同济版-高等数学-课后习题解析
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书后部分习题解答 P21页3．（3）nnn b b b a a a ++++++++∞→ΛΛ2211lim （1,1<<b a ）知识点：1）等比级数求和)1(1)1(12≠--=++++-q qq a aqaq aq a n n Λ（共n 项）2）用P14例4的结论：当1<q 时，0lim =∞→nn q解：n n n b b b a a a ++++++++∞→ΛΛ2211lim ab bb a a n n n --=----=++∞→111111lim 115.（1）判断下列数列是否收敛，若收敛，则求出极限：设a 为正常数，00>x ，)(211nn n x a x x +=+ 证：由题意，0>n x ，a x a x x a x x nn n n n =⋅⋅≥+=+221)(211（数列有下界） 又02)(2121≤-=-+=-+nn n n n n n x x a x x ax x x （因a x n ≥+1）（数列单调减少） 由单调有界定理，此数列收敛；记b x n n =∞→lim ，对)(211n n n x a x x +=+两边取极限，得)(21bab b +=，解得a b =（负的舍去），故此数列的极限为a .P35页4.（8）极限=-++-+→211)1()1(lim x n x n x n x 211)1()1()]1(1[lim -++--++→x nx n x n x 21221111)1()1()1()1()1(1lim -++--+-+-+=+++→x n x n x x C x C n n n x 2)1(21+==+n n C n (若以后学了洛必达法则（00型未定型），则211)1()1(lim -++-+→x nx n x n x 2)1(2)1(lim )1(2)1())1(lim 111+=+=-+-+=-→→n n nx n x n x n n x n x ） 书后部分习题解答2 P36页8.已知当0→x 时，1cos ~1)1(312--+x ax，求常数a .知识点：1）等价无穷小的概念；2）熟记常用的等价无穷小，求极限时可用等价无穷小的替换定理。
同济大学版高等数学课后习题答案第2章
-----习题211 设物体绕定轴旋转 在时间间隔 [0 t]内转过的角度为从而转角是 t 的函数(t) 如果旋转是匀速的 那么称为该物体旋转的角速度 如果旋转t是非匀速的 应怎样确定该物体在时刻t 0 的角速度？解 在时间间隔 [t 0 t 0t] 内的平均角速度为(t 0t ) (t 0 )tt故 t 0 时刻的角速度为l i ml i m l i m(tt) (t 0) (t )t 0t 0 tt 0t2 当物体的温度高于周围介质的温度时物体就不断冷却 若物体的温度 T与时间 t 的函数关系为 T T(t) 应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度？解 物体在时间间隔 [t 0 t 0t]内 温度的改变量为T T(tt) T(t)平均冷却速度为T T (t t) T(t) t t故物体在时刻 t 的冷却速度为limT lim T (t t ) T (t ) T (t) t 0t t 0 t 3 设某工厂生产 x 单位产品所花费的成本是 f(x)元 此函数 f(x)称为成本函数成本函数 f(x)的导数 f (x)在经济学中称为边际成本 试说明边际成本 f (x)的实际意义解 f(x x)f(x)表示当产量由 x 改变到 x x 时成本的改变量f (x x) f (x)表示当产量由 x 改变到 x x 时单位产量的成本xf (x)lim 0f (x x) f ( x)表示当产量为 x 时单位产量的成本x x4 设 f(x)10x 2 试按定义 求 f ( 1)解 f ( 1)limf ( 1 x) f ( 1)10( 1x)2 10( 1)2xlimxxx 010 lim0 2 xx 2 10 lim ( 2x) 20xxx 05 证明 (cos x) sin x解 (cosx) limcos(x x) cosxxx2s i nx(x) s i nxlim2 2x 0 xlim [ s i nx(x ) s i n x] s i nx 2 x 0 2x26 下列各题中均假定 f (x 0)存在 按照导数定义观察下列极限指出 A 表示什么(1) lim f ( x 0x) f ( x 0 ) A xx 解 Alim0f (x 0x) f (x 0)xxl i mf ( xx) f (x 0) f ( x 0 )x 0x(2) lim f (x)A 其中 f(0) 0 且 f (0)存在x 0 x解 Alim f ( x) lim f (0 x) f (0) f (0)x 0 x x 0x (3) lim f (x 0 h) f (x 0 h)Ah 0h解A lim f ( x 0 h 0 lim[ f (xh 0limf (xh 0h)f (x 0 h) hh) f ( x 0 )] [ f (x 0 h) f (x 0)]h h) f (x 0)limf (xh) f ( x 0 ) hh 0hf (x 0) [ f (x 0)] 2f (x 0)7 求下列函数的导数(1)y x 4(2) y 3 x 2(3) y x1 6-----(4) y1 x(5) y1x23 5 x(6) y x232(7) y x x解 (1)y (x 4) 4x 4 1 4x 322 1 2 x (2) y (3 x 2 ) ( x 3 )2x 3331 3(3)y (x 1 6) 1 6x 1 6 1 1 6x 0 61 1 x(4) y ( 1) (x 2)x21 121 x 23 2(5) y(1)( x 2 )2x 3x 23 516 16 16 116 11 (6) y (x x) (x 5)x 5 x 555(7) y ( x2 3 x21 111 x ) (x 6) 1 x 6x 5665 68 已知物体的运动规律为 s t 3(m) 求这物体在 t 2 秒 (s)时的速度解 v(s) 3t 2 v|t 2 12(米 /秒)9 如果 f(x)为偶函数且 f(0)存在 证明 f(0)证明 当 f(x)为偶函数时 f( x) f(x)所以f (0) l i mf (x)f (0) l i m f (x) f (0) l i m f ( x) f (0)x 0xx 0x 0x 0x 0从而有 2f (0) 0 即 f (0) 010 求曲线 ysin x 在具有下列横坐标的各点处切线的斜率x 解 因为 y cos x 所以斜率分别为2 1k 1 c o sk 2 cos 13 2f (0)2x311 求曲线 y cos x 上点 ( , 1) 处的切线方程和法线方程式3 2解 ysin x ysin3x3 23故在点 (, 1) 处 切线方程为 y 1 3(x)3 22 23法线方程为 y 1 2(x )23 312 求曲线 y e x在点 (0 1)处的切线方程 解 y e xy |x 0 1 故在 (0 1)处的切线方程为y 1 1 (x 0)即 y x 113 在抛物线 y x 2上取横坐标为 x 1 1 及 x 2 3 的两点 作过这两点的割线问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？解 yy(3) y(1)9 1 42x 割线斜率为 k132令 2x 4 得 x 2因此抛物线 y x 2 上点 (2 4)处的切线平行于这条割线 14 讨论下列函数在 x 0 处的连续性与可导性(1)y |sin x| (2) yx 2sin 1x 0xx 0解 (1)因为y(0) 0 lim y lim |sin x | lim ( sin x) 0x 0x 0x 0 lim ylim |sin x|lim sin xx 0x 0x所以函数在 x 0 处连续又因为y (0)l i m y( x)y(0) l i m |si nx | |si n0 |l i m s i nx1x 0x 0x 0x 0x 0xy (0) lim y( x) y(0) lim |sin x | |sin0|lim s i nx 1x 0 x 0 x 0x 0 x 0 x而 y (0) y (0) 所以函数在 x 0 处不可导-----解 因为 lim y(x) lim x 2sin10 又 y(0)0 所以函数在 x 0 处连续x 0 x 0x 又因为21 0y(x) y(0)xs i n1 l i mx l i ml i mxs i n 0 x 0xx 0xx 0x所以函数在点 x 0 处可导 且 y (0) 015 设函数 f (x)x 2x 1为了使函数 f(x)在 x 1 处连续且可导a b 应取什ax b x 1么值？解 因为lim f ( x) lim x 21 limf (x) lim (ax b)a b f(1) a bx 1x 1x1x 1所以要使函数在 x1 处连续 必须 a b 1 又因为当 a b1 时f (1)x 2 12l i m1x 1 xf (1) lim ax b 1 lim a( x 1) a b 1 lim a(x 1) ax 1 x 1 x 1 x 1 x 1x 1 所以要使函数在 x 1 处可导 必须 a 2 此时 b 116已知 f (x)x 2x 0求 f (0)及 f(0) 又 f (0)是否存在？x x 0解 因为f(0) lim f (x) f (0)lim x 0x 0 x x 0x f(0) lim f (x) f (0)lim x 2 0xxx 0x 而 f (0) f (0) 所以 f (0)不存在17 已知 f(x)sin x x0 求 f (x)x x解 当 x<0 时 f(x) sin x f (x) cos x 当x>0 时 f(x) x f (x) 11因为 f (0) lim f (x) f (0) lim sin x 0 1x 0 x x 0xf (0) lim f (x)f (0) lim x 0 1所以 f (0) 1 从而x 0x x 0x f (x)cosx x1 x18 证明 双曲线 xy a 2 上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于 2a 2解 由 xy a 2得 ya 2k ya 2xx 2设 (x 0 y 0)为曲线上任一点则过该点的切线方程为y a2x 0 ) y 02 ( xx 02y x 2令 y 0并注意 x 0y 0a 解得 xx 0 2x 0为切线在 x 轴上的距 a 2令 x 0并注意 x 0y 0 a 2 解得 y a 2y 2 y0 为切线在 y 轴上的距x 0 0此切线与二坐标轴构成的三角形的面积为S1|2x 0 ||2y 0 | 2|x 0 y 0 | 2a 22习题221 推导余切函数及余割函数的导数公式(cot x)csc 2x(csc x)csc xcot x解 (cot x)(cosx )sin x sin x cosx cosxsin xsin 2 x2 21 2s i nx c o s x2 2 c s cxs i nxs i nx( c sxc) ( 1 ) c o xsc s cx c o xt s i nx 2s i n x 2 求下列函数的导数(1) y4 7 2 12x 5 x 4x-----(2) y 5x 3 2x 3e x (3) y 2tan x sec x 1 (4) y sin x cos x (5) y x 2ln x (6) y 3e x cos x(7) yln xxx(8) y e 2 ln 3x(9) y x 2ln x cos x(10) s 1 sint1 cost解 (1) y ( 4 7 2 12)(4x 5 7x 4 2x 112)x 5 x 4 x20x628x52x220282x6x5x2(2) y (5x 32x 3e x ) 15x22xln2 3ex(3) y (2tan x sec x 1)2sec x tan x sec x(2sec x tan x)2sec x (4) y (sin x cos x) (sin x) cos x sin x (cos x)cos x cos x sin x ( sin x) cos 2x(5) y (x 2ln x) 2x ln x x 21 x(2ln x 1)x(6) y (3e x cos x) 3e x cos x 3e x ( sin x) 3e x(cos x sin x)ln x1 x ln x1 ln x(7) y ( ) xx x 2 x 2(8) y ( e x ln 3) e x x 2 e x 2x e x ( x 2)x 2 x 43x(9) y221cos x x 2ln x ( sin x)(x ln x cos x) 2x ln x cos x x x2x ln x cos x x cos x x 2 ln x sin x(10) s (1sin t ) cost(1 cost) (1 sin t)( sin t)1 sin t cost1 cost(1 cost)2(1 cost)23 求下列函数在给定点处的导数(1) y sin x cos x 求 y和 yxx46(2)sin1cos 求d2d4(3) f (x)3 x 2求 f (0)和 f (2)5 x 5解 (1)ycos x sin xyc o s s i n3 1 3 1x22266 6yc o s s i n22 2x2 244 4(2)dsincos1sin1sincosd22d1s i nc o s 1 2 422(1)d4 244 4 2 22 42(3) f (x)32x f (0)3 f (2) 17(5 x)2525154 以初速 v 0 竖直上抛的物体其上升高度 s 与时间 t 的关系是 s v 0t 1gt 22求(1)该物体的速度 v(t)(2)该物体达到最高点的时刻解 (1)v(t) s (t) v 0 gt(2)令 v(t) 0 即 v 0 gt 0 得 t v 0这就是物体达到最高点的时刻g5 求曲线 y 2sin x x 2 上横坐标为 x 0 的点处的切线方程和法线方程 解 因为 y 2cos x 2x y |x 0 2又当 x 0 时 y 0 所以所求的切线方程为y 2x所求的法线方程为-----y 1x即x 2y 0 26求下列函数的导数(1)y (2x 5)4(2)y cos(4 3x)(3) y e 3x 2(4)y ln(1x2)(5)y sin2x(6) y a2x2(7)y tan(x2)(8)y arctan(e x)(9)y(arcsin x)2(10) y lncos x解 (1) y4(2x 5)4 1 (2x5) 4(2x 5)3 2 8(2x 5)3 (2)y sin(4 3x) (4 3x)sin(4 3x) ( 3) 3sin(4 3x)(3) y e 3 x2 ( 3x2 )(4)y1 (1 x2)1x2(5)y 2sin x (sin x) e 3x 2(6x)6xe 3x212x2x1 x2 1 x22sin x cos x sin 2x(6) y [( a21] 1 (a211(a2 x2 ) x2) 2x2) 221 (a2x2 )1x2 ( 2x)x2 2a2 (7) y sec2(x2) (x2)2xsec2(x2)(8) y1x2 (e x)e x2x1(e ) 1 e2 arcsin x (9) y2arcsin x (arcsin x)1x2(10) y1 (cosx)1( sin x) tan xcosx cosx 7 求下列函数的导数(1) y arcsin(1 2x)(2) y11 x 2x(3) y e 2 cos3x(4) y arccos 1x(5) y1 ln x1 ln x (6) y sin 2xx(7) y arcsin x(8) y ln(x a 2 x 2 ) (9) y ln(sec x tan x)(10) y ln(csc x cot x)解 (1) y1(1 2x)21 1 (1 2x)2x x 21 (1 2x) 2(2) y [(111 1 x 2)x 2) 2]1(1 x 2) 2(1213x(1 x 2 ) 2 ( 2x)x 22(1 x 2 ) 1xxxx) cos3xx(3) y (e 2) cos3x e 2(cos3x) e 2(e 2( sin 3x)(3x)21 e xxx2 c o 3sx 3e 2 s i n3x 1e 2( c o3sx6s i n3x)22-----(4) y1 1 (1)1 1 ( 1 )|x|1 (2 x 1 ( ) 2x2x 2x21)xx1(1 l n x) (1 ln x)12(5) yxx(1ln x) 2x(1 ln x)2(6) ycos2x 2 x sin 2x 1 2x cos2x sin2xx2x2(7) y1( x)1111 ( x)21 ( x )22 x 2 x x 2(8) y1x 2 (xa 2x 2 )1x 2 [1 1(a 2 x 2) ]xa 2x a 22 a 2 x 21[112 (2x)]1x a 2 22 a 2x a 2x 2x(9) y1(secx tan x) secxtan x(10) y1(csc x cot x)csc x cot xsecx tan x sec 2x secxsecx tan x cscx cot x csc 2 x cscxcscx cot x8 求下列函数的导数(1) y (arcsin x )22(2) y ln tan x2(3) y 1 ln 2 x(4) y e arctan x(5) y sin nxcos nx(6) y arctanx 1x 1(7) y arcsinxarccosx(8) y=ln[ln(ln x)](9) y1x 1 x 1 x1 x(10) y arcsin1 x1 x解 (1) y2(arcsin x ) (arcsin x)2 22( a r c s xi)n 1( x)2 1 ( x )2 222( a r c s xi) n1 x 12 1 ( ) 222x2a r c s i n24 x 2(2) y1x (tan x) 1 x sec 2 x( x)tan 2 tan2 22 2(3) y(4) y1 2 x 1x s e c2 c s cxt a n 22 1 ln 2 x 2 1 (1 ln 2 x)1 ln2 x1 2ln x ( l nx)12ln x12 1 ln 2x2 1 ln 2xxln xx1 ln2 xearctan x(arctan x)e arctan x1 x) 2( x)1 (-----e a r c t axn11x e a r c t axn1( x)2 2 2 x(1 x)(5) y n sin n 1x (sin x) cos nx sin n x ( sin nx) (nx)n sin n 1x cos x cos nx sin n x ( sin nx) nn sin n 1x (cos x cos nx sin x sin nx) n sin n 1xcos(n 1)x(6) y1( x 1) 1(x 1) ( x 1)11 ( x 1) 2x 11 (x 1)2(x 1)2 1 x 2x 1x 11arccosx 1 arcsin x1 x2 1 x 2(7) y(arccos x)21 a r c c oxs a r c s ixn1 x22( ar c c ox)s2 1 x 2 ( a r c cxo)2s(8) y1 ln(ln x)1ln(ln x)[ln(ln x)] 11(ln x)ln(ln x) ln x 1 1 1 ln x x xln x l n ( lxn)(1 1 )( 1 x1 x) ( 1 x1 x)(1 1)(9) y2 1 x 2 1 x2 1 x 2 1 x( 1 x1 x)211 x 21 x2(10) y1 (1 x) 1 (1 x) (1 x)1 1 x 1 x 1 1 x(1 x)21 x1 x1(1 x) 2x(1 x)9. 设函数 f(x)和 g(x)可导且 f 2(x) g 2(x) 0 试求函数 y f 2 (x) g 2 (x) 的导数解 yf 1[ f 2(x) g2 (x)]22 (x)g 2(x)1[2 f (x) f ( x) 2g(x) g ( x)] 2f 2(x)g2(x)f (x) f (x)g(x)g (x)f 2 (x)g 2 (x)10设 f(x)可导求下列函数 y 的导数dy dx(1) y f(x2)(2)y f(sin2x) f(cos2x)解 (1) y f (x2) (x2)f(x2) 2x 2x f (x2)(2)y f(sin2x) (sin2x) f (cos2x) (cos2x)f(sin2x) 2sin x cos x f (cos2x) 2cosx ( sin x)sin 2x[f (sin2x)f(cos2x)]11求下列函数的导数(1)y ch(sh x )(2)y sh x e ch x(3)y th(ln x)(4)y sh3x ch2x(5)y th(1 x2)(6)y arch(x2 1)(7)y arch(e2x)(8)y arctan(th x)(9)y ln chx12 x 2ch(10)y ch2( x 1) x 1解 (1) y sh(sh x) (sh x) sh(sh x) ch x(2) y ch x e ch x sh x e ch x sh x e ch x(ch x sh2x)(3) y1(ln x)12 (ln x)2 (ln x)ch x ch-----(4) y3sh 2x ch x 2ch x sh x sh x ch x (3sh x 2) (5) ych 21 2 (1 x 2)2 2xx 2 )(1 x )ch (1 (6) y1 1(x 2 1)2x( x 2 1)x 4 2x 2 2(7) y1(e 2x)2e2x(e 2x )21 e 4 x 1 (8) y 1(th x) 1 1 1 1 1 (thx) 2 1 th 2 x ch 2 x 1 2 2sh x ch xch 2x 1 1ch 2 x sh 2x 1 2sh 2 x(9) y1 (ch x) 1 (ch 2x)ch x2ch 4 xsh x 1 2ch x shxch x2ch 4 xsh x shx sh x ch 2x shxch xch 3x ch 3xsh x (ch 2 x 1) sh 3x th 3xch 3xch 3x(10) y2ch(x1) [ch(x1)] 2ch(x1) sh(x1) ( x 1)x 1x 1x 1 x 1 x 1sh(2x 1(x 1) (x 1)2sh(2 x 1)(x 1)2( x 1)2 )x 1x 112 求下列函数的导数(1) y e x (x 2 2x 3)(2) y sin 2x sin(x 2) (3) y (arctan x )22(4) yln xx ne t e (5) ye t ett(6) y ln cos 1x(7) y e sin 2 1x(8) y x x(9) yxarcsinx4 x 22(10) y arcsin2t1 t 2解 (1) y e x (x 2 2x 3) e x (2x 2) ex( x 2 4x 5)(2) y2 222sin x cos x sin(x ) sin x cos(x ) 2xsin2x sin(x 2) 2x sin 2x cos(x 2)(3) y 2arctanx1 1 4 arctan x2 1 x 2 2 x 2 4 241 xnln x nxn 11 n ln x(4) yxx 2nx n 1(5) y(e te t )(e t e t ) (e t e t )(e te t )4e 2t(e t e t )2(e 2t 1) 211111 1 1(6) y sec x (cos x ) sec x ( sin x ) ( x 2 ) x 2tanx(7) y esin 21 ( sin 21) e sin 21xxx( 2sin 1) cos1( 1 ) xxx2122 1s i nx 2 s i nexx(8) y1x (x x )2 1 (1 1 ) 2 xxx2 x2 x 1 4 xxx(9) y arcsinxx1 12 1 ( 2x) arcsin x21 x2 2 4 x 2 24-----(10) y1 ( 2t ) 12 (1 t 2) 2t (2t) 1 (2t)2 1 t 21 ( 2t )2 (1 t 2) 21 t21 t21 t22(1 t 2)2(1 t 2)(1 t 2)2 (1 t 2 )2 |1 t 2 |(1 t 2 )习题231 求函数的二阶导数(1) y 2x 2ln x (2) y e2x 1(3) y xcos x (4) y e t sin t (5) y a 2 x 2 (6) y ln(1 x 2)(7) y tan x1(8) yx 3 12(9) y (1 x )arctan x(10) ye xx(11) y x 2xe(12) y ln( x 1 x 2 )解 (1) y 4x1 y4 1xx2(2) y e 2x 12 2e 2x 1y 2e2x 1 2 4e 2x 1(3) y xcos x y cos x xsin xy sin x sin x xcos x2sin x xcos x(4) ye tsin t e tcos t e t(cos t sin t)ye t (cos t sin t) e t ( sin t cos t) 2e t cos t(5) y21x2(a2x2)xx2a2a2a2x2x xa2ya2x2a2 x2(a2 x2 ) a2 x2(6) y11(1x2 )12x x2x2y 2(1x2 )2x (2x)2(1 x2)(1 x2 )2(1x2 )2(7) y sec2 xy2sec x (sec x)2sec x sec x tan x2sec2x tan x(8) y(x31)3x2 (x31) 2(x31)2y 6x ( x31)23x22( x31) 3x6x(2x3 1) (x3 1)4(x31)3(9) y2xarctanx(1x2)112xarctanx1 x2y2a r c t xa n2x1 x2(10)y e x x e x 1e x( x 1)x2x2y [e x( x 1) e x] x2 e x( x 1) 2x e x(x2 2x 2)x4x3(11)y e x 2x e x2(2x)e x2(12x2 )yx22x24xx22 e2x (12x )e2xe(32x )(12)y12( x1x2 )12(12x 2 )12x 1 x x 1 x 2 1 x 1 x y1(1 x2 )12x x1 x2 1 x22 1 x2)(1 x) 2 1 x-----2 设 f(x)(x6(2)?10)f解 f(x) 6(x5f(x)43 10)30(x 10) f (x) 120(x 10)f(2)120(210)32073603若 f (x)存在求下列函数 y 的二阶导数d2ydx2(1)y f(x2)(2)y ln[ f(x)]解 (1)y f(x2) (x2) 2xf(x2)y2f(x2)2x 2xf(x2)2f(x2) 4x2f(x2)(2) y1 f (x)f (x)f(x) f (x) f ( x) f(x)f( x) f (x)[ f ( x)] 2 y[ f ( x)]2[ f ( x)]24试从dx 1导出dy y(1) d 2 x ydy 2( y ) 3(2)d 3x3( y )2y y dy3( y )5解(1) d 2x d dx d1d1dx y1ydy2dy dy dy y dx y dy( y )2y( y )3(2) d3x d y d y dxdy3dy y 3dx y 3dyy ( y )3 y 3( y )2 y13( y )2 y y(y )6y(y )55已知物体的运动规律为s Asin t(A、是常数 )求物体运动的加速度并验证d 2s2 s 0dt 2解dsA cos t dt d2 s A 2 sin t dt 22d s就是物体运动的加速度dt2d2 s 2 s A 2 s i n t2 As i n t 0dt 2C1e x C2e x(6验证函数 y C1 C2是常数 )满足关系式y2y 0解y C1 e x C2 e xy C12e x C22e xy2y (C12e x C22e x)2(C1e x C2e x)(C12e x C22e x) (C12e x C22e x) 0 7验证函数 y e x sin x 满足关系式y2y2y 0解 y e x sin x e x cos x e x(sin x cos x)y e x(sin x cos x)e x(cos x sin x) 2e x cos xyx xcos x)x2y 2y 2e cos x2e (sin x2e sin x 2e x cos x2e x sin x2e x cos x2e x sin x 08求下列函数的 n 阶导数的一般表达式(1) y x n1n 12n 2n 1n 12n 都是常数)a x a x a x a (a a a(2)y sin2x(3)y xln x(4)y xe x解 (1) y nx n 1(n1)a1x n 2 (n2)a2x n 3a n 1y n(n1)x n 21 n 32n 4n 2 (n 1)(n2)a x(n 2)(n 3)a x ay(n) n(n 1)(n 2) 2 1x0 n!(2) y 2sin x cos x sin2xy 2c o 2sx 2s i n2(x)2-----y22 c o s2x()22 s i n2x( 2)22y(4)23 c o s2x(2) 23 s i n2(x 3 )22y(n)2n 1s i n2x[ (n 1)]2(3)y ln x 1y 1 x1xy ( 1)x 2y(4) ( 1)( 2)x 3y(n)(1)( 2)( 3) ( n 2)x n 1( 1)n 2(n 2)!( 1)n (n 2)!x n 1x n 1(4) y e x xe xy e x e x xe x 2e x xe xy 2e x e x xe x 3e x xe xy(n) ne x xe x e x(n x)9求下列函数所指定的阶的导数(1)y e x cos x 求 y(4)(2)y xsh x 求 y(100)(3) y x2sin 2x求y(50) .xv cos x有解 (1)令 u eu u u u(4)e xv sin x v cos x v sin x v(4) cos x所以y(4)u(4) v4u v6u v4u v u v(4)e x[cos x4(sin x)6(cos x)4sin x cos x] 4e x cos x(2)令 u x v sh x则有u 1 u0v ch x v sh x v(99)ch x v(100) sh x所以y(100)u(100)v C1 u(99) v C2u(98) v C 98 u v(98) C99 u v(99)u v(100)100100100100100ch x xsh x(3)令 u x2 v sin 2x则有u2x u 2 u0v(48)248 sin(2x48)248 s i n2x2v(49)249cos 2x v(50)250sin 2x所以y(50)u(50)v C1501u(49) v C502u(48) v C5048u v(48) C5049u v(49) u v(50)C5048u v(48)C5049u v(49) u v(50)50 492 228 sin 2x50 2x 249 c o 2sx x2 (250 s i n2x)250x2sin 2x50xc o 2sx12252 (s i n2x)2习题231求函数的二阶导数(1)y 2x2 ln x(2)y e2x 1(3)y xcos x(4)y e t sin t(5)y a2 x2(6)y ln(1 x2)(7)y tan x1(8) yx3 1(9) y (1 x2)arctan x(10) y e xx-----(11) y xe x2(12) y ln( x1x2 )解 (1) y4x1y41x x2(2) y e2x 1 2 2e2x 1y2e2x 1 2 4e2x 1(3) y xcos x y cos x xsin xy sin x sin x xcos x2sin x xcos x(4) y e t sin t e t cos t e t (cos t sin t)y e t(cos t sin t) e t (sin t cos t)2e t cos t(5) y21x2(a2x2)xx2a2a2a2x2x xx2a2ya2a2 x2(a2 x2 ) a2 x2(6) y11(1x2 )12x x2x2y 2(1x2 )2x (2x)2(1x2)(1 x2 )2(1x2 )2(7) y sec2 xy2sec x (sec x)2sec x sec x tan x2sec2x tan x(8) y(x31)3x2 (x31) 2(x31)2y 6x ( x31)23x22( x31) 3x 6x(2x3 1) (x31)4(x31)3(9) y2xarctanx(1x2)112xarctanx1 x2y2a r c t xa n 2x21 x(10)y e x x e x1 e x( x 1)x2x2y[e x ( x 1) e x ] x 2 e x ( x 1) 2x e x (x 2 2x 2)x4x3(11) ye x 2 x e x 2 (2x) e x 2 (1 2x 2 )yx 22x (1 2x 2x22e 2x ) e4x 2xe (3 2x )(12) y1( x1x 2 ) 1 (1 2x ) 1x 1 x 2x 1 x 22 1 x 21 x 2y1(1 x 2) 12xx1 x21 x 22 1 x 2)(1 x) 21 x2 设 f(x) (x 10)6f (2) ?