高考数学中解排列组合问题的17种策略

222 642
种方法,但这里出现
重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF
若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF
该分法记为(AB,CD,EF),则
C C C 2 2 2 642
中还有
(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)
平种分均情的(这有E分况组F些C,C成数,62分C所D的)24法C,以避A仅22组B分免)是,,A(组不重E33(种AF后管复,BA分要它,计BC法,DC一们数。,DE定的。)F共)要顺一有除序种A 分33种以如法取何,法故,都A (共,n而nn是为一均
8
元素相同问题隔板策略
应用背景：相同元素的名额分配问题 不定方程的正整数解问题
隔板法的使用特征： 相同的元素分成若干部分，每部分至少一个
整理ppt
9
元素相同问题隔板策略
例.有10个运动员名额，在分给7个班，每 班至少一个,有多少种分配方案？
解：因为10个名额没有差别，把它们排成
一排。相邻名额之间形成９个空隙。
班 班 班 整理ppt 班
班
班回1目0 录
例 高二年级8个班,组织一个12个人的年级学生分会, 每班要求至少1人,名额分配方案有多少种?
分析 此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果 我们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚, 方法简单,结果容易理解.
解 此题可以转化为:将12个相同的白球分成8份,有
在９个空档中选６个位置插个隔板，
可把名额分成７份，对应地分给７个
班级，每一种插板方法对应一种分法
将n个相共同有的_元__素_C_分_96 _成__m_份_种（分n，法m。为正整数）,
每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n
个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数
为
C m 1
一 班
n 1
二三四五 六 七
合理分类和准确分步
解排列（或）组合问题，应按元素的性质 进行分类，分类标准明确，不重不漏；按事 情的发生的连续过程分步，做到分步层次清 楚.
整理ppt
7
回目录
合理分类与分步策略
回目录
例.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能唱 歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的 节目,有多少选派方法? 解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞
(3)10名同学分成人数相同的数学和 英语两个学习小组，共有多少种分法?组合问题
(4)10人聚会，见面后每两人之间要组合问题
握手相互问候，共需握手多少次?
(5)从4个风景点中选出2个安排游览,有
多少种不同的方法?
组合问题
(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点 的游览顺序,有多少整理种pp不t 同的方法? 排列问题6
所有排列的的个数
组合
从n个不同元素中取出m个元 素，把它并成一组
所有组合的个数
符号 计算 公式 关系 性质
A
m n
C
m n
A n mn(n1 )(nm 1 )
Anm
(n
n! m)!
Ann n!
0!1
C Cn m nm n m(n !( nn1 !)mm )(!!nm C n01) 1
Anm Cnm Am m
A nA m
m1
n
n1 整理ppt
， C C m n
nm n
Cnm 1CnmCnm1
5
回目录
回目录
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有 3个元素的子集有多少个? 组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上 共需准备多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
的组数
C3 103
整理ppt
13
回目录
小结：把n个相同元素分成m份每份,至
少1个元素,问有多少种不同分法的问题
可以采用“隔板法”得出共有C
种.
m 1 n 1
整理ppt
14
回目录
整理ppt
15
平均分组问题除法策略
例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有
多少分法？
C C C 解: 分三步取书得
王振涛
整理ppt
1
排列组合应用题解法综述（目录）
1、基本概念和考点
8、实验法（枚举法）
2、合理分类和准确分步
9、平均分组问题
3、特殊元素和特殊位置问题
10、先选后排问题
4、相邻相间问题 5、定序问题 6、分房问题 7、环排、多排问题
11、构造模型策略
12、小集团问题
13、其它特殊方法
整理ppt
2
知识结构网络图：
3人为全能演员。以只会唱歌的5人是否
选上唱歌人员为标准进行研究 只会唱
的5人中没有人选上唱歌人员共有_C_32_C_32
种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人
员__C_15_C_13_C_24_种,只会唱的5人中只有2人
选上唱歌人员有_C_52C_52_种，由分类计数
+ + 原理共有_C__32C__32 ___C__15C_整_理13pC_pt_24__C__52_C_52__种。
பைடு நூலகம்
那么完成这件事共有
那么完成这件事共有
N=m1+m2+m3+…mn 种不同的方法 N=m1·m2·m3·…·mn 种不同的方法.
相同 点
不同 点
做一件事或完成一项工作的方法数
直接（分类）完成
间接（分步骤）完成
整理ppt
4
回目录
1.排列和组合的区别和联系：
名称 定义
种数
排列
从n个不同元素中取出m个元 素，按一定的顺序排成一列
排列 基 本 原 理
组合
排列数公式
组合数公式 组合数性质
整理ppt
应 用 问 题
3
返回目录
两个原理的区别与联系：
名称 内容
分类原理
分步原理
做一件事，完成它可以有n类办法， 做一件事，完成它可以有n个步骤，
第一类办法中有m1种不同的方法， 做第一步中有m1种不同的方法，
定 义 第二类办法中有m2种不同的方法…， 做第二步中有m2种不同的方法……， 第n类办法中有mn种不同的方法， 做第n步中有mn种不同的方法，
11
回目录
练习
（1）将10个学生干部的培训指标分配给7个不同
的班级，每班至少分到一个名额，不同的分配方
案共有 （
C
6 9
84
）种。
（2）不定方程 x1x2x3x710的正整数解
共有（
C
6 9
84
）组
整理ppt
12
回目录
练习题
1.10个相同的球装5个盒中,每盒至少一
2.
C 有多少装法？ 4 9
2 .x+y+z+w=100求这个方程组的自然数解
多少种不同的分法问题,因此须把这12个白球排成一
排,在11个空档中放上7个相同的隔板,每个空档最多
放一个,即可将白球分成8份,显然有
C
7 11
种不同的放法,
所以名额分配方案有
C
7 11
种.
结论 转化法:对于某些较复杂的、或较抽象的排列组
合问题，可以利用转化思想,将其化归为简单的、具体
的问题来求解.
整理ppt