职高数学圆的标准方程PPT课件
合集下载
圆的标准方程课件(用) 15页PPT文档
所以所求圆的方x2程 (为 y1)2 25
你能归纳出来吗？
以 C(a，b)为圆心，以 r 为半径的圆的标准方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
点M(x0, y0)与圆 C的位置关系有哪何些判？断如？
( 1 ) 点 M 在 |M 圆 | r ( C x 0 a 外 ) 2 ( y 0 b ) 2 r 2 ( 2 ) 点 M 在 |M 圆 | r ( C x 0 a 上 ) 2 ( y 0 b ) 2 r 2 ( 3 ) 点 M 在 |M 圆 | r ( C x 0 a 内 ) 2 ( y 0 b ) 2 r 2
探一探
如何求以 C(a，b)为圆心，以 r 为半径的圆的方程？
y
设 M(x，y)是所求圆上任一点，
M（x，y） 点 M 在圆 C 上的等价条件是
r
|CM|＝ r，
C
由距离公式，得
O
x
(xa)2(yb)2 r，
两边平方，得
(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
结论
以 C(a，b)为圆心，以 r 为半径的圆的标准方程为
猜一猜
• 已知隧道的截面是半径为4米的半圆，车辆只能在中心线的一侧 行使，车辆宽本章知识结构图
忆一忆
确定一个圆的 • 初中时学过的圆的定义： 平面内与定点距离等于定长的点的 要素是什么？ 集合（轨迹）是圆，定点就是圆心， 定长就是半径。
用一用
例2：求以x直 -y线 10和xy-10的交点为 圆心，半 5的 径圆 为的.并 方判 程A断 (4,4), B(3,C 2)(,5与 ,3)该圆的位. 置关系
解 由方程组
x-y10 xy-10
解得 xy10
圆方程的课件ppt课件ppt
当$theta = 0$时，点为$(a, b)$ ；当$theta = frac{pi}{2}$时，点 为$(a - r, b)$；当$theta = pi$ 时，点为$(a - r, b + r)$。
03 圆的方程的求解
直接求解法
总结词
通过已知条件直接代入求解。
适用范围
适用于已知圆心和半径的情况。
工程设计
在工程设计中，圆的面积和周长公 式同样必不可少，如设计圆形机械 零件、计算圆形结构件的承载能力 等。
06 圆的对称性和极 坐标方程
圆的对称性
01
02
03
圆的对称性定义
圆关于其圆心具有对称性 ，即圆心是圆上任意两点 的中点。
圆的对称性质
圆关于其直径也具有对称 性，即直径将圆分成两个 相等的部分。
$frac{sqrt{D^2 + E^2 4F}}{2}$。
圆的参数方程
圆的参数方程：$x = a + rcostheta, y = b + rsintheta$， 其中$(a, b)$是圆心坐标，$r$是 半径，$theta$是参数。
圆的参数方程通过参数$theta$描 述了一个圆上的点的坐标。
圆的基本性质
01
圆是中心对称图形，即圆心是圆上任何一对对称点 的对称中心。
02
圆是旋转对称图形，即旋转任意角度后与原图重合 。
03
圆的直径是半径的两倍，且直径平分半径。
圆的应用
圆在日常生活中的应用非常广 泛，如车轮、钟表、餐具等。
在工程和科学领域中，圆也常 用于建筑设计、机械制造和天 文观测等方面。
在数学领域中，圆是基础几何 图形之一，可用于研究圆的性 质和定理，以及解决相关的数 学问题。
圆的标准方程ppt课件
_____5______．
解析：圆 C : x2 y2 25 的圆心为C(0,0) ，半径r = 5 ， 因为 AC (8 0)2 (6 0)2 10 5 ，所以点 A 在圆外， 所以 AP 的最小值为 AC r 10 5 5 ，故答案为：5.
总结一下
圆的标准方程
6.已知 A2,2、 B2,6 ，则以 AB 为直径的圆的标准方程为_x_2____.y4 2 8
解析：线段 AB 的中点坐标为0, 4 ， AB 2 22 2 62 4 2 ，
所以，所求圆的半径为 2 2 ，故所求圆的标准方程为 x2 y 42 8 .
