变限积分的求导公式及其应用
积分变限函数求导公式
积分变限函数求导公式分变限（IntegrationByParts）是一种利用积分计算积分形式的方法，它可以将复杂的积分问题简化为计算几个基本函数的积分问题。
积分变限有许多应用，例如估计确定型积分，解决积分方程以及分析带有参数的变分问题等。
在学习积分变限的过程中，求导是一个重要部分。
首先，让我们来看看积分变限的求导公式。
对于二元函数$f(x,y)$，积分变限的求导公式为：$$frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x} int_{a}^{b} f(x,y)mathrm{d}y = f(x,b)-f(x,a) + int_{a}^{b}frac{mathrm{d}f(x,y)}{mathrm{d}x} mathrm{d}y$$这里，$a$和$b$是某一区间$[a,b]$上$f(x,y)$的定义域中的两端点，$f(x,y)$是在定义域内有定义的函数，$frac{mathrm{d}f(x,y)}{mathrm{d}x}$是此函数在定义域内的变量$x$的偏导数。
从上述公式中，可以看出，积分变限的求导结果分为两部分：首先，计算$f(x,b)-f(x,a)$，其结果即为上式右端第一项；其次，计算$int_{a}^{b} frac{mathrm{d}f(x,y)}{mathrm{d}x} mathrm{d}y$，其结果即为上式右端第二项。
若要求出上式右端第二项，即$int_{a}^{b}frac{mathrm{d}f(x,y)}{mathrm{d}x} mathrm{d}y$，就需要求出函数$f(x,y)$的偏导数$frac{mathrm{d}f(x,y)}{mathrm{d}x}$，将其代入上式，即可求得积分变限的求导结果。
为了求得函数$f(x,y)$的偏导数$frac{mathrm{d}f(x,y)}{mathrm{d}x}$，我们需要使用泰勒展开公式（Taylor’s Formula）。
泰勒展开公式是个关于多变量函数的展开公式，它可以把一个具有多个变量的函数展开为更多函数的和。
变限积分函数求导公式的推广及其应用
:古科教论坛____________________________________________________________________________科技风2021年2月D01：10.19392/ki.1671-7341.202104022变限积分函数求导公式的推广及其应用张磊王利岩杨盛武沈阳航空航天大学理学院辽宁沈阳#0136摘要:本文在常见变限积分函数求导公式基础上，探究含参变量的积分函数求导问题，给出含参变量积分函数求导公 式，并结合算例给出公式的应用。
关键词：变限积分函数;含参变量；求导；应用中图分类号! 0172 文献标识码:A变限积分函数是联通微分学和积分学的桥梁，它的求导 问题是高等数学考查的重点，也是研究生人学考试解答题中 常见的综合形式之一。
在教研过程中发现，学生对变限积分 函数变化型的求导方法掌握欠佳，尤其是含参变量函数的求 导计算极易出错。
为此，童旭辉等[1]讨论了变限积分函数的 连续可导性，王泽晖[2]给出了含参变量积分在重积分下的推 广公式，钮宏霞[3]将变限积分求导推广到高维空间中的典型 立体上并给出其应用。
本文在以上理论基础上，对变限积分 函数基本求导公式进一步推广，结合实例梳理不同类型变限 积分函数求导方法，并建立相应变化型函数的求导公式。
_、变限积分函数及其求导公式在高等数学中，有如下定义及定理：定义1.1[4]设/U)在[«，6]上可积，若I为[«，6]上任 一点，称$U')= _[/(«) A为/U)在[a.，6]上的变上限积分 函数。
引理1.2[4]若函数/($在区间[9，B上连续，则积分 上限函数$($在[9，B上可导，且：^= -y-f/(t)dt=/( ) ,a<x<baxJa特别地，若函数/($在区间[9，B上连续，&$，'($在 [9，B上可导，满足9!&($，'($!6，则变限积分函数尸($ =^=/( 0A在[a，6]上可导，且有一般求导公式：H'f(t)dt=f(tp(x))tp'(x)-f(♦( x))♦'( x)axJ教学过程中，教师应强调公式的适用性，当被积表达式 /(2C中不含求导变量$时，才可以用上述公式计算导数。
变上限积分求导
x
x
x
x 2t f t dt
x x ( x) f t dt 2tf t dt 0 0
x 0
= 0
x
f t dt ( x) f x (1) 2( x) f x (1)
x
由积分中值定理，可得： 0, x 上式 F x f x 0 xf x xf xf x x f f x 依题意，得：不妨设 x 0 ，则 x f f x 0 即：命题得证.