解 f (x) 6(x 10)5 f (x) 30(x 10)4f (x) 120(x 10)3f(2) 120(2 10)3 2073603 若 f (x)存在 求下列函数(1) y f(x 2)(2) y ln[ f(x)]解 (1)yf(x 2) (x 2) 2xf (x 2) y 2f(x 2) 2x 2xf (x 2) (2) y1 f (x)f (x)f (x) f (x) f( x) f (x) y2[ f ( x)]4 试从dx 1导出dy y(1) d 2xydy 2( y ) 3(2)d 3x 3( y )2 y ydy3( y )5解 (1) d 2xd dxd 1dy2dy dydyyd 2 yy的二阶导数d x 22f (x 2) 4x 2f (x 2)f ( x) f (x) [ f ( x)] 2[ f ( x)]2d1dx y 1y dx y dy( y )2 y( y )3(2) d3x d y d y dxdy3dy y 3dx y 3dyy ( y )3 y 3( y )2 y13( y )2 y y(y )6y(y )55已知物体的运动规律为s Asin t(A、是常数 )求物体运动的加速度并验证d 2s2s 0dt 2解dsA cos t dt d2 s A 2 sin t dt 22d s就是物体运动的加速度dt2d2 s 2 s A 2 s i n t2 As i n t 0dt 2C1e x C2e x(6验证函数 y C1 C2是常数 )满足关系式y2y 0解y C1 e x C2 e xy C12e x C22e xy212e x C22x21x2e x)y (C e ) (C e C(C12e x C22e x) (C12e x C22e x) 0 7验证函数 y e x sin x 满足关系式y2y2y 0解 y e x sin x e x cos x e x(sin x cos x)y e x(sin x cos x)e x(cos x sin x) 2e x cos xyx xcos x)x2y 2y 2e cos x2e (sin x2e sin x 2e x cos x2e x sin x2e x cos x2e x sin x 08求下列函数的 n 阶导数的一般表达式(1) y x n1n 12n 2n 1n 12n 都是常数)a x a x a x a (a a a(2) y sin2x-----(3)y xln x(4)y xe x解 (1) y n 11n 2(n2 n 3n 1nx(n 1)a x2)a x ay n(n1)x n 2 (n1)(n2)a1x n 3(n 2)(n 3)a2x n 4a n 2y(n) n(n 1)(n 2) 2 1x0 n!(2) y2sin x cos x sin2xy2c o 2sx 2s i n2(x)2y22 c o s2x() 22 s i n2x( 2)22y(4) 23 cos(2x2) 23 sin(2x 3 )22(n)n 1y 2 s i n2x[ (n 1)](3)y ln x 1y 1x 1 xy ( 1)x 2y(4) ( 1)( 2)x 3(n)( 1)( 2)( 3)( n 2)x n 1( 1)n 2 (n 2)!( 1)n (n 2)!y x n 1x n 1 (4)y e x xe xy e x e x xe x 2e x xe xy 2e x e x xe x 3e x xe xy(n) ne x xe x e x(n x)9求下列函数所指定的阶的导数(1)y e x cos x 求 y(4)(2)y xsh x 求 y(100)(3)y x2sin 2x 求 y(50) .所以所以xv cos x有解 (1)令 u eu u u u(4)e xv sin x v cos x v sin x v(4)cos xy(4)u(4) v4u v6u v4u v u v(4)e x[cos x4(sin x)6(cos x)4sin x cos x] 4e x cos x(2)令 u x v sh x则有u 1 u0v ch x v sh x(99)ch x(100)sh xv vy(100) u(100) v C1 u(99)v C2u(98)v C 98 u v(98)C99 u v(99)u v(100) 100100100100(3)令 u x2u 2xv(48)100ch x xsh xv sin 2x 则有u 2 u0248 sin(2x 48 )248 s i n2x2v(49)249cos 2x v(50)250sin 2x所以y(50)u(50)v C1501u(49) v C502u(48) v C5048u v(48) C5049u v(49) u v(50) C5048u v(48) C5049u v(49) u v(50)50 492 228 sin 2x50 2x 249 c o 2sx x2 (250 s i n2x)250x 2sin 2x50xc o 2sx1 2 2 52 (2s i n2x)习题241求由下列方程所确定的隐函数 y 的导数dydx(1)y2 2x y 9 0(2)x3 y3 3axy 0(3)xy e x y(4)y 1 xe y解 (1)方程两边求导数得-----2y y 2y 2x y 0于是(y x)y yyyy x(2)方程两边求导数得3x 2 3y 2y 2ay 3axy 0于是(y 2 ax)y ayx 2yay x 2y2ax(3)方程两边求导数得yxy e x y(1 y ) 于是(x e x y )y e x y ye x yyyx e x y(4)方程两边求导数得y e y xe yy于是(1 xe y )y e yye y1 xey222在点 ( 2a, 2a) 处的切线方程和法线方程2 求曲线 x3y 3 a34 4解 方程两边求导数得 2 x31 13 2y 3 y 031于是yx31y 3在点 (2a,2a) 处 y 144所求切线方程为y2a ( x2a) 即 x y 2 a442所求法线方程为y2a (x2a) 即 x y 04423 求由下列方程所确定的隐函数 y 的二阶导数d ydx22 2(1) x y 1(2) b 2x 2 a 2y 2 a 2b 2 (3) y tan(x y)(4) y 1 xe y解 (1)方程两边求导数得2x 2yy 0yx yy ( x)y xxy xy y y 2x 21yy 2y 2y 3 y 3(2)方程两边求导数得2b 2 x 2a 2 yy 0yb 2 xa2yy x( b 2 x)b 2 y xy b 2 a 2 y ya2y2a2y 2b 2 a 2 y 2 b 2 x 2b 4a2a 2 y3a 2 y3(3)方程两边求导数得y sec 2(x y) (1 y )2y)1y s e c( x2y) 2y) 11 s e c(xc o s( x2y)21s i n(xc o s(x y)12y)y 2s i n( xy23 y23( 112 )2(1 y 2 )y 5yyy(4)方程两边求导数得yyy e xe y-----yeyeyey1 xe y1 (y 1)2 yye y y (2 y) e y ( y ) e y (3 y) y e 2 y (3 y)(2 y)2(2 y)2(2 y)34 用对数求导法求下列函数的导数(1) y ( x )x1 x (2) y5x 525 x2(3) yx 2(3 x)4( x 1)5(4) y xsin x 1e x解 (1)两边取对数得ln y xln|x| xln|1 x|，两边求导得1 y ln x x 1 l n1( x) x 1y x 1 x 于是y ( x)x[ l nx1 ]1 x 1 x 1x(2)两边取对数得ln y1ln |x 5|1l nx(22)两边求导得5251 y1 1 12x2y5 x 525 x 2于是y 1 5x 5[11 2x ]5 5 x 2 2x 5 5 x 2 2(3)两边取对数得ln y1l nx( 2) 4 l n3( x) 5l n x( 1)2两边求导得1 y 1 3 45y 2(x 2)x x 1于是yx 2(3x)4 [ 12)4 5 ](x 1)52(x x 3 x 1(4)两边取对数得ln y1ln x1ln s i nx1l n1( e x )两边求导得22 41 y1 1 c o xte xy 2x24(1 e x )于是yxs i nx 1 e x[11c o xte x]2x 2 4(1 e x )1 x 22c o tx e x ]4 xs i nx 1 e [ x e x1 dy5求下列参数方程所确定的函数的导数dxx at 2(1)y bt2x (1 sin ) (2)ycos解 (1)dyy t 3bt 2 3b tdxx t 2at 2ady ycos sin(2) dx x 1 sincos6 已知xe tsin t, 求当 t 3 时 dy的值y e tcost. dx解dy y te t cost e t sin t costsin t dxx t e tsin t e tcost sintcostdy 1 3 1 3 当 t 时 2 2 3 2dx 1 3 1 3 32 27 写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程(1)x sin t在 t处y cos2t4x3at (2)1 t 2在 t=2 处y 3at 21 t 2解 (1) dyy t2sin 2tdxx tcost-----dy 2sin(2)当 t时42 2 2 x02y0 0 dx4cos2242所求切线方程为y 2 2(x2) 即2 2x y 2 0 2所求法线方程为y1(x 2 )即 2x 4y1222(2) y t 6at (1t2 )3at 2 2t6at(1t 2 )2(1t 2 )2x t 3a(1t 2)3at2t3a3at 2 (1t 2 )2(1t 2)2dy y t6at2tdx x t3a3at 21t 2当 t 2 时dy 2 24x 6a ydx1223050所求切线方程为012a 5y12 a 4(x6a)即 4x 3y 12a 0535所求法线方程为y12 a3(x 6a)即 3x 4y 6a 0545d 2 y 8求下列参数方程所确定的函数的二阶导数dx2x t 2(1)2y 1 t. xacost(2)y bsin t(3)x3e t y2e t(4)x f t (t )设 f(t)存在且不为零y tf t (t) f (t)dy y t1 d 2 y(y x)t1解 (1)t 21 dx x t t dx2x t t t3(2) dy y tbcostbcot tdx x t asin t ab 2 d 2 y (y x )t a csc t b dx 2 x t asin ta 2 sin 3 tdy y t 2e t22t(3) dx x t3e t3ed 2y( y x )t2 2t3 2e4 3tdx 2x t3e te9 (4) dy y t f (t) tf (t) f (t)dx x tf (t)td 2 y ( y x )t 1dx 2x tf (t)9 求下列参数方程所确定的函数的三阶导数(1) x 1 t 2y t t3(2)x ln(1 t 2) y t arctan t解 (1)dy (t t 3)1 3t2dx (1 t 2 )2t1 3t 2d 2y ( 2t )1 ( 1 3) dx 22t4 t 3 t1 1 3d 3y 4 ( t 3t )3(1 t 2)dx 32t8t 5dy (t arctan t)11(2)1 t 21 tdx [ln(1 t 2)]2t 21 t21d 2 y ( 2t) 1 t 2 dx 22t 4t1 t 23d y-----1 t 2d 3 y ( 4t ) t 4 1dx 3 2t 8t 31t 210 落在平静水面上的石头 产生同心波纹 若最外一圈波半径的增大率总是6m/s 问在 2 秒末扰动水面面积的增大率为多少？解 设波的半径为 r 对应圆面积为 S 则 S r 2 两边同时对 t 求导得S t 2 rr当 t 2 时 r 6 2 12 r t 6故 S t t 22 126 144( 米 2 秒)| 其速率为 4m 2/min11 注水入深 8m 上顶直径 8m 的正圆锥形容器中 当水深为 5m 时 其表面上升的速度为多少？解水深为 h 时 水面半径为 r1 h 水面面积为 S 1 h 21hS 1 h 1 h 224水的体积为 Vh 33 34 12dV 12 3h 2dh dh 4 dVdt dt dt h 2 dt已知 h 5(m)， dV 4 (m 3/min) 因此 dh 4 dV 4 4 16(m/min)dtdt h 2 dt252512 溶液自深 18cm 直径 12cm 的正圆锥形漏斗中漏入一直径为 10cm 的圆柱形筒中 开始时漏斗中盛满了溶液 已知当溶液在漏斗中深为 12cm 时 其表面下 降的速率为 1cm/min 问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？解 设在 t 时刻漏斗在的水深为 y 圆柱形筒中水深为 h 于是有1 62 18 1r 2 y 52hy 3y3由 r得 r 代入上式得 6 18 31 62 18 1 ( y ) 2 y 23 3 3 5 h即162 18 1y 3 52 h 两边对 t 3 33求导得1 y2 y 52 h32t当 y 12 时 y t1 代入上式得1 122( 1) 16h t32 52 0.64 (cm/min).25。
同济大学《高等数学》[上册]的答案解析
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练习 2-5
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总习题四
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练习 3-3
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练习 3-4
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练习 4-3
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练习 4-4
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同济第六版高数答案(高等数学课后习题解答)
习题3-31. 按(x -4)的幂展开多项式x 4-5x 3+x 2-3x +4. 解 设f (x )=x 4-5x 3+x 2-3x +4. 因为 f (4)=-56,f '(4)=(4x 3-15x 2+2x -3)|x =4=21, f ''(4)=(12x 2-30x +2)|x =4=74, f '''(4)=(24x -30)|x =4=66, f (4)(4)=24, 所以4)4(32)4(!4)4()4(!3)4()4(!2)4()4)(4()4()(-+-'''+-''+-'+=x f x f x f x f f x f =-56+21(x -4)+37(x -4)2+11(x -4)3+(x -4)4. 2. 应用麦克劳林公式, 按x 幂展开函数f (x )=(x 2-3x +1)3. 解 因为f '(x )=3(x 2-3x +1)2(2x -3),f ''(x )=6(x 2-3x +1)(2x -3)2+6(x 2-3x +1)2=30(x 2-3x +1)(x 2-3x +2), f '''(x )=30(2x -3)(x 2-3x +2)+30(x 2-3x +1)(2x -3)=30(2x -3)(2x 2-6x +3), f (4)(x )=60(2x 2-6x +3)+30(2x -3)(4x -6)=360(x 2-3x +2), f (5)(x )=360(2x -3), f (6)(x )=720;f (0)=1, f '(0)=-9, f ''(0)=60, f '''(0)=-270, f (4)(0)=720, f (5)(0)=-1080, f (6)(0)=720, 所以6)6(5)5(4)4(32!6)0(!5)0(!4)0(!3)0(!2)0()0()0()(x f x f x f x f x f x f f x f +++'''+''+'+==1-9x +30x 3-45x 3+30x 4-9x 5+x 6.3. 求函数x x f =)(按(x -4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的3阶泰勒公式. 解 因为24)4(==f , 4121)4(421=='=-x x f , 32141)4(423-=-=''=-x x f , 328383)4(425⋅=='''=-x x f , 27)4(1615)(--=x x f , 所以4)4(32)4(!4)()4(!3)4()4(!2)4()4)(4()4(-+-'''+-''+-'+=x f x f x f x f f x ξ4732)4()]4(4[1615!41)4(5121)4(641)4(412--+⋅--+---+=x x x x x θ(0<θ<1). 4. 求函数f (x )=ln x 按(x -2)的幂展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式. 解 因为f '(x )=x -1, f ''(x )=(-1)x -2, f '''(x )=(-1)(-2)x -3 , ⋅ ⋅ ⋅ , nn nn x n x n x f )!1()1()1( )2)(1()(1)(--=+-⋅⋅⋅--=--; kk k k f 2)!1()1()2(1)(--=-(k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n +1), 所以])2[()2(!)2( )2(!3)2()2(!2)2()2)(2()2(ln )(32n n n x o x n f x f x f x f f x -+-+⋅⋅⋅+-'''+-''+-'+=])2[()2(2)1( )2(231)2(221)2(212ln 13322n n n n x o x n x x x -+-⋅-+⋅⋅⋅--⋅+-⋅--+=-. 5. 求函数x x f 1)(=按(x +1)的幂展开的带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒公式. 解 因为f (x )=x -1, f '(x )=(-1)x -2, f ''(x )=(-1)(-2)x -3 , ⋅ ⋅ ⋅ , 1)1()(!)1()( )2)(1()(++--=-⋅⋅⋅--=n n n n xn xn x f ; !)1(!)1()1(1)(k k fk k k -=--=-+(k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ),所以 )1(!3)1()1(!2)1()1)(1()1(132⋅⋅⋅++-'''++-''++-'+-=x f x f x f f x1)1()()1()!1()()1(!)1(++++++-+n n nn x n f x n f ξ 12132)1()]1(1[)1(])1( )1()1()1(1[++++++--+++⋅⋅⋅+++++++-=n n n nx x x x x x θ (0<θ<1). 6. 求函数f (x )=tan x 的带有拉格朗日型余项的3阶麦克劳林公式. 解 因为 f '(x )=sec 2x ,f ''(x )=2sec x ⋅sec x ⋅tan x =2sec 2x ⋅tan x ,f '''(x )=4sec x ⋅sec x ⋅tan 2x +2sec 4x =4sec 2x ⋅tan 2x +2sec 4x ,f (4)(x )=8sec 2x ⋅tan 3x +8sec 4x ⋅tan x +8sec 4x ⋅tan x xx x 52cos )2(sin sin 8+=;f (0)=0, f '(0)=1, f ''(0)=0, f '''(0)=2,所以 4523)(c o s 3]2)()[s i n s i n (31t a nx x x x x x x θθθ+++=(0<θ<1). 7. 求函数f (x )=xe x 的带有佩亚诺型余项的n 阶麦克劳林公式. 解 因为 f '(x )=e x +xe x ,f ''(x )=e x +e x +xe x =2e x +xe x , f '''(x )=2e x +e x +xe x =3e x +xe x , ⋅ ⋅ ⋅, f (n )(x )=ne x +xe x ; f (k )(0)=k (k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ),所以 )(!)0( !3)0(!2)0()0()0()(32n nn xx o x n f x f x f x f f xe ++⋅⋅⋅⋅+'''+''+'+=)()!1(1 !2132n n x o x n x x x +-⋅⋅⋅+++=.8. 验证当210≤≤x 时, 按公式62132x x x e x +++≈计算e x 的近似值时, 所产生的误差小于0.01, 并求e 的近似值, 使误差小于0.01.解 因为公式62132x x x e x+++≈右端为e x 的三阶麦克劳林公式, 其余项为 43!4)(x e x R ξ=, 所以当210≤≤x 时，按公式62132x x x e x +++≈计算e x 的误差 01.00045.0)21(!43|!4||)(|42143<≈≤=x e x R ξ.645.1)21(61)21(212113221≈⋅+⋅++≈=e e .9. 应用三阶泰勒公式求下列各数的近似值, 并估计误差: (1)330; (2)sin18︒.解 (1)设3)(x x f =, 则f (x )在x 0=27点展开成三阶泰勒公式为2353233)27)(2792(!21)27(273127)(-⋅-⋅+-⋅+==--x x x x f4311338)27)(8180(!41)27)(272710(!31--⋅+-⋅⋅+--x x ξ(ξ介于27与x 之间).于是33823532333)272710(!313)2792(!21327312730⋅⋅⋅+⋅⋅-⋅+⋅⋅+≈---10724.3)3531311(31063≈+-+≈, 其误差为5114311431131088.13!4803278180!41|3)8180(!41||)30(|---⨯=⋅=⋅⋅⋅<⋅-⋅=ξR .(2) 已知43!4s i n !31s i n x x x x ξ+-=(ξ介于0与x 之间),所以 sin 18︒3090.0)10(!311010sin 3≈-≈=πππ,其误差为44431003.2)10(!46sin |)10(!4sin ||)10(|-⨯=<=πππξπR . 10. 利用泰勒公式求下列极限: (1))23(lim 434323x x x x x --++∞→;(2))]1ln([cos lim2202x x x e x x x -+--→;(3)2220sin )(cos 1211lim 2x e x x x x x -+-+→. 解 (1)tt t xx x x x x x t x x 430434343232131lim 12131lim)23(lim --+=--+=--++→+∞→+∞→.因为)(1313t o t t ++=+,)(211214t o t t +-=-, 所以23])(23[lim )](211[)](1[lim)23(lim 00434323=+=+--++=--++→+→+∞→t t o t t o t t o t x x x x t t x . (2)])1ln(1[)](41!21211[)](!41!211[lim)]1ln([cos lim1344244202202x x xx x xx o x x x o x x x x x e x -++⋅+--++-=-+-→-→010)1l n (1)(121lim 11340=+=-++-=-→e x x x o x x x . (3)2442442442202220))](!211())(!41!211[()](!43!211[211lim sin )(cos 1211lim 2xx o x x x o x x x o x x x x e x x x x x x +++-++-+-+-+=-+-+→→ 12123!43)(241123)(!43lim )(241123)(!43lim 2424404264440-=-=+--+=⋅+--+=→→x x o x x x o x o x x x x o x x x .习题3-41. 判定函数f (x )=arctan x -x 单调性.解 因为011111)(22≤+-=-+='x x x f , 且仅当x =0时等号成立, 所以f (x )在(-∞, +∞)内单调减少.2. 判定函数f (x )=x +cos x (0≤x ≤2π)的单调性.解 因为f '(x )=1-sin x ≥0, 所以f (x )=x +cos x 在[0, 2π]上单调增加. 3. 确定下列函数的单调区间: (1) y =2x 3-6x 2-18x -7;(2)xx y 82+=(x >0);(3)x x x y 6941023+-=;(4))1ln(2x x y ++=; (5) y =(x -1)(x +1)3;(6))0())(2(32>--=a x a a x y ; (7) y =x n e -x (n >0, x ≥0); (8)y =x +|sin 2x |.解 (1) y '=6x 2-12x -18=6(x -3)(x +1)=0, 令y '=0得驻点x 1=-1, x 2=3. 列表得可见函数在(-∞, -1]和[3, +∞)内单调增加, 在[-1, 3]内单调减少.(2) 0)2)(2(28222=+-=-='x x x x y ,令y '=0得驻点x 1=2, x 2=-2(舍去).因为当x >2时, y >0; 当0<x <2时, y '<0, 所以函数在(0, 2]内单调减少, 在[2, +∞)内单调增加. (3)223)694()1)(12(60x x x x x y +----=', 令y '=0得驻点211=x , x 2=1, 不可导点为x =0. 列表得可见函数在(-∞, 0), ]21 ,0(, [1, +∞)内单调减少, 在]1 ,21[上单调增加.(4)因为011)1221(11222>+=++++='x x x x x y , 所以函数在(-∞, +∞)内单调增加. (5) y '=(x +1)3+3(x -1)(x +1)22)1)(21(4+-=x x . 因为当21<x 时, y '<0; 当21>x 时, y '>0, 所以函数在]21 ,(-∞内单调减少, 在) ,21[∞+内单调增加.(6)32)()2(3)32(x a a x a x y ----=', 驻点为321a x =, 不可导点为22a x =, x 3=a .列表得可见函数在)2 ,(a -∞, ]32 ,2(a a , (a , +∞)内单调增加, 在) ,32[a a 内单调减少.(7)y '=e -x x n -1(n -x ), 驻点为x =n . 因为当0<x <n 时, y '>0; 当x >n 时, y '<0, 所以函数在[0, n ]上单调增加, 在[n , +∞)内单调减少.(8)⎪⎩⎪⎨⎧+<<+-+≤≤+=πππππππk x k x x k x k x x y 22sin 2 2sin (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅),⎪⎩⎪⎨⎧+<<+-+≤≤+='πππππππk x k x k x k x y 2 2c o s 212 2c o s 21(k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅). y '是以π为周期的函数, 在[0, π]内令y '=0, 得驻点21π=x , 652π=x , 不可导点为23π=x .列表得根据函数在[0, π]上的单调性及y '在(-∞, +∞)的周期性可知函数在]32 ,2[πππ+k k 上单调增加, 在]22 ,32[ππππ++k k 上单调减少(k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).4. 证明下列不等式: (1)当x >0时, x x +>+1211;(2)当x >0时, 221)1ln(1x x x x +>+++; (3)当20π<<x 时, sin x +tan x >2x ;(4)当20π<<x 时, 331tan x x x +>;(5)当x >4时, 2x >x 2;证明 (1)设x x x f +-+=1211)(, 则f (x )在[0, +∞)内是连续的. 因为x x f +-='12121)(01211>+-+=xx , 所以f (x )在(0, +∞)内是单调增加的, 从而当x >0时f (x )>f (0)=0, 即 01211>+-+x x , 也就是 x x +>+1211.(2)设221)1ln(1)(x x x x x f +-+++=, 则f (x )在[0, +∞)内是连续的. 因为 0)1l n (1)11(11)1l n ()(22222>++=+-++⋅++⋅+++='x x x x x x x x x x x x f ,所以f (x )在(0, +∞)内是单调增加的, 从而当x >0时f (x )>f (0)=0, 即 01)1l n (122>+-+++x x x x , 也就是 221)1l n (1x x x x +>+++.(3)设f (x )=sin x +tan x -2x , 则f (x )在)2,0[π内连续,f '(x )=cos x +sec 2x -2xx x x 22cos ]cos )1)[(cos 1(cos ---=. 因为在)2 ,0(π内cos x -1<0, cos 2x -1<0, -cos x <0, 所以f '(x )>0, 从而f (x )在)2 ,0(π内单调增加, 因此当20π<<x 时, f (x )>f (0)=0, 即sin x +tan x -2x >0, 也就是 sin x +tan x >2x .(4)设331tan )(x x x x f --=, 则f (x )在)2 ,0[π内连续,))(t a n (t a n t a n 1s e c )(2222x x x x x x x x x f +-=-=--='. 因为当20π<<x 时, tan x >x , tan x +x >0, 所以f '(x )在)2 ,0(π内单调增加, 因此当20π<<x 时, f (x )>f (0)=0, 即031t a n 3>--x x x ,也就是 231t a n x x x +>.(5)设f (x )=x ln2-2ln x , 则f (x )在[4, +∞)内连续, 因为 0422ln 224ln 22ln )(=->-=-='e x x x f ,所以当x >4时, f '(x )>0, 即f (x )内单调增加.因此当x >4时, f (x )>f (4)=0, 即x ln2-2ln x >0, 也就是2x >x 2. 5. 讨论方程ln x =ax (其中a >0)有几个实根？解 设f (x )=ln x -ax . 则f (x )在(0, +∞)内连续, xax a x x f -=-='11)(, 驻点为a x 1=.因为当ax 10<<时, f '(x )>0, 所以f (x )在)1 ,0(a 内单调增加; 当a x 1>时, f '(x )<0, 所以f (x )在) ,1(∞+a内单调减少. 又因为当x →0及x →+∞时, f (x )→-∞, 所以如果011ln )1(>-=a a f , 即e a 1<, 则方程有且仅有两个实根; 如果011ln )1(<-=aa f , 即e a 1>, 则方程没有实根. 如果011ln )1(=-=a a f , 即e a 1=, 则方程仅有一个实根. 6. 单调函数的导函数是否必为单调函数？研究下面这个例子: f (x )=x +sin x .解 单调函数的导函数不一定为单调函数.例如f (x )=x +sin x 在(-∞,+∞)内是单调增加的, 但其导数不是单调函数. 事实上, f '(x )=1+cos x ≥0,这就明f (x )在(-∞, +∞)内是单调增加的. f ''(x )=-sin x 在(-∞, +∞)内不保持确定的符号, 故f '(x )在(-∞, +∞)内不是单调的.7. 判定下列曲线的凹凸性: (1) y =4x -x 2 ; (2) y =sh x ;(3)xy 11+=(x >0);(4) y =x arctan x ; 解 (1)y '=4-2x , y ''=-2,因为y ''<0, 所以曲线在(-∞, +∞)内是凸的. (2)y '=ch x , y ''=sh x . 令y ''=0, 得x =0.因为当x <0时, y ''=sh x <0; 当x >0时, y ''=sh x >0, 所以曲线在(-∞, 0]内是凸的, 在[0, +∞)内是凹的.(3)21x y -=', 32x y =''. 因为当x >0时, y ''>0, 所以曲线在(0, +∞)内是凹的. (4)21arctan xx x y ++=',22)1(2x y +=''.因为在(-∞, +∞)内, y ''>0, 所以曲线y =x arctg x 在(-∞, +∞)内是凹的.8. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间: (1).y =x 3-5x 2+3x +5 ; (2) y =xe -x ; (3) y =(x +1)4+e x ;(4) y =ln(x 2+1); (5) y =e arctan x ; (6) y =x 4(12ln x -7),解 (1)y '=3x 2-10x +3, y ''=6x -10. 令y ''=0, 得35=x .因为当35<x 时, y ''<0; 当35>x 时, y ''>0, 所以曲线在]35 ,(-∞内是凸的, 在) ,35[∞+内是凹的, 拐点为)2720 ,35(.(2)y '=e -x -xe -x , y ''=-e -x -e -x +xe -x =e -x (x -2). 令y ''=0, 得x =2.因为当x <2时, y ''<0; 当x >2时, y ''>0, 所以曲线在(-∞, 2]内是凸的, 在[2, +∞)内是凹的, 拐点为(2, 2e -2).(3)y '=4(x +1)3+e x , y ''=12(x +1)2+e x .因为在(-∞, +∞)内, y ''>0, 所以曲线y =(x +1)4+e x 的在(-∞, +∞)内是凹的, 无拐点.(4)122+='x x y , 22222)1()1)(1(2)1(22)1(2++--=+⋅-+=''x x x x x x x y . 令y ''=0, 得x 1=-1, x 2=1. 列表得可见曲线在(-∞, -1]和[1, +∞)内是凸的, 在[-1, 1]内是凹的, 拐点为(-1, ln2)和(1, ln2).(5)2arctan 11x e y x+⋅=',)21(12arctan x x e y x-+=''. 令y ''=0得, 21=x . 因为当21<x 时, y ''>0; 当21>x 时, y ''<0, 所以曲线y =e arctg x 在]21 ,(-∞内是凹的,在) ,21[∞+内是凸的, 拐点是) ,21(21arctane. (6) y '=4x 3(12ln x -7)+12x 3, y ''=144x 2⋅ln x . 令y ''=0, 得x =1.因为当0<x <1时, y ''<0; 当x >1时, y ''>0, 所以曲线在(0, 1]内是凸的, 在[1, +∞)内是凹的, 拐点为(1, -7).9. 利用函数图形的凹凸性, 证明下列不等式:(1) nn n y x y x )2()(21+>+(x >0, y >0, x ≠y , n >1);(2))(22y x e e e yx y x ≠>++;(3)2ln)(ln ln yx y x y y x x ++>+ (x >0, y >0, x ≠y ). 