7.已知点 A(8, 6) 与圆C : x2 y2 25 ，P 是圆 C 上任意一点，则 AP 的最小值是
求圆的标准方程的两种方法
1.待定系数法.先设圆的标准方法 x a 2 y b 2 r2 ，再根据条件列出关于 a， b，r 的三个独立方程，通过解方程组求出 a，b，r 的值，从而得到圆的标准方程， 如例题 2 的解法.这是一种代数解法. 2.直接求解法.先根据题目条件求出圆心和半径，直接写出圆的标准方程，如例 3 的解法，这种解法往往需要圆的几何性质.
例 3 已知圆心为 C 的圆经过 A(1，1) ，B(2 ，2) 两点，且圆心 C 在直线l : x y 1 0 上， 求此圆的标准方程.
分析：设圆心 C 的坐标为 a,b .由已知条件可知， CA CB ，且a b 1 0 ， 由此可以求出圆心坐标和坐标.
解：解法1：
设圆心 C 的坐标为 (a ，b) . 因为圆心 C 在直线 l : x y 1 0 上，所以 a b 1 0 .① 因为 A，B 是圆上两点，所以| CA| | CB | . 根据两点间距离公式，有 (a 1)2 (b 1)2 (a 2)2 (b 2)2 ， 即 a 3b 3 0 .② 由①②可得 a 3，b 2 . 所以圆心 C 的坐标是 (3， 2) . 圆的半径 r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5 .
解析：圆 C : x2 y2 25 的圆心为C(0,0) ，半径r = 5 ， 因为 AC (8 0)2 (6 0)2 10 5 ，所以点 A 在圆外， 所以 AP 的最小值为 AC r 10 5 5 ，故答案为：5.
总结一下
圆的标准方程
6.已知 A2,2、 B2,6 ，则以 AB 为直径的圆的标准方程为_x_2____.y4 2 8
解析：线段 AB 的中点坐标为0, 4 ， AB 2 22 2 62 4 2 ，
所以，所求圆的半径为 2 2 ，故所求圆的标准方程为 x2 y 42 8 .
7.已知点 A(8, 6) 与圆C : x2 y2 25 ，P 是圆 C 上任意一点，则 AP 的最小值是
求圆的标准方程的两种方法
1.待定系数法.先设圆的标准方法 x a 2 y b 2 r2 ，再根据条件列出关于 a， b，r 的三个独立方程，通过解方程组求出 a，b，r 的值，从而得到圆的标准方程， 如例题 2 的解法.这是一种代数解法. 2.直接求解法.先根据题目条件求出圆心和半径，直接写出圆的标准方程，如例 3 的解法，这种解法往往需要圆的几何性质.
例 3 已知圆心为 C 的圆经过 A(1，1) ，B(2 ，2) 两点，且圆心 C 在直线l : x y 1 0 上， 求此圆的标准方程.
分析：设圆心 C 的坐标为 a,b .由已知条件可知， CA CB ，且a b 1 0 ， 由此可以求出圆心坐标和坐标.
解：解法1：
设圆心 C 的坐标为 (a ，b) . 因为圆心 C 在直线 l : x y 1 0 上，所以 a b 1 0 .① 因为 A，B 是圆上两点，所以| CA| | CB | . 根据两点间距离公式，有 (a 1)2 (b 1)2 (a 2)2 (b 2)2 ， 即 a 3b 3 0 .② 由①②可得 a 3，b 2 . 所以圆心 C 的坐标是 (3， 2) . 圆的半径 r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5 .
