探究球面上两点间的最短距离和走法 文档 (2)
两点间最短距离及走法
两点间最短距离及走法河南濮阳雨打芭蕉在地图与地球的复习中，我们很多老师会遇到“球面上两点间最短距离及走法”问题，下面是我的一点体会。
一、最短距离球面上两点间最短距离不能用平面几何的求法，最基本的原则是“过两点的大圆劣弧段”。
1、此处的大圆我们常见的有三个（类）：赤道、经线圈、晨昏线。
如果两点在这三个圆上则问题就非常简单。
2、如果两点的经度相差不大（在3°以内），可近似看作在同一经线上，最短距离＝纬差×111KM；如果两点的纬度相差不大（在3°以内），可近似看作在同一纬线上，最短距离＝经差×COS纬度×111KM。
3、其他情况属数学问题，地理不作考查。
二、两点间最短距离的走法1、如两点在同一经线圈上，如图1，A到B，过北极；如图2，A到B，过南极；如图3，A到B，向正北。
2、赤道上正东正西，如图4，A到B，向正东。
S图4图8AS图3 S图1S图23、如果在晨昏线上，如图5，b 为晨昏线， 从A 到B ，先东北，（再正东），后东南。
4、如图6所示，b 为过A 、B 的大圆，从A 到B ，先东北，（再正东），后东南。
5、如图7所示，b 为过A 、B 的大圆，从A 到B ，先东北，（再正东），后东南。
三、我不同意的一种走法如图8所示，有的资料或老师说“从A 到B ，先东北，（再正东），后东南。
”我不同意。
从数学的角度分析不可能。
10°E90°E°N 图7°N 50°E90°E°N图650°E90°ENb图530°N图8。
地球表面两点间最短距离
先东南再东北
相关练习：
从甲地（70°N，80°E）到乙地（70°N， 150°E），若不考虑地形因素，最近的走法是
C
冬至日，（12月22日）凌晨4点（地方时）一架飞机从 甲地（60°N、100°W）起飞，沿最近航线匀速飞行， 8小时后抵达乙地（60°N、80°E）。据此回答各题。
一、两地之间的最短航线问题
球面上最短距离的判断
球面最短距离,是经过两点的大圆的劣弧长度。 凡是地球的大圆，其圆心必定是地心且均分地球。 赤道、经线圈、晨昏圈都是大圆。
最短距离的判断主要分三种情况： 1、两点都在赤道上 2、两点在相对经线上 3、两点既不在赤道上，也不在相对经线上
1、看所求的两点是否同位于赤道，若同位 于赤道上，赤道即为大圆，所以沿赤道向 东或向西走劣弧即可。
60
60
A到C的最短航线所沿方向是_先__向__东__北__再__向__东南 A到D的最短航线所沿方向是_先__向__西__北__再__向__西南
形式二：极地俯视图
判：
1到2地最短航线所沿 方向 先西北再西南
1到3地最短航线所沿 方向 先东北再东南
1到4地最短航线所沿 方向 先北再南
形式三：侧俯视图（能看到其中一极）
A 1、飞机出发时的行航向
A、朝北 B、朝南 2、飞机途中航向
C、朝西南 D、朝东北
D
A、一直不变
B、先朝东北后朝东南
C、先朝西北后朝西南 D、先朝北后朝南
3、这架飞机若以同样速度，沿北纬60°航行，抵达
乙地大致需要
D
A、16小时 B、12小时 C、20小时 D、24小时
谢谢收看！
制作人：株洲市一中唐文利
球面上两点间距离的求法知识讲解
精品文档球面上两点间距离的求法球面距离的定义：球上两点和球的球心三点可构成一个平面，称之为大圆，正视这个大圆（从正面看），这两个点之间的弧线长即为球面两点间距离。
球面距离不是指险段的长度而是指的是弧长。
地球表面某点的位置是用纬度和经度来确定的，我们只要知道球面两点的经纬度，就能求出该两点的球面距离。
下面简单的谈谈求法：一. 同经度两点间的球面距离例1. 在地球本初子午线上有两点A 、B 。
它们的纬度差为90°，若地球半径为R ，求A 、B两点间的球面距离。
解：如图1所示，设O 为地球球心，由题意可得，故。
