OM与椭圆C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时直线l的斜率；若不能，请说明理由.分析：第（1）问属于解析几何中的常规题型，常见的解法有两种：①经典的“设而不求”，用“坐标”分别表示直线OM与直线l的斜率的过程中借助“韦达定理”进一步化简；②“中点弦”问题可用“点差法”解决.无论选择哪种方法，都容易得出两直线的斜率乘积为定值-9.第（2）问入口较宽，若四边形OAPB能为平行四边形，则可以从不同角度实施对平行四边形OAPB这一几何特征解析几何中常见“几何特征代数化”的转化策略江苏省溧水高级中学丁称兴211200摘要：本文举例说明了“几何特征代数化”三类题型的转化策略.关键词：几何特征代数化；分类；转化策略ylAMBO x图1的代数转化.思路1：四边形OAPB 为平行四边形⇔线段AB 与线段OP 互相平分（几何问题）⇔点P 与点O 关于点M 对称（M 为线段AB 中点已知）（几何问题）⇔x P =2x M （代数问题）.解析过程：由（1）知直线OM :y =-9kx ，设点P 的横坐标为x P ，联立直线与椭圆有ìíîïïy =-9k x9x 2+y 2=m2，消去y 得9x 2+81k 2x 2=m 2，则x P 2=k 2m 29k 2+81，即x P =.由（1）得x M =-kb k 2+9.由x P =2x M ，有=2×(-kb k 2+9)，即有±m 3.由直线l :y =kx +b 过点(m 3,m )，得m =km 3+b ，即b =m (3-k )3.将其代入等式±m 3=2b k 2+9，得±m 3=2m (3-k )3，整理得±1，两边平方得k 2-8k +9=0，解得k =4±7.因为直线l 过点(m 3,m )，所以直线l 不过原点且与椭圆C 有两个交点的充要条件是k >0且k ≠3.综上，当直线l 的斜率为4±7时，四边形OAPB 为平行四边形.思路2：四边形OAPB 为平行四边形⇔OP = OA +OB （从向量的角度理解平行四边形）⇔(x P ,y P )=(x A +x B ,y A +y B )=(2x M ,2y M )（几何问题代数化）⇔x P =2x M ，y P =2y M （代数问题）.解析过程：由x M =-kb k 2+9，消去b ，由直线l :y =kx +b 过点(m 3,m )，得m =km 3+b ，即b =m (3-k )3.于是x M =-kb k 2+9=k (k -3)m3(k 2+9)，故y M =-9k x M =-3(k -3)mk 2+9.因为点P (2x M ,2y M )在椭圆C 上，所以9[2k (k -3)m 3(k 2+9)]2+[-6(k -3)m k 2+9]2=m 2，化简得4k 2(k -3)2m 2+36(k -3)2m 2(k 2+9)2=m 2，即(k -3)2(4k 2+36)=(k 2+9)2，化简得k 2-8k +9=0，解得：k =4±7.接下来的过程同思路1.评析：在“平行四边形”这一几何特征下，本题的解析过程中给出两种最常见的代数转化策略：①对角线互相平分，转化为“点与点关于点对称”；②向量加法的平行四边形法则，转化为“坐标之间的关系”.这是最适用本题且通俗易懂的转化策略.当然，我们也可以选择将“对边平行且相等”这一几何特征转化为“向量相等”.题型二：“等腰直角三角形”条件的代数转化几何性质两边垂直勾股定理斜边中线性质（中线等于斜边一半）两边相等两角相等三线合一（垂直且平分）代数实现斜率乘积为-1或向量数量积为0两点间距离公式两点间距离公式两点间距离公式底边水平或竖直时，两腰斜率相反垂直：斜率或向量平分：中点坐标公式例2已知点A ,B 在椭圆C :x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)上，点A 在第一象限，O 为坐标原点，且OA ⊥AB ，（1）若a =3,b =1，直线OA的方程为x-3y=0，求直线OB的斜率；（2）若△OAB是等腰三角形（点O,A,B按顺时针排列），求b a的最大值.解析：第（1）问由椭圆C:x23+y2=1与直线OA联立，解得点A(32,12)，由OA⊥AB，解得点B(127,-17)，从而直线OB的斜率为-112.第（2）问，思路1：设直线OA的斜率为k(k>0)，则直线AB的斜率为-1k.由△OAB是等腰直角三角形（点O,A,B按顺时针排列），设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1>0,y1>0,x1<x2).因为OA=AB，所以x12+y12=(x1-x2)2+(y1-y2)2,即|y1|x1-x2，所以y1=x2-x1，即x1+y1=x2.又由OA⊥AB，得y1x1⋅y2-y1 x2-x1=-1，所以y2=y1-x1.因为点A(x1,y1),B(x1+y1,y1-x1)在椭圆上，从而有x12a2+y12 b2=1且(x1+y1)2a2+(y1-x1)2b2=1，所以x12a2+y12b2=(x1+y1)2a2+(y1-x1)2b2，整理得b2(y1x1)2-2(a2-b2)⋅y1x1+a2=0，所以Δ=4(a2-b2)2-4a2b2 0，因式分解得(a2-b2+ab)(a2-b2-ab) 0，从而有a2-b2-ab 0，即(b a)2+b a-1 0，解得b a，即ba的最大值为.思路2：设直线OA的斜率为k(k>0)，倾斜角为θ(0∘<θ<90∘).因为△OAB是等腰直角三角形（点O,A,B按顺时针排列）且OA⊥AB，则直线OB的斜率为k-11+k.设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1>0,y1>0,x1<x2).联立直线OA与椭圆方程，得x12=a2b2b2+a2k2，联立直线OB与椭圆方程，得x22=a2b2b2+a2(k-11+k)2=a2b2(1+k)2b2(1+k)2+a2(k-1)2.又因为OB=2OA，所以OB2=2OA2，即2(1+k2)x12=[1+(k-11+k)]2x22，从而有2(1+k2)⋅a2b2b2+a2k2=[1+(k-11+k)]2⋅a2b2(1+k)2b2(1+k)2+a2(k-1)2，整理得b2k2-2(a2-b2)k+ a2=0，所以Δ=4(a2-b2)2-4a2b2 0，因式分解得(a2-b2+ab)(a2-b2-ab) 0，从而有a2-b2-ab 0，即(b a)2+b a-1 0，解得b a，即b a的最大值为.评析：对于“等腰直角”这一几何特征，将“垂直”转化为两直角边所在直线的斜率的乘积为-1或向量数量积为0，将“直角边相等”用距离公式转化为坐标之间的关系，这是“坐标法”解决解析几何问题的最好体现.题型三：“四点共圆”条件的代数转化几何性质四点共圆代数实现先由不共线的三点确定圆的方程，再证明第四个点在圆上.对角互补的四边形的四点共圆对角线所在直线的倾斜角互补对边所在直线的斜率之和为0找出圆心的位置，求出圆的半径.例3如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,P为右准线上一点，点Q在椭圆上，且FQ⊥FP.（1）若椭圆的离心率为12，短轴长为23，①求椭圆的方程；②若直线OQ,PQ的斜率分别为k1,k2，求k1⋅k2的值.（2）若在x轴上方存在P,Q两点，使O,F,P,Q四点共圆，求椭圆离心率的取值范围.分析：本题主要考查斜率乘积定值、四点共圆、离心率范围、直径圆、垂径定理.第（1）问的②先可以选择用“坐标”来分别表示k1,k2，借助椭圆方程消元，可得k1⋅k2为定值-34，也可用“向量法”避开对直线斜率是否存在的讨论，由FQ⋅FP=(x0-1,y0)⋅(3,y p)=0，解得yp =-3(x0-1)y0，此处的一般结论为k1⋅k2=-b2a2.对于第（2）问，涉及到四点共圆，此时常有如下代数转化的形式.思路1：设P(a2c,t),Q(x0,y0)，因为FQ⊥FP，所以△FQP的外接圆是以PQ为直径的圆(x-a2c )(x-x)+(y-t)(y-y)=0.由题意得，焦点F和原点O均在该圆上，所以ìíîïï(c-a2c)(c-x)+ty=0a2c x0+ty=0，消去ty0，得(c-a2c)⋅(c-x)-a2c x0=0，解得x=c-a2c.因为点P,Q均在x轴上方，所以-a<x0=c-a2c<c，整理得c2+ac-a2>0，即e2+e-1>0且0<e<1，解得e<1.思路2：因为O,F,P,Q四点共圆且FQ⊥FP，所以PQ为圆的直径，圆心为PQ的中点M.因为OF为弦，由垂径定理可得xM=c2，又M为PQ的中点，故xQ=2xM-a2c=c-a2c，以下过程同思路1.“几何特征代数化”的转化在几何与代数之间架起了一座沟通的桥梁，从而实现了对几何性质从定性到定量的研究，使得对图形的性质有更精确的把握.通过转化，形成的坐标法、综合论证法、向量法、分析法共同构成中学数学研究几何图形性质的四大方法，完善对解析几何的认知结构.图2xPFOQy。