证明 (1)设f (t )=t n , 则f '(t )=nt n -1, f ''(t )=n (n -1)t n -2. 因为当t >0时, f ''(t )>0, 所以曲线f (t )=t n 在区间(0, +∞)内是凹的. 由定义, 对任意的x >0, y >0, x ≠y 有)2()]()([21yx f y f x f +>+,即 nn n y x y x )2()(21+>+.(2)设f (t )=e t , 则f '(t )=e t , f ''(t )=e t . 因为f ''(t )>0, 所以曲线f (t )=e t 在(-∞, +∞)内是凹的. 由定义, 对任意的x , y ∈(-∞, +∞), x ≠y 有)2()]()([21yx f y f x f +>+,即 )(22y x ee e yx yx ≠>++.(3)设f (t )=t ln t , 则 f '(t )=ln t +1, tt f 1)(=''.因为当t >0时, f ''(t )>0, 所以函数f (t )=t ln t 的图形在(0, +∞)内是凹的. 由定义, 对任意的x >0, y >0, x ≠y 有)2()]()([21yx f y f x f +>+,即 2ln )(ln ln yx y x y y x x ++>+. 10. 试证明曲线112+-=x x y 有三个拐点位于同一直线上.证明 222)1(12+++-='x x x y ,323223)1()]32()][32()[1(2)1(2662++---+=++--=''x x x x x x x x y . 令y ''=0, 得x 1=-1, 322-=x , 323+=x . 例表得可见拐点为(-1, -1), ))32(431 ,32(---, ))32(431 ,32(+++. 因为41)1(32)1()32(431=-------, 41)1(32)1()32(431=--+--++,所以这三个拐点在一条直线上.11. 问a 、b 为何值时, 点(1, 3)为曲线y =ax 3+bx 2的拐点？解 y '=3ax 2+2bx , y ''=6ax +2b . 要使(1, 3)成为曲线y =ax 3+bx 2的拐点, 必须y (1)=3且y ''(1)=0, 即a +b =3且6a +2b =0, 解此方程组得23-=a , 29=b .12. 试决定曲线y =ax 3+bx 2+cx +d 中的a 、b 、c 、d , 使得x =-2处曲线有水平切线, (1, -10)为拐点, 且点(-2, 44)在曲线上. 解 y '=3ax 2+2bx +c , y ''=6ax +2b . 依条件有⎪⎩⎪⎨⎧=''=-'-==-0)1(0)2(10)1(44)2(y y y y , 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+--=+++=+-+-02604121044248b a c b a d c b a d c b a .解之得a =1, b =-3, c =-24, d =16.13. 试决定y =k (x 2-3)2中k 的值, 使曲线的拐点处的法线通过原点. 解y '=4kx 3-12kx , y ''=12k (x -1)(x +1). 令y ''=0, 得x 1=-1, x 2=1.因为在x 1=-1的两侧y ''是异号的, 又当x =-1时y =4k , 所以点(-1, 4k )是拐点. 因为y '(-1)=8k , 所以过拐点(-1, 4k )的法线方程为)1(814+-=-x k k y . 要使法线过原点, 则(0, 0)应满足法线方程, 即kk 814-=-, 82±=k .同理, 因为在x 1=1的两侧y ''是异号的, 又当x =1时y =4k , 所以点(1, 4k )也是拐点.因为y '(1)=-8k , 所以过拐点(-1, 4k )的法线方程为)1(814-=-x k k y . 要使法线过原点, 则(0, 0)应满足法线方程, 即k k 814-=-, 82±=k .因此当82±=k 时, 该曲线的拐点处的法线通过原点.14. 设y =f (x )在x =x 0的某邻域内具有三阶连续导数, 如果f ''(x 0)=0, 而f '''(x 0)≠0,试问 (x 0, f (x 0))是否为拐点？为什么？解 不妨设f '''(x 0)>0. 由f '''(x )的连续性, 存在x 0的某一邻域(x 0-δ, x 0+δ), 在此邻域内有f '''(x )>0. 由拉格朗日中值定理, 有f ''(x )-f ''(x 0)=f '''(ξ)(x -x 0) (ξ介于x 0与x 之间), 即 f ''(x )=f '''(ξ)(x -x 0).因为当x 0-δ<x <x 0时, f ''(x )<0; 当x 0<x <x 0+δ 时, f ''(x )>0, 所以(x 0, f (x 0))是拐点.习题3-51. 求函数的极值: (1) y =2x 3-6x 2-18x +7; (2) y =x -ln(1+x ) ; (3) y =-x 4+2x 2 ; (4)x x y -+=1;(5)25431x xy ++=;(6)144322++++=x x x x y ;(7) y =e xcos x ;(8)xx y 1=;(9)31)1(23+-=x y ; (10) y =x +tan x .解 (1)函数的定义为(-∞, +∞), y '=6x 2-12x -18=6(x 2-2x -3)=6(x -3)(x +1), 驻点为x 1=-1, x 2=3. 列表可见函数在 (2)函数的定义为(-1, +∞), xxx y +=+-='1111, 驻点为x =0. 因为当-1<x <0时, y '<0; 当x >0时, y '>0, 所以函数在x =0处取得极小值, 极小值为y (0)=0. (3)函数的定义为(-∞, +∞),y '=-4x 3+4x =-4x (x 2-1), y ''=-12x 2+4, 令y '=0, 得x 1=0, x 2=-1, x 3=1.因为y ''(0)=4>0, y ''(-1)=-8<0, y ''(1)=-8<0, 所以y (0)=0是函数的极小值, y (-1)=1和y (1)=1是函数的极大值.(4)函数的定义域为(-∞, 1], )112(1243121121211+---=---=--='x x x xx xy ,令y '=0, 得驻点43=x .因为当43<x 时, y '>0; 当143<<x 时, y '<0, 所以45)1(=y 为函数的极大值.(5)函数的定义为(-∞, +∞), 32)54()512(5x x y +--=', 驻点为512=x . 因为当512<x 时, y '>0; 当512>x 时, y '<0, 所以函数在512=x 处取得极大值, 极大值为10205)512(=y . (6)函数的定义为(-∞, +∞), 22)1()2(+++-='x x x x y , 驻点为x 1=0, x 2=-2.列表可见函数在x =-2处取得极小值3, 在x =0处取得极大值4.(7)函数的定义域为(-∞, +∞). y '=e x (cos x -sin x ), y ''=-e x sin x .令y '=0, 得驻点ππk x 24+=, ππ)1(24++=k x , (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).因为0)24(<+''ππk y , 所以22)24(24⋅=++ππππk e k y 是函数的极大值. 因为y ''0])1(24[>++ππk , 所以22])1(24[)1(24⋅-=++++ππππk e k y 是函数的极小值. (8)函数xx y 1=的定义域为(0, +∞),)ln 1(121x x x y x-⋅='. 令y '=0, 得驻点x =e .因为当x <e 时, y '>0; 当x >e 时, y '<0, 所以ee e y 1)(=为函数f (x )的极大值.(9)函数的定义域为(-∞, +∞), 3/2)1(132+-='x y , 因为y '<0, 所以函数在(-∞, +∞)是单调减少的, 无极值.(10)函数y =x +tg x 的定义域为ππk x +≠2(k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅). 因为y '=1+sec 2x >0, 所以函数f (x )无极值.2. 试证明: 如果函数y =ax 3+bx 2+cx +d 满足条件b 2 -3ac <0, 那么这函数没有极值 . 证明y '=3a x 2+2b x +c . 由b 2 -3ac <0, 知a ≠0. 于是配方得到y '=3a x 2+2b x +c ab ac a b x a a c x a b x a 33)3(3)332(32222-++=++=,因3ac -b 2>0, 所以当a >0时, y '>0; 当a <0时, y '<0. 因此y =ax 3+bx 2+cx +d 是单调函数, 没有极值.3. 试问a 为何值时, 函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值.解 f '(x )=a cos x +cos 3x , f ''(x )=-a sin x -3 sin x .要使函数f (x )在3π=x 处取得极值, 必有0)3(='πf , 即0121=-⋅a , a =2 .当a =2时, 0232)3(<⋅-=''πf . 因此, 当a =2时, 函数f (x )在3π=x 处取得极值, 而且取得极大值, 极大值为3)23(=f .4. 求下列函数的最大值、最小值: (1) y =2x 3-3x 2 , -1≤x ≤4; (2) y =x 4-8x 2+2, -1≤x ≤3 ; (3)x x y -+=1, -5≤x ≤1.解 (1)y '=6x 2-6x =6x (x -1), 令y '=0, 得x 1=0, x 2=1. 计算函数值得 y (-1)=-5, y (0)=0, y (1)=-1, y (4)=80,经比较得出函数的最小值为y (-1)=-5, 最大值为y (4)=80.(2)y '=4x 3-16x =4x (x 2-4), 令y '=0, 得x 1=0, x 2=-2(舍去), x 3=2. 计算函数值得 y (-1)=-5, y (0)=2, y (2)=-14, y (3)=11,经比较得出函数的最小值为y (2)=-14, 最大值为y (3)=11.(3)xy --='1211, 令y '=0, 得43=x . 计算函数值得65)5(+-=-y , 45)43(=y , y (1)=1,经比较得出函数的最小值为65)5(+-=-y , 最大值为45)43(=y .5. 问函数y =2x 3-6x 2-18x -7(1≤x ≤4)在何处取得最大值？并求出它的最大值. 解 y '=6x 2-12x -18=6(x -3)(x +1), 函数f (x )在1≤x ≤4内的驻点为x =3. 比较函数值:f (1)=-29, f (3)=-61, f (4)=-47,函数f (x )在x =1处取得最大值, 最大值为f (1)=-29.6. 问函数x x y 542-=(x <0)在何处取得最小值？解 2542x x y +=', 在(-∞, 0)的驻点为x =-3. 因为31082xy -='', 0271082)3(>+=-''y ,所以函数在x =-3处取得极小值. 又因为驻点只有一个, 所以这个极小值也就是最小值, 即函数在x =-3处取得最小值, 最小值为27)3(=-y .7. 问函数12+=x xy (x ≥0)在何处取得最大值？解 222)1(1+-='x x y . 函数在(0, +∞)内的驻点为x =1.因为当0<x <1时, y '>0; 当x >1时y '<0, 所以函数在x =1处取得极大值. 又因为函数在(0, +∞)内只有一个驻点, 所以此极大值也是函数的最大值, 即函数在x =1处取得最大值, 最大值为f (1)=21.8. 某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋, 现有存砖只够砌20cm 长的墙壁, 问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？解 设宽为x 长为y , 则2x +y =20, y =20-2x , 于是面积为 S = xy =x (20-2x )=20x -2x 2. S '=20-4x =4(10-x ), S ''=-4. 令S '=0, 得唯一驻点x =10.因为S ''(10)-4<0, 所以x =10为极大值点, 从而也是最大值点. 当宽为5米, 长为10米时这间小屋面积最大.9. 要造一圆柱形油罐, 体积为V , 问底半径r 和高h 等于多少时, 才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？解 由V =π r 2h , 得h =V π-1r -2. 于是油罐表面积为S =2π r 2+2π rh rVr 222+=π(0<x <+∞),224r Vr S -='π.令S '=0, 得驻点32πV r =. 因为0443>+=''r V S π, 所以S 在驻点32πVr =处取得极小值, 也就是最小值. 这时相应的高为r r Vh 2 20==π. 底直径与高的比为2r : h =1 : 1.10. 某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图), 截面的面积为5m 2, 问底宽x 为多少时才能使截面的周长最小, 从而使建造时所用的材料最省？解 设矩形高为h , 截面的周长S , 则5)2(212=⋅+πx xh , x x h 85π-=.于是xx x x h x S 10422++=++=ππ(π400<<x ), 21041xS -+='π.令S '=0, 得唯一驻点π+=440x .因为0203>=''xS , 所以π+=440x 为极小值点, 同时也是最小值点. 因此底宽为π+=440x 时所用的材料最省.11. 设有重量为5kg 的物体, 置于水平面上, 受力F 的作用而开始移动(如图). 设摩擦系数μ=0.25, 问力F 与水平线的交角α为多少时, 才可使力F 的大小为最小？解 由F cos α =(m -F sin α)μ 得αμαμsin cos +=m F (2 0πα≤≤),2)sin (cos )cos (sin αμααμαμ+-='m F , 驻点为 α = arctan μ.因为F 的最小值一定在)2 ,0(π内取得, 而F 在)2,0(π内只有一个驻点α = arctan μ,所以α=arctan μ一定也是F 的最小值点. 从而当α=arctan0.25=14︒时, 力F 最小. 12. 有一杠杆, 支点在它的一端. 在距支点0.1m 处挂一重量为49kg 的物体. 加力于杠杆的另一端使杠杆保持水平(如图). 如果杠杆的线密度为5kg/m , 求最省力的杆长?解 设杆长为x (m), 加于杠杆一端的力为F , 则有1.049521⋅+⋅=x x xF , 即)0(9.425>+=x x x F .29.425xF -=',驻点为x =1.4. 由问题的实际意义知, F 的最小值一定在(0, +∞)内取得, 而F 在(0, +∞)内只有一个驻点x =1.4, 所以F 一定在x =1.4m 处取得最小值, 即最省力的杆长为1.4m . 13. 从一块半径为R 的圆铁片上挖去一个扇形做成一漏斗(如图),问留下的扇形的中心角ϕ取多大时, 做成的漏斗的容积最大？ 解 漏斗的底周长l 、底半径r 、高h 分别为l =R ⋅ϕ, πϕ2R r =, 222242ϕππ-=-=Rr R h .漏斗的容积为22223242431ϕππϕπ-==R hr V (0<ϕ<2π). 2222234)38(24ϕπϕπϕπ--⋅='R V ，驻点为πϕ362=. 由问题的实际意义, V 一定在(0, 2π)内取得最大值, 而V 在(0, 2π)内只有一个驻点, 所以该驻点一定也是最大值点. 因此当ϕ π362=时, 漏斗的容积最大.14. 某吊车的车身高为1.5m , 吊臂长15m , 现在要把一个6m 宽、2m 高的屋架, 水平地吊到6m 高的柱子上去(如图), 问能否吊得上去？解 设吊臂对地面的倾角为ϕ时, 屋架能够吊到的最大高度为h . 在直角三角形∆EDG 中 15sin ϕ=(h -1. 5)+2+3tan ϕ,故 21tan 3sin 15--=ϕϕh ,ϕϕ2cos 3cos 15-='h . 令h '=0得唯一驻点5451arccos 3≈=ϕ︒.因为0cos sin 6sin 153<--=''ϕϕϕh , 所以ϕ=54︒为极大值点, 同时这也是最大值点. 当ϕ=54︒时, 5.721tan 3sin 15≈--=ϕϕh m .所以把此屋最高能水平地吊至7. 5m 高, 现只要求水平地吊到6m 处, 当然能吊上去. 15. 一房地产公司有50套公寓要出租. 当月租金定为1000元时, 公寓会全部租出去. 当月租金每增加50元时, 就会多一套公寓租不出去, 而租出去的公寓每月需花费100元的维修费. 试问房租定为多少可获最大收入？解 房租定为x 元, 纯收入为R 元.当x ≤1000时, R =50x -50⨯100=50x -5000, 且当x =1000时, 得最大纯收入45000元. 当x >1000时,700072501100)]1000(5150[)]1000(5150[2-+-=⋅---⋅--=x x x x x R ,72251+-='x R .令R '=0得(1000, +∞)内唯一驻点x =1800. 因为0251<-=''R , 所以1800为极大值点, 同时也是最大值点. 最大值为R =57800.因此, 房租定为1800元可获最大收入.习题3-6描绘下列函数的图形: 1. )786(5124++-=x x x y ;解 (1)定义域为(-∞, +∞);(2)23)1)(2(54)8124(51-+=+-='x x x x y ,)1)(1(512)33(542-+=-=''x x x y ,令y '=0, 得x =-2, x =1; 令y ''=0, 得x =-1, x =1.(3)列表(4)作图:2.21xx y +=;解 (1)定义域为(-∞, +∞);(2)奇函数, 图形关于原点对称, 故可选讨论x ≥0时函数的图形.(3)22)1()1)(1(x x x y ++--=', 32)1()3)(3(2x x x x y ++-='',当x ≥0时, 令y '=0, 得x =1; 令y ''=0, 得x =0, 3=x .(4)列表(5)有水平渐近线y =0; (6)作图:3.2)1(--=x e y ;解 (1)定义域为(-∞, +∞); (2))]221()][221([4)1(222)1()1(--+-=''--='----x x e y e x y x x ,令y '=0, 得x =1; 令y ''=0, 得221+=x ,221-=x .(3)列表(4)有水平渐近线y =0; (5)作图: 4.xx y 12+=;解 (1)定义域为(-∞, 0)⋃(0, +∞); (2)2321212xx xx y -=-=',333)1(222x x x y +=+='',令y '=0, 得321=x ; 令y ''=0, 得x =-1.(3)列表(4)有铅直渐近线x =0; (5)作图: 5.xxy 2cos cos =.解 (1)定义域为42ππ+≠n x (n =0, ±1, ±2, ⋅⋅⋅)(2)是偶函数, 周期为2 . 可先作[0, ]上的图形, 再根据对称性作出[-, 0)内的图形, 最后根据周期性作出[-, ]以外的图形; (3)xx x y 2cos )sin 23(sin 22-=',xx x x y 2cos )sin 4sin 123(cos 342-+⋅='',在[0,]上, 令y '=0, 得x =0, x =; 令y ''=0, 得2π=x .(4)列表(5)有铅直渐近线4π=x 及43π=x ;(6)作图:习题3-71. 求椭圆4x 2+y 2=4在点(0, 2)处的曲率. 解 两边对x 求导数得8x +2yy '=0, y x y 4-=', 244y y x y y '--=''.y '|(0, 2)=0, y ''|(0, 2)=-2.所求曲率为2)01(|2|)1(||2/322/32=+-='+''=y y K .2. 求曲线y =lnsec x 在点(x , y )处的曲率及曲率半径.解 x x x xy tan tan sec sec 1=⋅⋅=', x y 2sec =''.所求曲率为|cos |)tan 1(|sec |)1(||2/3222/32x x x y y K =+='+''=, 曲率半径为 |sec ||cos |11x x K ===ρ.3. 求抛物线y =x 2-4x +3在其顶点处的曲率及曲率半径. 解 y '=2x -4, y ''=2.令y '=0, 得顶点的横坐标为x =2. y '|x =2=0, y ''|x =2=2. 所求曲率为2)01(|2|)1(||2/322/32=+='+''=y y K , 曲率半径为211==K ρ.4. 求曲线x =a cos 3t , y =a sin 3t 在t =t 0处的曲率.解 t x a t a y tan )cos ()sin (33-=''=', tt a x a x y 43cos sin 31)cos ()tan (⋅=''-=''. 所求曲率为|2sin |32|cos sin 31|)tan 1(|cos sin 31|)1(||32/3242/32t a t t a t t t a y y K ==+⋅='+''=, |2sin |3200t a K t t ==.5. 对数曲线y =ln x 上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径.解 x y 1=', 21xy -=''.2/322/3222/32)1()11(|1|)1(||x x xx y y K +=+-='+''=, xx 232)1(+=ρ,2222232212)12(1)1(2)1(23x x x x x x x x --=+-⋅⋅+='ρ.令ρ'=0, 得22=x . 因为当220<<x 时, ρ<0; 当22>x 时, ρ>0, 所以22=x 是ρ的极小值点, 同时也最小值点. 当22=x 时, 22ln =y . 因此在曲线上点)22ln ,22(处曲率半径最小, 最小曲率半径为233=ρ. 6. 证明曲线axa y ch =在点(x , y )处的曲率半径为a y 2.解 a x y sh =', axa y ch 1=''.在点(x , y )处的曲率半径为a y a x a a x a a xa x a a x y y 222/322/322/32ch |ch 1|)(ch |ch 1|)sh 1(||)1(===+='''+=ρ.7. 一飞机沿抛物线路径100002x y =(y 轴铅直向上, 单位为m )作俯冲飞行, 在坐标原点O 处飞机的速度为v =200m /s 飞行员体重G =70Kg . 求飞机俯冲至最低点即原点O 处时座椅对飞行员的反力.解 5000100002x x y ==', 50001=''y ; y '|x =0=0, 50001|0=''=x y . 500050001)01(||)1(|2/322/320=+='''+==y y x ρ.向心力56050002007022=⨯==ρmV F (牛顿). 飞行员离心力及它本身的重量对座椅的压力为 79⨯9.8+560=1246(牛顿).8. 汽车连同载重共5t , 在抛物线拱桥上行驶, 速度为21.6km/h , 桥的跨度为10m , 拱的矢高为0.25m . 求汽车越过桥顶时对桥的压力.解 如图取直角坐标系, 设抛物线拱桥方程为y =ax 2, 由于抛物线过点(5, 0.25), 代入方程得01.02525.0==a ,于是抛物线方程为y =0. 01x 2. y '=0.02x , y ''=0.02.5002.0)01(||)1(|2/322/320=+='''+==y y x ρ. 向心力为360050)3600106.21(1052332=⨯⨯==ρmV F (牛顿). 因为汽车重为5吨, 所以汽车越过桥顶时对桥的压力为 5⨯103⨯9.8-3600=45400(牛顿).*9. 求曲线y =ln x 在与x 轴交点处的曲率圆方程.*10. 求曲线y =tan x 在点)1 ,4(π处的曲率圆方程.*11. 求抛物线y 2=2px 的渐屈线方程.总习题三1. 填空:设常数k >0, 函数k exx x f +-=ln )(在(0, +∞)内零点的个数为________.解 应填写2.提示: e x x f 11)(-=', 21)(xx f -=''.在(0, +∞)内, 令f '(x )=0, 得唯一驻点x =e .因为f ''(x )<0, 所以曲线k exx x f +-=ln )(在(0, +∞)内是凸的, 且驻点x =e 一定是最大值点,最大值为f (e )=k >0.又因为-∞=+→)(lim 0x f x , -∞=+∞→)(lim x f x , 所以曲线经过x 轴两次, 即零点的个数为2.2. 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论:设在[0, 1]上f ''(x )>0, 则f '(0), f '(1), f (1)-f (0)或f (0)-f (1)几个数的大小顺序为( ). (A )f '(1)>f '(0)>f (1)-f (0); (B )f '(1)>f (1)-f (0)>f '(0); (C )f (1)-f (0)>f '(1)>f '(0); (D )f '(1)>f (0)-f (1)>f '(0). 解 选择B .提示: 因为f ''(x )>0, 所以f '(x )在[0, 1]上单调增加, 从而f '(1)>f '(x )>f '(0). 又由拉格朗日中值定理, 有f (1)-f (0)=f '(ξ), ξ∈[0, 1], 所以 f '(1)> f (1)-f (0)>f '(0).3. 列举一个函数f (x )满足: f (x )在[a , b ]上连续, 在(a ,b )内除某一点外处处可导, 但在(a , b )内不存在点ξ , 使f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a ). 解 取f (x )=|x |, x ∈[-1, 1].易知f (x )在[-1, 1]上连续, 且当x >0时f '(x )=1; 当x >0时, f '(x )=-1; f '(0)不存在, 即f (x )在[-1, 1]上除x =0外处处可导.注意f (1)-f (-1)=0, 所以要使f (1)-f (-1)=f '(ξ)(1-(-1))成立, 即f '(ξ)=0, 是不可能的. 因此在(-1, 1)内不存在点ξ , 使f (1)-f (-1)=f '(ξ)(1-(-1)). 4. 设k x f x ='∞→)(lim , 求)]()([lim x f a x f x -+∞→.解 根据拉格朗日中值公式, f (x +a )-f (x )=f '(ξ )⋅a , ξ 介于x +a 与x 之间. 当x →∞ 时, ξ → ∞, 于是ak f a a f x f a x f x x ='=⋅'=-+∞→∞→∞→)(lim )(lim )]()([lim ξξξ.5. 证明多项式f (x )=x 3-3x +a 在[0, 1]上不可能有两个零点.证明 f '(x )=3x 2-3=3(x 2-1), 因为当x ∈(0, 1)时, f '(x )<0, 所以f (x )在[0, 1]上单调减少. 因此, f (x ) 在[0, 1]上至多有一个零点.6. 设1210++⋅⋅⋅++n a aa n =0, 证明多项式f (x )=a 0+a 1x +⋅ ⋅ ⋅+a n x n 在(0,1)内至少有一个零点.证明 设121012)(+++++=n n x n a x ax a x F , 则F (x )在[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导, 且F (0)=F (1)=0. 由罗尔定理, 在(0, 1)内至少有一个点ξ , 使F (ξ )=0. 而F '(x )=f (x ), 所以f (x )在(0, 1)内至少有一个零点.7. 设f (x )在[0, a ]上连续, 在(0, a )内可导, 且f (a )=0, 证明存在一点ξ∈(0, a ), 使f (ξ)+ξf '(ξ)=0.证明 设F (x )=xf (x ), 则F (x )在[0, a ]上连续, 在(0, a )内可导, 且F (0)=F (a )=0. 由罗尔定理, 在(0, a )内至少有一个点ξ , 使F (ξ )=0. 而F (x )=f (x )+x f '(x ), 所以f (ξ)+ξf '(ξ)=0.8. 设0<a <b , 函数f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, 试利用柯西中值定理, 证明存在一点ξ∈(a , b )使abf b f a f ln )()()(ξξ'=-.证明 对于f (x )和ln x 在[a , b ]上用柯西中值定理, 有ξξ1)(ln ln )()(f ab a f b f '=--, ξ∈(a , b ), 即 abf b f a f ln )()()(ξξ'=-, ξ∈(a , b ).9. 设f (x )、g (x )都是可导函数, 且|f '(x )|<g '(x ), 证明: 当x >a 时, |f (x )-f (a )|<g (x )-g (a ).证明 由条件|f '(x )|<g '(x )得知,1)()(<''ξξg f , 且有g '(x )>0, g (x )是单调增加的, 当x >a 时, g (x )>g (a ).因为f (x )、g (x )都是可导函数, 所以f (x )、g (x ) 在[a , x ]上连续, 在(a , x )内可导, 根据柯西中值定理, 至少存在一点ξ∈(a , x ), 使)()()()()()(ξξg f a g x g a f x f ''=--. 因此,1)()()()(|)()(|<''=--ξξg f a g x g a f x f , |f (x )-f (a )|<g (x )-g (a ).10. 求下列极限:(1)xx x x xx ln 1lim 1+--→;(2)]1)1ln(1[lim 0xx x -+→;(3)x x x )arctan 2(lim π+∞→.(4)nxx n x x x n a a a ]/) [(lim 11211+⋅⋅⋅++∞→(其中a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n >0).解 (1) (x x )'=(e x l n x )'=e x l n x(ln x +1)=x x (ln x +1).xx x x xx x x x x x x x x x x x x x x x xx -+-=+-+-='+-'-=+--+→→→→1)1(ln lim11)1(ln 1lim )ln 1()(lim ln 1lim 11111 21)1)(ln 11(ln 1lim11=--+++-=+→xx x x x x x x . (2)xxx x x x x x x x x x x x x x x x ++++-='+'+-=++-=-+→→→→1)1ln(111lim ])1ln([])1ln([lim )1ln()1ln(lim ]1)1ln(1[lim 00002111)1l n (1lim )1ln()1(lim00=+++=+++=→→x x x x x x x。
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)-课后习题详解-第二章 导数与微分【圣才出品】
第二章 导数与微分2.2 课后习题详解习题2-1 导数概念1．设物体绕定轴旋转，在时间间隔[0，t]上转过角度θ，从而转角θ是t的函数：θ＝θ(t)．如果旋转是匀速的，那么称为该物体旋转的角速度．如果旋转是非匀速的，应怎样确定该物体在时刻t 0的角速度？解：物体在时间间隔上的平均角速度在时刻t 0的角速度2．当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却．若物体的温度T 与时间t 的函数关系为T ＝T(t)，应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度？解：物体在时间间隔上平均冷却速度[,]t t t +∆在时刻t 的冷却速度3．设某工厂生产x件产品的成本为函数C(x)称为成本函数，成本函数C(x)的导数在经济学中称为边际成本．试求（1）当生产100件产品时的边际成本；（2）生产第101件产品的成本，并与（1）中求得的边际成本作比较，说明边际成本的实际意义．即生产第101件产品的成本为79.9元，与（1）中求得的边际成本比较，可以看出边际成本的实际意义是近似表达产量达到x单位时再增加一个单位产品所需的成本．4．设f(x)＝10x2，试按定义求．解：5．证明证：6．下列各题中均假定存在，按照导数定义观察下列极限，指出A表示什么：以下两题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论：7．设则f(x)在x＝1处的（ ）．A．左、右导数都存在B．左导数存在，右导数不存在C．左导数不存在，右导数存在D．左、右导数都不存在【答案】B【解析】 故该函数左导数存在，右导数不存在．8．设f(x)可导，，则f(0)＝0是F(x)在x＝0处可导的（ ）．A．充分必要条件B ．充分条件但非必要条件C ．必要条件但非充分条件D ．既非充分条件又非必要条件【答案】A 【解析】 当f(0)＝0时，，反之当时，f(0)＝0，为充分必要条件．9．求下列函数的导数：10．已知物体的运动规律为s ＝t 3m ，求这物体在t ＝2s 时的速度．解：11．如果f(x)为偶函数，且f ＇(0)存在，证明f ＇(0)＝0．证：f(x)为偶函数，得．因为所以f ＇(0)＝0．。
第六版同济大学高等数学上下课后答案详解
|sin x | | x | 3 求 ( ) ( ) ( ) (2) 并作出函数 y(x) 8 设 ( x) 4 6 4 | x | 0 3
的图形 解 ( ) |sin | 1 ( ) |sin | 2 ( ) |sin( )| 2 (2) 0 6 6 2 4 4 2 4 4 2 9 试证下列函数在指定区间内的单调性 (1) y x ( 1) 1 x (2)yxln x (0 ) 证明 (1)对于任意的 x1 x2( 1) 有 1x10 1x20 因为当 x1x2 时
