【精品奥数】五年级下册数学奥数讲义—第五讲 沙漏模型 通用版(含答案)
小学奥数--几何模型分类总结汇总版(鸟头、燕尾、风筝、一般模型等)
目录目录 (1)模型一——《等积变换》 (2)一、知识点梳理 (2)二、例题精讲 (3)三、自我提升 (5)四、答案与解析 (7)模型二——《一半模型》 (11)一、知识点梳理 (11)二、例题精讲 (13)三、自我提升 (15)四、答案与解析 (16)模型三——《鸟头（共角）模型》 (19)一、知识点梳理 (19)二、例题精讲 (20)三、自我提升 (22)四、答案与解析 (24)模型四——《蝴蝶模型》 (25)一、知识点梳理 (25)二、例题精讲 (26)模型五——《沙漏模型》 (32)一、知识点梳理 (32)二、例题精讲 (32)三、自我提升 (35)四、答案与解析 (36)模型六——《燕尾模型》 (38)一、知识点梳理 (38)二、例题精讲 (39)三、自我提升 (41)四、答案与解析 (43)模块七——《长、正方体、圆柱、圆锥》 (45)一、知识点梳理 (45)二、例题精讲 (46)三、自我提升 (48)四、自我提升答案 (50)模型八——《圆、扇形》 (52)一、知识点梳理 (52)二、例题精讲 (53)三、自我提升 (55)四、答案与解析 (57)模型一——《等积变换》一、知识点梳理二、例题精讲三、自我提升四、答案与解析模型二——《一半模型》一、知识点梳理一半模型其实是等积变换模型的延伸，只是将三角形和平行四边形进行了整合与综合考查，但是学生往往遇到此类题目之后很难想到用等积变换，所以我们专门提炼出一半模型，帮助学生加深此部分知识点的理解，提高应用能力。
21b a ba ⨯⨯====⨯=∆∆∆∆BCP S BCD S BCF S BCE S ABCD S 口 平行四边形同理不规则图形ba 21b2b1a 21b2a 21b1a 21b2a 21b1a 21ba ⨯=+⨯=⨯⨯+⨯=+=⨯⨯=⨯=⨯=∆∆∆∆）（阴影；口BCE S ADE S BCE S ADE S ABCD S 拓展图形（比例应用）ba 41b2b1a 41b2221b1221b2221b1221b41b 221⨯=+⨯=⨯⨯+⨯⨯=+=⨯⨯=⨯⨯=⨯=⨯⨯==∆∆∆∆∆）（阴影；右图：左图：阴影a a BEG S AFG S aBEG S a AFG S a a BFE S常见图形的认识二、例题精讲例1如图所示，四边形ABCD与AEGF都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．例2如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？例3如图，正方形ABCD的边长为6，AE=1.5，CF=2．长方形EFGH的面积为．例4图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米．A BG CEFDHGFEDCBAGFED CBA例5正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形ABCD 边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？例6如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积例7 如图，有三个正方形的顶点D 、G 、K 恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB 的边长为10厘米，求阴影部分的面积．E BA KEBA三、自我提升1、右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC 的面积．2、如图，ABCD 与AEFG 均为正方形，三角形ABH 的面积为6平方厘米，图中阴影部分的面积为 ．3、长方形ABCD 的面积是2011平方厘米．梯形AFGE 的顶点F 在BC 上，D 是腰EG 的中点．试求梯形AFGE 的面积．G4AB CDEF A B C D E FG H4、已知正方形ABCD 边长为10，正方形BEFG 边长为6，求阴影部分的面积．5、右图中，ABCD 和CGEF 是两个正方形，AG 和CF 相交于H ，已知CH 等于CF 的三分之一，三角形CHG 的面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF 的面积．6、如图，正方形ABCG 和正方形FCDE 并排放置，BE 与FC 相交于点H ，已知AB=6厘米，则阴影部分的面积是_________________平方厘米？ 四、答案与解析1、【分析】如图所示，连接AD ，则BC 平行AD ，三角形ABC 和三角形BCD 等底等高，因此三角形ABCJIHGA BCD EF HG F E D C B A的面积就等于小正方形的面积的一半，据此即可得解．解：据分析可知：4×4÷2=8（平方厘米）；答：三角形ABC的面积是8平方厘米．2、【分析】方法一：如图所示，连接AF和BD，则AF平行BD，三角形FAD与三角形FAB等底等高，即面积相同。
(完整版)小学奥数平面几何五种面积模型
小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型）， 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图12::S S a b =③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCBA图⑴ 图⑵ 三、蝶形定理任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造b a S 2S 1DC BA S 4S 3S 2S 1O DCBA模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)：①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E ABCDAB CDEF G①AD AE DE AF ABACBCAG===；②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形． 五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为A BCD O ba S 3S 2S 1S 4O FED C BA三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 典型例题【例 1】如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =1.5，CF =2．长方形EFGH 的面积为 ．【解析】 连接DE ，DF ，则长方形EFGH 的面积是三角形DEF 面积的二倍．三角形DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，66 1.562262 4.54216.5DEF S =⨯-⨯÷-⨯÷-⨯÷=△,所以长方形EFGH面积为33．【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半． 证明：连接AG ．(我们通过ABG △把这两个长方形和正方形联系在一起)．∵在正方形ABCD 中，G 12AB S AB AB =⨯⨯△边上的高，∴12ABG ABCD S S =W △(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)同理，12ABG EFGB S S =△．∴正方形ABCD 与长方形EFGB面积相等． 长方形的宽8810 6.4=⨯÷=(厘米)．_H_G_ F_E_D_C_B_ A _A_B_C_D_E_ F_G_H_ A _ B_ G_ C _ E _ F_ D_ A _ B_ G_ C_ E_ F_ D【例 2】长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？E【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如下图：E可得：12EHB AHB S S ∆∆=、12FHB CHB S S ∆∆=、12DHG DHC S S ∆∆=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ∆∆∆=++=即11()361822EHB BHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=⨯=； 而EHB BHF DHG EBFS S S S S ∆∆∆∆++=+阴影，11111()()36 4.522228EBF S BE BF AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=．所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ∆=-=-=阴影解法二：特殊点法．找H 的特殊点，把H 点与D 点重合，那么图形就可变成右图：GE (H )这样阴影部分的面积就是DEF ∆的面积，根据鸟头定理，则有：11111113636363613.52222222ABCD AED BEF CFD S S S S S ∆∆∆=---=-⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=阴影．【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．【解析】 （法1）特殊点法．由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P 点与A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．（法2）连接PA 、PC ．由于PAD ∆与PBC ∆的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．【例 3】如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为 ．B【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和，以及三角形AOE 和DOG 的面积之和，进而求出四边形EFGO的面积．由于长方形ABCD 的面积为158120⨯=，所以三角形BOC 的面积为1120304⨯=，所以三角形AOE 和DOG 的面积之和为312070204⨯-=； 又三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为111203024⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，所以四边形EFGO 的面积为302010-=．另解：从整体上来看，四边形EFGO 的面积=三角形AFC 面积+三角形BFD 面积-白色部分的面积，而三角形AFC 面积+三角形BFD 面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050-=，所以四边形的面积为605010-=．【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是36，E 是AD 的三等分点，2AE ED =，则阴影部分的面积为 ．BB【解析】 如图，连接OE ．根据蝶形定理，1:::1:12COE CDE CAE CDE ON ND S S S S ∆∆∆∆===，所以12OEN OED S S ∆∆=； 1:::1:42BOE BAE BDE BAE OM MA S S S S ∆∆∆∆===，所以15OEM OEA S S ∆∆=．又11334OED ABCD S S ∆=⨯=矩形，26OEA OED S S ∆∆==，所以阴影部分面积为：1136 2.725⨯+⨯=．【例 4】已知ABC 为等边三角形，面积为400，D 、E 、F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC)B【解析】 因为D 、E 、F 分别为三边的中点，所以DE 、DF 、EF 是三角形ABC 的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN 和三角形AMC 的面积都等于三角形ABC 的一半，即为200．根据图形的容斥关系，有ABC ABN AMC AMHN S S S S S ∆∆∆-=+-丙，即400 200200AMHN S S -=+-丙，所以AMHN S S =丙． 又ADF AMHN S S S S S ∆+=++乙甲阴影，所以1143400434ADF S S S S S ∆=++-=-⨯=乙甲丙阴影．【例 5】如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ．GFE DC BAABC DE FG【解析】 连接AF ，BD ．根据题意可知，571527CF =++=；715628DG =++=；所以，1527BE CBF F S S ∆∆=，1227BE CBF C S S ∆∆=，2128AEG ADG S S ∆∆=，728AED ADG S S ∆∆=， 于是：2115652827ADG CBFS S ∆∆+=；712382827ADG CBF S S ∆∆+=； 可得40ADG S ∆=．故三角形ADG 的面积是40．【例 6】如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？EDCBAABCDE【解析】 连接BE ．∵3EC AE =∴3ABC ABE S S =V V 又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷V V V ，∴1515ABC ADE S S ==V V ．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAABCDE甲乙【解析】 连接AD ．∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S =V V 又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =V V ，∴6ABC BDE S S =V V ，5S S =乙甲．【例 7】如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =， :3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCB A【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 8】如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGAB CD EF【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABCFBES AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△． 又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△． 所以213618ABCDEFGHS S ==．【例 9】如图所示的四边形的面积等于多少？DB13131212【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB 绕顶点O 逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB 将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此，原来四边形的面积为1212144⨯=.(也可以用勾股定理)【例 10】 如图所示，ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3AB =，5BC =，以AC 为一边向ABC∆外作正方形ACDE ，中心为O ，求OBC ∆的面积．【解析】 如图，将OAB ∆沿着O 点顺时针旋转90︒，到达OCF ∆的位置．由于90ABC ∠=︒，90AOC ∠=︒，所以180OAB OCB ∠+∠=︒．而OCF OAB ∠=∠， 所以180OCF OCB ∠+∠=︒，那么B 、C 、F 三点在一条直线上．由于OB OF =，90BOF AOC ∠=∠=︒，所以BOF ∆是等腰直角三角形，且斜边BF 为538+=，所以它的面积为218164⨯=．根据面积比例模型，OBC ∆的面积为516108⨯=．【例 11】 如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，90AEB ∠=︒，AC 、BD 交于O ．已知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形OBE 的面积．F【解析】 如图，连接DE ，以A 点为中心，将ADE ∆顺时针旋转90︒到ABF ∆的位置．那么90EAF EAB BAF EAB DAE ∠=∠+∠=∠+∠=︒，而AEB ∠也是90︒，所以四边形AFBE 是直角梯形，且3AF AE ==， 所以梯形AFBE 的面积为：()1353122+⨯⨯=(2cm )． 又因为ABE ∆是直角三角形，根据勾股定理，222223534AB AE BE =+=+=，所以21172ABD S AB ∆==(2cm )．那么()17125BDE ABD ABE ADE ABD AFBE S S S S S S ∆∆∆∆∆=-+=-=-=(2cm )， 所以1 2.52OBE BDE S S ∆∆==(2cm )．【例 12】 如下图，六边形ABCDEF 中，AB ED =，AF CD =，BC EF =，且有AB 平行于ED ，AF 平行于CD ，BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知24FD =厘米，18BD =厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？FEABDCGFEABDC【解析】 如图，我们将BCD ∆平移使得CD 与AF 重合，将DEF ∆平移使得ED 与AB 重合，这样EF 、BC 都重合到图中的AG 了．这样就组成了一个长方形BGFD ，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD 的面积为2418432⨯=平方厘米，所以六边形ABCDEF 的面积为432平方厘米．【例 13】 如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FEDCBA33321F EDC BAABCDEF【解析】 方法一：连接CF ，根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBF S AE S EC ==△△, 设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标所以551212DCEF ABC S S ==△ 方法二：连接DE ，由题目条件可得到1133ABD ABC S S ==△△，11212233ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABD ADE S BF FE S ==△△，111111122323212DEF DEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211323CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于512． 【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?y B CD EGE D CBAEDB A 【解析】 设1DEFS =△份，则根据燕尾定理其他面积如图所示551212BCD S S ==△阴影平方厘米.【例 14】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)．如果三角形ABD的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．ABCDOH GA BCD O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =V V ，这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题． 解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ∆∆==，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==． 解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ．∵13ABDBCD S S ∆∆=，∴13AH CG =，∴13AODDOC S S ∆∆=， ∴13AO CO =，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==．【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？B【解析】 ⑴根据蝶形定理，123BGCS ⨯=⨯V ，那么6BGC S =V ；⑵根据蝶形定理，()():12:361:3AG GC =++=．【例 15】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE△的面积．