所以：A 、B 两点间的球面距离为2R。
图1二. 同纬度两点间的球面距离例2. 在地球北纬度圈上有两点A、B，它们的经度差为度，若地球半径为R，求A、B两点间的球面距离。
解：设度的纬线圈的圆心为，半径为r，则。
依题意。
取AB的中点C，则。
在图2图3三. 不同纬度、不同经度两点间的球面距离例3. 设地球上两点A、B，其中A位于北纬30°，B位于南纬60°，且A、B两点的经度差为90°，求A、B两点的球面距离。
解：如图4所示，设，分别为地球球心、北纬30°纬线圈的圆心和南纬60°纬线圈的圆心。
图4连结。
则。
由异面直线上两点间的距离公式得下面给出球面距离的计算公式（仅供参考）：设一个球面的半径为，球面上有两点、. 其中，为点的经度数，、为点的纬度数，过、两点的大圆劣弧所对的圆心角为，则有（弧度）A、B间的球面距离为：证明：如图3，⊙与⊙分别为过A、B的纬度圈，过A、C的大圆，过、D的大圆分别为A、B的经度圈，而经度圈与纬度圈所在的平面互相垂直，作面，垂足位于上，连结、. 则在中，由余弦定理，得：故又比较上述两式，化简整理得：过两点的大圆劣弧所对的圆心角为从而可证得关于与的两个式子.例题：北京在东经，北纬，上海在东经，北纬，求北京到上海的球面距离.解：∴（弧度）∴所求球面距离为。
地球表面两点最短路线
一、球面上最短线路的确定生：球面上有两点A、B，现从A到B走最短线路，怎么走？师：走过AB的球面大圆所在圆弧。
当然走从A到B的劣弧段了。
生：什么是大圆？为什么要走大圆？师：首先我们来假想一个球，然后用刀剖开这个球，剖面应该是一个圆形。
专业述语为“横截面”。
再想一想，怎样剖才能让这个横截面最大呢？生：应该是从球的中心截过去。
师：对，过球心的横截面是最大的。
这个横截面的外圆就是大圆。
生：哦，那大圆长就是球的周长。
师：可以这样说。
不过，一般说圆的周长，不说球的周长。
地球的大圆在哪？生：赤道，经线。
师：赤道是大圆，经线呢只是大圆的一半，应该是两条相对的经线构成的经线圈才能叫大圆。
地球的大圆有多少个？生：这么说来，应该是无数个！师：对。
只要是过球心的平面与球面相交的交线都是大圆。
从A到B的最短线路就是过AB的大圆弧线的一部分。
生：如果AB都在赤道上或经线圈上，那当然就容易找了，因为它们都在同一个大圆上。
如果不在赤道上而在同一条其他纬线上呢？师：其实无论两点在何处，都要先找到过两点的大圆。
我们以下面这幅图为例加以说明：图中A和B在同一纬线上，F和B不在同一经线和纬线上，都ADBF都在同一个大圆上。
所以从图中可以看出，从A到B的最短线路是ADB，而不是ACB。
在右边图中还可以明显看出，ADB的方向发生了明显变化，先往西北到D，过D后往西南到B。
当然，过D点那一瞬为往西。
如果走ACB，则一直往西，但不是最短线路了。
生：为什么大圆就是最短线路呢？师：看看下面这个图。
图中是过a和b的两个圆。
可以明显看出，在ab两点中走大圆的圆弧近些。
圆越大，弧的曲度就越小，线路就越接近直线（因为球面上不可能有直线）。
生：就这个找大圆比较难，很抽象。
有没有更简单的办法呢？师：其实考试中命题者不会在这个地方加深问题的复杂性。
一般掌握这几点足够了：1、两点都在赤道上，晨昏线上或经线圈上，这些明显的大圆弧线可以直接作参考。
2、在同一条纬线而不在赤道上的话，北半球两点的最短线路要从北边绕过，南半球两点的线路要从南边绕过。
球面最短距离
. . D C
2,俯视图: ,俯视图
. .
N
B
S .
D
.
. A
的最短路线: 从A到B的最短路线: 到 的最短路线 先向东北,(再向正 先向东北,(再向正 ,( ),最后向东南 最后向东南. 东),最后向东南.
C
.
的最短路线: 从C到D的最短路线: 到 的最短路线 先向西南,(再向正 先向西南,(再向正 ,( ),最后向西北 最后向西北. 西),最后向西北.