对于映射 g YX 因为对每个 yY 有 g(y)xX 且满足 f(x)f[g(y)]Iy yy 按逆映射的定义 g 是 f 的逆映射 5 设映射 f XY AX 证明 (1)f 1(f(A))A (2)当 f 是单射时 有 f 1(f(A))A 证明 (1)因为 xA f(x)yf(A) f 1(y)xf 1(f(A)) f 1(f(A))A 所以 (2)由(1)知 f 1(f(A))A 另一方面 对于任意的 xf 1(f(A))存在 yf(A) 使 f 1(y)xf(x)y 因为 yf(A)且 f 是单射 所以 xA 这就证明了 f 1(f(A))A 因此 f 1(f(A))A 6 求下列函数的自然定义域 (1) y 3x 2 解 由 3x20 得 x 2 函数的定义域为 [ 2 , ) 3 3 (2) y 1 2 1 x 解 由 1x20 得 x1 函数的定义域为( 1)(1 1)(1 ) (3) y 1 1 x 2 x 解 由 x0 且 1x20 得函数的定义域 D[1 0)(0 1] (4) y
y1 y2
x1 x x1 x2 2 0 1 x1 1 x2 (1 x1)(1 x2 )
同济第六版高数答案(高等数学课后习题解答)1
习题8-31. 求下列函数的全微分: (1)yx xy z +=;解 dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂=dy y x x dx y y )()1(2-++=.(2)xy e z =;解 xdy e x dx e x y dy y z dx x z dz y x y 12+-=∂∂+∂∂=.(3) 22y x yz +=;解 因为2/3222322)()(21y x xy y x y x z +-=+-=∂∂-, 2/3222222222)(y x x y x y x yy y x y z +=++⋅-+=∂∂, 所以 dy y x x dx y x xy dz 2/32222/322)()(+++-=)()(2/322xdy ydx y x x -+-=.(4)u =x yz . 解 因为1-⋅=∂∂yz x yz x u , x zx yu yz ln =∂∂, x yx z u yz ln =∂∂,所以 xdz yx xdy zx dx yzx du yz yz yz ln ln 1++=-.2. 求函数z =ln(1+x 2+y 2)当x =1, y =2时的全微分. 解 因为2212y x x x z ++=∂∂, 2212y x y y z ++=∂∂, 3121=∂∂==y x xz, 3221=∂∂==y x y z , 所以 dy dx dz y x 323121⋅+===.3. 求函数xyz =当x =2, y =1, ∆x =0.1, ∆y =-0.2时的全增量和全微分.解 因为xy x x y y z -∆+∆+=∆, y x x x ydz ∆+∆-=12, 所以, 当x =2, y =1, ∆x =0.1, ∆y =-0.2时,119.0211.02)2.0(1-=-+-+=∆z , 125.0)2.0(211.041-=-⨯+⨯-=dz .4. 求函数z =e xy 当x =1, y =1, ∆x =0.15, ∆y =0.1时的全微分. 解 因为y xe x ye y yz x x z dz xy xy ∆+∆=∆∂∂+∆∂∂=所以, 当x =1, y =1, ∆x =0.15, ∆y =0.1时, e e e dz 25.01.015.0=⋅+⋅=.*5. 计算33)97.1()102(+的近似值. 解 设33y x z +=, 由于y yz x x z y x y y x x ∆∂∂+∆∂∂++≈∆++∆+3333)()(332233233yx y y x x y x +∆+∆++=,所以取x =1, y =2, ∆x =0.02, ∆y =-0.03可得95.2212)03.0(2302.0321)97.1()02.1(32333=+-⋅⋅+⋅++≈+. *6. 计算(1.97)1.05的近似值(ln2=0.693). 解 设z =x y , 由于y yz x x z x x x y y y ∆∂∂+∆∂∂+≈∆+∆+)(y x x x yx x y y y ∆+∆+=-ln 1,所以取x =2, y =1, ∆x =-0.03, ∆y =0.05可得(1.97)1.05≈2-0.03+2ln2⋅0.05+1.97+0.0693 ≈2.093.*7( 已知边长为x(6m 与y(8m 的矩形( 如果x 边增加5cm 而y 边减少10cm(问这个矩形的对角线的近似变化怎样？ 解 矩形的对角线为22y x z +=,)(122y y x x yx y dy dz x dx dz dz z ∆+∆+=∆+∆=≈∆,当x =6, y =8, ∆x =0.05, ∆y =-0.1时,05.0)1.0805.06(86122-=⋅-⋅+≈∆z .这个矩形的对角线大约减少5cm .*8. 设有一无盖圆柱形容器, 容器的壁与底的厚度均为0.1cm , 内高为20cm ,内半径为4厘米, 求容器外壳体积的近似值. 解 圆柱体的体积公式为V =πR 2h , ∆V ≈dV =2πRh ∆R +πR 2∆h , 当R =4, h =20, ∆R =∆h =0.1时,∆V ≈2⨯3.14⨯4⨯20⨯0.1+3.14⨯42⨯0.1≈55.3(cm 3), 这个容器外壳的体积大约是55.3cm 3.*9. 设有直角三角形, 测得其两腰的长分别为7±0.1cm 和24±0.1cm , 试求利用上述二值来计算斜边长度时的绝对误差. 解 设两直角边的长度分别为x 和y , 则斜边的长度为22y x z +=.||||||||||||y y z x x z dz z ∆⋅∂∂+∆⋅∂∂≤≈∆|)|||(122y y x x yx ∆+∆+=.令x =7, y =24, |∆x |≤0.1, |∆y |≤0.1, 则得斜边长度z 的绝对误差约为124.0)1.0241.07(247122=⋅+⋅+=z δcm .*10. 测得一块三角形土地的两边长分别为63±0.1m 和78±0.1m ,这两边的夹角为60︒±1︒, 试求三角形面积的近似值, 并求其绝对误差和相对误差.解 设三角形的两边长为x 和y , 它们的夹角z , 为则三角形面积为z xy s sin 21=.zdz xy zdy x zdx y dS cos 21sin 21sin 21++=||cos 21||sin 21||sin 21||||dz z xy dy z x dx z y dS S ++≤≈∆.令x =63, y =78, 3π=z , |dx |=0.1, |dy |=0.1, 180π=dz , 则55.2718021278631.0232631.023278=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯≈πδs ,82.21273sin 786321=⋅⋅⋅=πS ,%29.182.212755.27==S s δ,所以三角形面积的近似值为2127.82m 2, 绝对误差为27.55m 2, 相对误差为1.29%.*11. 利用全微分证明: 两数之和的绝对误差等于它们各自的绝对误差之和.证明 设u =x +y , 则||||||||||||y x y x y yu x x u du u ∆+∆≤∆+∆=∆∂∂+∆∂∂=≈∆.所以两数之和的绝对误差|∆u |等于它们各自的绝对误差|∆x |与|∆y |的和.*12. 利用全微分证明: 乘积的相对误差等于各因子的相对误差之和; 商的相对误差等于被除数及除数的相对误差之和. 证明 设u =xy , y x v =, 则∆u ≈du =ydx +xdy ,2yxdyydx dv v -=≈∆, 由此可得相对误差;||||||||y dy x dx xy xdy ydx u du u u +=+=≈∆||||||||yyx x y dy x dx ∆+∆=+≤;||||||||2y dy x dx yx y xdy ydx v dv v v -=⋅-==∆||||||||y yx x y dy x dx ∆+∆=+≤.习题8-41. 设z =u 2-v 2, 而u =x +y , v =x -y , 求x z ∂∂, y z ∂∂.解 xv v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=2u ⋅1+2v ⋅1=2(u +v )=4x ,y v v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=2u ⋅1+2v ⋅(-1)=2(u -v )=4y .2. 设z =u 2ln v , 而y x u =, v =3x -2y , 求x z ∂∂, y z ∂∂.解 xv v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂31ln 22⋅+⋅=v u y v u 222)23(3)23ln(2y y x x y x y x -+-=, yv v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂)2()(ln 222-+-⋅=v u y x v u 2232)23(2)23ln(2yy x x y x y x ----=. 3. 设z =e x -2y , 而x =sin t , y =t 3, 求dtdz .解 dtdyy z dt dx x z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=2223)2(cos t e t e y x y x ⋅-⋅+=--)6(cos )6(cos 22sin 223t t e t t e t t y x -=-=--.4. 设z =arcsin(x - y ), 而x +3t , y =4t 3, 求dtdz .解 dt dy y z dt dx x z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=22212)(113)(11t y x y x ⋅---+⋅--= 232)43(1)41(3t t t ---=. 5. 设z =arctan(xy ), 而y =e x , 求dxdz .解 dx dy y z x z dx dz ⋅∂∂+∂∂=xxxe x x e e y x x y x y 2222221)1(11++=⋅+++=.6. 设1)(2+-=a z y e u ax , 而y =a sin x , z =cos x , 求dxdu .解 dxdz dz u dx dyy u x u dx du ⋅∂+⋅∂∂+∂∂=)sin (1cos 11)(222x a e x a a e a z y ae ax ax ax -⋅+-⋅+++-= )sin cos cos sin (122x x a x a x a a e ax ++-+=x e ax sin =. 7. 设yx z arctan =, 而x =u +v , y =u -v , 验证22v u v uv z u z +-=∂∂+∂∂. 证明 )()(v yy z v x x z u y y z u x x z v z u z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂+∂∂)()(111)(11222y x yx y y x -⋅++⋅+=)1()()(111)(11222-⋅-⋅++⋅++y x yx y y x22222v u v u y x y +-=+=. 8. 求下列函数的一阶偏导数(其中f 具有一阶连续偏导数): (1) u =f (x 2-y 2, e xy );解 将两个中间变量按顺序编为1, 2号, 2122212)()(f ye f x xe f x y x f x u xy xy '+'=∂∂⋅'+∂-∂⋅'=∂∂, 212)2212)((f xe f y ye f y y x f y u xy xy '+'-=∂∂⋅'+∂-∂⋅'=∂∂. (2)) ,(zyy x f u =;解 1211)()(f y z yx f y x x f x u '=∂∂⋅'+∂∂⋅'=∂∂,)()(21z yy f y x y f y u ∂∂⋅'+∂∂'=∂∂2121f z f y x '+'-=,)()(21z y z f z x z f z u ∂∂⋅'+∂∂'=∂∂22f z y '⋅-=. (3) u =f (x , xy , xyz ).解 yz f y f f xu ⋅'+⋅'+⋅'=∂∂3211321f yz f y f '+'+'=,3232f xz f x xz f x f y u '+'=⋅'+⋅'=∂∂,33f xy xy f zu '=⋅'=∂∂.9. 设z =xy +xF (u ), 而xyu =, F (u )为可导函数, 证明xy z yz y x z x +=∂∂+∂∂⋅. 证明 y z y x z x ∂∂⋅+∂∂⋅])([])()([y u u F x x y x u u F x u F y x ∂∂'+⋅+∂∂'++=)]([)]()([u F x y u F xyu F y x '+⋅+'-+==xy +xF (u )+xy =z +xy .10. 设)(22y x f yz -=, 其中f (u )为可导函数, 验证 211y z y z y x z x =∂∂+∂∂.证明 ()()u f f xy u f x f y x z 2222'-=⋅'⋅-=∂∂, ()()u f f y u f u f y f y u f y z 2222)(1)2()('-+=-⋅'⋅-=∂∂, 所以 )(11221122u f y u f f y u f f y y z y x z x ⋅+'+'-=∂∂⋅+∂∂⋅211yz zy y =⋅.11. 设z =f (x 2+y 2), 其中f 具有二阶导数, 求22x z ∂∂, y x z ∂∂∂2, 22y z ∂∂.解 令u =x 2+y 2, 则z =f (u ), f x xu u f x z '=∂∂'=∂∂2)(,f y yu u f y z '=∂∂'=∂∂2)(,f x f x u f x f x z ''+'=∂∂⋅''+'=∂∂2224222,f xy yu f x y x z ''=∂∂⋅''=∂∂∂422,f y f yu f y f y z ''+'=∂∂⋅''+'=∂∂422222. 12. 求下列函数的22x z ∂∂,y x z ∂∂∂2,22yz ∂∂(其中f 具有二阶连续偏导数): (1) z =f (xy , y );解 令u =xy , v =y , 则z =f (u , v ).ufy v f y u f x v v f x u u f x z ∂∂=⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂0,vfu f x v f x u f y v v f y u u f y z ∂∂+∂∂=⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂1.因为f (u , v )是u 和v 的函数, 所以u f∂∂和vf ∂∂也是u 和v 的函数, 从而u f∂∂和vf ∂∂是以u 和v 为中间变量的x 和y 的函数. )()()(22uf x y u f y x x z x x z ∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂222222222)0()(u f y v u f y u f y x v v u f x u u f y ∂∂=⋅∂∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂=,)(1)()(2uf y y u f u f y y x z y y x z ∂∂∂∂+∂∂⋅=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂ )(222yvv u f y u u f y u f ∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂= v u fy u f xy u f v u f x u f y u f ∂∂∂+∂∂+∂∂=⋅∂∂∂+⋅∂∂+∂∂=222222)1(,)()()()(22vf y u f y x v f u f x y y z y y z∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂ y vv f y u u v f y v v u f y u u f x ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂=222222)( 1)1(222222⋅∂∂+⋅∂∂∂+⋅∂∂∂+⋅∂∂=vfx u v f v u f x u f x2222222vfv u f x u f x ∂∂+∂∂∂+∂∂=. (2)) ,(yx x f z =;解 令u =x ,yx v =, 则z =f (u , v ).v fy u f x v v f dx du u f x z ∂∂⋅+∂∂=∂∂⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂1,vfy x dy dv v f y z ∂∂⋅-=⋅∂∂=∂∂2.因为f (u , v )是u 和v 的函数, 所以u f∂∂和vf ∂∂也是u 和v 的函数, 从而u f∂∂和vf ∂∂是以u 和v 为中间变量的x 和y 的函数. )(1)()1()(22v f x y u f x v f y u f x x z x x z ∂∂∂∂⋅+∂∂∂∂=∂∂⋅+∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂ )(1)(222222xvv f dx du u v f y x v v u f dx du u f ∂∂⋅∂∂+⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+⋅∂∂=22222212vfy v u f y u f ∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂=,)1()(2vf y u f y x z y y x z ∂∂⋅+∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂)(1)1()(v f y y v f y dy d u f y ∂∂∂∂⋅+∂∂⋅+∂∂∂∂= y vv f y v f y y v v u f ∂∂⋅∂∂⋅+∂∂⋅-∂∂⋅∂∂∂=22211 2232221vf y x v f y v u f y x ∂∂⋅-∂∂⋅-∂∂∂⋅-= )()()(2222vf y y x v f y x y y z y y z∂∂∂∂⋅-∂∂⋅-∂∂=∂∂∂∂=∂∂22423222322v f y x v f y x y v v f y x v f y x ∂∂⋅+∂∂⋅=∂∂⋅∂∂⋅-∂∂⋅=. (3) z =f (xy 2, x 2y );解 z x =f 1'⋅y 2+f 2'⋅2xy =y 2f 1'+2xyf 2', z y =f 1'⋅2xy +f 2'⋅x 2=2xyf 1'+x 2f 2';z xx =y 2[f 11''⋅y 2+f 12''⋅2xy ]+2yf 2''+2xy [f 21''⋅y 2+f 22''⋅2xy ] =y 4f 11''+2xy 3f 12''+2yf 2''+2xy 3f 21''+4x 2y 2 f 22'' =y 4f 11''+4xy 3f 12''+2yf 2''+4x 2y 2 f 22'',z xy =2y f 1'+y 2[f 11''⋅2xy +f 12''⋅x 2]+2xf 2'+2xy [f 21''⋅2xy +f 22''⋅x 2] =2y f 1'+2xy 3f 11''+x 2y 2 f 12''+2xf 2'+4x 2y 2f 21''+2x 3yf 22'' =2y f 1'+2xy 3f 11''+5x 2y 2 f 12''+2xf 2'+2x 3yf 22'', z yy =2xf 1'+2xy [f 11''⋅2xy +f 12''⋅x 2]+x 2[f 21''⋅2xy +f 22''⋅x 2] =2xf 1'+4x 2y 2f 11''+2x 3y f 12''+2x 3yf 21''+x 4f 22'' =2xf 1'+4x 2y 2f 11''+4x 3y f 12''+x 4f 22''. (4) z =f (sin x , cos y , e x +y ).解 z x =f 1'⋅cos x + f 3'⋅e x +y =cos x f 1'+e x +y f 3', z y =f 2'⋅(-sin y )+ f 3'⋅e x +y =-sin y f 2'+e x +y f 3', z xx =-sin x f 1'+cos x ⋅(f 11''⋅cos x + f 13''⋅e x +y ) +e x +y f 3'+e x +y (f 31''⋅cos x + f 33''⋅e x +y ) =-sin x f 1'+cos 2x f 11''+e x +y cos x f 13''+e x +y f 3' +e x +y cos x f 31''+e 2(x +y ) f 33''=-sin x f 1'+cos 2x f 11''+2e x +y cos x f 13''+e x +y f 3'+e 2(x +y ) f 33'', z xy =cos x [f 12''⋅(-sin y )+ f 13''⋅e x +y ] +e x +y f 3'+e x +y [f 32''⋅(-sin y )+ f 33''⋅e x +y ] =-sin y cos x f 12''+e x +y cos x f 13' +e x +y f 3'-e x +y sin y f 32'+e 2(x +y )f 33' =-sin y cos x f 12''+e x +y cos x f 13'' +e x +y f 3'-e x +y sin y f 32''+e 2(x +y )f 33'',z yy =-cos y f 2'-sin y [f 22''⋅(-sin y )+ f 23''⋅e x +y ] +e x +y f 3'+e x +y [f 32''⋅(-sin y )+ f 33''⋅e x +y ] =-cos y f 2'+sin 2y f 22''-e x +y sin y f 23'' +e x +y f 3'-e x +y sin y f 32''+ f 33''⋅e 2(x +y )=-cos y f 2'+sin 2y f 22''-2e x +y sin y f 23''+e x +y f 3'+f 33''⋅e 2(x +y ). 13. 设u =f (x , y )的所有二阶偏导数连续, 而23t s x -=,23t s y +=, 证明2222)()()()(t u s u y u x u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂及22222222t u s u y u x u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂.证明 因为y u x u s yy u s x x u s u ∂∂⋅+∂∂⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂2321yu x u t yy u t x x u t u ∂∂⋅+∂∂⋅-=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂2123所以2222)2123()2321()()(y u x u y u x u t u s u ∂∂+∂∂-+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂22)()(y u x u ∂∂+∂∂=. 又因为)2321()(22yu x u s s u s s u∂∂⋅+∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂=∂∂ )(23)(21222222s y y u s x x y u s y y x u s x x u ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂= )2321(23)2321(21222222y u x y u y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂⋅= 22222432341yu y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂⋅=,)2123()(22yu x u t t u t t u∂∂⋅+∂∂⋅-∂∂=∂∂∂∂=∂∂ )(21)(23222222t y y u t x x y u t y y x u t x x u ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂-= )2123(21)2123(23222222y u x y u y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅-+∂∂∂⋅+∂∂⋅--= 22222412343y u y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅-∂∂⋅=, 所以 22222222yu x u t u s u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂.习题8-51. 设sin y +e x -xy 2=0, 求dxdy . 解 令F (x , y )=sin y +e x -xy 2, 则F x =e x -y 2, F y =cos y -2xy ,xyy e y xy y y e F F dx dy xy x 2cos 2cos 222--=---=-=. 2. 设x y y x arctan ln 22=+, 求dxdy .解 令xyy x y x F arctan ln ),(22-+=, 则22222222)()(11221y x y x x y xy y x x y x F x ++=-⋅+-+⋅+=,22222221)(11221y x x y x xy y x y y x F y +-=⋅+-+⋅+=, yx y x F F dx dyy x -+=-=. 3. 设022=-++xyz z y x , 求x z ∂∂及y z ∂∂.解 令xyz z y x z y x F 22),,(-++=, 则 xyz yz F x -=1, xyzxz F y -=2, xyz xyF z -=1, xy xyz xyz yz F F x z z x --=-=∂∂, xy xyz xyz xz F F y z z y --=-=∂∂2. 4. 设y z z x ln =, 求x z ∂∂及y z ∂∂,解 令yz z x z y x F ln ),,(-=, 则 z F x 1=, y y z y z F y 1)(12=-⋅-=, 2211z z x y yz z x F z +-=⋅--=, 所以 z x z F F x z z x +=-=∂∂, )(2z x y z F F yz z y +=-=∂∂.5. 设2sin(x +2y -3z )=x +2y -3z , 证明1=∂∂+∂∂y z x z证明 设F (x , y , z )=2sin(x +2y -3z )-x -2y +3z , 则 F x =2cos(x +2y -3z )-1, F y =2cos(x +2y -3z )⋅2-2=2F x , F z =2cos(x +2y -3z )⋅(-3)+3=-3F x ,313=--=-=∂∂x x z x F F F F x z ,3232=--=-=∂∂x x z y F F F F yz , 于是13231=+=--=∂∂+∂∂z z z x F F F F y z x z . 6. 设x =x (y , z ), y =y (x , z ), z =z (x , y )都是由方程F (x , y , z )=0所确定的具有连续偏导数的函数, 证明1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂x z z yy x .解 因为x y F F y x -=∂∂, y z F F z y -=∂∂, zx F F x z -=∂∂, 所以 1)()()(-=-⋅-⋅-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂zx y z x y F F F F F F x z z y y x . 7. 设ϕ(u , v )具有连续偏导数, 证明由方程ϕ(cx -az , cy -bz )=0 所确定的函数z =f (x , y )满足 c y z b x z a =∂∂+∂∂.证明 因为vu uv u u b a c b a c x z ϕϕϕϕϕϕ+=⋅-⋅-⋅-=∂∂, vu v v u v b a c b a c y z ϕϕϕϕϕϕ+=⋅-⋅-⋅-=∂∂, 所以 c b a c b b a c a y z b x z a vu vv u u =+++⋅=∂∂+∂∂ϕϕϕϕϕϕ.8. 设e z-xyz =0, 求22xz∂∂.解 设F (x , y , z )=e z -xyz , 则F x =-yz , F z =e z -xy , xye yzF F x z z z x -=-=∂∂,222)()()()(xy e y x z e yz xy e x z y x z x x z z z z --∂∂--∂∂=∂∂∂∂=∂∂ 222)()(xy e xye yzyze xy ye z y zz z z ----+=32232)(22xy e e z y z xy ze y z zz ---=. 9. 设z 3-3xyz =a 3, 求yx z ∂∂∂2. 解 令F (x , y , z )=z 3-3xyz -a 3, 则 xyz yzxy z yz F F x z z x -=---=-=∂∂22333,xyz xzxy z xz F F y z z y -=---=-=∂∂22333, )()(22xyz yz y x z y y x z -∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂ 222)()2())((xy z x yz z yz xy z y z y z --∂∂--∂∂+= 22222)()2()()(xy z x xyz xz z yz xy z xy z xz yz -----⋅-+=322224)()2(xy z y x xyz z z ---=. 10. 求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数: (1)设⎩⎨⎧=+++=203222222z y x y x z , 求dx dy , dx dz ;解 视y =y (x ), z =z (x ), 方程两边对x 求导得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=064222dx dz z dx dy y x dx dy y x dx dz , 即⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-xdx dzz dxdy y x dx dz dx dy y 3222.解方程组得 )13(2)16(++-=∂∂z y z x x y , 13+=z x dx dz.(2)设⎩⎨⎧=++=++10222z y x z y x , 求dz dx ,dz dy ; 解 视x =x (z ), y =y (z ), 方程两边对z 求导得 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++022201z dz dy y dz dx x dz dy dz dx , 即⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+zdz dy y dzdxx dz dy dz dx 2221.解方程组得y x z y z x --=∂∂, yx xz z y --=∂∂. (3)设⎩⎨⎧-=+=),(),(2y v x u g v y v ux f u , 其中f , g 具有一阶连续偏导数, 求x u ∂∂,xv ∂∂; 解 视u =u (x , y ), v =v (x , y ), 方程两边对x 求偏导得 ⎪⎩⎪⎨⎧∂∂⋅'+-∂∂⋅'=∂∂∂∂⋅'+∂∂+⋅'=∂∂x v yv g xu g x v x vf x u x u f x u 21212)1()( ,即 ⎪⎩⎪⎨⎧'=∂∂⋅⋅-'+∂∂'''-=∂∂⋅'+∂∂-'121121)12()1(g x v g yv xu g f u x v f x u f x .解之得1221221)12)(1()12(g f g yv f x g f g yv f u x u ''--'-'''--''-=∂∂,1221111)12)(1()1(g f g yv f x f u f x g x v ''--'-'-'+''=∂∂.(4)设⎩⎨⎧-=+=vu e y v u e x uu cos sin , 求x u ∂∂, y u ∂∂, x v ∂∂, y v ∂∂. 解 视u =u (x , y ), v =v (x , y ), 方程两边微分得 ⎩⎨⎧+-=++=vdv u vdu du e dy vdv u vdu du e dx uu sin cos cos sin , 即 ⎩⎨⎧=+-=++dy vdv u du v e dx vdv u du v e u u sin )cos (cos )sin (, 从中解出du , dv 得 dy v v e v dx v v e v du uu 1)cos (sin cos 1)cos (sin sin +--++-=, dy v v e u e v dx v v e u e v dv u uuu ]1)cos (sin [sin ]1)cos (sin [cos +-+++--=, 从而1)cos (sin sin +-=∂∂v v e v x u u , 1)cos (sin cos +--=∂∂v v e v y u u, ]1)cos (sin [cos +--=∂∂v v e u e v x v u u , ]1)cos (sin [sin +-+=∂∂v v e u e v y v u u. 11. 设y =f (x , t ), 而t 是由方程F (x , y , t )=0所确定的x , y 的函数, 其中f , F 都具有一阶连续偏导数, 试证明:tF y F t f x F t f t F x f dx dy ∂∂+∂∂⋅∂∂∂∂⋅∂∂-∂∂⋅∂∂=.