OGF EDCBA【解析】 ⑴根据题意可知，BCD △的面积为244616+++=，那么BCO △和CDO ∆的面积都是1628÷=，所以OCF △的面积为844-=；⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的面积为862-=，根据蝶形定理，::2:41:2COE COF EG FG S S ∆∆===，所以::1:2GCE GCF S S EG FG ∆∆==，那么11221233GCE CEF S S ∆∆==⨯=+．【例 16】 如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积．ABCD EF GABCD EF G【解析】 连接AE ，FE ．因为:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，所以3111()53210DEF ABCD ABCD S S S =⨯⨯=V 长方形长方形．因为12AEDABCD S S =V 长方形，11::5:1210AG GF ==，所以510AGD GDF S S ==V V 平方厘米，所以12AFD S =V 平方厘米．因为16AFDABCD S S =V 长方形，所以长方形ABCD 的面积是72平方厘米．【例 17】 如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．CBA【解析】 因为M 是AD 边上的中点，所以:1:2AM BC =，根据梯形蝶形定理可以知道22:::1:12:12:21:2:2:4AMG ABG MCG BCG S S S S =⨯⨯=△△△△（）（），设1AGM S =△份，则123MCD S =+=△ 份，所以正方形的面积为1224312++++=份，224S =+=阴影份，所以:1:3S S =阴影正方形，所以1S =阴影平方厘米．【巩固】在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF 的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD 面积是 平方厘米．A BCDEF【解析】 连接DE ，根据题意可知:1:2BE AD =，根据蝶形定理得2129S =+=梯形（）(平方厘米)，3ECD S =△(平方厘米)，那么12ABCD S =W (平方厘米)．【例 18】 已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，三角形ODE 的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是 平方厘米．BB【解析】 连接AC ．由于ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，所以:2:3CE AD =，根据梯形蝶形定理，22:::2:23:23:34:6:6:9COE AOC DOE AOD S S S S =⨯⨯=V V V V ，所以6AOC S =V (平方厘米)，9AOD S =V (平方厘米)，又6915ABC ACD S S ==+=V V (平方厘米)，阴影部分面积为61521+=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．BB【分析】 连接AE．由于AD 与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么OCDOAE S S ∆∆=．根据蝶形定理，4936OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故236OCD S ∆=， 所以6OCD S ∆=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．BB【解析】 连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S ∆∆=．根据蝶形定理，2816OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故216OCD S ∆=，所以4OCD S ∆=(平方厘米)．另解：在平行四边形ABED 中，()111681222ADE ABED S S ∆==⨯+=Y (平方厘米)， 所以1284AOE ADE AOD S S S ∆∆∆=-=-=(平方厘米)，根据蝶形定理，阴影部分的面积为8244⨯÷=(平方厘米)．【例 19】 如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．?852O A BCDEF?852O A BC DEF【解析】 连接DE 、CF ．四边形EDCF 为梯形，所以EOD FOC S S ∆=V ，又根据蝶形定理，EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅，所以2816EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅=⨯=，所以4EOD S ∆=(平方厘米)，4812ECD S ∆=+=(平方厘米)．那么长方形ABCD 的面积为12224⨯=平方厘米，四边形OFBC 的面积为245289---=(平方厘米)．【例 20】 如图，ABC ∆是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交于K 点．已知正方形DEFG 的面积48，:1:3AK KB =，则BKD ∆的面积是多少？BB【解析】 由于DEFG 是正方形，所以DA 与BC 平行，那么四边形ADBC 是梯形．在梯形ADBC 中，BDK ∆和ACK ∆的面积是相等的．而:1:3AK KB =，所以ACK ∆的面积是ABC ∆面积的11134=+，那么BDK ∆的面积也是ABC ∆面积的14． 由于ABC ∆是等腰直角三角形，如果过A 作BC 的垂线，M 为垂足，那么M 是BC 的中点，而且AM DE =，可见ABM ∆和ACM ∆的面积都等于正方形DEFG 面积的一半，所以ABC ∆的面积与正方形DEFG 的面积相等，为48．那么BDK ∆的面积为148124⨯=．【例 21】 下图中，四边形ABCD 都是边长为1的正方形，E 、F 、G 、H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数m n，那么，()m n +的值等于 ．E【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积．如下图所示，在左图中连接EG ．设AG 与DE 的交点为M ．左图中AEGD 为长方形，可知AMD ∆的面积为长方形AEGD 面积的14，所以三角形AMD 的面积为21111248⨯⨯=．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为111482-⨯=．BEE如上图所示，在右图中连接AC 、EF ．设AF 、EC 的交点为N ． 可知EF ∥AC 且2AC EF =．那么三角形BEF 的面积为三角形ABC 面积的14，所以三角形BEF 的面积为21111248⨯⨯=，梯形AEFC 的面积为113288-=． 在梯形AEFC 中，由于:1:2EF AC =，根据梯形蝶形定理，其四部分的面积比为：221:12:12:21:2:2:4⨯⨯=，所以三角形EFN 的面积为3118122424⨯=+++，那么四边形BENF 的面积为1118246+=．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为111463-⨯=．那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为11:3:223=，即32m n =， 那么325m n +=+=．【例 22】 如图， ABC △中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD DF FB ==，则::ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形 ．EGF A D CB【解析】 设1ADE S =△份，根据面积比等于相似比的平方，所以22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，22::1:9ADE ABC S S AD AB ==△△， 因此4AFG S =△份，9ABC S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，5FGCB S =四边形份，所以::1:3:5ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形【巩固】如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长．A ED CB【解析】 由金字塔模型得:::2:5AD AB AE AC DE BC ===，所以42510AC =÷⨯=【巩固】如图， ABC △中，DE ，FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行，AD DF FM MP PB ====，则::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形． 【解析】 设1ADE S =△份，22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，因此4AFG S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，同理有5FGNM S =四边形份，7MNQP S =四边形份，9PQCB S =四边形份．所以有::::1:3:5:7:9ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形【例 23】 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，F是BC 边的中点，E 是DC 边上的点，且:1:3DE EC =，AF 与BE 相交于点G ，求ABG S △GFAEDC BM GFAEDCBGFAEDCB【解析】 方法一：连接AE ，延长AF ，DC 两条线交于点M ，构造出两个沙漏，所以有::1:1AB CM BF FC ==，因此4CM =，根据题意有3CE =，再根据另一个沙漏有::4:7GB GE AB EM ==，所以4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△．方法二：连接,AE EF，分别求4224ABF S =⨯÷=△，4441232247AEFS =⨯-⨯÷-⨯÷-=△，根据蝶形定理::4:7ABF AEF S S BG GE ==△△，所以4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△．【例 24】 如图所示，已知平行四边形ABCD 的面积是1，E 、F 是AB 、AD 的中点， BF 交EC 于M ，求BMG ∆的面积．Q E GNMFPA DCBMHGF E DCBAA【解析】 解法一：由题意可得，E 、F 是AB 、AD 的中点，得//EF BD ，而::1:2FD BC FH HC ==，::1:2EB CD BG GD ==所以::2:3CH CF GH EF ==，并得G 、H 是BD 的三等分点，所以BG GH =，所以 ::2:3BG EF BM MF ==，所以25BM BF =，11112224BFD ABD ABCD S S S ∆∆==⨯=Y ； 又因为13BG BD =，所以1212113535430BMG BFD S S ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=． 解法二：延长CE 交DA 于I ，如右图，可得，::1:1AI BC AE EB ==，从而可以确定M 的点的位置， ::2:3BM MF BC IF ==，25BM BF =，13BG BD =(鸟头定理)，可得2121115353430BMG BDF ABCD S S S ∆∆=⨯=⨯⨯=Y【例 25】 如图，ABCD 为正方形，1cm AM NB DE FC ====且2cm MN =，请问四边形PQRS 的面积为多少？CACA【解析】 (法1)由//AB CD ，有MP PC MNDC=，所以2PC PM =，又MQ MB QC EC =，所以12MQ QC MC ==，所以111236PQ MC MC MC =-=，所以SPQR S 占AMCF S 的16，所以121(112)63SPQR S =⨯⨯++=2(cm )．(法2)如图，连结AE ，则14482ABE S ∆=⨯⨯=(2cm )，而RB ER ABEF=，所以2RB AB EFEF ==，22168333ABR ABE S S ∆∆==⨯=(2cm )．而1134322MBQ ANS S S ∆∆==⨯⨯⨯=(2cm )，因为MN MP DC PC=，所以13MP MC =，则11424233MNP S ∆=⨯⨯⨯=(2cm )，阴影部分面积等于164233333ABR ANS MBQ MNP S S S S ∆∆∆∆--+=--+=(2cm )．【例 26】 如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD ===△△::3:412:16AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::3:415:20AOB AOC S S BD CD ===△△::5:615:18AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::2:310:15AOB AOC S S BD CD ===△△::5:410:8AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:15:8:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例 27】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE 的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．I HGFEDCBAI H G FEDCBA【分析】 连接AH 、BI 、CG ．由于:3:2CE AE =，所以25AE AC =，故2255ABE ABC S S ∆∆==；根据燕尾定理，::2:3ACG ABG S S CD BD ∆∆==，::3:2BCG ABG S S CE EA ∆∆==，所以::4:6:9ACG ABG BCG S S S ∆∆∆=，则419ACG S ∆=，919BCG S ∆=； 那么2248551995AGE AGC S S ∆∆==⨯=； 同样分析可得919ACH S ∆=，则::4:9ACG ACH EG EH S S ∆∆==，::4:19ACG ACB EG EB S S ∆∆==，所以::4:5:10EG GH HB =，同样分析可得::10:5:4AG GI ID =，所以5521101055BIE BAE S S ∆∆==⨯=，55111919519GHI BIE S S ∆∆==⨯=．【巩固】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形GHI的面积是1，求三角形ABC 的面积．IH G FEDCBA IH G FEDCBA【解析】 连接BG ，AGCS △=6份根据燕尾定理，::3:26:4AGC BGC S S AF FB ===△△，::3:29:6ABG AGC S S BD DC ===△△得4BGC S =△(份)，9ABG S =△(份)，则19ABC S =△(份)，因此619AGCABCS S =△△, 同理连接AI 、CH 得619ABHABCS S =△△,619BIC ABC S S =△△,所以1966611919GHI ABC S S ---==△△三角形GHI 的面积是1，所以三角形ABC 的面积是19【巩固】如图，ABC ∆中2BD DA =，2CE EB =，2AF FC =，那么ABC ∆的面积是阴影三角形面积的 倍．BCCB【分析】 如图，连接AI．根据燕尾定理，::2:1BCI ACIS S BD AD ∆∆==，::1:2BCI ABI S S CF AF ∆∆==，所以，::1:2:4ACI BCI ABI S S S ∆∆∆=，那么，221247BCI ABC ABC S S S ∆∆∆==++．同理可知ACG ∆和ABH ∆的面积也都等于ABC ∆面积的27，所以阴影三角形的面积等于ABC ∆面积的211377-⨯=，所以ABC ∆的面积是阴影三角形面积的7倍．【巩固】如图在ABC △中，12DC EA FB DBECFA===,求GHI ABC △的面积△的面积的值．IHG FEDCBAIHG FEDCB A【解析】 连接BG ,设BGC S △=1份，根据燕尾定理::2:1AGC BGC S S AF FB ==△△,::2:1ABG AGC S S BD DC ==△△,得2AGC S =△(份)，4ABG S =△(份),则7ABC S =△(份)，因此27AGC ABC S S =△△,同理连接AI 、CH 得27ABH ABC S S =△△,27BIC ABC S S =△△,所以7222177GHI ABC S S ---==△△ 【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.【例 28】 如图，三角形ABC 的面积是1，BD DE EC ==，CF FG GA ==，三角形ABC被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?GFE D CBAN MQPGF EDCBA【解析】 设BG 与AD 交于点P ，BG 与AE 交于点Q ，BF 与AD 交于点M ，BF 与AE交于点N ．连接CP ，CQ ，CM ，CN ．根据燕尾定理，::1:2ABP CBP S S AG GC ==△△，::1:2ABP ACP S S BD CD ==△△，设1ABP S =△(份)，则1225ABC S =++=△(份)，所以15ABP S =△ 同理可得，27ABQ S =△,12ABN S =△,而13ABG S =△，所以2137535APQ S =-=△，1213721AQG S =-=△．同理，335BPMS =△121BDM S =△,所以1239273570PQMN S =--=四边形，13953357042MNEDS =--=四边形,1151321426NFCE S =--=四边形,1115321642GFNQ S =--=四边形【巩固】如图，ABC ∆的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC边的三等分点，那么四边形JKIH 的面积是多少？K J IHABC D EF GKJI HABCD EFG【解析】 连接CK 、CI 、CJ．根据燕尾定理，::1:2ACK ABK S S CD BD ∆∆==，::1:2ABK CBK S S AG CG ∆∆==， 所以::1:2:4ACK ABK CBK S S S ∆∆∆=，那么111247ACK S ∆==++，11321AGK ACK S S ∆∆==． 类似分析可得215AGI S ∆=． 又::2:1ABJ CBJ S S AF CF ∆∆==，::2:1ABJ ACJ S S BD CD ∆∆==，可得14ACJ S ∆=． 那么，111742184CGKJS =-=． 根据对称性，可知四边形CEHJ 的面积也为1784，那么四边形JKIH 周围的图形的面积之和为172161228415370CGKJ AGI ABE S S S ∆∆⨯++=⨯++=，所以四边形JKIH 的面积为61917070-=．【例 29】 右图，ABC △中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米？N M GA BCD EFNMGA BC D EF【解析】 连接CM 、CN ．根据燕尾定理，::1:1ABM CBMS S AG GC ==△△，::1:3ABM ACM S S BD CD ==△△，所以15ABM ABC S S =△△；再根据燕尾定理，::1:1ABN CBNS S AG GC ==△△，所以::4:3ABN FBN CBN FBN S S S S ==△△△△，所以:4:3AN NF =，那么1422437ANG AFC S S =⨯=+△△，所以2515177428FCGNAFC ABC ABC S S S S ⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭△△△．