几何问题代数化笛卡尔设想

几何问题代数化笛卡尔设想
笛卡尔在数学上的贡献是非常重要的，他是现代代数和解析几
何的奠基人之一。

他的代数化几何思想对数学的发展产生了深远的
影响。

首先，让我们来谈谈几何问题的代数化。

在笛卡尔的思想中，
他将几何问题转化为代数问题，这被称为“代数化几何”。

通过引
入坐标系，笛卡尔将几何图形的点用坐标来表示，从而将几何问题
转化为代数方程的问题。

这种方法极大地推动了几何和代数的结合，开创了解析几何的先河。

其次，笛卡尔的“笛卡尔坐标系”是他在几何问题代数化中的
重要贡献。

他引入了坐标系的概念，将几何图形的点与坐标系中的
点相对应，从而建立了几何和代数之间的桥梁。

这种坐标系的引入，使得几何问题可以用代数方程来描述和解决，为后来的解析几何奠
定了基础。

最后，笛卡尔的设想是指他设想了一种将几何问题转化为代数
问题的方法，这种方法在当时是非常新颖和前卫的。

他的设想极大
地推动了数学的发展，为后来的数学家们提供了重要的启示和思路。

总的来说，笛卡尔的代数化几何思想和设想对数学的发展产生了深远的影响，他的贡献被后人们广泛地认可和传承。

通过代数化几何，笛卡尔极大地丰富了数学的内涵，开拓了数学的新领域，为数学的发展注入了新的活力和动力。

圆锥曲线几何关系代数化

圆锥曲线几何关系代数化全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：圆锥曲线是解析几何中的重要概念，它们具有丰富的几何关系和代数特征。