地球上任意两点之间的最短距离
球面上两点间最短距离:过这 点的大圆的劣弧 点的大圆的劣弧. 球面上两点间最短距离:过这2点的大圆的劣弧. 一,特殊情况的大圆: 特殊情况的大圆: 的大圆 赤道,经线圈, 赤道,经线圈,晨昏线 点为对跖点( ),则该 如2点为对跖点ห้องสมุดไป่ตู้以地心为对称),则该 点间的最短航线 点为对跖点 以地心为对称),则该2点间的最短航线 有无数条. 有无数条.
二,一般情况: 一般情况: 1,侧视图: ,侧视图 的最短路线: 从A到B的最短路线: 到 的最短路线
A
.
B
.
先向东北,再向东南. 先向东北,再向东南. C到D的最短路线 的最短路线: 从C到D的最短路线: 先向东南,再向东北. 先向东南,再向东北. 的最短路线: 从B到D的最短路线: 到 的最短路线 一直向东南. 一直向东南.
�
N
E
A 地到D地最近路线应该沿 从A地到 地最近路线应该沿:C 地到 地最近路线应该沿: A,AD线 , 线 C,ABD线 , 线 B,AED线 , 线 D,AND ,
1 D
某飞行员驾机从A机场( 某飞行员驾机从 机场(300N,1200E)起飞,为了经济 机场 , )起飞, 省时,飞机沿最短航线飞往B机场 机场( 省时,飞机沿最短航线飞往 机场(350S,600W)执行任务, , )执行任务, 据此回答下列1—2题: 据此回答下列 题 1,飞机的航向应为:D ,飞机的航向应为: A,一直向东南 , C,先向北,后向南 ,先向北, 2,最短航程为:A ,最短航程为: A,175×111 KM , × C,65×111 KM , × B,185×111 KM , × D ,155×111 KM × B,一直向西北 , D,先向南,后向北 ,先向南,
探究球面上两点间的最短距离和走法 文档 (2)
探讨球面上【1 】两点间的最短距离和走法在球面上,衔接甲.乙两点有一弦,在同样的弦上,半径最大,所过的弧长最短.过球面上随意率性两点的圆弧都是在某个过这两点的平面与该球切割出的圆上.在球面上,两点间最短距离就是过这两点的大圆（半径等于球体的半径）的劣弧,下图中甲.乙两点,最短距离就是两点地点的经由球心的大圆上的距离.具有地理意义的大圆：经线圈.赤道.晨昏圈（线）（如下图）1.在统一经线圈上的两点（但不在统一条经线上）,过这两点的大圆等于经线圈,过两顶点为两点间最短距离,具体又分为三种情形：A．同位于北半球,比来航程必定是先向北,过顶点后再向南（如图1中的A.B两点）B.同位于南半球,比来航程必定是先向南,过顶点后再向北（如图2中的A.B两点）.C.两地位于南北两个半球,这时须要评论辩论,肯定过哪个顶点的为劣弧,再评论辩论（如图3）2.在晨昏圈上（晨昏线就是经由球心的大圆）A.在晨线上的A.B两点（如图4）,断定较为简略.B.在昏线上的C.D两点（如图5）,断定较为简略.C.分离在晨线和昏线上：从A到D点间比来距离的走法是先向西北再向西南,从B到C点间比来距离的走法是先向东南再向东北（如图6）3.在赤道上的A.B两点正东或正西,最短距离,就是过这两点的大圆的劣弧（图7）4.统一纬线上的两点间最短距离的走法,北半球是先向高纬度,再向低纬度,如图8中的A.B两点,从A到B是先向东北,再向东南.南半球是先向高纬度,再向低纬度,如图8中的C.D两点,从C到D是先向东南,再向东北.5.其他随意率性点间最短距离和偏向的断定两地经度差不等于180,则过两点的大圆不是经线圈,而与经线圈斜交,最短距离不过两顶点,而是过南北极地区（或上空）,可分为两种情形：（1）A地位于B地的西南边,从A到B的最短距离走法为：同在北半球,先向东北再向东南.（如图9）（2）同在南半球,A地位于B地的西方,从A到B的最短距离走法为：先向东南,再向东北.（如图10）（3）位于不合半球时须要评论辩论,办法同上(图11).例1：从甲地(50°N.80°E)到乙地(50°N.160°E)若不斟酌地形身分,比来走法是A．一向向正东偏向走B．先向东南再向东最后向东北走C．先向东北再向东最后向东南走D．先向东南再向东北走例2：从华盛顿到北京在以下四条航路中,最短的一条是：A 华盛顿—夏威夷—北京B 华盛顿—悉尼—北京C 华盛顿—阿拉斯加—北京D 华盛顿—开罗—北京例3.图中ACB为晨昏线, C地点在格陵兰岛上.那么从A到B比来的走法是A 沿北纬30度向东到达BB 沿弧线ADB走到BC 沿弧线ACB走到BD 无法断定。
