幂函数与二次函数基础梳理
二次函数和幂函数知识点
教 学 内 容二次函数与幂函数1． 二次函数的定义与解析式(1)二次函数的定义形如： f(x)＝ ax 2＋ bx ＋c_(a ≠ 0)的函数叫作二次函数． (2)二次函数解析式的三种形式①一般式： f(x)＝ ax 2＋ bx ＋ c_(a ≠ 0)． ②顶点式： f(x)＝ a(x － m)2＋ n(a ≠0) ． ③零点式： f(x)＝ a(x － x 1 )(x － x 2)_(a ≠ 0)．2． 二次函数的图像和性质f(x)＝ ax 2＋ bx ＋ cf(x)＝ ax 2＋ bx ＋ c解析式( a>0) (a<0)图像定义域 (－∞，＋∞ )(－∞，＋∞ )22值域4ac －b ，＋∞ －∞， 4ac － b4a4a在 x ∈ －∞，－b上单调递减；在 x ∈ －∞，－b上单调递增；单调性2a2a在 x ∈ － b，＋∞－ b，＋∞上单调递增在 x ∈ 上单调递减2a2a 奇偶性 当 b ＝0 时为偶函数，b ≠0 时为非奇非偶函数 顶点b4ac －b 2－ 2a ，4a对称性图像关于直线 x ＝－ b成轴对称图形2a3. 幂函数形如 y ＝ x α(α∈ R )的函数称为幂函数，其中 x 是自变量， α是常数．4． 幂函数的图像及性质(1)幂函数的图像比较(2)幂函数 的性质比较y ＝ x2y ＝ x31y ＝x y ＝ x 2定义域R R R [0，＋∞)值域R [0，＋∞ ) R [0，＋∞ )非奇非偶函－ 1y ＝ x{ x|x ∈ R 且x ≠ 0}{ y|y ∈ R 且y ≠ 0}奇偶性奇函数偶函数奇函数数奇函数x ∈ [0，＋∞ )x ∈ (0，＋∞ )单调性增时，增；x ∈ (－ 增增时，减；x ∈(－∞， 0]时，减∞， 0)时，减[ 难点正本 疑点清源 ]1． 二次函数的三种形式(1)已知三个点的坐标时，宜用一般式．( 2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大 (小 )值有关时，常使用顶点式．(3)已知二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便．2． 幂函数的图像(1)在 (0,1)上，幂函数中指数 越大，函数图像越靠近 x 轴，在 (1，＋ ∞ )上幂函数中指数越大，函数图像越远离 x 轴．(2)函数 y ＝x ，y ＝ x 2， y ＝ x 3， y ＝ x12， y ＝ x － 1可作为研究和学习幂函数图像和性质的代表．1．已知函数 f(x)＝ x2＋2(a－ 1)x＋ 2 在区间 (－∞， 3]上是减函数，则实数 a 的取值范围为 ____________．答案(－∞，－ 2]解析f(x)的图像的对称轴为x＝ 1－ a 且开口向上，∴1－a≥ 3，即 a≤ － 2.2． (课本改编题 )已知函数 y＝ x2－ 2x＋ 3 在闭区间 [0，m]上有最大值3，最小值 2，则 m 的取值范围为 ________．答案[1,2]解析y＝ x2－ 2x＋ 3 的对称轴为 x＝ 1.当m<1 时， y＝ f(x)在 [0，m]上为减函数．∴y max＝ f(0)＝ 3， y min＝f(m)＝ m2－ 2m＋ 3＝ 2.∴m＝ 1，无解．当1≤m≤2 时， y min＝f(1)＝ 12－ 2× 1＋ 3＝ 2，y max＝ f(0)＝ 3.当m>2 时， y max＝ f(m)＝ m2－2m＋3＝ 3，∴ m＝ 0，m＝ 2，无解．∴ 1≤ m≤ 2.3．若幂函数 y＝ (m2－3m＋ 3)xm2－ m－ 2 的图像不经过原点，则实数m 的值为 ________．答案 1 或 2m2－ 3m＋ 3＝ 1解析由，解得 m＝ 1 或 2.m2－ m－2≤ 0经检验 m＝ 1 或 2 都适合．4． (人教 A 版教材例题改编 )如图中曲线是幂函数y＝ x n在第一象限的图1C1，C2， C3， C4的 n 值依次为像．已知 n 取±2，± 四个值，则相应于曲线2____________．答案2，1，－1，－ 2 22解析可以根据函数图像是否过原点判断n 的符号，然后根据函数凸凹性确定n 的值．5．函数 f(x)＝ x2＋ mx＋ 1的图像关于直线x＝ 1 对称的充要条件是() A． m＝－ 2B． m＝2C． m＝－ 1 D ． m＝ 1答案A解析函数 f(x)＝ x2m m1，即 m＝－ 2.＋ mx＋ 1 的图像的对称轴为x＝－2，且只有一条对称轴，所以－ 2＝题型一求二次函数的解析式例 1已知二次函数f(x)满足 f(2)＝－ 1， f(－ 1)＝－ 1，且 f(x)的最大值是8，试确定此二次函数．思维启迪：确定二次函数采用待定系数法，有三种形式，可根据条件灵活运用．解方法一设 f( x)＝ ax2＋ bx＋ c (a≠ 0)，4a＋ 2b＋ c＝－ 1，a＝－ 4，a－b＋ c＝－ 1，解之，得b＝ 4，依题意有4ac－ b2c＝7，4a＝ 8，∴ 所求二次函数解析式为f(x)＝－ 4x2＋4x＋ 7.方法二设 f(x)＝ a(x－ m)2＋ n，a≠ 0.∵ f(2)＝ f( －1)，2＋－111∴ 抛物线对称轴为x＝2＝2.∴ m＝2.又根据题意函数有最大值为n＝ 8，∴y＝ f(x)＝ a x－122＋8.∵f(2)＝－ 1，∴ a 2－12＋8＝－ 1，解之，得 a＝－ 4. 2∴f(x)＝－ 4 x－122＋8＝－ 4x2＋ 4x＋ 7.方法三依题意知， f(x) ＋1＝ 0 的两根为x1＝ 2， x2＝－ 1，故可设f( x)＋ 1＝ a(x－ 2)(x＋1) ，a≠ 0.即f(x)＝ ax2－ ax－ 2a－ 1.4a － 2a－ 1 －a2又函数有最大值y max＝ 8，即＝ 8，4a解之，得a＝－ 4 或 a＝0(舍去 )．∴函数解析式为f( x)＝－ 4x2＋ 4x＋ 7.探究提高二次函数有三种形式的解析式，要根据具体情况选用：如和对称性、最值有关，可选用顶点式；和二次函数的零点有关，可选用零点式；一般式可作为二次函数的最终结果．已知二次函数f(x)同时满足条件：(1)f(1 ＋x)＝ f(1－ x)；(2)f( x)的最大值为 15；(3)f( x)＝ 0 的两根平方和等于 17.求 f(x)的解析式．解依条件，设f( x)＝ a(x－ 1)2＋ 15 (a<0) ，即f(x)＝ ax2－ 2ax＋ a＋ 15.令f(x)＝ 0，即 ax2－ 2ax＋ a＋ 15＝ 0，15∴x1＋ x2＝ 2， x1x2＝ 1＋a .222－ 2x1 21＋x2＝(x1＋x2x)x1530＝4－2 1＋a＝ 2－a＝17，∴a＝－ 2，∴f(x)＝－ 2x2＋ 4x＋13.题型二二次函数的图像与性质例2 已知函数 f(x)＝ x2＋2ax＋ 3， x∈[－ 4,6] ．(1)当 a＝－ 2 时，求 f(x)的最值；(2)求实数 a 的取值范围，使 y＝ f(x)在区间 [ －4,6] 上是单调函数；(3)当 a＝ 1 时，求 f(|x|)的单调区间．思维启迪：对于 (1)和 (2) 可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作用．解(1) 当 a＝－ 2 时， f(x)＝ x2－ 4x＋3＝ (x－ 2)2－ 1，由于 x∈ [－ 4,6] ，∴ f(x)在 [ － 4,2] 上单调递减，在 [2,6] 上单调递增，∴ f(x)的最小值是 f(2)＝－ 1，又 f(－ 4)＝ 35， f(6)＝ 15，故 f(x)的最大值是 35.(2)由于函数 f( x)的图像开口向上，对称轴是x＝－ a，所以要使f(x)在[ － 4,6] 上是单调函数，应有－a≤－ 4或－ a≥ 6，即 a≤ － 6 或 a≥ 4.(3)当 a＝ 1 时， f(x) ＝ x2＋ 2x＋ 3，∴ f(|x|)＝x2＋2|x|＋ 3，此时定义域为x∈ [ －6,6] ，x2＋ 2x＋ 3， x∈ 0， 6]且 f(x)＝，x2－ 2x＋3， x∈ [－ 6，0]∴ f(|x|)的单调递增区间是(0,6] ，单调递减区间是[－ 6,0] ．探究提高 (1) 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论； (2) 二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图像的对称轴进行分析讨论求解．若函数 f(x) ＝2x2＋ mx－ 1 在区间 [ － 1，＋∞ )上递增，则f(－ 1)的取值范围是____________．答案(－∞，－ 3]m解析∵抛物线开口向上，对称轴为x＝－4，又f(－ 1)＝ 1－m≤ －3，∴ f(－ 1)∈ (－∞，－ 3]．题型三二次函数的综合应用例 3若二次函数f(x)＝ ax2＋ bx＋ c (a≠0) 满足 f( x＋1)－ f(x)＝ 2x，且 f(0) ＝ 1.(1)求 f(x)的解析式；(2)若在区间 [ －1 ,1]上，不等式f(x)>2 x＋ m 恒成立，求实数m 的取值范围．思维启迪：对于 (1) ，由 f(0)＝ 1 可得 c，利用 f(x＋ 1)－ f(x)＝ 2x 恒成立，可求出a， b，进而确定f(x)的解析式．对于 (2) ，可利用函数思想求得．解(1) 由 f(0)＝ 1，得 c＝ 1.∴ f(x)＝ ax2＋ bx＋ 1.又f(x＋ 1)－ f(x)＝2x，∴a(x＋ 1)2＋ b(x＋1) ＋ 1－ (ax2＋ bx＋ 1)＝ 2x，2a＝ 2，a＝ 1，即 2ax＋ a＋ b＝2x，∴∴a＋ b＝ 0，b＝－ 1.因此， f(x)＝ x2－ x＋ 1.(2)f( x)>2 x＋ m 等价于 x2－ x＋ 1>2x＋m，即 x2－ 3x＋ 1－m>0，要使此不等式在 [－ 1,1] 上恒成立，只需使函数g(x)＝ x2－ 3x＋ 1－ m 在[－ 1,1] 上的最小值大于0 即可．∵g(x)＝ x2－ 3x＋1－ m 在 [－ 1,1]上单调递减，∴g(x)min＝ g(1)＝－ m－ 1，由－ m－ 1>0 得， m<－1.因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－ 1)．探究提高二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图像贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图像是探求解题思路的有效方法．用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立 )问题是高考命题的热点．已知函数f(x)＝ x2＋ mx＋n 的图像过点 (1,3)，且 f(－1＋ x)＝ f( －1－ x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与 y＝f(x)的图像关于原点对称．(1)求 f(x)与 g(x)的解析式；(2)若 F(x)＝ g(x)－λf(x)在(－1,1] 上是增函数，求实数λ的取值范围．解(1) ∵ f(x)＝ x2＋ mx＋n，∴f(－ 1＋ x)＝ (－ 1＋ x) 2＋m(－ 1＋ x)＋ n＝x2－ 2x＋ 1＋ mx＋ n－ m＝x2＋ (m－ 2)x＋ n－ m＋ 1，f(－ 1－ x)＝ (－ 1－x)2＋ m(－ 1－ x)＋ n＝x2＋ 2x＋ 1－ mx－ m＋ n＝x2＋ (2－ m)x＋ n－ m＋ 1.又f(－ 1＋ x)＝ f(－ 1－ x)，∴m－ 2＝ 2－ m，即 m＝ 2.又f(x)的图像过点 (1,3) ，∴3＝12＋ m＋ n，即 m＋ n＝2，∴n＝0，∴ f(x)＝ x2＋2x，又y＝g(x) 与 y＝ f(x)的图像关于原点对称，∴ －g( x)＝ (－ x)2＋ 2× (－x)，∴g(x)＝－ x2＋ 2x.2(2)∵ F(x)＝ g(x)－λf(x)＝－ (1＋λ)x ＋ (2－ 2λ)x，2－ 2λ 1－λ当λ＋ 1≠ 0 时， F(x)的对称轴为 x＝＝，2 1＋λλ＋ 1又∵F(x)在 (－ 1,1]上是增函数．1＋λ<01＋λ>0∴1－λ或1－λ.≤－ 1≥ 11＋λ1＋λ∴ λ<－ 1 或－ 1<λ≤ 0.当λ＋ 1＝ 0，即λ＝－ 1 时， F(x)＝ 4x 显然在 (－ 1,1] 上是增函数．综上所述，λ的取值范围为 (－∞，0] ．题型四幂函数的图像和性质例 4已知幂函数f(x) ＝ xm2－ 2m－ 3(m∈N* )的图像关于y 轴对称，且在 (0，＋∞ )上是减函数，求满足(a＋ 1)－m m的 a的取值范围．3<(3－ 2a)－3思维启迪：由幂函数的性质可得到幂指数m2－ 2m－3<0 ，再结合 m 是整数，及幂函数是偶函数可得m 的值．解 ∵ 函数在 (0，＋ ∞ )上递减，∴ m 2－ 2m － 3<0，解得－ 1<m<3.∵ m ∈ N * ， ∴ m ＝ 1,2.又函数的图像关于y 轴对称， ∴ m 2－ 2m － 3 是偶数，而 22－ 2× 2－ 3＝－ 3 为奇数， 12－ 2×1－ 3＝－ 4 为偶数，∴ m ＝ 1.而 f(x)＝ x －13在( －∞ ， 0)， (0，＋ ∞ )上均为减函数，11∴ (a ＋ 1)－3<(3－ 2a)－ 3等价于 a ＋ 1>3－ 2a>0 或 0>a ＋1>3 － 2a 或 a ＋ 1<0<3－ 2a.2 3解得 a<－ 1 或 3<a<2.23故 a 的取值范围为 a|a<－ 1或 3<a<2 .探究提高(1) 幂函数解析式一定要设为y ＝ x α( α为常数的形式 )；(2)可以借助幂函数的图像理解函数的对称性、单调性．方法与技巧1． 二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律：(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图像数形结合来解，一般从 ① 开口方向； ②对称轴位置； ③ 判别式； ④ 端点函数值符号四个方面分析．(2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图像、性质求解．2． 与二次函数有关的不等式恒成立问题a>0(1)ax 2＋ bx ＋ c>0 ，a ≠ 0 恒成立的充要条件是.b 2－ 4ac<0a<0(2)ax 2＋ bx ＋ c<0 ，a ≠ 0 恒成立的充要条件是.b 2－ 4ac<0αα∈ R )，其中 α为常数，其本质特征是以幂的底 x 为自变量，指数 α为常数．3． 幂函数 y ＝ x (失误与防范1． 对于函数 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c ，要认为它是二次函数，就必须满足a ≠ 0，当题目条件中未说明 a ≠ 0 时，就要讨论 a ＝0 和 a ≠0 两种情况 .2． 幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图像与坐标轴相交，则交点一定是原点 .A 组 专项基础训练(时间： 35 分钟，满分： 57 分)一、选择题 (每小题 5 分，共 20 分 )－x ， x ≤ 0，()1． (2011 浙·江 )设函数 f(x)＝ x 2，若 f(α)＝ 4，则实数 α等于x>0，A ．－ 4 或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或2答案 B解析当 α≤ 0 时， f(α)＝－ α＝ 4，得 α＝－ 4；2当 α>0 时， f(α)＝ α＝ 4，得 α＝ 2.∴ α＝－ 4 或 α＝2.2． 已知函数 f(x)＝ x2－2x ＋ 2 的定义域和值域均为 [1， b] ，则 b 等于()A ． 3B ．2或 3C ． 2D ．1或 2答案 C解析函数 f(x)＝ x 2－ 2x ＋ 2 在[1 ，b] 上递增，f 1 ＝1，b 2－ 3b ＋ 2＝0， 由已知条件 f b ＝b ， 即解得 b ＝ 2.b>1.b>1，3． 设 abc>0，二次函数 f(x) ＝ax 2＋bx ＋ c 的图像可能是( )答案D解析由 A ， C ， D 知， f(0)＝ c<0.b∵ abc>0 ， ∴ ab<0， ∴ 对称轴 x ＝－ 2a >0 ，知 A，C 错误， D 符合要求．b由 B 知 f(0)＝ c>0，∴ ab>0，∴ x＝－2a<0， B 错误．4．设二次函数f(x)＝ ax2－ 2ax＋ c 在区间 [0,1] 上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m 的取值范围是()A． (－∞， 0]B． [2，＋∞ )C． (－∞， 0]∪ [2，＋∞ )D． [0,2]答案D解析二次函数 f( x)＝ ax2－ 2ax＋ c 在区间 [0,1] 上单调递减，则a≠ 0， f′ (x)＝ 2a(x－ 1)<0 ， x∈[0,1] ，所以 a>0，即函数图像的开口向上，对称轴是直线x＝ 1.所以 f(0)＝ f(2) ，则当 f(m)≤ f(0) 时，有 0≤ m≤ 2.二、填空题 (每小题 5 分，共 15 分)5．二次函数的图像过点 (0,1)，对称轴为 x＝2，最小值为－ 1，则它的解析式为 ____________．答案12－ 1 y＝ (x－ 2)26．已知函数 f(x)＝ x2＋2(a－ 1)x＋ 2 在区间 (－∞， 3]上是减函数，则实数 a 的取值范围为 ____________．答案(－∞，－ 2]解析f(x)的图像的对称轴为x＝ 1－ a 且开口向上，∴1－a≥ 3，即 a≤ － 2.7．当α∈ － 1，1，1， 3 时，幂函数 y＝ xα的图像不可能经过第 ________象限．2答案二、四α1α解析当α＝－ 1、1、 3 时， y＝ x 的图像经过第一、三象限；当α＝2时， y＝ x 的图像经过第一象限．三、解答题 (共 22 分 )8． (10 分 )已知二次函数f( x)的二次项系数为 a，且 f( x)>－ 2x 的解集为 { x|1<x<3} ，方程 f(x)＋ 6a＝0 有两相等实根，求 f(x)的解析式．解设 f(x)＋ 2x＝ a(x－ 1)(x－3) ( a<0) ，则f(x)＝ ax2－ 4ax＋ 3a－ 2x，f(x)＋6a＝ ax2－ (4a＋ 2)x＋ 9a，＝[ － (4a＋ 2)]2－ 36a2＝ 0，即 (5a＋ 1)(a－ 1)＝ 0，1解得 a＝－5或 a＝ 1(舍去 )．1因此 f(x)的解析式为f( x)＝－5(x－1)( x－3) ．9． (12 分 )是否存在实数a，使函数 f(x)＝ x2－ 2ax＋ a 的定义域为 [－ 1,1] 时，值域为 [－ 2,2] ？若存在，求 a 的值；若不存在，说明理由．解f(x)＝ (x－ a)2＋ a－ a2.当a<－ 1 时， f(x)在 [ － 1,1] 上为增函数，f－ 1 ＝ 1＋3a＝－ 2，∴? a＝－ 1(舍去 )；f 1 ＝ 1－ a＝ 2f a ＝ a－ a2＝－ 2，当－ 1≤ a≤ 0 时，? a＝－ 1；f 1 ＝ 1－ a＝ 2f a ＝ a－ a2＝－ 2，当 0<a≤ 1 时，? a 不存在；f－ 1 ＝ 1＋ 3a＝2当a>1 时， f(x)在[ －1,1] 上为减函数，f－ 1 ＝ 1＋3a＝ 2，∴? a 不存在．f 1 ＝ 1－ a＝－ 2综上可得a＝－ 1.B 组专项能力提升(时间： 25 分钟，满分：43 分)一、选择题 (每小题 5 分，共 20 分 )α21．已知幂函数f(x)＝ x的图像经过点2，2，则 f(4) 的值等于()1A． 16 B. 161C． 2 D. 2答案D2α21解析将点2，2代入得： 2 ＝ 2 ，所以α＝－2，1故 f(4) ＝2.2．已知函数 f(x)＝ 2mx2－ 2(4－ m)x＋1，g(x)＝mx，若对于任一实数x，f( x)与 g(x) 的值至少有一个为正数，则实数 m 的取值范围是()A． (0,2)B． (0,8)C． (2,8) D ． (－∞， 0)答案B4－m解析当 m≤ 0 时，显然不合题意；当m>0 时， f(0)＝ 1>0 ，① 若对称轴2m≥ 0，即 0<m≤ 4，结论显然成立； 4－m 2② 若对称轴2m <0，即 m>4 ，只要 ＝ 4(4－ m) － 8m ＝ 4(m － 8)(m － 2)<0 即可，即 4<m<8，综上， 0<m<8，选 B.3． 已知二次函数 y ＝ x 2－ 2ax ＋ 1 在区间 (2,3)内是单调函数，则实数 a 的取值范围是 ( )A ． a ≤ 2 或 a ≥ 3B ． 2≤a ≤ 3C ． a ≤－ 3 或 a ≥－ 2D ．－ 3≤ a ≤－ 2 答案 A 解析 由函数图像知， (2,3) 在对称轴 x ＝a 的左侧或右侧， ∴ a ≥ 3 或 a ≤ 2.二、填空题 (每小题 5 分，共 15 分 )4． 已知二次函数 y ＝ f(x)的顶点坐标 为 －3，49 ，且方程 f(x)＝ 0 的两个实根之差等于 7，则此二次函数的解2析式是 ______________． 答案 f(x)＝－ 4x 2－ 12x ＋ 40 3 2 3 2解析 设二次函数的解析式为 f(x)＝ a x ＋ 2 ＋ 49 (a<0) ，方程 a(x ＋ 2) ＋ 49＝ 0 的两个根分别为 x 1，x 2， 49 则 |x 1－ x 2|＝ 2 － a ＝ 7，∴ a ＝－ 4，故 f(x)＝－ 4x 2－ 12x ＋ 40.5． 若方程 x 2－ 11x ＋ 30＋a ＝ 0 的两根均大于 5，则实数 a 的取值范围是 ________．1答案 0<a ≤解析 令 f(x)＝ x 2－11x ＋30＋ a ，结合图像有Δ≥ 0 图像与 x 轴有交点 ，f 5 >0 图像与 x 轴交点在 x ＝ 5的右侧 ，11无需考虑对称轴，因为对称轴方程 x ＝ 2 >5 .1∴ 0<a ≤ 4.16． 已知函数 f(x)＝ x 2，给出下列命题：①若 x>1，则 f(x)>1；②若 0<x 1<x 2，则 f(x 2)－ f(x 1)>x 2－ x 1；③若 0<x 1<x 2，则 x 2f(x 1)<x 1f(x 2)；④若 0<x 1<x 2 ，则 f x 1 ＋f x 2 <fx 1＋ x 2 .2 2则所有正确命题的序号是 ________．答案 ①④1解析 对于 ①， f(x)＝ x2 是增函数， f(1)＝ 1，当 x>1 时， f(x)>1， ① 正确；f x 2 － f x 1 >1 ，可举例 (1,1)， (4,2) ，故 ② 错；对于 ②，x 2－ x 1f x 1 － 0 f x 2－ 0x 1 ，x 2 到原点连线的斜率越来越大，由图像可知，③错； 对于 ③， < ，说明图像上两点 1－ 0 x 2－ 0xf x 1＋ f x 2 x 1＋ x 2 ，根据图像可判断出 ④ 正确． 对于 ④， 2 <f2三、解答题7． (13 分 )已知函数 f(x)＝－ x 2＋ 2ax ＋ 1－a 在 x ∈ [0,1] 时有最大值 2，求 a 的值．解 f(x)＝－ (x － a)2＋ a 2－ a ＋1，当 a ≥1 时， y max ＝ f(1) ＝ a ；当 0<a<1 时， y max ＝ f(a)＝a 2－ a ＋1；当 a ≤0 时， y max ＝ f(0) ＝ 1－ a.a ≥ 1， 0<a<1， a ≤ 0根据已知条件： 或 或a ＝ 2 2 － a ＋1＝ 2 1－ a ＝ 2，a解得 a ＝ 2 或 a ＝－ 1.。
高三数学知识点总结9：二次函数和幂函数
（十一）二次函数一．二次函数解析式（1）一般式：).0()(2≠++=a c bx ax x f（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为),,(k h 则其解析式).0()()(2≠+-=a k h x a x f（3）交点式：若二次函数的图象与x 轴的交点为),0,(),0,(21x x 则),)(()(21x x x x a x f --= .0≠a二．二次函数的对称轴（1）对于二次函数)(x f y =的定义域内有21,x x 满足),()(21x f x f =则二次函数的对称轴为.221x x x += （2）对于一般函数)(x f y =对定义域内所有,x 都有)()(x a f x a f -=+成立，那么函数 )(x f y =图像的对称轴方程为：a x =.三．二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 在],[n m 上的最值（1）0>a ① 最小值讨论三种情况 1.)(2min m f y m a b =≤-，；2.)2(2min a b f y n a b m -=<-<，；3.)(2min n f y n ab =≥-，. ② 最大值讨论两种情况 1.)(,22max n f y n m a b =+≤-；2.)(22max m f y n m a b =+>-，. （2）0<a ① 最大值讨论三种情况 1.)(2max m f y m a b =≤-，；2.)2(2max a b f y n a b m -=<-<，；3.)(,2max n f y n ab =≥-. ② 最小值讨论两种情况 1.)(,22min n f y n m a b =+≤-；2.)(22min m f y n m a b =+>-，. 四．三个二次的关系一元二次方程的根=一元二次函数的零点=一元二次不等式解集的端点.五．一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的实根分布（1）数的角度：① 两实根异号等价于0<a c ；② 有两个正根等价于.0,0,0>>-≥∆a c a b ；③ 有两个负根等价于.0,0,0><-≥∆ac a b （2）形的角度：画出满足要求的图像，用“内有无，内无有”（开口内有端点则不需要考虑对称轴和，∆开口内无端点则需要考虑对称轴和.∆）。
幂函数与二次函数讲义
幂函数与二次函数讲义一、知识梳理1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝x α的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质函数特征性质y＝x y＝x2y＝x3y＝12x y＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x∈R，且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域值域单调性对称性函数的图象关于x＝－b2a对称(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．(2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． (3)当α＞0时，y ＝x α在[0，＋∞)上为增函数； 当α＜0时，y ＝x α在(0，＋∞)上为减函数． 2．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0时恒有f (x )>0，当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0.二、基础检验题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b 24a.( ) (2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数．( )(3)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( ) (4)函数y ＝212x 是幂函数．( )(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( ) (6)当n <0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数．( ) 题组二：教材改编2．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点)22,21(，则k ＋α等于( ) A.12 B ．1 C.32D ．2 3．已知函数f (x )＝x 2＋4ax 在区间(－∞，6)内单调递减，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥3 B ．a ≤3 C ．a ＜－3 D ．a ≤－3题组三：易错自纠 4．幂函数f (x )＝21023a a x－＋(a ∈Z )为偶函数，且f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，则a 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．65．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )6．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为_____．三、典型例题1．幂函数y＝f(x)经过点(3，3)，则f(x)是()A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数2．若四个幂函数y＝x a，y＝x b，y＝x c，y＝x d在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是()A．d＞c＞b＞a B．a＞b＞c＞dC．d＞c＞a＞b D．a＞b＞d＞c3．若12(21)m >122(1)m m＋－，则实数m的取值范围是思维升华：(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．题型二：二次函数的解析式典例(1)已知二次函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(0)＝3，对∀x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，则f(x)的解析式为________________．(2)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f(x)＝________.思维升华：求二次函数解析式的方法跟踪训练(1)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R，a≠0)，x∈R，若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝________.(2)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.