树和二叉树

数据项 left v right
4、将一棵有100个结点的完全二叉树从根结点这一层开始，每一层从左到右依次对 结点进行编号，根结点的编号为1，则编号为49的结点的左孩子的编号为[ ] A 98 B 99 C 97 D 50 5、有n个结点并且其高度为n的二叉树的数目是[ ]
A、n B、 2n C、 2n-1 D、 2(n-1)
6、 (NOIP8)设有一棵k叉树，其中只有度为0和k两种 结点，设n 0 ，n k ，分别表示度为0和度为k的结点个 数，试求出n 0 和n k之间的关系（n 0 = 数学表达式， 数学表达式仅含n k 、k和数字）。 7、（noip18 多选题）一棵二叉树一共有19个节点， 其叶子节点可能有（）个。 A.1 B.9 C.10 D.11
(a)
(b)
4、二叉树的三个主要性质 性质1：在二叉树的第i（≥1）层上，最多有2i-1个结点 性质2：在深度为k(k≥1)的二叉树中最多有2k-1个结点。 性质3：在任何二叉树中，叶子结点数总比度为2的结点多1。
n0=n2+1
(设n0为二叉树的叶结点数；n2为二叉树中度为2的结点数)
设 n0 为二叉树的叶结点数； n1 为二叉树中度为 1 的结点数； n2为二叉树中度为2的结点数，显然 n=n0+n1+n2 （1） 由于二叉树中除了根结点外，其余每个结点都有且仅有一 个分支进入。设 b为二叉树的分支个数， n=b+1 （2）
所有这些分支同时又为度为1和度为2的结点发出的。因此 又有 b=n1+2n2 (3)
（3）代入（2）得出
n=n0+n1+n2 n=b+1 b=n1+2n2 n=n1+2n2+1 （1） （2） (3) (4)
比较（ 1 ）和（ 4 ），得出 n0=n2+1, 即叶子数比度为 2 的结 点数多1
性质3的推广：
(2),(3)代入（1）得出：
N0 =N2+2N3+3N4+…..+(M-1)NM+1
初赛真题1：
1、(NOIP9)一个高度为h 的二叉树最小元素数目（ ）。 A） 2h+1 B） h C） 2h-1 D） 2h E） 2h-1
2、(NOIP8)按照二叉数的定义，具有3个结点的二叉树有（ ）种。
A ） 3 B） 4 C） 5 D ） 6 3、(NOIP7).一棵二叉树的高度为h，所有结点的度为0，或为2，则此树最少有( 个结点 A)2h-1 B)2h-1 C)2h+1 D)h+1 )
应用：
1） 对二叉树从1进行连续编号，要求每个结点的编号大于其左 右孩子的编号，同一结点的左右孩子中，其左孩子的编号小于 其右孩子的 编号，则可以采取( )次序的遍历方法。 A 先序 B中序 C后序 D从根开始的层次
2）写出二叉树后序遍历序 列
初赛真题2：
1.（noip16）完全二叉树的顺序存储方案， 是指将完全二叉 树的结点从上至下、 从左至右一次存放到一个顺序结构的数 组中。假定根结点存放在数组的 1 号位置，则第 K 号结点的 父结点如果存在的话，应当存放在数组的（ ）号位置。
5、森林
所谓森林，是指若干棵互不相交的树的集合。如图去掉根 结点 A ，其原来的三棵子树 Tb ，Tc ， Td 的集合 {Tb ， Tc ， Td} 就为 森林，这三棵子树的具体形态如图（c）。
6、有序树和无序树 按照树中同层结点是否保持有序性，可 将树分为有序树和无序树。 (1)如果树中同层结点从左而右排列，其 次序不容互换，这样的树称为有序树； (2)如果同层结点的次序任意，这样的树 称为无序树。
⑶前序遍历右子树；
abdehicfg
2、中序遍历： LDR 中序遍历的规则如下： 若二叉树为空，则退出；否则 ⑴中序遍历左子树；
⑵访问处理根结点；
⑶中序遍历右子树； dbheiafcg
3、后序遍历： LRD 后序遍历的规则如下： 若二叉树为空，则退出；否则 ⑴后序遍历左子树； ⑵后序遍历右子树； ⑶访问处理根结点； dhiebfgca
8.（noip19）已知一棵二叉树有2013个节点，则其中 至多有（ ）个节点有2个子节点。 A. 1006 B.1007 C.1023 D.1024
二叉树的编号应用
例 1.小球下落(uva679)
有一棵二叉树，最大深度为n，且所有叶子的深度都相 同。所有结点从上到下从左到右编号为1,2,3，…,2n-1。 在结点1处放一个小球，它会往下落。每个内结点上都有 一个开关，初始全部关闭，当每次有小球落到一个开关上 时，状态都会改变。当小球到达一个内结点时，如果该结 点上的开关关闭，则先打开开关，然后往左走；否则先关 闭开关然后往右走，直到走到叶子结点。 例如，对于如下深度为4的满二叉树，其结点编号为 1,2,3…，15.初始全部关闭。则第一球经过的结点编号为 1,2,4,8.第二个球经过的结点编号为1,3,6,12.第三个球经过 的结点为1,2,5,10.
如果一棵m度的树中有N1个度为1的顶点，N2个度为2的顶 点，N3个度为3的顶点，……，Nm个度为m的顶点，求该树中叶 子顶点个数。
分析：设叶子结点数为N0
所有结点数为n，边数(分支）为b，则有： n=b+1 又：n= N0+N1+N2+…..+NM b= N1+2N2+3+…..+M*NM (1) (2) (3)
A.2k B.2k+1 C.k/2 下取整 D.(k+1)/2 下取整
2. (noip16 多选)一颗二叉树的前序遍历序列是 ABCDEFG， 后序遍历序列是 CBFEGDA， 则根结点的左子树的结点个数 可能是（ ） A.0 B.2 C.4 D.6
二、二叉树的存储结构
顺序存储结构
顺序存储结构
将每个结点依次存放在一维数组中，用数组下标指示结点编号，编号的方法是 从根结点开始编号1，然后由左而右进行连续编号。每个结点的信息包括 ⑴一个数据域（v）； ⑵三个指针域，其中有父结点编号（f）、左儿子结点编号（lch）和右儿子结点编 号（rch）。 V f
二、二叉树的遍历(访问)
二叉树的遍历是指按照一定的顺序不重复地访问二叉树中的 每一个结点。 如果用 L 、 D 、 R 分别表示左子树、根结点、右子树，则有 3 种遍历方法： DLR、LDR、 LRD 这三种遍历规则分别称为先（前）序遍历、中序遍历和后序遍 历（以根为标准）。
先（根）序遍历： DLR 前序遍历的规则如下： 若二叉树为空，则退出。否则 ⑴访问处理根结点； ⑵前序遍历左子树；
3、树的度 ⑴结点的度：一个结点的子树数目（儿子）称为该结点的度。 ⑵树的度：所有结点中最大的度称为该树的度(宽度）。
4、树的深度（高度） 树是分层次的。结点所在的层次是从根算起的。根结 点在第1层，根的儿子在第2层，其余各层依次类推。图中 的树共有4层。在树中，父结点在同一层的所有结点构成兄 弟关系。 树中最大的层次称为树的深度，亦称高度。 图中树的深度为4。 1 2 3 4
目录
树 二叉树
第一部分 树
一、树的概念
1、树的定义
树是一种常见的非线性的数据结构：树型结构。 空树（不含结点）；非空树（至少一个结点）