圆的标准方程ppt课件
通过配方，可以将其 转化为标准形式，进 而确定圆心和半径。
一般形式下圆的方程 为 $x^2+y^2+Dx+Ey +F=0$，其中 $D^2+E^2-4F>0$。
拓展延伸
与直线方程联立，可以求解交点。
极坐标形式下圆的方程及其求解 方法
极坐标形式下圆的方程为 $rho=a(1+costheta)$或 $rho=a(1+sintheta)$，其中
圆的面积
S = πr²。
弧长与扇形面积计算
ห้องสมุดไป่ตู้弧长公式
l = θ/360° × 2πr，其中θ 为圆心角的度数。
扇形面积公式
S = θ/360° × πr²，其中θ 为圆心角的度数。
弓形面积计算
弓形面积 = 扇形面积 - 三 角形面积，其中三角形面 积可通过底和高计算得出。
02 圆的标准方程及其推导
数学建模竞赛
在数学建模竞赛中，圆的方程常常作为数学模型的基础，用于解决 各种实际问题，如城市规划、交通流量分析等。
06 总结回顾与拓展延伸
总结回顾本次课程重点内容
01
圆的标准方程的定义和形式
02
圆心和半径的确定方法
03
圆的方程与直线方程联立求解交点
04
圆的方程在实际问题中的应用
拓展延伸
一般形式下圆的方程 及其求解方法
圆的要素
圆心、半径。
03
圆的表示方法
一般用圆心和半径表示，如圆O（r）。
圆心、半径与直径
01
02
03
圆心
圆的中心，用字母O表示。
半径
连接圆心和圆上任意一点 的线段，用字母r表示。
圆的标准方程完整ppt课件(2024)
r^{2}$。
2024/1/30
9
方程中参数的意义
2024/1/30
$a, b$
01
圆心坐标，表示圆心的位置。
$r$
02
半径，表示圆的大小。
$x, y$
03
圆上任意一点的坐标，满足方程 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} =
r^{2}$。
10
03
圆的图形特征与性质
2024/1/30
圆关于经过圆心的任意直 线都是对称的。
2024/1/30
周期性
圆上任意一点绕圆心旋转 360度后回到原位，具有 周期性。
应用
利用对称性和周期性可以 简化一些复杂的几何问题 。
13
切线与法线的性质
切线
与圆有且仅有一个公共 点的直线。
2024/1/30
法线
过切点且与切线垂直的 直线。
切线与半径垂直
切线长定理
已知圆与直线相切求参数
利用圆心到直线的距离等于半径，可以列出方程求解参数 。
24
判断点与圆的位置关系
计算点到圆心的距离与半径比较
若距离小于半径，则点在圆内；若距离等于半径，则点在圆上；若距离大于半 径，则点在圆外。
利用点与圆方程的关系判断
将点的坐标代入圆方程，若得到的值小于0，则点在圆内；若得到的值等于0， 则点在圆上；若得到的值大于0，则点在圆外。
圆与双曲线的关系
双曲线的一种特殊情况是等轴双曲线，其渐近线方程就是圆的方程。此外，双曲线的焦点 到任意一点的距离之差为定值，这个定值也可以和圆的半径建立联系。
圆与抛物线的关系
抛物线的一种特殊情况是顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线，其准线方程就是圆的方程 。同时，抛物线的焦点到任意一点的距离等于该点到准线的距离，这个性质也可以和圆的 性质进行类比。
2024/1/30
9
方程中参数的意义
2024/1/30
$a, b$
01
圆心坐标，表示圆心的位置。
$r$
02
半径，表示圆的大小。
$x, y$
03
圆上任意一点的坐标，满足方程 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} =
r^{2}$。
10
03
圆的图形特征与性质
2024/1/30
圆关于经过圆心的任意直 线都是对称的。
2024/1/30
周期性
圆上任意一点绕圆心旋转 360度后回到原位，具有 周期性。
应用
利用对称性和周期性可以 简化一些复杂的几何问题 。
13
切线与法线的性质
切线
与圆有且仅有一个公共 点的直线。
2024/1/30
法线
过切点且与切线垂直的 直线。
切线与半径垂直
切线长定理
已知圆与直线相切求参数
利用圆心到直线的距离等于半径，可以列出方程求解参数 。
24
判断点与圆的位置关系
计算点到圆心的距离与半径比较
若距离小于半径，则点在圆内；若距离等于半径，则点在圆上；若距离大于半 径，则点在圆外。
利用点与圆方程的关系判断
将点的坐标代入圆方程，若得到的值小于0，则点在圆内；若得到的值等于0， 则点在圆上；若得到的值大于0，则点在圆外。
圆与双曲线的关系
双曲线的一种特殊情况是等轴双曲线，其渐近线方程就是圆的方程。此外，双曲线的焦点 到任意一点的距离之差为定值，这个定值也可以和圆的半径建立联系。
圆与抛物线的关系
抛物线的一种特殊情况是顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线，其准线方程就是圆的方程 。同时，抛物线的焦点到任意一点的距离等于该点到准线的距离，这个性质也可以和圆的 性质进行类比。
圆的标准方程-PPT课件
初中学习的圆的定义:
平面内到定点的距离等于定长的点的集合.