根据题意，有157.2528ABC ABC S S -=△△，可得336ABC S =△(平方厘米)【例 30】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求阴影部分面积.C BAGCB【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI 与CD 的交点为M ，AF 与CD 的交点为N ，BI 与AF 的交点为P ,BI 与CE 的交点为Q ,连接AM 、BN 、CP⑴求ADMI S 四边形：在ABC △中，根据燕尾定理，::1:2ABM CBM S S AI CI ==△△::1:2ACM CBM S S AD BD ==△△设1ABM S =△(份)，则2CBM S =△(份),1ACM S =△(份),4ABC S =△(份),所以14ABMACM ABC S S S ==△△△，所以11312ADM ABM ABC S S S ==△△△,112AIM ABC S S =△△,所以111()12126ABC ABC ADMI S S S =+=△△四边形,同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是ABC △面积的16⑵求DNPQE S 五边形：在ABC △中，根据燕尾定理::1:2ABN ACN S S BF CF ==△△::1:2ACN BCN S S AD BD ==△△,所以111133721ADN ABN ABC ABC S S S S ==⨯=△△△△,同理121BEQ ABC S S =△△在ABC△中，根据燕尾定理::1:2ABP ACP S S BF CF ==△△,::1:2ABP CBP S S AI CI ==△△所以15ABP ABCS S =△△，所以1111152121105ABP ADN BEPABC ABC DNPQE S S S S S S ⎛⎫=--=--= ⎪⎝⎭△△△△△五边形 同理另外两个五边形面积是ABC△面积的11105，所以11113133610570S =-⨯-⨯=阴影【例 31】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求中心六边形面积.GCBAGCBA【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为N 、R 、P 、S 、M 、Q ，连接CR在ABC △中根据燕尾定理，::.2:1ABR ACR S S BG CG ==△△, ::1:2ABR CBR S S AI CI ==△△所以27ABR ABC S S =△△,同理27ACS ABC S S =△△,27CQB ABC S S =△△所以222117777RQS S =---=△，同理17MNP S =△根据容斥原理，和上题结果11131777010S =+-=六边形课后练习： 练习1. 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【解析】:():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米练习2. 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．H GFED CB A A B CDEFGH【解析】 连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2CGF CDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△ 所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形 所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米练习3. 正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是 平方厘米．H GFEDCBAM H GFEDCBA【解析】 欲求四边形BGHF 的面积须求出EBG ∆和CHF ∆的面积．由题意可得到：::1:2EG GC EB CD ==，所以可得：13EBG BCE S S ∆∆=将AB 、DF 延长交于M 点，可得：:::1:1BM DC MF FD BF FC ===，而1::():3:22EH HC EM CD AB AB CD ==+=，得25CH CE =，而12CF BC =，所以121255CHF BCE BCE S S S ∆∆∆=⨯=11112030224BCE S AB BC ∆=⨯⨯=⨯=117730141515EBC EBC EBC EBC BGHF S S S S S ∆∆∆∆=--==⨯=四边形．EF ，确定H 的位置(也就是:FH HD )练习4. 如图，已知4cm AB AE ==，BC DC =，90BAE BCD ∠=∠=︒，10cm AC =，则S ABC ACE CDE S S ∆∆∆++= 2cm ．DCEBABCA'C'EDA【解析】 将三角形ABC 绕A 点和C 点分别顺时针和逆时针旋转90o，构成三角形'AEC 和'A DC ，再连接''A C ，显然'AC AC ⊥，'AC A C ⊥，''AC A C AC ==，所以''ACA C 是正方形．三角形'AEC 和三角形'A DC 关于正方形的中心O 中心对称，在中心对称图形''ACA C 中有如下等量关系： ''AEC A DC S S ∆∆=；''AEC A DC S S ∆∆=；'CED C DE S S ∆∆=．所以2'''11101050cm 22ABC ACE CDE AEC ACE CDE ACA C S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++==⨯⨯=W ．练习5. 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是_____平方厘米．EDED【解析】 连接BH ,根据沙漏模型得:1:2BG GD =,设1BHC S =△份，根据燕尾定理2CHD S =△份，2BHD S =△份，因此122)210S =++⨯=正方形（份，127236BFHG S =+=，所以712010146BFHG S =÷⨯=(平方厘米).练习6. 如图，ABC ∆中，点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，若ABC ∆的面积为1，那么四边形CDMF 的面积是_________．。
五年级下册数学讲义-竞赛专题：第5讲-数阵图、数字谜(含答案解析)人教版
知识概述1.数阵图的一般解题思路：由于数阵图中没有填充之前各个数的位置无法确定,从每一个单个数上无法进行判断,所以我们采用的是整体与个体相结合考虑的方法,即利用所有相关数和全部相加进行分析。
2.数字谜：①数字谜介绍：数字谜从形式上可以分成为横式数字谜与竖式数字谜,从内容上可以分为加减乘除4种数字谜,横式数字谜一般可以转化为竖式数字谜。
②数字谜常用的分析法介绍解决数字谜问题最重要的就是找到突破口,突破口你的寻找是需要一定得技巧性,一般来说,首先是观察题目中给出数字的位置,同时找出涉及这些已知数字的所有相关计算,然后根据各种分析法进行突破,突破的顺序一般是三位分析法（个位分析,高位分析和进位借位分析）另外加入三大技巧（估算技巧——结合数位,奇偶分析技巧和分解素因数技巧）等、而且一般应该先从涉及乘法的地方入手,然后在考虑加法后减法的分析（并不完全都是这样）。
数阵图、数字谜数阵图与数字谜这类问题在历届杯赛中经常出现,属于各大杯赛的高频考点,因为这类题是正确率很高的题目,所以要想取得好成绩,必须掌握这类题型的解题方法。
名师点题将1~11填入图中的○内,使得每条线段上的三个圆圈内数字之和等于22。
【解析】首先求出数阵图中关键位置的数,在数阵图的中间位置,是：（22×5-66）÷4=11,剩下的数从下到大排列,首尾配对即可：1配10,2配9,,3配8,4配7,5配6。
在下图中填9个数,使每行、每列、对角线上的三个数的和都相等。
那么b处应该填入的数是（）。
【解析】这是一个三阶幻方,每行、每列、每条对角线上三个数的和相等,我们称这个相等的和是幻和,幻和是中央的数的3倍,幻和=3b=1.9+b+0.9= 2.8+b,进而得到2b=2.8,b=1.4。
在右边的算式中,相同的符号代表相同的数字,不同的符号代表不同的数字,根据这个算式,可以推算出：例3例2例1△□□〇+〇□□△□□☆☆那么：口+○+△+☆=_________。
小学奥数-几何五大模型(相似模型)
模型四 相似三角形模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E ABCDAB CDEF G①AD AE DE AF AB AC BC AG===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。
相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。
在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形。
【例 1】 如图，已知在平行四边形ABCD 中，16AB =，10AD =，4BE =，那么FC 的长度是多少？FEDCBA【解析】 图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为AB 平行于CD ，所以::4:161:4BF FC BE CD ===，所以410814FC =⨯=+．任意四边形、梯形与相似模型【例 2】 如图，测量小玻璃管口径的量具ABC ，AB 的长为15厘米，AC 被分为60等份。
如果小玻璃管口DE 正好对着量具上20等份处(DE 平行AB )，那么小玻璃管口径DE 是多大？605040302010EAD C B【解析】 有一个金字塔模型，所以::DE AB DC AC =，:1540:60DE =，所以10DE =厘米。
【例 3】 如图，DE 平行BC ，若:2:3AD DB =，那么:ADE ECB S S =△△________。
A ED CB【解析】 根据金字塔模型:::2:(23)2:5AD AB AE AC DE BC ===+=，22:2:54:25ADE ABC S S ==△△，设4ADE S =△份，则25ABC S =△份，2553BEC S =÷⨯=△份，所以:4:1A D E E C B S S =△△。
小学奥数-几何五大模型(相似模型)讲解学习
模型四 相似三角形模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E ABCDAB CDEF G①AD AE DE AF AB AC BC AG===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。
相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。
在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形。
【例 1】如图，已知在平行四边形ABCD 中，16AB =，10AD =，4BE =，那么FC 的长度是多少？FEDCBA【解析】 图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为AB 平行于CD ，任意四边形、梯形与相似模型所以::4:161:4BF FC BE CD ===，所以410814FC =⨯=+．【例 2】 如图，测量小玻璃管口径的量具ABC ，AB 的长为15厘米，AC 被分为60等份。
如果小玻璃管口DE 正好对着量具上20等份处(DE 平行AB )，那么小玻璃管口径DE 是多大？605040302010EA D C B【解析】 有一个金字塔模型，所以::DE AB DC AC =，:1540:60DE =，所以10DE =厘米。
【例 3】如图，DE 平行BC ，若:2:3AD DB =，那么:ADE ECB S S =△△________。
A ED CB【解析】 根据金字塔模型:::2:(23)2:5AD AB AE AC DE BC ===+=，22:2:54:25ADE ABC S S ==△△，设4ADE S =△份，则25ABC S =△份，255315BEC S =÷⨯=△份，所以:4:15ADE ECB S S =△△。
五年级下册数学竞赛试题---14讲-图形-五大模型----全国通用(含答案)
五年下册奥数试题-图形-五大模型（一）姓名 得分【名师解析】一、等积变换模型1、等底等高的两个三角形面积相等。
2、两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比。
3、两个三角形底相等，面积比等于它的的高之比。
二、共角定理模型（共角定理）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等到于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。
如： 依次称之为A 字型鸟头、X 字型鸟头、歪脖型鸟头、直脖型鸟头。
如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图(或D 、E 分别在BA 、CA 延长线上。
则有：ADE ABC S AD AE AD AE S AB AC AB AC ⨯=⨯=⨯△△三、蝴蝶定理模型（风筝模型）（说明：任意四边形与四边形、长方形、梯形，连接对角线所成四部的比例关系是一样的。
）四、相似三角形模型（沙漏模型）五、燕尾定理模型【例题精讲】例1、三角形ABC 中，BD 是DC 的2倍，AE 是EC 的3倍。
三角形DEC 的面积为3平方厘米，求三角形ABC 的面积是多少平方厘米？EAD C B练习、在下图中，已知CF=2DF ，DE=EA ，△BCF 的面积为2，四边形BFDE 的面积为4，求△ABE 的面积。
FE DCB A例2、(1)在下图中，2AB BD AC CE ，，如果29ADE S cm ，求ABC S ？E D C BA练习、如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．DEAB C例3、正方形ABCD 边长为6 厘米，BC CF AC AE 3131==，．三角形DEF 的面积为多少平方厘米？BD练习、如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGS S ．SGFE D CB A例4、一个长方形，被两条直线分成四个长方形，其中三个的面积是20亩、25亩和30亩．问另一个长方形的面积是多少亩？练习、下图中，长方形被两条直线分成四个小长方形，其中三个的面积分别是12平方米、8平方米、20平方米，求另一个（图中阴影都分）长方形的面积。
【小升初奥数专题】几何之五大模型（已更新完）
【⼩升初奥数专题】⼏何之五⼤模型（已更新完）在⼩学奥数知识体系中，⼏何五⼤模型是⼏何专题中⾮常重要的⼀块知识点，⽅法性很强，掌握了⼏何的五⼤模型，对于我们解决组合型直图形或者⾮规则图形是⾮常有帮助的，所以⼏何五⼤模型在⼩学⼏何体系中的重中之重！⼏何五⼤模型的难点在于我们要在掌握各个模型适⽤的题型、相应的⽅法、公式的基础上学会灵活运⽤，还有就是有时要根据题意同时运⽤多种模型，从⽽更好的解决问题！接下来e 度徐丽⽼师会针对⼏何五⼤模型进⾏解析，希望能帮助到各位家长，让您的孩⼦在这次⼩升初中⼤战全胜！ps:对于不同题型均会有例题讲解分析以及精选练习题，以供⼤家有针对性学习巩固，相信⼤家对于应⽤题的攻克将不在话下！【⼏何五⼤模型知识点】【⼏何五⼤模型经典例题详解】【⼏何五⼤模型巩固练习】【⼏何五⼤模型巩固练习详解】标签:⼏何 模型 五⼤ ⼩升初 奥数回复 收藏1~3年级奥数每⽇⼀题汇总，含试题详解【每⽇不断更新中】4~5年级奥数每⽇⼀题汇总，含试题详解【每⽇不断更新中】⼩升初奥数天天练汇总，含试题详解【每⽇不断更新中】【徐丽⽼师】⼩升初奥数应⽤题专题汇总【徐丽⽼师】⼩升初奥数⾏程专题汇总【徐丽⽼师】⼩升初奥数⼏何专题汇总【徐丽⽼师】⼩升初奥数数论专题汇总【徐丽⽼师】⼩学数学毕业总复习专题汇总⼏⼏何五⼤模型⼀、五⼤模型简介（1）等积变换模型1、等底等⾼的两个三⾓形⾯积相等；2、两个三⾓形⾼相等，⾯积之⽐等于底之⽐，如图①所⽰，S[sub]1[/sub]：S[sub]2[/sub]=a:b ；3、两个三⾓形底相等，⾯积在之⽐等于⾼之⽐，如图②所⽰，S[sub]1[/sub]：S[sub]2[/sub]=a:b ；4、在⼀组平⾏线之间的等积变形，如图③所⽰，S[sub]△ACD[/sub]=S[sub]△BCD[/sub]；反之，如果S[sub]△ACD[/sub]=S[sub]△BCD[/sub]，则可知直线AB 平⾏于CD 。
2018五年级奥数.几何.五大模型(C级).学生版
知识框架一、等积模型DCBA①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图A C D B C DS S=△△；反之，如果ACD BCDS S=△△，则可知直线AB平行于CD．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、共角定理（鸟头定理）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．:():()ABC ADES S AB AC AD AE=⨯⨯△△三、蝴蝶定理五大模型（二）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．S 4S 3S 2S 1O DC B A梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =；③S 的对应份数为()2a b +．欢迎关注：奥数轻松学余老师薇芯：69039270AB CDOb a S 3S 2S 1S 4四、相似模型(一)金字塔模型(二)沙漏模型F E A BDA B C DEF ①AD AE DE AF AB AC BC AG===；②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．五、共边定理（燕尾定理）有一条公共边的三角形叫做共边三角形。
沙漏模型(学习资料)
一、沙漏模型 1、 2、 3、
二、梯形中的沙漏模型
1、连结沙漏模型的上下两个顶点，你发现了什么？
2、如果在组成的图形中AB:CD ＝2:3，那么我们能计
算出哪些数量关系呢？
练习：如图所示，在梯形ABCD 中，AB:CD ＝3:4，那么你能标出梯形各部分的面积比吗？
如果梯形的面积是98，那么你能求出梯形各部分的面积
吗？
三、例题讲解
例1、如图所示，梯形ABCD 的面积是36，下底长是上底长的2倍，阴影三角形的面积是多少？
例2、如图所示，平行四边形ABCD 的面积是90，已知E 点是AB 上靠近A 点的三等分点，求阴影部分的面积。
CD
AB ∥b a ＝＝＝CD AB DO BO CO AO 22b a S S COD AOB ＝∆∆4
321:::S S S S。
小学奥数几何模型 之 沙漏模型 例题+作业 带答案
小学几何模型之沙漏模型课前引入：相似三角形例题1如图：在平行四边形ABCD中，AB＝16厘米，AD＝10厘米，BE＝4厘米，求FC的长。
BC=AD=10厘米CD=AB=16厘米CF:BF=CD:BE=4:1FC的长：10÷（4+1）×4=8（厘米）练习1如图：在平行四边形ABCD中，CD＝14厘米，BE＝2厘米，AE和DE的长度相同，求DF 的长。
AB=CD=14厘米DE=AE=14+2=16（厘米）DF:FE=CD:BE=7:1DF的长：16÷（7+1）×7=14（厘米）例题2如图：在正方形ABCD中，CE＝2DE。
已知正方形ABCD的面积是96平方厘米，求阴影部分的面积。
△ABD的面积为96÷2=48（cm2）假设S△DEF为1份，那么S△ABF为9份，S△ADF为3份阴影部分面积：48÷（9+3）×1=4（cm2）练习2如图：在长方形ABCD中，点E是边DC的三等分点。
已知三角形DQE的面积是1平方厘米，求长方形ABCD的面积。
DE:AB=1:3△ABQ的面积为9cm2△ADQ的面积为3cm2△ABD的面积为9＋3=12 （cm2）长方形ABCD的面积为12×2=24 （cm2）例题3如图：在三角形ABC中，DE、FG、BC互相平行，并且AD＝DF＝FB，求三角形ADE、四边形DEGF和四边形FGCB之间的面积比。
AD:AF:AB=1:2:3S△ADE:S△AFG:S△ABC=1:4:9假设△ADE的面积为1份，那么△AFG的面积为4份，△ABC的面积为9份四边形DEGF的面积为4－1=3（份）四边形FGCB的面积为9－4=5（份）S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGCB=1:3:5练习3如图：在三角形ABC中，DE、FG、BC互相平行。
已知AD＝3厘米，DF＝2厘米，FB＝1厘米，求三角形ADE、三角形AFG和三角形ABC之间的面积比。
小学奥数题库《几何》-直线型-金字塔和沙漏模型-3星题(含解析)