题型三：二次函数的图象和性质命题点1：二次函数的图象典例：对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是()命题点2：二次函数的单调性典例 函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是 引申探究若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________. 命题点3：二次函数的最值典例 已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a 的值． 引申探究将本例改为：求函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上的最大值． 命题点4：二次函数中的恒成立问题典例 (1)已知函数f (x )＝x 2－x ＋1，在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，则实数m 的取值范围是____． (2)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为________． 思维升华：解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域． 跟踪训练 (1)设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )(2)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋4的定义域为R ，值域为[1，＋∞)，则a 的值为________．(3)设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为________．四、反馈练习1．幂函数y ＝24m mx－(m ∈Z )的图象如图所示，则m 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 2．若幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)·268m m x－＋在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为( )A ．1或3B ．1C ．3D ．23．若命题“ax 2－2ax ＋3＞0恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＜0或a ≥3 B ．a ≤0或a ≥3 C ．a ＜0或a ＞3D ．0＜a ＜34．已知二次函数f (x )＝2ax 2－ax ＋1(a <0)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( ) A ．f (x 1)＝f (x 2) B ．f (x 1)>f (x 2) C ．f (x 1)<f (x 2)D ．与a 值有关5．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a ＞0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－2，＋∞) C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)6．已知幂函数f (x )＝x α，当x >1时，恒有f (x )<x ，则α的取值范围是____________． 7．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为]4,425[--，则m 的取值范围是__________． 8．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________． 9．已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈]212[--，时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为________．10．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值．11．已知在(－∞，1]上递减的函数f (x )＝x 2－2tx ＋1，且对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，则实数t 的取值范围为( ) A ．[－2，2] B ．[1，2] C ．[2,3]D ．[1,2]12．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________． 13．若函数f (x )＝x 2－a |x －1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．14．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x .现已画出函数f (x )在y 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象： (1)写出函数f (x )(x ∈R )的增区间； (2)写出函数f (x )(x ∈R )的解析式；(3)若函数g (x )＝f (x )－2ax ＋2(x ∈[1,2])，求函数g (x )的最小值．。
二次函数和幂函数知识点
二次函数和幂函数知识点二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c是常数且a≠0。
它的图像是一个抛物线，称为二次曲线。
而幂函数是形如y=axⁿ的函数，其中a是常数，n是实数且n≠0。
它的图像可以是一条直线、开口向上或向下的抛物线、以及其他形状，取决于指数n的值。
首先，我们来看二次函数。
二次函数的图像可以分为三种情况：开口向上的抛物线、开口向下的抛物线和一条直线。
当a>0时，二次函数的图像是开口向上的抛物线，对称轴是x=-b/2a，最低点坐标为：(-b/2a, -△/(4a))，其中△=b²-4ac是二次函数的判别式。
图像在对称轴上方递增，在对称轴下方递减。
当a<0时，二次函数的图像是开口向下的抛物线，对称轴、最高点坐标和递增递减性质与开口向上的情况相反。
当a=0时，二次函数变为一条直线y=bx+c。
这个直线与x轴平行，斜率为b。
接下来，我们来看幂函数。
幂函数的图像可以根据指数n的值分为几种情况。
当n>0时，幂函数的图像在原点右侧递增且没有上下界，图像随着x的增大而增大。
当n<0时，幂函数的图像在原点左侧递增且也没有上下界，图像随着x的增大而减小。
当n=1时，幂函数就变成了y=ax，它的图像是一条过原点的直线。
斜率a的正负决定了直线的倾斜方向。
当n=0时，幂函数就变成了y=a，它的图像是一条水平直线，与x轴平行。
根据常数a的值，直线的位置可以在y轴的任意位置。
当n是偶数且n≠0时，幂函数的图像在最高点或最低点有一个上下界，其余部分无上下界。
当n为偶数时，函数的值随着x的增大和减小而逐渐增大，形状类似于开口向上的抛物线。
当n为负偶数时，函数的值随着x的增大和减小而逐渐减小，形状类似于开口向下的抛物线。
当n是奇数时，幂函数图像没有上下界，且随着x的增大和减小而在原点两侧单调。
根据实数n的正负，函数的图像可能在原点两侧分别开口向上或向下。
总结起来，二次函数和幂函数都是常见的数学函数类型。
第七讲 幂函数和二次函数(解析版)
第七讲幂函数和二次函数【基础知识】1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质【考点剖析】考点一 幂函数的图象和性质【典例1-1】（2021·河南高三月考（文））已知， 3.83.9b =，， 3.83.8d =，则a ，b ，c ，d 的大小关系为（ ） A ．d c b a <<< B ．d b c a <<< C ．b d c a >>> D ．【答案】B 【详解】 构造函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=， 当()e,x ∈+∞时，()0f x '<， 故()f x 在上单调递减， 所以， 所以，即，所以 3.8 3.9ln 3.9ln 3.8<， 所以 3.8 3.93.9 3.8<； 因为在上单调递增， 所以 3.8 3.83.8 3.9<， 同理 3.9 3.93.8 3.9<， 所以，即d b c a <<<.【典例1-2】（2020·全国高三专题练习）若为幂函数，则(3)f =（ ）A B ．C ．9D ．19【答案】C 【详解】由题意 ， 解得1m = ， 所以2()f x x = ， 所以(3)9f = 故选：C.【跟踪训练1】（2020·四川眉山市·仁寿一中高三月考（文））已知()11x xa f x a +=-(1a >)，函数()g x 为幂函数且过点，则函数的图象大致为 A ． B ． C ． D ．【答案】A 【详解】因为函数()g x 为幂函数，所以设()g x x α=，则112,122g αα⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()1g x x =.由已知()11x xa f x a +=-(1a >)，，故()f x 为奇函数，且函数()1g x x =为奇函数，则函数为偶函数，排除B ，D.又0x →时，()(),f x g x →+∞→+∞，()h x →+∞，故选A.【跟踪训练2】（2021·新疆阿勒泰地区·布尔津县高级中学高三三模（理））已知3,3,a b c ππππ===，下列说法正确的是（ ） A ．B ．C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】D 【详解】 解：幂函数y x π=在上单调递增，又3π<，3πππ∴<，即b c <，构造ln ()xf x x=，则21ln ()x f x x -'=，当(),x e ∈+∞时，()0f x '<；()f x 在(),e +∞上单调递减，3π<，ln 3ln 3ππ∴>，即ln 33ln ππ>， 3ln 3ln ππ>， 33ππ∴>，即b a >，综上，c b a >>， 故选：D.【跟踪训练3】（2021·江西高三其他模拟（文））已知函数1a y ax b =-+-是幂函数，直线20(0,0)mx ny m n -+=>>过点(,)a b ，则的取值范围是（ ）A ．B ．(1,3)C ．D ．【答案】D 【详解】由1a y ax b =-+-是幂函数，知：，又(,)a b 在20mx ny -+=上， ∴2m n +=，即，则且02m <<， ∴.考点二 二次函数的解析式【典例2-1】（2021·全国高三其他模拟（文））已知()f x 为二次函数，且()()21f x x f x '=+-，则()f x =（ ） A ．221x x -+ B ．221x x ++ C ．2221x x -+ D ．2221x x +-【答案】B 【详解】设，则()2f x ax b '=+， 由()()21f x x f x '=+-可得，所以，，解得，因此，()221f x x x =++.故选：B.【典例2-2】（2020·麻城市第二中学高三月考（文））已知二次函数21y ax bx =++的图象的对称轴是1x =，并且通过点(1,7)P -，则,a b 的值分别是（ ） A ．2,4 B ．2,4-C ．2,4-D ．2,4--【答案】C 【详解】∵21y ax bx =++图象的对称轴是1x =， ∴12ba-=①， 又图象过点(1,7)P -，∴，即6a b -=②， 联立①②解得2a =，4b =-， 故选：C.【跟踪训练1】（2017·铜梁一中高三月考（文））如果二次函数21y ax bx =++的图象的对称轴是1x =，并且通过点(1,7)A -，则（ ） A ．a =2，b =4 B ．a =2，b =－4C ．a =－2，b =4D ．a =－2，b =－4【答案】B 【详解】由题得，解之得a =2，b =－4.【跟踪训练2】（2020·山东高三专题练习）已知二次函数的图象的顶点坐标为(11)，，且过点，则该二次函数的解析式为（ ） A ．21y x =+ B ．()211y x =--+ C ． D ．【答案】C 【详解】设二次函数的解析式为()211y a x =-+，将代入上式，()22211a =-+得1a =， 所以.【跟踪训练3】（2020·全国高三其他模拟（文））已知二次函数()2f x x bx c =++，且是偶函数，若满足，则实数a 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．由b 的范围决定D ．由b ，c 的范围共同决定【答案】B 【详解】 是偶函数，，函数()f x 关于2x =对称，242bb -=⇒=-，， ()()()()2222442f a a f a c a c -->⇒+>⇒->-或2a <-，故选：B.考点三 二次函数的图象及应用【典例3-1】（2020·全国高三其他模拟）函数和函数（其中()f x '为()f x 的导函数）的图象在同一坐标系中的情况可以为（ ） A ．①④ B ．②③C ．③④D ．①②③【答案】B 【详解】易知()2f x ax b '=+，则()2g x acx bc =+． 由①②中函数()g x 的图象得， 若0c <，则，此时，02ba->， 又0a <，所以()f x 的图象开口向下，此时①②均不符合要求； 若0c >，则，此时，02ba->，又0a >，所以()f x 的图象开口向上，此时②符合要求，①不符合要求； 由③④中函数()g x 的图象得， 若0c >，则，此时，02ba->， 又0a <，所以()f x 的图象开口向下，此时③符合要求，④不符合要求； 若0c <，则，此时，02ba->， 又0a >，所以()f x 的图象开口向上，此时③④均不符合要求． 综上，②③符合题意， 故选：B ．【典例3-2】（2019·浙江高三专题练习）不等式20ax bx c -+>的解集为{}|21x x -<<，则函数2y ax bx c =++的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【详解】∵不等式20ax bx c ++>的解集为{}|21x x -<<， ∴，∴，2222(2)y ax bx c ax ax a a x x =++=--=--，图象开口向下，两个零点为2,1-．故选：C ．【跟踪训练1】（2020·六安市城南中学高三月考（文））如果函数()2f x x bx c =++对任意的实数x ，都有，那么（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】B 【详解】2()f x x bx c =++对任意的实数x ，都有，函数2y x bx c =++的对称轴方程为12x =-.抛物线开口向上，称轴方程为12x =-，0x =距离12x =-最近，2x =距离12x =-最远，.【跟踪训练2】（2019·江西省信丰中学高三月考（文））已知函数()()()f x x a x b =--（其中)a b >的图象如图所示，则函数()x g x a b =+的图象是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】C 【详解】由函数的图象可知，10b -<<，1a >，则()x g x a b =+为增函数，，()g x 过定点， 故选：C .【跟踪训练3】（2020·通辽第五中学高三月考（文））已知函数()ln ||f x x =，2()g x mx =，若方程()()0f x g x -=在(,1][1,)x ∈-∞-⋃+∞有四个不同的解，则m 的取值范围为（ ）A ．1(0,)2eB ．C ．1(0,)eD ．【答案】A 【详解】因为函数，()2g x mx =都是偶函数，所以方程()()0f x g x -=在][(),11,x ∈-∞-+∞有四个不同的解，只需在上，的图象在两个不同的交点，0m <不合题意，当0m >时，20mx >，当， 即交点横坐标在上，假定两函数的图象在点处相切， 即两函数的图象在点处有相同的切线，则有()()1'2,'g x mx f x x ==，则有0012mx x =，解得2012x m =，则有()()20000111,ln ln222g x mx f x x m=====， 可得111ln 222m =，则有12e m=，解得12m e =，因为m 越小开口越大，所以要使得()f x ，()g x 在上，恰有两个不同的交点， 则a 的取值范围为，此时，的图象在四个不同的交点， 方程()()0f x g x -=在][(),11,x ∈-∞-+∞有四个不同的解，所以a 的取值范围是， 故选：A.考点四 二次函数的性质【典例3-1】（2021·安徽高三其他模拟（理））定义在[0,2]x ∈的单调函数()f x 对任意[0,1]x ∈恒有，且[0,1]x ∈时，()221f x x mx m =-+-，则实数m 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．R【答案】B 【详解】由，可知函数()f x 关于点(1,0)中心对称.因为对任意的[0,2]x ∈，()f x 是单调函数，所以[0,1)x ∈时，()221f x x mx m =-+-是单调的，而二次函数开口向上，对称轴为2mx =， 故当12m≥时，即2m ≥，()f x 在[0,1]x ∈时是单调递减的，根据对称性可知，函数()f x 在上也是单调递减的，又由()120f m =≥>，知()f x 在[0,2]x ∈上是单调递减的；当02m≤，即0m ≤，()f x 在[0,1]x ∈时是单调递增的，根据对称性可知，函数()f x 在上也是单调递增的，又由，知()f x 在[0,2]x ∈上是单调递增的. 综上可得，实数m 的取值范围是．【典例3-2】（2021·全国高三月考（理））设，若不等式恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】B 【详解】令，根据题意得()()()22ln 2222220+=--=+--=+-+->x a x y ea lne x a a x x a x a a 恒成立，即min 0y >成立，因为函数的对称轴为1x a a =->-，所以函数的最小值()()()2min 2122110-+--+-=-=>a a a a a a y ，解得1a >.故选：B .【跟踪训练1】（2021·全国高三专题练习（文））在同一直角坐标系中，指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，二次函数2y ax bx =-的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【详解】指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭图象位于x 轴上方，据此可区分两函数图象．二次函数2()y ax bx ax b x =-=-，有零点,0b a ．A ，B 选项中，指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递增，故，故A 错误、B 正确．C ，D 选项中，指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，故01b a <<，故C ，D 错误．故选：B【跟踪训练2】（2021·山西运城市·高三其他模拟（理））函数2285(1)()log (1)ax ax x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩在x ∈R 内单调递减，则a 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C 【详解】解：因为函数2285(1)()log (1)ax ax x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩在x ∈R 内单调递减，所以，解得1728a ≤≤，所以a 的取值范围为， 故选：C【跟踪训练3】（2021·陕西安康市·高三月考（理））已知函数2()23f x x mx m =--，则“2m >”是“()0f x <对[1,3]x ∈恒成立”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【详解】若()0f x <对[1,3]x ∈恒成立，则解得3m >，是的真子集，所以“2m >”是“()0f x <对[1,3]x ∈恒成立”的必要不充分条件.【真题演练】1．（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）已知函数，其中01a b <<<，则下列不等式不成立的是（ ） A．2a bf +< B．f C ． D ．【答案】B 【详解】()f a a =，()f b b =，且，函数()f x 是开口向上的抛物线，如图，01a b <<<，01a b ∴<<<<2a b+<是点C 对应的函数值，一定大于f ，即，故A 正确；设，01a b <<<，01a b ∴<<<<，即f <B 不正确.，对称轴是12a b x +-=， 与对称轴间的距离是12，a 与对称轴间的距离是，b 与对称轴间的距离是， 那么比较与()f a ，f b 的大小，即比较与自变量与对称轴间的距离，离对称轴越远，函数值越大，即， ，故CD 正确.2．（2021·浙江杭州市·杭十四中高三其他模拟）已知二次函数有两个不同的零点，若有四个不同的根1234x x x x <<<，且1234,,,x x x x 成等差数列，则-a b 不可能是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D 【详解】设的两个不同零点为m ，n ，且m>n ， 所以，240a b ∆=->，且， 又因为有四个不同的根1234x x x x <<<，所以221x x m +-=对应的根为14,x x ，221x x n +-=对应的根为23,x x ， 所以，，所以22224141414141()2()444(1)x x x x x x x x x x m -=+-=+-=++， 同理22223232323232()2()444(1)x x x x x x x x x x n -=+-=+-=++， 因为1234,,,x x x x 成等差数列，所以41323()x x x x -=-，则224132()9()x x x x -=-所以，解得169m n =+，因为m>n ，所以，解得2n >-，所以2()(1610)(169)92616a b m n mn n n n n n -=-+-=-+-+=---21325999n ⎛⎫=-++⎪⎝⎭，所以当139n =-时，-a b 有最大值， 所以-a b 不可能为3. 故选：D3．（2021·河北衡水中学高三三模）己知1log 14a <，，141a <，则实数a 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．1,D ．【答案】A 【详解】 由1log 14a<，得1a >或104a <<，由，得0a >，由141a <，得01a <<， ∴当1log 14a <，，141a <同时成立时，取交集得104a <<，故选：A.4．（2019·吉林高三其他模拟（理））设1515a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1313b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1212c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．b c a <<【答案】D 【详解】因为1515a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1313b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1212c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则63015a ⎛⎫== ⎪⎝⎭103013b ⎛⎫== ⎪⎝⎭153012c ⎛⎫== ⎪⎝⎭由于在被开方数中，a 的被开方数大于c 的被开方数，c 的被开方数大于b 的被开方数， 故有a c b >>， 故选：D.5．（2021·上海市青浦高级中学高三其他模拟）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f （x ）＝x α为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α＝_____． 【答案】﹣1 【详解】因为幂函数()f x x α=为奇函数，且在(0,)+∞上单调递减， 所以α为负数， 因为， 所以1α=-【过关检测】1．已知实数0,0x y ≥≥，且1x y +=，则x ）A ．85B ．2C ．D 【答案】A 【详解】解法一：由1x y +=得到1y x =-，则[0,1]x ∈，所以x x令则0z >，所以两边平方得224(28)40x z x z +-+-=在[0,1]x ∈上有解， 所以解得：85z ≥或0z ≤（舍去）， 85z =时，函数22436()4525f x x x =-+， 其中()f x 的对称轴为35x =，3()05f =，满足在[0,1]上有零点，满足题意，所以x 85.解法二：设2y y '=，则12y x +'=， 如图，作O 关于直线12y x +'=的对称点, 设(),M x y ，因为，解得， 如图所以 故选：A.2．已知函数()21,12,1x a x f x x ax a x ⎧-≤=⎨-+>⎩.若，都有，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．C ．D ．【答案】B 【详解】依题意可知，函数()f x 在R 上是增函数，则，解得13a .3．设0a >，0b >，若，则（ ） A ．a b < B ． a b >C ．23a b =D ．34a b <【答案】B 【详解】因为0a >，所以，所以，因为函数，在上单调递增，且,0a b >，所以a b >. 故选:B4．已知，对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程在上有解，则m 的取值范围是（ ） A ． B ．C ．{}3D ．{}4【答案】D 【详解】2()(1)1f x x =--，[0,3]x ∈，则min ()1f x =-，max ()3f x =.要对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程在上都有解, 取()11f x =-，()23f x =，此时，任意[0,3]x ∈，都有()()()()124m f x f x f x f x =-+-=， 其他m 的取值，方程均无解，则m 的取值范围是{}4. 故选：D.5．已知a ，b 是区间[0,4]上的任意实数，则函数2()1f x ax bx =-+在上单调递增的概率为（ ）A ．18B ．38C ．58D ．78【答案】D 【详解】因为a ，b 是区间[0,4]上的任意实数，则函数2()1f x ax bx =-+在上单调递增 所以242≤⇒≤bb a a如图所示阴影部分：则所要求的概率为14414147244168⨯-⨯⨯===⨯P 故选：D6．已知x ，y ∈R ，且x ＞y ，则下列说法是正确的是（ ） A ． B ．sin sin x y >C ．2323x y y x<D ．1133x y <【答案】C 【详解】选项A ：当3x =，1y =-时，，所以选项A 错误； 选项B ：当x π=，2y π=时，sin sin 0x π==，sin sin12y π==，所以sin sin x y <，选项B 错误；选项C ：因为23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，又因为x y >，所以＜， 即2233x yx y <，所以2323x y y x <，所以选项C 正确； 选项D ：当8,1x y ==-时，132x =，131y =-，所以1133x y >，所以选项D 错误． 故选：C ．7．函数，其中1a >，1n >，n 为奇数，其图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【详解】对任意x ∈R ，0x a >，由于1n >，n 为奇数，当0x <时，0n x <，此时()0f x <， 当0x >时，0n x >，此时()0f x >，排除AC 选项；当0x >时，任取1x 、()20,x ∈+∞且12x x >，则120x x a a >>，120n nx x >>，所以，所以，函数()f x 在上为增函数，排除D 选项.8．已知函数131()2021(1)20212x x f x x x --=+--+，则不等式的解集为（ ）． A ． B ． C ． D ．【答案】A 【详解】设函数3()202120212x x g x x x -=+-+，则函数()g x 是定义域为R ，根据指数函数与幂函数的单调性可得，2021x y =是增函数，2021x y -=是减函数，3y x =是增函数， 所以3()202120212x x g x x x -=+-+在R 上单调递增； 又，所以()g x 是奇函数，其图象关于原点对称； 又，即()f x 的图象可由()g x 向右平移一个单位，再向上平移两个单位后得到， 所以131()2021(1)202121)2x x f x x x --=+--+-+（是定义域为R 的增函数， 且其图像关于点(1,2)对称，即有，即 (2)4()f x f x -=-． 由得 ， 即，即，所以 243x x -≤，解得 ．9．幂函数在为增函数，则m 的值是（ ）A ．1-B ．3C ．1-或3D ．1或3-【答案】B 【详解】()f x 为幂函数，2221m m ∴--=，解得：1m =-或3m =；当1m =-时，()1f x x -=，则()f x 在上为减函数，不合题意；当3m =时，()7=f x x ，则()f x 在上为增函数，符合题意；综上所述：3m =. 故选：B.10．已知幂函数()f x x α=满足，若，，()125c f -=，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．D ．【答案】C 【详解】由可得4222αα⋅=，∴14αα+=， ∴13α=，即13f x x .由此可知函数()f x 在R 上单调递增.而由换底公式可得242log 21log 2log 42==，22log 2ln 2log e =，125-=，∵21log 2e <<，∴，于是， 又∵，∴1245log 2-<，故a ，b ，c 的大小关系是.。
