系统辨识复习资料

1请叙述系统辨识的基本原理（方框图），步骤以及基本方法定义：系统辨识就是从对系统进行观察和测量所获得的信息重提取系统数学模型的一种理论和方法。

辨识定义：辨识有三个要素——数据、模型类和准则。

辨识就是按照一个准则在一组模型类中选择一个与数据拟合得最好的模型辨识的三大要素：输入输出数据、模型类、等价准则基本原理：步骤：对一种给定的辨识方法，从实验设计到获得最终模型，一般要经历如下一些步骤：根据辨识的目的，利用先验知识，初步确定模型结构；采集数据；然后进行模型参数和结构辨识；最后经过验证获得最终模型。

基本方法：根据数学模型的形式：非参数辨识——经典辨识，脉冲响应、阶跃响应、频率响应、相关分析、谱分析法。

参数辨识——现代辨识方法（最小二乘法等）2随机语言的描述白噪声是最简单的随机过程，均值为零，谱密度为非零常数的平稳随机过程。

白噪声过程（一系列不相关的随机变量组成的理想化随机过程）相关函数： 谱密度： 白噪声序列，白噪声序列是白噪声过程的离散形式。

如果序列 满足： 相关函数： 则称为白噪声序列。

谱密度：M 序列是最长线性移位寄存器序列，是伪随机二位式序列的一种形式。

M 序列的循环周期 M 序列的可加性：所有M 序列都具有移位可加性辨识输入信号要求具有白噪声的统计特性 M 序列具有近似的白噪声性质，即 M 序列“净扰动”小，幅度、周期、易控制，实现简单。

3两种噪声模型的形式是什么 第一种含噪声的被辨识系统数学模型0011()()()()n ni i i i y k ay k i b u k i v k ===-+-+∑∑，式中,噪声序列v(k)通常假定为均值为零独立同分布的平稳随机序列,且与输入的序列u(k)彼此统计独立. 上式写成：0()()()T y k k v k ψθ=+。

其中，()()()()()()()=1212T k y k y k y k n u k u k u k n ψ------⎡⎤⎣⎦L L ，，，，，，，)()(2τδστ=W R +∞<<∞-=ωσω2)(W S )}({kW Λ,2,1,0,)(2±±==l l R l W δσ2)()(σωω==∑∞-∞=-l l j W W e l R S ⎩⎨⎧≠=≈+=⎰0,00,Const )()(1)(0ττττT M dt t M t M T R bit )12(-=P P N第二种含噪声的被辨识系统数学模型：它与第一种的区别仅在于噪声的状况不同，第二种被辨识系统如下图所示：ξ(k)为噪声序列，假设为零均值独立同分布的平稳随即序列，且 ()()()y k x k k ξ=+ 由由以上两式可推导出0011()()()()n ni i i i y k a y k i b u k i v k ===-+-+∑∑，式中01()()()n i i v k k a k i ξξ==--∑4阐述最小二乘辨识方法的原理、数学模型以及推导数学模型：推导过程：含噪声的数学模型为：0011()()()()n ni i i i y k ay k i b u k i v k ===-+-+∑∑ 式中,噪声序列v(k)通常假定为均值为零独立同分布的平稳随机序列,且与输入的序列u(k)彼此统计独立. 上式写成：0()()()T y k k v k ψθ=+ 0θ是被辨识系统的真实参数向量(2n 维,n 为系统的阶数)。

为了采用最小二乘法进行参数估计,令上式中的k=n+i,n+i+1,…N+i,并写成矩阵形式,其中I,N 均为正整数.则有 0()()()Y N N V N θ=ψ+如果我们根据上述辨识系统的输入输出观测信息来构造一个模型,其中参数向量为1212[]Tn n a a a bb b θ=L L 。

则应有11()()()(,)n ni i i i y k a y k i b u k i e k θ===-+-+∑∑ 并定义其中e (k,θ）为方程误差.在这种情况下,方程的误差项除了噪声v(k)误差外,还应包括由于模型参数θ不等于真实参数θ0而引起的误差.显然有0(,)()e k v k θ=，导出()()(,)Y N N N θεθ=ψ+。

(,)N εθ为向量方程误差。

(,)()()N Y N N εθθ=-ψ()(,)(,)[()()][()()]T T J N N Y N N Y N N θεθεθθθ==-ψ-ψ最小二乘的基本思想是:找到一个 0θ的估计值θ∧，使性能指标2()(,)(,)(,)N def T Tk n J N N e k θεθεθεεθ=−−→==∑取极值。