·r
C
定点 定长
圆心 半径
在平面直角坐标系中，怎么用坐标的方法刻画圆呢？
探究新知 a、b、r 确定一个圆的方程.
问题：圆心是C(a,b),半径是r的圆的方程是什么？
设点M (x,y)为圆C上任一点，则|MC|= r。
圆上所有点的集合
y
P = { M | |MC| = r }
位置关系？ M
M
OM
O
O
|OM|< r
|OM|=r
点在圆内 点在圆上
|OM|> r 点在圆外
探究新知：点与圆的位置关系 测评P65：知识点三
测评P65：例3、活用3
(x0-a)2+(y0-b)2=r2
点M0在圆上
(x0-a)2+(y0-b)2<r2
点M0在圆内
(x0-a)2+(y0-b)2>r2
M M
r | 3 4 3 7 | 16
3 16 5
小结
1.圆的标准方程（重点）
(x a)2 (y b)2 r2 （圆心C(a,b),半径r）
2.点与圆的位置关系（难点)
3.求圆的标准方程的方法：（重点） ① 直接法（利用几何性质） ② 待定系数法
测评P64-65：例1、活用1、例2、活用2
活用2（1） ⊿ABC的三个顶点的坐标分别是 A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程。
解：设所求圆的方程为：
(x a)2 (y b)2 r2
待定系数法
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
(5 a)2 (1 b)2 r 2 (7 a)2 (3 b)2 r 2 (2 a)2 (8 b)2 r 2
2.4.1圆的标准方程课件共23张PPT
上、圆内,还是圆外.
解:由已知得，圆心A的位置为线段P1P2的中 6) ,
P1 P2
利用两点间距离公式得 r =
=
2
4 - 6 + 9 - 3
圆的标准方程为: (x-5)2+(y-6) 2=10.
2
2
2
= 10.
2.已知P 1(4, 9) , P 2(6, 3)两点,求以线段P 1P 2为直径
-8) , 求△ABC的外接圆的标准方程.
解:线段AB的垂直平分线l1的方程是 x - 2 y - 8 = 0
同理, 线段AC的垂直平分线l2的方程是 x + 3 y + 7 = 0
x -2y-8 = 0
圆心的坐标就是方程组
的解 .
x +3y +7 = 0
x = 2,
所以, 圆心C的坐标(2 , -3) , 圆的半径
分析:设圆心C的坐标为(a, b) . 由已知条件可知 |CA|=
|CB|, 且a-b+1=0 . 由此可求出圆心坐标和半径 .
又因为线段AB是圆的一条弦 , 根据平面几何知识, AB
的中点与圆心C的连线垂直于AB , 由此可得到另一种解法.
解法1:设圆心C的坐标为(a, b) . 因为圆心C在直线 l :
分析: 不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆 ,
三角形有唯一的外接圆 . 显然已知的三个点不在同一条直
线上 . 只要确定了a, b, r , 圆的标准方程就确定了.
例2 △ABC的三个顶点分别是A(5, 1) , B(7, -3) , C(2,
-8) , 求△ABC的外接圆的标准方程.
2
2
2
解: 设所求的方程是 x - a + y - b = r
解:由已知得，圆心A的位置为线段P1P2的中 6) ,
P1 P2
利用两点间距离公式得 r =
=
2
4 - 6 + 9 - 3
圆的标准方程为: (x-5)2+(y-6) 2=10.
2
2
2
= 10.
2.已知P 1(4, 9) , P 2(6, 3)两点,求以线段P 1P 2为直径
-8) , 求△ABC的外接圆的标准方程.