考点06 高中数学-二次函数与幂函数-考点总结及习题
考点06二次函数与幂函数【命题趋势】此知识点也是高考中的常考知识点，注意：（1）了解幂函数的概念.（2）结合函数12321,,,y x y x y x y y x x=====的图象，了解它们的变化情况.【重要考向】一、求二次函数和幂函数的解析式二、幂函数的图像与性质的应用三、二次函数的图像与性质的应用二次函数与幂函数的解析式1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较函数y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝12xy ＝x－1图象性质定义域R R R {x |x ≥0}{x |x ≠0}值域R {y |y ≥0}R {y |y ≥0}{y |y ≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R 上单调递增在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增在R 上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减公共点(1,1)2．二次函数的概念形如2()(0)f x ax bx c a =++≠的函数叫做二次函数.3．表示形式(1)一般式：f (x )=ax 2＋bx ＋c (a ≠0).(2)顶点式：f (x )=a (x −h )2＋k (a ≠0)，其中(h ，k )为抛物线的顶点坐标.(3)两根式：f (x )=a (x −x 1)(x −x 2)(a ≠0)，其中x 1，x 2是抛物线与x 轴交点的横坐标.【巧学妙记】1.已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，对∀x ∈R ，都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )的解析式为________________．【答案】f (x )＝x 2－2x ＋3解析由f (0)＝3，得c ＝3，又f (1＋x )＝f (1－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴b2＝1，∴b ＝2，∴f (x )＝x 2－2x ＋3.2.已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f (x )＝________.【答案】x 2＋2x解析设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)，所以f (x )＝ax 2＋2ax ，由4a ×0－4a 24a ＝－1，得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x .3.若函数()f x 是幂函数，且满足()()432f f =，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．13B ．3C ．13-D ．−3【答案】A【解析】由题意可设()(f x x αα=为常数），因为满足()()432f f =，所以432αα=，所以2log 3α=，所以()2log 3f x x =，所以2log 311223f -⎛⎫== ⎪⎝⎭.故选A ．幂函数的图像与性质①α的正负：当α>0时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．②幂函数的指数与图象特征的关系当α≠0，1时，幂函数y =x α在第一象限的图象特征如下：αα>10<α<1α<0图象特殊点过(0，0)，(1，1)过(0，0)，(1，1)过(1，1)凹凸性下凸上凸下凸单调性递增递增递减举例y =x 212y x =1y x -=、12y x-=【巧学妙记】4.若四个幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d 在同一坐标系中的图象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是()A ．d >c >b >aB ．a >b >c >dC ．d >c >a >bD ．a >b >d >c 【答案】B【解析】由幂函数的图象可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x 轴，由题图知a >b >c >d ，故选B.5.已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)23n nx －(n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为()A ．－3B ．1C ．2D ．1或2【答案】B【解析】由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1符合题意，故选B.6.若(a＋1)13－<(3－2a)13－，则实数a的取值范围是____________．【答案】(－∞，－1)【解析】不等式(a＋1)13－<(3－2a)13－等价于a＋1>3－2a>0或3－2a<a＋1<0或a＋1<0<3－2a，解得a<－1或23<a<32.二次函数图像与性质的应用函数解析式2()(0)f x ax bx c a=++>2()(0)f x ax bx c a=++<图象(抛物线)定义域R值域24[,)4ac ba-+∞24(,]4ac ba--∞对称性函数图象关于直线2bxa=-对称顶点坐标24(,)24b ac ba a--奇偶性当b=0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数单调性在(,]2ba-∞-上是减函数；在[,)2ba-+∞上是增函数.在(,]2ba-∞-上是增函数；在[,)2ba-+∞上是减函数.最值当2bxa=-时，2min4()4ac bf xa-=当2bxa=-时，2max4()4ac bf xa-=【巧学妙记】7.一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0)与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是()【答案】C【解析】若a >0，则一次函数y ＝ax ＋b 为增函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上，故可排除A ；若a <0，一次函数y ＝ax ＋b 为减函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，故可排除D ；对于选项B ，看直线可知a >0，b >0，从而－b2a<0，而二次函数的对称轴在y 轴的右侧，故应排除B ，选C.8.函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是()A ．[－3,0)B ．(－∞，－3]C ．[－2,0]D ．[－3,0]【答案】D【解析】当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意．当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a，由f (x )在[－1，＋∞)－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3,0]．9.已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a 的值．解f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；(3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3.综上可知，a 的值为38或－3.10.已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，若不等式f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，则实数m 的取值范围为____________．【答案】(－∞，－1)【解析】设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，得c ＝1，又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以a ＝1，b ＝－1，所以f (x )＝x 2－x ＋1.f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立，令g (x )＝x 2－3x ＋1－m －54－m ，x ∈[－1,1]，g (x )在[－1,1]上单调递减，所以g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0，所以m <－1.1.已知[1,1]a ∈-时不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为（）A.(－∞，2)∪(3，＋∞)B.(－∞，1)∪(2，＋∞)C.(－∞，1)∪(3，＋∞)D.(1，3)2.设函数()21f x mx mx =--，若对于[]1,3x ∈，()2f x m >-+恒成立，则实数m 的取值范围（）A.()3,+∞ B.3,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C.(),3-∞ D.3,7⎛⎫+∞⎪⎝⎭3.已知函数2()2()f x x ax a R =-+∈在区间[1,+∞)上单调递增，则a 的取值范围为（）A.(2,+∞)B.[2,+∞)C.(－∞,2)D.(－∞,2]4.函数()22f x x ax =++在()3,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A.6a =- B.6a ≥- C.6a >- D.6a ≤-5.已知幂函数a y k x =⋅的图象过点(4,2)，则k a +等于（）A.32B.3C.12D.26.若幂函数f (x )的图象过点21,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则函数()()x f x g x e =的递增区间为（）A.()0,2 B.()(),02,-∞+∞ C.()2,0- D.()(),20,-∞-+∞ 7.若四个幂函数a y x =，b y x =，c y x =，d y x =在同一坐标系中的部分图象如图，则a 、b 、c 、d 的大小关系正确的是（）A.1a b >>B.1a b >>C.0b c>> D.0d c>>8.已知幂函数()y f x =的图象过点13(,)33，则3log (81)f 的值为（）A.12B.12-C.2D.2-9.（多选题）已知点2(1)A ，在函数()3f x ax =的图象上，则过点A 的曲线():C y f x =的切线方程是（）A.640x y --=B.470x y -+=C.470x y -+=D.3210x y -+=二、填空题10.已知函数()223f x x ax =-++在区间(),4-∞上是增函数，则实数a 的取值范围是______.11.已知直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是___________.12.已知函数23()(1)m f x m m x +=+-是幂函数，且该函数是偶函数，则m 的值是____13.幂函数()24222m y m m x --=--在(0,+∞)上为增函数，则实数m =_______.14.已知幂函数223()()m m f x x m Z +-=∈是奇函数，且()51f <，则m 的值为___________.一、单选题1．（2013·浙江高考真题（文））已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f （4）>f （1），则（）A ．a >0，4a ＋b ＝0B ．a <0，4a ＋b ＝0C ．a >0，2a ＋b ＝0D ．a <0，2a ＋b ＝02．（2007·湖南高考真题（文））函数244 1(){431x x f x x x x -≤=-+>，，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是A ．1B ．2C ．3D ．43．（2008·江西高考真题（文））已知函数2()2(4)4f x x m x m =+-+-，()g x mx =，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是A ．[4,4]-B ．(4,4)-C ．(,4)-∞D ．(,4)-∞-4．（2011·上海高考真题（文））下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（）A ．2y x-=B ．1y x-=C ．2y x=D ．13y x=二、填空题5．（2017·北京高考真题（文））已知0x ≥,0y ≥,且1x y +=,则22x y +的取值范围是_____.6．（2012·山东高考真题（文））若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m ，且函数()(14g x m x =-在[0,)+∞上是增函数，则a ＝______.三、解答题7．（2014·辽宁高考真题（文））设函数()211f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N.（1）求M ；（2）当x M N ∈⋂时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤.一、单选题1．（2021·北京高三二模）下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（）A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．1y x -=C ．2(1)y x =-D ．ln y x=2．（2021·新疆高三其他模拟（文））若实数m ，n 满足m n >，且0mn ≠，则下列选项正确的是（）A ．330m n ->B ．1122m n⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()lg 0m n ->D ．11m n<3．（2021·全国高三月考（文））已知()f x 为二次函数，且()()21f x x f x '=+-，则()f x =（）A ．221x x -+B ．221x x ++C ．2221x x -+D ．2221x x +-4．（2021·江西新余市·高三二模（文））已知a ，b 是区间[0,4]上的任意实数，则函数2()1f x ax bx =-+在[2,)+∞上单调递增的概率为（）A ．18B ．38C ．58D ．785．（2021·全国高一课时练习）已知函数()()2ln 23f x x x =--+，则()f x 的增区间为（）A ．（–∞，–1）B ．（–3，–1）C ．[–1，+∞）D ．[–1，1）6．（2021·安徽合肥市·合肥一中高三其他模拟（文））若120x x <<，则下列函数①()f x x =；②2()f x x =；③3()f x x =；④()f x x =；⑤1()f x x=满足条件()()()121221()022f x f x x x f x x ++>>的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．（2021·江西高三二模（文））设ln 2a =，0.1b =，0.1c =，则下列关系中正确的是（）A ．b a c>>B ．c b a>>C ．c a b>>D ．b c a>>8．（2021·江西高三其他模拟（文））已知函数1a y ax b =-+-是幂函数，直线20(0,0)mx ny m n -+=>>过点(,)a b ，则11n m ++的取值范围是（）A ．11,,333⎫⎫⎛⎛-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭B ．(1,3)C ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题9．（2021·全国高一课时练习）有如下命题，其中真命题的标号为（）A ．若幂函数()y f x =的图象过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()132f >B ．函数()(110x f x aa -=+>且)1a ≠的图象恒过定点()1,2C ．函数()21f x x =-在()0,∞+上单调递减D ．若函数()224f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值范围是[]1,2三、填空题10．（2021·全国高一课时练习）已知偶函数()24a af x x -=在()0∞+，上是减函数，则整数a 的值是________．11．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高二月考（文））已知2()31f x ax x =-+，若对任意的[1,1]a ∈-，总有()0f x ≥，则x 的范围是______．12．（2021·千阳县中学高三其他模拟（文））给出以下几个不等式：①0.30.70.40.1<；②45log 3log 4<；③131sin sin 223<；④16181816<．其中不等式中成立序号为______．四、解答题13．（2020·上海高一专题练习）幂函数273235()(1)t t f x t t x +-=-+是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，求函数解析式.参考答案跟踪训练1.【答案】：C 【分析】根据题意，转化为关于a 的函数()2(2)44f a x a x x =-+-+，得出()0f a >对于任意[1,1]a ∈-恒成立，即可求解.【详解】由题意，因为[1,1]a ∈-时不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，可转化为关于a 的函数()2(2)44f a x a x x =-+-+，则()0f a >对于任意[1,1]a ∈-恒成立，则满足()()2215601320f x x f x x ⎧-=-+>⎪⎨=-+>⎪⎩，解得1x <或3x >，即x 的取值范围为(,1)(3,)-∞+∞ .故选：C.【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题，其中解答中根据条件转化为关于a 的函数，结合其图象特征，列出不等式组是解答的关键，着重考查转化思想，以及运算与求解能力.2.【答案】：A 【分析】由题意变量分离转为231m x x >-+在[]1,3x ∈上恒成立，只需2max31m x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭->，求出最大值即可得到实数m 的取值范围.【详解】由题意，()2f x m >-+可得212mx mx m ->-+-，即()213m x x +>-，当[]1,3x ∈时，[]211,7x x -+∈，所以231m x x >-+在[]1,3x ∈上恒成立，只需2max31m x x ⎛⎫⎪+⎝⎭->，当1x =时21x x -+有最小值为1，则231x x -+有最大值为3，则3m >，实数m 的取值范围是()3,+∞，故选：A【点睛】本题考查不等式恒成立问题的解决方法，常用变量分离转为求函数的最值问题，属于基础题.3.【答案】：D 【分析】直接根据二次函数性质，由对称轴和区间的位置关系即可得解.【详解】依题意对称轴12ax =≤，解得2a ≤，故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数的单调性，属于基础题.4.【答案】：B 【分析】根据函数()22f x x ax =++在()3,+∞上单调递增，则根据函数的图象知：对称轴必在x=3的左边，列出不等式求解即可．【详解】∵函数()22f x x ax =++在()3,+∞上单调递增，x=2a -∴32a-≤，即6a ≥-故选B【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的对称轴的求法与应用，属于基础题．5.【答案】：A 【分析】根据题意，由幂函数的定义可得1k =，将点(4,2)的坐标代入解析式，计算可得α的值，相加即可得答案．【详解】解：根据题意，函数y k x α=⋅为幂函数，则1k =，若其图象过点(4,2)，则有24α=，解可得12α=，则32k α+=；故选：A ．【点睛】本题考查幂函数的定义以及解析式的求法，注意幂函数解析式的形式，属于基础题．6.【答案】：A 【分析】设()f x x α=，代入点求出α，再求出()g x 的导数()g x '，令()0g x '>，即可求出()g x 的递增区间.【详解】设()f x x α=，代入点1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则2122α⎛= ⎝⎭，解得2α=，()2x x g x e∴=，则()2222()x x x xx x xe x e g x e e --'==，令()0g x '>，解得02x <<，∴函数()g x 的递增区间为()0,2.故选：A.【点睛】本题考查待定系数法求幂函数解析式，考查利用导数求函数的单调区间，属于基础题.7.【答案】：B 【分析】根据幂函数的图象与性质，即可求解，得到答案.【详解】由幂函数的图象与性质，在第一象限内，在1x =的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数依次增大，可得100a b c d >>>>>>.故选：B.【点睛】本题主要考查了幂函数的图象与性质的应用，其中熟记幂函数在第一象限的图象与性质是解答的关键，属于基础题.8.【答案】：C 【分析】设幂函数的解析式为()()f x x R αα=∈，根据幂函数的图象过点13()33，求得()12f x x =，结合对数的运算性质，即可求解.【详解】由题意，设幂函数的解析式为()()f x x R αα=∈，根据幂函数的图象过点13()33，可得31(33α=，解得12α=，即()12f x x =，所以12333log (81)log 81log 92f ===.故选：C .9.【答案】AD 【分析】先根据点2(1)A ，在函数()3f x ax =的图象上，可求出a ，再设出切点()00,P x y ，求出在点P处的切线方程，然后根据点A 在切线上，即可解出．【详解】因为点2(1)A ，在函数()3f x ax =的图象上，所以2a =．设切点()00,P x y ，则由()32f x x =得，()26f x x '=，即206k x =，所以在点P 处的切线方程为：()3200026y x x x x -=-，即230064y x x x =-．而点2(1)A ，在切线上，∴2300264x x =-，即()()()()222000002111210x x x x x ---=-+=，解得01x =或012x =-，∴切线方程为：640x y --=和3210x y -+=．故选：AD ．【点睛】本题主要考查过某点的曲线的切线方程的求法，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．二、填空题10.【答案】：[)4,+∞【分析】求出二次函数的对称轴方程，根据二次函数的单调区间，确定对称轴与区间的关系，即可求解.【详解】()223f x x ax =-++对称轴方程为x a =，()f x 在区间(),4-∞上是增函数，所以4a ≥.故答案为:[)4,+∞.【点睛】本题考查函数的单调性求参数，熟练掌握初等简单函数的性质是解题的关键，属于基础题.11.【答案】：514a <<【分析】直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点等价于方程21x x a =-+有四个解，即满足y a =和21y x x =-++有四个交点，画出函数图象即可求出.【详解】直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点等价于方程21x x a =-+有四个解，则21a x x =-++，满足y a =和21y x x =-++有四个交点，画出函数图象如下，观察图象可知，要使y a =和21y x x =-++有四个交点，需满足514a <<故答案为：514a <<.【点睛】本题考查利用函数图象求参数，属于基础题.12.【答案】：1【分析】由幂函数的定义可得211m m +-=，解出方程，最后根据该函数是偶函数确定m 的值.【详解】∵函数23()(1)m f x m m x +=+-是幂函数，∴211m m +-=，解得2m =-或1m =，又∵该函数是偶函数，当2m =-时，函数()f x x =是奇函数，当1m =时，函数4()f x x =是偶函数，即m 的值是1，故答案为1.【点睛】本题主要考查幂函数的定义与简单性质，函数奇偶性的判断，属于基本知识的考查．13.【答案】：－1【分析】利用幂函数定义和单调性可得2221m m --=且420m -->，联立求解即可.【详解】由幂函数定义得2221m m --=，解得：3m =或1m =-因为在()24222m y m m x--=--()0+∞，上为增函数，所以420m -->，即12m <-，所以1m =-故答案为：1-【点睛】本题考查了幂函数定义和单调性，属于基础题.14.【答案】：0【分析】由(5)1f <和m Z ∈，可确定1m =-或0m =，由()f x 是奇函数，可舍掉1m =-，即可得到本题答案.【详解】因为22323(5)5123012m m f m m m +-=<⇒+-<⇒-<<，又因为m Z ∈，所以1m =-或0m =，当1m =-时，2232m m +-=-，不符合题意，舍去；当0m =时，2233m m +-=-，符合题意.故答案为：0真题再现1．A 【分析】由已知得f (x )的图象的对称轴为x ＝2且f (x )先减后增，可得选项.【详解】由f (0)＝f （4），得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为x ＝－2ba＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f （1），f （4）>f （1），∴f (x )先减后增，于是a >0，故选：A.【点睛】本题考查二次函数的对称轴，单调性，属于基础题.2．C 【详解】试题分析：解：在同一坐标系中画出函数的图象和函数g （x ）=log 2x 的图象，如下图所示：由函数图象得，两个函数图象共有3个交点，故选C.考点：1.函数的图象与图象变化；2.零点个数．3．C 【详解】当2160m ∆=-<时，显然成立当4,(0)(0)0m f g ===时，显然不成立；当24,()2(2),()4m f x x g x x =-=+=-显然成立；当4m <-时12120,0x x x x +，则()0f x =两根为负，结论成立故4m <,故选C.4．A 【详解】试题分析：由偶函数定义知，仅A,C 为偶函数，C.2y x =在区间(0,)+∞上单调递增函数，故选A ．考点：本题主要考查奇函数的概念、函数单调性、幂函数的性质．点评：函数奇偶性判定问题，应首先考虑函数的定义域是否关于原点对称．5．1[,1]2【详解】试题分析：22222(1)221,[0,1]x y x x x x x +=+-=-+∈，所以当01x =或时，取最大值1；当12x =时，取最小值12.因此22x y +的取值范围为1[,1]2.【名师点睛】本题考查了转化与化归的能力，除了像本题的方法，即转化为二次函数求取值范围，也可以转化为几何关系求取值范围，即0,0x y ≥≥，1x y +=表示线段，那么22x y+的几何意义就是线段上的点到原点距离的平方，这样会更加简单.6．14【详解】当1a >时，有214,a a m -==，此时12,2a m ==，此时()g x =不合题意.若01a <<，则124,a a m -==，故11,416a m ==，检验知符合题意7．（1）4|03M x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）详见解析.【详解】试题分析：（1）由所给的不等式可得当1x ≥时，由()331f x x =-≤，或当1x <时，由()11f x x =-≤，分别求得它们的解集，再取并集，即得所求．（2）由4g x ≤（），求得N ，可得3{|0}4M N x x ⋂=≤≤．当x ∈M∩N 时，f （x ）=1-x ，不等式的左边化为211()42x --，显然它小于或等于14，要证的不等式得证．（1）33,[1,)(){1,(,1)x x f x x x -∈+∞=-∈-∞当1x ≥时，由()331f x x =-≤得43x ≤，故413x ≤≤；当1x <时，由()11f x x =-≤得0x ≥，故01x ≤<；所以()1f x ≤的解集为4{|0}3M x x =≤≤.（2）由2()16814g x x x =-+≤得2116()4,4x -≤解得1344x -≤≤，因此13{|}44N x x =-≤≤，故3{|0}4M N x x ⋂=≤≤.当x M N ∈⋂时，()1f x x =-，于是22()[()]()[()]x f x x f x xf x x f x +=+2111()(1)()424xf x x x x ==-=--≤.考点：1.其他不等式的解法；2.交集及其运算．模拟检测1．D【分析】根据基本初等函数的性质依次判断选项即可.【详解】对于A 选项：指数函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，底数112<，所以函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(,)-∞+∞上单调递减；对于B 选项：幂函数1y x -=，10-<，所以幂函数1y x -=在(0,)+∞上单调递减；对于C 选项：二次函数2(1)y x =-，对称轴为1x =，所以二次函数2(1)y x =-在(0,1)上单调递减，在(1)+∞，上单调递增；对于D 选项：对数函数ln y x =，底数1e >，所以对数函数ln y x =在(0,)+∞上单调递增.