本文将从圆锥曲线的基本概念入手，探讨其与几何关系和代数化的关系。

圆锥曲线是一种二次曲线，可以用方程或参数方程来表示。

常见的圆锥曲线有椭圆、双曲线和抛物线。

椭圆是一个闭合的曲线，双曲线则是两支无交点的曲线，而抛物线则有一个焦点和一条对称轴。

在解析几何中，圆锥曲线的重要性在于它们与直角坐标系之间的几何关系。

通过代数方法，我们可以将圆锥曲线与直角坐标系中的方程联系起来，从而得到更深入的几何认识。

以椭圆为例，其一般方程为\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1。

这个方程描述了一个以原点为中心的椭圆，其中a和b分别是椭圆在x轴和y轴上的半轴长度。

通过代数方法，我们可以将椭圆曲线与直角坐标系的坐标点联系起来，从而得到椭圆的几何性质。

抛物线是另一种重要的圆锥曲线，其一般方程为y^2=2px。

抛物线是一种开口向上或向下的曲线，具有焦点和对称轴。

通过代数方法，我们可以揭示抛物线曲线与直角坐标系之间的关系，进一步认识抛物线的几何特征。

圆锥曲线的几何关系和代数化是解析几何研究的重要内容。

通过代数方法，我们可以深入理解圆锥曲线的几何性质，从而为解决相关问题提供更好的数学工具。

希望通过本文的介绍，读者能对圆锥曲线的几何关系和代数化有更深入的认识。

【2000字】第二篇示例：圆锥曲线是平面几何中的一类重要曲线，包括圆、椭圆、抛物线和双曲线。

这些曲线在数学上有着深远的影响，不仅在几何中有着丰富的性质和特点，同时也蕴含了丰富的数学内涵。

圆锥曲线几何关系代数化，即将圆锥曲线的几何性质通过代数方法进行表述和求解，是数学研究中的重要方向之一。

在数学中，代数方法是一种重要的工具，通过代数方法，我们可以将几何问题转化为代数问题，从而更方便求解和研究。

在圆锥曲线几何关系代数化中，我们主要将圆锥曲线的方程进行代数化处理，通过方程的形式和性质，来研究圆锥曲线之间的几何关系。

代数几何与解析几何

代数几何与解析几何
在数学中，代数几何和解析几何是指使用代数方法和解析方法分别研究几何中的空间形状和空间模型的学科。

代数几何将利用代数计算，研究图形的投影和对图形的操作，如平行线，直线，圆等等。

解析几何则是利用微积分计算，研究各种曲线的特性，这些曲线包括抛物线、双曲线等等。

代数几何的研究历史可以追溯到古希腊时期，当时，开普勒及其学生正在利用代数方法去研究几何。

开普勒提出了以代数方法解决几何问题的概念，并将它称为“代数几何”。

在17世纪，德国数学家勃兰特发现，任何欧几里得几何中的曲线，都可以用一个特殊的代数方程来表示，这标志着代数几何开始走向成熟。

解析几何的发展一般被认为始于冯米勒的微积分发现，认为曲线的特性可以通过求导的方法来发现，这一发现使得解析几何作为一门独立的学科得以发展。

18世纪末，数学家拉格朗日发现，所有的曲线都可以用无穷多的抛物线来拟合，这表明曲线的特性可以通过拉格朗日定理来研究。

在20世纪，随着计算机技术的发展，代数几何和解析几何迅速发展成为最新一代的数学领域之一。

通过计算机程序，可以计算出各种几何图形的面积、长度，以及曲线上点的位置等等，这大大推动了代数几何和解析几何的发展。

今天，代数几何和解析几何已经在科学和技术领域发挥着重要的作用。

代数几何的研究对提高现代计算机平台的性能起着至关重要的
作用，例如图像处理，计算机游戏开发等；而解析几何则给科学研究带来了前所未有的新视角，例如宇宙研究，物理研究等。

总之，代数几何和解析几何无疑是数学史上一个十分重要的分支，其研究浓缩了数学中最优秀的基本原理，也为科学技术发展做出了贡献。

第43讲解析几何中的几何问题转化为代数问题(解析版)