x x
f t dt xf x
故： F x F x 0 f t dt xf x 0
x 0 0 x
f t dt xf x
x x
f t dt f t dt f t dt 0
x x x F x x 2t f t dt xf t dt 2tf t dt 0 0 0
x
= 0 f t dt xf x 2 xf x 0 f t dt xf x
变上限定积分求导法则： 例如：原函数存在定理： 0 f t dt
x
f x
如果该函数 f t 再添一个变量 x ，那么公式就变为
xf dt xf x
x
相当于： x 是一个常数，提取在变上限定积分 0 f t dt 的前面。 举例： （2008 年高职升本试卷） 若 f ( x) 在 , 内连续， F x 0 x 2t f t dt 证明： （1）若 f ( x) 为奇函数，则 F x 为奇函数。 （2）若 f ( x) 非增，则 F x 非减。 证明： （1）若 f ( x) 为奇函数，则证明 F x F x =0 即可。
变限积分求导公式
变限积分求导公式变限积分是微积分中的重要概念之一，它是求函数的原函数的一种方法。
在求解变限积分中的导数时，我们可以应用基本的积分求导法则和链式法则。
在本文中，我将介绍变限积分求导的基本公式，并给出一些示例来帮助读者更好地理解这些公式。
首先，我们来回顾一下基本的积分求导法则。
1. 常数法则：如果 $f(x)$ 是一个常数函数，那么 $\int_a^bf(x)dx = f(x)，_a^b = f(b) - f(a)$。
2. 线性法则：如果 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是可导函数，而 $c$ 是一个常数，那么 $\frac{d}{dx} \int_a^b (cf(x)+g(x))dx = c \cdot f(x) + g(x)$。
接下来，让我们来看一些基本的变限积分求导公式。
1. $\frac{d}{dx} \int_a^x f(t)dt = f(x)$：这个公式表明，当一个变限积分的上限变为 $x$ 时，它的导数等于原函数在 $x$ 处的值。
这个公式也可以被写成 $\frac{d}{dx} \int_a^x f(t)dt = \frac{d}{dx} F(x) = f(x)$，其中 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数。
举个例子，考虑函数 $f(x) = x^2$，那么 $\frac{d}{dx} \int_a^x t^2 dt = \frac{d}{dx} \frac{1}{3}x^3 = x^2$，这是因为积分的导数是积分中的函数。
2. $\frac{d}{dx} \int_x^b f(t)dt = -f(x)$：这个公式表明，当一个变限积分的下限变为$x$时，它的导数等于原函数在$x$处的值的负数。
举个例子，考虑函数 $f(x) = x^2$，那么 $\frac{d}{dx} \int_x^b t^2 dt = \frac{d}{dx} (\frac{1}{3}b^3 - \frac{1}{3}x^3) = -x^2$，这是因为负号是由变限积分的下限引起的。
变限积分求导公式总结
变限积分求导公式总结1. 引言变限积分是微积分中的一个重要概念，求导是微积分中的基本操作之一。
本文将总结变限积分求导的公式以及其推导过程，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
2. 变限积分的定义在进行变限积分求导之前，我们首先来回顾一下变限积分的定义。
设函数f(x)在区间[a, b]上连续，那么称下述极限为函数f(x)在区间[a, b]上的变限积分：∫[a, x] f(t)dt其中，x为可变的上限。
在本文中，我们将以x作为变量，而不仅仅是上限的符号。
3. 变限积分的求导公式对于变限积分的求导，我们有以下公式可以使用：3.1. Newton-Leibniz公式如果函数f(x)在区间[a, b]上可导，那么变限积分的求导公式为：d/dx ∫[a, x] f(t)dt = f(x)这个公式也被称为Newton-Leibniz公式，它表明在条件允许的情况下，求变限积分的导数可以直接将积分的被积函数求导，并将x代入。
3.2. Leibniz公式如果函数f(x)在区间[a, b]上可导，那么变限积分的求导公式为：d/dx ∫[a, x] f(t)dt = f(x) - f(a)这个公式也被称为Leibniz公式，它与Newton-Leibniz公式类似，但多了一个常数项f(a)。
4. 推导过程为了更好地理解和应用变限积分的求导公式，我们来简要推导一下这些公式。
4.1. Newton-Leibniz公式的推导根据变限积分的定义，我们有：∫[a, x] f(t)dt = ∫[a, b] f(t)dt - ∫[x, b] f(t)dt对上式两边关于x求导，应用定积分的求导法则，得到：d/dx ∫[a, x] f(t)dt = d/dx ∫[a, b] f(t)dt - d/dx ∫[x, b] f(t)dt根据牛顿-莱布尼兹公式的定义，积分的导数等于被积函数，即：d/dx ∫[a, b] f(t)dt = f(x)同时，右边的第二项d/dx ∫[x, b] f(t)dt可以通过换元法转化为：d/dx ∫[a, b] f(t)dt - d/dx ∫[a, x] f(t)dt代入上式中得到：d/dx ∫[a, x] f(t)dt = f(x) - d/dx ∫[a, b] f(t)dt + d/dx ∫[a, x] f(t) dt整理得到：2d/dx ∫[a, x] f(t)dt = f(x)最终化简得到：d/dx ∫[a, x] f(t)dt = f(x)/2这就是Newton-Leibniz公式。
