九年级数学上册第23章图形的相似23.1成比例线段23.1.1成比例线段_8
华师版九年级上册数学第23章 图形的相似 成比例线段
感悟新知
归纳
知2－讲
利用比例的性质求代数式的值的方法： 当一个题中出现多个未知数时，常巧用的方法为“消 元法”求代数式的值；当条件中出现多个比值相等时， 用“中间量法”巧设出比值是首选的方法．
感悟新知
知2－练
1．已知a2＝b3(a≠0，b≠0)，下列变形错误的是( B )
A.ab＝23
B．2a＝3b
ab
b4
ab
导引：根据已知得，a然 后3 b代入求值；也 可以通过设参数的方法，4 即设a＝3k，b＝
4k，然后代入求值．
知2－练
感悟新知
解法一：由已知得.a故：3 b 4
知2－练
a a
b b
3
4 3
bb bb
7b 4 1b
7
4 1
7
4
44
解法二：因为，a所以3设a＝3k，b＝4k，
b4
则
a b 3k 4k 7k 7
∴.
ab cd bd
知2－练
a 1 c 1 bd
感悟新知
(2)∵， a c ∴ad＝bbc，d
等式两边同减去ac，得 ad－ac＝bc－ac， ∴ac－ad＝ac－bc， ∴a(c－d)＝c(a－b)．
知2－练
想一想：根据比例的
基本性质，a c 你还可以得b到其d他哪
些类似的结论？
感悟新知
由a≠b，且，知c≠da，从c而a－b≠0， bd
且c－d≠0，上式两边同除以(a－b)(c－d)，
得.
ac
ab cd
知2－练
感悟新知
知2－练
(1)合比性质：⇔a ；c (2)等比性质： b d
ab cd bd
a c e m kbd f n 0
【华东师大版】九年级数学上册：23.1.1《成比例线段教案(含答案)
23.1 成比例线段1.成比例线段【知识与技能】1.了解成比例线段的意义，会判断四条线段是否成比例.2.会利用比例的性质，求出未知线段的长.【过程与方法】培养学生灵活解题及合作探究的能力.【情感态度】感受数学逻辑推理的魅力.【教学重点】成比例线段的定义;比例的基本性质及直接运用.【教学难点】比例的基本性质的灵活运用，探索比例的其他性质.一、情境导入，初步认识挂上两张照片，问：1.这两个图形有什么联系？它们都是平面图形，它们的形状相同，大小不相同，是相似图形.2.这两个图形是相似图形，为什么有些图形是相似的，而有的图形看起来相像又不会相似呢？相似的两个图形有什么主要特征呢？为了探究相似图形的特征，本节课先学习线段的成比例.二、思考探究，获取新知1.两条线段的比（1）回忆什么叫两个数的比，怎样度量线段的长度，怎样比较两线段的大小.如果选用同一个长度单位量得两条线段AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比AB ∶CD=m ∶n ，或写成ABCD=nm ，其中，线段AB 、CD 分别叫做这两个线段比的前项和后项.如果把n m 表示成比值k ，则CDAB =k 或AB=k ·CD. 注意：在量线段时要选用同一个长度单位.（2）做一做量出数学书的长和宽（精确到0.1cm ），并求出长和宽的比.改用m 作单位，则长为0.211m,宽为0.148m,长与宽的比为0.211∶0.148=211∶148. 只要是选用同一单位测量线段，不管采用什么单位，它们的比值不变.（3）求两条线段的比时要注意的问题①两条线段的长度必须用同一长度单位表示，如果单位长度不同，应先化成同一单位，再求它们的比；②两条线段的比没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；③两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数.问：两条线段长度的比与所采用的长度单位有没有关系？（学生讨论）（答：线段的长度比与所采用的长度单位无关）.2.成比例线段的定义四条线段a 、b 、c 、d 中，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，如d c b a =，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段.3.比例的基本性质两条线段的比实际上就是两个数的比.如果a 、b 、c 、d 四个数满足dc b a =，那么ad=bc 吗？反过来，如果说ad=bc ，那么d c b a =吗？与同伴交流. 如果dc b a =，那么ad=bc. 若ad=bc(a 、b 、c 、d 都不等于0），那么dc b a =. 例1 在某市城区地图（比例尺1∶9000)上，新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是16cm 、10cm.（1）新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？（2）新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？它们的实际长度之比呢？ 