故选：D.【点睛】本题主要考查基本初等函数的单调性，基本初等函数的函数性质是整个高中数学知识的奠基，和很多专题知识都有交融，是整个数学学习的基础.2．A【分析】利用幂函数、指数函数单调性和对数的运算可求解.【详解】解：∵函数3y x =，在R x ∈时单调递增，且m n >，∴330m n ->，故A 正确；∵函数1()2xy =，在R x ∈时单调递减，且m n >，∴11(()22m n <，故B 错误；当11,2m n ==时，()1lg lg 02m n -=<，故C 错误；当,11m n ==-时，1111m n=>=-，故D 错误；故选：A.3．B【分析】设()()20f x ax bx c a =++≠，根据已知条件可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出函数()f x 的解析式.【详解】设()()20f x ax bx c a =++≠，则()2f x ax b '=+，由()()21f x x f x '=+-可得()2221ax bx c x ax b ++=++-，所以，121a b a c b =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，解得121a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，因此，()221f x x x =++.故选：B.4．D【分析】利用函数单调性求得a ，b 关系，结合几何概型即可求解．【详解】因为a ，b 是区间[0,4]上的任意实数，则函数2()1f x ax bx =-+在[2,)+∞上单调递增所以242≤⇒≤b b a a如图所示阴影部分：则所要求的概率为14414147244168⨯-⨯⨯===⨯P 故选：D5．B【分析】先求出函数的定义域，然后由复合函数的单调性可得出答案.【详解】由2230x x --+>，得31x -<<，当31x -<<-时，函数223y x x =--+单调递增，所以函数2()ln(23)f x x x =--+单调递增；当11x -<<时，函数223y x x =--+单调递减，所以所以函数2()ln(23)f x x x =--+单调递减，故选：B.6．D【分析】条件121221()()(0)22x x f x f x f x x ++⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭表明函数应是上凹函数或者是一次函数，结合幂函数的图象可作答．【详解】只有上凹函数或者是一次函数才满足题中条件，所以只有①②③⑤满足.故选：D.7．D【分析】利用指对函数的性质，结合中间量比较大小【详解】ln 2ln 1a e =<=Q，0.10.101b c =>=>=，b c a ∴>>．故选：D8．D【分析】由幂函数的性质求参数a 、b ，根据点在直线上得2m n +=，有14111n m m +=-++且02m <<，进而可求11n m ++的取值范围.【详解】由1a y ax b =-+-是幂函数，知：1,1a b =-=，又(,)a b 在20mx ny -+=上，∴2m n +=，即20n m =->，则1341111n m m m m +-==-+++且02m <<，∴11(,3)13n m +∈+.故选：D.【点睛】关键点点睛：根据幂函数的性质求参数，再由点在线上确定m 、n 的数量关系，进而结合目标式，应用分式型函数的性质求范围.9．BD【分析】由()f x 所过点可求得幂函数()f x 解析式，由此得到()132f <，知A 错误；由()12f =恒成立可知()f x 过定点()1,2，知B 正确；由二次函数的性质可知C 错误；由二次函数的最值可确定自变量的范围，即可确定m 的范围，知D 正确.【详解】对于A ，令()f x x α=，则122α=，解得：1α=-，()1f x x -∴=，()11332f ∴=<，A 错误；对于B ，令10x -=，即1x =时，()1112f =+=，()f x ∴恒过定点()1,2，B 正确；对于C ，()f x 为开口方向向上，对称轴为0x =的二次函数，()f x ∴在()0,∞+上单调递增，C 错误；对于D ，令()4f x =，解得：0x =或2x =；又()()min 13f x f ==，∴实数m 的取值范围为[]1,2，D 正确.故选：BD.10．2【分析】由()24aa f x x -=在()0+∞，上是减函数，可得04a <<，进而可得结果.【详解】因为()24a a f x x -=在()0+∞，上是减函数，所以240a a -<，解得04a <<，又函数为偶函数，且a Z ∈，当1a =时，()-3f x x =为奇函数当2a =时，()4f x x -=为偶函数当3a =时，()3f x x -=为奇函数；所以2a =故答案为：211．31331322x +-+-≤≤【分析】把函数f (x )视为关于参数a 的一次型函数，在端点-1，1处的函数值不小于0，建立不等式组求解即得.【详解】令g (a )=x 2·a -3x +1，则g (a )是一次型函数，它在闭区间上图象为线段，则在闭区间上函数值不小于0，即对应图象不在x 轴下方，只需端点不在x 轴下方即可，22310[1,1],()0[1,1],()0310x x a f x a g a x x ⎧-+≥∴∀∈-≥⇔∀∈-≥⇔⎨--+≥⎩，解2310x x -+≥得：352x ≤或352x ≥，解2310x x --+≥得：31331322x --+≤≤，所以有3322x +-+-≤≤.答案为：3322x +-+-≤≤【点睛】在参数范围给定的含该参数的函数问题中，转换“主”、“辅”变元的位置是解题的关键.12．②③④【分析】利用幂函数的单调性可判断①的正误；利用对数函数的单调性结合作差法、基本不等式可判断②的正误；利用函数()sin x f x x=的单调性可判断③的正误；利用对数函数()ln x g x x=可判断④的正误.【详解】对于①，()()0.10.10.330.170.10.40.40.0640.10.0000001==>=，①错误；对于②，()()22245ln 3ln 5ln 4ln 3ln 5ln 4ln 3ln 42log 3log 4ln 4ln 5ln 4ln 5ln 4ln 5+⎛⎫- ⎪-⎝⎭-=-=<(()22ln 40ln 4ln 5-=<，所以，45log 3log 4<，②正确；对于③，令()sin x f x x =，其中()0,1x ∈，则()2cos sin x x x f x x -'=，令()cos sin h x x x x =-，其中()0,1x ∈，则()sin 0h x x x '=-<，所以，函数()h x 在()0,1上单调递减，当()0,1x ∈时，()0h x <，则()0f x '<，所以，函数()f x 在()0,1上单调递减，因为110132<<<，则1123f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即112sin 3sin 23<，故131sin sin 223<，③正确；对于④，设()ln x g x x =，其中0x >，则()21ln x g x x-'=，当x e >时，()0g x '<，即函数()g x 在(),e +∞上单调递减，所以，()()1618g g >，即ln16ln181618>，所以，1816ln16ln18>，因此，16181816<，④正确.故答案为：②③④.【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：（1）判断各个数值所在的区间；（2）利用函数的单调性直接解答.数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用.13．25()f x x =或85()f x x =.【分析】根据幂函数的定义和性质得到关于t 满足的式子，即可求得t 的值.【详解】因为幂函数273235()(1)t t f x t t x +-=-+是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，所以322117320732t t t t t t ⎧-+=⎪+->⎨⎪+-⎩是偶数，解得1t =或1t =-，当1t =时，25()f x x =，当1t =-时，85()f x x =.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关幂函数的问题，能够正确解题的关键是熟练掌握幂函数的定义和幂函数的性质.。
二次函数与幂函数基础知识(艺考生)
二次函数与幂函数思维导图知识梳理1．幂函数(1)定义：形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1.(2)五种幂函数的图象(3)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)．③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 (－∞，＋∞)(－∞，＋∞) 值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减； 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增 在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增；在⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减 对称性函数的图象关于x ＝－b2a对称 核心素养分析本讲主要考查幂函数的图象与性质、二次函数的图象与性质，重点提升逻辑推理、直观想象素养.题型归纳题型1 幂函数的图象与性质【例1-1】（2020春•本溪月考）已知幂函数2242()(1)()mm f x m x m R -+=-∈，在(0,)+∞上单调递增．设5log 4a =，15log 3b =，0.20.5c -=，则f （a ），f （b ），f （c ）的大小关系是( )A ．f （b ）f <（a ）<（c ）B ．f （c ）f <（b ）f <（a ）C ．f （c ）f <（a ）f <（b ）D ．f （a ）f <（b ）f <（c ）【解答】解：幂函数2242()(1)()m m f x m x m R -+=-∈，在(0,)+∞上单调递增，∴22(1)1420m m m ⎧-=⎨-+=⎩，解得0m =，2()f x x ∴=，故选：A ．【例1-2】（2020春•沈河区校级月考）设113244342(),(),()433a b c ===，则a ，b ，c 的大小顺序是( )A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．b c a <<【解答】解：112439()()1416a ==<，144()13b =>，314428()()1327c ==<；且89012716<<<，函数14y x =在(0,)+∞上是单调增函数，所以114489()()2716<，所以c a <； 综上知，c a b <<． 故选：A ．【跟踪训练1-1】（2019秋•杨浦区校级期末）幂函数223()(1)(,)m m f x a x a m N --=-∈为偶函数，且在(0,)+∞上是减函数，则a m += ． 【解答】解：幂函数223()(1)(,)mm f x a x a m N --=-∈，在(0,)+∞上是减函数，11a ∴-=，且2230m m --<， 2a ∴=，13m -<<，又m N ∈，0m ∴=，1，2， 又幂函数()f x 为偶函数，1m ∴=，3a m ∴+=，故答案为：3．【跟踪训练1-2】已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x n 2－3n(n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或2【解析】∵幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x n 2－3n在(0，＋∞)上是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋2n －2＝1，n 2－3n <0，∴n ＝1，又n ＝1时，f (x )＝x －2的图象关于y 轴对称，故n ＝1.故选B. 【名师指导】幂函数的性质与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)判断幂函数y ＝x α(α∈R )的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断． (3)若幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0. 题型2 二次函数的解析式【例2-1】（2019秋•道里区校级月考）已知二次函数2()3(0)f x ax bx a =++≠图象过点(3,0)A -，对称轴为1x =．（1）求()y f x =的解析式；（2）若函数()y g x =满足(21)()g x f x +=，求函数()y g x =的解析式．【解答】解：（1）根据题意得，933012a b b a -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得1525a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴212()355f x x x =-++；（2）由题意得，212(21)355g x x x +=-++，设21x t +=，则12t x -=，∴22111311()(1)(1)320520104g t t t t t =--+-+=-++， 21311()20104g x x x ∴=-++． 【例2-2】(一题多解)已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【解】 法一：(利用一般式)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.所以所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二：(利用顶点式)设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． 因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x ＝2＋（－1）2＝12.所以m ＝12.又根据题意函数有最大值8，所以n ＝8，所以f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.因为f (2)＝－1，所以a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，所以f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.法三：(利用零点式)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即4a （－2a －1）－a 24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)，所以所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.【跟踪训练2-1】（2019秋•贺州期中）已知一个二次函数()f x ，(0)4f =，f （2）0=，f （4）0=．求这个函数的解析式．【解答】解：设2()f x ax bx c =++， ∴44201640c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得：1234a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩，∴21()342f x x x =-+．【名师指导】求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下：题型3 二次函数的图象与性质【例3-1】已知abc >0，则二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )【解析】 A 项，因为a <0，－b2a <0，所以b <0.又因为abc >0，所以c >0，而f (0)＝c <0，故A 错．B 项，因为a <0，－b2a>0，所以b >0.又因为abc >0，所以c <0，而f (0)＝c >0，故B 错．C 项，因为a >0，－b2a <0，所以b >0.又因为abc >0，所以c >0，而f (0)＝c <0，故C 错．D 项，因为a >0，－b2a>0，所以b <0，因为abc >0，所以c <0，而f (0)＝c <0，故选D.【例3-2】（2020•海南模拟）已知函数2()5f x x mx =-+在(2,)+∞上单调递增，则m 的取值范围为( ) A ．[4，)+∞B ．[2，)+∞C ．(-∞，4]D ．(-∞，2]【解答】解：函数2()5f x x mx =-+的对称轴为2mx =， 函数()f x 在区间(2,)+∞上单调递增，∴22m，解得4m ， 故选：C ．【例3-3】（2019秋•庐江县期末）函数223y x x =-+在闭区间[0，]m 上有最大值3，最小值为2，m 的取值范围是( ) A ．(-∞，2]B ．[0，2]C ．[1，2]D ．[1，)+∞【解答】解：作出函数()f x 的图象，如图所示， 当1x =时，y 最小，最小值是2，当2x =时，3y =，函数2()23f x x x =-+在闭区间[0，]m 上上有最大值3，最小值2， 则实数m 的取值范围是[1，2]． 故选：C ．【例3-4】（2020•江苏一模）已知函数2()(2)(8)()f x m x m x m R =-+-∈是奇函数，若对于任意的x R ∈，关于x 的不等式2(1)f x f +<（a ）恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 【解答】解：由奇函数的性质可得，()()f x f x -=-恒成立， 即22(2)(8)(2)(8)m x m x m x m x ---=----，故20m -=即2m =，此时()6f x x =-单调递减的奇函数， 由不等式2(1)f x f +<（a ）恒成立，可得21x a +>恒成立， 结合二次函数的性质可知，211x +， 所以1a <． 故答案为：(,1)-∞【跟踪训练3-1】（2019秋•吉安期末）函数2()2(21)3f x x a x =--++在区间[2，3]上是增函数，则a 的取值范围是( ) A ．13(,]2-∞-B ．13(,]2-∞ C ．13[,)2-+∞ D ．13[,)2+∞【解答】解：函数2()2(21)3f x x a x =--++在区间[2，3]上是增函数， 函数2()2(21)3f x x a x =--++的对称轴214a x +=-， 2134a +∴-， 解得132a -． a ∴的取值范围是(-∞，13]2-． 故选：A ． 【名师指导】1.识别二次函数图象应学会“三看”2.二次函数的单调性问题（1）对于二次函数的单调性，关键是看图象的开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．（2）利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的图象的对称性转化到同一单调区间上比较． 3.二次函数的最值问题（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论． （2）二次函数的单调性问题主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论求解． 4.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .配套练习1．（2021·全国高一）函数()26512x x f x -+⎛⎫=⎪⎝⎭的值域为（ ）A ．(]0,16B ．[)16,+∞C ．10,16⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,16⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2．（2021·全国高一）函数243()2x x f x -+-=的单调递增区间为（ ） A ．(,2)-∞B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(2,)+∞3．（2021·全国高一）若一次函数y ax b =+的图象经过二、三、四象限，则二次函数2y ax bx =+的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4．（2021·浙江高一期末）已知函数2()f x x bx c =++，且(2)()f x f x +=-，则下列不等式中成立的是（ ） A ．(4)(0)(4)f f f -<< B ．(0)(4)(4)f f f <-< C ．(0)(4)(4)f f f <<-D ．(4)(0)(4)f f f <<-5．（2021·贵州毕节市·高一期末）若4512a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1245b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，124log 45c =-，则下列结论正确的是（ ）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．a b c <<6．（2021·贵州毕节市·高一期末）已知幂函数()()2221mm f x m m x+-=--在()0,∞+上是减函数，则()f m 的值为（ ） A ．3B ．3-C ．1D ．1-7．（2021·湖北黄冈市·高一期末）已知a ，b ，c 为正实数，满足21log 2aa ⎛⎫ ⎪=⎝⎭，212bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，122c c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<8．（2021·云南省云天化中学高一期末）已知132a =，133b =，12c -=，21log 2d =，则下列不等式正确的是（ ） A ．c d b a >>> B ．c b d a >>> C ．b a c d >>>D ．d a c b >>>9．（2021·江苏）函数2()21f x ax x =++与()a g x x =在同一坐标系中的图像可能为（ ）A ．B ．C ．D ．10．（2021·江苏高一）已知函数()25,1,1x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则实数a 的取值可以是（ ）A ．0B ．2-C ．1-D ．3-11．（2021·浙江台州市·高一期末）（多选）若函数244y x x =--的定义域为[0]m ，，值域为[8,4]--，则m 的值可能是（）A ．2B ．3C ．4D ．512．（2021·长宁区·上海市延安中学高一期末）函数225y x x =+-在区间[]3,0-上的值域为____________.(用区间表示)13．（2021·黑龙江鹤岗市·鹤岗一中高一期末）幂函数221()(1)m f x m m x --=--在(0,)+∞上单调递增，则实数m =___________．14．（2021·湖北黄冈市·高一期末）幂函数()24()m f x xm Z -=∈在定义域内为奇函数且在区间()0,∞+上单调递减，则m =________．15．（2021·北京101中学高一期末）已知幂函数()()22321m m f x m x-+=-在()0,∞+上单调递增，则实数m的值为______16．（2021·云南省云天化中学高一期末）已知函数()2()2m f x m m x =+为幂函数，且在()0,x ∈+∞为增函数，则m =_________．17．（2021·邵阳市第十一中学高一期末）已知幂函数()f x经过点，则函数解析式为()f x =________________18．（2021·浙江高一期末）已知幂函数()2()1mf x m m x =+-的图像如图所示，那么实数m 的值是________.19．（2021·浙江高一期末）已知幂函数()2m f x x +=过点()2,8，且2(1)(24)0f k f k ++-<，则实数k 的取值范围是_____．二次函数与幂函数解析配套练习1．（2021·全国高一）函数()26512x x f x -+⎛⎫=⎪⎝⎭的值域为（ ）A ．(]0,16B ．[)16,+∞ C ．10,16⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,16⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】设265u x x =-+，则2265(3)44u x x x =-+=--≥-，()12ug u ⎛⎫= ⎪⎝⎭，4u ≥-，因为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，所以()()0416g u g <≤-=，即值域为(]0,16， 故选：A.2．（2021·全国高一）函数243()2x x f x -+-=的单调递增区间为（ ）A ．(,2)-∞B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(2,)+∞【答案】B 【解析】由复合函数单调性判断可知： 指数部分底数大于1，所以为增函数，所以要求()g x =令()243h x x x =-+-，由二次函数单调性及二次根式有意义的条件可知12x ≤≤ ，即()f x =的单调增区间为[1,2]，也可写做(1,2).故选：B3．（2021·全国高一）若一次函数y ax b =+的图象经过二、三、四象限，则二次函数2y ax bx =+的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】因为一次函数y ax b =+的图象经过二、三、四象限， 所以0,0a b <<，所以二次函数2y ax bx =+的图象开口向下，对称轴02bx a=-<，且过原点， 所以,,A B D 不正确. 故选： C4．（2021·浙江高一期末）已知函数2()f x x bx c =++，且(2)()f x f x +=-，则下列不等式中成立的是（ ） A ．(4)(0)(4)f f f -<<B ．(0)(4)(4)f f f <-<C ．(0)(4)(4)f f f <<-D ．(4)(0)(4)f f f <<-【答案】C 【解析】由(2)()f x f x +=-得()f x 图象的对称轴为1x =，所以()f x 在(,1]-∞上单调递减，在[1,)+∞上单调递增，且(4)(2)f f =-， 所以(0)(2)(4)(4)f f f f <-=<-， 故选：C.5．（2021·贵州毕节市·高一期末）若4512a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1245b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，124log 45c =-，则下列结论正确的是（ ）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．a b c <<【答案】D 【解析】45y x=在()0,∞+单调递增，1425<， 44551425a ⎛⎫⎛⎫∴=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，45xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，1425<， 14254455b ⎛⎫⎛⎫=> ⎪ ⎪⎝⎭⎭∴⎝，且10244155b ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，01a b ∴<<<，()12448log 421555c =-=-⨯-=>，a b c ∴<<.故选：D.6．（2021·贵州毕节市·高一期末）已知幂函数()()2221mm f x m m x+-=--在()0,∞+上是减函数，则()f m 的值为（ ） A ．3 B ．3- C ．1 D ．1-【答案】C 【解析】因为()()2221m m f x m m x+-=--是幂函数，所以211m m --=，解得2m =或1m =-，当2m =时，()4f x x =在()0,∞+上是增函数，不合题意；当1m =-时，()2f x x -=在()0,∞+上是减函数，合题意，所以()()()2111f m f -=-=-=，故选：C.7．（2021·湖北黄冈市·高一期末）已知a ，b ，c 为正实数，满足21log 2a a ⎛⎫ ⎪=⎝⎭，212bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，122c c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b << B ．b c a << C ．c a b << D ．c b a <<【答案】D 【解析】设()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ()2log g x x =，()2h x x =，()12s x x =在同一坐标系中作出函数()()()(),,,f x g x h x s x 的图象，如图a 为函数()(),f x g x 的交点的横坐标b 为函数()(),f x h x 的交点的横坐标c 为函数()(),f x s x 的交点的横坐标根据图像可得：01c b a <<<<故选：D8．（2021·云南省云天化中学高一期末）已知132a =，133b =，12c -=，21log 2d =，则下列不等式正确的是（ ） A ．