考研高数重要知识点讲解变限积分求导
考研高数重要知识点讲解：变限积分求在考研复习的初期，打好基础是学好数学的关键。
下面，考研高数重要知识点讲解之变限积分求导，希望能帮助到大家。
数学虽然属于理科科目，但是仍然有许多重要的知识点需要记忆和运用。
特别为广大考生归纳一下高等数学的部分知识点。
这次我们介绍的是变限积分求导。
变限积分求导是考研试卷中每年必考的内容，该知识点可以和高等数学中所有内容都可以结合起来考查综合题，重点是考查变限积分函数求导，其基本原理是如下三个公式：若/&)在［口上］上连续，则F(x)= f；在k上］上可导，且FW=/(X)2、若/W在9上］上连续，且处0可导，贝h3.若/W在肚引上连统且可导，则卩U：；：/(f)列牡(切必⑴-/［也皿匕卜在这三个公式中，被积函数中不含有参数x，而考试的时候经常被积函数中间含有参数X,处理的时候有两种情况，第一种情况是参数x和积分变量t是可以分离；第二种情况参数x 和积分变量t是没法分离的，用定积分的换元法来处理。
例 1 设yw在内连续，L (2u u)diL屮证明；(1)若几)为偶函数，则尸00为龙的偶函数…(2)若口〕为曲单调碱a数，则为兀的单调増函数，(证明1 (1) F(—艾)彳「(加+ Qr(p-rO血仪令 f 二—M J 贝ij t/ = —/ 1 血=—dt s 所以F{-x)=J (2 吐+x)/{-x - u)dy =j：(-2； + x)/(-x +/)d(-f)- =f[-(2/-;c)]iyi-(x~f)ld{-r)Jo 仪=j\2r-x)/{x-f)df =F(x)^所以，Fg为工的偶函数。
*(2)令m-ti,则u = x-t, du = -dt,所以4陀)=r (x - 2/)/e)d{-/)=f (讪J I J O PJ D J O所以F\x)=匸- - 2xf(x) = j： /{f)dz-VW*"由积分中值定理，存在f介于0与;T中间使得岸当XA O日寸，0＜＜战兀/©〉/(或尸(力＞0, 2当x<oa寸，x<e<o./{4)</<xXF(x)>o, 4当灯(-盂严)时，F⑴纫且导数为0的点只有有限个,所以FOO为丸的单调增函数2凯程考研：凯程考研成立于，具有悠久的考研辅导历史，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。
求变限积分的导数
求变限积分的导数变限积分是一种特殊类型的积分，其上下限不是固定的常数，而是随着积分变量的改变而改变的函数。
变限积分在数学和物理学中有广泛的应用，例如求曲线长度、体积、质量等。
而变限积分的导数则是在求变限积分时非常重要的概念之一。
本文将介绍变限积分的导数的定义、性质及其求法。
一、导数的定义变限积分的导数也称为导函数，它是一个新函数，它的值等于原函数在某一点处的导数。
根据定义，对于函数f(x)，在x处的导数可以表示为：f'(x) = lim (f(x + h) - f(x)) / h,其中h是一个趋近于0的实数。
同样地，变限积分的导数可以表示为：其中t是一个固定的值，而h是趋近于0的实数。
这个导数定义的意义是，当积分变量x稍稍变化时，被积函数也会略有改变，而这个改变的大小与x的变化量成比例。
这个比例关系，就是变限积分的导数。
二、导数的性质变限积分的导数具有一些基本的性质，这些性质与普通函数的导数相似。
下面是导数的基本性质：1. 导数的线性性若f(x)和g(x)在积分区间上连续可微，则有：(d/dx)[f(x) + g(x)] = (d/dx)f(x) + (d/dx)g(x)其中k是一个常数。
其中f(x,t)表示在x处关于t的函数，积分是在t的区间上进行的。
3. 导数的乘积法则即导数的结果等于外层函数在内层函数值处的导数乘以内层函数的导数。
下面将介绍两种经典的方法来求变限积分的导数。
1. 利用积分定义其中h是趋近于0的实数。
因此，我们可以根据这个定义，并按照“极限的保号性”来推导出导数的值。
具体地，我们可以先将f(x, t)中的t看成常数来积分，然后再求导，即：有了这个公式，我们就可以利用微积分的基本定理来求变限积分的导数。
比如，对于变限积分∫x^2 t^2 dt，我们可以写成：df(x)/dx = d/dx ∫x^2 t^2 dt= 2x t^3 / 3这样就成功地求出了这个变限积分的导数。
洛必达变限积分求导
洛必达变限积分求导洛必达法则（L'Hôpital's rule）是微积分中的一个重要定理，用于求解极限问题。
它在计算极限时非常有用，特别是当使用代数方法无法直接得到极限值时。
而在一些情况下，我们需要使用这个法则来求解变限积分的导数。
首先，让我们回顾一下洛必达法则的表述，假设函数f(x)和g(x)在某一点a的邻域内可导，且满足在a点附近g'(x)≠0，如果lim(x→a) f(x)=lim(x→a) g(x)=0或者lim(x→a) f(x)=lim(x→a) g(x)=±∞，那么有lim(x→a) f(x)/g(x)=lim(x→a) f'(x)/g'(x)。
现在让我们来看一个例子，假设我们要求解下面这个变限积分的导数：d/dx [∫(0 to x) (t^2 + 1)/(t^3 + 1) dt]这里我们需要使用洛必达法则来求解。
首先我们令F(x) =∫(0 to x) (t^2 + 1)/(t^3 + 1) dt，然后我们需要求F'(x)。
根据牛顿-莱布尼茨公式，我们知道F'(x) = f(x), 其中f(x)= (x^2 + 1)/(x^3 + 1)。