解:线段AB的垂直平分线l1的方程是 x - 2 y - 8 = 0
同理, 线段AC的垂直平分线l2的方程是 x + 3 y + 7 = 0
x -2y-8 = 0
圆心的坐标就是方程组
的解 .
x +3y +7 = 0
x = 2,
所以, 圆心C的坐标(2 , -3) , 圆的半径
分析:设圆心C的坐标为(a, b) . 由已知条件可知 |CA|=
|CB|, 且a-b+1=0 . 由此可求出圆心坐标和半径 .
又因为线段AB是圆的一条弦 , 根据平面几何知识, AB
的中点与圆心C的连线垂直于AB , 由此可得到另一种解法.
解法1:设圆心C的坐标为(a, b) . 因为圆心C在直线 l :
分析: 不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆 ,
三角形有唯一的外接圆 . 显然已知的三个点不在同一条直
线上 . 只要确定了a, b, r , 圆的标准方程就确定了.
例2 △ABC的三个顶点分别是A(5, 1) , B(7, -3) , C(2,
-8) , 求△ABC的外接圆的标准方程.
2
2
2
解: 设所求的方程是 x - a + y - b = r
圆的标准方程精品课件
3
证明
设P和Q是圆上关于任意直线l对称的两点，则 AP=BQ，且PO=QO。由于PQ与l垂直，所以 △APO≌△BQA，从而证明了P和Q关于l对称。
06 圆的实际应用
生活中的圆的应用
交通工具
车轮、自行车轮胎、火车 铁轨等都采用了圆形的结 构，使得运动更加平稳和 高效。
建筑学
建筑物的窗户、门洞、柱 基等常采用圆形或圆弧形， 不仅美观大方，而且符合 结构力学原理。
圆的弦长定理
总结词
弦长与半径的关系
详细描述
在圆中，通过圆心的弦被平分，并且弦长等于两个半径之和。如果弦不经过圆心，则弦长小于两个半径之和。这 个定理用于计算弦的长度以及与半径之间的关系。
04 圆的面积与周长
圆的面积计算公式
圆的面积计算公式
$S = pi r^{2}$，其中$S$表示圆的面积，$r$表示圆的半径。
圆的标准方程的图形表示
以圆心为坐标原点，以半径为长度单 位，在平面直角坐标系中画出的圆形。
圆的标准方程推导
推导过程
通过将圆上任一点的坐标表示为$(x, y)$，利用点到圆心 的距离等于半径的性质，将圆的方程转化为标准形式。
推导步骤
设圆上任一点$P(x, y)$，圆心$O(h, k)$，半径为$r$，则 $OP = r$，即$sqrt{(x - h)^{2} + (y - k)^{2}} = r$，平 方两边得到标准方程。
自然界
自然界中许多物体呈现圆 形或类圆形，如星球、花 朵、叶子等。
02 圆的标准方程
圆的标准方程形式
圆的标准方程
圆的标准方程的应用
$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$， 其中$(h, k)$是圆心坐标，$r$是半径。
圆的方程ppt课件
C.（x-1）2+(y-1)2=4
D.（x+1）2+(y+1)2=4
解析 设圆心C的坐标为(a,b),半径为r.
∵圆心C在直线x+y-2=0上，∴b=2-a.
∵|CA|2=|CB|2，
∴（a-1）2+（2-a+1）2=（a+1）2+（2-a-1）2，
∴a=1，b=1.∴r=2，∴方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
aa aa4
,解得a=1，故圆心坐标为
2
2
（1，-1），半径r=
11
2,
所以圆的方
2
程为（x-1）2+(y+1)2=2.
题型二 与圆有关的最值问题
【例2】(12分)已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0. （1）求y-x的最大值和最小值； （2）求x2+y2的最大值和最小值. 思维启迪 根据代数式的几何意义，借助于平面
1 2
12
(3
2)2
5
1
(6)2 4
4m
.
∴m=3.∴半径为
5 2
,圆心为
1 2
,3.
方法三 设过P、Q的圆系方程为
x2+y2+x-6y+m+ (x+2y-3)=0.
由OP⊥OQ知，点O（0，0）在圆上.
m 3 0,即m 3.
∴圆系方程可化为
x2+y2+x-6y+3 + x+2 y-3 =0 即x2+(1+ )x+y2+2( -3)y=0.