树的递归定义如下： 树是n(n>=0)个结点的有限集，这个集合满足以下条件： ⑴有且仅有一个结点没有前驱（父亲结点），该结点称为 树的根； ⑵除根外，其余的每个结点都有且仅有一个前驱； ⑶除根外，每一个结点都通过唯一的路径连到根上（否则 有环）。这条路径由根开始，而未端就在该结点上，且除根 以外，路径上的每一个结点都是前一个结点的后继（儿子结 点）；
第二部分 二叉树(BT)
一、二叉树的理论知识
1、二叉树的定义:
二叉树（ binary tree ）是每个结点最多有两个孩子，且 其子树有左右之分的有序树。
二叉树的递归定义和基本形态
二叉树是以结点为元素的有限集，它或者为空，或者满足 以下条件： ⑴有一个特定的结点称为根； ⑵余下的结点分为互不相交的子集 L 和 R ，其中 L 是根的左子树； R是根的右子树；L和R又是二叉树；
2、下图列出二叉树的五种基本形态：
空二叉树
只有一个根

3个结点的二叉树的形态
只有左孩子
只有右孩子
有左右孩子
3、二叉树的两个特殊形态 ⑴满二叉树：
如果一棵深度为 K的二叉树，共有2K-1个结点，即第I层有2I-1的结点， 称为满二叉树。(a)
⑵完全二叉树：
如果一棵二叉树最多只有最下面两层结点度数可以小于 2，并且最下面 一层的结点都集中在该层最左边的若干位置上，则称此二叉树为完全二叉 树（例如下图(b)）
树和二叉树
山师附中 马凤云
数据结构
线性结构:
数据元素的逻辑位置之间呈线性关系，即每一个数据元素 通常只有一个前驱（除第一个元素外）和一个后继（除最后一 个元素外）。不管其存储方式（顺序和链式）如何. 栈、队列
非线形结构:
至少存在一个结点（数据元素）有多于一个前驱或后继的 数据结构称为非线性结构。
树、图
由上述定义可知，树结构没有封闭的回路。
树中结点和边的关系：
e=n-1
2、结点的分类
⑴根结点：没有父亲的结点。在树中有且仅有一个根结点。
⑵分支结点：除根结点外，有孩子的结点称为分支结点。 ⑶叶结点：没有孩子的结点称为树叶。 根结点到每一个分支结点或叶结点的路径是唯一的。 从根A到结点M的唯一路径为ADHM。
分析：这是一棵满二叉树，父亲结点和子结点间具有如下关系：
K
2K
2k+1
当小球到达一个内结点时，如果该结点上的开关关闭，则先打开开关，然 后往左走；否则先关闭开关然后往右走，直到走到叶子结点。 即开关打开往左走，开关关闭往右走。 模拟即可