现在我们可以应用洛必达法则来求解这个极限：lim(x→0) (x^2 + 1)/(x^3 + 1)。
当x趋向于0时，分子和分母都趋向于1，所以我们得到的极限是1。
因此，我们得到了F'(x) = 1，也就是说原始的变限积分的导数是1。
通过这个例子，我们可以看到洛必达法则在求解变限积分的导数时的应用。
当我们遇到复杂的变限积分求导问题时，可以考虑使用洛必达法则来简化计算过程，得到更快的结果。
变限积分求导公式
变限积分求导公式变限积分求导公式是微积分中的一个重要内容，通过这些公式可以简化积分运算，方便地求出函数的导数。
本文将详细介绍常见的变限积分求导公式，并通过实例进行说明。
首先，我们回顾一下变限积分的定义及其求导的基本性质。
对于函数$f(x)$在区间$[a,b]$上定义，我们可以将其积分表示为：$$\int_{a}^{b}f(x)dx$$其中，$a$和$b$是积分的上下限，$dx$表示在$x$方向上的微小增量。
求取这个积分的导数称为变限积分求导。
在求解变限积分求导时，我们通常采用求导中的基本运算法则和求积分中的一些特殊性质。
下面，我们将介绍一些常见的变限积分求导公式：1. 基础公式：对于常数函数$c$，其变限积分求导结果为零，即$$\frac{d}{dx}\int_{a}^{b}cdx=0$$这是由于在区间$[a,b]$上$c$是一个常数，其导数为零。
2. 可加性公式：如果函数$f(x)$和$g(x)$在区间$[a,b]$上都是可导的，那么变限积分的求导满足可加性，即$$\frac{d}{dx}\int_{a}^{b}\left[f(x)+g(x)\right]d x=\frac{d}{dx}\int_{a}^{b}f(x)dx+\frac{d}{dx}\int_{a}^ {b}g(x)dx$$这是由于求导是线性运算的性质。
3. 换元公式：对于函数$f(x)$和$g(x)$，如果相等关系$x=g(t)$成立，并且$g'(t)$存在且连续，那么有$$\int_{a}^{b}f(g(t))g'(t)dt=\int_{g(a)}^{g(b)}f( x)dx$$利用此公式，可以将变限积分的求导转化为函数求导的问题。
4. 积分级数公式：如果函数$f(x)$在区间$[a,b]$上存在$x$的幂级数展开形式$$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...$$其中，$a_0,a_1,a_2,...$是常数，并且级数在区间$[a,b]$内一致收敛，那么有$$\frac{d}{dx}\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}\frac{d}{dx}f(x)dx$$这是由于可积函数的级数展开形式的求导结果与对应的级数展开形式的求导结果相等。
变限积分函数求导
变限积分函数求导变限积分函数是求导中的一种特殊情况，在求导过程中我们需要对变限积分函数进行一些额外的处理。
本文将重点介绍变限积分函数的求导规则和具体计算方法。
变限积分函数的求导规则对于形如$$F(x)=\int^{g(x)}_{h(x)}f(t)dt$$的变限积分函数，我们可以通过以下规则求导：1. 先对积分号内的被积函数$f(t)$求导，得到$f'(t)$；2. 将被积函数求导结果$f'(t)$乘以积分上限$g(x)$的导数$g'(x)$，得到$f'(t)·g'(x)$；3. 再将被积函数求导结果$f'(t)$乘以积分下限$h(x)$的导数$h'(x)$，得到$f'(t)·h'(x)$；4. 最后，对$f'(t)·g'(x)-f'(t)·h'(x)$求和，即可得到最终的导数$F'(x)$。
根据上述规则，我们可以通过对被积函数和积分上下限分别求导以及求和的方式计算变限积分函数的导数。
下面我们将通过两个具体的例子进行讲解和实践。
例子1：计算导数$\frac{d}{dx}\int^{x^2}_{\sin x}(t^2+1)dt$步骤1：先对被积函数$(t^2+1)$求导，得到$(t^2+1)'=2t$；步骤2：将被积函数求导结果$(t^2+1)'=2t$乘以积分上限$x^2$的导数$(x^2)'=2x$，得到$2tx$；步骤3：再将被积函数求导结果$(t^2+1)'=2t$乘以积分下限$\sin x$的导数$(\sin x)'=\cos x$，得到$2t\cos x$；步骤4：对步骤2和步骤3的结果求和，得到$2tx+2t\cos x$；因此，$\frac{d}{dx}\int^{x^2}_{\sin x}(t^2+1)dt=2tx+2t\cos x$。
积分变限函数求导公式
积分变限函数求导公式积分变限函数求导，是数学中一个最重要的概念，它可以帮助我们找到特定函数的导数。
简而言之，它是一种从积分到导数的技术，其中积分函数可以被定义为由函数f(x)在某一范围内积分而获得的函数。
积分变限函数求导是一种以改变积分区间来求导函数关于未知变量的变化率的方法。
积分变限函数求导公式有两种形式：一般形式和反函数形式。
一般形式的公式如下：$$frac{d}{dx}int_{a}^{b}f(x)dx=f(b)-f(a)$$上式中，$f(x)$表示积分函数的积分变量，$a$和$b$表示积分变量的下限和上限，$dx$表示变量$x$随时间变化的微小量。
另一种形式，即反函数形式，有如下公式：$$frac{d}{dx}int_{a}^{f^{-1}(x)}f(x)dx=f^{-1}(x)-f^{-1}(a)$ $上式中，$f^{-1}$代表函数$f$的反函数，它依赖于上限$x$，而下限$a$是函数$f$的常数。