第43讲解析几何中的几何问题转化为代数问题参考答案与试题解析一．解答题（共21小题）1．（2021•金牛区校级期末）已知动圆过定点(4,0)A ，且在y 轴上截得的弦MN 的长为8．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（Ⅱ）已知点(3,0)B -，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是PBQ ∠的角平分线，证明直线l 过定点．【解答】解：（Ⅰ）设动圆圆心(,)P x y ，则2222||||4PM PA x ==+即：2222(4)4x y x -+=+，即动圆圆心的轨迹方程为：28y x =，（Ⅱ）设两点1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y 设不垂直于x 轴的直线：:(0)l x ty m t =+≠，则28x ty m y x=+⎧⎨=⎩有：2880y ty m --=，所以：128y y t +=，128y y m =-，因为x 轴是PBQ ∠的角平分线，所以：0BP BQ k k +=即：1212033y yx x +=++即：12122(3)()0ty y m y y +++=，则：16(3)80tm m t -++=，所以：3:3m l x ty ==+所以直线l 过定点(3,0)．2．（2021•雅安模拟）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点．（1）求椭圆E 的方程；（2）过(1,0)-的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点，判断点9(,0)4G -与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．【解答】解：（1）椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点，则b ，c e a ===．则24a =∴椭圆E 的方程22142x y +=；（2）方法一：当l 的斜率为0时，显然9(4G -，0)与以线段AB 为直径的圆的外面，当l 的斜率不为0时，设l 的方程为：1x my =-，点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，AB 中点为0(H x ，0)y ．由221142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(2)230m y my +--=，所以12222m y y m +=+，12232y y m =+，从而022my m =+，所以22222200000095525||()()(1)44216GH x y my y m y my =++=++=+++， 2222222221212121212012()()(1)()(1)[()4]||(1)()4444x x y y m y y m y y y y AB m y y y -+-+-++-====+-，故222222012222||52553(1)25172||(1)042162(2)21616(2)AB m m m GH my m y y m m m ++-=+++=-+=>+++，所以22||||4AB GH >，故9(4G -，0)在以AB 为直径的圆外．解法二：当l 的斜率为0时，显然9(4G -，0)与以线段AB 为直径的圆的外面，当l 的斜率不为0时，设l 的方程为：1x my =-，设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则19(4GA x =+，1)y ，29(4GB x =+，2)y ，由221142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(2)230m y my +--=，12222m y y m +=+，12232y y m =-+， 212121212121229955525172()()()()(21)()0444441616(2)m GA GB x x y y my my y y m y y y y m +=+++=+++=++++=>+，cos GA ∴<，0GB >>，又GA ，GB 不共线，所以AGB ∠为锐角，故点9(4G -，0)在以AB 为直径的圆外．3．（2021•全国月考）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(2,1)P ，离心率e =．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，直线2l 平行于(OP O 为原点），且与椭圆C 交于两点A 、B ，与直线2x =交于点(M M 介于A 、B 两点之间）． ()i 当PAB ∆面积最大时，求2l 的方程； ()ii 求证：||||||||PA MB PB MA =．【解答】解：（1）由c e a ==c =，可得12b a =，由(2,1)P 在椭圆上，可得22411a b +=，解得a =，b =，则椭圆方程为22182x y +=；（2）()i 由题设条件可得12OP k =，可设直线2l 的方程为12y x t =+，联立椭圆方程22480x y +-=，可得222240x tx t ++-=，△2244(24)0t t =-->，即22t -<<，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，可得122x x t +=-，21224x x t =-，所以弦长222212125||()444(24)542AB x x x x t t t =+-=--=-，P 到直线AB 的距离d ，所以22214||||4222PABt t S AB d t ∆+-===，当且仅当22t =取得等号，由M 介于A ，B 之间，可得t =这时直线2l 的方程为12y x =()ii 证明：因为11111111122222PAx t y t k x x x +--===+---，同理可得2122PB tk x =+-，所以121212121212(4)(4)111()1122(2)(2)2()4PA PB t x x t x x k k t x x x x x x x x +-+-+=++=+=+-----++ 2(24)1110242(2)4t t t t --=+=-=---+，所以直线PA ，PB 关于直线2x =对称，即PM 为APB ∠的角平分线，所以由角平分线的性质可得||||||||AM PA BM PB =，即为||||||||PA MB PB MA =．4．（2021•福清市一模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(2,1)P．（1）求C 的方程；（2）已知直线l 不经过点P ，且斜率为12，若l 与C 交于两个不同点A ，B ，且直线PA ．PB 的倾斜角分别为α，β，试判断αβ+是否为定值，若是，求出该定值；否则，请说明理由．【解答】解：（1）离心率为c e a ==2a k =，c =，b k =，(0)k > 由224114k k+=，得22k =，故椭圆的方程为22182x y +=；（2）设直线1:(0)2l y x m m =+≠，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由22220182x y m x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得，222240x mx m ++-=，由△24824(164)0m =->，故(2m ∈-，0)(0⋃，2)，212122,24x x m x x m +=-=-，根据题意，PA 与PB 的斜率存在，所以α，2πβ≠，设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ， 12121211,22y y k k x x --==--，故12122112121211(1)(2)(1)(2)22(2)(2)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=---- 12211211(1)(2)(1)(2)22(1)(1)x m x x m x x x +--++--=--121212(2)()4(1)(2)(2)x x m x x m x x +-+--=--21224(2)(2)4(1)0(2)(2)m m m m x x -+----==--，由tan tan 0αβ+=，故αβπ+=．5．（2021春•田家庵区校级期中）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(2,1)P ，离心率为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 不经过点P 且与C 相交于A 、B 两点，且PA PB ⊥．证明：直线l 过定点．