证明 由方程组⎩⎨⎧==0),,(),(t y x F t x f y 可确定两个一元隐函数⎩⎨⎧==)()(x t t x y y , 方程两边对x 求导可得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅∂∂+⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂=0dx dt t F dx dy y F x F dxdtt f x f dx dy ,移项得 ⎪⎩⎪⎨⎧∂∂-=∂∂+⋅∂∂∂∂=⋅∂∂-x F dx dt t F dx dy y F x f dx dt t f dx dy , 在01≠∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂∂∂∂∂-=y F t f t F tF y F t fD 的条件下 yFt f t F xFt f t F x f t F x F t f x f D dx dy ∂∂⋅∂∂+∂∂∂∂⋅∂∂-∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂-∂∂-∂∂⋅=1. 习题8-61. 求曲线x =t -sin t , y =1-cos t , 2sin 4t z =在点)22 ,1 ,12 (-π处的切线及法平面方程.解 x '(t )=1-cos t , y '(t )=sin t , 2cos 2)(t t z ='. 因为点)22 ,1 ,12 (-π所对应的参数为2π=t , 故在点)22 ,1 ,12(-π处的切向量为)2 ,1 ,1(=T . 因此在点)22 ,1 ,12 (-π处, 切线方程为22211121-=-=-+z y x π, 法平面方程为0)22(2)1(1)12(1=-+-⋅++-⋅z y x π, 即422+=++πz y x .2. 求曲线t t x +=1, t t y +=1, z =t 2在对应于t =1的点处的切线及法平面方程. 解 2)1(1)(t t x +=', 21)(t t y -=', z '(t )=2t .在t =1所对应的点处, 切向量)2 ,1 ,41(-=T , t =1所对应的点为)1 ,2 ,21(, 所以在t =1所对应的点处, 切线方程为 21124121-=--=-z y x , 即8142121-=--=-z y x ; 法平面方程为0)1(2)2()21(41=-+---z y x , 即2x -8y +16z -1=0.3. 求曲线y 2=2mx , z 2=m -x 在点(x 0, y 0, z 0)处的切线及法平面方程.解 设曲线的参数方程的参数为x , 将方程y 2=2mx 和z 2=m -x的两边对x 求导, 得m dx dy y 22=, 12-=dxdz z , 所以y m dx dy =, z dxdz 21-=. 曲线在点(x 0, y 0, z 0,)的切向量为)21,,1(00z y m -=T , 所求的切线方程为0000211z z z y m y y x x --=-=-, 法平面方程为0)(21)()(00000=---+-z z z y y y m x x . 4. 求曲线⎩⎨⎧=-+-=-++0453203222z y x x z y x 在点(1, 1, 1)处的切线及法平面方程.解 设曲线的参数方程的参数为x , 对x 求导得,⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-++053203222dx dz dx dy dx dz z dx dy y x , 即⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+2533222dxdz dx dy x dx dz z dx dy y . 解此方程组得z y z x dx dy 61015410----=, zy y x dx dz 610946---+=. 因为169)1,1,1(=dx dy , 161)1,1,1(-=dx dz , 所以)161 ,169 ,1(=T . 所求切线方程为1611169111--=-=-z y x , 即1191161--=-=-z y x ; 法平面方程为0)1(161)1(169)1(=---+-z y x , 即16x +9y -z -24=0. 5. 求出曲线x =t , y =t 2, z =t 3上的点, 使在该点的切线平行于平面x +2y +z =4.解 已知平面的法线向量为n =(1, 2, 1).因为x '=1, y '=2t , z '=3t 2, 所以参数t 对应的点处的切向量为T =(1, 2t , 3t 2). 又因为切线与已知平面平行, 所以T ⋅n =0, 即1+4t +3t 2=0,解得t =-1, 31-=t . 于是所求点的坐标为(-1, 1, -1)和)271 ,91 ,31(--. 6. 求曲面e z -z +xy =3在点(2,1,0)处的切平面及法线方程. 解 令F (x , y , z )=e z -z +xy -3, 则n =(F x , F y , F z )|(2, 1, 0)=(y , x , e z -1)|(2, 1, 0)=(1, 2, 0),点(2,1, 0)处的切平面方程为1⋅(x -2)+2(y -1)+0⋅(z -0)=0, 即x +2y -4=0,法线方程为02112-=-=-z y x . 7. 求曲面ax 2+by 2+cz 2=1在点(x 0, y 0, z 0)处的切平面及法线方程. 解 令F (x , y , z )=ax 2+by 2+cz 2-1, 则n =(F x , F y , F z )=(2ax , 2by , 2cz )=(ax , by , cz ).在点(x 0, y 0, z 0)处, 法向量为(ax 0, by 0, cz 0), 故切平面方程为ax 0(x -x 0)+by 0(y -y 0)+cz 0(z -z 0)=0,即 202020000cz by ax z cz y by x ax ++=++, 法线方程为00000cz z z by y y ax x x -=-=-.8. 求椭球面x 2+2y 2+z 2=1上平行于平面x -y +2z =0的切平面方程.解 设F (x , y , z )=x 2+2y 2+z 2-1, 则n =(F x , F y , F z )=(2x , 4y , 2z )=2(x , 2y , z ).已知切平面的法向量为(1, -1, 2). 因为已知平面与所求切平面平行, 所以2121z y x =-=, 即z x 21=, z y 41-=, 代入椭球面方程得1)4(2)2(222=+-+z z z ,解得1122±=z , 则1122±=x , 11221 =y . 所以切点坐标为)1122,11221,112(±± . 所求切平面方程为0)1122(2)11221()112(=±+-±z y x , 即 2112±=+-z y x . 9. 求旋转椭球面3x 2+y 2+z 2=16上点(-1, -2, 3)处的切平面与xOy 面的夹角的余弦.解 x O y 面的法向为n 1=(0, 0, 1).令F (x , y , z )=3x 2+y 2 +z 2-16, 则点(-1, -2, 3)处的法向量为 n 2=(F x , F y , F z )|(-1, -2, 3)=(6x , 2y , 2z )|(-1, -2, 3)=(-6, -4, 6). 点(-1, -2, 3)处的切平面与xOy 面的夹角的余弦为22364616||||cos 2222121=++⋅=⋅⋅=n n n n θ.10. 试证曲面a z y x =++(a >0)上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a .证明 设a z y x z y x F -++=),,(, 则)21,21,21(zy x =n . 在曲面上任取一点M (x 0, y 0, z 0), 则在点M 处的切平面方程为 0)(1)(1)(1000000=-+-+-z z z y y y x x x ,即 a z y x z z y y x x =++=++000000. 化为截距式, 得1000=++az z ay y ax x , 所以截距之和为a z y x a az ay ax =++=++)(000000.习题8-71. 求函数z =x 2+y 2在点(1, 2)处沿从点(1, 2)到点)32 ,2(+的方向的方向导数.解 因为从点(1, 2)到点)32 ,2(+的向量为)3 ,1(=l , 故 )cos ,(cos )23 ,21(||βα===l l e l . 又因为22)2,1()2,1(==∂∂x x z , 42)2,1()2,1(==∂∂y y z , 故所求方向导数为321234212cos cos +=⋅+⋅=∂∂+∂∂=∂∂βαy z x z l z . 2. 求函数z =ln(x +y )在抛物线y 2=4x 上点(1, 2)处, 沿这抛物线在该点处偏向x 轴正向的切线方向的方向导数.解 方程y 2=4x 两边对x 求导得2yy '=4, 解得yy 2='. 在抛物线y 2=4x 上点(1, 2)处, 切线的斜率为y '(1)=1, 切向量为l =(1, 1), 单位切向量为)cos ,(cos )21 ,21(βα==l e . 又因为31 1)2,1()2,1(=+=∂∂y x x z , 31 1)2,1()2,1(=+=∂∂y x y z , 故所求方向导数为3221312131cos cos =⋅+⋅=∂∂+∂∂=∂∂βαy z x z l z . 3. 求函数)(12222b y a x z +-=在点)2,2(b a 处沿曲线12222=+b y a x 在这点的内法线方向的方向导数.解 令1),(2222-+=by a x y x F , 则22a x F x =, 22b y F y =. 从而点(x , y )处的法向量为)2 ,2() ,(22by a x F F y x ±=±=n . 在)2,2(b a 处的内法向量为 )2 ,2()2 ,2()2,2(22ba b y a x ba-=-=n , 单位内法向量为)cos ,(cos ) ,(2222βα=+-+-=b a a b a b n e . 又因为aa x x zbab a 22)2,2(2)2,2(-=-=∂∂, b b y y zb a b a 22)2,2(2)2,2(-=-=∂∂, 所以 βαcos cos yz x z n z ∂∂+∂∂=∂∂222222b a a b b a b a +⋅++⋅=222b a ab+=.4. 求函数u =xy 2+z 3-xyz 在点(1, 1, 2)处沿方向角为3 πα=, 4 πβ=, 3πγ=的方向的方向导数. 解 因为方向向量为)21 ,22 ,21()cos ,cos ,(cos ==γβαl , 又因为1)()2,1,1(2)2,1,1(-=-=∂∂yz y x u , 0)2()2,1,1()2,1,1(=-=∂∂xz xy y u , 11)3()2,1,1(2)2,1,1(=-=∂∂xy z z u , 所以 γβαcos cos cos zu y u x u l u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 5211122021)1(=⋅+⋅+⋅-=. 5. 求函数u =xyz 在点(5,1,2)处沿从点(5, 1, 2)到点(9, 4, 14)的方向的方向导数.解 因为l =(9-5, 4-1, 14-2)=(4, 3, 12),)1312 ,133 ,134(||==l l e l , 并且 2)2,1,5()2,1,5(==∂∂yz xu ,10)2,1,5()2,1,5(==∂∂xz y u , 5)2,1,5()2,1,5(==∂∂xy z u , 所以 γβαcos cos cos zu y u x u l u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 139813125133101342=⋅+⋅+⋅=. 6. 求函数u =x 2+y 2+z 2在曲线x =t , y =t 2, z =t 3上点(1, 1, 1)处, 沿曲线在该点的切线正方向(对应于t 增大的方向)的方向导. 解 曲线x =t , y =t 2, z =t 3上点(1, 1, 1)对应的参数为t =1, 在点(1, 1,1)的切线正向为)3 ,2 ,1()3 ,2 ,1(12===t t t l ,)143,142,141(||==l l e l , 又 22)1,1,1()1,1,1(==∂∂x x u , 22)1,1,1()1,1,1(==∂∂y y u , 22)1,1,1()1,1,1(==∂∂z z u , 所以 γβαcos cos cos )1,1,1(zu y u x u l u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 1412143214221412=⋅+⋅+⋅=. 7. 求函数u =x +y +z 在球面x 2+y 2+z 2=1上点(x 0, y 0, z 0)处, 沿球面在该点的外法线方向的方向导数.解 令F (x , y , z )=x 2+y 2+z 2-1, 则球面x 2+y 2+z 2=1在点(x 0, y 0, z 0)处的外法向量为)2 ,2 ,2() , ,(000),,(000z y x F F F z y x z y x ==n , )cos ,cos ,(cos ) , ,(||000γβα===z y x n n n e , 又 1=∂∂=∂∂=∂∂zu y u x u , 所以 γβαcos cos cos zu y u x u n u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 000000111z y x z y x ++=⋅+⋅+⋅=.8. 设f (x , y , z )=x 2+2y 2+3z 2+xy +3x -2y -6z , 求grad f (0, 0, 0)及grad f (1, 1, 1).解 32++=∂∂y x x f , 24-+=∂∂x y yf , 66-=∂∂z z f . 因为 3)0,0,0(=∂∂x f, 2)0,0,0(-=∂∂yf, 6)0,0,0(-=∂∂z f , 6)1,1,0(=∂∂x f , 3)1,1,0(=∂∂y f, 0)1,1,0(=∂∂z f,所以 grad f (0, 0, 0)=3i -2j -6k ,grad f (1, 1, 1)=6i +3j .9. 设u , v 都是 x , y , z 的函数, u , v 的各偏导数都存在且连续, 证明(1) grad (u +v )=grad u + grad v ;解 k j i zv u y v u x v u v u ∂+∂+∂+∂+∂+∂=+)()()()(grad k j i )()()(zv z u y v y u x v x u ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=)()(k j i k j i zv y v x v z u y u x u ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= v u grad grad +=.(2) grad (uv )=v grad u +u grad v ;解 k j i zuv y uv x uv uv ∂∂+∂∂+∂∂=)()()()(grad k j i )()()(z v u z u v y v u y u v x v u x u v ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= )()(k j i k j i zv y v x v u z u y u x u v ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= =v grad u +u grad v .(3) grad (u 2)=2u grad u .解 k j i z u y u x u u ∂∂+∂∂+∂∂=2222)(grad k j i zu u y u u x u u ∂∂+∂∂+∂∂=222 u u zu y u x u u grad 2)(2=∂∂+∂∂+∂∂=k j i .10. 问函数u =xy 2z 在点p (1, -1, 2)处沿什么方向的方向导数最大? 并求此方向导数的最大值.解 k j i k j i 222 xy xyz z y zu y u x u u ++=∂∂+∂∂+∂∂=grad , k j i k j i +-=++=--42)2()2 ,1 ,1( )2,1,1(22xy xyz z y u grad .grad u (1, -1, 2)为方向导数最大的方向, 最大方向导数为 211)4(2|)2 ,1 ,1( 222=+-+=-u grad |.习题8-81. 求函数f (x , y )=4(x -y )-x 2-y 2的极值.解 解方程组⎩⎨⎧=--==-=024),(024),(y y x f x y x f yx , 求得驻点为(2,-2). f xx =-2, f xy =0, f yy =-2,在驻点(2,-2)处, 因为f xx f yy -f xy 2=(-2)(-2)-0=4>0, f xx =-2<0,所以在点(2, -2)处, 函数取得极大值, 极大值为f (2, -2)=8.2. 求函数f (x , y )=(6x -x 2)(4y -y 2)的极值.解 解方程组⎩⎨⎧=--==--=0)24)(6(),(0)4)(26(),(22y x x y x f y y x y x f yx , 得驻点(0, 0), (0, 4), (3, 2), (6, 0), (6,4).函数的二阶偏导数为f xx (x , y )=-2(4y -y 2), f xy (x , y )=4(3-x )(2-y ), f yy (x , y )=-2(6x -x 2). 在点(0, 0)处, 因为f xx ⋅f yy -f xy 2=0⨯0-242=-242<0,所以f (0, 0)不是极值;在点(0, 4)处, 因为f xx ⋅f yy -f xy 2=0⨯0-(-24)2=-242<0,所以f (0, 4)不是极值.在点(3, 2)处, 因为f xx ⋅f yy -f xy 2=(-8)⨯(-18)-02=8⨯18>0, f xx =-8<0,所以f (3, 2)=36是函数的极大值.在点(6, 0)处, 因为f xx ⋅f yy -f xy 2=0⨯0-(-24)2=-242>0,所以f (6, 0)不是极值.在点(6, 4)处, 因为f xx ⋅f yy -f xy 2=0⨯0-242=-242>0,所以f (6, 4)不是极值.综上所述, 函数只有一个极值, 这个极值是极大值f (3, 2)=36. 3. 求函数f (x , y )=e 2x (x +y 2+2y )的极值.解 解方程组⎩⎨⎧=+==+++=0)22(),(0)1422(),(222y e y x f y y x e y x f x yx x , 得驻点)1 ,21(-. f xx (x , y )=4e 2x (x +y 2+2y +1), f xy (x , y )=4e 2x (y +1), f yy (x , y )=2e 2x . 在驻点)1 ,21(-处, 因为 f xx ⋅f yy -f xy 2=2e ⋅2e -02=4e 2>0, f xx =2e >0, 所以2)1 ,21(e f -=-是函数的极小值. 4. 求函数z =xy 在适合附加条件x +y =1下的极大值.解 由x +y =1得y =1-x , 代入z =xy , 则问题化为求z =x (1-x )的无条件极值.x dxdz 21-=, 222-=dx z d . 令,0=dx dz 得驻点21=x . 因为022122<-==x dx zd , 所以21=x 为极大值点, 极大值为41)211(21=-=z . 5. 从斜边之长为l 的一切直角三角形中, 求有最大周界的直角三角形.解 设直角三角形的两直角边之长分别为x , y , 则周长 S =x +y +l (0<x <l , 0<y <l ).因此, 本题是在x 2+y 2=l 2下的条件极值问题, 作函数 F (x , y )=x +y +l +λ(x 2+y 2-l 2).解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==+=222021021ly x y F x F y x λλ, 得唯一可能的极值点2l y x ==. 根据问题性质可知这种最大周界的直角三角形一定存在, 所以斜边之长为l 的一切直角三角形中, 周界最大的是等腰直角三角形.6. 要造一个容积等于定数k 的长方体无盖水池, 应如何选择水池的尺寸方可使表面积最小.解 设水池的长为x , 宽为y , 高为z , 则水池的表面积为 S =xy +2xz +2yz (x >0, y >0, z >0).本题是在条件xyz =k 下, 求S 的最大值.作函数F (x , y , z )=xy +2xz +2yz +λ(xyz -k ).解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==++==++==++=k xyz xy y x F xz z x F yz z y F z y x 0220202λλλ, 得唯一可能的极值点)221 ,2 ,2(333k k k . 由问题本身可知S 一定有最小值, 所以表面积最小的水池的长和宽都应为.23k 高为3221k . 7. 在平面xOy 上求一点, 使它到x =0, y =0及x +2y -16=0三直线距离平方之和为最小.解 设所求点为(x , y ), 则此点到x =0的距离为|y |, 到y =0的距离为|x |, 到x +2y -16=0的距离为221|162|+-+y x , 而距离平方之和为 222)162(51-+++=y x y x z . 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=∂∂=-++=∂∂0)162(5420)162(522y x y y z y x x x z , 即{03292083=-+=-+y x y x . 得唯一的驻点)516 ,58(, 根据问题的性质可知, 到三直线的距离平方之和最小的点一定存在, 故)516 ,58(即为所求. 8( 将周长为2p 的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体( 问矩形的边长各为多少时( 才可使圆柱体的体积为最大？解 设矩形的一边为x , 则另一边为(p -x ), 假设矩形绕p -x 旋转, 则旋转所成圆柱体的体积为V =πx 2(p -x ).由0)32()(22=-=--=x p x x x p x dx dV πππ, 求得唯一驻点p x 32=. 由于驻点唯一, 由题意又可知这种圆柱体一定有最大值, 所以当矩形的边长为32p 和3p 时, 绕短边旋转所得圆柱体体积最大. 9. 求内接于半径为a 的球且有最大体积的长方体.解 设球面方程为x 2+y 2+z 2=a 2, (x , y , z )是它的各面平行于坐标面的内接长方体在第一卦限内的一个顶点, 则此长方体的长宽高分别为2x , 2y , 2z , 体积为V =2x ⋅2y ⋅2z =8xyz .令 F (x , y , z )=8xyz +λ(x 2+y 2+z 2-a 2) .解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+==+==+=2222028028028a z y x z xy F y xz F x yz F z y x λλλ, 即⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=+=+2222040404a z y x z xy y xz x yz λλλ, 得唯一驻点)3,3,3(a a a . 由题意可知这种长方体必有最大体积, 所以当长方体的长、宽、高都为32a 时其体积最大. 10. 抛物面z =x 2+y 2被平面x +y +z =1截成一椭圆, 求原点到这椭圆的最长与最短距离.解 设椭圆上点的坐标(x , y , z ), 则原点到椭圆上这一点的距离平方为d 2=x 2+y 2+z 2, 其中x , y , z 要同时满足z =x 2+y 2和x +y +z =1. 令 F (x , y , z )=x 2+y 2+z 2+λ1(z -x 2-y 2)+λ2(x +y +z -1).解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++==+-==+-=02022022212121λλλλλλz F y y F x x F z y x , 得驻点231±-==y x , 32 =z . 它们是可能的两个极值点, 由题意这种距离的最大值和最小值一定存在, 所以距离的最大值和最小值在两点处取得, 因为在驻点处359)32()231(2222222 =+±-=++=z y x d , 所以3591+=d 为最长距离;3592-=d 为最短距离.总习题八1. 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内:(1)f (x , y )在(x , y )可微分是f (x , y )在该点连续的______条件, f (x , y )在点连续是f (x , y )在该点可微分的______条件.解 充分; 必要.(2)z =f (x , y )在点(x , y )的偏导数x z ∂∂及yz ∂∂存在是f (x , y )在该点可微分的______条件, z = f (x , y )在点(x , y )可微分是函数在该点的偏导数x z ∂∂及y z ∂∂存在的______条件. 解 必要; 充分.(3)z =f (x , y )的偏导数x z ∂∂及yz ∂∂在(x , y )存在且连续是f (x , y )在该点可微分的______条件. 解 充分. (4)函数z =f (x , y )的两个二阶偏导数y x z ∂∂∂2及xy z ∂∂∂2在区域D 内连续是这两个二阶混合偏导数在D 内相等的______条件.解 充分.2. 选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论:设函数f (x , y )在点(0, 0)的某邻域内有定义, 且f x (0, 0)=3, f y (0, 0)=-1, 则有______.(A )dz |(0, 0)=3dx -dy .(B )曲面z =f (x , y )在点(0, 0, f (0, 0))的一个法向量为(3, -1, 1).(C )曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在点(0, 0, f (0, 0))的一个切向量为(1, 0, 3). (D )曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在点(0, 0, f (0, 0))的一个切向量为(3, 0, 1). 解 (C ).3. 求函数)1ln(4),(222y x y x y x f ---=的定义域, 并求),(lim )0,21(),(y x f y x →. 解 函数的定义域为{(x , y )| 0<x 2+y 2<1, y 2≤4x }因为D ∈)0 ,21(, 故由初等函数在定义域内的连续性有 43ln 2)1ln(4)1ln(4lim ),(lim )0,21(222222)0,21(),()0,21(),(=---=---=→→y x y x y x y x y x f y x y x .。
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同济六版高等数学课后答案全集第一章习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A\B 及A\(A\B)的表达式.2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B)C =AC ⋃BC . .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明(1)f(A ⋃B)=f(A)⋃f(B);(2)f(A ⋂B)⊂f(A)⋂f(B).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中IX 、IY 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有IX x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有IY y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明:(1)f -1(f(A))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f(A))=A .6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ;. (2)211x y -=; (3)211x x y --=;(4)241x y -=;(5)x y sin =; (6) y =tan(x +1);(7) y =arcsin(x -3); (8)x x y 1arctan 3+-=;. (9) y =ln(x +1);(10)x e y 1=.7. 下列各题中, 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？(1)f(x)=lg x2, g(x)=2lg x ;(2) f(x)=x , g(x)=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f(x)=1, g(x)=sec2x -tan2x .8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x)的图形.. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)x xy -=1, (-∞, 1);(2)y =x +ln x , (0, +∞).10. 设 f(x)为定义在(-l , l)内的奇函数, 若f(x)在(0, l)内单调增加, 证明f(x)在(-l , 0)内也单调增加.11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l)上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x2(1-x2);(2)y =3x2-x3;(3)2211x xy +-=;(4)y =x(x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x aa y -+= 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x -2);.(2)y =cos 4x ;(3)y =1+sin πx ;(4)y =xcos x ;(5)y =sin2x .14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y 错误!未指定书签。
高等数学下(同济大学第五版)课后习题答案解析
word 完美格式第八章 多元函数微分法及其应用第一节 多元函数的基本概念本节主要概念，定理，公式和重要结论理解多元函数的概念，会表达函数，会求定义域； 理解二重极限概念，注意A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00是点),(y x 以任何方式趋于),(00y x ;注意理解本节中相关概念与一元函数中相应内容的区分与联系。