积分变限函数求导公式可以用来解很多数学问题，其中一种常见的应用是求取微分方程的解。
比如：给定关于$x$的微分方程$y=f(x)$，要找到$y(x)$的解，可以根据$f(x)$将方程积分得到$y(x)$，即$$y(x)=int_{a}^{x}f(s)ds$$其中，$a$是常数。
此时，要求$y$可用积分变限函数求导公式得到：$$y=f(x)=f(x)-f(a)$$以上就是积分变限函数求导公式的简要介绍，由此可见，积分变限函数求导贴近实际问题的特点使它在实际应用中有着广泛的应用。
例如：在力学、热力学、流体力学、量子力学等领域中，经常会用到积分变限函数求导的方法。
另外，它还有助于求解某些无法直接解决的不等式类型的方程，同时也可以用来解决积分方程，因此也被人们称为“解不等式”或“解积分方程”。
总之，积分变限函数求导是一种非常有用的数学方法，它可以用来求解复杂难以求解的积分和微分方程。
积分变限函数求导公式可以帮助我们更好地理解并解决积分变限函数求导问题，有助于解决实际学习中遇到的问题。
变限积分求导公式总结
变限积分求导公式总结
限制积分的定义是将两个或多个函数的积分，限制在特定的范围内进行计算。
受限制的积分可以在把非规则函数积分成规则函数时，以及解决定积分问题时，发挥重要作用。
解决定积分问题尤其重要，以求出一些函数被一些曲线包围的、限定区域的面积。
限制积分的定义可以概括为：
在(a,b)范围内，限定积分的定义是：由有界函数f(x)定义的定积分为：
∫abf（x）dx=∫abg（x）dx
其中，g(x)是f(x)在(a,b)之间的连续函数。
在求解限制积分时，需要注意以下几点：
1）由于限制积分是将积分运算限制在其中一范围内，所以首先需要找出积分范围；
2）此外，需要确定被积函数范围，即被积函数f(x)在积分范围内是否存在；
3）如果被积函数f(x)在积分范围内存在，则要将其写成连续函数；
4）最后，用求积公式求出有限的限定积分。
在求解限制积分的求导法中，可以分为两类：一类是直接求导法；另一类是替代求导法。
一、直接求导法：
对于其中一限制积分而言，当积分范围是常量时，可以用直接求导法求该限制积分的导数。
1）用链式法则求导：
如果限定积分的积分范围是常量，可以用链式法则。
变限积分求导莱布尼茨公式
变限积分求导莱布尼茨公式莱布尼茨公式是微积分中非常重要的公式之一，它提供了一个计算复杂函数的导数的方法。
莱布尼茨公式可以用于求解含有参数的积分和乘积的导数，它的应用范围非常广泛。
在本篇文章中，我们将详细介绍莱布尼茨公式的推导过程，并且给出一些具体的例子来帮助读者更好地理解这个公式。
为了推导莱布尼茨公式，我们需要从变限积分的定义开始。
对于函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续且可导，我们定义一个新函数F(x)如下：F(x) = ∫[a,b] f(t)g(x-t)dt我们的目标是求F(x)的导数F'(x)。
首先，我们可以假设a<x<b，并且不妨设f(t)和g(x-t)属于C^1类别（即可导的函数）。
这个假设是合理的，因为如果f(t)或g(x-t)不可导，那么F(x)的导数也就没有意义了。
我们将导数F'(x)写作极限形式，即：F'(x) = lim(h->0) [F(x+h) - F(x)] / h我们可以展开F(x+h)和F(x)：F(x+h) = ∫[a,b] f(t)g(x+h-t)dtF(x) = ∫[a,b] f(t)g(x-t)dt将这两个式子代入F'(x)的极限形式中，我们得到：F'(x) = lim(h->0) [∫[a,b] f(t)g(x+h-t)dt - ∫[a,b] f(t)g(x-t)dt] / h接下来，我们可以将第一个积分内的函数f(t)g(x+h-t)进行变量替换，令u=x+h-t，得到：F'(x) = lim(h->0) [∫[a,b] f(t)g(u)dt - ∫[a,b] f(t)g(x-t)dt] / h对于第一个积分，我们可以利用变量u进行求导，得到：∫[a,b] f(t)g(u)dt = G(u) + C这里的G(u)是f(t)g(u)的一个原函数，C是一个常数。
同样地，对于第二个积分，我们可以利用变量t进行求导，得到：∫[a,b] f(t)g(x-t)dt = H(t) + C这里的H(t)是f(t)g(x-t)的一个原函数。
变限积分的求导公式及其应用
变限积分的求导公式及其应用一、变限积分的求导公式设函数$f(x,y)$在以$a$和$b$为界的闭区间上连续，且$f(x,y)$在该区间内的偏导数存在，则变限积分$$F(x)=\int_a^b f(x,y)dy $$在该区间内可导，并且$F'(x)$就是令$y$从$a$到$b$求导并将偏导数替换为$y$的函数值的积分结果，即$$F'(x)=\int_a^b \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}dy $$二、变限积分的求导应用1.应用于求导的计算例如，考虑求积分$I(x)=\int_0^x e^{x+t}sin(xt)dt$的导数。
由变限积分的求导公式可得$$I'(x)=\int_0^x \frac{\partial}{\partial x}(e^{x+t}sin(xt))dt $$对积分内的函数进行求导：$$I'(x)=\int_0^x (e^{x+t}sin(xt))'dt = \int_0^x(e^{x+t}sin(xt)+e^{x+t}xsin(xt))dt $$计算积分：$$I'(x)=e^{2x}sin(x)-sin(x) $$因此，积分$I(x)$的导数为：$$I'(x)=e^{2x}sin(x)-sin(x) $$2.应用于定积分问题的求解例如，考虑定积分$J=\int_0^1 \frac{1}{1+t^2}dt$的计算。