球面最短距离
球面最短距离一、概述球面最短距离是指在一个球体上两点之间的最短路径，也称为大圆弧距离或者地球表面的测地线。
在地理学、天文学、航空航天等领域中，球面最短距离是一个十分重要的概念。
二、公式推导假设有两个球面上的点A和B，它们的经纬度分别为(φ1, λ1)和(φ2,λ2)，其中φ表示纬度，λ表示经度。
则它们之间的大圆弧距离d可以通过以下公式计算：d = R * arccos(sinφ1 * sinφ2 + cosφ1 * cosφ2 * cos(λ1 - λ2))其中R为球体半径。
这个公式可以通过余弦定理推导得到。
将球体看作一个半径为R的圆，以A点和B点为圆心画出两条半径，并连接这两个点。
则这两个半径与圆周所夹成的角就是AB之间的大圆弧角度θ。
根据余弦定理，我们可以得到：cosθ = cosR / (cosA * cosB) - tanA * tanB / (cosA * cosB)其中A和B分别为AB连线与北极点连线所成角度，R为球体半径。
将A和B带入上式可以得到：cosθ = sinφ1 * sinφ2 + cosφ1 * cosφ2 * cos(λ1 - λ2)因为θ就是AB之间的大圆弧角度，所以d可以表示为：d = R * θ将θ带入上式即可得到球面最短距离公式。
三、应用场景1. 地理学：在地球表面上，球面最短距离可以用来计算两个城市之间的距离。
这个概念在航空、航海、旅游等领域中都有广泛的应用。
2. 天文学：在天文学中，球面最短距离可以用来计算星际之间的距离。
例如，在太阳系内，我们可以使用这个概念来计算地球和其他行星之间的距离。
3. 机器人领域：在机器人领域中，球面最短距离可以用来规划机器人移动路径。
例如，在一个球形空间中，机器人需要从一个点移动到另一个点，我们就可以使用这个概念来计算机器人需要走多长的路程。
四、误差分析虽然球面最短距离公式非常有用，但是它并不是完全准确的。
这是因为地球并不是一个完美的球体，而是一个略微扁平的椭球体。
球面上两点间最近距离演示文稿
A
B
2.位于北半球： 3.位于南半球：
第十三页，总共十五页。
二、同一纬线上两点间的最短距离
2.位于北半球：
---北半球偏北。
先向东北， 再向东南。
3.位于南半球：
---南半球偏南。
先向东南，
再想向东北。
B
A
C
D
第十四页，总共十五页。
地球上两点间的最短距离
晨昏圈上
在晨线上 在昏线上 分别在晨线和昏线上
球面上两点间最近距离演示文稿
第一页，总共十五页。
优选球面上两点间最近距离
第二页，总共十五页。
地球上两点间的最短距离
1.最短距离的判断依据：
球面上两点间的最短距离为两 点所在大圆的劣弧。 2.大圆：
球面上任意两点与球心所构成 的平面与球面相交所得的圆，
即大圆的圆心为球心。
第三页，总共十五页。
观察判断：
图中甲乙两点
间的最短距 离？
甲
----球面上两
乙
点间最短距离
为过两点大圆
的劣弧。
第八页，总共十五页。
具有地理意义的几个大圆：
经线圈
赤道 晨昏圈
第九页，总共十五页。
地球上两点间的最短航线方向问题
2.在以上几条线上最短
航线方向的判断
①经线圈上
A E
C
同一经线上：正
南或正北
经度相对：过较 近的极点
B
D
北极点再向正南。
A
2.均位于南半球：
C
先向正南，过
南极点再向正北。 G E
3.位于南、北两个半球：
F
H
同一经线向正南或正北；
相对的经线过较近的极点。
球面上两点间最近距离
--精品--
地球上两点间的最短距离
1.最短距离的判断依据： 球面上两点间的最短距离为 两点所在大圆的劣弧。
2.大圆： 球面上任意两点与球心所构
成的平面与球面相交所得的圆， 即大圆的圆心为球心。
--精品--
观察判断：
图示的圆 有没有大 圆？
--精品--
判断图中AB、
CD、EF是
3.位于南半球：
---南半球偏南。 C
先向东南，
D
再想向东北。 --精品--
B A
地球上两点间的最短距离