c d b a >>> B ．c b d a >>> C ．b a c d >>> D ．d a c b >>>【答案】C 【解析】因为幂函数13y x =在(0,)+∞上单调递增， 所以1b a >>，由指数函数性质100221c -<=<=， 由对数函数性质21log 102d ==-<， 故b a c d >>>， 故选：C9．（2021·江苏）函数2()21f x ax x =++与()a g x x =在同一坐标系中的图像可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】ACD 【解析】当0a <时，()ag x x =为奇函数，定义域为{}|0x x ≠，且在()0,∞+上递减，而2()21f x ax x =++开口向下，对称轴为10x a=->，(0)1f =，故A 符合； 当()2a n n N +=∈时，()ag x x =为偶函数，且在()0,∞+上递增，2()21f x ax x =++开口向上，且对称轴为10x a=-<，440a ∆=-<，其图象和x 轴没有交点，故D 符合； 当()12a n N n+=∈时，函数()a g x x =的定义域为[)0,+∞，且在[)0,+∞上递增，2()21f x ax x =++开口向上，且对称轴为10x a=-<，440∆=->a ，图象和x 轴有两个交点，故C 符合．故选：ACD ．10．（2021·江苏高一）已知函数()25,1,1x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则实数a 的取值可以是（ ）A ．0B ．2-C ．1-D ．3-【答案】BD 【解析】由题意，函数25y x ax =---的图象开口朝下，对称轴为2a x =-， 因为函数()25,1,1x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，所以12015a a a a⎧-≥⎪⎪⎨<⎪⎪---≤⎩，解得32a --≤≤.所以实数a 的取值可以是2-，3-. 故选：BD.11．（2021·浙江台州市·高一期末）（多选）若函数244y x x =--的定义域为[0]m ，，值域为[8,4]--，则m 的值可能是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】ABC 【解析】函数244y x x =--的部分图像如图，(0)(4)4f f ==-，(2)8f =-.因为函数244y x x =--的定义域为[0]m ，，值域为[84]--，， 所以m 的取值范围是[2]4，， 故选ABC .12．（2021·长宁区·上海市延安中学高一期末）函数225y x x =+-在区间[]3,0-上的值域为____________.(用区间表示) 【答案】[]6,2-- 【解析】函数225y x x =+-的对称轴为1x =-，所以可知函数225y x x =+-在[]3,1--上是减函数，在[]1,0-上是增函数，所以函数最小值为()21256y ---=-=，又因为3x =-时，2y =-；0x =时，5y =-，所以函数最大值为2y =-，所以值域为[]6,2--. 故答案为：[]6,2--.13．（2021·黑龙江鹤岗市·鹤岗一中高一期末）幂函数221()(1)m f x m m x --=--在(0,)+∞上单调递增，则实数m =___________． 【答案】1- 【解析】由题意，幂函数221()(1)m f x m m x --=--，可得211m m --=， 即220m m --=，解得2m =或1m =-，当2m =时，函数5()f x x -=，可得函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，不符合题意； 当1m =-时，函数()f x x =，可得函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，符合题意. 故答案为：1-14．（2021·湖北黄冈市·高一期末）幂函数()24()m f x xm Z -=∈在定义域内为奇函数且在区间()0,∞+上单调递减，则m =________． 【答案】±1 【解析】()f x 在()0,∞+上单调递减，240m ∴-<，解得：22m -<<，m Z ∈，1,0,1m ∴=-，当1m =-时，()3f x x -=在定义域内为奇函数，正确，当0m =时，()4f x x -=在定义域内是偶函数，舍去，当1m =时，()3f x x -=在定义域内为奇函数，正确.故答案为：±115．（2021·北京101中学高一期末）已知幂函数()()22321m m f x m x-+=-在()0,∞+上单调递增，则实数m的值为______ 【答案】0 【解析】由题可得()2211320m m m ⎧-=⎪⎨-+>⎪⎩，解得0m =.故答案为：0.16．（2021·云南省云天化中学高一期末）已知函数()2()2mf x m m x =+为幂函数，且在()0,x ∈+∞为增函数，则m =_________． 【答案】12【解析】解：由函数()2()2mf x m m x =+为幂函数，且在()0,x ∈+∞为增函数，所以2210m m m ⎧+=⎨>⎩，解得12m =．故答案为：12. 17．（2021·邵阳市第十一中学高一期末）已知幂函数()f x经过点，则函数解析式为()f x =________________ 【答案】4x 【解析】 设幂函数为()a f x x ，因为幂函数经过点，所以4a=，解得4a =，所以函数解析式为4()f x x =， 故答案为：4x18．（2021·浙江高一期末）已知幂函数()2()1m f x m m x =+-的图像如图所示，那么实数m 的值是________.【答案】2-【解析】因为函数()2()1m f x m m x =+-为幂函数， 所以211m m +-=，解得2m =-或1m =，又由函数的图象可得该函数为偶函数，所以2m =-.故答案为：2-.19．（2021·浙江高一期末）已知幂函数()2m f x x+=过点()2,8，且2(1)(24)0f k f k ++-<，则实数k 的取值范围是_____．【答案】()3,1-【解析】由题设可得23282m +==，故1m =，所以()3f x x =， 所以()f x 为R 上的奇函数且为增函数，而2(1)(24)0f k f k ++-<等价于()2(1)(24)42f k f k f k +<--=-， 所以2230k k +-<，故31k -<<.故答案为：()3,1-.。
新高考数学一轮复习考点知识归类讲义 第10讲 幂函数与二次函数
新高考数学一轮复习考点知识归类讲义第10讲幂函数与二次函数1．幂函数(1)定义形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x 12，y＝x－1.(2)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)； ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx＋c (a <0) 图象定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 上单调递减； 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 上单调递增； 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减 奇偶性 当b ＝0时为偶函数，当b ≠0时为非奇非偶函数顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a对称性图象关于直线x ＝－b2a 成轴对称图形➢考点1 ******[名师点睛]1．对于幂函数图像的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．2．在比较幂值的大小时，可结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．3．在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图像越远离x轴(简记为“指大图高”)．[典例]1．（2022·全国·高三专题练习）若幂函数()m n(m，n∈N*，m，n互质)的图像如图f x x所示，则（）A．m，n是奇数，且m<1n>1B．m是偶数，n是奇数，且mn<1C．m是偶数，n是奇数，且mnD．m是奇数，n是偶数，且m>1n【答案】C【解析】由图知幂函数f (x )为偶函数，且1mn<，排除B ，D ； 当m ，n 是奇数时，幂函数f (x )非偶函数，排除A ； 故选：C.2．（2022·全国·高三专题练习）幂函数223()(55)()m m f x m m x m Z -=+-∈是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则m 的值为（ ） A ．﹣6B ．1C ．6D ．1或﹣6 【答案】B 【解析】∵幂函数223()(55)()m m f x m m x m Z -=+-∈是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，∴2255130m m m m ⎧+-=⎨-<⎩，且23m m -为偶数 1m ∴=或6m =-当1m =时，232m m -=-满足条件；当6m =-时，2354m m -=，舍去 因此：m ＝1 故选：B3．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数()(1)n f x m x =-的图象过点(,8)m ．设()0.32a f =，()20.3b f =，()2log 0.3c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b c a <<B ．a c b <<C ．a b c <<D ．c b a << 【答案】D 【解析】因幂函数()()1nf x m x =-的图象过点(),8m ，则11m -=，且8n m =，于是得2m =，3n =，函数3()f x x =，函数()f x 是R 上的增函数，而20.32log 0.300.312<<<<，则有20.32(log 0.3)(0.3)(2)f f f <<，所以c b a <<. 故选：D [举一反三]1．（2022·北京·二模）下列函数中，与函数3y x =的奇偶性相同，且在()0,+∞上有相同单调性的是（ ）A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．ln y x =C ．sin y x =D ．y x x = 【答案】D 【解析】由3y x =为奇函数且在()0,+∞上递增，A 、B ：12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭、ln y x =非奇非偶函数，排除；C ：sin y x =为奇函数，但在()0,+∞上不单调，排除；D ：22,0(),0x x y f x x x ⎧-≤⎪==⎨>⎪⎩，显然()()f x f x -=-且定义域关于原点对称，在()0,+∞上递增，满足. 故选：D2．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数y ＝f (x )经过点(3，则f (x )（ ）A ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C ．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D ．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 【答案】D 【解析】设幂函数的解析式为y x α=，将点(的坐标代入解析式得3α=12α=， ∴12y x =，函数的定义域为[)0,+∞,是非奇非偶函数，且在()0,+∞上是增函数， 故选：D.3．（2022·全国·高三专题练习）函数2()-=a f x x 与4()-⎛⎫= ⎪⎝⎭xg x a 均单调递减的一个充分不必要条件是（ ）A ．(0,2)B ．[0,1)C ．[1,2)D ．(1,2] 【答案】C 【解析】函数2()-=a f x x 单调递减可得20a -<及2a <；函数4()-⎛⎫= ⎪⎝⎭xg x a 单调递减可得014a <<，解得04a <<，若函数2()-=a f x x与4()-⎛⎫= ⎪⎝⎭xg x a 均单调递减，可得02a <<，由题可得所求区间真包含于()0,2， 结合选项，函数2()-=a f x x 与4()-⎛⎫= ⎪⎝⎭xg x a 均单调递减的一个充分不必要条件是C.故选：C.4．（多选）（2022·广东潮州·二模）已知幂函数()f x 的图象经过点4,2，则下列命题正确的有（ ）．A ．函数()f x 的定义域为RB ．函数()f x 为非奇非偶函数C ．过点10,2P ⎛⎫⎪⎝⎭且与()f x 图象相切的直线方程为1122y x =+D ．若210x x >>，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭【答案】BC 【解析】设()f x x α=，将点4,2代入()f x x α=，得24α=，则12α=，即12()f x x =，对于A ：()f x 的定义域为[)0,+∞，即选项A 错误； 对于B ：因为()f x 的定义域为[)0,+∞， 所以()f x 不具有奇偶性，即选项B 正确； 对于C ：因为12()f x x =，所以()f x '=设切点坐标为(0x ，则切线斜率为()0k f x =='切线方程为0)y x x -，又因为切线过点1(0,)2P ，所以01)2x -，解得01x =， 即切线方程为11(x 1)2y -=-，即1122y x =+， 即选项C 正确； 对于D ：当120x x <<时，()()212221212[]222f x f x x x x x f +++⎛⎫-=-⎪⎝⎭⎝⎭212024x x +=-==-<，即()()1212()22f x f x x xf ++<成立，即选项D 错误．故选：BC ．5．（2022·海南·文昌中学高三阶段练习）已知幂函数()()a f x x a R =∈过点A （4，2），则f （14）=___________. 【答案】12 【解析】点A （4，2）代入幂函数()af x x =解得12a =，()12f x x =，1142f ⎛⎫= ⎪⎝⎭故答案为：12．6．（2022·北京通州·一模）幂函数()mf x x =在()0,∞+上单调递增，()ng x x =在()0,∞+上单调递减，能够使()()y f x g x =-是奇函数的一组整数m ，n 的值依次是__________． 【答案】1，1-（答案不唯一） 【解析】因为幂函数()mf x x =在()0,∞+上单调递增，所以0m >，因为幂函数()ng x x =在()0,∞+上单调递减，所以0n <，又因为()()y f x g x =-是奇函数，所以幂函数()f x 和幂函数()g x 都是奇函数，所以m 可以是1，n 可以是1-.故答案为：1，1-（答案不唯一）. 7．（2022·重庆·二模）关于x 的不等式()999999999999121x x x --⋅≤+，解集为___________.【答案】[)1,-+∞ 【解析】由题设，99999999(1)(2)1x x x --≤+，而9999y x =在R 上递增，当12x x ->即1x <-时，99999999(1)(2)01x x x -->>+，原不等式不成立； 当12x x -≤即1x ≥-时，99999999(1)(2)01x x x --≤≤+，原不等式恒成立. 综上，解集为[)1,-+∞. 故答案为：[)1,-+∞8．（2022·全国·高三专题练习）如图是幂函数iy x α=（αi ＞0，i ＝1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，其中α1＝3，α2＝2，α3＝1，412α=，513α=，已知它们具有性质： ①都经过点（0，0）和（1，1）； ②在第一象限都是增函数．请你根据图象写出它们在（1，+∞）上的另外一个共同性质：___________．【答案】α越大函数增长越快解：从幂函数的图象与性质可知：①α越大函数增长越快；②图象从下往上α越来越大；③函数值都大于1；④α越大越远离x 轴；⑤α＞1，图象下凸；⑥图象无上界；⑦当指数互为倒数时，图象关于直线y ＝x 对称；⑧当α＞1时，图象在直线y ＝x 的上方；当0＜α＜1时，图象在直线y ＝x 的下方． 从上面任取一个即可得出答案． 故答案为：α越大函数增长越快．9．（2022·广东深圳·高三期末）已知函数()f x 的图像关于原点对称，且在定义域内单调递增，则满足上述条件的幂函数可以为()f x =______．【答案】3x （答案不唯一） 【解析】设幂函数()f x x α=，由题意，得()f x x α=为奇函数，且在定义域内单调递增，所以21n α=+（N n ∈）或mnα=（,m n 是奇数，且互质）， 所以满足上述条件的幂函数可以为()3f x x =.故答案为：3x （答案不唯一）.10．（2022·北京·高三专题练习）已知幂函数()()2151m h x m m x +=-+为奇函数．（1）求实数m 的值；（2）求函数()()102g x h x x ⎫⎡⎫=∈⎪⎪⎢⎣⎭⎭，的值域．【解】（1）∵函数()()2151m h x m m x +=-+为幂函数，2511m m ∴-+=，解得0m =或5，当0m =时，()h x x =，()h x 为奇函数， 当5m =时，()6h x x =，()h x 为偶函数，函数()h x 为奇函数，0m ∴=；（2）由（1）可知，()h x x =，则()g x x =102x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，，t =，则21122x t =-+，(]01t ∈，， 则()22111(1)1222f t t t t =-++=--+，(]01t ∈，， 函数()f t 为开口向下，对称轴为1t =的抛物线，∴当0=t 时，函数()102f =， 当1t =，函数()f t 取得最大值为1，∴()f t 的值域为112⎛⎤ ⎥⎝⎦，，故函数()g x 的值域为112⎛⎤ ⎥⎝⎦，． ➢考点2 二次函数的解析式[名师点睛]求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：[典例]1．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数f (x )满足f （2）＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，二次函数的解析式是_______ 【答案】f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 【解析】法一 (利用“一般式”解题) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).由题意得2421,1,48,4a b c a b c ac b a⎧⎪++=-⎪⎪-+=-⎨⎪-⎪=⎪⎩解得4,4,7.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二 (利用“顶点式”解题)设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0). 因为f （2）＝f (－1)， 所以抛物线的对称轴为2(1)122x +-==，所以m ＝12. 又根据题意，函数有最大值8，所以n ＝8， 所以y ＝f (x )＝21()82a x -+.因为f （2）＝－1，所以21(2)812a -+=-，解得a ＝－4， 所以f (x )＝214()82x --+＝－4x 2＋4x ＋7. 法三 (利用“零点式”解题)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即24(21)()84a a a a----=. 解得a ＝－4或a ＝0(舍).故所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 故答案为：f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.2．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 为二次函数，()00f =，()()22132f x f x x x +-=++，求()f x 的解析式． 【解】解：因为()f x 为二次函数，所以设()2f x ax bx c =++，因为()00f =，所以0c ，所以()2f x ax bx =+，所以()()()()()22212121442f x a x b x ax a b x a b +=+++=++++，因为()()22132f x f x x x +-=++，所以()()223432ax a b x a b x x ++++=++，所以31a =，43a b +=，2a b +=，所以13a =，53b =，所以()21533f x x x =+． [举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）若函数12x y a -=+过定点P ，以P 为顶点且过原点的二次函数()f x 的解析式为（ ） A ．()236f x x x =-+B ．()224f x x x =-+ C ．()236f x x x =-D ．()224f x x x =- 【答案】A 【解析】对于函数12x y a -=+，当1x =时，023y a =+=， 所以函数12x y a -=+过定点P ()1,3，设以P ()1,3为顶点且过原点的二次函数()()213f x a x =-+，因为()f x 过原点()0,0，所以()20013a =-+，解得：3a =-，所以()f x 的解析式为：()()2231336f x x x x =--+=-+，故选：A.2．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 为二次函数，且()()21f x x f x '=+-，则()f x =（ ）A ．221x x -+B ．221x x ++C ．2221x x -+D ．2221x x +- 【答案】B 【解析】设()()20f x ax bx c a =++≠，则()2f x ax b '=+，由()()21f x x f x '=+-可得()2221ax bx c x ax b ++=++-，所以，121a b a c b =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，解得121a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，因此，()221f x x x =++.故选：B.3．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 是二次函数且满足(0)1,(1)()2f f x f x x =+-=，则函数()f x 的解析式为________. 【答案】2()1f x x x =-+【解析】解：由题意，设2()(0)f x ax bx c a =++≠， 因为(0)1f =，即1c =，所以2()1f x ax bx =++，所以()22(1)()(1)(1)1122f x f x a x b x ax bx ax a b x ⎡⎤+-=++++-++=++=⎣⎦，从而有220a a b =⎧⎨+=⎩，解得1,1a b ==-，所以2()1f x x x =-+， 故答案为：2()1f x x x =-+.➢考点3 二次函数的图象与性质是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成． [典例]1．（2022·全国·高三专题练习）函数()()20f x ax bx c a =++≠和函数()()g x c f x '=⋅（其中()f x '为()f x 的导函数）的图象在同一坐标系中的情况可以为（ ）A ．①④B ．②③C ．③④D ．①②③ 【答案】B【解析】易知()2f x ax b '=+，则()2g x acx bc =+． 由①②中函数()g x 的图象得00ac bc >⎧⎨<⎩， 若0c <，则00a b <⎧⎨>⎩，此时()00f c =<，02ba ->，又0a <，所以()f x 的图象开口向下，此时①②均不符合要求；若0c >，则00a b >⎧⎨<⎩，此时()00f c =>，02ba ->，又0a >，所以()f x 的图象开口向上，此时②符合要求，①不符合要求；由③④中函数()g x 的图象得0ac bc <⎧⎨>⎩，若0c >，则00a b <⎧⎨>⎩，此时()00f c =>，02ba ->，又0a <，所以()f x 的图象开口向下，此时③符合要求，④不符合要求； 若0c <，则00a b <⎧⎨>⎩，此时()00f c =<，02ba ->，又0a >，所以()f x 的图象开口向上，此时③④均不符合要求． 综上，②③符合题意， 故选：B ．2．（2022·全国·高三专题练习）二次函数()221f x x ax =+-在区间(),1-∞上单调递减的一个充分不必要条件为（ ） A ．0a ≤B ．12a ≤-C ．1a ≤-D ．2a ≤- 【答案】D【解析】解：因为()221f x x ax =+-的对称轴为x a =-，开口向上，所以1a -≥，解得1a ≤-，所以二次函数()221f x x ax =+-在区间(),1-∞上单调递减的充要条件为1a ≤-，所以二次函数()221f x x ax =+-在区间(),1-∞上单调递减的一个充分不必要条件为2a ≤-；故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）函数21y x ax a =--在12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】21y x ax a =--在12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增， ∴2()f x x ax a =--在12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减，则122a -≤，即1a ≥-，同时 需满足1(2)()02f f -->，即1(4)(21)04a a +-<， 解得142a -<<， 综上可知11,2a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭故答案为：11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭4．（2022·湖南长沙·高三阶段练习）已知函数2()f x x =，()21g x a x =-，a 为常数.若对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有1212()()()()f x f x g x g x --＜，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】[0，1]【解析】对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有1212()()()()f x f x g x g x --＜，即1122()()()()f x g x f x g x --＜，令2()()()21F x f x g x x a x =-=--，即12()()F x F x ＜只需在[0，2]上单调递增即可，当1x =时，()1F x =，函数图象恒过()1,1；当1x ＞时，2()22F x x ax a =-+； 当1x ＜时，2()22F x x ax a =+-； 要使()F x 在区间[0，2]上单调递增，则当2x ≤1＜时，2()22F x x ax a =-+的对称轴1x a =≤，即1a ≤；当1x ≤0＜时，2()22F x x ax a =+-的对称轴0x a =-≤，即0a ≥； 且12121212a a a a +⨯-≤-⨯+, 综上01a ≤≤ 故答案为：[0，1]. [举一反三]1．（2022·全国·高三阶段练习）已知函数()2f x ax bx c =++，其中0a >，()00f <，0a b c ++=，则（ ）A ．()0,1x ∀∈，都有()0f x >B ．()0,1x ∀∈，都有()0f x <C ．()00,1x ∃∈，使得()00f x =D ．()00,1x ∃∈，使得()00f x > 【答案】B 【解析】由0a >，()00f <，0a b c ++=可知0a >，0c <，抛物线开口向上．因为()00f c =<，()10f a b c =++=，即1是方程20ax bx c ++=的一个根，所以()0,1x ∀∈，都有()0f x <，B 正确，A 、C 、D 错误. 故选：B ．2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2y ax bx c =++，如果a b c >>且0a b c ++=，则它的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意，函数2y ax bx c =++，因为0a b c ++=，令1x =，可得0y a b c =++=，即函数图象过点(1,0)， 又由a b c >>，可得0,0a c ><，所以抛物线的开口向上，可排除D 项， 令0x =，可得0y c =<，可排除B 、C 项； 故选：A.3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()28f x x kx =--在[-2，1]上具有单调性，则实数k 的取值范围是（）A ．k ≤-8B ．k ≥4C ．k ≤-8或k ≥4D ．-8≤k ≤4 【答案】C【解析】函数2()28f x x kx =--对称轴为4kx =， 要使()f x 在区间[-2，1]上具有单调性，则24k≤-或14k ≥，∴8k ≤-或4k ≥ 综上所述k 的范围是：k ≤-8或k ≥4. 故选：C.4．（2022·山东济南·二模）若二次函数2()(0)f x ax bx c a =++<，满足(1)(3)f f =，则下列不等式成立的是（ ）A ．