几何-直线型几何-金字塔和沙漏模型-3星题课程目标知识提要金字塔和沙漏模型• 金字塔模型CDCA =CECB =DEAB • 沙漏模型ABCD =AODO =BOCO精选例题金字塔和沙漏模型1. ABCD 是平行四边形，面积为72平方厘米，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，那么图中阴影局部的面积为平方厘米．【答案】48【分析】方法一：设G 、H 分别为AD 、DC 的中点，连接GH 、EF 、BD ． 可得S △AED =14S 平行四边形ABCD ,对角线BD 被EF 、AC 、GH 平均分成四段，又OM ∥ EF ，所以DO:ED =24BD:34BD =2:3,OE:ED =(ED −OD ):ED =(3−2):3=1:3,所以S △AEO =13×14S 平行四边形ABCD =13×14×72=6(平方厘米),S △ADO =2×S △AEO =12(平方厘米).同理可得S △CFM =6(平方厘米),S △CDM =12(平方厘米).所以S△ABC−S△AEO−S△CFM=36−6−6=24(平方厘米),于是，阴影局部的面积为24+12+12=48(平方厘米).方法二：寻找图中的沙漏，AE:CD=AO:OC=1:2,FC:AD=CM:AM=1:2,因此O,M为AC的三等分点，S△ODM=16S平行四边形ABCD=16×72=12(平方厘米),S△AEO=14S△OCD=14×12×2=6(平方厘米),同理S△FMC=6(平方厘米),所以S阴影=72−12−6−6=48(平方厘米).2. 如下列图所示，将边长8厘米和12厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面积是平方厘米．【答案】43.2【分析】给图中标上字母，如下列图．根据沙漏模型OCOF =BCEF=812=23．所以OF=12×32+3=7.2(厘米)．S△EFO=7.2×12÷2=43.2(平方厘米)．3. 如图，△ABC中，DE，FG，BC互相平行，AD=DF=FB，那么S△ADE:S四边形DEGF :S四边形FGCB=．【答案】1:3:5【分析】设S△ADE=1份，根据面积比等于相似比的平方，所以S△ADE:S△AFG=AD2:AF2=1:4，S△ADE:S△ABC=AD2:AB2=1:9，因此S△AFG=4份，S△ABC=9份，进而有S四边形DEGF =3份，S四边形FGCB=5份，所以S△ADE:S四边形DEGF :S四边形FGCB=1:3:5．4. 在下列图中，线段AE、FG将长方形ABCD分成了四块；其中两块的面积分别是2平方厘米、11平方厘米，且E是BC的中点，O是AE的中点．请问长方形ABCD的面积是平方厘米．【答案】28【分析】如下列图所示，延长AE、DC交于点H．由于E是BC的中点，由AB∥CH，有AE:EH=BE:EC=1:1，由于O是AE中点，那么AO:OH=1:3．由AF∥GH，有S△AOF:S△GOH=12:32=1:9．所以，S△GOH=2×9=18(平方厘米)，那么S△CEH=18−11=7(平方厘米)．所以，S平行四边形ABCD=4S△ABE=4S△CEH=4×7=28(平方厘米)．5. 如下列图所示，三角形田地中有两条小路AE和CF，交叉处为D．张大伯常走这两条小路，他知道DF=DC，且AD=2DE．那么两块田地ACF和CFB的面积比是．【答案】1:2【分析】方法一：如下列图所示，ACF 和CFB 为同高三角形，所以面积比等于底边比AF:FB ． 过F 作BC 的平行线，交AE 于G ，那么因为DF =DC ，所以三角形CED 和FGD 全等，GD =DE ．又因为AD =2DE ，所以D 和G 是AE 的三等分点，所以AF:FB =AG:GE =1:2． 方法二：如下列图所示，连接BD ，设S △CED =1(份)，那么S △ACD =S △ADF =2(份)．设S △BED =x,S △BFD =y ，那么有{x +1=y 2x =y +2，解得{x =3y =4．所以S △ACF :S △CFB =(2+2):(4+3+1)=1:2．6. 图中的大小正方形的边长均为整数〔厘米〕，它们的面积之和等于52平方厘米，那么阴影局部的面积是平方厘米．【答案】10.8【分析】设大、小正方形的边长分别为m 厘米、n 厘米〔m >n 〕，那么m 2+n 2=52,所以m <8.假设m ⩽5，那么m 2+n 2<52×2=50<52,不合题意，所以m 只能为6或7．检验可知只有m =6、n =4满足题意，所以大、小正方形的边长分别为6厘米和4厘米．根据相似三角形性质，BG:GF =AB:FE =6:4=3:2,而BG +GF =6,得BG =3.6(厘米),所以阴影局部的面积为：12×6×3.6=10.8(平方厘米). 7. 如图，△ABC 中，DE ，FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行，AD =DF =FM =MP =PB ，那么S △ADE :S 四边形DEGF :S 四边形FGNM :S 四边形MNQP :S 四边形PQCB =．【答案】1:3:5:7:9【分析】设S △ADE =1份，S △ADE :S △AFG =AD 2:AF 2=1:4，因此S △AFG =4份，进而有S 四边形DEGF =3份，同理有S 四边形FGNM =5份，S 四边形MNQP =7份，S 四边形PQCB =9份． 所以有S △ADE :S 四边形DEGF :S 四边形FGNM :S 四边形MNQP :S 四边形PQCB =1:3:5:7:9. 8. 如图，DE 平行BC ，假设AD:DB =2:3，那么S △ADE :S △ECB =．【答案】4:15【分析】根据金字塔模型AD:AB =AE:AC =DE:BC =2:(2+3)=2:5，S △ADE :S △ABC =22:52=4:25，设S △ADE =4份，那么S △ABC =25份，S △BEC =25÷5×3=15份，所以S △ADE :S △ECB =4:15． 9. 如图，四边形ABCD 和EFGH 都是平行四边形，四边形ABCD 的面积是16，BG:GC =3:1，那么四边形EFGH 的面积=．【答案】3【分析】因为FGHE 为平行四边形，所以EC ∥AG ，所以AGCE 为平行四边形．BG:GC =3:1，那么GC:BC =1:4，所以S 平行四边形AGCE =14×S 平行四边形ABCD =14×16=4．又AE=GC，所以AE:BG=GC:BG=1:3，根据沙漏模型，FG:AF=BG:AE=3:1，所以S平行四边形FGHE =34S平行四边形AGCE=34×4=3．10. 如图，三角形ABC的面积为60平方厘米，D、E、F分别为各边的中点，那么阴影局部的面积是平方厘米．【答案】12.5【分析】阴影局部是一个不规那么的四边形，不方便直接求面积，可以将其转化为两个三角形的面积之差．而从图中来看，既可以转化为△BEF与△EMN的面积之差，又可以转化为△BCM 与△CFN的面积之差．〔法一〕如图，连接DE．由于D、E、F分别为各边的中点，那么BDEF为平行四边形，且面积为三角形ABC面积的一半，即30平方厘米；那么△BEF的面积为平行四边形BDEF面积的一半，为15平方厘米．根据几何五大模型中的相似模型，由于DE为三角形ABC的中位线，长度为BC的一半，那么EM:BM=DE:BC=1:2,所以EM=13 EB;EN:FN=DE:FC=1:1,所以EN=12 EF.那么△EMN的面积占△BEF面积的12×13=16，所以阴影局部面积为15×(1−16)=12.5(平方厘米).〔法二〕如图，连接AM．根据燕尾定理，S△ABM:S△BCM=AE:EC=1:1,S△ACM:S△BCM=AD:DB=1:1,所以S△BCO=13S△ABC=13×60=20(平方厘米),而S△BDC=12S△ABC=12×60=30(平方厘米),所以S△FCN=14S△BDC=7.5(平方厘米),那么阴影局部面积为20−7.5=12.5(平方厘米).【总结】求三角形的面积，一般有三种方法：〔1〕利用面积公式：底×高÷2；〔2〕利用整体减去局部；〔3〕利用比例和模型．11. 梯形ABCD的面积为12，AB=2CD，E为AC的中点，BE的延长线与AD交于F，四边形CDFE的面积是．【答案】83【分析】延长BF、CD相交于G．由于E 为AC 的中点，根据相似三角形性质，CG =AB =2CD,GD =12GC =12AB,再根据相似三角形性质，AF:FD =AB:DG =2:1,GF:GB =1:3,而S △ABD :S △BCD =AB:CD =2:1,所以S △BCD =13S ABCD =13×12=4,S △GBC =2S △BCD =8.又S △GDF S △GBC =12×13=16, S △EBC =12S △GBC ,所以S CDFE =(1−12−16)S △GBC =13S △GBC =83.12. 如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，且图中两个阴影局部〔甲和乙〕的面积差是5.04，那么S △ABC =．【答案】20.16【分析】由于D ，E 都是中点，那么BC =2DE ，设DE 为1份，那么BC 为2份，根根据梯形中的蝴蝶模型，得到甲是1份，乙是4份，两个翅膀都是2份，由此可推出△ADE 为3份，且每份为5.04÷(4−1)=1.68,所以S △ABC =1.68×(3+1+4+2+2)=20.16 13. 如图，△ABC 中，AE =14AB ，AD =14AC ，ED 与BC 平行，△EOD 的面积是1平方厘米．那么△AED 的面积是平方厘米． 【答案】53【分析】因为AE =14AB ，AD =14AC ，ED 与BC 平行，根据相似模型可知ED:BC =1:4，EO:OC =1:4，S △COD =4S △EOD =4平方厘米，那么S △CDE =4+1=5平方厘米，又因为S △AED :S △CDE =AD:DC =1:3，所以S △AED =5×13=53(平方厘米)． 14. 如图，EF 与BC 平行，AF:FB =1:2．AE =2,EF =3，那么CE 的长度是多少？AC 的长度是多少？BC 的长度是多少？【答案】4,6,9．【分析】AF FB =AE EC =12，可求出CE =4,AC =6,EF BC =AF AB =13，可求出BC =9．15. 如下图，DE 与BC 平行，AD =4,BD =5,△ADE 的面积为32，那么四边形DECB 面积是多少？ 【答案】130．【分析】AD:AB =4:9，那么AE:AC =4:9,△ADE 是△ABC 面积的1681，那么△ABC 的面积是162，四边形DEBC 的面积为130．16. 如图，平行四边形ABCD的面积是12,DE=13AD,AC与BE的交点为F，那么图中阴影局部面积是多少？【答案】4.4．【分析】AE:BC=2:3，设份数可知ABCD为30份，△AEF为4份，阴影局部占11份，面积为4.4．17. 如下图，图中的两个正方形的边长分别是10和6，那么阴影局部的面积是多少？【答案】40013．【分析】AHHG =ADBG=58，那么△ABH与△BGH的面积是10×16÷2×513=40013．18. 三角形ADE的面积为3平方厘米，D是AB边的三等分点〔靠近A点〕，且DE与BC平行．请求出三角形OBC的面积为多少平方厘米？【答案】13.5平方厘米．【分析】由金字塔模型知，AD:AB=DE:BC=1:3，设△ODE的面积为1份，那么△ODB的面积为3份，△OEC的面积为3份，△OBC的面积为9份，又因为△ADE与△DEC等高，可知△ADE的面积为2份，由此可知△OBC的面积为3÷2×9=13.5平方厘米．19. 如下图，梯形ABCD的面积是50，下底长是上底长的1.5倍，阴影三角形的面积是多少？【答案】18．【分析】上底与下底的长度比为2:3，设△OCD面积是4份，那么△AOD与△BOC的面积均为6份，△ABO的面积为9份，总面积为50，故一份所对应的面积为2，那么△ABO的面积为18．20. 如图，平行四边形ABCD的面积是90．E点是AB上靠近A点的三等分点，求阴影局部的面积．【答案】33．【分析】由沙漏模型知，BE:CD=BO:OD=EO:OC=2:3，设△OBE的面积为4份，那么△OBC的面积为6份，△OCD的面积为9份，△OBC的面积与△OCD的面积之和为整个四边形面积的一半，因此四边形的面积为30份，总面积为90，那么一份对应面积为3，阴影局部占了11份，面积为33．21. 如下图，在三角形ABC中，IF和BC平行，GD和AB平行，HE和AC平行．AG:GF:FC=4:3:2，那么AH:HI:IB和BD:DE:EC分别是多少？【答案】AH:HI:IB=3:4:2，BD:DE:EC=4:2:3．【分析】〔1〕因为AG:GF:FC=4:3:2，所以AF:FC=7:2．又因为IF∥BC，所以AI:IB=AF:FC=7:2．因为GD∥AB，所以GF:AG=OF:IO=3:4．由上可得AH:HI:IB=3:4:2．〔2〕因为AG:GF:FC=4:3:2，所以AG:GC=4:5．又因为GD∥AB，所以BD:DC=AG:GC=4:5．因为GF:FC=3:2，IF∥BC，所以OD:GO=FC:GF=2:3．又因为HE∥AC，所以DE:EC=OD:GO=2:3．由上可得BD:DE:EC=4:2:3．22. 如下列图，D、E、F、G均为各边的三等分点，线段EG和DF把三角形ABC分成四局部，如果四边形FOGC的面积是24平方厘米，求三角形ABC的面积．【答案】40.5【分析】设三角形以AB为底的高为ℎ，由于FG:AB=2:3,所以ED:FG=1:2;所以三角形OGF以GF为底的高是1 3ℎ×23=29ℎ;又因为三角形CFG以FG为底的高是23ℎ，所以三角形OGF的面积与三角形CGF的面积之比为29ℎ:23ℎ=1:3,所以三角形CFG的面积为24×33+1=18(平方厘米),而三角形CFG的面积占三角形ABC的23×23=49，所以三角形ABC的面积是18÷49=40.5(平方厘米).23. 如图，直角三角形ABC中，AB=4,BC=6，又知BE:EC=1:3，求∠CDE的面积．【答案】6.75．【分析】由金字塔模型知DE:AB=CE:CB=3:4那么DE=4×34=3又知道CE=6×34=4.5可求出△CDE的面积为3×4.5÷2=6.7524. 如下图，DE与BC平行，AD=4,BD=5,DE=16，那么BC的长度是多少？【答案】36．【分析】由金字塔模型，AD:AB=DE:BC=4:9,DE=16，那么BC=36．25. 如下图，正方形ABCD面积为1，E、F分别是BC和DC的中点，DE与BF交于M点，DE与AF 交于N点，那么阴影三角形MFN的面积是多少？【答案】130【分析】如下列图，延长AF、BC交于点G，在沙漏ADNEG中，AD:EG=2:3，所以DN:NE= 2:3，故DN=25DE．如下列图，延长BF、AD交于点H，在沙漏DHMBE中，DH:BE=2:1，所以DM:ME=2:1，故ME=13DE．所以NM=(1−25−13)DE=415DE，故S△MFN=415S△DFE=415×12×S△DCE=415×12×14=130.26. 长方形ABCD的面积为70厘米，E是AD的中点，F、G是BC边上的三等分点，求阴影△EHO 的面积是多少平方厘米？【答案】3【分析】因为E 是AD 的中点，F 、G 是BC 边上的三等分点，由此可以说明如果把长方形的长分成6份的话，那么ED =AD =3(份)、BF =FG =GC =2(份),在图形中找到沙漏EDOBG ：有ED:BG =3:4,所以OD:BO =3:4,相当于把BD 分成7份〔3+4〕，同理也可以在图中再次找到沙漏EDHBF ，ED:BF =3:2,由此可以推出：HD:BH =3:2,相当于把BD 分成5份〔3+2〕，那么我们就可以把BD 分成35份〔5和7的最小公倍数〕其中OD 占15份，BH 占14份，HO 占6份，连接EB 那么可知△BED 的面积为70÷4=352,在BD 为底的三角形中HO 占6份，那么面积为：352×635=3(平方厘米). 27. △ABC 中，DE 平行BC ，假设AD:DB =2:3，且S 梯形DBCE 比S △ADE 大8.5 cm 2，求S △ABC ． 【答案】12.5cm 2【分析】根据金字塔模型AD:AB =DE:BC =2:(2+3)=2:5,S △ADE :S △ABC =22:52=4:25,设S △ADE =4份，那么S △ABC=25份，S 梯形DBCE =25−4=21份，S 梯形DBCE 比S △ADE 大17份，恰好是8.5 cm 2，所以S △ABC =12.5cm 2．28. 如图，三角形ABC 是一块锐角三角形余料，边BC =120毫米，高AD =80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？【答案】48【分析】观察图中有金字塔模型5个，用与边有关系的两个金字塔模型，所以有PN BC =AP AB ,PH AD =BPAB, 设正方形的边长为x 毫米，PN BC +PH AD =AP AB +BPAB=1, 即x 120+x 80=1, 解得x =48即正方形的边长为48毫米．29. 如右图，长方形ABCD 中，EF =16，FG =9，求AG 的长．【答案】15【分析】因为DG GB =AG GE =AG 25，且DG GB =FG GA =9AG ，所以AG 25=9AG 即AG 2=25×9=225，所以AG =15．30. 如下列图所示，点M是平行四边形ABCD的边CD上的一点，且DM:MC=1:2，四边形EBFC为平行四边形，FM与BC交于点G．假设三角形FCG的面积与三角形MED的面积之差为13cm2，求平行四边形ABCD的面积．【答案】60【分析】连接BD，因为DE∥BC，所以DE BC =EMMB=DMMC=12,所以S△DEM S△CEM =S△CEMS△CBM=S△DEMS△BDM=12.令S△DEM=a，那么S△CEM=S△BDM=2a，S△CBM=4a，所以S△BCF=S△BCE=2+4=6a.因为MB∥CF，所以CG GB =CFMB=EBMB=32.所以S△GCF S△BGF =CGGB=32.所以S△GCF=33+2×S△BCF=35×6=185a.因为S△GCF−S△DEM=13,所以18 5a−a=13;a=5.因为S△BCD=S△BDM+S△BCM=2a+4a=6a,所以S平行四边形ABCD=2×S BCD=2×6a=12a=12×5=60cm2.31. 图中ABCD是边长为12cm的正方形，从G到正方形顶点C、D连成一个三角形，这个三角形在AB上截得的EF长度为4cm，那么三角形GDC的面积是多少？【答案】108cm2【分析】做GM垂直DC于M，交AB于N．因为EF∥DC，所以三角形GEF与三角形GDC相似，且为EF:DC=4:12=1:3,所以GN:GM=1:3,又因为MN=GM−GN=12,所以GM=18(cm),所以三角形GDC的面积为12×12×18=108(cm2).32. 如下图，在正方形ABCD中，E,F分别是BC,CD的中点，正方形ABCD的面积为60平方厘米，求阴影局部的面积．【答案】10平方厘米．【分析】由条件知，BE=AD=1:2，那么BG:GD=1:2,BG=13BD，同理，DF:AB=1:2，那么DH:HB=1:2,DH=13BD，由此可得，GH=13BD，阴影局部面积为60÷2÷3=10平方厘米．33. 如图，长方形ABCD中，E为AD的中点，AF与BE、BD分别交于G、H，OE垂直AD于E，交AF于O，AH=5cm，HF=3cm，求AG．【答案】4013cm【分析】由于AB∥DF，利用相似三角形性质可以得到AB:DF=AH:HF=5:3,又因为E为AD中点，那么有OE:FD=1:2,所以AB:OE=5:32=10:3,利用相似三角形性质可以得到AG:GO=AB:OE=10:3,而AO=12AF=12×(5+3)=4(cm),所以AG=4×1013=4013(cm).34. 如下图，边长为8厘米和12厘米的两个正方形并排放在一起，求图中阴影局部的面积．【答案】45平方厘米．【分析】由条件知，GF:BE=12:20=3:5，由沙漏模型知GO:OE=3:5，那么△GOF与△EOF的面积之比也是3:5,△OEF的面积为12×12÷2×58=45平方厘米．35. 下列图中正方形的面积为1，E、F分别为AB、BD的中点，GC=13FC．求阴影局部的面积．【答案】524【分析】题中条件给出的都是比例关系，由此可以初步推断阴影局部的面积要通过比例求解，而图中出现最多的就是三角形，那么首先想到的就是利用相似三角形的性质．阴影局部为三角形，底边为正方形边长的一半，只要求出高，便可求出面积．可以作FH垂直BC于H，GI垂直BC于I．根据相似三角形性质，CI:CH=CG:CF=1:3,又因为CH=HB,所以CI:CB=1:6,即BI:BC=(6−1):6=5:6,所以S △BGE =12×12×56=524. 36. 如下列图，正方形ABCD 的面积为1，M 是CD 边的中点，E,F 是BC 边上的两点，且BE =EF =FC ．连接AE,DF 分别交BM 分别于H,G ．求四边形EFGH 的面积． 【答案】23210【分析】过M 点做MQ 平行于BC 交FD 于Q ，过E 点做EP 交BM 于P ，那么因为M 为CD 的中点，所以QM:FC =1:2，所以QM:BF =1:4，所以GM:GB =1:4，所以BG:BM =4:5，又因为BF:BC =2:3，所以S △BFG =45×23S △BCM =215,因为E 为BC 边上三等分点，所以EP:CM =1:3，所以EP:AB =1:6，所以BH:HP =6:1，所以BH:HM =6:15=2:5，所以BH:BM =2:7，又因为GM:GB =1:4，所以BH:BG =5:14，所以S △BEH =514×12S △BFG =142,因此，S 阴=215−142=23210.37. 如下图，P 是三角形ABC 内一点，DE 平行于AB ，FG 平行于BC ，HI 平行于CA ，四边形AIPD 的面积是12，四边形PGCH 的面积是15，四边形BEPF 的面积是20．请问：三角形ABC 的面积是多少？【答案】72【分析】当两个平行四边形的高相等时，它们底边的比等于面积比．考虑平行四边形BEPF 和AIPD ，分别以PE 和PD 为底边，它们的高相等，因此它们底边的比等于面积比，即EP PD=S 平行四边形BEPF S 平行四边形AIPD =2012=53．由于IH ∥AC ，所以EH HC=EP PD=53，转化为面积比：得到：S △PEH S 平行四边形PGCH=12×EH HC=12×53=56.而平行四边形PGCH 的面积是15，那么△PEH 的面积是15×56=252.类似的方法可以求出△FPI 和△DPG 的面积分别是8和92，因此这三个小三角形的面积分别是92、8、252，所以大△ABC 的面积就是12+15+20+92+8+252=72．38. 如下图，梯形的面积是48平方厘米，下底是上底的3倍，求阴影局部的面积．【答案】27平方厘米．【分析】上底与下底之比为1:3，由沙漏模型可知四个三角形的面积之比是1:3:3:9，那么阴影局部的面积是48÷(1+3+3+9)×9=27平方厘米.39. 如下图，三角形ABC 的面积为1平方厘米，D 、E 分别是AB 、AC 边的中点．求三角形OBC 的面积．【答案】13平方厘米．【分析】由D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，可知DE 与BC 平行，且DE =12BC ．如下列图所示，沙漏DEOBC 中，有OD OC =OE OB =DE BC =12. 