晨昏圈上
在晨线上 在昏线上 分别在晨线和昏线上
D A
----球面上两点 间的最短距离为 大圆的劣弧。
C B
--精品--
例1.图中ACB为晨昏线
1.由A到B的最短航线是
(B )
A.由A点出发沿纬线向 东到B
否为球面
两点间的
最短距离。
A
E F
B
C D
--精品--
画出图中 甲乙两点
甲
间的最短
距离？
乙
--精品--
找出图中
甲乙两点 间的最短
甲
距离？
----红色的线、
乙
蓝色的线哪
个正确？有
正确的么？
--精品--
图中甲乙两 点间的最 短距离？
----球面上 两点间最短 距离为过两 点大圆的劣 弧。
甲 乙
--精品--
相对的经线过较近的极点。
（即：纬度差小于180°--精品）--
二、同一纬线上两点间的最短距离
1.赤道上
AB之间
AC之间
---正东或正西， C
（两点间经度差
地球表面上两点间最短距离(航线)方向的确定
地球表面上两点间最短距离（航线）方向的确定作者：***来源：《中学政史地·高中文综》2016年第03期在复习经纬网的内容时，地球表面上两点间最短航线方向的确定，是我们的拦路虎。
由于有的同学对这类问题缺乏足够的空间想象能力，只是机械地背一些结论，造成在解这类试题时经常出错。
针对有些同学空间想象能力和数学水平不太高等情况，本文旨在帮助他们全面正确认识地球表面上两点间最短航线方向的确定问题。
地球表面上两点之间的最短航线，指的是两点所在大圆的劣弧。
一、认识大圆过球面上两点的大圆就是经过这两点以地心为圆心的圆。
在地球上有三种情况大圆是确定的，如图1中的赤道、经线圈、晨昏圈。
在图2中，很显然，甲、乙、丙所在圆的圆心是地心，其所在的圆就是大圆，其他的圆都不是大圆。
二、确定劣弧大圆上两点间的最短航线或距离就是两点所在大圆的劣弧。
所谓劣弧，即两点间的弧度小于180°。
如图3中的⌒AB和⌒CD都是过大圆的劣弧，而⌒EF虽然是劣弧，但不是大圆上的劣弧。
图4中甲和乙之间的弧线，只有最上面的弧是过大圆的劣弧。
三、确定地球上两点间最短航线的方向沿着劣弧的行进方向就是最短航线的方向。
1.两点在同一经线圈上或者在赤道上（1）两点在同一经线上，向正北或向正南走，不转向。
如图5， A到B是向正北走；反之，B到A是向正南走。
（2）两点在两条经线上（经度相对，两点的经度差等于180°），过极点要转向。
如在通过北极点之前，先向正北走，过北极点后转向正南；反之，在通过南极点之前，先向正南走，过南极点后转向正北。
如图6，从A到B先向正北走，过北极点后向正南走；从B 到A是先向正北走，过北极点后向正南走。
（3）两点在赤道上，向正东走或向正西走，不转向。
如图7， A到B是向正东走；反之，B到A是向正西走。
2.两点既不在同一经线上，也不在赤道上地球上任意两点和地心必然确定一个大圆，一定存在一个纬线圈和这个大圆相切，切点即为这个大圆的纬度最高点，若大圆劣弧航线经过切点，则发生转向，转向点为切点；若大圆劣弧航线不经过切点，则不发生转向。
球面距离2
3 AOB为正三角形 AB R
OC OD Rcos45
AOB 60
B
C
A
O
D
在COD中，CD AB R，
OC 2 OD2 CD 2 cos COD 0 2OC OD COD 90
, 西经 70 B的位置可能是：东经110
球面上两点间的距离
平面上两点间的最短距离是连结这两点 的线段的长度，
而球的表面是曲面，球面上P 、Q 两点间的最短 距离显然不是线段PQ的长度，那是什么呢？
B
问题1: 直观的观察, 发现：
过A,B的圆中，半径越大， 在A,B之间的劣弧中半径最大的是 过球心的大圆 球面上两点之间的最短连线的长度，就是经 过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长 度.我们把这个弧长叫做两点的球面距离
球面距离
A、B两点的球面距离：
A
O
过A、B两点的大圆 在A、B间的劣弧长 度。
注意：球面距离是球面上 两点间的最短距离
B
若设球心角 AOB (弧度制)
AB的弧长 R
地球仪中的经纬度
经度——P点的经度，也是 或 AOB 的 度数，即：某地点的经度就是经过这点的经 线和地轴确定的半平面与本初子午线与地轴 确定的半平面所成二面角的平面角的度数．