解：（1）1440米，900米. （2）8∶5,8∶5.例2如图，已知d c b a ==3，求b b a +和dd c +;解：b b a +=4, dd c +=4.三、运用新知，深化理解【教学说明】分组讨论完成并展示.四、师生互动，课堂小结1.注意点：（1）两线段的比值总是正数；（2）讨论线段的比时，不指明长度单位；（3）对两条线段的长度一定要用同一长度单位表示.2.比例尺：图上长度与实际长度的比.3.熟记成比例线段的定义.4.掌握比例的基本性质，并能灵活运用.1.布置作业：从教材相应练习和“习题23.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.本课时从生活实例情境引入线段的比及成比例线段的概念，并引导学生探究比例的基本性质及其应用，通过互动交流加强对知识的理解，培养学生的合作意识.。
23.1 成比例线段
第23章 图形的相似23．1 成比例线段23．1.1 成比例线段1．__形状__相同，__大小__不一定相同的图形叫做相似图形．2．对于给定的四条线段a ，b ，c ，d ，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，如a b ＝c d(或a ∶b ＝c ∶d )，那么，这四条线段叫做__成比例线段__，简称比例线段．此时也称这四条线段__成比例__．3．判断四条线段是否为比例线段要注意两点：(1)单位要__统一__；(2)线段长度的大小要__排序__．4．四条线段a ，b ，c ，d ，如果a b ＝c d，那么__ad ＝bc __；如果ad ＝bc (a ，b ，c ，d 都不等于0)，那么__a b ＝c d__．知识点1：线段的比1．延长线段AB 到C ，使得BC ＝12AB ，则AC ∶AB ＝( C ) A ．2∶1 B ．3∶1 C ．3∶2 D ．4∶32．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165 cm ，下半身长x 与身高l 的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为( C )A ．4 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．10 cm3．已知一个矩形的一边长a ＝15 cm ，另一边长b ＝6 dm ，则a b ＝__14__． 知识点2：成比例线段4．下列各组线段(单位：cm)中，是成比例线段的是( C )A ．3，5，7，9B ．2，5，6，8C ．3，6，9，18D ．1，3，4，75．已知线段a ，b ，c ，d 成比例，a ∶b ＝c ∶d ，且a ＝3 cm ，b ＝12 cm ，d ＝18 cm ，则c ＝__92__cm. 知识点3：比例的基本性质6．已知ad ＝bc ，那么下列比例式不成立的是( C )A.a b ＝c dB.a c ＝b dC.a d ＝c bD.b a ＝d c7．已知5x ＝4y ，则下列比例式成立的是( C )A.x 5＝4yB.x 5＝y 4C.x 4＝y 5D.x y ＝548．(1)已知x y ＝83，则x －y y ＝__53__，x ＋y y ＝__113__，x －y x ＋y＝__511__； (2)已知a b ＝b c，且a ＝4 cm ，c ＝3 cm ，则b ＝3_cm __． 9．如图，已知AD DB ＝AE EC，AD ＝3 cm ，DB ＝5 cm ，EC ＝7.5 cm ，求AC 的长．解：∵AD DB ＝AE EC ，AD ＝3 cm ，DB ＝5 cm ，EC ＝7.5 cm ，∴35＝AE 7.5，∴AE ＝3×7.55＝4.5(cm )，∴AC ＝AE ＋EC ＝4.5＋7.5＝12(cm )。
华东师大版九年级数学上册《23章 图形的相似 23.1 成比例线段 平行线分线段成比例》精品课件_21
D C
例一 动动脑：如图：在△ABC中E,F分别是AB和
AC上的两点且EF//BC, 如果AB=10,AE=6,AF=5那么FC的长是多少？
解∵EF//BC
∴ AE AF
AB AC
∵AB=10,AE=6,AF=5 E
∴
AC AB AF 105 25 AE 6 3
B
∴
FC AC AF 25 5 10
B ELeabharlann FC∴ EF BC DF 3 9 27
AC
77
平行线分线段成比例
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例。 简称“平行线分线段成比例”
推论：
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两 边的延长线)，所得的对应线段成比例。
作业设计:
1、如图: 已知 AB = 14, AC
平面图形如图所示（梯步假定平行）
B
E 如果AB=0.4m BC=0.6m
C
F DE=0.5m 请你帮忙算一算EF是多少?