【解答】解：（1）根据题意得：c e a ==，又222a b c =+，即有b c ==，点(2,1)P 在椭圆上，可得22411a b +=，解得26a =，23b =，故椭圆C 的方程为22163x y +=；（2）证明：当直线l 的斜率存在时，设直线方程为y kx m =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线方程与椭圆方程，消去y ，得222(12)4260k x kmx m +++-=，△222222164(12)(26)0630k m k m k m =-+->⇒+->，122412kmx x k +=-+，21222612m x x k -=+， 1112PA y k x -=-，2212PB y k x -=-，由PA PB ⊥，可得1PA PB k k =-，∴12121212111112222y y kx m kx m x x x x --+-+-==-----，化为221212(1)(2)()4(1)0k x x km k x x m ++--+++-=，可得22222264(1)(2)()4(1)01212m kmk km k m k k-++---++-=++，化为22483210k km m m ++--=，可得(21)(231)0k m k m +-++=，直线l 不过(2,1)P ， 210k m ∴+-≠，则2310k m ++=，∴直线l 的方程为213k y kx +=-，即21()33y k x =--，直线过定点2(3，1)3-．6．（2021•河北区一模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(2,1)M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过原点的直线1l 与椭圆C 交于P，Q 两点，且在直线2:0l x y -+上存在点M ，使得MPQ ∆为等边三角形，求直线1l 的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：椭圆的离心率为c e a ===．即224a b =，由椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(2,1)M ，代入可知：224114b b+=，解得：22b =，则28a =，∴椭圆C 的方程22182x y +=；（Ⅱ）显然，直线l 的斜率k 存在，设0(P x，0)y ，则0(Q x -，0)y -，（1）当0k =，直线PQ 的垂直平分线为y 轴，y 轴与直线m 的交点为(0M ，，由丨PO 丨=，丨MO 丨= 60MPO ∴∠=︒，则MPQ ∆为等边三角形，此时直线1l 的方程为0y =，当0k ≠时，设直线1l 的方程为y kx =，则22182y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：22(14)8k x+=，解得：丨0x 丨=，则丨PO 丨=则PQ的垂直平分线为1y xk=-，则1x yy xk⎧-+=⎪⎨=-⎪⎩，解得：xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则(M，∴丨MO丨，MPQ∆为等边三角形，则丨MO丨=丨PO丨，∴，解得：0k=（舍去），23k=，∴直线1l的方程为23y x=，综上可知：直线1l的方程为0y=或23y x=．7．（2021春•锡山区校级期中）设椭圆2221(3x yaa+=>的右焦点为F，右顶点为A，已知113||||||eOF OA FA+=，其中O为原点，e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线l与椭圆交于(B B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BF HF⊥，且||||MA MO，求直线l的斜率的取值范围．【解答】解：（1）设(,0)F c，由113||||||eOF OA FA+=得，113()cc a a a c+=-，可得2223a c c-=，又2223a c b-==，可得21c=，24a=，∴椭圆方程为：22143x y+=；(2设直线l的方程为(2)y k x=-，0k≠，(BB x，)By，由方程组22143(2)x yy k x⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得，2222(43)1616120k x k x k +-+-=，解得2x =，或228643k x k -=+，由题意可知228643B k x k -=+，进而得21243B ky k -=+，由（1）知，(1,0)F ，设(0,)H H y ，则(1,)H FH y =-，2229412(,)4343k k BF k k -=++，由题意得，222124904343Hky k BF HF k k -=+=++，解得29412H k y k-=，∴直线MH 的方程为219412k y x k k-=-+，与直线l 的方程联立，可得点M 的横坐标 2220912(1)M k x k +=+，在MAO ∆中，由||||MA MO ，得2222(2)M M M M x y x y -+=+，得1M x ， ∴22209112(1)k k ++，解得64k -，或64k ，故直线l 的斜率的取值范围为：6(,[,)4-∞+∞．8．（2021•南昌县校级二模）设椭圆2221(3x y a a +=>的右焦点为F ，右顶点为A ，已知113||||||eOF OA FA +=，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设过点A 的直线l 与椭圆交于(B B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若BF HF ⊥，且MOA MAO ∠∠，求直线l 的斜率的取值范围．【解答】解：（1）设(,0)F c ，由113||||||eOF OA FA +=，即113()c c a a a c +=-，可得2223a c c -=，又2223a c b -==，所以21c =，因此24a =（4分）所以椭圆的方程为22143x y +=．（5分）（2）设直线l 的斜率为(0)k k ≠，则直线l 的方程为(2)y k x =-．设(B B x ，)B y ，由方程组22143(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得2222(43)1616120k x k x k +-+-=．解得2x =，或228643k x k -=+，由题意得228643B k x k -=+，从而21243B ky k -=+．（7分）由（1）知，(1,0)F ，设(0,)H H y ，有(1,)H FH y =-，2229412(,)4343k kBF k k -=++．由BF HF ⊥，得222124904343H ky k BF HF k k -=+=++，解得29412H k y k-=．因此直线MH 的方程为219412k y x k k-=-+．（9分）设(M M x ，)M y ，由方程组219412(2)k y x k y k x ⎧-=-+⎪⎨⎪=-⎩消去y ，解得2220912(1)M k x k +=+．（10分）在MAO ∆中，MOA MAO MA MO ∠∠⇔，即2222(2)M M M M x y x y -++，化简得1Mx ，即22209112(1)M k x k +=+，解得64k -，或64k ．（11分）所以，直线l的斜率的取值范围为6(,[,)4-∞+∞．（12分）9．（2021•烟台期末）已知抛物线21:4C x y =的焦点F 也是椭圆22222:1(0)y x C a b a b+=>>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦的长为（1）求椭圆2C 的方程；（2）经过点(1,0)-作斜率为k 的直线l 与曲线2C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，是否存在实数k ，使O 在以AB 为直径的圆外？若存在，求k 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由21:4C x y =知其焦点F 的坐标为(0,1)．因为F 也是椭圆2C 的一个焦点，所以221a b -=．① 又1C 与2C 的公共弦的长为1C 与2C 都关于y 轴对称，且1C 的方程为24x y =，由此易知1C 与2C 的公共点的坐标为(，3)2，所以229614a b +=．②联立①，②得29a =，28b =．故2C 的方程为22198y x +=．（2）由题意直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(1)y k x =+，联立方程228972y x y kx k ⎧+=⎨=+⎩，整理得2222(98)168720k x k x k +++-=．设1(A x ，1)kx k +，2(B x ，2)kx k +，于是有21221698k x x k -+=+，212287298k x x k -=+．因为1122(,),(,)OA x kx k OB x kx k =+=+，22221212121225572()()(1)()098k OA OB x x kx k kx k k x x k x x k k --=+++=++++=<+．所以2AOB π∠>．可知O 恒在为AB 直径的圆内．∴不存在实数k ，使O 在以AB 为直径的圆外．10．（2021•芗城区校级期末）已知抛物线21:4C x y =的焦点F 也是椭圆22222:1(0)y x C a b a b +=>>的一个焦点，椭圆2C 的离心率为13e =，过点F 的直线l 与1C 相交于A ，B 两点，与2C 相交于C ，D 两点，且,AC BD 同向．