习题 8－11.求下列函数表达式:(1)xy y x y x f +=),(，求),(y x xy f +解：(,)()x yxy f xy x y xyx y ++=++(2)22),(y x y x y x f -=-+，求),(y x f解：(,)()()(,)f x y x y x y x y f x y xy +-=-+⇒= 2.求下列函数的定义域，并绘出定义域的图形: (1)221)1ln(yx x y x z --+-+=解：22221011010x y x y x y x y x +->⎧+>⎧⎪-->⇒⎨⎨+<⎩⎪≥⎩(2))12ln(2+-=y x z 解：2210x y -+>(3) |)|||1ln(),(y x y x f --= 解：1||||0||||1x y x y -->⇒+< 3.求下列极限:(1)22)1,0(),(1limy x xyx y x ++-→解：22(,)(0,1)1lim1x y x xyx y →-+=+ (2)xy xy y x 42lim)0,0(),(+-→解一：(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)18lim2lim2lim 4x y x y x y xyxy →→→=-=-=-(3)yxy x y x )sin()2(lim )0,1(),(+→(4)2222011limy x y x y x +-+→→解一：(,)(1,0)(,)(1,0)sin()sin()lim (2)lim [(2)]3x y x y xy xy x x x y xy→→+=+=解二：(,)(1,0)(,)(1,0)(,)(1,0)sin()lim (2)lim (2)lim (2)3x y x y x y xy xyx x x x y y →→→+=+=+= (4)22220011limyx y x y x +-+→→解一：2222222200000011lim lim()022x x x y y y x y y x x y x y →→→→→→==⋅=++解二：222222000000x x x y y y y x y →→→→→→===+ 4.证明下列函数当)0,0(),(→y x 时极限不存在:(1)2222),(yx y x y x f +-=解：222222222222001lim lim 1x x y kxx y x k x k x y x k x k →→=---==+++ (2)22222)(),(y x y x y x y x f -+= 解：224222400lim lim 1()x x y x x y x x y x y x →→===+- 2222200lim 0()x y x y x y x y →==+- 5.下列函数在何处是间断的? (1) yx z -=1解：x y =(2)x y xy z 2222-+=解：22y x =第二节 偏导数word 完美格式本节主要概念，定理，公式和重要结论1.偏导数：设),(y x f z =在),(00y x 的某一邻域有定义，则xy x f y x x f y x f x x ∆∆∆),(),(lim),(0000000-+=→， yy x f y y x f y x f y y ∆∆∆),(),(lim ),(0000000-+=→. ),(00y x f x 的几何意义为曲线⎩⎨⎧==0),(y y y x f z 在点)),(,,(0000y x f y x M 处的切线对x 轴的斜率.),(y x f 在任意点),(y x 处的偏导数),(y x f x 、),(y x f y 称为偏导函数，简称偏导数.求),(y x f x 时，只需把y 视为常数，对x 求导即可. 2.高阶偏导数),(y x f z =的偏导数),(),,(y x f y x f y x 的偏导数称为二阶偏导数，二阶偏导数的偏导数称为三阶偏导数，如此类推. 二阶偏导数依求导次序不同，有如下4个：xy zy x z y z x z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂222222,,,，其中后两个称为混合偏导数. 若两个混合偏导数皆为连续函数，则它们相等，即可交换求偏导数的次序.高阶混合偏导数也有类似结果.习题 8－21.求下列函数的一阶偏导数:(1)xy y xz +=解：21,z z xy x x y y y∂∂=+=-+∂∂ (2)xyz arctan =解：2222222111,1()1()z y y z x y y x x x y y x x y x x∂--∂=⋅==⋅=∂+∂+++ (3))ln(22y x x z ++=解：(1z x ∂=+=∂z y ∂==∂ (4))ln(222z y x u ++=解：222222222222,,u x u y u z x x y z y x y z z x y z∂∂∂===∂++∂++∂++ (5)⎰=yzxzt dt e u 2解：22222222,,x z y z y z x z u u u ze ze ye xe x y z∂∂∂=-==-∂∂∂ (6)x y y x z cos sin = 解：2211cos cos sin sin ,cos cos sin sin z x y y x y u x x y x y x y y x x y x y y y x x y x ∂∂=+=--∂∂ (7)y x xy z ++=)1( (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：(1)[ln(1)],(1)[ln(1)]11x y x y z x y u x y xy xy y xy xy x x xy y xy ++∂+∂+=+++=+++∂+∂+ (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：[cos()sin()],[cos()sin()]u u e e θϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕ++∂∂=---=-+-∂∂ 2.求下列函数在指定点处的一阶偏导数: （1）yxy x z arcsin)1(2-+=，求)1,0(x z 解：20(0,1)lim0x x x z x∆→∆==∆ （2）xyx e x z yarctan)1(2-+=，求)0,1(y z 解：01(1,0)lim1y y y e z y∆∆→-==-∆ 3.求下列函数的高阶偏导数:(1))ln(xy x z =， 求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z∂∂∂2解：ln()1,z z x xy x y y∂∂=+=∂∂ 22222211,,z z x z x x y y x y y∂∂∂==-=∂∂∂∂ (2))2(cos 2y x z +=，求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z ∂∂∂2，x y z ∂∂∂2解：2cos(2)sin(2)sin 2(2)z x y x y x y x∂=-++=-+∂word 完美格式4cos(2)sin(2)2sin 2(2)zx y x y x y y∂=-++=-+∂ 222222cos 2(2),8cos 2(2),4cos 2(2)z z zx y x y x y x y x y∂∂∂=-+=-+=-+∂∂∂∂ (3)⎰+=22 y x xtdt e z ， 求22x z ∂∂， yx z∂∂∂2解：22222222222,2(12),4x y x x y x x y z z z xe e x e e xye x x x y+++∂∂∂=-=+-=∂∂∂∂ 4.设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=0 00),(22222233y x y x y x xy y x y x f ，求)0,0(xy f 和)0,0(yx f .解：00(0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x ∆→∆→∆--===∆∆，00(0,)(0,0)00(0,0)lim lim 0y y y f y f f y y ∆→∆→∆--===∆∆4224222224(,),0()x x x y y f x y y x y x y +-=+≠+ 4224222224(,),0()y x x y y f x y x x y x y --=+≠+ 54000(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1x x xy y y y f y f y f y y∆→∆→-∆-∆-∆===-∆∆54000(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x yx x x x f x f x f x x ∆→∆→∆-∆-∆===∆∆5.设)11(y x e z +-=， 求证z y z y x z x222=∂∂+∂∂ 解: 1111()()2211,x y x y z z e ex x y y-+-+∂∂==∂∂ 111111()()()2222221122x yx y x y z z x y x e y e e z x y x y -+-+-+∂∂+=⋅+⋅==∂∂ 6.设222z y x r ++=， 证明r zr y r x r 2222222=∂∂+∂∂+∂∂证明: 22222223,r x r x r r x r r x x r x r x r r r ∂--∂∂-∂=====∂∂由轮换对称性, 2222222323,r r y r r z y r z r∂-∂-==∂∂ 222222222223321r r r r x y z r x y z r r r∂∂∂---++===∂∂∂ 第三节 全微分本节主要概念，定理，公式和重要结论1.全微分的定义若函数),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量z ∆表示成22),(y x o y B x A z ∆+∆=+∆+∆=∆ρρ则称),(y x f z =在点),(00y x 可微，并称Bdy Adx y B x A +=+∆∆为),(y x f z =在点),(00y x 的全微分，记作dz .2.可微的必要条件：若),(y x f z =在),(00y x 可微，则 （1）),(y x f 在),(00y x 处连续；（2）),(y x f 在),(00y x 处可偏导，且),(),,(0000y x f B y x f A y x ==，从而dy y x f dx y x f dz y x ),(),(0000+=.一般地，对于区域D 内可微函数， dy y x f dx y x f dz y x ),(),(+=.3.可微的充分条件：若),(y x f z =在),(00y x 的某邻域内可偏导，且偏导数在),(00y x 处连续，则),(y x f z =在),(00y x 可微。
同济大学版高等数学课后习题答案第2章
同济大学版高等数学课后习题答案第2章习题2-11. 设物体绕定轴旋转, 在时间间隔[0, t]内转过的角度为θ, 从而转角θ是t 的函数: θ=θ(t). 如果旋转是匀速的, 那么称tθω=为该物体旋转的角速度, 如果旋转是非匀速的, 应怎样确定该物体在时刻t 0的角速度？解在时间间隔[t 0, t 0+?t]内的平均角速度ω为 tt t t t-?+=??=)()(00θθθω,故t 0时刻的角速度为)()()(lim lim lim 000000t tt t t tt t t θθθθωω'=?-?+=??==→?→?→?. 2. 当物体的温度高于周围介质的温度时, 物体就不断冷却, 若物体的温度T 与时间t 的函数关系为T =T(t), 应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度？解物体在时间间隔[t 0, t 0+?t]内, 温度的改变量为 ?T =T(t +?t)-T(t), 平均冷却速度为tt T t t T t T ?-?+=??)()(,故物体在时刻t 的冷却速度为)()()(lim lim 00t T tt T t t T t T t t '=?-?+=??→?→?. 3. 设某工厂生产x 单位产品所花费的成本是f(x)元, 此函数f(x)称为成本函数, 成本函数f(x)的导数f '(x)在经济学中称为边际成本. 试说明边际成本f '(x)的实际意义.解 f(x +?x)-f(x)表示当产量由x 改变到x +?x 时成本的改变量.xx f x x f ?-?+)()(表示当产量由x 改变到x +?x 时单位产量的成本. xx f x x f x f x ?-?+='→?)()(lim)(0表示当产量为x 时单位产量的成本.4. 设f(x)=10x 2, 试按定义, 求f '(-1). 解 xx x f x f f x x ?--?+-=?--?+-=-'→?→?2200)1(10)1(10lim )1()1(lim)1(20)2(lim 102lim 10020-=?+-=??+?-=→?→?x xx x x x . 5. 证明(cos x)'=-sin x .解 xxx x x x ?-?+='→?cos )cos(lim )(cos 0xxx x x +-=→?2sin )2sin(2limx x xx x x sin ]22sin )2sin([lim 0-=+-=→?. 6. 下列各题中均假定f '(x 0)存在, 按照导数定义观察下列极限, 指出A 表示什么:(1)A xx f x x f x =?-?-→?)()(lim 000;解xx f x x f A x ?-?-=→?)()(lim000)()()(lim 0000x f xx f x x f x '-=?--?--=→?-. (2)A xx f x =→)(lim 0, 其中f(0)=0, 且f '(0)存在; 解)0()0()0(lim )(lim00f x f x f x x f A x x '=-+==→→. (3)A h h x f h x f h =--+→)()(lim 000. 解hh x f h x f A h )()(lim000--+=→hx f h x f x f h x f h )]()([)]()([lim00000----+=→ hx f h x f hx f h x f h h )()(lim)()(lim 000000----+=→→ =f '(x 0)-[-f '(x 0)]=2f '(x 0). 7. 求下列函数的导数: (1)y =x 4; (2)32x y =; (3)y =x 1. 6; (4)xy 1=;(5)21xy =;(6)53x x y =;(7)5322x x x y =;解 (1)y '=(x 4)'=4x 4-1=4x 3 .(2)3113232323232)()(--=='='='x x x xy . (3)y '=(x 1. 6)'=1.6x 1. 6-1=1.6x 0. 6.(4)23121212121)()1(-----=-='='='x x x xy .(5)3222)()1(---='='='x x xy .(6)511151651653516516)()(x x x x xy =='='='-.(7)651616153226161)()(--=='='='x x x x x x y .8. 已知物体的运动规律为s =t 3(m). 求这物体在t =2秒(s)时的速度.解v =(s)'=3t 2, v|t =2=12(米/秒).9. 如果f(x)为偶函数, 且f(0)存在, 证明f(0)=0. 证明当f(x)为偶函数时, f(-x)=f(x), 所以)0(0)0()(lim 0)0()(lim 0)0()(lim)0(000f x f x f x f x f x f x f f x x x '-=-----=---=--='→-→→, 从而有2f '(0)=0, 即f '(0)=0.10. 求曲线y =sin x 在具有下列横坐标的各点处切线的斜率:π32=x , x =π.解因为y '=cos x , 所以斜率分别为 2132cos 1-==πk , 1cos 2-==πk .11. 求曲线y =cos x 上点)21 ,3(π处的切线方程和法线方程式.解y '=-sin x ,233sin3-=-='=ππx y ,故在点)21 ,3(π处, 切线方程为)3(2321π--=-x y ,法线方程为)3(3221π--=-x y .12. 求曲线y =e x 在点(0,1)处的切线方程. 解y '=e x , y '|x =0=1, 故在(0, 1)处的切线方程为 y -1=1?(x -0), 即y =x +1.13. 在抛物线y =x 2上取横坐标为x 1=1及x 2=3的两点, 作过这两点的割线, 问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？解 y '=2x , 割线斜率为421913)1()3(=-=--=y y k .令2x =4, 得x =2.因此抛物线y =x 2上点(2, 4)处的切线平行于这条割线. 14. 讨论下列函数在x =0处的连续性与可导性: (1)y =|sin x|;(2)=≠=0001sin 2x x xx y . 解 (1)因为 y(0)=0,0)sin (lim |sin |lim lim 00=-==---→→→x x y x x x ,0sin lim |sin |lim lim 00===+++→→→x x y x x x ,所以函数在x =0处连续. 又因为 1sin lim 0|0sin ||sin |lim 0)0()(lim )0(000-=-=--=--='---→→→-x x x x x y x y y x x x ,1sin lim 0|0sin ||sin |lim 0)0()(lim )0(000==--=--='+++→→→+xx x x x y x y y x x x , 而y '-(0)≠y '+(0), 所以函数在x =0处不可导.解因为01sin lim )(lim 200==→→xx x y x x , 又y(0)=0, 所以函数在x =0处连续. 又因为01sin lim 01sin lim0)0()(lim 0200==-=--→→→xx x x x x y x y x x x , 所以函数在点x =0处可导, 且y '(0)=0.15. 设函数>+≤=1 1)(2x b ax x x x f 为了使函数f(x)在x =1处连续且可导, a , b 应取什么值？解因为1lim )(lim 211==--→→x x f x x , b a b ax x f x x +=+=++→→)(lim )(lim 11, f(1)=a +b ,所以要使函数在x =1处连续, 必须a +b =1 . 又因为当a +b =1时211lim )1(21=--='-→-x x f x ,a x x a xb a x a x b ax f x x x =--=--++-=--+='+++→→→+1)1(lim 11)1(lim 11lim )1(111, 所以要使函数在x =1处可导, 必须a =2, 此时b =-1. 16. 已知?<-≥=0 0)(2x x x x x f 求f +'(0)及f -'(0), 又f '(0)是否存在？解因为 f -'(0)=10lim )0()(lim00-=--=---→→xx x f x f x x , f +'(0)=00lim )0()(lim 200=-=-++→→xx x f x f x x , 而f -'(0)≠f +'(0), 所以f '(0)不存在.17. 已知f(x)=?≥<0 0sin x x x x , 求f '(x) .解当x<0时, f(x)=sin x , f '(x)=cos x ; 当x>0时, f(x)=x , f '(x)=1; 因为 f -'(0)=10sin lim )0()(lim00=-=---→→x x x f x f x x , f +'(0)=10lim )0()(lim 00=-=-++→→xx x f x f x x , 所以f '(0)=1, 从而f '(x)=?≥<0 10cos x x x .18. 证明: 双曲线xy =a 2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a 2 .解由xy =a 2得xa y 2=, 22xa y k -='=.设(x 0, y 0)为曲线上任一点, 则过该点的切线方程为)(02020x x x a y y --=-. 令y =0, 并注意x 0y 0=a 2, 解得0022002x x ax y x =+=, 为切线在x轴上的距.令x =0, 并注意x 0y 0=a 2, 解得00022y y x a y =+=, 为切线在y 轴上的距.此切线与二坐标轴构成的三角形的面积为 200002||2|2||2|21a y x y x S ===.习题 2-21. 推导余切函数及余割函数的导数公式: (cot x)'=-csc 2x ; (csc x)'=-csc xcot x .解 xx x x x xx x 2sin cos cos sin sin )sin cos ()(cot ?-?-='=' x xx x x 22222csc sin 1sin cos sin-=-=+-=. x x xx x x cot csc sin cos )sin 1()(csc 2?-=-='='. 2. 求下列函数的导数: (1)1227445+-+=xxxy ;(2) y =5x 3-2x +3e x ;(3) y =2tan x +sec x -1; (4) y =sin x ?cos x ; (5) y =x 2ln x ; (6) y =3e x cos x ; (7)xx y ln =;(8)3ln 2+=xe y x;(9) y =x 2ln x cos x ; (10)tt s cos 1sin 1++=;解 (1))12274()12274(14545'+-+='+-+='---x x x xxxy2562562282022820xxxx x x +--=+--=---. (2) y '=(5x 3-2x +3e x )'=15x 2-2x ln2+3ex .(3) y '=(2tan x +sec x -1)'=2sec 2x +sec x ?tan x =sec x(2sec x +tan x).(4) y '=(sin x ?cos x)'=(sin x)'?cos x +sin x ?(cos x)' =cos x ?cos x +sin x ?(-sin x)=cos 2x . (5) y '=(x 2ln x)'=2x ?ln x +x 2?x 1=x(2ln x +1) . (6) y '=(3e x cos x)'=3e x ?cos x +3e x ?(-sin x)=3e x (cos x -sin x).(7)22ln1ln 1)ln (x x x xx x x x y -=-?='='.(8)3422)2(2)3ln (x x e x x e x e x e y x x x x -=?-?='+='. (9) y '=(x 2ln x cos x)'=2x ?ln x cos x +x 2?x1?cos x +x 2 lnx ?(-sin x)2x ln x cos x +x cos x -x 2 ln x sin x .(10)22)cos 1(cos sin 1)cos 1()sin )(sin 1()cos 1(cos )cos 1sin 1(t tt t t t t t tt s +++=+-+-+='++='.3. 求下列函数在给定点处的导数: (1) y =sin x -cos x , 求6π='x y 和4π='x y .(2)θθθρcos 21sin +=,求4πθθρ=dd .(3)553)(2x x x f +-=, 求f '(0)和f '(2) .解 (1)y '=cos x +sin x , 21321236sin 6cos 6+=+=+='=πππx y ,222224sin 4cos 4=+=+='=πππx y . (2)θθθθθθθθρcos sin 21sin 21cos sin +=-+=d d ,)21(4222422214cos 44sin 214πππππθρπθ+=?+?=+==d d . (3)x x x f 52)5(3)(2+-=', 253)0(='f , 1517)2(='f . 4. 以初速v 0竖直上抛的物体, 其上升高度s 与时间t 的关系是2021gt t v s -=. 求:(1)该物体的速度v(t); (2)该物体达到最高点的时刻. 解(1)v(t)=s '(t)=v 0-gt .(2)令v(t)=0, 即v 0-gt =0, 得gv t 0=, 这就是物体达到最高点的时刻.5. 求曲线y =2sin x +x 2上横坐标为x =0的点处的切线方程和法线方程.解因为y '=2cos x +2x , y '|x =0=2, 又当x =0时, y =0, 所以所求的切线方程为 y =2x , 所求的法线方程为x y 21-=, 即x +2y =0.6. 求下列函数的导数: (1) y =(2x +5)4 (2) y =cos(4-3x); (3)23x e y -=;(4) y =ln(1+x 2); (5) y =sin 2x ; (6)22x a y -=;(7) y =tan(x 2); (8) y =arctan(e x ); (9) y =(arcsin x)2; (10) y =lncos x .解 (1) y '=4(2x +5)4-1?(2x +5)'=4(2x +5)3?2=8(2x +5)3. (2) y '=-sin(4-3x)?(4-3x)'=-sin(4-3x)?(-3)=3sin(4-3x). (3)22233236)6()3(xx x xe x e x e y ----=-?='-?='.(4)222212211)1(11x x x x x x y +=?+='+?+='. (5) y '=2sin x ?(sin x)'=2sin x ?cos x =sin 2x . (6))()(21])[(22121222122'-?-='-='-x a x a x a y2122)2()(21x a x x x a --=-?-=-.(7) y '=sec 2(x 2)?(x 2)'=2xsec 2(x 2).(8)xx xx e e e e y 221)()(11+='?+='. (9) y '21arcsin2)(arcsin arcsin 2xx x x -='?=. (10)x x xx x y tan )sin (cos 1)(cos cos 1-=-='?='. 7. 求下列函数的导数: (1) y =arcsin(1-2x);(2)211x y -=;(3)x e y x 3cos 2-=;(4)xy 1arccos =;(5)x x y ln 1ln 1+-=;(6)xx y 2sin =; (7)x y arcsin =;(8))ln(22x a x y ++=;(9) y =ln(sec x +tan x); (10) y =ln(csc x -cot x). 解 (1)2 221)21(12)21()21(11x x x x x y --=---='-?--='.(2))1()1(21])1[(21212212'-?--='-='---x x x y 2321)1()2()1(21x x x x x --=-?--=-.(3))3)(3sin (3cos )2()3(cos 3cos )(2222'-+'-='+'='----x x e x x e x e x e y xx x x)3sin 63(cos 213sin 33cos 21222x x e x e x e xxx+-=--=---. (4)1||)1()1(11)1()1(1122222-=---='--='x x x x x x x y . (5)22)ln 1(2)ln 1(1)ln 1()ln 1(1x x x x x x xy +-=+--+-='.(6)222sin 2cos 212sin 22cos xx x x xx x x y -=?-??='.(7)2222121)(11)()(11x x x x x x y -=?-='?-='.(8)])(211[1)(12222222222'+++?++='++?++='x a x a x a x x a x x a x y 2222221)]2(211[1x a x x a x a x +=++?++=.(9)x x x x x x x x y sec tan sec sec tan sec )tan (sec tan sec 12 =++='+?+='. (10) x xx x x x x x x x y csc cot csc csc cot csc )cot (csc cot csc 12 =-+-='-?-='.8. 求下列函数的导数: (1)2)2(arcsin x y =;(2)2tan ln x y =;(3)x y 2ln 1+=;(4)x e y arctan =; (5)y =sin n xcos nx ; (6)11arctan -+=x x y ;(7)xx y arccos arcsin =;(8) y=ln[ln(ln x)] ; (9)xx x x y-++--+1111; (10)xx y +-=11arcsin.解 (1)'?=')2(arcsin )2(arcsin 2x x y )2()2(11)2(arcsin 22'?-?=x x x21)2(11(arcsin 22-?=x x . 242arcsin 2x x-=(2))2(2sec 2tan 1)2(tan 2tan 12'??='?='x x x x x yx x x csc 212sec 2tan 12=??=.(3))ln 1(ln 121ln 1222'+?+=+='x xx y )(ln ln 2ln 1212'??+=x x x x x x 1ln 2ln 1212??+=xx x2ln 1ln +=.(4))(arctan arctan '?='x e y x)()(112arctan'?+?=x x e x)1(221)(11arctan 2arctanx x e x x e x x+=?+?=.(5) y '=n sin n -1x ?(sin x)'?cos nx +sin n x ?(-sin nx)?(nx)' =n sin n -1x ?cos x ?cos nx +sin n x ?(-sin nx)?n =n sin n -1x ?(cosx ?cos nx -sin x ?sin nx)= n sin n -1xcos(n +1)x . (6)222 211)1()1()1()11(11)11()11(11x x x x x x x x x x y +-=-+--?-++='-+?-++= '.(7)222)(arccos arcsin 11arccos 11x x x x x y -+-='22)(arccos arcsin arccos 11x x x x +?-=22)(arccos 12x x -=π.(8))(ln ln 1)ln(ln 1])[ln(ln )ln(ln 1'??='?='x x x x x y)ln(ln ln 11ln 1)ln(ln 1x x x x x x ?=??=. (9)2)11()121121)(11()11)(121121(x x x x x x x x xx y -++--+--+--++-++=' 22111x x -+-=.(10)2)1()1()1(1111)11(1111x x x xx x x x x y +--+-?+--='+-?+--=')1(2)1(1x x x -+-=.9. 设函数f(x)和g(x)可导, 且f 2(x)+g 2(x)≠0, 试求函数)()(22x g x f y +=的导数.解])()([)()(212222'+?+='x g x f x g x f y )]()(2)()(2[)()(2122x g x g x f x f x g x f '+'?+=)()()()()()(22x g x f x g x g x f x f +'+'=.10. 设f(x)可导, 求下列函数y 的导数dxdy :(1) y =f(x 2);(2) y =f(sin 2x)+f(cos 2x).解 (1) y '=f '(x 2)?(x 2)'= f '(x 2)?2x =2x ?f '(x 2). (2) y '=f '(sin 2x)?(sin 2x)'+f '(cos 2x)?(cos 2x)'= f '(sin 2x)?2sin x ?cos x +f '(cos 2x)?2cosx ?(-sin x) =sin 2x[f '(sin 2x)- f '(cos 2x)]. 11. 求下列函数的导数: (1) y =ch(sh x ); (2) y =sh x ?e ch x ; (3) y =th(ln x); (4) y =sh 3x +ch 2x ; (5) y =th(1-x 2); (6) y =arch(x 2+1); (7) y =arch(e 2x ); (8) y =arctan(th x);(9)xx y 2ch 21ch ln +=; (10))11(ch 2+-=x x y解 (1) y '=sh(sh x)?(sh x)'=sh(sh x)?ch x . (2) y '=ch x ?e ch x +sh x ?e ch x ?sh x =e ch x (ch x +sh 2x) . (3))(ln ch 1)(ln )(ln ch 122x x x x y ?='?='.(4) y '=3sh 2x ?ch x +2ch x ?sh x =sh x ?ch x ?(3sh x +2) .(5))1(ch 2)1()1(ch 122222x x x x y --=-?-='. (6)222)1()1(112422++='+?++='x x x x x y .(7)12)(1)(142222-='?-='x xx x e e e e y . (8)xxx x x x x y 222222ch 1ch sh 11ch 1th 11)th ()th (11?+=?+='?+=' x x x 222sh 211sh ch 1+=+=. (9))ch (ch 21)ch (ch 124'?-'?='x x x x y x x xx x sh ch 2ch 21ch sh 4??-= xx x x x x x x 323ch sh ch sh ch sh ch sh -?=-=x xx x x x 33332th ch sh ch )1ch (sh ==-?=. (10)'+-?+-?+-='+-?+-=')11()11(sh )11(ch 2])11(ch [)11(ch 2x x x x x x x x x x y)112(sh )1(2)1()1()1()112(sh 22+-?+=+--+?+-?=x x x x x x x x .12. 求下列函数的导数: (1) y =e -x (x 2-2x +3); (2) y =sin 2x ?sin(x 2); (3)2)2(arctan x y =;(4)n xx y ln =;(5)t t t t ee e e y --+-=;(6)xy 1cos ln =;(7)x ey 1sin 2-=; (8)xx y +=;(9)242arcsin x x x y -+=;(10)212arcsint t y +=.解 (1) y '=-e -x (x 2-2x +3)+e -x (2x -2) =e -x (-x 2+4x -5).(2) y '=2sin x ?cos x ?sin(x 2)+sin 2x ?cos(x 2)?2x =sin2x ?sin(x 2)+2x ?sin 2x ?cos(x 2). (3)2arctan 44214112arctan 222x x x x y +=?+?='. (4)121ln 1ln 1+--=?-?='n n n n x x n x nx x x xy . (5)2222)1(4)())(())((+=+---++='-----t t t t t t t t t t t t e e e e e e e e e e e e y .。
高等数学(同济第七版)课后答案解析
当I V，w2时，s（!）=I - y（2-/）2=一£f2+ 2/-1 ,
当/>2HhS（f） =1.
放
/>2.
Q 16.求联系华氏温度(用F表示)和扱氏温度(用C表示)的转换公式.并求
(1)90叩的等价摄氏温度和-5 °C的等价华氏温度：
(2)是否存在一个温度值.使华氏温度汁和摄氏温度汁的读数是样的？如果存在，那么该温度值是多少？
xi
所以/（存）>/（%）,即/（W在（0, + ao）内单调增加.
公5・设/U）为定义在（-/./）内的荷函数.若/（X）在（01）内单调増加，证明/（#）在（-L0）内也单凋増加.
证设-/<X, <X2<0,则0< “2 <-A,</,由/（、）是哉函数，從/g）V（X|）=-/（-知）+f（-旳）■因为/Xx）在（OJ）内单调増加.所以y（-X!）-/（-x2）>0.从而/（旳）>/（旳），即/（X〉在《・"0）内也単调增加.
解设尸.其中叽/，均为常数.
因为〃=32。相当于。=。。/ =212。相当于C= 100°.所以
7 "*=槌
故〃=1.80+32或C=扌（F-32）.
(1)F=90°. C =刑90-32)52.2。.
C=-5。，F= 1.Xx(-5)+32= 23°.
(2)设温度値，符合题意.则有
/ = 1.8/ +32,I =-40.