你能否利用所学过的相关知识进行探索？
一组平行线截两条直线所得对应 线段的比例关系
m
A B C
动手量一量，
用数据说明
AB=BC,
DE=EF.
m
n
A
D
B
E
C
F
由此，我们可以得到
AB BC
=
DE EF
现在，让我们观察一般的情况:
m
n
A
F
D
E
m
n
A
F
D
E
B
C
B
C
你能够根据上图加以说明吗？
由此，我们可以得到
九年级数学上册 第23章 图形的相似23.1 成比例线段 2平行线分线段成比例备选课件
BO CO FO AO AB∥ C E
EO CO BO AO
BO EO
F O 12/11/2021
BO
第十二页，共十九页。
2.如图,△ABC中，DE//BC，DF//AC，AE=4，EC=2， BC=8。求BF和CF的长.
分析:运用平行线分线段(xiànduàn)成比例定理的推论分别列
出比例式求解.
A
解 ∵DE//BC
ADAE42 AB AC 6 3
D
E
∵DF//AC
AD CF AB CB
BF
C
2CF,即CF16 BF8-168
3 8 12/11/2021
3
33
第十三页，共十九页。
3.如图,△ABC中,DE//BC,EF//CD. 求证(qiúzhèng):AD是AB和AF的比例中项.
点分别为Q1,Q2,Q3.。反 比。∵DE//BC。∵DF//AC
的交
Image
12/11/2021
第十九页，共十九页。
AD
B
E
当 AB 1
A
D
BC
B
E
C
F
当 AB 1 BC
C
F
结论(jiélùn)：后者是前者的一种特殊情况！
12/11/2021
第十一页，共十九页。
当堂训练
1. 如图，E为□ABCD的边CD延长线上一点(yī ， diǎn)
连接BE，交AC与点O,交AD与点F，求证：
BO EO FO BO
证 明 ： AF∥ BC ,
反比
AC DF AB DE
? ABBC AC DE EF DF 12/11/2021
BC EF AC B DE AC DF
成比例线段
1. 已知正数 a、b、c，且b＋a c＝c＋b a＝a＋c b＝k，则
下列四个点中在正比例函数 y＝kx 图象上的点的坐标是
( A)
A．(1，12)
B．(1，2)
C．(1，－12)
D．(1，－1)
【解析】∵b＋a c＝c＋b a＝a＋c b＝k，且 a，b，c 为正 数，∴2（aa＋＋bb＋＋cc）＝k，即 k＝12，∴函数 y＝kx 的解析 式为 y＝12x，∴当 x＝1 时，y＝12，只有 A 项符合．
d 都不等于 0)，那么ab＝_d___，以上结论称为比例的基本
性质．
3. 图 实上 际距 距离 离＝_比__例__尺___．
知识点 成比例线段 1. 下列各组线段成比例的是( B ) A．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm B．1 cm，2 cm，2 cm，4 cm C．1.5 cm，2.5 cm，4.5 cm，5.5 cm D．1.1 cm，2.2 cm，3.3 cm，4.4 cm
解：因为ADDB＝EACE，所以ABA－DAD＝EACE， 即20A－DAD＝46，解得 AD＝12.
10. 已知x＋z y＝y＋x z＝z＋y x＝m，求 m 的值． 解：由x＋z y＝y＋x z＝z＋y x＝m，可知：x＋y＝mz，y ＋z＝mx，z＋x＝my.这几式相加可得：2(x＋y＋z)＝m(x ＋y＋z)，当 x＋y＋z≠0 时，有 m＝2，当 x＋y＋z＝0 时， 有 x＋y＝－z，y＋z＝－x，x＋z＝－y，m＝－1.故 m＝2 或－1.