(1)(4)(2)f f f <<B ．(4)(1)(2)f f f <<C ．(4)(2)(1)f f f <<D ．(2)(4)(1)f f f << 【答案】B【解析】因为(1)(3)f f =，所以二次函数2()f x ax bx c =++的对称轴为2x =， 又因为0a <，所以(4)(3)(2)f f f <<，又(1)(3)f f =，所以(4)(1)(2)f f f <<. 故选：B.5．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知函数f (x )=ax 2+2ax +4(a >0)，若x 1<x 2，则（ ） A ．当x 1+x 2>-2时，f (x 1)<f (x 2) B ．当x 1+x 2=-2时，f (x 1)=f (x 2) C ．当x 1+x 2>-2时，f (x 1)>f (x 2) D ．f (x 1)与f (x 2)的大小与a 有关 【答案】AB【解析】二次函数f (x )=ax 2+2ax +4(a >0)的图象开口向上，对称轴为x =-1， 当x 1+x 2=-2时，x 1，x 2关于x =-1对称，则有f (x 1)=f (x 2)，B 正确；当x 1+x 2>-2时，而x 1<x 2，则x 2必大于-1，于是得x 2-(-1)>-1-x 1，有| x 2-(-1)|>|-1-x 1|, 因此，点x 2到对称轴的距离大于点x 1到对称轴的距离，即f (x 1)<f (x 2)，A 正确，C 错误； 显然当a >0时，f (x 1)与f (x 2)的大小只与x 1，x 2离-1的远近有关，与a 无关，D 错误. 故选：AB6．（多选）（2022·全国·高三专题练习）若函数244y x x =--的定义域为[)0,a ，值域为[]8,4--，则正整数a 的值可能是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】BC【解析】函数244y x x =--的图象如图所示：因为函数在[)0,a 上的值域为[]8,4--，结合图象可得24a <≤，结合a 是正整数，所以BC 正确.故选： BC.7．（2022·全国·高三专题练习）如果函数2()(6)1f x ax a x =++-在区间(,1)-∞上为增函数，则实数a 的取值范围是______.【答案】[2,0]-【解析】当0a =时，()61f x x =-，在(,1)-∞上为增函数，符合题意，当0a ≠时，要使函数2()(6)1f x ax a x =++-在区间(,1)-∞上为增函数，则需满足0a <且对称轴为612a x a+=-≥，解得：2a ≥-，即20a -≤<， 综上所述：实数的取值范围是：[2,0]-.故答案为：[2,0]-8．（2022·天津·高三专题练习）已知函数2()2f x x x =-在定义域[]1,n -上的值域为[]1,3-，则实数n 的取值范围为____.【答案】[]1,3【解析】函数f （x ）＝x 2﹣2x 的对称轴方程为x ＝1，在[﹣1，1]上为减函数，且值域为[﹣1，3]，当x ≥1时，函数为增函数，且(3)3f =∴要使函数f （x ）＝x 2﹣2x 在定义域[﹣1，n ]上的值域为[﹣1，3]，实数n 的取值范围是[1，3]．故答案为：[1，3]9．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数()2f x ax bx c =++，满足()02f =，()()121f x f x x +-=-.(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()()g x f x mx =-在区间[]12-，上是单调函数，求实数m 的取值范围. 【解】(1)由题意得：()02f c ==，()()()()22111221f x f x a x b x c ax bx c ax a b x +-=++++---=++=- 所以22a =，1a b +=-，解得：1a =，2b =-，所以函数()f x 的解析式为()222f x x x =-+.(2)()()()222g x f x mx x m x =-=-++，对称轴为22m x +=，要想函数()()g x f x mx =-在区间[]12-，上是单调函数，则要满足212m +≤-或222m +≥，解得：4m ≤-或2m ≥，故实数m 的取值范围是(][),42,-∞-+∞.10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()24f x kx x k =-+．（Ⅰ）若函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，求实数k 的取值范围；（Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，求实数k 的取值范围．【解】（Ⅰ）当0k =时，()2f x x =-，在区间[2,4]上单调递减，符合题意；当0k >时，对称轴为1x k ，因为()f x 在区间[2,4]上单调递减，所以14k ≥，得14k ≤，所以104k <≤；当0k <时，函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，符合题意，综上，k 的取值范围为1(,]4-∞.（Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，即[2,4]x ∀∈，22244x k x x x≥=++恒成立，令4()f x x x =+，可知函数()f x 在[2,4]上单调递增，所以()4f x ≥，所以max 2142x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭，所以12k ≥，故k 的取值范围为1[,)2+∞11．（2022·全国·高三专题练习）设函数2()1f x ax bx =++（,a b ∈R ），满足(1)0f -=，且对任意实数x 均有()0f x ≥.(1)求()f x 的解析式；(2)当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，若()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围. 【解】(1)∵(1)0f -=，∴1b a =+.即2()(1)1f x ax a x =+++， 因为任意实数x ，()0f x ≥恒成立，则 0a >且2224(1)4(1)0b a a a a ∆=-=+-=-≤，∴1a =，2b =， 所以2(1)2f x x x =++.(2)因为2()()(2)1g x f x kx x k x =-=+-+，设2()(2)1h x x k x =+-+，要使()g x 在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，只需要 21221()02k h -⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩或21221()02k h -⎧≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩或21221()02k h -⎧≤-⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩或21221()02k h -⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩， 解得932k ≤≤或112k -≤≤，所以实数k 的取值范围913,,122⎡⎤⎡⎤⋃-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
第4节幂函数与二次函数
第4节幂函数与二次函数幂函数和二次函数是数学中的两个重要概念，它们在不同的场景中起着不同的作用。
本文将介绍这两个函数的定义、性质以及它们的关系。
一、幂函数的定义与性质幂函数是指由x的正整数幂次构成的函数，其一般形式可以表示为f(x)=ax^n，其中a为非零实数，n为正整数。
幂数n决定了函数图像的性质，下面我们来看几个不同幂次的幂函数。
1. 当n=1时，幂函数就是一次函数，即f(x)=ax。
它的图像是一条斜率为a的直线。
2. 当n=2时，幂函数就是二次函数，即f(x)=ax^2、它的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
3. 当n=3时，幂函数就是三次函数，即f(x)=ax^3、它的图像是一个类似于字母"S"形状的曲线。
幂函数的性质如下：1.当n为奇数时，函数图像关于y轴对称；当n为偶数时，函数图像关于原点对称。
2.当a>0时，函数递增；当a<0时，函数递减。
3.当n>1时，函数在原点附近增长或下降得非常快；当n=1时，函数图像为一条直线，增长或下降速度相对较慢。
二、二次函数的定义与性质二次函数是指由x的二次幂和一次幂构成的函数，其一般形式可以表示为f(x)=ax^2+bx+c，其中a、b、c为实数且a不为0。
二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
二次函数的性质如下：1.当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2. 抛物线的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中b^2-4ac<0时，抛物线没有实根；b^2-4ac=0时，抛物线与x轴相切；b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点。
3.如果a>0，则抛物线的最小值为c-b^2/4a；如果a<0，则抛物线的最大值为c-b^2/4a。
三、幂函数与二次函数的关系从上面的定义与性质可以看出，二次函数是幂函数的一个特例，即二次函数是幂函数在幂次n=2时的情况。
二次函数与幂函数的知识点总结与题型归纳
二次函数与幂函数的知识点总结与题型归纳1．二次函数的定义与解析式(1)二次函数的定义形如：f(x)＝ax2＋bx＋c_(a≠0)的函数叫作二次函数．(2)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c_(a≠0)．②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)_(a≠0)．2．二次函数的图象和性质－∞，＋∞－∞，＋∞ac－b24a，＋∞－∞，4ac－4a－∞，－b2a上单调递－b2a，＋∞上单调递－∞，－b2a上单调递b2a，＋∞上单调递减当b＝0时为偶函数，时为非奇非偶函数3.幂函数形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数．4．幂函数的图象及性质(1)幂函数的图象比较(2)幂函数的性质比较y ＝x y ＝x 2y ＝x 3y ＝x 12y ＝x －1定义域R R R [0，＋∞){x |x ∈R 且x ≠0}值域R [0，＋∞)R [0，＋∞){y |y ∈R 且y ≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增x ∈[0，＋∞)时，增；x ∈(－∞，0]时，减增增x ∈(0，＋∞)时，减；x ∈(－∞，0)时，减1．二次函数的三种形式(1)已知三个点的坐标时，宜用一般式．(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式．(3)已知二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f (x )更方便．2．幂函数的图象(1)在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴，在(1，＋∞)上幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．(2)函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝x－1可作为研究和学习幂函数图象和性质的代表．题型一求二次函数的解析式例1已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数．思维启迪：确定二次函数采用待定系数法，有三种形式，可根据条件灵活运用．解方法一设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，c＝－1，＝－1，8，＝－4，＝4，＝7，∴所求二次函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.方法二设f(x)＝a(x－m)2＋n，a≠0.∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线对称轴为x＝2＋(－1)2＝12∴m＝12.又根据题意函数有最大值为n＝8，∴y＝f(x)＝a21(2x-＋8.∵f(2)＝－1，∴a21()2x-＋8＝－1，解之，得a＝－4.∴f(x)＝－421()2x-＋8＝－4x2＋4x＋7.方法三依题意知，f(x)＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)，a ≠0.即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值y max ＝8，即4a (－2a －1)－a 24a＝8，解之，得a ＝－4或a ＝0(舍去)．∴函数解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.探究提高二次函数有三种形式的解析式，要根据具体情况选用：如和对称性、最值有关，可选用顶点式；和二次函数的零点有关，可选用零点式；一般式可作为二次函数的最终结果．题型二二次函数的图象与性质例2已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]．(1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间．思维启迪：对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作用．解：(1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4,6]，∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4.(3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )2＋2x ＋3，x ∈ 0，6]2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．探究提高(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．题型三二次函数的综合应用例3若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．思维启迪：对于(1)，由f (0)＝1可得c ，利用f (x ＋1)－f (x )＝2x 恒成立，可求出a ，b ，进而确定f (x )的解析式．对于(2)，可利用函数思想求得．解(1)由f (0)＝1，得c ＝1.∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1.又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x ，a ＝2，＋b ＝0，＝1，＝－1.因此，f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减，∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1>0得，m <－1.因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．探究提高二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．题型四幂函数的图象和性质例4已知幂函数f (x )＝xm 2－2m －3(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a ＋1)－m 3<(3－2a )－m 3的a 的取值范围．思维启迪：由幂函数的性质可得到幂指数m 2－2m －3<0，再结合m 是整数，及幂函数是偶函数可得m 的值．解∵函数在(0，＋∞)上递减，∴m 2－2m －3<0，解得－1<m <3.∵m ∈N *，∴m ＝1,2.又函数的图象关于y 轴对称，∴m 2－2m －3是偶数，而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m ＝1.而f (x )＝x －13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，∴(a ＋1)－13<(3－2a )－13等价于a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a .解得a <－1或23<a <32.故a |a <－1或23<a 探究提高(1)幂函数解析式一定要设为y ＝x α(α为常数的形式)；(2)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性．方法与技巧1．二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律：(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．(2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象、性质求解．2．与二次函数有关的不等式恒成立问题(1)ax 2＋bx ＋c >0，a ≠0>02－4ac <0.(2)ax 2＋bx ＋c <0，a ≠0<02－4ac <0.3．幂函数y ＝x α(α∈R )，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数．失误与防范1．对于函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，要认为它是二次函数，就必须满足a ≠0，当题目条件中未说明a ≠0时，就要讨论a ＝0和a ≠0两种情况.2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.。
二次函数与幂函数
二次函数与幂函数一、二次函数1. 定义二次函数是指形如f(x)=ax2+bx+c的函数，其中a eq0，a、b和c为常数，x为自变量。
2. 基本性质•二次函数的图像是一个抛物线，开口方向由二次项的系数a决定：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
•二次函数的对称轴是一个直线，其方程为 $x = -\\frac{b}{2a}$。
•二次函数的顶点是对称轴上的点，坐标为 $\\left(-\\frac{b}{2a}, f\\left(-\\frac{b}{2a}\\right)\\right)$。
•当a>0时，二次函数的最小值为 $f\\left(-\\frac{b}{2a}\\right)$；当a<0时，二次函数的最大值为 $f\\left(-\\frac{b}{2a}\\right)$。
3. 图像变换对二次函数进行平移、伸缩和翻转等操作，可以得到不同形状的图像。
•平移：设二次函数为f(x)=x2，当向右平移ℎ个单位，得到f(x−ℎ)=(x−ℎ)2；当向上平移k个单位，得到f(x)+k=x2+k。
•伸缩：设二次函数为f(x)=x2，当横坐标伸缩为原来的m倍，纵坐标伸缩为原来的n倍，得到 $f\\left(\\frac{x}{m}\\right) \\cdot n =\\left(\\frac{x}{m}\\right)^2 \\cdot n = \\frac{n}{m^2}x^2$。
•翻转：设二次函数为f(x)=x2，当横坐标翻转，得到f(−x)= (−x)2=x2；当纵坐标翻转，得到−f(x)=−x2。
二、幂函数1. 定义幂函数是指形如f(x)=ax b的函数，其中a eq0，a和b为常数，x为自变量。
2. 基本性质•幂函数的图像形状取决于指数b的正负和大小。
当b>0且a>0时，幂函数图像在第一象限上递增；当b>0且a<0时，幂函数图像在第一象限上递减；当b<0时，幂函数图像在第一象限上有一个水平渐近线y=0。
高三数学第一周 二次函数与幂函数考点梳理
—————————— 教育资源共享 步入知识海洋 ————————二次函数与幂函数考点梳理：1．二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f (x )＝ (a ≠0)； (2)顶点式：f (x )＝ (a ≠0)； (3)零点式：f (x )＝ (a ≠0)． 2．二次函数的图象与性质二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴、顶点坐标、开口方向、值域、单调性分别是：(1)对称轴：x ＝ ； (2)顶点坐标： ；(3)开口方向：a ＞0时，开口 ，a ＜0时，开口 ； (4)值域：a ＞0时，y ∈ ，a ＜0时，y ∈ ；(5)单调性：a ＞0时，f (x )在 上是减函数，在 上是增函数；a ＜0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 上是 ，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上是________． 3．二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的零点(图象与x 轴交点的横坐标)是相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的 ，也是一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0(或ax 2＋bx ＋c ≤0)解集的 ．4．二次函数在闭区间上的最值二次函数在闭区间上必有最大值和最小值．它只能在区间的 或二次函数的 处取得，可分别求值再比较大小，最后确定最值．5．一元二次方程根的讨论(即二次函数零点的分布)设x 1，x 2是实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的两实根，则x 1，x 2的分布范围与系数之间的关系如表所示．6.幂函数(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)自查自纠1．(1)ax 2＋bx ＋c (2)a (x －h )2＋k (3)a (x －x 1)(x －x 2)2．(1)－b 2a (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a (3)向上 向下(4)⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a(5)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞ 增函数 减函数 3．根 端点值 4．端点 顶点6．{x |x ≥0} {x |x ≠0} {y |y ≥0} {y |y ≥0} {y |y ≠0} 奇 偶 奇 非奇非偶 奇(－∞，0] [0，＋∞) [0，＋∞) (－∞，0) (0，＋∞) (1，1) 练习题：1 幂函数的图象过点(2，4)，则它的单调递增区间为( ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0)∪(0，＋∞) D ．R解：令2α＝4⇒α＝2⇒y ＝x 2.单调递增区间为[0，＋∞)．故选B .2 (2015·山东)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a解：由指数函数y ＝0.6x 在(0，＋∞)上单调递减，可知0.61.5＜0.60.6，由幂函数y ＝x 0.6在(0，＋∞)上单调递增，可知0.60.6＜1.50.6，所以b ＜a ＜c .故选C .3 设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )解：由A ，C ，D 知，f (0)＝c ＜0.因为abc ＞0，所以ab ＜0，所以对称轴x ＝－b2a ＞0，知A ，C 错误，D 符合要求．由B 知f (0)＝c ＞0，所以ab ＞0，所以x ＝－b2a＜0，B 错误．故选D .4 f (x )是二次函数，且f ′(x )＝2x ＋2，若方程f (x )＝0有两个相等实根，则f (x )的解析式为f (x )＝________.解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．f ′(x )＝2ax ＋b ，所以a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ＋c .Δ＝4－4c ＝0，所以c ＝1，故f (x )＝x 2＋2x ＋1. 故填x 2＋2x ＋1.5 若方程x 2－11x ＋30＋a ＝0的两个不等实根均大于5，则实数a 的取值范围是________．解：令f (x )＝x 2－11x ＋30＋a .对称轴x ＝112，故只要⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，f （5）>0 即可，解得0<a ＜14.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14.类型一 求二次函数的解析式已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1, f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．解法一：(利用一般式) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.所以所求二次函数为y ＝－4x 2＋4x ＋7. 解法二：(利用顶点式)设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线对称轴为x ＝2＋（－1）2＝12，所以m ＝12，又根据题意，函数有最大值为8，所以n ＝8，所以f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.因为f (2)＝－1，即a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1.解之得a ＝－4. 所以f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.解法三：(利用零点式)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，即g (x )＝f (x )＋1的两个零点为2，－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值y max ＝8，即4a （－2a －1）－a24a ＝8，解之得a ＝－4，所以所求函数解析式为f (x )＝－4x 2＋4x －2×(－4)－1 ＝－4x 2＋4x ＋7.【点拨】由条件f (2)＝f (－1)及f (x )的最大值是8，根据对称性知其对称轴为x ＝12，故此题利用顶点式较为简捷．如果把2，－1看作函数g (x )＝f (x )＋1的两个零点，利用零点式求g (x )的解析式，再求f (x )的解析式也很方便．与对称轴有关的二次函数一般设为顶点式．如果与零点有关，则要注意函数的对称性及韦达定理的应用．(1)已知二次函数f (x )有两个零点0和－2，且它有最小值－1，则f (x )＝________.解：由于f (x )有两个零点0和－2， 所以可设f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)， 这时f (x )＝ax (x ＋2)＝a (x ＋1)2－a ， 由于f (x )有最小值－1，所以必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，－a ＝－1. 解得a ＝1.因此f (x )的解析式是f (x )＝x (x ＋2)＝x 2＋2x . 故填x 2＋2x.(2)二次函数的图象过点(0，1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式是y ＝________. 解：设y ＝a (x －2)2－1(a ＞0)，当x ＝0时，4a －1＝1，a ＝12，所以y ＝12(x －2)2－1＝12x 2－2x ＋1.故填12x 2－2x ＋1.(3)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________.解：因为f (x )＝bx 2＋(ab ＋2a )x ＋2a 2是偶函数，所以ab ＋2a ＝0，则a ＝0或b ＝－2，当a ＝0时，f (x )＝bx 2，值域不可能为(－∞，4]，故a ≠0，则b ＝－2，此时f (x )＝－2x 2＋2a 2.当x ＝0时，2a 2＝4，所以f (x )＝－2x 2＋4.故填－2x 2＋4.类型二 二次函数的图象与性质(1)一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )解：若a >0，则一次函数y ＝ax ＋b 为增函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向上，故可排除A ；若a ＜0，同理可排除D.对于选项B ，由直线可知a >0，b >0，从而－b2a <0，而二次函数的对称轴在y 轴的右侧，故应排除B.故选C .【点拨】本题巧妙地利用二次函数与一次函数图象经过特殊点，结合排除法解答．在遇到此类问题时，要牢记在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 的正负决定抛物线开口的方向，c 确定抛物线在y 轴上的截距，b 与a 确定顶点的横坐标(或对称轴的位置)．