尸銘EC
> =
y=•<>«< w
y=cotZ；
y=arcfiin lx I C1；
G2.卜列各题中，函数/(x)和g(x)是否相同？为什么”⑴/U) =lg/,g⑴=21gx；
同济高等数学下册课后题答案详解
第8章第1节向量及其线性运算习题8—111,12,15,17,18第8章第2节数量积、向量积、混合积习题8—23,4,6,7,9,10第8章第3节曲面及其方程习题8—32,5,7,9,10(1)(2)(3)(4)第8章第4节空间曲线及其方程习题8—43,4,7,8第8章第5节平面及其方程习题8—51,2,3,5,9第8章第6节空间直线及其方程习题8—61,2,3,4,5,8,9,10(1)(2),12,13,15第8章总复习题总复习题八1,7,8,10,11,12,13,14(1)(2),15,17,19,20第9章第1节多元函数基本概念习题9—12,5(1)(2),6(1)(2)(4)(5),7(1),8第9章第2节偏导数习题9—21(3)(4)(5) (6)(7),4,6(2),9(1)第9章第3节全微分习题9—31(1)(2)(4),2,3,5第9章第4节多元复合函数的求导法则习题9—42,4,6,7,8(1)(2),10,11,12(1)(4)第9章第5节隐函数的求导公式习题9—51,2,4,5,6,8,9,10(1)(3)第9章第6节多元函数微分学的几何应用习题9—63,4,6,7,9,10,12第9章第7节方向导数与梯度习题9—72,3,5,7,8,10第9章第8节多元函数的极值及其求法习题9—81,2,5,6,7,9,11第9章第9节二元函数泰勒公式习题9—91,3第9章总复习题总复习题九1,2,3,5,6,8,9,12,15,16,17,20第10章第1节二重积分的概念与性质习题10—12,4,5第10章第2节二重积分的计算法习题10—21(1)(3),2(3)(4),4(1)(3),6(4)(5)(6),7,89,12(1)(2)(3),14(1)(2),15(1)(2)(3),16 第10章第3节三重积分习题10—31(1)(2),2,4,5,7,8,9(1)(2),10(1)(2),11(1)第10章第4节重积分的应用习题10—41,2,5,6,8,10,14第10章总复习题总复习题十1,2(1) (3),3(1)(2)6,8(1)(2),10,11,12第11章第1节对弧长的曲线积分习题11—11,3(3)(4)(5)(7),4第11章第2节对坐标的曲线积分习题11—23(1) (2)(3) (5) (6)(7),4(1)(2)(3),7(1)(2),8第11章第3节格林公式及其应用习题11—31,2(1)(2),3,4(1)(2),5(1)(2)(4),6(1)(3)(4),8(1) (3)(5) (6)(7)第11章第4节对面积的曲面积分习题11—41,4(1)(2),5(1),6(1)(2)(3),7,8第11章第5节对坐标的曲面积分习题11—53(1)(2)(4),4(1)(2)第11章第6节高斯公式通量与散度习题11—61(1) (2)(3) (4) , 3(1)(2)第11章第7节斯托克斯公式环流量与旋度习题11—72(1) (2)(3),3(1)(2)第11章总复习题总复习题十一1,2,3,4,5,7,11第12章第1节常数项级数的概念和性质习题12—11(1)(4),2(3)(4),3,4第12章第2节常数项级数的审敛法习题12—21(1)(4) (5),2(1)(4) ,3(1)(3),4(1)(3)(5),5(1)(2)(3) (5)第12章第3节幂级数习题12—31,2第12章第4节函数展开成幂级数习题12—42,3,4,5,6第12章第7节傅里叶级数习题12—71(1)(2),2(1),3,4,5,6第12章第8节一般周期函数的傅里叶级数习题12—81(1)(2),2第12章总复习题总复习题十二1,2(1)(2)(3)(5),4,5(1)(2)(4),6(1),7(1)(2)(4),8(1)(2)(3),9(1),10(1),11。
高等数学同济课后答案
总习题一1. 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内:(1)数列{x n }有界是数列{x n }收敛的________条件. 数列{x n }收敛是数列{x n }有界的________的条件. (2)f (x )在x 0的某一去心邻域内有界是)(lim 0x f x x →存在的________条件. )(lim 0x f x x →存在是f (x )在x 0的某一去心邻域内有界的________条件. (3) f (x )在x 0的某一去心邻域内无界是∞=→)(lim 0x f x x 的________条件. ∞=→)(lim 0x f x x 是f (x )在x 0的某一去心邻域内无界的________条件.(4)f (x )当x →x 0时的右极限f (x 0+)及左极限f (x 0-)都存在且相等是)(lim 0x f x x →存在的________条件.解 (1) 必要, 充分. (2) 必要, 充分. (3) 必要, 充分. (4) 充分必要.2. 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论: 设f (x )=2x +3x -2, 则当x →0时, 有( ).(A )f (x )与x 是等价无穷小; (B )f (x )与x 同阶但非等价无穷小; (C )f (x )是比x 高阶的无穷小; (D )f (x )是比x 低阶的无穷小.解 因为x x xx x f x x x x x x x x 13lim 12lim 232lim )(lim 0000-+-=-+=→→→→3ln 2ln )1ln(lim 3ln )1ln(lim2ln 00+=+++=→→u u t t u t (令2x -1=t , 3x -1=u ) .所以f (x )与x 同阶但非等价无穷小, 故应选B . 3. 设f (x )的定义域是[0, 1], 求下列函数的定义域: (1) f (e x ); (2) f (ln x ); (3) f (arctan x ); (4) f (cos x ).解 (1)由0≤e x ≤1得x ≤0, 即函数f (e x )的定义域为(-∞, 0]. (2) 由0≤ ln x ≤1得1≤x ≤e , 即函数f (ln x )的定义域为[1, e ].(3) 由0≤ arctan x ≤1得0≤x ≤tan 1, 即函数f (arctan x )的定义域为[0, tan 1]. (4) 由0≤ cos x ≤1得2222ππππ+≤≤-n x n (n =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅),即函数f (cos x )的定义域为[2,22ππππ+-n n ], (n =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).4. 设⎩⎨⎧>≤=0 00)(x x x x f , ⎩⎨⎧>-≤=0 0 0)(2x x x x g , 求f [f (x )], g [g (x )], f [g (x )], g [f (x )]. 解 因为f (x )≥0, 所以f [f (x )]=f (x )⎩⎨⎧>≤=0 00x x x ;因为g (x )≤0, 所以g [g (x )]=0; 因为g (x )≤0, 所以f [g (x )]=0; 因为f (x )≥0, 所以g [f (x )]=-f 2(x )⎩⎨⎧>-≤=0 002x x x . 5. 利用y =sin x 的图形作出下列函数的图形: (1)y =|sin x |; (2)y =sin|x |; (3)2sin 2x y =.6. 把半径为R 的一圆形铁片, 自中心处剪去中心角为α的一扇形后围成一无底圆锥. 试将这圆锥的体积表为α的函数.解 设围成的圆锥的底半径为r , 高为h , 依题意有 R (2π-α)=2πr ,παπ2)2(-=R r ,παπαπαπ244)2(2222222-=--=-=RR R r R h .圆锥的体积为παπαπαππ244)2(312222-⋅-⋅=RR V22234)2(24a R -⋅-=πααππ(0<α<2π). 7. 根据函数极限的定义证明536lim23=---→x x x x .证明 对于任意给定的ε>0, 要使ε<----|536|2x x x , 只需|x -3|<ε, 取δ=ε, 当0<|x -3|<δ时, 就有|x -3|<ε, 即ε<----|536|2x x x , 所以536lim 23=---→x x x x .8. 求下列极限:(1)221)1(1lim-+-→x x x x ;(2))1(lim 2x x x x -++∞→;(3)1)1232(lim +∞→++x x x x ; (4)30sin tan limx x x x -→;(5)x x x x x c b a 10)3(lim ++→(a >0, b >0, c >0); (6)x x x tan 2)(sin lim π→.解 (1)因为01)1(lim 221=+--→x x x x , 所以∞=-+-→221)1(1lim x x x x .(2))1()1)(1(lim )1(lim 2222x x x x x x x x x x x x ++++-+=-++∞→+∞→211111lim 1lim22=++=++=+∞→+∞→x x x x x x .(3)2121211)1221(lim )1221(lim )1232(lim ++∞→+∞→+∞→++=++=++x x x x x x x x x x21212)1221()1221(lim ++++=+∞→x x x xe x x x x x =++⋅++=∞→+∞→21212)1221(lim )1221(lim .(4)xx x x x x x x x x x x x cos )cos 1(sin lim )1cos 1(sin lim sin tan lim 303030-=-=-→→→21)2(2lim cos 2sin 2sin lim 320320=⋅=⋅=→→xx x x x x x x x (提示: 用等价无穷小换). (5)x c b a c b a xx x x xx xx x x x x x x x c b a c b a 3333010)331(lim )3(lim -++⋅-++→→-+++=++, 因为e c b a x x x c b a x x x x =-+++-++→330)331(lim ,)111(lim 3133lim 00xc x b x a x c b a xx x x x x x x -+-+-=-++→→ ])1ln(1lim ln )1ln(1lim ln )1ln(1lim [ln 31000v c u b t a v u t +++++=→→→3ln )ln ln (ln 31abc c b a =++=,所以3ln 103)3(lim abc e c b a abc x x x x x ==++→.提示: 求极限过程中作了变换a x -1=t , b x -1=u , c x -1=v . (6)xx x x xx x x tan )1(sin 1sin 12tan 2)]1(sin 1[lim )(sin lim -⋅-→→-+=ππ, 因为 e x x x =-+-→1sin 12)]1(sin 1[lim π,x x x x x x x cos )1(sin sin limtan )1(sin lim 22-=-→→ππ01sin cos sin lim )1(sin cos )1(sin sin lim 222=+-=+-=→→x x x x x x x x x ππ, 所以1)(sin lim 0tan 2==→e x x x π.9. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=01sin )(2x x a x xx x f , 要使f (x )在(-∞, +∞)内连续, 应怎样选择数a ? 解 要使函数连续, 必须使函数在x =0处连续. 因为 f (0)=a ,a x a x f x x =+=--→→)(lim )(lim 200, 01sin lim )(lim 00==++→→xx x f x x ,所以当a =0时, f (x )在x =0处连续. 因此选取a =0时, f (x )在(-∞, +∞)内连续. 10. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-01 )1ln(0)(11x x x e x f x , 求f (x )的间断点, 并说明间断点所属类形. 解 因为函数f (x )在x =1处无定义, 所以x =1是函数的一个间断点.因为0lim )(lim 1111==-→→--x x x e x f (提示-∞=--→11lim 1x x ),∞==-→→++1111lim )(lim x x x e x f (提示+∞=-+→11lim 1x x ),所以x =1是函数的第二类间断点.又因为0)1ln(lim )(lim 00=+=--→→x x f x x , ee xf x x x 1lim )(lim 110==-→→++,所以x =0也是函数的间断点, 且为第一类间断点.11. 证明()11 2111lim222=++⋅⋅⋅++++∞→n n n n n .证明 因为()11 211122222+≤++⋅⋅⋅++++≤+n n n n n n n n n , 且 1111lim lim2=+=+∞→∞→n n n n n n , 1111lim 1lim 22=+=+∞→∞→nn n n n , 所以()11 2111lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→nn n n n . 12. 证明方程sin x +x +1=0在开区间)2,2(ππ-内至少有一个根.证明 设f (x )=sin x +x +1, 则函数f (x )在]2,2 [ππ-上连续.因为2121)2 (πππ-=+--=-f , 22121)2 (πππ+=++=f , 0)2()2 (<⋅-ππf f , 所以由零点定理, 在区间)2,2 (ππ-内至少存在一点ξ, 使f (ξ)=0.这说明方程sin x +x +1=0在开区间)2,2 (ππ-内至少有一个根.13. 如果存在直线L : y =kx +b , 使得当x →∞(或x →+∞, x →-∞)时, 曲线y =f (x )上的动点M (x , y )到直线L 的距离d (M , L )→0, 则称L 为曲线y =f (x )的渐近线. 当直线L 的斜率k ≠0时, 称L 为斜渐近线. (1)证明: 直线L : y =kx +b 为曲线y =f (x )的渐近线的充分必要条件是xx f k x x x )(lim),( -∞→+∞→∞→=, ])([lim),( kx x f b x x x -=-∞→+∞→∞→.(2)求曲线x e x y 1)12(-=的斜渐近线.证明 (1) 仅就x →∞的情况进行证明.按渐近线的定义, y =kx +b 是曲线y =f (x )的渐近线的充要条件是0)]()([lim =+-∞→b kx x f x .必要性: 设y =kx +b 是曲线y =f (x )的渐近线, 则0)]()([lim =+-∞→b kx x f x ,于是有 0])([lim =--∞→xb k x x f x x ⇒0)(lim =-∞→k x x f x ⇒x x f k x )(lim∞→=, 同时有0])([lim =--∞→b kx x f x ⇒])([lim kx x f b x -=∞→.充分性: 如果xx f k x )(lim ∞→=, ])([lim kx x f b x -=∞→, 则0])([lim ])([lim )]()([lim =-=--=--=+-∞→∞→∞→b b b kx x f b kx x f b kx x f x x x ,因此y =kx +b 是曲线y =f (x )的渐近线.(2)因为212lim lim 1=⋅-==∞→∞→x x x e x x x y k , 11)1ln(lim21)1(lim2]2)12[(lim ]2[lim 011=-+=--=--=-=→∞→∞→∞→t t e x x e x x y b t xx xx x ,所以曲线x e x y 1)12(-=的斜渐近线为y =2x +1.总 习 题 二1. 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内:(1)f (x )在点x 0可导是f (x )在点x 0连续的____________条件. f (x )在点x 0连续是f (x )在点x 0可导的____________条件.(2) f (x )在点x 0的左导数f -'(x 0)及右导数f +'(x 0)都存在且相等是f (x )在点x 0可导的_______条件. (3) f (x )在点x 0可导是f (x )在点x 0可微的____________条件. 解 (1)充分, 必要. (2) 充分必要. (3) 充分必要.2. 选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论:设f (x )在x =a 的某个邻域内有定义, 则f (x )在x =a 处可导的一个充分条件是( ). (A ))]()1([lim a f ha f h h -++∞→存在; (B )hh a f h a f h )()2(lim0+-+→存在;(C )h h a f h a f h 2)()(lim--+→存在; (D )hh a f a f h )()(lim 0--→存在.解 正确结论是D . 提示:xa f x a f h a f h a f h h a f a f x h h ∆-∆+=---=--→∆→→)()(lim)()(lim )()(lim000(∆x =-h ). 3. 设有一根细棒, 取棒的一端作为原点, 棒上任一点的做标x 为, 于是分布在区间[0, x ]上细棒的质量m 是x 的函数m =m (x ),应怎样确定细棒在点x 0处的线密度(对于均匀细棒来说, 单位长度细棒的质量叫做这细棒的线密度)？解 ∆m =m (x 0+∆x )-m (x 0).在区间[x 0, x 0+∆x ]上的平均线密度为xx m x x m xm ∆-∆+=∆∆=)()(00ρ.于是, 在点x 0处的线密度为)()()(lim lim 0000x m xx m x x m xm x x '=∆-∆+=∆∆=→∆→∆ρ.4. 根据导数的定义, 求xx f 1)(=的导数. 解20001)(1lim)(lim 11lim x x x x x x x x x x x x x y x x x -=∆+-=∆+∆∆-=∆-∆+='→∆→∆→∆.5. 求下列函数f (x )的f -'(0)及f +'(0),又f '(0)是否存在? (1)⎩⎨⎧≥+<=0 )1ln(0 sin )(x x x x x f ;(2)⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0 00 1)(1x x e x x f x .解 (1)因为10sin lim 0)0()(lim )0(00=-=--='--→→-xx x f x f f x x ,1ln )1ln(lim 0)1ln(lim 0)0()(lim )0(1000==+=-+=--='+++→→→+e x xx x f x f f x x x x ,而且f -'(0) = f +'(0), 所以f '(0)存在, 且f '(0)=1.(2)因为111lim 01lim 0)0()(lim )0(10100=+=--+=--='---→→→-xx xx x e x e x x f x f f ,011lim 001lim 0)0()(lim )0(10100=+=--+=--='+++→→→+xx xx x e x e x x f x f f ,而f -'(0)≠ f +'(0), 所以f '(0)不存在.6. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001sin )(x x xx x f 在x =0处的连续性与可导性. 解 因为f (0)=0,)0(01sin lim )(lim 00f xx x f x x ===→→, 所以f (x )在x =0处连续; 因为极限xx x x x f x f x x x 1sin lim 01sin lim )0()(lim 000→→→=-=-不存在, 所以f (x )在x =0处不可导. 7. 求下列函数的导数: (1) y =arcsin(sin x );(2)x x y -+=11arctan ;(3)x x x y tan ln cos 2tan ln ⋅-=; (4))1ln(2x x e e y ++=;(5)x x y =(x >0) .解(1)|cos |cos cos sin 11)(sin sin 1122x x x xx x y =⋅-='⋅-='.(2)222211)1()1()1()11(11)11()11(11x x x x xx x x x x y +=-++-⋅-++='-+⋅-++='.(3))(tan tan 1cos tan ln sin )2(tan 2tan 1'⋅⋅-⋅+'⋅='x x x x x x x yx x x x x x x x x tan ln sin sec tan 1cos tan ln sin 212sec 2tan 122⋅=⋅⋅-⋅+⋅⋅.(4)xxx x xx x x x x x e e e e e e e e e e e y 2222221)122(11)1(11+=++⋅++='++⋅++='.(5)x x y ln 1ln =, x x x xy y 11ln 112⋅+-=', )ln 1()1ln 1(222x x x x x x x y xx-=+-='.8. 求下列函数的二阶导数: (1)y =cos 2x ⋅ln x ; (2)21x xy -=.解 (1)x x x x x x x x x y 1cos ln 2sin 1cos ln sin cos 222⋅+⋅-=⋅+⋅-=',221cos 1sin cos 212sin ln 2cos 2x x x x x x x x x y ⋅-⋅-⋅-⋅-=''22cos 2sin 2ln 2cos 2xx x x x x --⋅-=.(2)232222)1(111--=---⋅--='x xx xx x y52252)1(3)2()1(23x x x x y -=-⋅--=''-.9. 求下列函数的n 阶导数: (1)m x y +=1;(2)xx y +-=11. 解 (1)m mx x y 1)1(1+=+=,11)1(1-+='m x m y , 21)1)(11(1-+-=''m x m m y , 31)1)(21)(11(1-+--='''m x m m m y , ⋅ ⋅ ⋅,n m n x n mm m m y-++-⋅⋅⋅--=1)()1)(11( )21)(11(1.(2)1)1(2111-++-=+-=x xx y , y '=2(-1)(1+x )-2, y ''=2(-1)(-2)(1+x )-3, y '''=2(-1)(-2)(-3)(1+x )-4, ⋅ ⋅ ⋅, 1)1()()1(!)1(2)1)(( )3)(2)(1(2++-+-=+-⋅⋅⋅---=n n n n x n x n y.10. 设函数y =y (x )由方程e y +xy =e 所确定, 求y ''(0). 解 方程两边求导得e y y '+y +xy '=0, —— (1) 于是ye x y y +-=';2)()1()()(y y y y e x y e y e x y e x y y +'+-+'-='+-=''. ——(2)当x =0时, 由原方程得y (0)=1, 由(1)式得e y 1)0(-=', 由(2)式得21)0(e y =''. 11. 求下列由参数方程所确定的函数的一阶导数dx dy 及二阶导数22dx yd :(1)⎩⎨⎧==θθ33sin cos a y a x ;(2)⎩⎨⎧=+=ty t x arctan 1ln 2.解 (1)θθθθθθθtan )sin (cos 3cos sin 3)cos ()sin (2233-=-=''=a a a a dx dy ,θθθθθθθcsc sec 31sin cos 3sec )cos ()tan (422322⋅=--=''-=aa a dx y d .(2)t t t t t t dx dy 1111]1[ln )(arctan 222=++='+'=,3222222111]1[ln )1(t t t t t t t dx y d +-=+-='+'=.12. 求曲线⎩⎨⎧==-t te y e x 2在t =0相的点处的切线方程及法线方程.解t t tt t ee e e e dx dy 2212)2()(-=-=''=--.当t =0时,21-=dx dy , x =2, y =1. 所求切线的方程为)2(211--=-x y , 即x +2y -4=0; 所求法线的方程为y -1=2(x -2).13. 甲船以6km/h 的速率向东行驶, 乙船以8km/h 的速率向南行驶, 在中午十二点正, 乙船位于甲船之北16km 处. 问下午一点正两船相离的速率为多少?解 设从中午十二点开始, 经过t 小时, 两船之间的距离为S , 则有 S 2=(16-8t )2+(6t )2,t t dtdS S 72)816(162+--=,St t dt dS 272)816(16+--=.当t =1时, S =10,8.220721281-=+-==t dt dS (km/h), 即下午一点正两船相离的速度为-2.8km/h . 14. 利用函数的微分代替函数的增量求302.1的近似值.解 设3)(x x f =, 则有x x f f x f ∆=∆'≈-∆+31)1()1()1(, 或x x f ∆+≈∆+311)1(于是007.102.031102.0102.133=⋅+=+=.15. 已知单摆的振动周期gl T π2=, 其中g =980 cm/s 2, l 为摆长(单位为cm). 设原摆长为20cm , 为使周期T 增大0.05s , 摆长约需加长多少？ 解 因为L gLdT T ∆⋅=≈∆π,所以23.205.020=≈∆=L gLL π(cm),即摆长约需加长2.23cm .总习题三 1. 填空:设常数k >0, 函数k ex x x f +-=ln )(在(0, +∞)内零点的个数为________. 解 应填写2. 提示: e x x f 11)(-=', 21)(x x f -=''. 在(0, +∞)内, 令f '(x )=0, 得唯一驻点x =e .因为f ''(x )<0, 所以曲线k exx x f +-=ln )(在(0, +∞)内是凸的, 且驻点x =e 一定是最大值点, 最大值为f (e )=k >0.又因为-∞=+→)(lim 0x f x , -∞=+∞→)(lim x f x , 所以曲线经过x 轴两次, 即零点的个数为2.2. 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论:设在[0, 1]上f ''(x )>0, 则f '(0), f '(1), f (1)-f (0)或f (0)-f (1)几个数的大小顺序为( ). (A )f '(1)>f '(0)>f (1)-f (0); (B )f '(1)>f (1)-f (0)>f '(0); (C )f (1)-f (0)>f '(1)>f '(0); (D )f '(1)>f (0)-f (1)>f '(0). 解 选择B .提示: 因为f ''(x )>0, 所以f '(x )在[0, 1]上单调增加, 从而f '(1)>f '(x )>f '(0). 又由拉格朗日中值定理, 有f (1)-f (0)=f '(ξ), ξ∈[0, 1], 所以 f '(1)> f (1)-f (0)>f '(0).3. 列举一个函数f (x )满足: f (x )在[a , b ]上连续, 在(a ,b )内除某一点外处处可导, 但在(a , b )内不存在点ξ , 使f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a ). 解 取f (x )=|x |, x ∈[-1, 1].易知f (x )在[-1, 1]上连续, 且当x >0时f '(x )=1; 当x >0时, f '(x )=-1; f '(0)不存在, 即f (x )在[-1, 1]上除x =0外处处可导.注意f (1)-f (-1)=0, 所以要使f (1)-f (-1)=f '(ξ)(1-(-1))成立, 即f '(ξ)=0, 是不可能的. 因此在(-1, 1)内不存在点ξ , 使f (1)-f (-1)=f '(ξ)(1-(-1)). 4. 设k x f x ='∞→)(lim , 求)]()([lim x f a x f x -+∞→.解 根据拉格朗日中值公式, f (x +a )-f (x )=f '(ξ )⋅a , ξ 介于x +a 与x 之间.当x →∞ 时, ξ → ∞, 于是ak f a a f x f a x f x x ='=⋅'=-+∞→∞→∞→)(lim )(lim )]()([lim ξξξ.5. 证明多项式f (x )=x 3-3x +a 在[0, 1]上不可能有两个零点.证明 f '(x )=3x 2-3=3(x 2-1), 因为当x ∈(0, 1)时, f '(x )<0, 所以f (x )在[0, 1]上单调减少. 因此, f (x ) 在[0, 1]上至多有一个零点.6. 设1210++⋅⋅⋅++n a a a n =0, 证明多项式f (x )=a 0+a 1x +⋅ ⋅ ⋅+a n x n 在(0,1)内至少有一个零点. 证明 设121012)(+++++=n n x n a x a x a x F , 则F (x )在[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导, 且F (0)=F (1)=0. 由罗尔定理, 在(0, 1)内至少有一个点ξ , 使F (ξ )=0. 而F '(x )=f (x ), 所以f (x )在(0, 1)内至少有一个零点.7. 设f (x )在[0, a ]上连续, 在(0, a )内可导, 且f (a )=0, 证明存在一点ξ∈(0, a ), 使f (ξ)+ξf '(ξ)=0.证明 设F (x )=xf (x ), 则F (x )在[0, a ]上连续, 在(0, a )内可导, 且F (0)=F (a )=0. 由罗尔定理, 在(0, a )内至少有一个点ξ , 使F (ξ )=0. 而F (x )=f (x )+x f '(x ), 所以f (ξ)+ξf '(ξ)=0.8. 设0<a <b , 函数f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, 试利用柯西中值定理, 证明存在一点ξ∈(a , b )使abf b f a f ln )()()(ξξ'=-.证明 对于f (x )和ln x 在[a , b ]上用柯西中值定理, 有ξξ1)(ln ln )()(f ab a f b f '=--, ξ∈(a , b ), 即 abf b f a f ln)()()(ξξ'=-, ξ∈(a , b ). 9. 设f (x )、g (x )都是可导函数, 且|f '(x )|<g '(x ), 证明: 当x >a 时, |f (x )-f (a )|<g (x )-g (a ). 证明 由条件|f '(x )|<g '(x )得知, 1)()(<''ξξg f , 且有g '(x )>0, g (x )是单调增加的, 当x >a 时, g (x )>g (a ).因为f (x )、g (x )都是可导函数, 所以f (x )、g (x ) 在[a , x ]上连续, 在(a , x )内可导, 根据柯西中值定理, 至少存在一点ξ∈(a , x ), 使)()()()()()(ξξg f a g x g a f x f ''=--. 因此,1)()()()(|)()(|<''=--ξξg f a g x g a f x f , |f (x )-f (a )|<g (x )-g (a ).10. 求下列极限:(1)xx x x xx ln 1lim 1+--→;(2)]1)1ln(1[lim 0xx x -+→;(3)x x x )arctan 2(lim π+∞→.(4)nx xn xx x n a a a ]/) [(lim 11211+⋅⋅⋅++∞→(其中a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n >0).解 (1) (x x )'=(e x l n x )'=e x l n x (ln x +1)=x x (ln x +1).xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx -+-=+-+-='+-'-=+--+→→→→1)1(ln lim11)1(ln 1lim )ln 1()(lim ln 1lim 11111 21)1)(ln 11(ln 1lim11=--+++-=+→xx x x x x x x . (2)xxx xx x x x x x x x x x x x x x ++++-='+'+-=++-=-+→→→→1)1ln(111lim])1ln([])1ln([lim )1ln()1ln(lim ]1)1ln(1[lim 00002111)1ln(1lim )1ln()1(lim00=+++=+++=→→x x x x x x x(3))2ln arctan (ln lim )arctan 2(lim ππ++∞→+∞→=x x x xx ex ,因为)2lnarctan (ln lim π++∞→x x x ππ2111arctan 1lim )1()2ln arctan (ln lim22-=-+⋅=''+=+∞→+∞→xx x xx x x , 所以πππ2)2ln arctan (ln lim )arctan 2(lim -++∞→+∞→==eex x x x x x .(4)令nxxn xxn a a a y ]/) [(11211+⋅⋅⋅++=. 则]ln ) [ln(ln11211n a a a nx y xn xx-+⋅⋅⋅++=, 因为xn a a a n y xn xx x x 1]ln ) [ln(limln lim 11211-+⋅⋅⋅++=∞→∞→)1()1()ln ln ln ( 1lim121211111211''⋅+⋅⋅⋅++⋅+⋅⋅⋅++⋅=∞→xxa a a a a a a a a n n xn x xxn x x x=ln a 1+ln a 2+⋅ ⋅ ⋅+ln a n =ln(a 1⋅a 2⋅ ⋅ ⋅ a n ). 即y x ln lim ∞→=ln(a 1⋅a 2⋅ ⋅ ⋅ a n ), 从而n x nx xn xx x a a a y n a a a lim ]/) [(lim 2111211⋅⋅⋅⋅==+⋅⋅⋅++∞→∞→.11. 证明下列不等式: (1)当2021π<<<x x 时,1212tan tan x x x x >; (2):当x >0时, xxx +>+1arctan )1ln(.证明 (1)令x x x f tan )(=, )2,0(π∈x . 因为0tan tan sec )(222>->-='x xx x x x x x f ,所以在)2,0(π内f (x )为单调增加的. 因此当2021π<<<x x 时有]2211tan tan x x x x <, 即1212tan tan x x x x >. (2)要证(1+x )ln(1+x )>arctan x , 即证(1+x )ln(1+x )- arctan x >0.设f (x )=(1+x )ln(1+x )- arctan x , 则f (x )在[0, +∞)上连续,211)1ln()(xx x f +-+='.因为当x >0时, ln(1+x )>0, 01112>+-x, 所以f '(x )>0, f (x )在[0, +∞)上单调增加.因此, 当x >0时, f (x )>f (0), 而f (0)=0, 从而f (x )>0, 即(1+x )ln(1+x )-arctan x >0 .12. 设⎩⎨⎧≤+>=0 20)(2x x x x x f x , 求f (x )的极值.解 x =0是函数的间断点.当x <0时, f '(x )=1; 当x >0时, f '(x )=2x 2x (ln x +1). 令f '(x )=0, 得函数的驻点ex 1=. 列表:函数的极大值为f (0)=2, 极小值为e e ef 2)1(-=.13. 求椭圆x 2-xy +y 2=3上纵坐标最大和最小的点. 解 2x -y -xy '+2yy '=0, y x y x y 22--='. 当y x 21=时, y '=0.将y x 21=代入椭圆方程, 得32141222=+-y y y , y =±2 .