于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求 该圆的圆心坐标及半径. 思维启迪 （1）利用垂直列出坐标之间关系， 再化为m的方程求解；（2）OP⊥OQ得到O点 在以PQ为直径的圆上，再利用勾股定理求解； （3）利用圆的性质列出m的方程求解.
圆的方程ppt课件
圆的方程
圆的标准方 程
一、知识梳理 1. 圆的方程
标准方程
走进教材
(x—a)²+(y—b)²=r²(r>0)
圆心 半径为r
一般方程
x²+y²+Dx+Ey+F=0
条 件 ：D²+E²—4F>0 圆心：
半径：
2.点与圆的位置关系 点M(x₀,y₀) 与圆(x—a)²+(y-b)²=r²的位置关系. (1)若M(x₀,yo) 在圆外，则(x₀—a)²+(y₀—b)²> r². (2)若M(x₀,yo) 在圆上，则(x₀—a)²+(yo—b)²= r². (3)若M(xo,yo)在圆内，则(x₀—a)²+(y₀—b)²<
解得k=±√3
所 的最大值为 √3
图1
(2)y-x 可看作是直线y=x+b 在y轴上的截距，当直线y=x+b 与圆相切时，
纵截距b取得最大值或最小值，此时
解得b=-2±√6
所以y-x 的最大值-2+ √6,最小值-2- √6
(3)x²+y² 表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知， 在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值 又圆心与原点的距离为(2-0)²+(0-0)²=2
答案：C
求圆的方程的两种方法 (1)直接法
根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而得方程。 (2)待定系数法
①若已知条件与圆(a,b) 和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出 关于a,b,r 的方程组，从而求得圆的方程。 ②已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出 关于D,E,F 的程组，得圆的方程。
圆的标准方 程
一、知识梳理 1. 圆的方程
标准方程
走进教材
(x—a)²+(y—b)²=r²(r>0)
圆心 半径为r
一般方程
x²+y²+Dx+Ey+F=0
条 件 ：D²+E²—4F>0 圆心：
半径：
2.点与圆的位置关系 点M(x₀,y₀) 与圆(x—a)²+(y-b)²=r²的位置关系. (1)若M(x₀,yo) 在圆外，则(x₀—a)²+(y₀—b)²> r². (2)若M(x₀,yo) 在圆上，则(x₀—a)²+(yo—b)²= r². (3)若M(xo,yo)在圆内，则(x₀—a)²+(y₀—b)²<
解得k=±√3
所 的最大值为 √3
图1
(2)y-x 可看作是直线y=x+b 在y轴上的截距，当直线y=x+b 与圆相切时，
纵截距b取得最大值或最小值，此时
解得b=-2±√6
所以y-x 的最大值-2+ √6,最小值-2- √6
(3)x²+y² 表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知， 在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值 又圆心与原点的距离为(2-0)²+(0-0)²=2
答案：C
求圆的方程的两种方法 (1)直接法
根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而得方程。 (2)待定系数法
①若已知条件与圆(a,b) 和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出 关于a,b,r 的方程组，从而求得圆的方程。 ②已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出 关于D,E,F 的程组，得圆的方程。
高职圆的标准方程PPT
练习三：求以直线x+y-2=0与直线x-2y+1=0的 交点为圆心，且半径为4的圆的方程
例3：求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x-4y-7=0 相切的圆的方程。 圆心：已知
思考：（1）本题关键是求出什么？ （2）怎样求出圆的半径？
半径：圆心到切线的距离 解：因为圆C和直线3x-4y-7=0相切,所以 圆心C到这条直线的距离等于半径r
探一探
如何求以 C(a，b)为圆心，以 r 为半径的圆的方程？
y
如果圆心在原点，此时a=0，b=0 园的标准方程就是：
M（x，y） O x
x2＋y2＝r2 (r>0)
练习1.写出下列各圆的方程：
(1)圆心在点C(3,4 )，半径是 5
(2)半径为5，圆心在点C(8,-3)
(1)(x-3)2+(y-4)2 =5 (2)(x-8)2+(y+3)2 =25 练习2. 写出下列各圆的圆心坐标和半径：
用一用
例1：求过点A(6,0),且圆心B的坐标为 （3，2）的圆的方程。
解 ：因为圆的半径 所以所求圆的方程是
r AB (3 6) 2 (2 0) 2 13
( x 3)2 ( y 2)2 13
练习二： 求圆心在（0，-3），过点（3，1）圆的方程
做一做
圆心：两直线的交点
赵州桥建于隋炀帝大业年间595605年至今已有1400年的历史出自著名匠师李春之手是今天世界上最古老的单肩石拱桥是世界造桥史上的一个创造
课题：圆的标准方程
Y
OБайду номын сангаас
X
赵州桥，建于隋炀帝大业年间（595-605年），至今已有 问题 : 假设桥梁圆拱损坏需修缮,若你修缮专家 1400年的历史，出自著名匠师李春之手，是今天世界上最 之一,那你该怎样去修缮桥梁圆拱呢? 古老的单肩石拱桥,是世界造桥史上的一个创造。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
8.4.1 圆的标准方程
y
OA
x
r
奥运五环
y
形
数
l : Ax By C 0
o
x
直线可以用一个方程表示，圆也可以 用一个方程来表示吗？怎样建立圆的 方程是我们需要探究的问题.