（Ⅰ）求2C 的方程；（Ⅱ）若||||AC BD =，求直线l 的斜率．【解答】解：（Ⅰ）抛物线的焦点(0,1)F 也是椭圆2C 的焦点，所以椭圆2C 中1c =，13e =，∴3,a b ==，所以椭圆222:198y x C +=⋯（3分）（Ⅱ）因为,AC BD 同向且||||AC BD =，所以||||AB CD =．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，4(D x ，4)y ，当直线l 的斜率不存在时，不符合题意，设直线l 的方程为1y kx =+1234||x x x x -=- 即1234||||x x x x -=-⋯（5分）联立214y kx y x=+⎧⎨=⎩得：2440x kx --=，所以12||x x -=（7分）联立221198y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：22(89)16640k x kx ++-=所以34||x x -=（10分）所以=，解得：k =（12分）11．（2015•湖南）已知抛物线21:4C x y =的焦点F 也是椭圆22222:1(0)y x C a b a b+=>>的一个焦点．1C 与2C的公共弦长为（Ⅰ）求2C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线l 与1C 相交于A 、B 两点，与2C 相交于C 、D 两点，且AC 与BD 同向．（1）若||||AC BD =，求直线l 的斜率；（2）设1C 在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形．【解答】解：（Ⅰ）抛物线21:4C x y =的焦点F 的坐标为(0,1)，因为F 也是椭圆2C 的一个焦点，221a b ∴-=，①，又1C 与2C的公共弦长为1C 与2C 的都关于y 轴对称，且1C 的方程为24x y =，由此易知1C 与2C的公共点的坐标为(，3)2，224a b 联立①②得29a =，28b =，故2C 的方程为22198y x +=．（Ⅱ）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，4(D x ，4)y ，（1）因为AC 与BD 同向，且||||AC BD =，所以AC BD =，从而3142x x x x -=-，即1234x x x x -=-，于是2212123434()4()4x x x x x x x x +-=+-，③ 设直线的斜率为k ，则l 的方程为1y kx =+，由214y kx x y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx --=，而1x ，2x 是这个方程的两根，所以124x x k +=，124x x =-，④由221189y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(98)16640k x kx ++-=，而3x ，4x 是这个方程的两根，所以3421698k x x k -+=+，3426498x x k=-+，⑤ 将④⑤代入③，得2222221646416(1)(98)98k k k k ⨯+=+++，即22222169(1)16(1)(98)k k k ⨯++=+，所以22(98)169k +=⨯，解得k =．（2）由24x y =得12y x '=，所以1C 在点A 处的切线方程为1111()2y y x x x -=-，即2111124y x x x =-，令0y =，得112x x =， 11(2M x ，0)，12而1(FA x =，11)y -，于是221111111024FM FA x y x ⋅=-+=+>，因此AFM ∠是锐角，从而180MFD AFM ∠=︒-∠是钝角，故直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形．12．（2021•越城区校级学业考试）如图，已知抛物线21:4C x y =和抛物线22:C x y =-的焦点分别为F 和F '，N 是抛物线1C 上一点，过N 且与1C 相切的直线l 交2C 于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点．（Ⅰ）求||FF '；（Ⅱ）若点F 在以线段MN 为直径的圆上，求直线l 的方程．注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，抛物线21:4C x y =和抛物线22:C x y =-的焦点分别为1(0,1),(0,)4F F '-，所以5||4FF '=．（Ⅱ）设直线l 的方程为：y kx m =+，联立方程组24,,x y y kx m ⎧=⎨=+⎩消去y ，得2440x kx m --=，因为直线l 为1C 相切，所以△216160k m =+=，得2m k =-．且N 的坐标为2(2,)k k ．联立方程组22,,x y y kx k ⎧=-⎨=-⎩消去y ，得220x kx k +-=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，0(M x ，0)y ，则21212,x x k x x k +=-=-，所以2120003,222x x k x y kx m k +==-=+=-．因为点F 在以线段MN 为直径的圆上，所以0FM FN =，2(2,)N k k ．(2k M -，23)2k -，(0,1)F ，即42320k k +-=，解得223k =，经检验满足题意，故直线l的方程是23y =-． 13．（2021春•武陵区校级月考）如图，已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为(1,0)F ，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC ∆的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧．记AFG ∆，CQG ∆的面积为1S ，2S ．（1）若直线AB，求以线段AB 为直径的圆的面积；（2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标．【解答】解：（1）由题意可得12p =，解得2p =，所以抛物线的方程为24y x =，由已知设直线AB的方程为1)y x =-，与抛物线24y x =联立可得，21410x x -+=，所以1214x x +=，则线段12||216AB x x =++=，则以线段AB 为直径的圆的半径为8，故圆的面积为64π；（2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，(C C x ，)C y ，重心0(G x ，0)y ，令12y t =，0t ≠，则21x t =，由直线AB 过点F ，故直线AB 的方程为2112t x y t-=+，代入24y x =，可得222(1)40t y y t---=，所以224ty =-，即22y t =-，所以212(,)B t t-，又由于0121()3C x x x x =++，0121()3C y y y y =++，重心G 在x 轴上，故220C t y t-+=，所以211((),2())C t t t t--，422222(,0)3t t G t -+，所以直线AC 的方程为222()y t t x t -=-，可得2(1Q t -，0)，由于点Q 在焦点F 的右侧，故22t >，故4242212142442222221|1||2|||||223221222211|||||1||2|23Ct t t FG y S t t t t t t S t t QG y t t t t-+-⋅--====--+----⋅-，令22m t =-，则0m >，所以1221222134342S m S m m m m m =-=--=+++++ 当且仅当3m m=，即m 时，12S S 取得最小值1+(2,0)G ．14．（2021•全国Ⅰ卷模拟）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，过左焦点F 且与x （1）求椭圆C 的方程；（2）已知A ，B 为椭圆C上两点，O 为坐标原点，斜率为k 的直线l 经过点1(0,)2P ，若A ，B 关于l 对称，且OA OB ⊥，求l 的方程．【解答】解：（1）设c ，则(,0)Fc -，令x c =-，则422b y a =，从而22b a=2a ，又因为c a =222a c =，解得a ，1b =，故椭圆的方程为2212x y +=．（2）设直线l 的方程为12y kx =+，当0k =时，不符合题意．当0k ≠时，设直线1:AB y x m k=-+，联立直线方程和椭圆方程，整理得222112()102mx x m k k+-+-=，22222241144()(1)2202m m m k k k=-+-=-++>，即2221m k+>①．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则12242kmx x k +=+，221222(1)2k m x x k -=+， 21212212()22mk y y x x m k k +=-++=+， 22212121212221112()()()2m k m y y x m x m x x x x m k k k k k -=-+-+=-++=+． AB 的中点2222(,)22km k mK k k ++在直线l 上，则22221222k m km k k k =⨯+++，整理得2222k m k+=-②． ②式代入①式整理得423440k k +->，解得k 或k <．