于是得驻点x =-1, x =1. 因为椭圆上纵坐标最大和最小的点一定存在, 且在驻点处取得, 又当x =-1时, y =-2, 当x =1时, y =2, 所以纵坐标最大和最小的点分别为(1, 2)和(-1, -2). 14. 求数列}{n n 的最大项.解 令xx x x x f1)(==(x >0), 则x xx f ln 1)(ln =,)ln 1(1ln 11)()(1222x xx x x x f x f -=-='⋅, )ln 1()(21x x x fx -='-.令f '(x )=0, 得唯一驻点x =e .因为当0<x <e 时, f '(x )>0; 当x >e 时, f '(x )<0, 所以唯一驻点x =e 为最大值点. 因此所求最大项为333}3 ,2max{=.15. 曲线弧y =sin x (0<x <π)上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径. 解 y '=cos x , y ''=-sin x ,xx y y sin )cos 1(||)1(2/322/32+='''+=ρ(0<x <π),xxx x x x x 2232212sin cos )cos 1(sin )sin cos 2()cos 1(23+-⋅-+='ρxx x x x 222212sin )1cos sin 3(cos )cos1(+++-=.在(0, π)内, 令ρ'=0, 得驻点2π=x .因为当20π<<x 时, ρ'<0; 当ππ<<x 2时, ρ'>0, 所以2π=x 是ρ的极小值点, 同时也是ρ的最小值点,最小值为12sin)2cos 1(2/32=+ππρ.16. 证明方程x 3-5x -2=0只有一个正根. 并求此正根的近似值, 使精确到本世纪末10-3. 解 设f (x )=x 3-5x -2, 则 f '(x )=3x 2-5, f ''(x )=6x .当x >0时, f ''(x )>0, 所以在(0, +∞)内曲线是凹的, 又f (0)=-2, +∞=--+∞→)2(lim 3x x x , 所以在(0, +∞)内方程x 3-5x -2=0只能有一个根. (求根的近似值略)17. 设f ''(x 0)存在, 证明)()(2)()(lim 020000x f hx f h x f h x f h ''=--++→.证明 hh x f h x f h x f h x f h x f h h 2)()(lim)(2)()(lim00020000-'-+'=--++→→hh x f h x f h )()(lim 21000-'-+'=→hh x f x f x f h x f h )]()([)]()([lim 2100000-'-+'-+'=→)()]()([21])()()()([lim 2100000000x f x f x f h h x f x f h x f h x f h ''=''+''=-'-+'-+'=→.18. 设f (n )(x 0)存在, 且f (x 0)=f '(x 0)= ⋅ ⋅ ⋅ =f (n )(x 0)=0, 证明f (x )=o [(x -x 0)n ] (x →x 0). 证明 因为 100)()(lim)()(lim-→→-'=-n x x nx x x x n x f x x x f20))(1()(lim-→--''=n x x x x n n x f =⋅ ⋅ ⋅)(!)(lim 0)1(0x x n x f n x x -=-→0)(!1)()(lim!10)(00)1()1(0==--=--→x fn x x x f x f n n n n x x ,所以f (x )=o [(x -x 0)n ] (x →x 0).19. 设f (x )在(a , b )内二阶可导, 且f ''(x )≥0. 证明对于(a , b )内任意两点x 1, x 2及0≤t ≤1, 有f [(1-t )x 1+tx 2]≤(1-t )f (x 1)+tf (x 2).证明 设(1-t )x 1+tx 2=x 0. 在x =x 0点的一阶泰勒公式为 20000)(!2)())(()()(x x f x x x f x f x f -''+-'+=ξ(其中ξ介于x 与x 0之间). 因为f ''(x )≥0, 所以 f (x )≥f (x 0)+f '(x 0)(x -x 0). 因此f (x 1)≥ f (x 0)+f '(x 0)(x 1-x 0), f (x 2)≥f (x 0)+f '(x 0)(x 2-x 0). 于是有(1-t )f (x 1)+tf (x 2)≥(1-t )[ f (x 0)+f '(x 0)(x 1-x 0)]+t [f (x 0)+f '(x 0)(x 2-x 0)] =(1-t )f (x 0)+t f (x 0)+f '(x 0)[(1-t )x 1+t x 2]-f '(x 0)[(1-t )x 0+t x 0] =f (x 0)+f '(x 0)x 0-f '(x 0)x 0 =f (x 0),即 f (x 0)≤(1-t )f (x 1)+tf (x 2),所以 f [(1-t )x 1+tx 2]≤(1-t )f (x 1)+tf (x 2) (0≤t ≤1).20. 试确定常数a 和b , 使f (x )=x -(a +b cos x )sin x 为当x →0时关于x 的5阶无穷小. 解 f (x )是有任意阶导数的, 它的5阶麦克劳公式为)(!5)0(!4)0(!3)0(!2)0()0()0()(55)5(4)4(32x o x f x f x f x f x f f x f +++'''+''+'+=)(!516!34)1(553x o x b a x b a x b a +--+++--=.要使f (x )=x -(a +b cos x )sin x 为当x →0时关于x 的5阶无穷小, 就是要使极限 ])(!516!341[lim )(lim552405xx o b a x b a x b a x x f x x +--+++--=→→ 存在且不为0. 为此令 ⎩⎨⎧=+=--0401b a b a ,解之得34=a , 31-=b .因为当34=a , 31-=b 时,0301!516)(lim 50≠=--=→b a x x f x ,所以当34=a ,31-=b 时, f (x )=x -(a +b cos x )sin x 为当x →0时关于x 的5阶无穷小.总习题四求下列不定积分(其中a , b 为常数): 1.⎰--xx e e dx;解 C e e de e dx e e e e dxx x xx x xxx ++-=---=-⎰⎰⎰-|11|ln 2111122.2. dx x x ⎰-3)1(;解C x x dx x dx x dx x x+-⋅+-=----=-⎰⎰⎰2323)1(12111)1(1)1(1)1(.3. ⎰-dx xa x 662(a >0); 解 C ax a x a x d x a dx x a x +-+=-=-⎰⎰||ln 61)()()(1313333332323662. 4. ⎰++dx x x xsin cos 1;解 C x x x x d x x dx x x x ++=++=++⎰⎰|sin |ln )sin (sin 1sin cos 1. 5. ⎰dx xxln ln ; 解C x x x dx x x x x x x xd dx x x +-⋅=⋅⋅-⋅==⎰⎰⎰ln ln ln ln 1ln 1ln ln ln ln ln ln ln ln ln .6. ⎰+dx x xx 4sin 1cos sin ; 解 C x x d x x d xx dx x x x +=+=+=+⎰⎰⎰222244sin arctan 21)(sin )(sin 1121sin sin 1sin sin 1cos sin . 7. ⎰xdx 4tan;解xxd x x d xx xdx tan sin tan tan cos sin tan22244⎰⎰⎰==⎰⎰++-=+=x d x x x d x x tan )1tan 11(tan tan 1tan tan 2224c x x x c x x x ++-=++-=tan tan 31tan arctan tan tan 3133.8. ⎰xdx x x 3sin 2sin sin ;解 ⎰⎰--=xdx x x xdx x x 3sin )cos 3(cos 213sin 2sin sin ⎰⎰+-=xdx x xdx x 3sin cos 213sin 3cos 21 ⎰⎰++=dx x x x xd )2sin 4(sin 41)3(cos 3cos 61 C x x x +--=2cos 814cos 1613cos 1212. 9.⎰+)4(6x x dx;解 C x x dx x x x x x dx++-=+-=+⎰⎰)4ln(241||ln 41)41(41)4(6656. 10.)0(>-+⎰a dx xa xa ; 解⎰⎰⎰⎰-+-=-+=-+dx xa xdx x a a du x a x a dx x a x a 2222221C x a axa +--=22arcsin. 11.⎰+)1(x x dx ;解C x x C x x x d x x x dx +++=+++=+=+⎰⎰)1ln(2))(1ln(2)(112)1(22.12. ⎰xdx x 2cos;解⎰⎰⎰+=+=x xd x dx x x x xdx x 2sin 4141)2cos (21cos 22C x x x x xdx x x x +++=-+=⎰2cos 812sin 41412sin 412sin 414122. 13.⎰bxdx eaxcos ;解 因为dx bx e a b bx e a bxde a bxdx e ax axax ax⎰⎰⎰+==sin cos 1cos 1cosdx bx e ab bx e a b bx e a de bx a b bx e a ax ax axax ax ⎰⎰-+=+=cos sin cos 1sin cos 12222,所以C bx e a b bx e a b a a bxdx e axax ax+++=⎰)sin cos 1(cos 2222C bx b bx a e b a ax +++=)sin cos (122.14.⎰+xedx 1;解⎰⎰⎰⎰+--=-=-=++du u u du u u d u u e e dxx x )1111(112)1ln(11122令. c e e c u u x x +++-+=++-=1111ln |11|ln .15.⎰-122x xdx ;解C t tdt tdt t t t tx x xdx+==⋅⋅=-⎰⎰⎰sin cos tan sec tan sec 1sec 1222令C xx +-=12. 16.⎰-2/522)(x a dx;解⎰⎰⋅=-tdt a t a ta x x a dx cos )cos (1sin )(52/522令⎰⎰+==t d t adt ta tan )1(tan1cos 112444C t at a ++=tan 1tan 31434C xa x ax a x a+-+-⋅=224322341)(31.17. ⎰+241xxdx;解tdt t t tx x xdx 2424secsec tan 1tan 1⋅⋅=+⎰⎰令⎰⎰==t d t tdt t tsin sin cos sin cos 4243 C t tt d t t ++-=-=⎰sin 1sin 31sin )sin 1sin 1(324C xx x x ++++-=233213)1(.18.⎰dx x x sin ;解⎰⎰⎰=⋅=tdt t tdt t t t x dx x x sin 22sin sin 2令⎰⎰⋅+-=-=tdt t t t t d t 2cos 2cos 2cos 222⎰⎰-+-=+-=tdt t t t t t td t t sin 4sin 4cos 2sin 4cos 222 C t t t t t +++-=cos 4sin 4cos 22C x x x x x +++-=cos 4sin 4cos 2. 19. ⎰+dx x)1ln(2;解⎰⎰+⋅-+=+dx xx x x x dx x 22212)1ln()1ln(⎰+--+=dx xx x )111(2)1ln(22C x x x x ++-+=arctan 22)1ln(2. 20.⎰dx x x32cos sin ;解 x d x xx x d x x dx x xtan )1tan tan (tan tan cos sin cos sin 2232⎰⎰⎰+-== C x x ++-=)1ln(tan 21tan 2122. 21.⎰dx x arctan;解x d xx x x dx x ⎰⎰+⋅-=11arctan arctan x d xx x ⎰+⋅--=)111(arctan C x x x x ++-=arctan arctan C x x x +-+=arctan )1(. 22.dx xx⎰+sin cos 1;解C x x x d x dx x x xdx x x +-===+⎰⎰⎰|2cot 2csc |ln 222csc 22cos2sin 22cos2sin cos 1. 23.⎰+dx x x 283)1(;解 C x x x dx x dx x x +++⋅=+=+⎰⎰]arctan 1[2141)1(141)1(484428283. 提示: 已知递推公式⎰⎰--+-++-=+])()32()([)1(21)(122122222n n n a x dx n a x x n a a x dx .24. ⎰++dx x x x 234811;解 ⎰⎰⎰++=++=++dt t t t t x dx x x x dx x x x 234123412322444884811令 ⎰⎰+++-=+++-=dt t t dt t t t )11241(41)23231(412 C t t t ++++-=|1|ln 41|2|ln 41C x x x ++++=21ln 414444. 25.⎰-416x dx ;解⎰⎰⎰++-=+-=-dx xx dx x x x dx)4141(81)4)(4(11622224C xx x ++-+=)2arctan 21|22|ln 41(81 C x x x ++-+=2arctan 161|22|ln 321. 26.dx x x⎰+sin 1sin ;解 ⎰⎰⎰-=--=+dx xxx dx x x x dx x x 222cos sin sin sin 1)sin 1(sin sin 1sinC x x x dx xx x ++-=+-=⎰tan sec )cos 11cos sin (22.27. dx x xx ⎰++cos 1sin ;解⎰⎰⎰⎰+=+=++dx x xdx x x dx x x x dx x xx 2cos sin 212cos 212cos 2sin cos 1sin 222⎰⎰+=dx x xxd 2tan 2tanC x x dx x dx x x x +=+-=⎰⎰2tan 2tan 2tan 2tan . 28. ⎰-dx x x x x e x23sin cos sin cos ;解⎰⎰⎰⋅⋅-⋅⋅=-xdx x e xdx e x dx xx x x ex x xsec tan cos cos sin cos sin sin 23sin⎰⎰-=x d e x d xex xsec sin sin sin ⎰⎰+⋅-=x x xxde e x xde sin sin sin sec sec⎰⎰⋅⋅+⋅--=xdx e x e x dx e xe x x x xcos sec sec sin sin sin sinC e x xex x+⋅-=sin sin sec .29.⎰+dx x x x x)(33;解dt t t dt t t t t t t x dxx x x x)111(66)()(52362633+-=⋅+=+⎰⎰⎰令C x xC t t ++=++=66)1(ln 1ln6. 30.⎰+2)1(x e dx;解⎰⎰⎰---=-⋅=++dt t t t dt t tt e e dxx x )1111(1111)1(222令 C tt t ++--=1ln )1ln( C ee x xx++++-=11)1ln(.31. ⎰+-+dx e e e e x x xx 1243;解)()(1111222243x xx x x x xx x x x x e ed e e dx e e e e dx e e e e ------+=+-+=+-+⎰⎰⎰C e e xx+-=-)arctan(C x +=)sh 2arctan(. 32.⎰+dx e xe xx 2)1(;解⎰⎰⎰+-=++=+11)1()1()1(22x x x x xe xde d e x dx e xe⎰⎰+++-=+++-=x x x x x x de e e e x dx e e x )1(11111⎰+-++-=x xxxde e ee x )111(1C e e e x x x x ++-++-=)1ln(ln 1C e e xe x x x ++-+=)1ln(1.33. ⎰++dx x x )1(ln 22;解dx x x x x x x dx x x ])1([ln )1(ln )1(ln222222'++⋅-++=++⎰⎰⎰+⋅++-++=dx xx x x x x x 22221)1ln(2)1(ln⎰+++-++=22221)1ln(2)1(ln xd x x x x x⎰'++⋅+++++-++=dx x x x x x x x x x ])1[ln(12)1ln(12)1(ln 222222⎰++++-++=dx x x x x x x 2)1ln(12)1(ln 2222C x x x x x x x +++++-++=2)1ln(12)1(ln 2222. 34.⎰+dx x x2/32)1(ln ; 解 因为⎰⎰⎰++=+==⋅=+C xx C t tdt tdt t tx dx x 2232/321sin cos secsec 1tan )1(1令,所以⎰⎰⎰⋅+-+=+=+dx xx xx x x x x xd dx x x111ln )1(ln )1(ln 2222/32 C x x x x x +++-+=)1ln(1ln 22.35. ⎰-xdx x arcsin 12;解⎰⎰⎰+=⋅=-dt t t t tdt t t x xdx x )2cos (21cos sin arcsin 122令 ⎰⎰-+=+=tdt t t t t t t 2sin 412sin 41412sin 414122C t t t t +++=2cos 812sin 41412122241arcsin 121)(arcsin 41C x x x x x +--+=. 36.⎰-dx xx x 231arccos ;。
高等数学教材同济答案解析
高等数学教材同济答案解析同济大学出版社出版的《高等数学》是一本备受广大学生喜爱的教材，它系统地介绍了高等数学的相关知识。
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I. 导数与微分1.1 什么是导数导数是函数在某一点的瞬时变化率，用于描述函数的曲线在该点的切线斜率。
计算导数时，可以应用函数的基本性质和定义。
1.2 导数的计算方法- 用导数的定义和基本性质来计算导数；- 利用导数的四则运算法则来求导；- 运用求导法则计算特定函数的导数。
II. 积分与应用2.1 积分的基本概念积分是导数的逆运算，是确定曲线下某个区间的面积。
学习积分时，需要掌握基本的积分公式和方法。
2.2 定积分的计算- 利用定积分的基本性质和定义进行计算；- 运用换元积分法来求解特定的定积分问题；- 使用分部积分法解决一些复杂的积分。
III. 一元函数的级数3.1 级数的基本概念级数是由一列数的和组成的数列，学习级数时需了解级数的基本概念和性质。
3.2 常见级数的性质与求和- 等比级数的求和公式；- 幂级数的求和公式；- 泰勒级数的求和及应用。
IV. 二重积分与三重积分4.1 二重积分的概念与性质二重积分用于计算平面图形的面积，掌握二重积分的概念及其性质有助于解决实际问题。
4.2 二重积分的计算方法- 利用极坐标变换进行二重积分的简化计算；- 运用重积分的性质进行积分问题的求解；- 使用变量替换等方法化简计算过程。
V. 多元函数微分学5.1 多元函数的概念与性质多元函数是指依赖于多个变量的函数，对多元函数的研究有助于理解实际问题的分析与求解。
5.2 多元函数的偏导数与全微分- 计算多元函数的偏导数；- 理解多元函数的全微分与偏导数之间的关系。
VI. 多元函数的积分学6.1 重积分的概念与性质重积分是对多元函数在空间区域上某种特征的平均值或总和进行求解，学习重积分需要掌握其概念和性质。
(完整版)高等数学第六版(同济大学)上册课后习题答案解析
高等数学第六版上册课后习题答案及解析第一章习题1—11. 设A=(-, —5)(5, +)，B=［-10， 3), 写出A B，A B, A\B及A\(A\B）的表达式。
解A B=（-, 3）（5, +)，A B=[-10，—5）,A\B=（—， -10)(5， +），A\（A\B）=[-10, -5）.2. 设A、B是任意两个集合，证明对偶律： (A B）C=A C B C。
证明因为x(A B）C x A B x A或x B x A C或x B C x A C B C，所以（A B)C=A C B C。
3. 设映射f : X Y, A X, B X。
证明（1)f(A B)=f(A）f（B）;（2）f（A B)f(A)f（B）.证明因为y f(A B）x A B, 使f（x）=y(因为x A或x B) y f（A）或y f（B)y f(A）f（B),所以f(A B）=f（A)f(B).(2）因为y f(A B）x A B, 使f(x）=y（因为x A且x B） y f(A)且y f（B)yf (A ）f (B ），所以 f (A B ）f （A )f (B )。
4。
设映射f ： XY , 若存在一个映射g : Y X , 使X I f g = ， Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个xX , 有I X x =x ; 对于每一个y Y , 有I Y y =y 。
证明：f 是双射， 且g 是f 的逆映射： g =f —1.证明 因为对于任意的yY ， 有x =g （y )X , 且f （x ）=f [g （y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射. 又因为对于任意的x 1x 2, 必有f (x 1)f (x 2), 否则若f (x 1）=f (x 2)g [ f （x 1)]=g [f (x 2）］x 1=x 2。
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书后部分习题解答 P21页3．（3）nnn b b b a a a ++++++++∞→ 2211lim （1,1<<b a ）知识点：1）等比级数求和)1(1)1(12≠--=++++-q qq a aqaq aq a n n （共n 项）2）用P14例4的结论：当1<q 时，0lim =∞→nn q解：n n n b b b a a a ++++++++∞→ 2211lim ab bb a a n n n --=----=++∞→111111lim 115.（1）判断下列数列是否收敛，若收敛，则求出极限：设a 为正常数，00>x ，)(211nn n x a x x +=+ 证：由题意，0>n x ，a x a x x a x x nn n n n =⋅⋅≥+=+221)(211（数列有下界） 又02)(2121≤-=-+=-+nn n n n n n x x a x x ax x x （因a x n ≥+1）（数列单调减少） 由单调有界定理，此数列收敛；记b x n n =∞→lim ，对)(211n n n x a x x +=+两边取极限，得)(21bab b +=，解得a b =（负的舍去），故此数列的极限为a .P35页4.（8）极限=-++-+→211)1()1(lim x n x n x n x 211)1()1()]1(1[lim -++--++→x nx n x n x 21221111)1()1()1()1()1(1lim -++--+-+-+=+++→x n x n x x C x C n n n x 2)1(21+==+n n C n (若以后学了洛必达法则（00型未定型），则211)1()1(lim -++-+→x nx n x n x 2)1(2)1(lim )1(2)1())1(lim 111+=+=-+-+=-→→n n nx n x n x n n x n x ） 书后部分习题解答2 P36页8.已知当0→x 时，1cos ~1)1(312--+x ax，求常数a .知识点：1）等价无穷小的概念；2）熟记常用的等价无穷小，求极限时可用等价无穷小的替换定理。
解：由题意：132231lim 1cos 1)1(lim 2203120=-=-=--+→→a xaxx ax x x 得23-=a 或132]1)1()1[(211lim 1cos 1)1(lim 3123222203120=-=++++⋅--+=--+→→a ax ax x ax x ax x x （根式有理化）P42页3（4） 关于间断点：xx x f 1sin 1)(=0=x 为第二类间断点说明：xx x 1sin 1lim 0→不存在（在0→x 的过程中，函数值不稳定，不趋向与∞）P43页7（1）证明方程042=-x x在)21,0(必有一实根。
知识点：闭区间（一定要闭）上连续函数的根的存在定理证明：设x x f x 42)(-=，易知，)(x f 在]21,0[上连续； （注:设函数，闭区间）01)0(>=f ，022)21(<-=f ，故由根的存在定理，至少在)21,0(存在一点ξ，使0)(=ξf ，即方程042=-x x在)21,0(必有一实根.P61页 3.设)(0x f '存在，求：（1）x x x f x f x ∆∆--→∆)()(lim000（2）h h x f h x f h )()(lim 000--+→（3）tx f t x f t )()3(lim000-+→分析：因)(0x f '存在，则极限xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000的值为)(0x f '。
把（1）（2）（3）化为相应可用极限的形式解：（1）xx x f x f x ∆∆--→∆)()(lim000)()()())((lim 0000x f x x f x x f x '=∆--∆-+=→∆（2）h h x f h x f h )()(lim000--+→hx f h x f x f h x f h )()()()(lim00000+---+=→)1)(()())(()()(lim00000----+--+=→h x f h x f h x f h x f h)(2)()(000x f x f x f '='+'=（3）t x f t x f t )()3(lim000-+→)(333)()3(lim 0000x f tx f t x f t '=⋅-+=→8.用导数的定义求⎩⎨⎧≥+<=0,)1ln(0,)(x x x x x f 在0=x 处的导数.（可参看P51例1-2） 知识点：1）导数在一点0x 处的定义：xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim)(0000；2）点0x 处的左右导数的定义与记号：左导数x x f x x f x f x ∆-∆+='-→∆-)()(lim )(000右导数xx f x x f x f x ∆-∆+='+→∆+)()(lim )(0003）分段函数在分界点（具体的点）处的导数必须用导数的定义或左右导数的定义做。
解：因0)0(=f （先写出0=x 处的函数值）又10lim )0()0(lim )0(00=∆-∆=∆-∆+='--→∆→∆-xx x f x f f x x（在0=x 处的左导数定义）10)1ln(lim )0()0(lim )0(00=∆-∆+=∆-∆+='-+→∆→∆+xx x f x f f x x（在0=x 处的右导数定义）而1)0()0()0(=''='+-f f f 故10.设函数⎩⎨⎧>+≤=1,1,)(2x b ax x x x f ，为了使函数在1=x 处连续且可导，b a ,应取什么值？题型：分段函数在分界点处的连续性与导数的求法。
解：由题意，函数在1=x处连续，则1)1()01()01(==+=-f f f ，即1lim )(lim )01(211===---→→x x f f x xb a b ax x f f x x +=+==+++→→)(lim )(lim )01(11，得1=+b a又函数在1=x处可导，则)1()1(+-'='f f而21)1(lim )1()1(lim )1(200=∆-∆+=∆-∆+='--→∆→∆-xx x f x f f x xa xb x a x f x f f x x =∆-+∆+=∆-∆+='--→∆→∆+1)1(lim )1()1(lim )1(00（用到了1=+b a ） 故1,2-==b a书后部分习题解答3（关于隐函数求导）P62页 14． 设032=+-y x exy，求=x dxdy .分析：1）隐函数求导；2）由0=x 代入方程要求出y 的值。
解：方程两边对x 求导：032)1(2=⋅+-⋅+⋅dx dy y x dx dy x y e xy得：232yxe ye x dx dy xyxy +-= 又由0=x 代入方程，得1-=y ，所以：310==x dxdy20.已知0)sin(2=-y xy π，求)1,0(-dxdy，)1,0(22-dx y d .要点：求隐函数二阶导数的方法。
解：方程两边对x 求导：02)cos()1(2=⋅⋅-⋅+⋅dxdy y y dx dy x y ππ （1） 把1,0-==y x 代入式（1），解得π21)1,0(-=-dx dy （或由式（1）解得：xy y y dx dy -=)cos(22ππ （2） 再把点代入得π21)1,0(-=-dxdy ） （求隐函数二阶求导的方法）方法1：式（1）两边对x 求导，（记y dxdy'=，y dx y d ''=22） 02)cos(2)cos(22)sin(222=''⋅⋅-'⋅'⋅-'⋅⋅'⋅+''⋅+'+'y y y y y y y y y y y y x y y πππππππ把1,0-==y x ，π21)1,0(-=-dxdy代入，得2)1,0(2241π-=-dx y d（代入：0)1(2)1(1)21(2)1(0021212=''⋅-⋅⋅-⋅--⋅--++--y πππππ） 方法2：式（2）对x 求导：2222222])cos(2[]12)sin(2)cos(2[])cos(2[x y y y y y y y y y x y y y dx y d --'⋅-'--'=πππππππππ， 点、一阶导数直接代入（不用化简，注意式中有0处的值）即可.P62页15题.利用对数求导法求导 （3）xxxy +-=112说明：1）一定要用对数求导法求导；2）取对数后，先化简. 解：取对数：)]1ln()1[ln(21ln 2ln x x x y +--+=（化简） 两边对x 求导：)1111(21121x x x y y +---+='⋅ 所以：)112(1122x x x x xy --+-=' （y 代入） 书后部分习题解答4（关于中值定理与未定式极限） P82页1．检验罗尔定理对函数)3)(2)(1()(---=x x x x f 是否成立？ 分析：1）即检验是否符合罗尔定理的条件； 2）若符合，ξ是否存在？解：易知)3)(2)(1()(---=x x x x f 在[1,2],[2,3]上连续，（1,2），（2,3）可导，且0)3()2()1(===f f f ，故符合罗尔定理的条件。
又由011123)(2=+-='x x x f ，得332±=ξ，故有)2,1(;0)(11∈='ξξf )3,2(;0)(22∈='ξξf ，符合罗尔定理的结论.故罗尔定理对函数)3)(2)(1()(---=x x x x f 成立。
4.(3)证：b a b a -≤-arctan arctan证：设x x f arctan )(=，当b a =时，等式成立；若b a <，则易知x x f arctan )(=在],[b a 上连续，在),(b a 可导，则由拉格朗日定理 存在),(b a ∈ξ，使)(11))(()()(2a b a b f a f b f -+=-'=-ξξ 取绝对值，得a b a b a b -≤-+=-)(11arctan arctan 2ξ同理b a >，可证b a b a -≤-arctan arctan 综合：有b a b a -≤-arctan arctan6.设函数)(x f 在闭区间[1,2]上可微，证明：ξξ2)(3)1()2(f f f '=-，其中21<<ξ. 提示：对)(x f ，2)(x x g =用柯西中值定理.8.证明：π=--)43arccos(arccos 33x x x ，其中21≤x . 题型：证明函数为常数；用到的知识：书78页定理3.4（3）的结论，若0)(≡'x f ，则C x f ≡)(.()(0x f C =) 证明：设)43arccos(arccos 3)(3x x x x f --=，则)123()43(11)11(3)(2232x x x x x f ---+--='，整理，当21<x ，0)(='x f ，故C x f ≡)(，又πππ=-⋅=223)0(f 所以：π=--)43arccos(arccos 33x x x ，当21≤x .P89页（用洛必达法则求极限时，可以适当的化简、整理等，目的简化计算） 2（3）xxx 3tan tan lim2π→解：x x x x x x x x cos 3sin 3cos sin lim 3tan tan lim22ππ→→=xxx cos )1(3cos 1lim 2⋅-⋅=→π（用到连续性与极限的运算，相当于2π=x 代入）3sin 3sin 3lim2=-=→xxx π（5）)0(sin ln sin ln lim 0>+→m xmxx解：xx mmx mxxmx x x sin cos sin cos lim sin ln sin ln lim 00⋅=++→→1cos cos lim cos sin sin cos lim 00=⋅⋅=⋅⋅=++→→x mx xmx m x mx x mx m x x （整理，等价无穷小的代换）3.（2）)1(cot lim 0xx x -→ （函数差的极限，一定要整理成函数商的极限）解：)1(cot lim 0x x x -→=x x x x x x sin sin cos lim 0-→20sin cos lim xxx x x -=→ （用了等价无穷小的代换） 02sin lim 2cos )sin (cos lim 00=-=--+=→→xxx x x x x x x x4.（3）xx x)]1[ln(lim 0+→ （幂指函数的极限）解：x x x)]1[ln(lim 0+→=)]1ln[ln(lim 0x x x e +→先求0)ln (lim 1)1(ln 1lim 1)ln ln(lim )]1ln[ln(lim 02000=-=---=-=++++→→→→xxxx x x x x x x x x x （用到x x ln )1ln(-=，+→0x 时，-∞→x ln ，无穷大量的倒数为无穷小）故1)]1[ln(lim 00==+→e xx x （4）xx x )arctan 2(lim π+∞→解：)arctan 2ln(lim )arctan 2(lim x x xx x e x ππ+∞→=+∞→而22111arctan 1lim 1)ln(arctan )2ln(lim)arctan 2ln(lim xx x xx x x x x x -+⋅=+=+∞→+∞→+∞→πππ2arctan )1(lim 22-=+-=+∞→x x x x (用到1)1(lim 22-=+-+∞→x x x ，2arctan lim π=+∞→x x ) 故ππ2)arctan 2(lim -+∞→=ex xx7.试确定常数b a ,，使得2)()1ln(lim 220=+-+→xbx ax x x . 解：因=+-+→220)()1ln(lim x bx ax x x xbx a x x 2)2(11lim 0+-+→， 又0→x ，上式分母02→x ，且极限存在，则必须分子0211→--+bx a x得1=a ；则xbx a x x 2)2(11lim 0+-+→=222122)1(1lim20=--=-+-→b b x x ，得25-=b 书后部分习题解答4（关于中值定理与未定式极限）P82页1．检验罗尔定理对函数)3)(2)(1()(---=x x x x f 是否成立？ 分析：1）即检验是否符合罗尔定理的条件； 2）若符合，ξ是否存在？解：易知)3)(2)(1()(---=x x x x f 在[1,2],[2,3]上连续，（1,2），（2,3）可导，且0)3()2()1(===f f f ，故符合罗尔定理的条件。