把线段的比例关系转化为面积的比例关系，得到S △BOD =2S △DOE ,S △COE =2S △DOE ,S △BOC =2S △COE =4S △DOE ,那么梯形DECB 的面积就是(1+2+2+4)×S △DOE =9S △DOE .由于△ABC 的面积为1平方厘米，那么△ADE 的面积是14平方厘米．而梯形DECB 的面积是1−14=34(平方厘米).因此S △DOE =19×S 梯形BCDE =19×34=112(平方厘米),从而S △BOC =4S △DOE =4×112=13(平方厘米).40. 在图中的正方形中，A 、B 、C 分别是ED 、EG 、GF 的中点．请问：三角形CDO 的面积是三角形ABO 面积的几倍？【答案】3倍．【分析】不妨设正方形的边长是2，所以FC =CG =GB =BE =EA =AD =1.又A 、C 分别是所在边的中点，所以AC ∥GE ，即OA ∥BE ，由此可见OA 是△DBE 的中位线，有OA BE =12，所以△OAD 的面积是 12×1÷2=14. △AOB 的面积等于△BAD 的面积减去△AOD 的面积，等于1×1÷2−14=14.△COD 的面积等于△CAD 的面积减去△AOD 的面积，等于2×1÷2−14=34.由此可得，△CDO 的面积是△ABO 面积的3倍．41. 如图，将一个边长为2的正方形两边长分别延长1和3，割出图中的阴影局部，求阴影局部的面积是多少？ 【答案】130【分析】根据相似三角形的对应边成比例有：NF 1+2=32+3, EM 2+3=11+2, 那么NF =59,EM =53,所以S 阴=12×(2−95)×(2−53)=130.42. 如图，三角形PDM的面积是8平方厘米，长方形ABCD的长是6厘米，宽是4厘米，M是BC的中点，那么三角形APD的面积是平方厘米．【答案】8【分析】此题在矩形内连接三点构成一个三角形，而且其中一点是矩形某一条边的中点，一般需要通过这一点做垂线．取AD的中点N，连接MN，设MN交PD于K．那么三角形PDM被分成两个三角形，而且这两个三角形有公共的底边MK，可知三角形PDM的面积等于1 2×MK×BC=8(平方厘米),所以MK=83(厘米),那么NK=4−83=43(厘米).因为NK是三角形APD的中位线，所以AP=2×NK=83(厘米),所以三角形APD的面积为1 2×83×6=8(平方厘米).43. 如下图，正方形ABCD的边长是6，E点是BC的三等分点．△AOD的面积是多少？【答案】13.5．【分析】由沙漏模型，BE:AD=BO:OD=1:3,△AOB与△AOD等高，面积比为1:3，因此△AOD的面积为6×6÷2×34=13.5．44. 两盏4米高的路灯相距10米，有一个身高1.5米的同学行走在这两盏路灯之间，那么他的两个影子总长度是多少米？【答案】6【分析】根据题意画出如下图的图，延长FE与AC交于I，那么△AEI和△EFH以及△CEI和△EFG都能组成沙漏三角．不难看出，EI=4−1.5=2.5(米)．而在沙漏AIEFH中，又有AEEH =IEEF=2.51.5=53．在沙漏ACEGH中，有ACGH =AEEH=53．由此可知GH=35AC=35×10=6(米)，这就是两个影子的总长度．45. 如下图，梯形ABCD的上底AD长10厘米，下底BC长15厘米．如果EF与上、下底平行，那么EF的长度为多少？【答案】12厘米．【分析】在沙漏ADOBC中，OAOC =ADBC=23，于是AOAC=25〔如下图〕．由于EO∥BC，因此EOBC =AOAC=25，即EO=25×BC=25×15=6(厘米)．同理，OF也等于6厘米，所以EF=EO+OF=6+6=12(厘米)．46. 如图，长方形ABCD中，E、F分别为CD、AB边上的点，DE=EC，FB=2AF，求PM:MN:NQ．【答案】7:18:10【分析】如图，过E作AD的平行线交PQ于G．由于E是DC的中点，所以G是PQ的中点．由于DE=EC,FB=2AF,所以AF:DE=2:3,BF:CE=4:3.根据相似性，PM:MG=AM:ME=AF:DE=2:3,GN:NQ=EN:NB=EC:BF=3:4,于是PM=25 PG,MN=35PG+37GQ=3635PG,NQ=47GQ=47PG,所以PM:MN:NQ=25:3635:47=7:18:10.47. 如图，正方形ABCD的边长为4，F是BC边的中点，E是DC边上的点，且DE:EC=1:3，AF 与BE相交于点G，求S△ABG．【答案】3211【分析】方法一：连接AE，延长AF，DC两条线交于点M，构造出两个沙漏，所以有AB:CM=BF:FC=1:1,因此CM=4，根据题意有CE=3，再根据另一个沙漏有GB:GE=AB:EM=4:7,所以S△ABG=44+7S△ABE=411×(4×4÷2)=3211.方法二：连接AE,EF，分别求S△ABF=4×2÷2=4,S△AEF=4×4−4×1÷2−3×2÷2−4=7,根据蝴蝶定理S△ABF:S△AEF=BG:GE=4:7,所以S△ABG=44+7S△ABE=411×(4×4÷2)=3211.48. 如图，正方形ABCD的边长是6，E点是BC的中点，求△AOD的面积．【答案】12．【分析】连结DE，因为BE与AD之比是1:2，可如下图设份数，可知△AOD的面积是正方形面积的三分之一，是12．49. 如图：MN平行BC，S△MPN:S△BCP=4:9，AM=4cm，求BM的长度．【答案】2cm【分析】在沙漏模型中，因为S△MPN:S△BCP=4:9，所以MN:BC=2:3，在金字塔模型中有：AM:AB=MN:BC=2:3，因为AM=4cm，AB=4÷2×3=6cm，所以BM=6−4=2cm．50. 如图，线段AB与BC垂直，AD=EC=4，BD=BE=6，那么图中阴影局部面积是多少？【答案】15【分析】解法一：这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，不妨连接这个图形的对称轴看看．作辅助线BO，那么图形关于BO对称，有S△ADO=S△CEO,S△DBO=S△EBO,且S△ADO:S△DBO=4:6=2:3.设△ADO的面积为2份，那么△DBO的面积为3份，直角三角形ABE的面积为8份．因为S△ABE=6×10÷2=30,而阴影局部的面积为4份，所以阴影局部的面积为30÷8×4=15.解法二：连接DE、AC．由于AD=EC=4,BD=BE=6,所以DE∥AC，可知DE:AC=BD:BA=6:10=3:5,根据梯形蝴蝶定理，S△DOE:S△DOA:S△COE:S△COA=32:(3×5):(3×5):52=9:15:15:25,所以S阴影:S梯形ADEC=(15+15):(9+15+15+25)=15:32,即S阴影=1532S梯形ADEC;又S梯形ADEC =12×10×10−12×6×6=32,所以S阴影=1532S梯形ADEC=15.51. 如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为15厘米，AC被分为60等份．如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处〔DE平行AB〕，那么小玻璃管口径DE是多大？【答案】10厘米．【分析】有一个金字塔模型，所以DE:AB=DC:AC，DE:15=40:60，所以DE=10厘米．52. 在图中的正方形中，A，B，C分别是所在边的中点，△CDO的面积是△ABO面积的几倍？【答案】3【分析】连接BC，易知OA∥EF，可知OB:OD=AE:AD，且OA:BE=DA:DE=1:2，所以△CDO的面积等于△CBO的面积；由OA=12BE=14AC可得CO=3OA，所以S△CDO=S△CBO=3S△ABO，即△CDO的面积是△ABO面积的3倍．53. 如图，S △ABC =14，点D,E,F 分别在AB,BC,CA 上，且AD =2,BD =5,AF =FC ，S 四边形DBEF =S △ABE 那么S △ABE 是多少？【答案】10【分析】△ABC 的面积，假设知道△ABE 的面积占△ABC 的几分之几就可以计算出△ABE 的面积．连接CD ． 因为S 四边形DBEF =S △ABE , 所以S △DEF =S △ADE . 所以AC 与DE 平行，所以 S △ADE =S △CDE , 所以S △ABE =S △CDB . 因为AD =2，BD =5，所以 S △ACD :S △CDB =2:5, 所以S △ABB=S △CDB =5S △ABC 7=57×14=10.54. 如图，正方形ABCD 中E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形DEF 的面积是2，那么正方形ABCD 的面积是_________．【答案】12【分析】左边梯形ABED ，因为E 为BC 的中点，所以BE:AD =1:2所以BF:FD =1:2又因为三角形DEF 的面积是2所以三角形BEF 的面积是1，三角形ABF 的面积为2，三角形AFD 的面积为4而S △BED =S △DEC ，所以S △DEC =3S △ABCD =1+2+2+4+3=1255. 三角形ABC 的面积为a ，AF:FC =2:1，E 是BD 的中点，且EF ∥BC ，交CD 于G ，求阴影局部的面积． 【答案】a18【分析】AF:FC =2:1，且EF ∥BC ，可知EF:BC =AF:AC =2:3，所以EF =23BC ，且S △AEF :S △ABC =4:9．又因为E 是BD 的中点，所以EG 是三角形DBC 的中位线，那么EG =12BC ，EG:EF =12:23=3:4，所以GF:EF =1:4，可得S △CFG :S △AFE =1:8，所以S △CFG :S △ABC =1:18，那么S △CFG =a18． 56. 如下图，平行四边形ABED 与平行四边形AFCD 的面积都是30平方厘米．其中AF 垂直于ED于O ，AO 、OD 、AD 分别长3、4、5厘米．求三角形OEF 的面积和周长． 【答案】面积为13.5平方厘米，周长为18厘米． 【分析】平行四边形ABED 的面积等于AO ×DE =3×DE =30,由此可以求得DE =10,OE =6.平行四边形AFCD 的面积等于DO×AF=4×AF=30,由此可以求得AF=7.5,OF=4.5.那么△OEF的面积等于EO×OF÷2=6×4.5÷2=27÷2=13.5(平方厘米).由沙漏模型得AO:OF=AD:EF=2:3,那么EF=7.5.所以△OEF的周长为4.5+6+7.5=18(厘米).57. 如图，ABCD是直角梯形，AB=4,AD=5,DE=3，那么梯形ABCD的面积是多少？【答案】40【分析】分别计算△AOD,△AOB,△DOC,△BOC的面积，再求和．延长EO交AB于F点，可得DE:BF=DO:OB=3:1,所以S△AOD:S△AOB=3:1;S△DOC:S△BOC=3:1,S△AOD=S△BOC.又因为S△ABD=12×4×5=10,得到S△AOD=34S△ABD=7.5,S△AOB=2.5,S△BOC=7.5,S△DOC=3S△BOC=3×7.5=22.5.所以S梯形ABCD=7.5+2.5+7.5+22.5=40.58. 如下列图所示，三角形AEF、三角形BDF、三角形BCD都是正三角形，其中AE:BD=1:3，三角形AEF的面积是1．求阴影局部的面积．【答案】15【分析】S△AEF:S△BDF=AE2:BD2=1:9，△AEF面积是1，那么S△BDF=S△BDC=9，因为△AEF与△ACE的高之比是1:7，所以S△ACE=7，因为AD与BC平行，所以S△ABC=S△BCD=9，所以S△ABC:S△AEC=BI:IE=9:7．假设BE为16份，那么BI=9,IE=7，又知道BF:FE=3:1，所以BF=12,FE=4，所以IF= 3,S△AEF:S△AIF=FE:FI=4:3，所以S△AIF=0.75，又有S△AIF:S△BCI=AF2:BC2=1:9，所以S△BCI=6.75，于是可求阴影局部面积是(0.75+6.75)×2=15．59. 如下图，O是长方形ABCD一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积3和4，那么阴影直角三角形的面积是多少？【答案】318【分析】由S△AOD=4可知S△BCD=12×S长方形ABCD=12×4×S△AOD=8．而△CDF与△CDB从C出发的高相同，那么DFDB =S△CDFS△CDB=58．由于EF ∥CD ，把线段的比例转移到BC 上，那么有CE BC =DF DB =38，从而得到BE BC =1−38=58，所以阴影△BEF 的面积是△BCF 面积的58．于是阴影三角形的面积是58×S △BCF =58×(S △BCD −S △CDF )=58×(8−3)=258. 60. 如下图，在直角三角形ABC 中，AC 的长3厘米，CB 的长4厘米，AB 的长5厘米，有一只小虫从C 点出发，沿CB 以1厘米/秒的速度向B 爬行；另一只小虫从B 点出发，沿BA 以1厘米/秒的速度向A 爬行．请问经过多少秒后，两只小虫所在的位置D 、E 与B 组成的三角形DBE 是等腰三角形？〔请写出所有答案〕【答案】2秒、2013秒或3213秒．【分析】设经过了x 秒，那么BE =x 厘米，CD =x 厘米，两只小虫所在的位置D 、E 与B 组成的三角形DBE 是等腰三角形的情况有三种：〔1〕以B 为等腰三角形顶角所在的顶点，即BD =BE 〔如图1〕．这个最好算，BD =4−x ，BE =x ，故x =4−x ，解得x =2；〔2〕以E 为等腰三角形顶角所在的顶点，即ED =EB ，如图2，从E 向BD 作垂线，垂足为F ，在金字塔BEFAC 种，BE BA =BF BC ，即x 5=BF 4，所以BF =45x ．利用CD +DF +FB =4列出方程x +45x +45x =4，解得x =2013；〔或者利用△BEF 和△BAC 相似，得BE BF =54，即x BF =54，所以BF =45x 〕〔3〕以D 为等腰三角形顶角所在的顶点，即ED =DB ，如图3，从D 向AB 作垂线，垂足为F ，利用△BFD 和△BCA 相似得BF BD =45，即BF 4−x=45，所以BF =45(4−x)．利用BE =2BF 列出方程x =45(4−x)×2，解得x =3213．综上，经过2秒或2013秒或3213秒后，两只小虫所在的位置D 、E 与B 组成的三角形DBE 是等腰三角形．61. 如图，在长方形ABCD 中，AB =6厘米，AD =2厘米，AE =EF =FB ，求阴影局部的面积． 【答案】3.5平方厘米【分析】连接DE 、FC ，在梯形CDEF 中，由梯形根本结论知：EF:DC =EO:OC =1:3，S 长ABCD =6×2=12由一半模型得所以S △DEC =6又EO:OC =1:3，S △DEO =6×14=1.5〔平方厘米〕又S △ADE =2×2÷2=2〔平方厘米〕所以S 阴=2+1.5=3.5〔平方厘米〕62. 正方形ABCD ，过C 的直线分别交AB 、AD 的延长线于点E 、F ，且AE =10cm ，AF =15cm ，求正方形ABCD 的边长．【答案】6【分析】方法一：此题有两个金字塔模型，根据这两个模型有BC:AF =CE:EF,DC:AE =CF:EF,设正方形的边长为xcm ，所以有BC AF +DC AE =CE EF +CFEF=1, 即x 15+x 10=1, 解得x =6,所以正方形的边长为6cm ．方法二：或根据一个金字塔模型，列方程即x 10=15−x 15, 解得x =6.63. 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是________平方厘米．【答案】14【分析】EG:GC =EB:CD =1:2，所以EG =13EC ，S △EBG =12×12AB ×13BC =112×120=10连接BH ，设S △BGH ="1"，那么S △AGH ="2"，由燕尾模型知S △DHC ="3"，所以S △DGC ="5"，又因为S △DGC =4S △EBG =40，所以S △BGH =8，S BGHF =S △DBF −S △DGH =14S ▱ABCD −"2"=30−16=1464. 如图，在△ABC 中，有长方形DEFG ，G 、F 在BC 上，D 、E 分别在AB 、AC 上，AH 是△ABC 边BC 的高，交DE 于M ，DG:DE =1:2，BC =12厘米，AH =8厘米，求长方形的长和宽． 【答案】长和宽分别是487厘米，247厘米．【分析】观察图中有金字塔模型5个，用与边有关系的两个金字塔模型，所以DE BC =AD AB ,DG AH =BDAB, 所以有DE BC +DG AH =AD AB +BDAB=1, 设DG =x ，那么DE =2x ，所以有2x 12+x8=1, 解得x =247,2x =487,因此长方形的长和宽分别是487厘米，247厘米．65. 如下图，小高测出家里瓷砖的长为24厘米，宽为10厘米，而且还测出了边上的中间线段均为4厘米，那么中间菱形的面积是多少平方厘米？【答案】64【分析】利用平行线中的线段比例关系来计算．把瓷砖右下角的直角三角形标上字母〔如下图〕，同时过B 作BC ⊥AG 于C ，DE ⊥FG 于E ． 由于BC 与FG 平行，所以BC FG =AC AG =214=17, 因此BC =17×FG =17×7=1.由于DE 与AG 平行，所以DE AG =FE FG =27, 因此DE =27×AG =27×14=4.由此可得菱形的两条对角线分别为：24−4×2=16(厘米),10−1×2=8(厘米).那么菱形的面积就是16×8÷2=64(平方厘米).66. ABC为等边三角形，面积为400，D、E、F分别为三边的中点，甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．〔丙是三角形HBC〕【答案】43【分析】因为D、E、F分别为三边的中点，所以DE、DF、EF是三角形ABC的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN和三角形AMC的面积都等于三角形ABC的一半，即为200．根据图形的容斥关系，有S△ABC−S丙=S△ABN+S△AMC−S AMHN，即400−S丙=200+200−S AMHN，所以S丙=S AMHN．又S阴影+S△ADF=S甲+S乙+S AMHN，所以S阴影=S甲+S乙+S丙−S△ADF=143−14×400=43．67. 如下图，正六边形的面积是6，那么阴影局部的面积是多少？【答案】223【分析】方法一：连结阴影局部的对角线，如下图1．这条辅助线平分阴影局部，也正好把正六边形平分成两个等腰梯形．那么每个梯形的面积为6÷2=3.要求出阴影局部的面积，只需求出其中的一半即可．画出其中一个梯形，给它的各个顶点标上字母，如下图2，△BCD和△ABD是一对等高三角形，并且底边BC是AD的2倍，所以△BCD的面积是△ABD面积的2倍，于是△BCD面积为3×23=2.在沙漏ADOBC中，ODOB =12，所以S△BOC=23S△BDC=113.因此正六边形中的阴影局部面积为113×2=223.方法二：利用正六边形中的格点，将其分割，如下图3．观察图形可知，这时正六边形被分割成18个三角形，这些三角形面积全都相等．阴影局部由8个三角形组成，所以阴影局部面积为6÷18×8=22 3 .68. 边长为8厘米和12厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面积是多少平方厘米？【答案】16.2【分析】给图形标注字母，按顺时针方向标注，大正方形为ABCD，小正方形为MNDE，EB分别交AC,AD于O,H两点，AO:OC=AB:EC=12:20=3:5,AH:BC=AO:OC=3:5,所以。
高斯小学奥数五年级下册含答案第05讲_计数综合