将定积分表示为变限积分的形式：$$J(x)=\int_0^x \frac{1}{1+t^2}dt $$应用变限积分的求导公式，求导得到：$$J'(x)=\int_0^x \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{1+t^2}\right) dt = \int_0^x 0 dt = 0$$由于导数为常数0，因此可得定积分的表达式为：$$J(x)=0+C$$根据积分的边界条件$J(0)=\int_0^0 \frac{1}{1+t^2}dt = 0$，则可以确定常数C的值为0。
变限积分的求导公式及其应用
学园┃ACADEMY 2012年10月 第19期－51－变限积分的求导公式及其应用周少波 雷冬霞 程生敏 华中科技大学数学与统计学院【摘 要】本文针对学生难以掌握的变限定积分的最为一般的求导公式，给出了学生易于理解和接受的一元函数的证明，并用实例展现了这一公式在微积分及其后继课程中的重要应用，有力说明了向学生介绍这一公式的重要意义。
【关键词】变限积分 求导公式 极限 应用【中图分类号】O172 【文献标识码】A 【文章编号】1674－4810（2012）19－0051－02 一 引言在微积分及其后继课程中，经常会涉及对变限定积分的求导的运算，其中包括积分上下限含有变量，或者被积函数含有除积分变量之外的变量。
对于上下限含有变量，一些教材给出了相应的计算公式，如［1，2］给出了公式（5），但是没有明确的推导过程，学生很难接受，导致用时有困难。
对于被积函数含有除积分变量之外的变量时，却没有明确的公式，一些教材或参考书给出了一些计算技巧。
例如，()F x =2()()x x t f t dt −∫，被积函数含有变量x 求导数时，一般可以采用分项求导的办法，2222()()()()()x x x x F x xf t dt tf t dt x f t dt tf t dt =−=−∫∫∫∫， 再用公式求导。
又如，2()()x F x x t f x t dt −−∫()=，采用换元u ＝x －t ，2()()()xF x x t f x t =−−∫2()x xxdt uf u du −=−∫，再应用公式（5） 求导。
利用分项或换元的办法，虽然可以解决一部分变限求导问题，但并不能解决任何形式的变限定积分的求导，特别是当被积函数含有多个变元而又不能分离变量时，用上面的方法就失效了。
又如在解偏微分方程时，经常会遇到现变限多重积分的解，当验证解的正确性时，就涉及变限多重积分的求导，面对这样的积分，学生更是无能为力。
变上限积分函数公式
变上限积分求导公式怎么计算的变上限积分求导公式：也就是∫f(t)dt(积分限a到x)，按照映射的规律，每给一个x就积分出一个实数，所以这是关于x的一元函数，记为g(x)=∫f(t)dt(积分限a到x)，注意：积分变量无论用任何符号都不对积分值产生影响，改用t是为了不与上限x混在一起。
一、原函数与变上限积分函数有什么关系变上限积分函数的导数是原函数。
变上限积分对于未知数x存在着定义域，而不定积分x没有定义域。
变上限积分主要用到的知识是求极限的方法，而不定积分的求法是利用公式和定义去求，俩者不是一种类型的题。
变上限积分得到的是一个具体的值，而不定积分最终的结果只能是一个式子。
二、积分的几何意义(1)若f(x)≥0,x∈[a,b]，∫(a→b)f(x)dx的几何意义是曲线y=f(x),x=a,x=b,y=0围成的曲边梯形的面积;(2)若f(x)≤0,x∈[a,b]，∫(a→b)f(x)dx的几何意义是曲线y=f(x),x=a,x=b,y=0围成的曲边梯形的面积的相反数;(3)若f(x)在区间[a,b]上有正有负时，∫(a→b)f(x)dx的几何意义为曲线y=f(x)在x轴上方部分之下的曲边梯形的面积取正号，曲线y=f(x)在x轴下方部分之上的曲边梯形的面积取负号，构成的代数和。
积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。
通常分为定积分和不定积分两种。
直观地说，对于一个给定的正实值函数，在一个实数区间上的定积分可以理解为在坐标平面上，由曲线、直线以及轴围成的曲边梯形的面积值(一种确定的实数值)。
三、积分的运算法则积分的运算法则是如果一个函数f可积，那么它乘以一个常数后仍然可积。
函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值。
对于黎曼可积的函数，改变有限个点的取值，其积分不变。
对于勒贝格可积的函数，某个测度为0的集合上的函数值改变，不会影响它的积分值。
如果两个函数几乎处处相同，那么它们的积分相同。
变上限积分的导数
变上限积分的导数
变限积分指的是定积分的上、下限中含有变量的积分。
包含三种常见的情形，即上限含有变量，下限含有变量以及上下限同时含有变量。
其中最基本的情形是上限中含有单独一个变量的形式，可以写成∫(a->x) (t) dt的形式。
其中上限x 是变量，下限a是常量。
变上限积分求导公式：即∫f(t)dt（积分限a到x），根据映射的观点，每给一个x就积分出一个实数，因此这是关于x的一元函数，记为g(x)=∫f(t)dt（积分限a到x），注意积分变量用什么符号都不影响积分值，改用t是为了不与上限x混淆。