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ，x ≤1，ax 2＋x ，x ＞1在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞)B ．(－2，－1)C ．(－∞，－2] D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12 解：由函数f (x )＝x 2＋ax 在(－∞，1]上单调递减，得－a2≥1，即a ≤－2；由函数f (x )＝ax 2＋x 在(1，＋∞)上单调递减，得a <0且－12a ≤1，即a ≤－12.而12＋a ×1＝a ×12＋1，综上可知，a ≤－2.故选C .【点拨】对于分段二次函数的单调性，先确定各段的单调性，再确定分界点的函数值，从而确定函数在整个定义域上的单调性．(3)若函数f (x )＝x 2－2x ＋1在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，则a 的取值集合为( ) A ．[－3，3] B ．[－1，3] C ．{－3，3} D ．{－1，－3，3}解：函数f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，其图象的对称轴方程为x ＝1. 因为f (x )在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4， 令x 2－2x ＋1＝4⇒x ＝－1或3. 令a ＋2＝－1或a ＝3，得a ＝－3或3， 故a 的取值集合为{－3，3}．故选C .【点拨】(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论．(1)(2016·杭州模拟)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3，0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2＞4ac ； ②2a －b ＝1； ③a －b ＋c ＝0； ④5a ＜b . 其中正确的是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④解：因为图象与x 轴交于两点，所以b 2－4ac ＞0，即b 2＞4ac ，①正确；对称轴为x ＝－1，即－b2a ＝－1，2a －b ＝0，②错误；结合图象，当x ＝－1时，y ＞0，即a －b ＋c ＞0，③错误；由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a ，又函数图象开口向下，所以a ＜0，所以5a ＜2a ，即5a ＜b ，④正确．故选B .(2)函数f (x )＝x 2＋2ax 在[1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．[1，＋∞) C ．(－∞，－1] D ．[－1，＋∞) 解：－a ≤1⇒a ≥－1.故选D .(3)已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a (x ∈[0，1])有最大值2，则a ＝________. 解：函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，其图象的对称轴方程为x ＝a . 当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ，所以1－a ＝2，所以a ＝－1.当0≤a ≤1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1，所以a 2－a ＋1＝2，所以a 2－a －1＝0，所以a ＝1±52(舍去)．当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，所以a ＝2. 综上可知，a ＝－1或a ＝2.故填－1或2.类型三 二次方程根的分布已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的取值范围； (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的取值范围．解：(1)条件说明抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，作出函数f (x )的大致图象，得⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝2m ＋1<0，f （－1）＝2>0，f （1）＝4m ＋2<0，f （2）＝6m ＋5>0⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧m <－12，m ∈R ，m <－12，m >－56.所以－56<m <－12.故m 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |－56＜m ＜－12.(2)由抛物线与x 轴交点落在区间(0，1)内，作出函数f (x )的大致图象，得⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝2m ＋1>0，f （1）＝4m ＋2>0，Δ＝（2m ）2－4（2m ＋1）≥0，0<－m <1.⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧m >－12，m >－12，m ≥1＋2或m ≤1－2，－1<m <0.所以－12<m ≤1－ 2.故m 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |－12＜m ≤1－2.【点拨】对一元二次方程根的问题的研究，主要分三个方面：(1)根的个数问题，由判别式判断；(2)正负根问题，由判别式及韦达定理判断；(3)根的分布问题，依函数与方程思想，通过考查开口方向、对称轴、判别式、端点函数值等数形结合求解(详见“考点梳理”)．(1)如果方程(1－m 2)x 2＋2mx －1＝0的两个根一个小于零，另一个大于1，则m 的取值范围为________．解：令f (x )＝(1－m 2)x 2＋2mx －1，因为f (0)＝－1，所以f (x )图象过定点(0，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m 2＞0，f （1）＜0， 解得－1<m <0.故填(－1，0)．(2)若抛物线y ＝x 2＋ax ＋2与连接两点M (0，1)，N (2，3)的线段(包括M 、N 两点)有两个相异的交点，则实数a 的取值范围为________．解：过两点(0，1)、(2，3)的直线方程为y ＝x ＋1，而抛物线y ＝x 2＋ax ＋2与线段MN 有两个交点就是方程x 2＋ax ＋2＝x ＋1在区间[0，2]上有两个不等的实根．令f (x )＝x 2＋(a －1)x ＋1.则⎩⎪⎨⎪⎧0<－a ＋12<2，Δ＝（a －1）2－4>0，f （0）＝1≥0，f （2）＝2a ＋3≥0.解得－32≤a ＜－1，所以a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，－1. 故填⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，－1. 类型四 二次函数的综合应用(1)(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则1mi i x =∑＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m解：由f(x)＝f(2－x)知函数f(x)的图象关于直线x ＝1对称．又y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|的图象也关于直线x ＝1对称，所以这两函数的交点也关于直线x ＝1对称．不妨设x 1<x 2<…<x m ，则x 1＋x m2＝1，即x 1＋x m ＝2，同理有x 2＋x m －1＝2，x 3＋x m －2＝2，…，又1mii x =∑=x m+xm -1+…+x 1，所以21mii x =∑=（x 1+x m ）+（x 2+xm -1）+…+（x m +x 1）=2m ，所以1mi i x =∑=m .故选B .(2)设f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝2x.若对任意的x ∈[a ，a ＋2]，不等式f (x ＋a )≥[f (x )]2恒成立，则实数a 的取值范围是________．解：由题知函数f (x )＝2|x |，故f (x ＋a )≥[f (x )]2，即2|x ＋a |≥(2|x |)2＝22|x |，即|x ＋a |≥2|x |，即3x 2－2ax－a 2≤0对任意的x ∈[a ，a ＋2]恒成立．令g (x )＝3x 2－2ax －a 2，则只要g (a )≤0且g (a ＋2)≤0即可，g (a )＝0，满足要求，g (a ＋2)＝3(a ＋2)2－2a (a ＋2)－a 2＝8a ＋12≤0，即a ≤－32.故填⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32.【点拨】(1)由对称性求解；(2)把问题转化为一元二次不等式恒成立问题，结合二次函数图象得出关于a 的不等式，解不等式即得a 的取值范围．(1)(2016·九江模拟)已知f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4，如果对x ∈[－3，1]，f (x )＞0恒成立，则实数a 的取值范围为________．(2)(2017·枣庄一模)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，如果函数g (x )＝f (x )－m (m ∈R)恰有4个零点，则m 的取值范围是________．解：(1)因为f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4，对称轴x ＝－(a －2)，对x ∈[－3，1]，f (x )＞0恒成立， 所以讨论对称轴与区间[－3，1]的位置关系得：⎩⎪⎨⎪⎧－（a －2）＜－3，f （－3）＞0， 或⎩⎪⎨⎪⎧－3≤－（a －2）≤1，Δ＜0， 或⎩⎪⎨⎪⎧－（a －2）＞1，f （1）＞0， 解得a ∈∅或1≤a ＜4或－12＜a ＜1，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，4.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，4.(2)函数g (x )＝f (x )－m (m ∈R)恰有4个零点可化为函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝m 恰有4个交点，作函数y ＝f (x )与y ＝m 的图象如图所示，故m 的取值范围是(－1，0)．故填(－1，0)．类型五 幂函数的图象和性质(1)(2017·济南诊断测试)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α等于( )A.12 B ．1 C.32D ．2 解：由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32.故选C .(2)若(2m ＋1)12>(m 2＋m －1)12，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－5－12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，＋∞C ．(－1，2) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，2解：因为函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1≥0，m 2＋m －1≥0，2m ＋1＞m 2＋m －1.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－12，m ≤－5－12或m ≥5－12，－1＜m ＜2，即5－12≤m ＜2.故选D . 【点拨】(1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(2)α的正负：当α>0时，图象过原点和(1，1)，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，过(1，1)，在第一象限的图象下降；(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握常见的几个幂函数的图象和性质是解题的关键．(1)若幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)，则幂函数y ＝f (x )的图象大致是( )(2)已知幂函数f (x )＝x- m 2 - 2m + 3(m ∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，则f (2)的值为________．解：(1)令f (x )＝x α，则4α＝2，所以α＝12，所以f (x )＝x 12.故选C .(2)根据幂函数性质可得－m 2－2m ＋3>0，即m 2＋2m －3<0，解得－3<m <1.又m ∈Z ，所以m ＝－2，－1，0.当m ＝－2时，－m 2－2m ＋3＝3，不合题意；当m ＝－1时，－m 2－2m ＋3＝4，符合题意；当m ＝0时，－m 2－2m＋3＝3，不合题意．所以f (x )＝x 4，所以f (2)＝24＝16.故填16. 点睛：1．求二次函数的解析式利用已知条件求二次函数的解析式常用的方法是待定系数法，但须根据不同条件选取适当形式的f (x )，一般规律是：①已知三个点的坐标时，常用一般式；②已知抛物线的顶点坐标、对称轴、最大(小)值时，常用顶点式； ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，常选用零点式． 2．含有参数的二次函数在闭区间上的最值或值域二次函数在区间[m ，n ]上的最值或值域问题，通常有两种类型：其一是定函数(解析式确定)，动区间(区间的端点含有参数)；其二是动函数(解析式中含有参数)，定区间(区间是确定的)．无论哪种情况，解题的关键都是抓住“三点一轴”，“三点”即区间两端点与区间中点，“一轴”即为抛物线的对称轴．对于动函数、动区间的类型同样是抓住“三点一轴”，只不过讨论要复杂一些而已．3．二次函数的综合应用解二次函数的综合应用问题，要充分应用二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的密切关系，对所求问题进行等价转化，要注意f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的结构特点和a ，b ，c 的几何意义(可结合解析几何中的抛物线方程x 2＝±2py 理解a 的几何意义)，注意一些特殊点的函数值，如f (0)＝c ，f (1)＝a ＋b ＋c ，f (－1)＝a －b ＋c 等．4．幂函数的图象特征与指数的大小关系，大都可通过幂函数的图象与直线x ＝2或x ＝12的交点纵坐标的大小反映．一般地，在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大、图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，图象越远离x 轴(不包括幂函数y ＝x 0)．5．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，则要看函数的定义域和奇偶性．函数的图象最多只能同时出现在两个象限内，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．6．判断一个函数是否为幂函数，一定要根据幂函数定义给出的“标准”形式y ＝x α(α∈R)．课时作业：1．已知幂函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则log 2f (2)＝( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2 解：设幂函数为f (x )＝x α，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，所以f (x )＝x ，所以f (2)＝2，所以log 2f (2)＝log 22＝12.故选A .2．(2016·湖北孝感调研)函数f (x )＝(m 2－m －1)x m是幂函数，且在(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值是( )A ．－1B ．2C ．3D ．－1或2解：f (x )＝(m 2－m －1)x m 是幂函数⇒m 2－m －1＝1⇒m ＝－1或m ＝2.又f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以m＝2.故选B .3．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，－2]时是减函数，则f (1)等于( )A ．－3B ．13C ．7D ．5解：由题意知f (x )的对称轴x ＝m 4，要使f (x )在[－2，＋∞)上是增函数，在(－∞，－2]上是减函数，则m4＝－2，所以m ＝－8，所以f (1)＝2＋8＋3＝13.故选B .4．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3在区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．[0，2] C ．(－∞，2] D ．[1，2]解：由题可知f (0)＝3，f (1)＝2，f (2)＝3，结合图象可知1≤m ≤2.故选D .5．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月内生产某种商品x 万件的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(单位：万元)，1万件商品售价是20万元，为获得最大利润，该企业一个月应生产该商品的数量为( )A ．36万件B ．18万件C ．22万件D ．9万件解：利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )取得最大值．故选B .6．(2017·焦作模拟)函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f （x ）x在区间(1，＋∞)上一定( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数解：因为f (x )＝x 2－2ax ＋a 在(－∞，1)上有最小值，且f (x )关于x ＝a 对称，所以a <1，则g (x )＝x ＋a x－2a (x >1)．若a ≤0，则g (x )在(1，＋∞)上是增函数，若0<a <1，则g (x )在(a ，＋∞)上是增函数，所以g (x )在(1，＋∞)上是增函数，综上可得g (x )＝x ＋a x－2a 在(1，＋∞)上是增函数．故选D .7．已知函数y ＝ln(x 2＋ax －1＋2a )的值域为R ，则a 的取值范围是________．解：令t ＝g (x )＝x 2＋ax －1＋2a ，要使函数y ＝ln t 的值域为R ，则说明(0，＋∞)⊆{y |y ＝g (x )}，即二次函数g (x )的判别式Δ≥0，即a 2－4(2a －1)≥0，即a 2－8a ＋4≥0，解得a ≥4＋23或a ≤4－2 3.故填(－∞，4－23]∪[4＋23，＋∞)．8．(2015·衡水模拟)函数f (x )＝x 2＋2x ，若f (x )>a 在区间[1，3]上满足： ①恒有解，则实数a 的取值范围为________； ②恒成立，则实数a 的取值范围为________．解：①f (x )>a 在区间[1，3]上恒有解，则a <f (x )max ，又f (x )＝x 2＋2x 且x ∈[1，3]，当x ＝3时，f (x )max＝15，故a 的取值范围为a <15.②f (x )>a 在区间[1，3]上恒成立，则a <f (x )min ，又因f (x )＝x 2＋2x 且x ∈[1，3]，当x ＝1时，f (x )min ＝3，故a 的取值范围为a <3.故填(－∞，15)；(－∞，3)．9．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R)，x ∈R.(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的取值范围．解：(1)由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝－1，f （－1）＝a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2. 所以f (x )＝x 2＋2x ＋1.由f (x )＝(x ＋1)2知，函数f (x )的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]． (2)由题知，x 2＋2x ＋1>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，即k <x 2＋x ＋1在区间[－3，－1]上恒成立， 令g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，由g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34知g (x )在区间[－3，－1]上是减函数，则g (x )min ＝g (－1)＝1，所以k <1，故k 的取值范围是(－∞，1)．10．已知函数f (x )＝ax 2＋bx －1(a ，b ∈R 且a >0)有两个零点，其中一个零点在区间(1，2)内，求a －b 的取值范围．解：易知x 1x 2＝－1a<0，即两根为一正一负，若一个零点在区间(1，2)内，则⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝a ＋b －1<0，f （2）＝4a ＋2b －1>0，a ＞0，如图，作出点(a ，b )对应的平面区域，易知点A (0，1)使得目标函数z ＝a －b 取得最小值，由于边界为虚线，故有z >－1，即a －b 的取值范围为(－1，＋∞)．(2017·长沙一中期中测试)函数f (x )＝(m 2－m －1)x 4m 9 - m 5+3是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0，+∞)，且x 1≠x 2，满足f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，若a ，b ∈R ，且a ＋b >0，则f (a )＋f (b )的值( )A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断解：依题意，幂函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －1＝1，4m 9－m 5＋3＞0，解得m ＝2，则f (x )＝x 2 019.所以函数f (x )＝x 2 019在R 上是奇函数，且为增函数．由a ＋b >0，得a >－b ，所以f (a )>f (－b )，则f (a )＋f (b )>0.故选A .课时作业二：1．函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在(－∞，4]上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3] B ．[－3，＋∞) C ．(－∞，5] D ．[5，＋∞)解：函数f (x )图象的对称轴方程是x ＝1－a ，要使函数f (x )在(－∞，4]上是减函数，则1－a ≥4，即a ≤－3.故选A .2．已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)xn 2- 3n(n ∈Z)在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或2解：因为幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x n 2- 3n在(0，＋∞)上是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋2n －2＝1，n 2－3n ＜0， 所以n ＝1.故选B .3．(2016·成都模拟)若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－254，－4，则m 的取值范围是( ) A ．(0，4] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 解：二次函数y ＝x 2－3x －4图象的对称轴是x ＝32，开口向上，最小值是y min ＝－254，在x ＝32处取得，所以由函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－254，－4，可知m 应该在对称轴的右边，当函数值是－4时，对应的自变量的值是x ＝0或x ＝3，如果m 比3大，那么函数值就超出⎣⎢⎡⎦⎥⎤－254，－4这个范围，所以m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3.故选B . 4．(2016·温州模拟)方程x 2＋ax －2＝0在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ B ．(1，＋∞) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1 D ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－235 解法一：令f (x )＝x 2＋ax －2，而f (0)＝－2，故只要⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≤0，f （5）≥0， 解得－235≤a ≤1.解法二：由a ＝2x －x 在区间[1，5]上单调递减知a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1.故选C . 5．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 与其导函数f ′(x )在同一坐标系内的图象可能是( )A B C D解：若二次函数f (x )的图象开口向上，则导函数f ′(x )为增函数，排除A ；同理排除D ；若f ′(x )＝2ax ＋b 过原点，则b ＝0，则y ＝f (x )的对称轴为y 轴，排除B.故选C .6．(2016·揭阳测试)已知f (x )＝2x 2＋px ＋q ，g (x )＝x ＋4x 是定义在集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1≤x ≤52上的两个函数．对任意的x ∈M ，存在常数x 0∈M ，使得f (x )≥f (x 0)，g (x )≥g (x 0)，且f (x 0)＝g (x 0)．则函数f (x )在集合M 上的最大值为( )A ．4 B.92 C ．6 D.892解：利用导数可知函数g (x )＝x ＋4x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52上的最小值为4，最大值为5，对任意的x ∈M ，存在常数x 0∈M ，使得g (x )≥g (x 0)，则g (x 0)＝g (x )min ＝4，此时x 0＝2.根据题意知，f (x )min ＝f (x 0)＝4，即二次函数f (x )＝2x 2＋px ＋q 的顶点坐标为(2，4)，因此f (x )＝2(x －2)2＋4，在集合M 上的最大值为f (1)＝6.故选C .7．已知幂函数f (x )＝x -12，若f (a ＋1)＜f (10－2a )，则a 的取值范围是________．解：因为f (x )＝x -12＝1x(x ＞0)，易知x ∈(0，＋∞)时为减函数，又f (a ＋1)＜f (10－2a )，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞0，10－2a ＞0，a ＋1＞10－2a ，所以3＜a ＜5.故填(3，5)．8．已知函数f (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋b ，满足f (3)＝3，且f (x )≥x 恒成立，则a ＋b ＝________. 解：f (3)＝3，则9＋3(a ＋1)＋b ＝3，即b ＝－3a －9.f (x )≥x 恒成立，即x 2＋(a ＋1)x ＋b －x ≥0恒成立．所以x 2＋ax ＋b ≥0恒成立，所以a 2－4b ≤0，将b ＝－3a －9代入得(a ＋6)2≤0，a ＝－6.所以b ＝9，a ＋b ＝3.故填3.9．(2016·汕头一中月考)已知函数f (x )是二次函数，不等式f (x )<0的解集是(0，5)，且f (x )在区间[－1，4]上的最大值为12.(1)求f (x )的解析式；(2)设函数f (x )在[t ，t ＋1]上的最小值为g (t )，求g (t )的表达式． 解：(1)因为f (x )是二次函数，且f (x )＜0的解集是(0，5)， 所以可设f (x )＝ax (x －5)(a ＞0)，所以f (x )在区间[－1，4]上的最大值是f (－1)＝6a . 由已知得6a ＝12，所以a ＝2， 所以f (x )＝2x (x －5)＝2x 2－10x .(2)由(1)知f (x )＝2x 2－10x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522－252，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝52.