第五讲计数综合从三年级开始到现在，我们已经学了很多有关计数的讲次，其中包括枚举法、加乘原理、排列组合、容斥原理等．我们先来做一个简单的小结和复习．枚举法是万能的方法，只要有足够多的时间和精力．并且往往在一些复杂棘手的题目中，别的方法都不能适用，此时就能体会到枚举法的“威力”．使用枚举法时一定要注意有序思考．．．．． 加法原理强调的是分类，计数时我们只需选择其中的某一类即可以满足要求，类与类之间可以相互替代．乘法原理强调的是分步，每一步只是整个事情的一部分，必须全部完成才能满足结论，缺一不可．在乘法原理中，步骤顺序的安排往往非常重要．排列与组合：排列的计算公式由乘法原理推导而来，组合的计算公式由排列公式推导而来．从n 个不同的元素中取出m 个（m n ≤），并按照一定的顺序排成一列，其方法数叫做从n 个不同元素中取出m 个的排列数，记作mn A ．()()()()!121!mn n A n n n n m n m ==⨯-⨯-⨯⨯-+-从n 个不同元素中取出m 个（m n ≤）作为一组（不计顺序），可选择的方法数叫做从n 个不同元素中取出m 个的组合数，记作mn C ．()()()()()121!121mmnnn n n n m A C m m m m ⨯-⨯-⨯⨯-+==⨯-⨯-⨯⨯在运用排列组合时，有特殊要求的我们往往优先考虑，有时还会用到“捆绑法”和“插空法”.我们今天主要来学习计数中的分类思想，以及正面分类和反面排除的合理选择． 分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题所给对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，将整体问题划分为局部问题，把复杂问题转化为单一问题，然后分而治之、各个击破，最后综合各类的结果得到整个问题的解答．例题1．五张卡片上分别写有0、1、2、3、5，每张卡片各用一次可以组成一些五位数．其中5的倍数有多少个？4的倍数有多少个？分析：一个数是5的倍数，它要满足什么条件？4的倍数呢？练习1．五张卡片上分别写有0、1、2、3、5，每张卡片只能用一次可以组成多少个三位偶数？例题2．（1）用2个1、2个2和1个3可以组成多少个不同的五位数？（2）用1个0、2个1和2个2可以组成多少个不同的五位数？（3）用1个0、2个1和2个2可以组成多少个不同的四位数？分析：先选好1的位置，再选好2的位置，最后选好3的位置，就可以组成五位数．那么有多少种不同的选法？练习2．（1）用1个1、1个2、2个3可以组成多少个不同的四位数？（2）用1个0、1个2、2个3可以组成多少个不同的四位数？（3）用1个0、1个2、2个3可以组成多少个不同的三位数？例题3．数1447、1225、1031有某些相同的特点，每一个数都是以1为首的四位数，且每个数恰好只有两个数字相同（1112，1222，1122这样的数不算），这样的数共有多少个？分析：根据题意可知这样的四位数由三种数字组成，其中有一种数字出现了2次．那么可以根据这个数字所在的数位来分类．练习3．用1、2、3、4这4个数字组成四位数，至多允许有1个数字重复一次．例如1234、1233和2434是满足条件的，而1212、3331和4444就是不满足条件的．那么，所有这样的四位数共有多少个？例题4和2468相加至少会发生一次进位的四位数有多少个？分析：和2486相加发生进位有好多种情况，比如发生一次进位、发生两次进位、发生三次进位等等，不同的类型太多了．这时不妨考虑下反面．练习4．和250相加至少会发生一次进位的三位数有多少个？例题5．有10名外语翻译，其中5名是英语翻译，4名日语翻译，另外1名英语和日语都很精通，从中找出7人，使他们可以组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另3人翻译日语，这两个小组能同时工作，则不同的分配方案共有多少种？分析：这个英语和日语都很精通的人很麻烦，应该优先考虑他．例题6．将右图中的“○”分别用四种颜色染色，只要求有实线段连接的两个相邻的“○”都涂成不同的颜色，共有多少种涂法？如果还要求虚线段连接的两个“○”也涂成不同的颜色，共有多少种涂法？分析：染色时顺序很重要，要遵循“前不影响后”的原则．四色定理四色定理指出每个可以画出来的无飞地地图（飞地是指与本土不相连的土地）都可以至多用4种颜色来上色，而且没有两个相邻的区域会是相同的颜色．被称为相邻的两个区域是指它们共有一段边界，而不是一个点．这一定理最初是由Francis Guthrie在1853年提出的猜想．很明显，3种颜色不会满足条件，而且也不难证明5种颜色满足条件且绰绰有余．但是，直到1977年四色猜想才最终由Kenneth Appel 和Wolfgang Haken证明．他们得到了J. Koch在算法工作上的支持．证明方法将地图上的无限种可能情况减少为1,936种状态（稍后减少为1,476种），这些状态由计算机一个挨一个的进行检查．这一工作由不同的程序和计算机独立的进行了复检．在1996年，Neil Robertson、Daniel Sanders、Paul Seymour和Robin Thomas使用了一种类似的证明方法，检查了633种特殊的情况．这一新证明也使用了计算机，如果由人工来检查的话是不切实际的．四色定理是第一个主要由计算机证明的理论，这一证明并不被所有的数学家接受，因为它不能由人工直接验证．最终，人们必须对计算机编译的正确性以及运行这一程序的硬件设备充分信任．参见实验数学．缺乏数学应有的规范成为了另一个方面；以至于有人这样评论“一个好的数学证明应当像一首诗——而这纯粹是一本电话簿！”虽然四色定理证明了任何地图可以只用四种颜色着色，但是这个结论对于现实中的应用却相当有限．现实中的地图常会出现飞地，即两个不相连的土地属于同一个国家的情况（例如美国的阿拉斯加州），而制作地图时我们仍会要求这两个区域被涂上同样的颜色，在这种情况下，四个颜色将会是不够用的．作业1. 计算：（1） 38C =_________； （2） 48A =_________； （3） 810C =_________； （4） 012345555555C C C C C C +++++=_________． 作业2. 王老师家装修新房，需要2个木匠和2个电工．现有木匠3人、电工4人，另有1人既能做木匠也能做电工．要从这8人中挑选出4人完成这项工作，共有多少种不同的选法？作业3. 用2个3、3个1和1个0可以组成多少个不同的六位数？ 作业4. 用2个5、1个2和1个0可以组成多少个不同的三位数？ 作业5. 与1357相加会发生进位的四位数有多少个？第五讲计数综合例题1.答案：42，18详解：5的倍数分为两类，末位是5的有332118⨯⨯⨯=个，末位是0的有432124⨯⨯⨯=个，共42个．4的倍数：末两位是20的有6个，末两位是12的有4个，末两位是32的有4个，末两位是52的有4个，共有18个．例题2.答案：（1）30；（2）24；（3）24详解：（1）先给1选位置，再给2选位置，再给3选位置，共可组成22153130C C C⨯⨯=个不同的五位数．（2）先给0选位置，再给1选位置，再给2选位置，共可组成12244224C C C⨯⨯=个不同的五位数．（3）注意这个地方是要组成四位数，所以有一个数字不会用到．如果有1个1没用，可以组成1213319C C C⨯⨯=个不同的四位数；如果有1个2没用，可以组成1213319C C C⨯⨯=个不同的四位数；如果0没有用，可以组成6个不同的四位数．一共可以组成24个不同的四位数．例题3.答案：432详解：按重复的数字是不是1可以分成两类，若重复的数字是1，则有1239216C A⨯=个，若重复的数字不是1，则有121938216C C C⨯⨯=个，一共是432个．例题4.答案：8661详解：一共有9000个四位数．考虑与2468相加不会进位的四位数，个位可以是0~1，有2种可能；十位可以是0~3，有4种可能；百位可以是0~5，有6种可能；千位可以是1．~7，有7种可能．那么这样的四位数有2467336⨯⨯⨯=个．那么至少会发生一次进位的四位数有90003368664-=个．例题5.答案：90详解：按“自由人”的归属来分类：不选这个“自由人”，有435420C C⨯=种；让“自由人”翻译英语，有335440C C⨯=种；让“自由人”翻译日语，有425430C C⨯=种；一共是90种．例题6.答案：432，336详解：如果不考虑虚线，有432332432⨯⨯⨯⨯⨯=种涂法．如果考虑虚线，先染四边形顶点上的四个“○”，有84种染法，然后再染剩下的2个“○”，有8422336⨯⨯=种染法．练习1.答案：21简答：末尾数字可以是0或2．末尾数字是0的三位偶数有43112⨯⨯=个，末尾数字是2的三位偶数有3319⨯⨯=个，一共有21个．练习2.答案：（1）12；（2）9；（3）9简答：（1）11243212C C C⨯⨯=；（2）1123329C C C⨯⨯=；（3）4个数字中有一个没有被选．如果没有选0，有12323C C⨯=个．如果没有选2，有12222C C⨯=个．如果没有选的是3，有1112214C C C⨯⨯=个．一共有9个．练习3.答案：168简答：根据相同数字所在的位置来分类即可．练习4.答案：550简答：所有的三位数有900个，其中与250相加不会发生进位的有7510350⨯⨯=个，那么会发生进位的有900350550-=个． 作业1.答案：（1）56；（2）1680；（3）45；（4）32简答：略． 作业2.答案：48简答：根据既能做木匠又能做电工那个人的挑选情况分类讨论，可以分三类：没有选，做电工和做木匠． 作业3.答案：50简答：123553C C C 50⨯⨯=． 作业4.答案：9简答：如果三位数中不含有0，有23C 3=个；如果含有0，剩下的两个数字可能是2个5，也有可能是1个5和1个2，共有246+=个．一共可以组成9个不同的三位数． 作业5.答案：8160简答：利用反面排除的方法，900087538160-⨯⨯⨯=．。
小学奥数--几何模型分类总结汇总版(鸟头、燕尾、风筝、一般模型等)
小学奥数--几何模型分类总结汇总版(鸟头、燕尾、风筝、一般模型等)目录模型一——《等积变换》一、知识点梳理二、例题精讲三、自我提升模型一——《等积变换》一、知识点梳理等积变换是指平面图形在平移、旋转、翻折、错位四种变换中，不改变其面积大小的变换。
在等积变换中，图形的各个部分相对位置关系保持不变，因此，等积变换也称为等面积变换或保角变换。
在等积变换中，我们需要掌握以下几个概念：1.平移：指图形沿着某一方向移动一段距离，保持图形大小和形状不变。
2.旋转：指图形绕某一点旋转一定角度，保持图形大小和形状不变。
3.翻折：指图形沿着某一直线对称，保持图形大小和形状不变。
4.错位：指图形中的各个部分按照一定规律移动，保持图形大小和形状不变。
二、例题精讲例1：如图，正方形ABCD经过变换后得到图形A'B'C'D'，则该变换是什么变换？解析：首先，我们可以看出图形A'B'C'D'与正方形ABCD的形状相同，因此，该变换是等积变换。
其次，我们可以发现，图形A'B'C'D'是将正方形ABCD逆时针旋转了90度得到的，因此，该变换是旋转变换。
例2：如图，图形ABCD经过变换得到图形A'B'C'D'，则该变换是什么变换？解析：首先，我们可以看出图形A'B'C'D'与图形ABCD的形状相同，因此，该变换是等积变换。
其次，我们可以发现，图形A'B'C'D'是将图形ABCD沿着直线EF翻折得到的，因此，该变换是翻折变换。
三、自我提升1.如果一个图形经过等积变换后，其面积大小发生了改变，那么这个变换是什么变换？2.如果一个图形经过等积变换后，其形状发生了改变，那么这个变换是什么变换？3.如果一个图形经过等积变换后，其面积大小和形状都没有发生改变，那么这个变换是什么变换？四、答案与解析本部分为题目的答案和解析，帮助读者检验自己的答题情况和巩固知识点。
小学奥数题库《几何》-直线型-金字塔和沙漏模型-0星题(含解析)
几何-直线型几何-金字塔和沙漏模型-0星题课程目标知识提要金字塔和沙漏模型• 金字塔模型CD CA =CE CB =DEAB • 沙漏模型AB CD =AO DO =BO CO 精选例题金字塔和沙漏模型1. ABCD 是平行四边形，面积为72平方厘米，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，那么图中阴影局部的面积为平方厘米．【答案】48【分析】方法一：设G 、H 分别为AD 、DC 的中点，连接GH 、EF 、BD ． 可得 S △AED =14S 平行四边形ABCD , 对角线BD 被EF 、AC 、GH 平均分成四段，又OM ∥ EF ，所以 DO:ED =24BD:34BD =2:3, OE:ED =(ED −OD ):ED =(3−2):3=1:3, 所以S △AEO =13×14S 平行四边形ABCD =13×14×72=6(平方厘米), S △ADO =2×S △AEO =12(平方厘米).同理可得S △CFM =6(平方厘米),S △CDM =12(平方厘米).所以S△ABC−S△AEO−S△CFM=36−6−6=24(平方厘米),于是，阴影局部的面积为24+12+12=48(平方厘米).方法二：寻找图中的沙漏，AE:CD=AO:OC=1:2,FC:AD=CM:AM=1:2,因此O,M为AC的三等分点，S△ODM=16S平行四边形ABCD=16×72=12(平方厘米),S△AEO=14S△OCD=14×12×2=6(平方厘米),同理S△FMC=6(平方厘米),所以S阴影=72−12−6−6=48(平方厘米).2. 如图，△ABC中，DE，FG，MN，PQ，BC互相平行，AD=DF=FM=MP=PB，那么S△ADE:S四边形DEGF :S四边形FGNM:S四边形MNQP:S四边形PQCB=．【答案】1:3:5:7:9【分析】设S△ADE=1份，S△ADE:S△AFG=AD2:AF2=1:4，因此S△AFG=4份，进而有S四边形DEGF =3份，同理有S四边形FGNM=5份，S四边形MNQP=7份，S四边形PQCB=9份．所以有S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGNM:S四边形MNQP:S四边形PQCB=1:3:5:7:9.3. 图中的大小正方形的边长均为整数〔厘米〕，它们的面积之和等于52平方厘米，那么阴影局部的面积是平方厘米．【答案】10.8【分析】设大、小正方形的边长分别为m厘米、n厘米〔m>n〕，那么m2+n2=52,所以m<8.假设m⩽5，那么m2+n2<52×2=50<52,不合题意，所以m只能为6或7．检验可知只有m=6、n=4满足题意，所以大、小正方形的边长分别为6厘米和4厘米．根据相似三角形性质，BG:GF=AB:FE=6:4=3:2,而BG+GF=6,得BG=3.6(厘米),所以阴影局部的面积为：1 2×6×3.6=10.8(平方厘米).4. 如图，DE平行BC，假设AD:DB=2:3，那么S△ADE:S△ECB=．【答案】4:15【分析】根据金字塔模型AD:AB=AE:AC=DE:BC=2:(2+3)=2:5，S△ADE:S△ABC= 22:52=4:25，设S △ADE =4份，那么S △ABC =25份，S △BEC =25÷5×3=15份，所以S △ADE :S △ECB =4:15．5. 如图，DE 平行BC ，BO:EO =3:2，那么AD:AB =．【答案】2:3【分析】由沙漏模型得BO:EO =BC:DE =3:2，再由金字塔模型得AD:AB =DE:BC =2:3．6. 梯形ABCD 的面积为12，AB =2CD ，E 为AC 的中点，BE 的延长线与AD 交于F ，四边形CDFE 的面积是．【答案】83【分析】延长BF 、CD 相交于G ．由于E 为AC 的中点，根据相似三角形性质，CG =AB =2CD, GD =12GC =12AB, 再根据相似三角形性质，AF:FD =AB:DG =2:1, GF:GB =1:3,而S △ABD :S △BCD =AB:CD =2:1,所以 S △BCD =13S ABCD =13×12=4, S △GBC =2S △BCD =8.又S △GDF S △GBC =12×13=16, S △EBC =12S △GBC , 所以S CDFE =(1−12−16)S △GBC =13S △GBC =83. 7. 如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，且图中两个阴影局部〔甲和乙〕的面积差是5.04，那么S △ABC =．【答案】20.16【分析】由于D ，E 都是中点，那么BC =2DE ，设DE 为1份，那么BC 为2份，根根据梯形中的蝴蝶模型，得到甲是1份，乙是4份，两个翅膀都是2份，由此可推出△ADE 为3份，且每份为5.04÷(4−1)=1.68,所以S △ABC =1.68×(3+1+4+2+2)=20.168. 如图，△ABC 中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD =DF =FB ，那么S △ADE :S 四边形DEGF :S 四边形FGCB =．【答案】1:3:5【分析】设S △ADE =1份，根据面积比等于相似比的平方，所以S △ADE :S △AFG =AD 2:AF 2=1:4，S △ADE :S △ABC =AD 2:AB 2=1:9，因此S △AFG =4份，S △ABC =9份，进而有S 四边形DEGF =3份，S 四边形FGCB =5份，所以S △ADE :S 四边形DEGF :S 四边形FGCB =1:3:5．9. 如下列图所示，三角形田地中有两条小路AE 和CF ，交叉处为D ．张大伯常走这两条小路，他知道DF =DC ，且AD =2DE ．那么两块田地ACF 和CFB 的面积比是．【答案】1:2【分析】方法一：如下列图所示，ACF 和CFB 为同高三角形，所以面积比等于底边比AF:FB ． 过F 作BC 的平行线，交AE 于G ，那么因为DF =DC ，所以三角形CED 和FGD 全等，GD =DE ．又因为AD =2DE ，所以D 和G 是AE 的三等分点，所以AF:FB =AG:GE =1:2．方法二：如下列图所示，连接BD ，设S △CED =1(份)，那么S △ACD =S △ADF =2(份)． 设S △BED =x,S △BFD =y ，那么有{x +1=y 2x =y +2，解得{x =3y =4． 所以S △ACF :S △CFB =(2+2):(4+3+1)=1:2．10. 在下列图中，线段AE 、FG 将长方形ABCD 分成了四块；其中两块的面积分别是2平方厘米、11平方厘米，且E 是BC 的中点，O 是AE 的中点．请问长方形ABCD 的面积是平方厘米．【答案】28【分析】如下列图所示，延长AE 、DC 交于点H ．由于E 是BC 的中点，由AB ∥CH ，有AE:EH =BE:EC =1:1，由于O 是AE 中点，那么AO:OH =1:3．由AF ∥GH ，有S △AOF :S △GOH =12:32=1:9．所以，S △GOH =2×9=18(平方厘米)，那么S △CEH =18−11=7(平方厘米)．所以，S 平行四边形ABCD =4S △ABE =4S △CEH =4×7=28(平方厘米)．11. 如下列图所示，将边长8厘米和12厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面积是平方厘米．【答案】43.2【分析】给图中标上字母，如下列图．根据沙漏模型OC OF =BC EF =812=23．所以OF =12×32+3=7.2(厘米)．S △EFO =7.2×12÷2=43.2(平方厘米)． 12. 如图，△ABC 中，AE =14AB ，AD =14AC ，ED 与BC 平行，△EOD 的面积是1平方厘米．那么△AED 的面积是平方厘米．【答案】53 【分析】因为AE =14AB ，AD =14AC ，ED 与BC 平行，根据相似模型可知ED:BC =1:4，EO:OC =1:4，S △COD =4S △EOD =4平方厘米，那么S △CDE =4+1=5平方厘米，又因为S △AED :S △CDE =AD:DC =1:3，所以S △AED =5×13=53(平方厘米)．13. 如图，四边形ABCD 和EFGH 都是平行四边形，四边形ABCD 的面积是16，BG:GC =3:1，那么四边形EFGH 的面积=．【答案】3【分析】因为FGHE 为平行四边形，所以EC ∥AG ，所以AGCE 为平行四边形．BG:GC =3:1，那么GC:BC =1:4，所以S 平行四边形AGCE =14×S 平行四边形ABCD =14×16=4．又AE=GC，所以AE:BG=GC:BG=1:3，根据沙漏模型，FG:AF=BG:AE=3:1，所以S平行四边形FGHE =34S平行四边形AGCE=34×4=3．14. 正六边形A1,A2,A3,A4,A5,A6的面积是2009平方厘米，B1,B2,B3,B4,B5,B6分别是正六边形各边的中点．请问下列图中阴影六边形的面积是平方厘米．【答案】1148【分析】方法一：如下左图，连接A1A3,A1G,A6A3，过B6做A6A3的平行线B6E，交A1A3于E．因为空白的面积等于△A2A3G面积的6倍，所以关键求△A2A3G的面积，在△A1A2A3中用燕尾模型时，需要知道A1D,A3D的长度比，根据沙漏模型得A1D=DE，再根据金字塔模型得A1E=A3E，因此A1D:A3D=1:3，在△A1A2A3中，设S△A1A2G =1份，那么S△A2A3G=3份，S△A3A1G =3份，所以S△A2A3G=37S△A1A2A3=37×13×12S正六边形=114S正六边形，因此S阴影=(1−114×6)S正六边形=47×2009=1148(平方厘米)．方法二：既然给的图形是特殊的正六边形，且阴影也是正六边形，我们可以用上图的割补思路，把正六边形分割成14个大小形状相同的梯形，其中阴影有8个梯形，所以阴影面积为8 14×2009=1148(平方厘米)．15. 如图，三角形ABC的面积为60平方厘米，D、E、F分别为各边的中点，那么阴影局部的面积是平方厘米．【答案】12.5【分析】阴影局部是一个不规那么的四边形，不方便直接求面积，可以将其转化为两个三角形的面积之差．而从图中来看，既可以转化为△BEF与△EMN的面积之差，又可以转化为△BCM 与△CFN的面积之差．〔法一〕如图，连接DE．由于D、E、F分别为各边的中点，那么BDEF为平行四边形，且面积为三角形ABC面积的一半，即30平方厘米；那么△BEF的面积为平行四边形BDEF面积的一半，为15平方厘米．根据几何五大模型中的相似模型，由于DE为三角形ABC的中位线，长度为BC的一半，那么EM:BM=DE:BC=1:2,所以EM=13 EB;EN:FN=DE:FC=1:1,所以EN=12 EF.那么△EMN的面积占△BEF面积的12×13=16，所以阴影局部面积为15×(1−16)=12.5(平方厘米).〔法二〕如图，连接AM．根据燕尾定理，S△ABM:S△BCM=AE:EC=1:1,S△ACM:S△BCM=AD:DB=1:1,所以S△BCO=13S△ABC=13×60=20(平方厘米),而S△BDC=12S△ABC=12×60=30(平方厘米),S △FCN =14S △BDC =7.5(平方厘米), 那么阴影局部面积为20−7.5=12.5(平方厘米).【总结】求三角形的面积，一般有三种方法：〔1〕利用面积公式：底×高÷2；〔2〕利用整体减去局部；〔3〕利用比例和模型．16. 在图中的正方形中，A 、B 、C 分别是ED 、EG 、GF 的中点．请问：三角形CDO 的面积是三角形ABO 面积的几倍？【答案】3倍．【分析】不妨设正方形的边长是2，所以FC =CG =GB =BE =EA =AD =1.又A 、C 分别是所在边的中点，所以AC ∥GE ，即OA ∥BE ，由此可见OA 是△DBE 的中位线，有OA BE =12，所以△OAD 的面积是 12×1÷2=14. △AOB 的面积等于△BAD 的面积减去△AOD 的面积，等于 1×1÷2−14=14. △COD 的面积等于△CAD 的面积减去△AOD 的面积，等于 2×1÷2−14=34. 由此可得，△CDO 的面积是△ABO 面积的3倍．17. 如下图，梯形ABCD 的面积是50，下底长是上底长的1.5倍，阴影三角形的面积是多少？【答案】18．【分析】上底与下底的长度比为2:3，设△OCD 面积是4份，那么△AOD 与△BOC 的面积均为6份，△ABO 的面积为9份，总面积为50，故一份所对应的面积为2，那么△ABO 的面积为18．18. 如图，平行四边形ABCD 的面积是12,DE =13AD,AC 与BE 的交点为F ，那么图中阴影局部面积是多少？【答案】4.4．【分析】AE:BC =2:3，设份数可知ABCD 为30份，△AEF 为4份，阴影局部占11份，面积为4.4．19. 