因为0OA OB ⋅=，即22221212222(1)2022k m k m x x y y k k --+=+=++整理得2223220k m k --=③．将②式代入③得4254120k k --=，k =k 或k <，所以k =l 的方程为12y +，或12y =+． 15．（2021•涪城区校级模拟）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线L 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有||||FA FD =，当点A 的横坐标为3时，ADF ∆为正三角形．（1）求C 的方程（2）若直线1L 平行L ，且1L 和C 有且只有一个公共点E ，证明直线AE 恒过定点求ABE ∆的面积最小值．【解答】解：（1）当点A 的横坐标为3时，过点A 作AG x ⊥轴于G ，A ，(2pF ，0)， ||||32p FA FD ∴==+． ADF ∆为正三角形，13||||224pFG FD ∴==+．又||||||32p FG OG OF ===-， 33224p p ∴-=+， 2p ∴=．C ∴的方程为24y x =．当D 在焦点F 的左侧时，||||32p FA FD ==+ 又||2||2(3)62pFD FG p ==-=-，ADF ∆为正三角形，362pp ∴+=-，解得18p =， C ∴的方程为236y x =．此时点D 在x 轴负半轴，不成立，舍． C ∴的方程为24y x =．（2）证明：设1(A x ，1)y ，1||||1FD AF x ==+， 1(2D x ∴+，0)，12AD y k ∴=-．由直线1//l l 可设直线1l 方程为12y y x m =-+，联立方程，消去x 得21880y y y m +-=①由1l 和C 有且只有一个公共点得△164320y m =+=，12y m ∴=-，这时方程①的解为2y m =，代入12y y x m =-+得2x m =，2(E m ∴，2)m ．点A 的坐标可化为21(m ，2)m -，直线AE 方程为222222()1m m y m x m m m+-=--，即22(1)1my x m =--， ∴直线AE 过定点(1,0)；直线AB 的方程为2111()24y y y y x -=--，即211224y x y y =-++．联立方程，消去x 得22118(8)0y y y y +-+=，1218y y y ∴+=-，12118|||2|AB y y y y ∴=-=+，点E 的坐标为214(E y ，14)y -，点E 到直线AB的距离为：2124|2|y d ++=，ABE ∴∆的面积31112||2||1622y S AB d y ==+，当且仅当12y =±时等号成立，ABE ∴∆的面积最小值为16．16．（2009•台州二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，椭圆上的点到焦点的最小距离为1．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且(OA OB O ⊥为坐标原点），OH AB ⊥于H 点．试求点H 的轨迹方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意知：12c e a ==，1a c -=，222a b c =+，解得2a =，23b =．故椭圆的方程为22143x y +=．（Ⅱ）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，（1）若l x ⊥轴，可设0(H x ，0)，因OA OB ⊥，则0(A x ，0)x ±．由2200143x x +=，得20127x =，即(H ．若l y ⊥轴，可设0(0,)H y，同理可得(0,H ．（2）当直线l 的斜率存在且不为0时，设:l y kx m =+，由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：222(34)84120k x kmx m +++-=．则21212228412,3434km m x x x x k k -+=-=++．2222121212122312()()()34m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+．由OA OB⊥，知12120x x y y +=．故2222241231203434m m k k k--+=++，即22712(1)m k =+（记为①)．由OH AB ⊥，可知直线OH 的方程为1y x k =-．联立方程组1y kx m y x k =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，得2x k y x m y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（记为②)．将②代入①，化简得22127x y +=．综合（1）、（2），可知点H 的轨迹方程为22127x y +=． 17．（2021•吉林模拟）已知椭圆222:9(0)E x y m m +=>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与E 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（1）若3m =，点K 在椭圆E 上，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，求12KF KF 的范围；（2）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（3）若l 过点(,)3mm ，射线OM 与椭圆E 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时直线l 斜率；若不能，说明理由．【解答】解：（1）3m =，椭圆22:19x E y +=，两个焦点1(F -，2F设(,)K x y，1()F K x y =+，2()F K x y =-，2221212(22,)(22,)881KF KF FK F K x y x y x y y ==+-=+-=-+，11y -，∴12KF KF 的范围是[7-，1]（4分）（2）设A ，B 的坐标分别为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，则222112222299.x y mx y m ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩两式相减，得12121212()()9()()0x x x x y y y y +-++-=，12121212()()190()()y y y y x x x x +-+=+-，即190OM l k k +=，故19OM l k k =-；（8分）（3）直线l 过点(,)3mm ，∴直线l 不过原点且与椭圆E 有两个交点的充要条件是0k >且13k ≠．设(P P x ，)P y ，设直线:()(0,0)3m l y k x m m k =-+≠≠，即:3m l y kx km =-+，由（2）的结论可知1:9OM y x k=-，代入椭圆方程得，2222991P m k x k =+，（10分）由()3m y k x m =-+与19y x k=-，联立得222933(,)9191mkm k m km M k k ---++．（12分）若四边形OAPB 为平行四边形，那么M 也是OP 的中点，所以02p x x =，即2222229394()9191k m km m k k k -=++，整理得29810k k-+=解得，k=．所以当k =时，四边形OAPB 为平行四边形．（16分） 18．（2021春•浙江月考）如图，已知抛物线2y x =，过点(1,0)M 作斜率为(0)k k >的直线l 交抛物线于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，过点A 作抛物线的切线与x 轴相交于点P ，直线PB 交抛物线另一点为C ，线段AC 交x 轴于点N ．记APC ∆，AMN ∆的面积分别为1S ，2S ．（Ⅰ）若1k =，求||AB ；（Ⅱ）求12S S 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）直线AB 的方程为1y x =-，代入抛物线方程2y x =，得2310x x -+=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则123x x +=，121x x =，12|||AB x x =-（Ⅱ）设直线AB 的方程为1x my =+，代入抛物线方程2y x =得，210y my --=．设2(A a ，)a ，1B a y ⋅=-，1B y a=-，点B 的坐标为211(,)a a -．设切线PA 的方程为2()x a m y a -=-，代入抛物线方程2y x =，得220y my ma a -+-=， △22244(2)0m ma a m a =-+=-=，得2m a =，令0y =，得2x a =-，所以点P 的坐标为2(a -，0)．