1. 下列每组四条线段中成比例的共有( C )
①a＝8，b＝16，c＝5，d＝10；②a＝8，b＝0.05，c
＝60，d＝10；③a＝ 6，b＝ 2，c＝3，d＝ 3；④a＝5，
九年级数学上册第23章图形的相似23.1成比例线段23.1.2平行线分线段成比例173
23.1.2 平行线分线段成比例知识点 1 平行线分线段成比例1．如图23－1－3，AD ∥BE ∥CF ，直线m ，n 与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ，根据平行线分线段成比例，可得AB BC ＝()() ，若AB ＝5，BC ＝10，DE ＝4，可得() () ＝() ()，解得EF ＝________．2．如图23－1－4，在四边形ABCD 中，点E ，F 分别在AD 和BC 上，AB ∥EF ∥DC ，且DE ＝3，DA ＝5，CF ＝4，则FB 的长为( )A.32B.83C ．5D ．63．如图23－1－5，若AD ∥BE ∥CF ，直线l 1，l 2与平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F .若AB ＝BC ，则DE 与EF ________(填“相等”或“不相等”)．4．如图23－1－6，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是AB 上一点，EF ∥BC 交CD 于点F .若AE ＝2，BE ＝6，CD ＝7，则FC ＝________．5．如图23－1－7，已知AD ∥BE ∥CF ，它们依次交直线l 1，l 2于点A ，B ，C 和点D ，E ，F .如果AB ＝6，BC ＝10，那么DEDF的值是________．图23－1－76．［教材练习第1题变式］如图23－1－8，直线a ∥b ∥c .(1)若AC ＝6 cm ，EC ＝4 cm ，BD ＝8 cm ，则线段DF 的长度是多少厘米？ (2)若AE ∶EC ＝5∶2，DB ＝5 cm ，则线段DF 的长度是多少厘米？知识点 2 平行线分线段成比例的推论7．［2016·兰州改编］如图23－1－9，在△ABC 中，因为DE ∥BC ，所以AD BD ＝（ ）（ ）.若AD BD ＝23，则ADBD＝（ ）（ ）＝________．8．如图23－1－10，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 与l 1，l 2，l 3分别交于点A ，B ，C ，直线DF 与l 1，l 2，l 3分别交于点D ，E ，F ，AC 与DF 相交于点G ，且AG ＝2，GB ＝1，BC ＝5，则DEEF的值为( )A. 12 B ．2 C. 25 D. 359．如图23－1－11，在△ABC 中，DE ∥BC ，且分别交AB ，AC 于点D ，E ，则下列比例式不正确的是( )A.AB AD ＝AC AEB.AB AC ＝ADAEC.AD BD ＝AE ECD.AB DE ＝AC EC图23－1－1110．如图23－1－12，若AB ∥DC ，AC ，BD 相交于点E ，且AE ＝2，EC ＝3，BD ＝10，则ED ＝________．11．如图23－1－13，在△ABC 中，DE ∥5，AC ＝10，求AE 的长．12．如图23－1－14，已知AB ∥CD ∥EF ，＝10，那么BC 的长为________．13．如图23－1－15，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A ，B ，C 都在横格线上．若线段AB ＝4 cm ，则线段BC ＝________cm.图23－1－1514. 如图23－1－16，AD 为△ABC 的中线，E 为AD 的中点，连结BE 并延长交AC 于点F ，则CFAF＝__________．15．如图23－1－17，在△ABC 中，DF ∥AC ，DE ∥BC ，AE ＝4，EC ＝2，BC ＝8，求CF 的长．16．如图23－1－18，BE 平分∠ABC ，DE ＝8，AB ＝9，CE ＝4，求DE 的长．17．对于平行线，我们有这样的结论：如图23－1－19①，AB∥CD，AD，BC交于点O，则AODO＝BOCO.请你利用该结论解答下列问题：如图②，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，AD＝2，BD＝2DC，求AC的长．图23－1－19教师详答1．DE EF 5 10 4 EF 8 2．B [解析] ∵AB ∥EF ∥DC ，∴DE DA ＝CF CB .∵DE ＝3，DA ＝5，CF ＝4，∴35＝4CB ，∴CB ＝203，∴FB ＝CB －CF ＝203－4＝83.故选B.3．相等 [解析] 因为AD ∥BE ∥CF ，所以AB BC ＝DEEF.因为AB ＝BC ，所以DE ＝EF . 4. 214 [解析] 因为AD ∥EF ∥BC ，所以AE EB ＝DF FC .因为AE ＝2，BE ＝6，CD ＝7，所以26＝7－FC FC，所以FC＝214. 5 . 38 [解析] ∵AD ∥BE ∥FC ，∴AB BC ＝DE EF.又∵AB ＝6，BC ＝10，∴DE EF ＝35，∴DE DF ＝38.6．解：(1)∵a ∥b ∥c ，∴BD DF ＝ACEC，即8DF ＝64，解得DF ＝163(cm)． 故线段DF 的长度是163cm.(2)∵a ∥b ∥c ，∴BF DF ＝AE EC ＝52，即5＋DF DF ＝52，解得DF ＝103(cm)．故线段DF 的长度是103 cm.7．