正方形ABCD ，过C 的直线分别交AB 、AD 的延长线于点E 、F ，且AE =10cm ，AF =15cm ，求正方形ABCD 的边长．【答案】6【分析】方法一：此题有两个金字塔模型，根据这两个模型有BC:AF =CE:EF,DC:AE =CF:EF,设正方形的边长为xcm ，所以有 BC AF +DC AE =CE EF +CF EF =1, 即 x 15+x 10=1,x=6,所以正方形的边长为6cm．方法二：或根据一个金字塔模型，列方程即x 10=15−x15,解得x=6.20. 如下图，梯形的面积是48平方厘米，下底是上底的3倍，求阴影局部的面积．【答案】27平方厘米．【分析】上底与下底之比为1:3，由沙漏模型可知四个三角形的面积之比是1:3:3:9，那么阴影局部的面积是48÷(1+3+3+9)×9=27平方厘米.21. 如下列图，D、E、F、G均为各边的三等分点，线段EG和DF把三角形ABC分成四局部，如果四边形FOGC的面积是24平方厘米，求三角形ABC的面积．【答案】40.5【分析】设三角形以AB为底的高为ℎ，由于FG:AB=2:3,所以ED:FG=1:2;所以三角形OGF以GF为底的高是1 3ℎ×23=29ℎ;又因为三角形CFG以FG为底的高是23ℎ，所以三角形OGF的面积与三角形CGF的面积之比为29ℎ:23ℎ=1:3,所以三角形CFG的面积为24×33+1=18(平方厘米),而三角形CFG的面积占三角形ABC的23×23=49，所以三角形ABC的面积是18÷49=40.5(平方厘米).22. 如下图，正方形ABCD面积为1，E、F分别是BC和DC的中点，DE与BF交于M点，DE与AF 交于N点，那么阴影三角形MFN的面积是多少？【答案】130【分析】如下列图，延长AF、BC交于点G，在沙漏ADNEG中，AD:EG=2:3，所以DN:NE=2:3，故DN=25DE．如下列图，延长BF、AD交于点H，在沙漏DHMBE中，DH:BE=2:1，所以DM:ME=2:1，故ME=13DE．所以NM=(1−25−13)DE=415DE，故S△MFN=415S△DFE=415×12×S△DCE=415×12×14=130.23. 如图，长方形ABCD中，E、F分别为CD、AB边上的点，DE=EC，FB=2AF，求PM:MN:NQ．【答案】7:18:10【分析】如图，过E作AD的平行线交PQ于G．由于E是DC的中点，所以G是PQ的中点．由于DE=EC,FB=2AF,所以AF:DE=2:3,BF:CE=4:3.根据相似性，PM:MG=AM:ME=AF:DE=2:3,GN:NQ=EN:NB=EC:BF=3:4,于是PM=25 PG,MN=35PG+37GQ=3635PG,NQ=47GQ=47PG,所以PM:MN:NQ=25:3635:47=7:18:10.24. 如图，DE平行BC，且AD=2，AB=5，AE=4，求AC的长．【答案】10【分析】由金字塔模型得AD:AB=AE:AC=DE:BC=2:5，所以AC=4÷2×5=10．25. 如图，正方形ABCD中E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形DEF的面积是2，那么正方形ABCD的面积是_________．【答案】12【分析】左边梯形ABED，因为E为BC的中点，所以BE:AD=1:2所以BF:FD=1:2又因为三角形DEF的面积是2所以三角形BEF的面积是1，三角形ABF的面积为2，三角形AFD的面积为4而S△BED=S△DEC，所以S△DEC=3S△ABCD=1+2+2+4+3=1226. 如图：MN平行BC，S△MPN:S△BCP=4:9，AM=4cm，求BM的长度．【答案】2cm【分析】在沙漏模型中，因为S△MPN:S△BCP=4:9，所以MN:BC=2:3，在金字塔模型中有：AM:AB=MN:BC=2:3，因为AM=4cm，AB=4÷2×3=6cm，所以BM=6−4=2cm．27. 如图，正方形ABCD的边长是6，E点是BC的中点，求△AOD的面积．【答案】12．【分析】连结DE，因为BE与AD之比是1:2，可如下图设份数，可知△AOD的面积是正方形面积的三分之一，是12．28. 在图中的正方形中，A，B，C分别是所在边的中点，△CDO的面积是△ABO面积的几倍？【答案】3【分析】连接BC，易知OA∥EF，可知OB:OD=AE:AD，且OA:BE=DA:DE=1:2，所以△CDO的面积等于△CBO的面积；由OA=12BE=14AC可得CO=3OA，所以S△CDO=S△CBO=3S△ABO，即△CDO的面积是△ABO面积的3倍．29. 如下列图，正方形ABCD的面积为1，M是CD边的中点，E,F是BC边上的两点，且BE= EF=FC．连接AE,DF分别交BM分别于H,G．求四边形EFGH的面积．【答案】23210【分析】过M点做MQ平行于BC交FD于Q，过E点做EP交BM于P，那么因为M为CD的中点，所以QM:FC=1:2，所以QM:BF=1:4，所以GM:GB=1:4，所以BG:BM=4:5，又因为BF:BC=2:3，所以S△BFG=45×23S△BCM=215,因为E为BC边上三等分点，所以EP:CM=1:3，所以EP:AB=1:6，所以BH:HP=6:1，所以BH:HM=6:15=2:5，所以BH:BM=2:7，又因为GM:GB=1:4，所以BH:BG=5:14，所以S△BEH=514×12S△BFG=142,因此，S 阴=215−142=23210.30. 如图，EF与BC平行，AF:FB=1:2．AE=2,EF=3，那么CE的长度是多少？AC的长度是多少？BC的长度是多少？【答案】4,6,9．【分析】AFFB =AEEC=12，可求出CE=4,AC=6,EFBC=AFAB=13，可求出BC=9．31. 如下图，在正方形ABCD中，E,F分别是BC,CD的中点，正方形ABCD的面积为60平方厘米，求阴影局部的面积．【答案】10平方厘米．【分析】由条件知，BE=AD=1:2，那么BG:GD=1:2,BG=13BD，同理，DF:AB=1:2，那么DH:HB=1:2,DH=13BD，由此可得，GH=13BD，阴影局部面积为60÷2÷3=10平方厘米．32. 如图，将一个边长为2的正方形两边长分别延长1和3，割出图中的阴影局部，求阴影局部的面积是多少？【答案】130【分析】根据相似三角形的对应边成比例有：NF 1+2=3 2+3,EM 2+3=1 1+2,那么NF=59,EM=53,所以S 阴=12×(2−95)×(2−53)=130.33. 如右图，长方形ABCD中，EF=16，FG=9，求AG的长．【答案】15【分析】因为DGGB =AGGE=AG25，且DGGB=FGGA=9AG，所以AG25=9AG即AG2=25×9=225，所以AG=15．34. 下列图中正方形的面积为1，E、F分别为AB、BD的中点，GC=13FC．求阴影局部的面积．【答案】524【分析】题中条件给出的都是比例关系，由此可以初步推断阴影局部的面积要通过比例求解，而图中出现最多的就是三角形，那么首先想到的就是利用相似三角形的性质．阴影局部为三角形，底边为正方形边长的一半，只要求出高，便可求出面积．可以作FH垂直BC于H，GI垂直BC于I．根据相似三角形性质，CI:CH=CG:CF=1:3,又因为CH=HB,所以CI:CB=1:6,即BI:BC=(6−1):6=5:6,所以S△BGE=12×12×56=524.35. 如下图，小高测出家里瓷砖的长为24厘米，宽为10厘米，而且还测出了边上的中间线段均为4厘米，那么中间菱形的面积是多少平方厘米？【答案】64【分析】利用平行线中的线段比例关系来计算．把瓷砖右下角的直角三角形标上字母〔如下图〕，同时过B作BC⊥AG于C，DE⊥FG于E．由于BC与FG平行，所以BC FG =ACAG=214=17,因此BC=17×FG=17×7=1.由于DE与AG平行，所以DE AG =FEFG=27,因此DE=27×AG=27×14=4.由此可得菱形的两条对角线分别为：24−4×2=16(厘米),10−1×2=8(厘米).那么菱形的面积就是16×8÷2=64(平方厘米).36. 如图，线段AB与BC垂直，AD=EC=4，BD=BE=6，那么图中阴影局部面积是多少？【答案】15【分析】解法一：这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，不妨连接这个图形的对称轴看看．作辅助线BO，那么图形关于BO对称，有S△ADO=S△CEO,S△DBO=S△EBO,且S△ADO:S△DBO=4:6=2:3.设△ADO的面积为2份，那么△DBO的面积为3份，直角三角形ABE的面积为8份．因为S△ABE=6×10÷2=30,而阴影局部的面积为4份，所以阴影局部的面积为30÷8×4=15.解法二：连接DE、AC．由于AD=EC=4,BD=BE=6,所以DE∥AC，可知DE:AC=BD:BA=6:10=3:5,根据梯形蝴蝶定理，S△DOE:S△DOA:S△COE:S△COA=32:(3×5):(3×5):52=9:15:15:25,所以S阴影:S梯形ADEC=(15+15):(9+15+15+25)=15:32,即S阴影=1532S梯形ADEC;又S梯形ADEC =12×10×10−12×6×6=32,所以S阴影=1532S梯形ADEC=15.37. 如图，长方形ABCD中，E为AD的中点，AF与BE、BD分别交于G、H，OE垂直AD于E，交AF于O，AH=5cm，HF=3cm，求AG．【答案】4013cm【分析】由于AB∥DF，利用相似三角形性质可以得到AB:DF=AH:HF=5:3,又因为E为AD中点，那么有OE:FD=1:2,所以AB:OE=5:32=10:3,利用相似三角形性质可以得到AG:GO=AB:OE=10:3,而AO=12AF=12×(5+3)=4(cm),所以AG=4×1013=4013(cm).38. 如下图，梯形ABCD 的上底AD 长10厘米，下底BC 长15厘米．如果EF 与上、下底平行，那么EF 的长度为多少？【答案】12厘米．【分析】在沙漏ADOBC 中，OA OC =AD BC =23，于是AO AC =25〔如下图〕． 由于EO ∥BC ，因此EO BC=AO AC=25，即EO =25×BC =25×15=6(厘米)．同理，OF 也等于6厘米，所以EF =EO +OF =6+6=12(厘米)．39. 如下图，三角形ABC 中，DE 与BC 平行，且AD:DB =5:2，求AE:EC 及DE:BC ．【答案】5:2，5:7【分析】根据金字塔模型的结论即可直接得出答案．40. 三角形ABC 的面积为a ，AF:FC =2:1，E 是BD 的中点，且EF ∥BC ，交CD 于G ，求阴影局部的面积． 【答案】a18【分析】AF:FC =2:1，且EF ∥BC ，可知EF:BC =AF:AC =2:3，所以EF =23BC ，且S △AEF :S △ABC =4:9．又因为E 是BD 的中点，所以EG 是三角形DBC 的中位线，那么EG =12BC ，EG:EF =12:23=3:4，所以GF:EF =1:4，可得S △CFG :S △AFE =1:8，所以S △CFG :S △ABC =1:18，那么S △CFG =a18．41. 如图，三角形ABC 是一块锐角三角形余料，边BC =120毫米，高AD =80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？【答案】48【分析】观察图中有金字塔模型5个，用与边有关系的两个金字塔模型，所以有PN BC =AP AB ,PH AD =BPAB, 设正方形的边长为x 毫米，PN BC +PH AD =AP AB +BPAB=1, 即x 120+x 80=1, 解得x =48即正方形的边长为48毫米．42. 如图，在△ABC 中，有长方形DEFG ，G 、F 在BC 上，D 、E 分别在AB 、AC 上，AH 是△ABC 边BC 的高，交DE 于M ，DG:DE =1:2，BC =12厘米，AH =8厘米，求长方形的长和宽． 【答案】长和宽分别是487厘米，247厘米．【分析】观察图中有金字塔模型5个，用与边有关系的两个金字塔模型，所以DE BC =AD AB ,DG AH =BDAB, 所以有DE BC +DG AH =AD AB +BDAB=1, 设DG =x ，那么DE =2x ，所以有2x 12+x8=1, 解得x =247,2x =487, 因此长方形的长和宽分别是487厘米，247厘米．43. 如下图，在三角形ABC 中，IF 和BC 平行，GD 和AB 平行，HE 和AC 平行．AG:GF:FC =4:3:2，那么AH:HI:IB 和BD:DE:EC 分别是多少？【答案】AH:HI:IB =3:4:2，BD:DE:EC =4:2:3．【分析】〔1〕因为AG:GF:FC =4:3:2，所以AF:FC =7:2． 又因为IF ∥BC ，所以AI:IB =AF:FC =7:2． 因为GD ∥AB ，所以GF:AG =OF:IO =3:4． 由上可得AH:HI:IB =3:4:2．〔2〕因为AG:GF:FC =4:3:2，所以AG:GC =4:5． 又因为GD ∥AB ，所以BD:DC =AG:GC =4:5．因为GF:FC =3:2，IF ∥BC ，所以OD:GO =FC:GF =2:3． 又因为HE ∥AC ，所以DE:EC =OD:GO =2:3． 由上可得BD:DE:EC =4:2:3．44. 图中ABCD 是边长为12cm 的正方形，从G 到正方形顶点C 、D 连成一个三角形，这个三角形在AB 上截得的EF 长度为4cm ，那么三角形GDC 的面积是多少？【答案】108cm 2【分析】做GM 垂直DC 于M ，交AB 于N ．因为EF ∥DC ，所以三角形GEF 与三角形GDC 相似，且为EF:DC =4:12=1:3,所以GN:GM =1:3,又因为MN =GM −GN =12,所以GM =18(cm),所以三角形GDC 的面积为12×12×18=108(cm 2). 45. 如图，平行四边形ABCD 的面积是90．E 点是AB 上靠近A 点的三等分点，求阴影局部的面积． 【答案】33．【分析】由沙漏模型知，BE:CD =BO:OD =EO:OC =2:3，设△OBE 的面积为4份，那么△OBC 的面积为6份，△OCD 的面积为9份，△OBC 的面积与△OCD 的面积之和为整个四边形面积的一半，因此四边形的面积为30份，总面积为90，那么一份对应面积为3，阴影局部占了11份，面积为33．46. 如图，直角三角形ABC 中，AB =4,BC =6，又知BE:EC =1:3，求∠CDE 的面积． 【答案】6.75．【分析】由金字塔模型知DE:AB =CE:CB =3:4那么DE=4×34=3又知道CE=6×34=4.5可求出△CDE的面积为3×4.5÷2=6.7547. 如图，D是BC中点，E是CD的中点，F是AC的中点．三角形ABC由①～⑥这6局部组成，其中②比⑤多6平方厘米．那么三角形ABC的面积是多少平方厘米？【答案】48【分析】因为E是DC中点，F为AC中点，有AD=2FE且EF平行于AD，那么四边形ADEF为梯形．在梯形ADEF中有③=④，②×⑤=③×④，②:⑤=AD2:FE2=4．又②−⑤=6，所以⑤=6÷(4−1)=2，②=⑤×4=8，所以②×⑤=④×④=16，而③=④，所以③=④=4，梯形ADEF的面积为②、③、④、⑤四块图形的面积和，为8+4+4+2=18．有△CEF与△ADC的面积比为CE平方与CD平方的比，即为1:4．所以△ADC面积为梯形ADEF面积的44−1=43，即为18×43=24．因为D是BC中点，所以△ABD与△ADC的面积相等，而△ABC的面积为△ABD、△ADC的面积和，即为24+24=48(平方厘米)．三角形ABC的面积为48平方厘米．48. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=16，AD=10，BE=4，那么FC的长度是多少？【答案】8【分析】图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为AB平行于CD，所以BF:FC=BE:CD=4:16=1:4，所以FC=10×41+4=8．49. 如下图，边长为8厘米和12厘米的两个正方形并排放在一起，求图中阴影局部的面积．【答案】45平方厘米．【分析】由条件知，GF:BE=12:20=3:5，由沙漏模型知GO:OE=3:5，那么△GOF与△EOF的面积之比也是3:5,△OEF的面积为12×12÷2×58=45平方厘米．50. 如下图，正方形ABCD的边长是6，E点是BC的三等分点．△AOD的面积是多少？【答案】13.5．【分析】由沙漏模型，BE:AD=BO:OD=1:3,△AOB与△AOD等高，面积比为1:3，因此△AOD的面积为6×6÷2×34=13.5．51. 如下图，图中的两个正方形的边长分别是10和6，那么阴影局部的面积是多少？【答案】40013．【分析】AHHG =ADBG=58，那么△ABH与△BGH的面积是10×16÷2×513=40013．52. 如下图，P是三角形ABC内一点，DE平行于AB，FG平行于BC，HI平行于CA，四边形AIPD 的面积是12，四边形PGCH的面积是15，四边形BEPF的面积是20．请问：三角形ABC的面积是多少？【答案】72【分析】当两个平行四边形的高相等时，它们底边的比等于面积比．考虑平行四边形BEPF 和AIPD ，分别以PE 和PD 为底边，它们的高相等，因此它们底边的比等于面积比，即EPPD =S 平行四边形BEPF S 平行四边形AIPD =2012=53．由于IH ∥AC ，所以EH HC=EP PD=53，转化为面积比：得到：S △PEH S 平行四边形PGCH=12×EH HC=12×53=56.而平行四边形PGCH 的面积是15，那么△PEH 的面积是15×56=252.类似的方法可以求出△FPI 和△DPG 的面积分别是8和92，因此这三个小三角形的面积分别是92、8、252，所以大△ABC 的面积就是12+15+20+92+8+252=72．53. 如下图，DE 与BC 平行，AD =4,BD =5,DE =16，那么BC 的长度是多少？【答案】36．【分析】由金字塔模型，AD:AB =DE:BC =4:9,DE =16，那么BC =36．54. 如下图，DE 与BC 平行，AD =4,BD =5,△ADE 的面积为32，那么四边形DECB 面积是多少？ 【答案】130．【分析】AD:AB =4:9，那么AE:AC =4:9,△ADE 是△ABC 面积的1681，那么△ABC 的面积是162，四边形DEBC 的面积为130．55. △ABC 中，DE 平行BC ，假设AD:DB =2:3，且S 梯形DBCE 比S △ADE 大8.5 cm 2，求S △ABC ． 【答案】12.5cm 2【分析】根据金字塔模型AD:AB =DE:BC =2:(2+3)=2:5,S △ADE :S △ABC =22:52=4:25,设S △ADE =4份，那么S △ABC=25份，S 梯形DBCE =25−4=21份，S 梯形DBCE 比S △ADE 大17份，恰好是8.5 cm 2，所以S △ABC =12.5cm 2．56. 如图，测量小玻璃管口径的量具ABC ，AB 的长为15厘米，AC 被分为60等份．如果小玻璃管口DE 正好对着量具上20等份处〔DE 平行AB 〕，那么小玻璃管口径DE 是多大？【答案】10厘米．【分析】有一个金字塔模型，所以DE:AB =DC:AC ，DE:15=40:60，所以DE =10厘米． 57. 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是________平方厘米．【答案】14【分析】EG:GC =EB:CD =1:2，所以EG =13EC ，S △EBG =12×12AB ×13BC =112×120=10连接BH ，设S △BGH ="1"，那么S △AGH ="2"，由燕尾模型知S △DHC ="3"，所以S △DGC ="5"，又因为S △DGC =4S △EBG =40，所以S △BGH =8，S BGHF =S △DBF −S △DGH =14S ▱ABCD −"2"=30−16=1458. 三角形ADE 的面积为3平方厘米，D 是AB 边的三等分点〔靠近A 点〕，且DE 与BC 平行．请求出三角形OBC 的面积为多少平方厘米？【答案】13.5平方厘米．【分析】由金字塔模型知，AD:AB =DE:BC =1:3，设△ODE 的面积为1份，那么△ODB 的面积为3份，△OEC 的面积为3份，△OBC 的面积为9份，又因为△ADE 与△DEC 等高，可知△ADE 的面积为2份，由此可知△OBC 的面积为3÷2×9=13.5平方厘米．59. 两盏4米高的路灯相距10米，有一个身高1.5米的同学行走在这两盏路灯之间，那么他的两个影子总长度是多少米？【答案】6【分析】根据题意画出如下图的图，延长FE 与AC 交于I ，那么△AEI 和△EFH 以及△CEI 和△EFG 都能组成沙漏三角．不难看出，EI =4−1.5=2.5(米)．而在沙漏AIEFH 中，又有AE EH =IE EF =2.51.5=53． 在沙漏ACEGH 中，有ACGH =AEEH =53．由此可知GH =35AC =35×10=6(米)，这就是两个影子的总长度．60. 如图，ABCD 是直角梯形，AB =4,AD =5,DE =3，那么梯形ABCD 的面积是多少？ 【答案】40【分析】分别计算△AOD,△AOB,△DOC,△BOC 的面积，再求和． 延长EO 交AB 于F 点， 可得DE:BF =DO:OB =3:1,所以S △AOD :S △AOB =3:1; S △DOC :S △BOC =3:1, S △AOD =S △BOC .又因为S △ABD =12×4×5=10,得到S △AOD =34S △ABD =7.5,S △AOB =2.5,S △BOC =7.5, S △DOC =3S △BOC =3×7.5=22.5.所以S 梯形ABCD =7.5+2.5+7.5+22.5=40.61. 如图，O 是矩形一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为3和4，那么阴影局部的一块直角三角形的面积是多少？ 