信号与系统习题解答 (9)

c0
2(1)0 (1 4(0)2 )
2
4.37图P4.37表示一调制和解调系统，已知调制信号 x1(t) sin t (1/ 3)sin 3t, 载波信号x2(t)为周期性矩形脉冲，周期为T=2π/10Ω,滤波器I的通带范围是
5~15Ω。
（a)画出x3(t) ,x4(t)的波形及其频谱；
(b)为正确完成解调，试给出x5(t)的波形（或表示式），滤波器II通带范围如何 确定。
/ 2
2(1)k 1 1 1 2k 1 2k
1 {2sin(1 k0 )T / 2 2sin(1 k0 )T / 2}
T
1 k0
1 k0
4(1)k (1 4k 2 )
ck
2(1)k (1 4k 2 )
(b) 输入为余弦，其直流分量为零。输出的直流分量：
由ck
2(1)k (1 4k 2 )
则
x2 (t)
4A
k 1
1 sin( 2k 1
2k
1)0t
,
0 10
X1() F{sin t (1/ 3)sin 3t}
j[ ( ) ( )] 1 j[ ( 3) ( 3)] 3
X 2 () F{x2 (t)}
4
Aj
k 1
1 [ 2k 1
(
(2k
1)0
)
(
(2k
1)0
ω
X 4 () X 3()H1()
x4(t)的频谱X4(ω) ：
k 1
2 Aj (2k
[ 1)
X
1
(
(2k
1)10)
X 1 (
(2k
1)10)]H1()
2Aj ( 7) ( 7) 2Aj ( 9) ( 9) 2Aj ( 13) ( 13)
3
3
即
2 Aj
[
X 1 (
0 7Ω 9Ω
ω
2Aj
2Aj /
3
2Aj /
由X
4 ()
2A 2
X1()
F{sin
10t}
得x4 (t)
F
1{X
4 ()}
4A
x1(t) sin
10t
x4(t)
(b)可取
x5(t) ( / 2A)sin 10t
则
x6 (t) x4 (t)x5 (t)
2x1(t)
sin
2
10t
2x1
第四章作业参考答案 P162.
4.2在全波整流电路中，如输入交流电压x(t)，则输出电压y(t)=|x(t)|.
(a)当 x(t)=cost,概略地画出输出y(t)的波形并求傅里叶系数。
(b)输入信号中直流分量振幅为多少，输出信号中直流分量振幅为多少？
解 : (a) y(t)=| cost |，T=π,ω=2π/T=2.
X 1 (
(2k
1)10]
j j
. x1(t)的频谱X1(ω) ： 3
-3Ω -Ω
X1()
0Ω
x3(t)的频谱X3(ω) ：
j
3Ω ω
j
3
X1( 30)
2 Aj
…
2 Aj 3
9
-29Ω -27Ω
-33Ω -31Ω
2Aj
2Aj 9
3
X1( 10)
2Aj /
2 Aj
3 -9Ω -7Ω
-13Ω -11Ω
0
2Aj /
X1(源自文库10)
2Aj /
2 Aj
3
11Ω 13Ω
7Ω 9Ω
2Aj
3
2Aj /
滤波器I 的频谱H1(ω) ：
H1
(
)
51,
0,
c 15 其他
1 H1(ω)
X1( 30)
2 Aj
2 Aj 3
…
9 31Ω 33Ω
27Ω 29Ω
ω
2Aj 2Aj 3 9
-15Ω
-5Ω 0 5Ω
15Ω
]
X 3() F{x1(t)x2 (t)} X1() X 2 () / 2
4 Aj 2
X1()
k 1
1 [ 2k 1
(
(2k
1)0 )
(
(2k
1)0 ]
2 Aj
k 1
1 2k
1
[
X1
(
(2k
1)0 )
X 1 (
(2k
1)0 ]
k 1
2 Aj (2k
1)
[
X
1
(
(2k
1)10)
（c) 在正确回答(b)之后，画出x6(t)， x7(t)波形及频谱。 hˆ[n] c1 c2 (2)n
x 1(t)
相乘 x 3(t) x 2(t)
滤波器 I x 4(t)
A x2(t)
x 4(t)
相乘 x 6(t) x 5(t)
滤波器II
x 7(t)
t
解: (a)
sin t
(1/ 3) sin 3t
7Ω 9Ω
2Aj
3
2Aj /
X1( 30)
2 Aj
2 Aj 9
3
…
31Ω 33Ω
27Ω 29Ω
ω
2Aj 2Aj
3 9
1 H1(ω)
-15Ω
-5Ω 0 5Ω
15Ω
ω
X1( 10)
2Aj /
2 Aj
X4(ω) 2Aj 2Aj /
X1( 10)
3
-9Ω -7Ω 3
11Ω 13Ω
-13Ω -11Ω
(t)
1
cos 20t 2
x1(t) x1(t) cos 20t 所以要想滤出信号x1(t)，只需滤波器II为带宽为 17Ω>ωc>3Ω的低通滤波器。
此时
x7 (t) x6 (t) h2 (t) x1(t)
信号x6(t)的图： 信号x7(t)= x1(t)的图：
或
H
2
(
)
1,
0,
| | c ,3 17 其他
y(t)是偶函数,ck=Bk.
…
2Bk
2 T
T /2
T /2 y(t) cos k0tdt
1 y(t)
…
0
t
2 T
T /2
T /2 cos t cos k0tdt
1 T
T /2
T /2{cos(1 k0 )t cos(1 k0 )t}dt
2Bk
1
2sin(1 2k) 1 2k
/2
2sin(1 2k) 1 2k
10)
X 1 (
10)]
2A 2
X 1 ( )
F{sin
10t}
X1( 30)
2 Aj
…
2 Aj 3 9
-29Ω -27Ω
-33Ω -31Ω 2Aj
2 Aj 9
3
X1( 10)
2Aj /
2 Aj
3
-9Ω -7Ω
-13Ω -11Ω
0
2Aj /
X1( 10)
2Aj /
2 Aj
3
11Ω 13Ω
x1 (t )
x1(t)
A
x2 (t)
x3 (t)
求x 2(t)傅里叶级数： x 2(t)是奇半波奇对称， Bk =0,
频谱：
2Dk
8 T0
T /2
0 x2 (t) sin 0tdt
8
T
T /2
0 Asin( 2t / T0 )dt
4A / k , k 1,3,5 , x2 (t) A,0 t T / 4
X 6 () F{x1(t) x1(t) cos 20t}
X1() X1() ( 20) ( 20)/ 2
X1() X1( 20) / 2 X1( 20) / 2
X 7 () X 6 ()H2 ()
( X1() X1( 20) / 2 X1( 20) / 2)H2 ()