cos AOB 0.1647 AOB 99.48 99.48 AB的弧长 2 6371 360
练习、把地球当作半径为R的球，地球上A,B 两点都在北纬450的纬线上,A,B两点的球面距 离是 R ，A在东经200，求B点的位置 3 R
AB的弧长
例3、 已知地球的半径为 6371km,北京的位置约为东 经1160,北纬400，纽约的位置约为西经740,北纬400, 求两个城市间的距离。
球面上两点间最近距离优秀PTT
A
B
2.位于北半球： 3.位于南半球：
二、同一纬线上两点间的最短距离
2.位于北半球：
---北半球偏北。 先向东北， 再向东南。
3.位于南半球：
---南半球偏南。 先向东南， 再想向东北。
C D
B A
地球上两点间的最短距离
晨昏圈上
在晨线上 在昏线上 分别在晨线和昏线上
D A
----球面上两点 间的最短距离为 大圆的劣弧。
E F
A
B
C D
画出图中
甲乙两点
同一经线向正南或正北；
间的最短 即大圆的圆心为球心。
地球上两点间的最短距离 二、同一纬线上两点间的最短距离
距离？ ----红色的线、蓝色的线哪个正确？有正确的么？
AE之间、 BF之间、DG之间 ----球面上两点间最短距离为过两点大圆的劣弧。 ----红色的线、蓝色的线哪个正确？有正确的么？ 地球上两点间的最短航线方向问题 二、同一纬线上两点间的最短距离 图示的圆有没有大圆？ 地球上两点间的最短距离 即大圆的圆心为球心。 即大圆的圆心为球心。 相对的经线过较近的极点。
C
同一经线上：正
南或正北
经度相对：过较 近的极点
B D
一、同一经线圈上两点间的最短距离
1.均位于北半球: AB之间
BD A
CD之间
C
2.均位于南半球：
EF之间
G
GH之间
EF
H
3.位于南、北两个半球：
CG之间、 DH之间、
AE之间、 BF之间、DG之间
一、同一经线圈上两点间的最短距离
1.均位于北半球:
地球表面上两点间的 最短距离
地球上两点间的最短距离
地球表面两点间最短航线、航向问题
高考要求
在近年的高考地理试题中，考查地球 上两点间最短航线的方向问题经常出现， 由于很多学生对这类问题没有从本质上搞 清楚，又缺乏空间想象能力，只是机械地 背一些结论，造成解这类题目时经常出错。
一、球面两点间的最短航线
1、最短航线的判断： 球面上两点间的最短距离为两点所在大圆的劣 弧。 2、大圆：球面上任意两点与球心所确定的平面 与球面相交所得的圆。（数学知识） 特例——经线（圈）、赤道、晨昏线（圈）都 是大圆。
例3：A到B和C到D的航向说法是一样 的，对吗？
典型例题 读下图回答：从A到B再到C，方向是( C )： A、先向西南，再向东南 B、先向正南，再向东南 C、先向东南，再向西南 D、一直向正南
课堂练习
例1.图中ACB为晨昏线，C地点在格陵兰岛上。 1.由A到B的最短航线是( B ) A.由A点出发沿纬线向东到B B.沿ACB 45° C.沿ADB C 70° D.从A出发过极点再到B 2.飞行方向的变化是： D 先向东正南或正北 （2）经度相对：过较近的极点
E
A
C
B
D
2、（2）两点在同一个经线圈不同的两条 经线上，过北极点，先向北再向南；过 南极点，先向南再向北。
B
●
N
地心
●
A
赤道
●
B
A●
S
3、判断图中航线方向——把航线转绘到方 格状经纬网图上再进行判断。 （重点、难
点）。
画图技巧： 把球面上的图形转画在方格状经纬网图上。 图上航线虽会变形，但有利于判断方向。
方格状经纬网图中，两点都是北半球或南半球， 航线往往画成，北半球向北凸，南半球向南凸。 一点在北半球，一点在南半球，则需讨论。
球面上两点间最近距离
D A
----球面上两点 间的最短距离为 大圆的劣弧。
C B
例1.图中ACB为晨昏线
1.由A到B的最短航线是 45° C ( B ) 70° A.由A点出发沿纬线向 东到B D B.沿ACB C.沿ADB D.从A出发过极点再到B 2.飞行方向的变化是 先向东北再向东南 。 ________________ A 30°
地球表面上两点间的 最短距离