【答案】258 【分析】连接OB ， 由可得 S △OEB =4−3=1, 所以 OE:EA =1:3,可以得到CE:CA =5:8,由三角形相似可得阴影局部面积为8×(58)2=258.62. 如下列图所示，三角形AEF 、三角形BDF 、三角形BCD 都是正三角形，其中AE:BD =1:3，三角形AEF 的面积是1．求阴影局部的面积．【答案】15【分析】S △AEF :S △BDF =AE 2:BD 2=1:9，△AEF 面积是1，那么S △BDF =S △BDC =9，因为△AEF 与△ACE 的高之比是1:7，所以S △ACE =7，因为AD 与BC 平行，所以S △ABC =S △BCD =9，所以S △ABC :S △AEC =BI:IE =9:7．假设BE 为16份，那么BI =9,IE =7，又知道BF:FE =3:1，所以BF =12,FE =4，所以IF =3,S △AEF :S △AIF =FE:FI =4:3，所以S △AIF =0.75，又有S △AIF :S △BCI =AF 2:BC 2=1:9，所以S △BCI =6.75，于是可求阴影局部面积是(0.75+6.75)×2=15．63. 如图，在长方形ABCD 中，AB =6厘米，AD =2厘米，AE =EF =FB ，求阴影局部的面积． 【答案】3.5平方厘米【分析】连接DE 、FC ，在梯形CDEF 中，由梯形根本结论知：EF:DC =EO:OC =1:3，S 长ABCD =6×2=12由一半模型得所以S △DEC =6又EO:OC =1:3，S △DEO =6×14=1.5〔平方厘米〕又S △ADE =2×2÷2=2〔平方厘米〕所以S 阴=2+1.5=3.5〔平方厘米〕 64. 如下图，平行四边形ABED 与平行四边形AFCD 的面积都是30平方厘米．其中AF 垂直于ED于O ，AO 、OD 、AD 分别长3、4、5厘米．求三角形OEF 的面积和周长．【答案】面积为13.5平方厘米，周长为18厘米． 【分析】平行四边形ABED 的面积等于AO ×DE =3×DE =30,由此可以求得DE =10,OE =6.平行四边形AFCD 的面积等于DO ×AF =4×AF =30,由此可以求得AF =7.5,OF =4.5.那么△OEF 的面积等于EO ×OF ÷2=6×4.5÷2=27÷2=13.5(平方厘米).由沙漏模型得AO:OF =AD:EF =2:3,那么EF =7.5.所以△OEF 的周长为4.5+6+7.5=18(厘米).65. 如下图，三角形ABC 的面积为1平方厘米，D 、E 分别是AB 、AC 边的中点．求三角形OBC 的面积．【答案】13平方厘米．【分析】由D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，可知DE 与BC 平行，且DE =12BC ． 如下列图所示，沙漏DEOBC 中，有OD OC =OE OB =DE BC =12. 把线段的比例关系转化为面积的比例关系，得到S △BOD =2S △DOE ,S △COE =2S △DOE ,S △BOC =2S △COE =4S △DOE ,那么梯形DECB 的面积就是(1+2+2+4)×S △DOE =9S △DOE .由于△ABC 的面积为1平方厘米，那么△ADE 的面积是14平方厘米．而梯形DECB 的面积是1−14=34(平方厘米).因此S △DOE =19×S 梯形BCDE =19×34=112(平方厘米), 从而S △BOC =4S △DOE =4×112=13(平方厘米). 66. 如下图，O 是长方形ABCD 一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积3和4，那么阴影直角三角形的面积是多少？ 【答案】318【分析】由S △AOD =4可知S △BCD =12×S 长方形ABCD =12×4×S △AOD =8．而△CDF 与△CDB 从C 出发的高相同，那么DFDB =S△CDF S △CDB=58．由于EF ∥CD ，把线段的比例转移到BC 上，那么有CE BC =DF DB =38，从而得到BE BC =1−38=58，所以阴影△BEF 的面积是△BCF 面积的58．于是阴影三角形的面积是58×S △BCF =58×(S △BCD −S △CDF )=58×(8−3)=258. 67. 如图，三角形PDM 的面积是8平方厘米，长方形ABCD 的长是6厘米，宽是4厘米，M 是BC 的中点，那么三角形APD 的面积是平方厘米．【答案】8【分析】此题在矩形内连接三点构成一个三角形，而且其中一点是矩形某一条边的中点，一般需要通过这一点做垂线．取AD 的中点N ，连接MN ，设MN 交PD 于K ．那么三角形PDM 被分成两个三角形，而且这两个三角形有公共的底边MK ，可知三角形PDM 的面积等于12×MK ×BC =8(平方厘米), 所以MK =83(厘米),那么NK =4−83=43(厘米).因为NK 是三角形APD 的中位线，所以AP =2×NK =83(厘米),所以三角形APD 的面积为12×83×6=8(平方厘米). 68. 长方形ABCD 的面积为70厘米，E 是AD 的中点，F 、G 是BC 边上的三等分点，求阴影△EHO 的面积是多少平方厘米？【答案】3 【分析】因为E 是AD 的中点，F 、G 是BC 边上的三等分点，由此可以说明如果把长方形的长分成6份的话，那么ED =AD =3(份)、BF =FG =GC =2(份),在图形中找到沙漏EDOBG ：有ED:BG =3:4,所以OD:BO =3:4,相当于把BD 分成7份〔3+4〕，同理也可以在图中再次找到沙漏EDHBF ，ED:BF =3:2,由此可以推出：HD:BH =3:2,相当于把BD 分成5份〔3+2〕，那么我们就可以把BD 分成35份〔5和7的最小公倍数〕其中OD 占15份，BH 占14份，HO 占6份，连接EB 那么可知△BED 的面积为70÷4=352,在BD 为底的三角形中HO 占6份，那么面积为：352×635=3(平方厘米). 69. 如下图，平行四边形ABCD 的面积是1，E 、F 是AB 、AD 的中点，BF 交EC 于M ，求△BMG 的面积． 【答案】130【分析】解法一：由题意可得，E 、F 是AB 、AD 的中点，得EF ∥BD ，而FD:BC =FH:HC =1:2, EB:CD =BG:GD =1:2.所以CH:CF =GH:EF =2:3,并得G 、H 是BD 的三等分点，可得BG =GH ，所以BG:EF =BM:MF =2:3,所以BM =25BF,S △BFD =12S △ABD =12×12S 平行四边形ABCD =14;又因为BG =13BD,所以S △BMG =13×25×S △BFD =13×25×14=130.解法二：延长CE 交DA 于I ，如下列图， 可得，AI:BC =AE:EB =1:1,从而可以确定M 的点的位置，BM:MF =BC:IF =2:3,BM =25BF,BG =13BD可得S △BMG =25×13S △BDF =25×13×14S 平行四边形ABCD =130.70. 边长为8厘米和12厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面积是多少平方厘米？。
小学奥数题库《几何》-直线型-金字塔和沙漏模型-1星题(含解析)
几何-直线型几何-金字塔和沙漏模型-1星题课程目标知识提要金字塔和沙漏模型•金字塔模型CDCA =CECB=DEAB•沙漏模型ABCD =AODO=BOCO精选例题金字塔和沙漏模型1. 如图，DE平行BC，BO:EO=3:2，那么AD:AB=．【答案】2:3【分析】由沙漏模型得BO:EO=BC:DE=3:2，再由金字塔模型得AD:AB=DE:BC=2:3． 2. 如图，DE平行BC，假设AD:DB=2:3，那么S△ADE:S△ECB=．【答案】4:15【分析】根据金字塔模型AD:AB=AE:AC=DE:BC=2:(2+3)=2:5，S△ADE:S△ABC= 22:52=4:25，设S△ADE=4份，那么S△ABC=25份，S△BEC=25÷5×3=15份，所以S△ADE:S△ECB=4:15． 3. 如图，△ABC中，DE，FG，MN，PQ，BC互相平行，AD=DF=FM=MP=PB，那么S△ADE:S四边形DEGF :S四边形FGNM:S四边形MNQP:S四边形PQCB=．【答案】1:3:5:7:9【分析】设S△ADE=1份，S△ADE:S△AFG=AD2:AF2=1:4，因此S△AFG=4份，进而有S四边形DEGF =3份，同理有S四边形FGNM=5份，S四边形MNQP=7份，S四边形PQCB=9份．所以有S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGNM:S四边形MNQP:S四边形PQCB=1:3:5:7:9.4. 如图，△ABC中，DE，FG，BC互相平行，AD=DF=FB，那么S△ADE:S四边形DEGF :S四边形FGCB=．【答案】1:3:5【分析】设S△ADE=1份，根据面积比等于相似比的平方，所以S△ADE:S△AFG=AD2:AF2=1:4，S△ADE:S△ABC=AD2:AB2=1:9，因此S△AFG=4份，S△ABC=9份，进而有S四边形DEGF =3份，S四边形FGCB=5份，所以S△ADE:S四边形DEGF :S四边形FGCB=1:3:5．5. 如下列图所示，将边长8厘米和12厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面积是平方厘米．【答案】43.2【分析】给图中标上字母，如下列图．根据沙漏模型OCOF =BCEF=812=23．所以OF=12×32+3=7.2(厘米)．S△EFO=7.2×12÷2=43.2(平方厘米)．6. 如图，△ABC中，AE=14AB，AD=14AC，ED与BC平行，△EOD的面积是1平方厘米．那么△AED的面积是平方厘米．【答案】53【分析】因为AE=14AB，AD=14AC，ED与BC平行，根据相似模型可知ED:BC=1:4，EO:OC=1:4，S△COD=4S△EOD=4平方厘米，那么S△CDE=4+1=5平方厘米，又因为S△AED:S△CDE=AD:DC=1:3，所以S△AED=5×13=53(平方厘米)．7. 如图，四边形ABCD和EFGH都是平行四边形，四边形ABCD的面积是16，BG:GC=3:1，那么四边形EFGH的面积=．【答案】3【分析】因为FGHE为平行四边形，所以EC∥AG，所以AGCE为平行四边形．BG:GC=3:1，那么GC:BC=1:4，所以S平行四边形AGCE =14×S平行四边形ABCD=14×16=4．又AE=GC，所以AE:BG=GC:BG=1:3，根据沙漏模型，FG:AF=BG:AE=3:1，所以S平行四边形FGHE =34S平行四边形AGCE=34×4=3．8. 如图，DE平行BC，且AD=2，AB=5，AE=4，求AC的长．【答案】10【分析】由金字塔模型得AD:AB=AE:AC=DE:BC=2:5，所以AC=4÷2×5=10．9. 如图，正方形ABCD的边长是6，E点是BC的中点，求△AOD的面积．【答案】12．【分析】连结DE，因为BE与AD之比是1:2，可如下图设份数，可知△AOD的面积是正方形面积的三分之一，是12．10. 如图：MN平行BC，S△MPN:S△BCP=4:9，AM=4cm，求BM的长度．【答案】2cm【分析】在沙漏模型中，因为S△MPN:S△BCP=4:9，所以MN:BC=2:3，在金字塔模型中有：AM:AB=MN:BC=2:3，因为AM=4cm，AB=4÷2×3=6cm，所以BM=6−4=2cm．11. 图中ABCD 是边长为12cm 的正方形，从G 到正方形顶点C 、D 连成一个三角形，这个三角形在AB 上截得的EF 长度为4cm ，那么三角形GDC 的面积是多少？【答案】108cm 2【分析】做GM 垂直DC 于M ，交AB 于N ．因为EF ∥DC ，所以三角形GEF 与三角形GDC 相似，且为EF:DC =4:12=1:3,所以GN:GM =1:3,又因为MN =GM −GN =12,所以GM =18(cm),所以三角形GDC 的面积为 12×12×18=108(cm 2). 12. 如图，测量小玻璃管口径的量具ABC ，AB 的长为15厘米，AC 被分为60等份．如果小玻璃管口DE 正好对着量具上20等份处〔DE 平行AB 〕，那么小玻璃管口径DE 是多大？【答案】10厘米．【分析】有一个金字塔模型，所以DE:AB =DC:AC ，DE:15=40:60，所以DE =10厘米．13. 两盏4米高的路灯相距10米，有一个身高1.5米的同学行走在这两盏路灯之间，那么他的两个影子总长度是多少米？【答案】6【分析】根据题意画出如下图的图，延长FE 与AC 交于I ，那么△AEI 和△EFH 以及△CEI 和△EFG 都能组成沙漏三角．不难看出，EI =4−1.5=2.5(米)．而在沙漏AIEFH 中，又有AE EH =IE EF =2.51.5=53．在沙漏ACEGH 中，有AC GH =AE EH =53． 由此可知GH =35AC =35×10=6(米)，这就是两个影子的总长度． 14. 如图，在△ABC 中，有长方形DEFG ，G 、F 在BC 上，D 、E 分别在AB 、AC 上，AH 是△ABC 边BC 的高，交DE 于M ，DG:DE =1:2，BC =12厘米，AH =8厘米，求长方形的长和宽．【答案】长和宽分别是487厘米，247厘米．【分析】观察图中有金字塔模型5个，用与边有关系的两个金字塔模型，所以DE BC =AD AB ,DG AH =BD AB , 所以有DE BC +DG AH =AD AB +BD AB =1, 设DG =x ，那么DE =2x ，所以有2x 12+x 8=1, 解得x =247,2x =487,因此长方形的长和宽分别是487厘米，247厘米． 15. 如图，在平行四边形ABCD 中，AB =16，AD =10，BE =4，那么FC 的长度是多少？【答案】8【分析】图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为AB 平行于CD ，所以BF:FC =BE:CD =4:16=1:4，所以FC =10×41+4=8．16. 如下图，三角形ABC 中，DE 与BC 平行，且AD:DB =5:2，求AE:EC 及DE:BC ．【答案】5:2，5:7【分析】根据金字塔模型的结论即可直接得出答案．17. 如图，将一个边长为2的正方形两边长分别延长1和3，割出图中的阴影局部，求阴影局部的面积是多少？【答案】130 【分析】根据相似三角形的对应边成比例有：NF 1+2=32+3, EM 2+3=11+2, 那么 NF =59,EM =53, 所以S 阴=12×(2−95)×(2−53)=130. 18. 正方形ABCD ，过C 的直线分别交AB 、AD 的延长线于点E 、F ，且AE =10cm ，AF =15cm ，求正方形ABCD 的边长．【答案】6【分析】方法一：此题有两个金字塔模型，根据这两个模型有BC:AF =CE:EF,DC:AE =CF:EF,设正方形的边长为xcm ，所以有 BC AF +DC AE =CE EF +CF EF =1, 即 x 15+x 10=1, 解得x =6,所以正方形的边长为6cm ．方法二：或根据一个金字塔模型，列方程即x 10=15−x 15, 解得x =6.19. 在图中的正方形中，A ，B ，C 分别是所在边的中点，△CDO 的面积是△ABO 面积的几倍？【答案】3【分析】连接BC ，易知OA ∥EF ，可知OB:OD =AE:AD ，且OA:BE =DA:DE =1:2，所以△CDO 的面积等于△CBO 的面积；由OA =12BE =14AC 可得CO =3OA ，所以S △CDO =S △CBO =3S △ABO ，即△CDO 的面积是△ABO 面积的3倍．20. 如右图，长方形ABCD 中，EF =16，FG =9，求AG 的长．【答案】15【分析】因为DG GB =AG GE =AG 25，且DG GB =FG GA =9AG ，所以AG 25=9AG 即AG 2=25×9=225，所以AG =15．21. 如图，O 是矩形一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为3和4，那么阴影局部的一块直角三角形的面积是多少？【答案】258 【分析】连接OB ，由可得S △OEB =4−3=1, 所以OE:EA =1:3, 可以得到CE:CA =5:8,由三角形相似可得阴影局部面积为8×(58)2=258. 22. 如图，正方形ABCD 中E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形DEF 的面积是2，那么正方形ABCD 的面积是_________．【答案】12【分析】左边梯形ABED ，因为E 为BC 的中点，所以BE:AD =1:2所以BF:FD =1:2又因为三角形DEF 的面积是2所以三角形BEF 的面积是1，三角形ABF 的面积为2，三角形AFD 的面积为4而S △BED =S △DEC ，所以S △DEC =3S △ABCD =1+2+2+4+3=1223. △ABC 中，DE 平行BC ，假设AD:DB =2:3，且S 梯形DBCE 比S △ADE 大8.5 cm 2，求S △ABC ．【答案】12.5cm 2【分析】根据金字塔模型AD:AB =DE:BC =2:(2+3)=2:5, S △ADE :S △ABC =22:52=4:25,设S △ADE =4份，那么S △ABC=25份，S 梯形DBCE =25−4=21份，S 梯形DBCE 比S △ADE 大17份，恰好是8.5 cm 2，所以S △ABC =12.5cm 2．24. 如图，三角形ABC 是一块锐角三角形余料，边BC =120毫米，高AD =80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？【答案】48【分析】观察图中有金字塔模型5个，用与边有关系的两个金字塔模型，所以有 PN BC =AP AB ,PH AD =BP AB , 设正方形的边长为x 毫米，PN BC +PHAD=APAB+BPAB=1,即x 120+x80=1,解得x=48即正方形的边长为48毫米．25. 如图，在长方形ABCD中，AB=6厘米，AD=2厘米，AE=EF=FB，求阴影局部的面积．【答案】3.5平方厘米【分析】连接DE、FC，在梯形CDEF中，由梯形根本结论知：EF:DC=EO:OC=1:3，S长ABCD =6×2=12由一半模型得所以S△DEC=6又EO:OC=1:3，S△DEO=6×14=1.5〔平方厘米〕又S△ADE=2×2÷2=2〔平方厘米〕所以S阴=2+1.5=3.5〔平方厘米〕。
五大模型(3)蝴蝶与沙漏模型
小崔说事儿
蝴蝶定理
梯形蝴蝶模型
沙漏模型
五大模型（3）
蝴蝶与沙漏模型
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【例1】★★
如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6.92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？
【例2】★★★(06年南京智力数学冬令营)
如下图，梯形ABCD的AB平行于CD，对角线AC，BD交于O，已知△AOB与△BOC的面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是多少平方厘米。
【例3】★★★(2007年“迎春杯”高年级初赛)
如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为_____平方厘米。
【例4】★★★
如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5，四边形2的面积为36，则三角形1的面积为________．
【例5】★★★(08年三帆中学考题)
右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是多少平方厘米。
【例6】★★★★
如右图，正方形ABCD的面积是a，正三角形△BPC的面积是b，求阴影△BPD的面积。
【例7】★★★★★
如下图，在梯形ABCD中，与CD平行，且CD＝2AB，点E、F分别是AD和BC的中点，已知阴影四边形EMFN的面积是54平方厘米，则梯形ABCD的面积是多少平方厘米。
崔氏三十六计
崔氏三十六计之崔氏三步法
必杀技：分片，数份，算数
本周阴题。
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沙漏模型及平行线分线段成比例定理
一、沙漏模型
两条线段相交且有一组边平行的图形称为沙漏模型（平行相似），如图所示：
A
性质1
. （通过三角形相似可证）
性质2
.
性质3
. 证明：过点D 作CA 的平行线交BA 的延长线于点G ，过点O 作AB 的平行线交DG 于点H ，如图所示：
四边形DGAC 是平行四边形
，
二、平行线分线段成比例定理
两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段成比例.
如图所示，直线AC、FD被AF、BE、CD
所截，则
证明：连接AE、BF、CE、BD，如图所示：
练习题
1. 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，面积为72，点E、F分别为边AB、BC的中点，
求图中阴影部分的面积？
B
2. 如图所示，四边形ABCD为正方形且面积为1
，点E、F分别为AB、BD的中点, ，
求阴影部分面积？
E
3. 如图所示，正方形ABCD的面积为120，E是AB的中点，F是BC的中点，求四边形BGHF 的面积是多少？
E
参考答案1. 【解答】48
【解析】由沙漏模型可得M、N是
AC的三等分点，
2. 【解答】
【解析】过点F作FH⊥BC垂足为H，过点G作GI⊥BC垂足为I，如图所示：
E
由沙漏模型可得
，
又
，
，
.
3. 【解答】14
【解析】延长CE 交DA 的延长线于点M ，如图所示：。