AE EC AE EC 238．D [解析] ∵AG ＝2，GB ＝1，∴AB ＝AG ＋GB ＝3.∵直线l 1∥l 2∥l 3，∴DE EF ＝AB BC ＝35.故选D.9．D 10.611．解：∵DE ∥BC ，∴AB DB ＝ACEC，∴5AE ＝1010－AE ，∴AE ＝103. 12． [解析] ∵AB ∥CD ∥EF ， ∴BC BE ＝AD AF ，即BC 10＝35，解得BC ＝6.13． 12 [解析] 如图，过点A 作AE ⊥CE 于点，交于点D .∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，∴AB BC ＝AD DE ，即4BC ＝26，∴BC ＝12(cm)．14． 2 [解析] 如图，过点D 作DG ∥BF 则AF FG ＝AE ED ，FG GC ＝BD DC. 又∵E 为AD 的中点，AD 为△ABC 的中线， ∴AE ＝ED ，BD ＝DC ， ∴AF FG ＝AE ED ＝1，FG GC ＝BDDC ＝1， ∴AF ＝FG ，FG ＝GC ，∴CF ＝2AF ，∴CFAF＝2.15．解：∵DE ∥BC ， ∴AD AB ＝AE AC ＝46＝23. ∵DF ∥AC ，∴AD AB ＝CF BC ＝23，∴CF 8＝23，∴CF ＝163.16．解：∵DE ∥BC ， ∴AB DB ＝AC CE， ∴9DB ＝84，∴DB ＝92. ∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBE . ∵DE ∥BC ，∴∠CBE ＝∠DEB ，∴∠ABE ＝∠DEB ，∴DE ＝DB ＝92.17．解：过点C 作CE ∥AB 交AD 的延长线于点E,则 BD DC ＝AD DE. 又∵BD ＝2DC ，AD ＝2, ∴DE ＝1. ∵CE ∥AB ，∴∠AEC ＝∠BAD ＝75°. 又∵∠CAD ＝30°，∴∠ACE ＝75°， ∴AC ＝AE ＝AD ＋DE ＝3.。
华师大版九年级上册数学课件第23章图形的相似
3 已知线段a＝4，b＝16，线段c是a、b的比例中项，
那么c等于( )
A．10
B．8
C．－8
D．±8
知识点 2 比例的性质
比例的基本性质：
(1)如果
a
c ，那么ad＝bc；
bd (2)如果ad＝bc，那么
a
c
.
bd
知2－讲
请试着证明这两 个结论。这两个 命题间有什么关 系？
例2 已知 a c ，求证： bd
解：∵l1∥l2∥l3， ∴ A(平B 行D线E分线段成比例)．
BC EF
∵AB＝4，DE＝3，EF＝6，
∴
4 3，
∴BC＝B8C. 6
总结
知1－讲
利用平行线分线段成比例的基本事实求线段长的方法： 先确定图中的平行线，由此联想到线段间的比例
关系，结合待求线段和已知线段写出一个含有它们的 比例式，构造出方程，解方程求出待求线段长．
由此，即有如下结论：
图23.1.7
知2－讲
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或 两边的延长线)，所得的对应线段成比例． 数学表达式：如图，∵DE∥BC， ∴ AD AE , AD AE , DB CE , DB EC AB AC AB AC
知2－讲
要点精析： (1)本推论实质是平行线分线段成比例的基本事实中一
例4 已知 a b c 0, 求 2a b c 的值．
345
a 3b
知2－讲
导引：从分式的角度解答此题：由于分式中a，b，c 的值无法求出，因此需用非常规方法巧解， 先根据已知条件用含一个字母的代数式表示 另外两个字母，然后代入分式中求值；从比 例的角度解决此题：根据条件中多个比值相 等，可设出比值，用比值表示a，b，c，然后 求出分式的值．
九年级数学上册 第23章 图形的相似 23.1 成比例线段 1 成比例线段授课课件
12/11/2021
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华师版·九年级数学(shùxué)·上册
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第一页，共十页。
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第二页，共十页。
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第三页，共十页。
一对形状相同而大小不同的硬纸片，我们可以用相应线段长度的比来描 述它们的大小关系. 要求(yāoqiú)
（1）测量出各边的长度； （2）计算出对应线段的比. 你们发现了什么？
成比例.
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第八页，共十页。
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内容(nèiróng)总结
华师版·九年级数学·上册。（2）计算出对应线段(xiànduàn)的比. 你们发现了什么。解 析：（1）若a、b、b、c是成比例线段(xiànduàn)，则有a∶b＝b∶c，即b2＝ac
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解析：（1）若a、b、b、c是成比例线段，则有a∶b＝b∶c，即b2＝ac； （2）判断四条线段是否为成比例线段，首先将四条线段的长度单位(dānwèi)统一，
再由小到大排列，看两条较短线段之比是否等于两条较长线段之比，如果相等，则