根据一阶倒数为零，二阶偏导大于零，那么从上式中可解出122()()2T T LS T YJ θθθ∧-=ψψψ∂=ψψ∂。

优缺点：最小二乘法具有简单实用、递推算法的收敛可靠、几乎不需要验前统计知识等优点，而且当方程误差为白噪声的条件下，最小二乘参数估计是无偏的、一致和有效的估计。

所以它是一种最基本的参数估计方法，并且得到了广泛的应用。

但它具有以下两方面的缺点：当模型噪声是有色噪声时，最小二乘参数估计不是无偏的、一致的估计；递推最小二乘法随着数据的增长，将出现所谓的“数据饱和”现象。

5递推最小二乘的基本思想它的基本思想可以概括为：本次(新)的估计值 ()k θ∧ = 上次(老)的估计值 (1)k θ∧- + 修正项即利用本次观测的结果对老的观测数据进行修正。

递推公式的推导：1(11)(1)()(1)[(1)(1)()](12)(1)(1)(1)(1)()(1)(1)()(13)(1)()(1)(1)()(1)T WLS WLS WLS T T N N L N y N N N L N P N N w N P N N N P N P N P N w N N P N N θθψθψψψψψ∧∧∧--+=+++-+-+=+++++-+=-++++ 在公式1-1中，(1)WLS N θ∧+为本次新的估计值，()WLS N θ∧为上次老的估计值，(1)[(1)(1)()]TWLS L N y N N N ψθ∧++-+为修正项。

且L(N+1)为增益矩阵。

6最小二乘的统计特性无偏性：无偏性是用来衡量估计值是否围绕真值波动，它是估计值的一个重要统计特 性。

所谓无偏性，通俗一点讲，它是指：设 是 的一个估计值，满足 一致性：估计值的一致性，是人们最关系的一种统计特性。

如果估计值具有一致性，说明当样本无限增大时，它将以概率1收敛于真值。

谓估计的一致性是指：如果根据无穷多的输入、输出信息（即 N →∞ ），所得到的估计 无限趋近于真值 有效性：有效性是估计的另一个重要统计特性。

它意味着估计值偏差的均方差阵将达到最小值。

从无偏性的要求来看，无偏估计量不是唯一的。

这就需要在无偏估计量中选择好的。

估计值的均方误差是衡量估计值好坏的重要指标。

7广义最小二乘基本思想提出：广义最小二乘法（GLS ）是针对有色噪声不能给出无偏一致估计，而在最小二乘法基础上作了某些改进的一种参数估计方法。

基本思想：把一个含有噪声的模型0()()()Y N N V N θ=ψ+中的有色噪声 ()V N 经过形成滤波器(称白化滤波器)转化为零均值的白噪声 ()M N （噪声滤波）。

进而将模型化成一个等ˆθ0ˆE()θθ=效的含有白噪声的模型。

**0()()()Y N N M N θ=ψ+然后针对这一等效的模型，再用最小二乘法求出0θ的一致估计。

8限定记忆最小二乘如何提出？解决什么问题？基本思想？增长记忆估计： 递推最小二乘法中，利用不断增长的全部观测信息，包括历史观测数据和最新观测数据。

通过不断递推计算来获得模型参数。

限定记忆估计：进行参数估计时，所取得的观测数据始终是有限组的最新观测数据，每增加一组最新的观测数据，就随即丢弃一组最老的观测数据。

提出: 限定记忆最小二乘是最小二乘的改进，适用时变参数估计的一种递推算法。

它可以有效地克服数据饱和现象，防止估计发散。

基本思想：1ˆˆˆ()(1)(1)N N N LS LS LS N N N θθθ+−−−→+−−−−−→+递推去掉一组老数据 其中ˆ()N LSN θ⇒是N 时刻基于(),(1),,(1);(),(1),,()u n u N u N y n y n y N +-+L L 这2N+1个数据情况下的最小二乘估计；1ˆ(1)N LS N θ++⇒是N+1时刻获得一组数据u （N ）,y(N+1)后根据ˆ()N LSN θ递推得到的最小二乘估计；ˆ(1)N LSN θ+⇒是N+1时刻获得一组新数据u(N),y(N+1)后，去掉一组最早的数据， u(n), y(n)；根据u(n+1),u(n+2),…,u(N);y(n+1),y(n+2),…,y(N+1)这2N+1个数据得到的参数估计值。

显然，这种方法所获得的参数估计始终是2N+1个最新数据所提供的信息，每增加一组新数据，就要去掉一组最早的数据，数据长度始终保持不变，起到了隔断历史数据的最用。

所以，它能够更有效地克服数据饱和，防止估计发散。

9谈谈对系统辨识应用的理解？系统辨识是建模的一种方法，包括经典的系统辨识方法和现代的系统辨识，不同的学科领域，对应着不同的数学模型。

从某种意义上来说，不同学科的发展过程就是建立他的数学模型的过程。

辨识问题可以归结为用一个模型来表示客观系统(或将要构造的系统)本质特征的一种演算，并用这个模型把对客观系统的理解表示成有用的形式。

当然也可以有另外的描述，辨识有三个要素：数据，模型类和准则。

辨识就是按照一个准则在一组模型类中选择一个与数据拟合得最好的模型。

总而言之，辨识的实质就是从一组模型类中选择一个模型，按照某种准则，使之能最好地拟合所关心的实际过程的静态或动态特性。