</p><p>证明过程：</p><p>现在用导数定义求g'(x)，根据定义，g'(x)=lim[∫f(t)dt-∫f(t)dt]/h（h 趋于0，积分限前者为a到x+h，后者为a到x）=lim∫f(t)dt/h （积分限x到x+h，根据的是积分的区间可加性），根据积分中值定理，存在ξ属于(x,x+h)，使得∫f(t)dt/h=f(ξ)h，又因为h趋于0时ξ是趋于x的，故极限
=limf(ξ)h/h=f(x)，至此证明了g'(x)=f(x)。
</p> 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分变上限函数就是f(x)在[a,b]上的一个原函数。
如果上限x在区间[a,b]
上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个对应
值，所以它在[a,b]上定义了一个函数，这就是积分变限函数。
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学园┃ACADEMY 2012年10月 第19期－51－变限积分的求导公式及其应用周少波 雷冬霞 程生敏 华中科技大学数学与统计学院【摘 要】本文针对学生难以掌握的变限定积分的最为一般的求导公式，给出了学生易于理解和接受的一元函数的证明，并用实例展现了这一公式在微积分及其后继课程中的重要应用，有力说明了向学生介绍这一公式的重要意义。
【关键词】变限积分 求导公式 极限 应用【中图分类号】O172 【文献标识码】A 【文章编号】1674－4810（2012）19－0051－02 一 引言在微积分及其后继课程中，经常会涉及对变限定积分的求导的运算，其中包括积分上下限含有变量，或者被积函数含有除积分变量之外的变量。
对于上下限含有变量，一些教材给出了相应的计算公式，如［1，2］给出了公式（5），但是没有明确的推导过程，学生很难接受，导致用时有困难。
对于被积函数含有除积分变量之外的变量时，却没有明确的公式，一些教材或参考书给出了一些计算技巧。
例如，()F x =2()()x x t f t dt −∫，被积函数含有变量x 求导数时，一般可以采用分项求导的办法，2222()()()()()x x x x F x xf t dt tf t dt x f t dt tf t dt =−=−∫∫∫∫， 再用公式求导。
又如，2()()x F x x t f x t dt −−∫()=，采用换元u ＝x －t ，2()()()xF x x t f x t =−−∫2()x xxdt uf u du −=−∫，再应用公式（5） 求导。
利用分项或换元的办法，虽然可以解决一部分变限求导问题，但并不能解决任何形式的变限定积分的求导，特别是当被积函数含有多个变元而又不能分离变量时，用上面的方法就失效了。
又如在解偏微分方程时，经常会遇到现变限多重积分的解，当验证解的正确性时，就涉及变限多重积分的求导，面对这样的积分，学生更是无能为力。
例如无界弦强迫振动问题的解()0()1(,)2t x a t x a t f d d aττξτξτ++−−∫∫。
这是一个变限二重积分，显然，上述换元或分项的办法在此失效。
在研究动力系统的稳定性时，也会经常遇到变限积分求导的问题，因而我们很有必要为学生提供最为一般的求导公式，并给出学生易于理解和接受的证明方法。
本文正是基于这一公式的重要性和其广泛应用，给出了这一公式基于一元函数的证明方法，并给出其应用，以供大家参考。
二 变限定积分求导公式及其证明变限积分的被积函数涉及二元函数，在此我们利用变量代换将其转换成一元函数，避免了在一元微积分中偏导数的引入，利用一元微积分学知识就证明了变限积分的求导公式，有了证明才能使学生更好地使用这一公式。
定理1：假设α（x ），β（x ）在有限区间［a ，b ］上可微，f （x ，t ）在区域D ＝{（x ，t ）∶α（x ）≤t ≤β（x ），a ≤x ≤ b }上连续，且f （x ，t ）关于x 的导数(,)df x t dx也在D 上连续， 则有下面一般的Leibniz 求导公式：()()''()()(,)()((),)()((),t)+x x x x d d f x t dt x f x t x f x dx dx ββααββαα=−∫∫ (,)f x t dt （1）证明：为了避免在一元微积分中引入二元函数及其偏导 数的概念，不妨记()()()(,),()(),x x F x f x t G x F x dt βα==∫，由定积分的可加性，可以得到：()()()()()()()()x x x x x x G x x G x F x x dt F x dt ββαα+Δ+Δ+Δ−=+Δ−∫∫(+)()()()()()x x x x x F x x dt F x x dt βββαΔ=+Δ++Δ∫∫()()x x x αα+Δ+∫()()()()x x F x x dt F x dt βα+Δ−∫(+)(+)()()()()x x x x x x F x x dt F x x dt βαβαΔΔ=+Δ−+Δ∫∫()()x x βα+∫[()()]F x x F x dt +Δ−按照导数的定义，可以得到：'0()()()limx G x x G x G x xΔ→+Δ−=Δ()()()()0011lim()lim ()x x x x x x x x F x x dt F x x dt x x βαβα+Δ+ΔΔ→Δ→=+Δ−+ΔΔΔ∫∫01lim x x Δ→+Δ()()[()()]x x F x x F x dt βα+Δ−∫ （2）情况，建立网上党校教程，分别对入党积极分子、党员、基层党务工作者进行专题教育。