复习引入
问题一：什么是圆？初中时我们是怎样给圆下定义 的？
平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆。
巩
(x 2)2 y2 9．
固
知
识
例2 写出圆 (x 2)2 ( y 1)2 5 的圆心的坐标及半径．
使用公式求圆
典
解 方程 (x 心2)的2 坐(标y 时1，)2 要 5
注意公式中两个
型
可化为 (x 括2)号2 内都y 是(“1－)2 ( 5)2
例
圆心在x轴上: 圆心在y轴上:
圆过原点:
x2 + y2 = r2
(r≠0)
(x a)2 + y2 = r2
(r≠0)
x2+ (y b)2 = r2
(r≠0)
(x a)2 + (y-b)2 = a2+b2 (a2+b2≠0)
例1 求以点C(−2，0)为圆心，r=3为半径的圆的标准方程．
解 因为 a 2, b 0, r 3 , 故所求圆的标准方程为
5、化简； (x a)2 ( y b)2 r2 化
知识点一：圆的标准方程
y
标准方程
M(x,y)
(x a)2 (y b)2 r2
O C(a,b) x
圆心C(a,b),半径r 特别地,若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
x2 y2 r2
特殊位置的圆的方程:
圆心在原点:
” 号．
题
所以
a 2, b 1, r 5
故，圆心的坐标为 C(2, 1)，半径为 r 5．
8．4 圆
应用举例
(x a)2 (y b)2 r2
例3. 说出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径：
(1) (x + 7)2 + ( y 4)2 =(2) x2 + （y+2）2 =
36
1
解：(1) (x + 7)2 + ( y 4)2 = 36
【x –(- 7)】2 + ( y 4)2 = 62
所以 a=-7 ,b=4,r=6
ห้องสมุดไป่ตู้
所以圆的圆心坐标为（-7,4），半径为r=6
(2) x2 + （y+2）2 = 1
(x-0)2 + 【 y-(-2)】2 = 12
所以 a=0 ,b=-2,r=1
}
(x a)2 (y b)2 r
y M(x,y)
O C(a,b) x
(x-a)2+(y-b)2=r2
三个独立条件a、b、r确定一个圆的方程.
圆的标准方程
1、建系如图； 建
2、设点M(x, y)为圆上
任意一设点；
y
M(x,y)
OC x
3、限定条件 |MC|= r 限
4、代点； (x a)2 ( y b)2 R 代
几何画板直观演示
所以圆的圆心坐标为（0,-2），半径为r=1
方法小结
• （1）设圆的标准方程
(x a)2 ( y b)2 r2
• （2）明确三个量 a,b,r
• （3）将式子化简
随堂检测
1、以点（2，-1）为圆心，以 2 为半径的圆的标准方程是（ C ）
A (x 2)2 ( y 1)2 2 B (x 2)2 ( y 1)2 2
问题二：平面直角坐标系中，如何确定一个 圆？
圆心：确定圆的位置 半径：确定圆的大小
SUCCESS
THANK YOU
2019/8/23
探究新知
问题三：圆心是C(a,b),半径是r的圆的方程是什么？
设点M (x,y)为圆C上任一点，则|MC|= r。
圆上所有点的集合
P = { M | |MC| = r
C (x 2)2 ( y 1)2 2
D (x 2)2 ( y 1)2 2
2、圆 x2 y2 26 的圆心和半径分别是（ C ）
A 、（0,0），26 C、（0,0）， 26
B 、（1,0），26 D、 （0,1），26
SUCCESS
THANK YOU
2019/8/23
y
OA
x
r
奥运五环
y
形
数
l : Ax By C 0
o
x
直线可以用一个方程表示，圆也可以 用一个方程来表示吗？怎样建立圆的 方程是我们需要探究的问题.
