系统辨识复习资料

1请叙述系统辨识的基本原理（方框图），步骤以及基本方法

定义：系统辨识就是从对系统进行观察和测量所获得的信息重提取系统数学模型的一种理论和方法。

辨识定义：辨识有三个要素——数据、模型类和准则。辨识就是按照一个准则在一组模型类中选择一个与数据拟合得最好的模型

辨识的三大要素：输入输出数据、模型类、等价准则

基本原理：

步骤：对一种给定的辨识方法，从实验设计到获得最终模型，一般要经历如下一些步骤：根据辨识的目的，利用先验知识，初步确定模型结构；采集数据；然后进行模型参数和结构辨识；最后经过验证获得最终模型。

基本方法：根据数学模型的形式：非参数辨识——经典辨识，脉冲响应、阶跃响应、频率响应、相关分析、谱分析法。参数辨识——现代辨识方法（最小二乘法等）

2随机语言的描述

白噪声是最简单的随机过程，均值为零，谱密度为非零常数的平稳随机过程。

白噪声过程（一系列不相关的随机变量组成的理想化随机过程）

相关函数： 谱密度： 白噪声序列，白噪声序列是白噪声过程的离散形式。如果序列 满足： 相关函数： 则称为白噪声序列。 谱密度：

M 序列是最长线性移位寄存器序列，是伪随机二位式序列的一种形式。

M 序列的循环周期 M 序列的可加性：所有M 序列都具有移位可加性

辨识输入信号要求具有白噪声的统计特性 M 序列具有近似的白噪声性质，即 M 序列“净扰动”小，幅度、周期、易控制，实现简单。

3两种噪声模型的形式是什么 第一种含噪声的被辨识系统数学模型0011()()()()n n

i i i i y k a

y k i b u k i v k ===-+-+∑∑，式中,噪声序列v(k)通常假定为均值为零独立同分布的平稳随机序列,且与输入的序列u(k)彼此统计独立. 上式写成：0

()()()T y k k v k ψθ=+。其中，()()()()()()()=1212T k y k y k y k n u k u k u k n ψ------⎡⎤⎣⎦L L ，，，，，，，

)

()(2τδστ=W R +∞

<<∞-=ωσω2)(W S )}({k

W Λ,2,1,0,)(2±±==l l R l W δσ2)()(σωω==

∑

∞-∞=-l l j W W e l R S ⎩⎨⎧≠=≈+=⎰0

,

00,Const )()(1)(0ττττT M dt t M t M T R bit )12(-=P P N

第二种含噪声的被辨识系统数学模型：它与第一种的区别仅在于噪声的状况不同，第二种被辨识系统如下图所示：

ξ(k)为噪声序列，假设为零均值独立同分布的平稳随即序列，且 ()()()y k x k k ξ=+ 由由以上两式可推导出0011()()()()n n

i i i i y k a y k i b u k i v k ===

-+-+∑∑，式中01

()()()n i i v k k a k i ξξ==--∑

4阐述最小二乘辨识方法的原理、数学模型以及推导

数学模型：

推导过程：

含噪声的数学模型为：0011()()()()n n

i i i i y k a

y k i b u k i v k ===-+-+∑∑ 式中,噪声序列v(k)通常假定为均值为零独立同分布的平稳随机序列,且与输入的序列u(k)彼此统计独立. 上式写成：0

()()()T y k k v k ψθ=+ 0θ是被辨识系统的真实参数向量(2n 维,n 为系统的阶数)。

为了采用最小二乘法进行参数估计,令上式中的k=n+i,n+i+1,…N+i,并写成矩阵形式,其中I,N 均为正整数.则有 0()()()Y N N V N θ=ψ+

如果我们根据上述辨识系统的输入输出观测信息来构造一个模型,其中参数向量为1212[]T

n n a a a bb b θ=L L 。则应有11()()()(,)n n

i i i i y k a y k i b u k i e k θ===-+-+∑∑ 并定义其中e (k,θ）为方程误差.在这种情况下,方程的误差项除了噪声v(k)误差外,还应包括

由于模型参数θ不等于真实参数θ0而引起的误差.显然有

0(,)()e k v k θ=，导出()()(,)Y N N N θεθ=ψ+。

(,)N εθ为向量方程误差。

(,)()()N Y N N εθθ=-ψ

()(,)(,)[()()][()()]T T J N N Y N N Y N N θεθεθθθ==-ψ-ψ

最小二乘的基本思想是:找到一个 0θ的估计值θ∧

，使性能指标

2()(,)(,)(,)N def T T

k n J N N e k θεθεθεεθ=−−→==∑取极值。根据一阶倒数为零，二阶偏导大于零，那么从上式中可解出122()()2T T LS T Y

J θθθ∧

-=ψψψ∂=ψψ∂。 优缺点：最小二乘法具有简单实用、递推算法的收敛可靠、几乎不需要验前统计知识等优点，而且当方程误差为白噪声的条件下，最小二乘参数估计是无偏的、一致和有效的估计。所以它是一种最基本的参数估计方法，并且得到了广泛的应用。但它具有以下两方面的缺点：当模型噪声是有色噪声时，最小二乘参数估计不是无偏的、一致的估计；递推最小二乘法随着数据的增长，将出现所谓的“数据饱和”现象。

5递推最小二乘的基本思想

它的基本思想可以概括为：本次(新)的估计值 ()k θ∧ = 上次(老)的估计值 (1)k θ∧

- + 修正项即利用本次观测的结果对老的观测数据进行修正。 递推公式的推导：

1(11)

(1)()(1)[(1)(1)()](12)

(1)(1)(1)(1)()(1)(1)()(13)(1)()(1)(1)()(1)

T WLS WLS WLS T T N N L N y N N N L N P N N w N P N N N P N P N P N w N N P N N θθψθψψψψψ∧∧∧--+=+++-+-+=+++++-+=-++++ 在公式1-1中，(1)WLS N θ∧+为本次新的估计值，()WLS N θ∧

为上次老的估计值，(1)[(1)(1)()]T

WLS L N y N N N ψθ∧++-+为修正项。且L(N+1)为增益矩阵。

6最小二乘的统计特性

无偏性：无偏性是用来衡量估计值是否围绕真值波动，它是估计值的一个重要统计特 性。所谓无偏性，通俗一点讲，它是指：设 是 的一个估计值，满足 一致性：估计值的一致性，是人们最关系的一种统计特性。如果估计值具有一致性，

说明当样本无限增大时，它将以概率1收敛于真值。谓估计的一致性是指：如果根据无穷多的输入、输出信息（即 N →∞ ），所得到的估计 无限趋近于真值 有效性：有效性是估计的另一个重要统计特性。它意味着估计值偏差的均方差阵将达到最小

值。从无偏性的要求来看，无偏估计量不是唯一的。这就需要在无偏估计量中选择好的。估计值的均方误差是衡量估计值好坏的重要指标。

7广义最小二乘基本思想

提出：广义最小二乘法（GLS ）是针对有色噪声不能给出无偏一致估计，而在最小二乘法基础上作了某些改进的一种参数估计方法。

基本思想：把一个含有噪声的模型0

()()()Y N N V N θ=ψ+中的有色噪声 ()V N 经过形成滤波器(称白化滤波器)转化为零均值的白噪声 ()M N （噪声滤波）。进而将模型化成一个等ˆθ0ˆE()θ

θ=