地球上两点间的最短距离
1.最短距离的判断依据： 球面上两点间的最短距离为 两点所在大圆的劣弧。 2.大圆： 球面上任意两点与球心所构 成的平面与球面相交所得的圆， 即大圆的圆心为球心。
观察判断：
图示的圆 有没有大 圆？
判断图中 AB、CD、 EF是否为 球面两点 间的最短 距离。
地球上两点间的最短航线方向问题 2.在以上几条线上最短 航线方向的判断
①经线圈上 同一经线上：正 南或正北 经度相对：过较 近的极点
E
A
C
B
D
一、同一经线圈上两点间的最短距离
1.均位于北半球: AB之间 CD之间 2.均位于南半球： EF之间 GH之间
A C G
B
D
3.位于南、北两个半球： CG之间、 DH之间、 AE之间、 BF之间、DG之间
B
例2.飞机从②处沿图中箭头路线飞往①的航 向是( D ) A.从东南向西北 B.从南向北 C.先向西北再向西南 D.先向东北再向东南
E
F
H
一、同一经线圈上两点间的最短距离
1.均位于北半球: 先向正北，过 北极点再向正南。 2.均位于南半球： 先向正南，过
A C
B
D
南极点再向正北。 G E 3.位于南、北两个半球： 同一经线向正南或正北； 相对的经线过较近的极点。 （即：纬度差小于180°）
计算球面上两点间最短距离的方法
计算球面上两点间最短距离的方法在球面上确定两点之间的最短距离，实际上是寻找这两点沿球面大圆（即过球心的平面与球面相交得到的圆）上的弧长。
这是因为球面大圆上的弧是球面上任意两点之间的最短路径。
以下是如何计算这一最短距离的步骤：1. 坐标表示首先，需要知道这两点在三维空间中的坐标，记为点A(x1,y1,z1)和点B(x2,y2,z2)。
2. 转换为球坐标（可选）虽然这一步不是必需的，但将直角坐标转换为球坐标（即纬度、经度和半径）有时可以使问题更直观。
然而，在直接计算最短距离时，我们通常会保持使用直角坐标。
3. 计算球心角两点之间的最短距离对应于以球心为顶点、两点为端点的球面三角形的内角（或称为球心角）。
这个角θ可以通过计算两点与球心构成的向量之间的夹角来得到。
具体地，使用向量的点积公式：cosθ=OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |∙|OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=x1x2+y1y2+z1z2R2其中，R是球的半径，OA⃗⃗⃗⃗⃗ 和OB⃗⃗⃗⃗⃗ 是从球心O到点A和点B的向量。
注意，由于OA⃗⃗⃗⃗⃗ 和OB⃗⃗⃗⃗⃗ 都是半径为R的向量，所以它们的模都是R，可以直接在公式中消去。
4. 计算最短距离一旦我们有了球心角θ（以弧度为单位），就可以使用弧长公式来计算两点之间的最短距离d：d =R ∙θ但是，由于我们已经有cosθ，并且需要得到θ本身，我们可以使用反余弦函数（即arccos 或cos −1）来找到它：θ=arccos (x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2R 2)然后，将θ代入弧长公式得到最短距离：d =R ∙arccos (x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2R 2)注意事项● 确保在计算arccos 时使用的是弧度制，而不是角度制。
● 如果两点几乎重合或非常接近，则cosθ将非常接近于1，这可能导致数值不稳定性。
在实际应用中，可能需要添加一些检查来处理这种情况。
探究球面上两点间的最短距离和走法 文档 (2)之欧阳引擎创编
探究球面上两点间的最短距离和走法欧阳引擎（2021.01.01）在球面上，连接甲、乙两点有一弦，在同样的弦上，半径最大，所过的弧长最短。
过球面上任意两点的圆弧都是在某个过这两点的平面与该球切割出的圆上。
在球面上，两点间最短距离就是过这两点的大圆（半径等于球体的半径）的劣弧，下图中甲、乙两点，最短距离就是两点所在的经过球心的大圆上的距离。