复习引入
问题一：什么是圆？初中时我们是怎样给圆下定义 的？
平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆。
巩
(x 2)2 y2 9．
固
知
识
例2 写出圆 (x 2)2 ( y 1)2 5 的圆心的坐标及半径．
使用公式求圆
典
解 方程 (x 心2)的2 坐(标y 时1，)2 要 5
注意公式中两个
型
可化为 (x 括2)号2 内都y 是(“1－)2 ( 5)2
例
圆心在x轴上: 圆心在y轴上:
圆过原点:
x2 + y2 = r2
(r≠0)
(x a)2 + y2 = r2
(r≠0)
x2+ (y b)2 = r2
(r≠0)
(x a)2 + (y-b)2 = a2+b2 (a2+b2≠0)
例1 求以点C(−2，0)为圆心，r=3为半径的圆的标准方程．
解 因为 a 2, b 0, r 3 , 故所求圆的标准方程为
5、化简； (x a)2 ( y b)2 r2 化
知识点一：圆的标准方程
y
标准方程
M(x,y)
(x a)2 (y b)2 r2
O C(a,b) x
圆心C(a,b),半径r 特别地,若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
x2 y2 r2
特殊位置的圆的方程:
圆心在原点:
” 号．
题
所以
a 2, b 1, r 5
故，圆心的坐标为 C(2, 1)，半径为 r 5．
8．4 圆
应用举例
(x a)2 (y b)2 r2
例3. 说出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径：
(1) (x + 7)2 + ( y 4)2 =(2) x2 + （y+2）2 =
36
1
解：(1) (x + 7)2 + ( y 4)2 = 36
【x –(- 7)】2 + ( y 4)2 = 62
所以 a=-7 ,b=4,r=6
ห้องสมุดไป่ตู้
所以圆的圆心坐标为（-7,4），半径为r=6
(2) x2 + （y+2）2 = 1
(x-0)2 + 【 y-(-2)】2 = 12
所以 a=0 ,b=-2,r=1
}
(x a)2 (y b)2 r
y M(x,y)
O C(a,b) x
(x-a)2+(y-b)2=r2
三个独立条件a、b、r确定一个圆的方程.
圆的标准方程
1、建系如图； 建
2、设点M(x, y)为圆上
任意一设点；
y
M(x,y)
OC x
3、限定条件 |MC|= r 限
4、代点； (x a)2 ( y b)2 R 代
几何画板直观演示
所以圆的圆心坐标为（0,-2），半径为r=1
方法小结
• （1）设圆的标准方程
(x a)2 ( y b)2 r2
• （2）明确三个量 a,b,r
• （3）将式子化简
随堂检测
1、以点（2，-1）为圆心，以 2 为半径的圆的标准方程是（ C ）
A (x 2)2 ( y 1)2 2 B (x 2)2 ( y 1)2 2
问题二：平面直角坐标系中，如何确定一个 圆？
圆心：确定圆的位置 半径：确定圆的大小
SUCCESS
THANK YOU
2019/8/23
探究新知
问题三：圆心是C(a,b),半径是r的圆的方程是什么？
设点M (x,y)为圆C上任一点，则|MC|= r。
圆上所有点的集合
P = { M | |MC| = r
C (x 2)2 ( y 1)2 2
D (x 2)2 ( y 1)2 2
2、圆 x2 y2 26 的圆心和半径分别是（ C ）
A 、（0,0），26 C、（0,0）， 26
B 、（1,0），26 D、 （0,1），26
SUCCESS
THANK YOU
2019/8/23