设直线PB 的方程为2x a ty =-+，代入抛物线方程2y x =得，220y ty a -+=，21()c y a a-⋅=，3c y a =-，6c x a =，所以点C 的坐标为6(a ，3)a -，直线AC 的方程为3226()a a y a x a a a+-=--，即221()(1)y a x a a a -=--，令0y =，得4x a =，所以点N 的坐标为4(a ，0)． 322111||||(1)22A C S PN y y a a =-=+，4211|||1|22A S MN y a a ==-，由0k >，知1a >，3222212421(1)(1)211|1|2a a S a a S a a a ++==--，令21u a =-，则21a u =+，0u >，12(1)(2)23223S u uu S u u++==+++，当且仅当u =21a =时取等号，所以12S S 的最小值为3． 19．（2017•遂宁模拟）已知抛物线2:2(0)y px p Γ=>的焦点为F ．若过点F 且斜率为1的直线与抛物线Γ相交于M ，N 两点，又MON ∆的面积为2MON S ∆=．（1）求抛物线Γ的方程；（2）若点P 是抛物线Γ上的动点，点B ，C 在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC ∆，求PBC ∆的面积的最小值．【解答】解：（1）由题意得(,0)2p F ，则过点F 且斜率为1的直线方程为2p y x =-．联立方程222p y x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩，消去x 得：2220y py p --=，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，则122y yp +=，212y y p =-．12||y y∴-，2121||22MON p S y y p ∆∴=⨯⨯-==又0p >，故得1p =．所以抛物线Γ的方程为22y x =．（2）设0(P x ，00)(0)y x ≠，(0,)B b ，(0,)C c ，不妨设b c >，直线PB 的方程为00y by b x x --=，化简得000()0y b x x y x b--+=，又圆心(1,0)到直线PB 的距离为11=，即22222000000()()2()y b x y b x b y b x b -+=-+-+，故2000(2)20x b y b x -+-=，不难发现02x >．同理有2000(2)20x c y c x -+-=，b ∴，c 是关于t 的一元二次方程2000(2)20x t y t x -+-=的两个实数根，则00002,22y x b c bc x x --+==--， ∴2222200000200024(2)()()4()422(2)y x x y x b c b c bc x x x --+--=+-=-=---，因为点0(P x ，0)y 是抛物线Γ上的点，所以202y x =，则220204()(2)x b c x -=-，又02x >，所以0022x b c x -=-． ∴20000000144()242(2)482222PBCx S b c x x x x x x ∆=-==-++-+=---，当且仅当04x =时取等号，此时0y =±． PBC ∆的面积的最小值为8．20．（2021•浙江模拟）如图，已知点1A ，2A 分别是椭圆221:14x C y +=的左、右顶点，点P是椭圆1C 与抛物线22:2(0)C y px p =>的交点，直线1A P ，2A P 分别与抛物线2C 交于M ，N 两点(M ，N 不同于)P ．（Ⅰ）求证：直线MN 垂直x 轴；（Ⅱ）设坐标原点为O ，分别记OPM ∆，OMN ∆的面积为1S ，2S ，当2OPA ∠为钝角时，求12S S 的最大值．【解答】解：（Ⅰ）证明：根据题意可得1(2,0)A -，2(2,0)A ，设0(P x ，0)y ，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，则直线1A P 为0022x x y y +=-，联立002222x x y y y px+⎧=-⎪⎨⎪=⎩，消去x 得2002(2)40p x y y p y +-⋅+=，所以104y y p =，所以104py y =，2112082y p x p y ==，直线2A P 的方程为0022x x y y -=+，同理可得联立直线2A P 与抛物线的方程，得204y y p =-，所以204p y y =-，2208p x y =，所以12x x =，所以直线MN 垂直于x 轴．（Ⅱ）设0(P x ，0)y 是抛物线于椭圆的交点，所以2200200142x y y px⎧+=⎪⎨⎪=⎩，所以112011100411||||||||||22OPM OA MOA Pp y S S S SOA y OA y y ∆-==-=-=， 221120132|||2|||2OMNp S S x y y ∆===，所以22222200000102241|||()|||3224484p y y y x x S y S p p p -=⋅=-+=-+，因为2OPA ∠为钝角，所以20OP A P ⋅<，即220020x x y -+<，将220014x y =-代入22002104o x x x -+-<，解得0223x <<，令2()||84x x f x =-+，223x <<，当1x =时，()f x 最大值为18．所以01x =时，12S S 最大值为18． 21．（2021•中原区校级二模）已知点G 在抛物线2:4C x y =的准线上，过点G 作抛物线C 的两条切线，切点分别为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．（1）证明：1212x x y y +为定值；（2）当点G 在y 轴上时，过点A 作直线AM ，AN 交抛物线C 于M ，N 两点，满足AM AN ⊥．问：直线MN 是否恒过定点P ，若存在定点，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）法1：抛物线2:4C x y =的准线为:1l y =-，故可设点(,1)G a -，由24x y =，得214y x =，所以12y x '=．所以直线GA 的斜率为112x ．因为点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 在抛物线C 上，所以22112211,44y x y x ==．所以直线GA 的方程为211111()42y x x x x -=-．因为点(,1)G a -，在直线GA 上，所以2111111()42x x a x --=-，即211240x ax --=．同理，可知222240x ax --=．所以1x ，2x 是方程2240x ax --=的两个根，所以124x x =-．又222121212111()14416y y x x x x =⋅==，所以12123x x y y +=-为定值．法2：设过点(,1)G a -，且与抛物线C 相切的切线方程为1()y k x a +=-，由21(),4,y k x a x y +=-⎧⎨=⎩，消去y 得24440x kx ka -++=，由△2164(44)0k ak =-+=，化简得210k ak --=，所以121k k =-．由24x y =，得214y x =，所以12y x '=．所以直线GA 的斜率为112x ．直线GB 的斜率为2212k x =．所以12114x x =-，即124x x =-．又222121212111()14416y y x x x x =⋅==，所以12123x x y y +=-为定值．（2）存在，由（1）知2212124x x x x =-=-=-．不妨设12x x <，则12x =-，22x =，即(2,1)A -，(2,1)B ．设(M M x ，)M y ，(N N x ，)N y ．则2112244M x y x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，两式作差，可得111()()4()M M M x x x x y y -+=-，所以直线AM 的斜率为1244M M AM x x x k +-==，同理可得24N AN x k -=，因为AM MN ⊥，所以22144N M AM AN x x k k --⋅=⋅=-，整理得2()200M N M N x x x x ⋅-++=，又，①又因为因为224,4M M NN x y x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，两式作差，可得()()4()M N M N M N x x x x y y -+=-，从而可得直线MN 的斜率为4M NMN x x k +=，所以直线MN 的方程为2()44M N MM x x x y x x +-=-，化简可得4()M N M N y x x x x x =+-，将①代入上式得4()2()20M N M N y x x x x x =+-++，整理得4(5)()(2)M N y x x x -=+-．所以直线MN 过定点(2,5)，即P 点的坐标为(2,5)．【点睛】圆锥曲线中定点问题的常见解法（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．。