重点介绍支部党员培养、发展、转正等工作，同时在网上公布一些优秀的入党申请书、思想汇报范例及党课教材，供广大党员、入党积极分子进行交流，方便快捷地获取入党方面的知识。
通过网络视频讲座、网络党校测试系统等，努力提高党校教育质量，突破对象单一、功能单一的局限，扩展网站功能和服务群体。
3．党建管理系统建设建立一个党建管理系统，实践入党积极分子网络化汇报思想，网络化反馈思想汇报，网络化发展对象公示，网络化入党志愿书填写指导以及发展党员工作流程指导等，这将极大地简化日常党建流程的工作量，提高工作效率和时效性。
高校师生都有较强的网络意识，是主要的网络受众群体。
他们素质较高，对网络表现出浓厚的兴趣，并已将它作为交流和获取信息的主要渠道。
因此，改变传统党建工作相对封闭的不足，以网络技术为工作手段，用师生易于接受的方式宣传马克思主义意识形态、宣传爱国主义思想、宣传社会主义价值观，有利于提高他们的思想觉悟，坚定他们对党的信念，使学校的广大师生员工通过网络较方便地了解高校党建工作的内容，及时表达自己的意见，直接参与决策过程，进一步密切党和群众的联系，提高党在群众中的威信，促进和谐社会、和谐校园的建设。
〔责任编辑：王以富〕学园┃ACADEMY 2012年10月 第19期－52－利用积分中值定理，则可以得到：()(+)11()()00lim ()=lim ()=lim ()[()()]x x x x x x x x x F x x dt F dt F x x x ββββξξββ+ΔΔΔ→Δ→Δ→+Δ+Δ−∫∫其中1((),())x x x ξββ∈+Δ，因而：()()'10()()()limlim ()()(())x x x x x F x x dt x x x F x F x xxββββξββ+ΔΔ→Δ→+Δ+Δ−==ΔΔ∫（3）同理可得：(+)()'20()()()lim lim ()()(())x x x x x F x x dtx x x F x F x x xααααξααΔΔ→Δ→+Δ+Δ−==ΔΔ∫（4）其中2((),())x x x ξαα∈+Δ。
由于f （x ，t ）是一致连续性的，则：()()()()00[()()]()()lim lim x x x x x x F x x F x dtF x x F x dt x xββααΔ→Δ→+Δ−+Δ−=ΔΔ∫∫()()0()()lim x x x F x x F x dt xβαΔ→+Δ−=Δ∫()()()x x dF x dt dx βα=∫ （5） 联立（3）－（5）代入（2），得到：()'''()0()()()lim()(())()(())x x x G x x G x G x x F x x F x xβαββααΔ→+Δ−==−+Δ∫()dF x dt dx即是：()()''()()(,)()((),)()((),)(,)x x x x d d f x t dt x f x t x f x t f x t dt dx dx ββααββαα=−+∫∫ 由定理1容易得到求导公式：()''()()()(())()(())x x d f t dt x f x x f x dxβαββαα=−∫ （6） 0()()xd f t dt f x dx =∫ （7） 三 在微积分中的应用 显然有了公式（1），任何变限积分的求导都可以很容易地解决，在此我们给出一些例子说明这一公式的优越之处。
第一，求极限。
求21[()]x x t f u du dt →f 有连续的 导数，且f （1）＝0。
解：利用（1）式及罗必塔法则，直接计算如下：21[()]x x t f u du dt1()x x f u du →1()x f u du =2x →=2x →'2x →='第二，求函数值的单调区间2221()()x tf x x t e dt −=−∫的单调区间与极限。
解：f （x ）的定义域为（－∞，+∞），由于242'221()2()2x x t f x x x x e xe dt −−=−+∫2212x t x e dt −=∫所以f （x ）的驻点为x ＝0，±1。
因此，f （x ）的单调增加的区间为（－1，0）及（1，＋∞），单调减少区间为（－∞，－1）及（0，1）。
极小值为f （±1）＝0，极大值为f （0）21101(1)2t te dt e −−==−∫。
第三，求定积分（1999研究生入学考题）设函数f （x ） 连续，且201(2)arctan 2xtf x t dt x −=∫，已知f （1）＝1，求21()f x dx ∫。
解：令u ＝2x －t ，则20(2)(2)()x xx tf x t dt x u f u du −=−∫∫，即：221(2)()arctan 2xxx u f u du x −=∫两边关于x 求导，由定理1，得到：242()()1xx xf u du xf x x =++∫。
令x ＝1，213()4f x dx =∫。
第四，求函数值（2007研究生入学考题）假设函数f （x ）是［0，4π］上的单调函数可导函数，f －1是f 的反函数，且下述条件的f （x ）满足：()10cos sin ()cos sin f x xt tf t dt tdt t t−−=+∫∫ （6）解：对（6）两边关于x 求导，则得到：1'cos sin [()]()cos sin x xf f x f x xx x −−=+即是，''cos sin cos sin (),()cos sin cos sin x x x xxf x x f x x x x x −−==++。
因此，cos sin ()(cos sin ).cos sin x xf x dx In x x C x x −==+++∫。