具有地理意义的大圆：经线圈、赤道、晨昏圈（线）（如下图）1、在同一经线圈上的两点（但不在同一条经线上），过这两点的大圆便是经线圈，过两极点为两点间最短距离，具体又分为三种情况：A．同位于北半球，最近航程一定是先向北，过极点后再向南（如图1中的A、B两点）B、同位于南半球，最近航程一定是先向南，过极点后再向北（如图2中的A、B两点）。
C、两地位于南北两个半球，这时需要讨论，确定过哪个极点的为劣弧，再讨论（如图3）2、在晨昏圈上（晨昏线就是经过球心的大圆）A、在晨线上的A、B两点（如图4）,判断较为简单.B、在昏线上的C、D两点（如图5）,判断较为简单.C、分别在晨线和昏线上：从A到D点间最近距离的走法是先向西北再向西南，从B 到C点间最近距离的走法是先向东南再向东北（如图6）3、在赤道上的A、B两点正东或正西，最短距离，就是过这两点的大圆的劣弧（图7）4、同一纬线上的两点间最短距离的走法，北半球是先向高纬度，再向低纬度，如图8中的A、B两点，从A到B是先向东北，再向东南。
南半球是先向高纬度，再向低纬度，如图8中的C、D两点，从C到D是先向东南，再向东北。
5、其他任意点间最短距离和方向的判断两地经度差不等于180，则过两点的大圆不是经线圈，而与经线圈斜交，最短距离不过两极点，而是过两极地区（或上空），可分为两种情况：（1）A地位于B地的西南方，从A到B的最短距离走法为：同在北半球，先向东北再向东南。
（如图9）（2）同在南半球，A地位于B地的西方，从A到B的最短距离走法为：先向东南，再向东北。
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探究球面上两点间的最短距离和走法
在球面上，连接甲、乙两点有一弦，在同样的弦上，半径最大，所过的弧长最短。
过球面上任意两点的圆弧都是在某个过这两点的平面与该球切割出的圆上。
在球面上，两点间最短距离就是过这两点的大圆（半径等于球体的半径）的劣弧，下图中甲、乙两点，最短距离就是两点所在的经过球心的大圆上的距离。
具有地理意义的大圆：经线圈、赤道、晨昏圈（线）（如下图）1、在同一经线圈上的两点（但不在同一
条经线上），过这两点的大圆便是经线圈，
过两极点为两点间最短距离，具体又分为三
种情况：
A．同位于北半球，最近航程一定是先
向北，过极点后再向南（如图1中的A、B两点）
B、同位于南半球，最近航程一定是先向南，过极点后再向北（如图2中的A、B两点）。
C、两地位于南北两个半球，这时需要讨论，确定过哪个极点的为劣弧，再讨论（如图3）
2、在晨昏圈上（晨昏线就是经过球心的大圆）
A、在晨线上的A、B两点（如图4）,判断较为简单.
B、在昏线上的
C、D两点（如图5）,判断较为简单.
C、分别在晨线和昏线上：
从A到D点间最近距离的走法是先向西北再向西南，从B到C点间最近距离的走法是先向东南再向东北（如图6）
3、在赤道上的A、B两点正东或正西，最短距离，就是过这两点的大圆的劣弧（图7）
4、同一纬线上的两点间最短距离的走法，北半球是先向高纬度，再向低纬度，如图8中的A、B两点，从A到B是先向东北，再向东南。
南半球是先向高纬度，再向低纬度，如图8中的C、D两点，从C到D是先向东南，再向东北。
5、其他任意点间最短距离和方向的判断
两地经度差不等于180，则过两点的大圆不是经线圈，而与经线圈斜交，最短距离不过两极点，而是过两极地区（或上空），可分为两种情况：
（1）A地位于B地的西南方，从A到B的最短距离走法为：同在北半球，先向东北再向东南。
（如图9）
（2）同在南半球，A地位于B地的西方，从A到B的最短距离走法为：先向东南，再向东北。
（如图10）
（3）位于不同半球时需要讨论，方法同上(图11)。
例1：从甲地(50°N、80°E)到乙地(50°N、160°E)若不考虑地形因素，最近走法是
A．一直向正东方向
走
B．先向东南再向东最后向东北走
C．先向东北再向东最后向东南走
D．先向东南再向东北走
例2：从华盛顿到北京在以下四条航线中，最短的一条是：
A 华盛顿—夏威夷—北京
B 华盛顿—悉尼—北京
C 华盛顿—阿拉斯加—北京
D 华盛顿—开罗—北京
例3.图中ACB为晨昏线， C地点在格陵兰岛上。
那么从A到B 最近的走法是
A 沿北纬30度向东到达
B
B 沿弧线ADB走到B
C 沿弧线ACB走到
B
D 无法判断。