①当t ＋1≤52，即t ≤32时，f (x )在[t ，t ＋1]上单调递减，所以g (t )＝2(t ＋1)2－10(t ＋1)＝2t 2－6t －8； ②当t ≥52时，f (x )在[t ，t ＋1]上单调递增，所以g (t )＝2t 2－10t ；③当t ＜52＜t ＋1，即32＜t ＜52时，f (x )在x ＝52处取得最小值，所以g (t )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－252. 综上所述，g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t 2－6t －8，t ≤32，－252，32＜t ＜52，2t 2－10t ，t ≥52.10．(2016·汕头一中月考)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，b ∈R ，c ∈R)．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ＞0，－f （x ），x ＜0， 求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b 的取值范围． 解：(1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2.所以f (x )＝(x ＋1)2.所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2，x ＞0，－（x ＋1）2，x ＜0. 所以F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0，1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x－x 在(0，1]上恒成立．又1x －x 的最小值为0，－1x－x 的最大值为－2.所以－2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2，0]．(2017·兰州调研)已知f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)．(1)求f (x )的最小值；(2)若f (x )≥－1恒成立，求a 的取值范围；(3)若f (x )＝0的两根都在[0，1]内，求a 的取值范围．解：(1)①当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0，1]上递减，所以f (x )min ＝f (1)＝－2.②当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向上，且对称轴为x ＝1a.当0<1a≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的对称轴在[0，1]内，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1a 上递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，1上递增．所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＝1a －2a＝－1a.当1a>1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的对称轴在[0，1]的右侧，所以f (x )在[0，1]上递减．所以f (x )min ＝f (1)＝a －2.③当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a<0，在y 轴的左侧，所以f (x )＝ax 2－2x 在[0，1]上递减． 所以f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a ＜1，－1a，a ≥1.(2)只需f (x )min ≥－1，即可．由(1)知，当a <1时，a －2≥－1，所以a ≥1(舍去)；当a ≥1时，－1a≥－1恒成立，所以a ≥1.故a 的取值范围为[1，＋∞)．(3)由题意知f (x )＝0时，x ＝0，x ＝2a(a ≠0)，0∈[0，1]，所以0<2a≤1，所以a ≥2.故a 的取值范围为[2，＋∞)．2．5 指数函数1．根式(1)n 次方根：如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的 ，其中n ＞1，且n ∈N *.①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个 数，负数的n 次方根是一个 数，这时a 的n 次方根用符号 表示．②当n 为偶数时，正数的n 次方根有 个，这两个数互为 ．这时，正数a 的正的n 次方根用符号 表示，负的n 次方根用符号 表示．正的n 次方根与负的n 次方根可以合并写成 ．③负数没有偶次方根．④0的n (n ∈N *)次方根是 ，记作 ．(2)根式：式子na 叫做根式，这里n 叫做 ，a 叫做 ． (3)根式的性质：n 为奇数时，na n＝ ；n 为偶数时，na n ＝ .2．幂的有关概念及运算(1)零指数幂：a 0＝ .这里a 0. (2)负整数指数幂：a －n＝ (a ≠0，n ∈N *)．(3)正分数指数幂：a mn ＝ (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)．(4)负分数指数幂：a -m n ＝ (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)．(5)0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂 ． (6)有理指数幂的运算性质 ⎩⎪⎨⎪⎧a r a s＝ （a ＞0，r ，s ∈Q ），（a r ）s＝ （a ＞0，r ，s ∈Q ），（ab ）r ＝ （a ＞0，b >0，r ∈Q ）.3自查自纠1．(1)n 次方根 ①正 负 na②两 相反数na －n a ±n a ④0 n0＝0(2)根指数 被开方数 (3)a |a | 2．(1)1 ≠ (2)1an (3)n a m(4)1na m(5)0 没有意义 (6)a r ＋sa rs a rb r3．R (0，＋∞) (0，1) 增函数 减函数－(0.01)－0.5＋0.2－2＝( )A ．－15B ．10C ．15D ．25解：原式＝－(10－2)－12＋(5－1)－2＝－10＋52＝15.故选C .函数y ＝ax －3＋3(a ＞0且a ≠1)的图象过定点( )A ．(3，3)B ．(3，4)C ．(0，3)D ．(0，4)解：当x ＝3时，无论a 取何值y ＝4，故过定点(3，4)．故选B .(2016·北京)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1y>0 B ．sin x －sin y >0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0 D ．ln x ＋ln y >0 解：y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 单调递减，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0⇔x >y .故选C .设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜1，x 12，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．解：当x <1时，ex －1≤2，即ex －1≤e ln2，得x ≤1＋ln2，所以x <1；当x ≥1时，x 12≤2＝412，得x ≤4，所以1≤x ≤4.综上，x ≤4.故填(－∞，4]．(2015·山东)已知函数f (x )＝a x＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________.解：若0<a <1，则f (x )在区间[－1，0]上为减函数，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2.若a >1，则f (x )在区间[－1，0]上为增函数，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，无解．所以a ＋b ＝12－2＝－32.故填－32.类型一 指数幂的运算(1)化简求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23＋(0.002) －12－10(5－2)－1＋(2－3)0；(2)211113322·a b---（）；(3)已知a 12＋a -12＝3，则a 2＋a －2＋1a ＋a －1＋1＝________. 解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1500－12－105－2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－82723＋50012－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.(2)原式＝111111111533223262361566·····ab a baba b-----+-=＝1a.(3)将a 12＋a －12＝3两边平方，得a ＋a －1＋2＝9，所以a ＋a －1＝7.将a ＋a －1＝7两边平方，得a 2＋a －2＋2＝49，所以a 2＋a －2＝47，所以a 2＋a －2＋1a ＋a －1＋1＝47＋17＋1＝6.故填6.【点拨】指数幂运算的一般原则：(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．(1)化简求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫214－12－(0.01)0.5；(2)化简：4a 23b －13÷113323a b --⎛⎫- ⎪⎝⎭；(3)已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a ＞b ＞0，则a －ba ＋b＝________.解：(1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫4912－⎝ ⎛⎭⎪⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝21113333·ab+-+（-6）＝－6a .(3)由已知得，a ＋b ＝6，ab ＝4，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b a ＋b 2＝a ＋b －2ab a ＋b ＋2ab ＝6－46＋4＝15. 因为a ＞b ＞0，所以a ＞b ，所以a －b a ＋b ＝55.故填55.类型二 指数函数的图象及应用(1)函数f (x )＝ax －b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜0解：由图象知f (x )是减函数，所以0＜a ＜1，又由图象在y 轴的截距小于1可知a －b＜1，即－b ＞0，所以b ＜0.故选D .(2)(2015·湖南)若函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________．解：令|2x－2|－b ＝0，得|2x－2|＝b ，令y ＝|2x－2|，y ＝b ，其函数图象有两个交点，结合函数图象可知，0<b <2，即b ∈(0，2)．故填(0，2)．【点拨】①对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．②有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．(1)函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )解：f (x )＝1－e |x |是偶函数，图象关于y 轴对称，又e |x |≥1，所以f (x )的值域为(－∞，0]，因此排除B 、C 、D ，只有A 满足．故选A .(2)(2017·福建五校联考)定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b ， 则函数f (x )＝1⊕2x的图象是( )解：因为当x ≤0时，2x≤1；当x >0时，2x>1.则f (x )＝1⊕2x＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，1，x ＞0， 图象A 满足．故选A . 类型三 指数函数的综合问题已知函数f (x )＝b ·a x(其中a ，b 为常数，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1，6)，B (3，24)． (1)试确定f (x )；(2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x－m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)因为f (x )＝b ·a x的图象过点A (1，6)，B (3，24)，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ·a ＝6， ①b ·a 3＝24， ② ②÷①得a 2＝4，又a >0且a ≠1，所以a ＝2，b ＝3， 所以f (x )＝3·2x.(2)由(1)知⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x －m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立可化为m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在x ∈(－∞，1]时恒成立．令g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x， 则g (x )在(－∞，1]上单调递减，所以m ≤g (x )min ＝g (1)＝12＋13＝56，故所求实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，56. 【点拨】解决指数函数的综合问题，首先要熟练掌握指数函数的基本性质，如函数值恒正，在R 上单调，过定点等；对于底数a 与1的大小关系不明确的，要分类讨论；涉及零点问题往往要数形结合；不同底的往往要化同底，并注意换元思想的应用．(1)若函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在[－2，2]上的函数值总小于2，则实数a 的取值范围是________．(2)若不等式1＋2x ＋4x·a >0在x ∈(－∞，1]时恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解：(1)要使函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在[－2，2]上的函数值总小于2， 只需f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在[－2，2]上的最大值小于2.当a >1时，f (x )max ＝a 2<2，解得1<a <2；当0<a <1时，f (x )max ＝a －2<2，解得22<a <1.所以a ∈⎝⎛⎭⎪⎫22，1∪(1，2)． 故填⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1∪(1，2)．(2)从已知不等式中分离出实数a ，得a >－[⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x]．因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上都是减函数，所以当x ∈(－∞，1]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ≥14，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≥12，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≥14＋12＝34，从而得－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤－34.故a >－34.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞. 点睛：1．指数函数的图象、性质在应用时，如果底数a 的取值范围不确定，则要对其进行分类讨论．2．比较两个幂的大小，首先要分清是底数相同还是指数相同．如果底数相同，可利用指数函数的单调性；如果指数相同，可转化为底数相同，或利用幂函数的单调性，也可借助函数图象；如果指数不同，底数也不同，则要利用中间量．3．作指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的图象应抓住三个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a ，(0，1)，(1，a )．课时作业：1．计算1.5－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋80.25×42－⎝ ⎛⎭⎪⎫2323＝( ) A ．0 B ．1 C. 2 D ．2解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＋234×214－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝2.故选D . 2．(2016·海南中学模拟)已知函数f (x )＝4＋2a x －1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过点P ，则点P 的坐标是( )A ．(1，6)B ．(1，5)C ．(0，5)D ．(5，0)解：当x ＝1时，f (1)＝6，与a 无关，所以函数f (x )＝4＋2a x －1的图象恒过点P (1，6)．故选A .3．(2017·德州一模)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，则( ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．c <a <b D ．b <c <a解：因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x在R 上为减函数，35>25，所以b <c .又因为y ＝x 25在(0，＋∞)上为增函数，35>25，所以a >c ，所以b <c <a .故选D .4．(2017·衡水中学模拟)若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x，b ＝x 2，c ＝log 23x ，则当x >1时，a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <a <bB ．c <b <aC ．a <b <cD ．a <c <b解：当x >1时，0<a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x <23，b ＝x 2>1，c ＝log 23x <0，所以c <a <b .故选A .5．(2017·西安调研)若函数f (x )＝a|2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解：由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．故选B .6．(2017·宜宾诊断检测)已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1，x ∈(0，4)，当x ＝a 时，f (x )取得最小值b ，则函数g (x )＝a|x ＋b |的图象为( )解：因为x ∈(0，4)，所以x ＋1>1，所以f (x )＝x ＋1＋9x ＋1－5≥6－5＝1，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝2时，取等号．所以a ＝2，b ＝1.因此g (x )＝2|x ＋1|，该函数图象由y ＝2|x |向左平移一个单位得到，结合图象知A 正确．故选A .7．(2017·北京丰台一模)已知奇函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ＞0，g （x ），x ＜0.如果f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)对应的图象如图所示，那么g (x )＝________.解：依题意，f (1)＝12，所以a ＝12，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x >0.当x <0时，－x >0.所以g (x )＝－f (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝－2x .故填－2x(x<0)．8．(2017·安徽江淮十校联考)已知max(a ，b )表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e|x －2|}，则f (x )的最小值为________．解：作y ＝|x |与y ＝|x －2|的图象知两图象交于点(1，1)，从而易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥1，e |x －2|，x ＜1.当x ≥1时，f (x )＝e x ≥e(x ＝1时，取等号)，当x <1时，f (x )＝e|x －2|＝e2－x>e ，因此x ＝1时，f (x )有最小值f (1)＝e.故填e .9．设a ＞0且a ≠1，函数y ＝a 2x＋2a x－1在[－1，1]上的最大值是14，求a 的值． 解：令t ＝a x(a ＞0且a ≠1)， 则原函数化为y ＝(t ＋1)2－2(t ＞0)．①当0＜a ＜1时，x ∈[－1，1]，t ＝a x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ，此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上为增函数．所以f (t )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12－2＝14. 解得a ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＝－15舍去. ②当a ＞1时，x ∈[－1，1]，t ＝a x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ，此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上为增函数． 所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(a ＝－5舍去)．综上得a ＝13或3.10．已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3(a >0，且a ≠1)．(1)讨论f (x )的奇偶性；(2)求a 的取值范围，使f (x )>0在定义域上恒成立．解：(1)由于a x－1≠0，则a x ≠1，得x ≠0，所以函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}．对于定义域内任意x ，有f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x －1＋12(－x )3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a x1－a x ＋12(－x )3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－1a x －1＋12(－x )3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3＝f (x )． 所以f (x )是偶函数． (2)由(1)知f (x )为偶函数， 所以只需讨论x >0时的情况． 当x >0时，要使f (x )>0，即⎝⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3>0，即1a x －1＋12>0，即a x＋12（a x－1）>0，则a x>1. 又因为x >0，所以a >1.因此a >1时，f (x )>0. 故a 的取值范围为(1，＋∞)．11．(2017·天津期末)已知函数f (x )＝e x －e －x(x ∈R ，且e 为自然对数的底数)． (1)判断函数f (x )的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．解：(1)因为f (x )＝e x－⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ，所以f ′(x )＝e x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x，所以f ′(x )>0对任意x ∈R 都成立，所以f (x )在R 上是增函数．又因为f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x －e x＝－f (x )，所以f (x )是奇函数． (2)存在．由(1)知f (x )在R 上是增函数和奇函数， 则f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立，。
高中 幂函数与二次函数知识点+例题+练习 含答案
教学内容幂函数与二次函数教学目标了解幂函数与二次函数的形式重点幂函数与二次函数难点幂函数与二次函数教学准备教学过程幂函数与二次函数知识梳理1．幂函数(1)幂函数的定义形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)常见的5种幂函数的图象2.二次函数(1)二次函数的定义形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数．(2)二次函数的三种常见解析式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，(m，n)为顶点坐标；③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)其中x1，x2分别是f(x)＝0的两实根．教学效果分析教学过程(3)二次函数的图象和性质函数二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)图象a>0a<0定义域R R值域y∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac－b24a，＋∞y∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac－b24a对称轴x＝－b2a顶点坐标⎝⎛⎭⎪⎫－b2a，4ac－b24a奇偶性b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数递增区间⎝⎛⎭⎪⎫－b2a，＋∞⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－b2a递减区间⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－b2a⎝⎛⎭⎪⎫－b2a，＋∞最值当x＝－b2a时，y有最小值y min＝4ac－b24a当x＝－b2a时，y有最大值y max＝4ac－b24a辨析感悟1．对幂函数的认识(1)函数f(x)＝x2与函数f(x)＝2x2都是幂函数．( )(2)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)．( )(3)幂函数的图象不经过第四象限．( )2．对二次函数的理解(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．( )(5)(教材习题改编)函数f(x)＝12x2＋4x＋6，x∈[0,2]的最大值为16，最小值为－2.( )教学效果分析教学过程[感悟·提升]三个防范一是幂函数的图象最多出现在两个象限内，一定会经过第一象限，一定不经过第四象限，若与坐标轴相交，则交点一定是原点，但并不是都经过(0,0)点，如(2)、(3)．二是二次函数的最值一定要注意区间的限制，不要盲目配方求得结论，如(5)中的最小值就忽略了函数的定义域．考点一幂函数的图象与性质的应用【例1】(1)(2014·济南模拟)已知幂函数y＝f(x)的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫12，22，则log4f(2)的值为________．(2)函数y＝13x的图象是________．规律方法(1)幂函数解析式一定要设为y＝xα(α为常数)的形式；(2)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．【训练1】比较下列各组数的大小：⑴121.1，120.9，1；⑵2322⎛⎫- ⎪⎝⎭，23107-⎛⎫- ⎪⎝⎭，()431.1-.教学效果分析教学过程考点二二次函数的图象与性质【例2】(2013·浙江七校模拟)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.其中正确的是________．规律方法解决二次函数的图象问题有以下两种方法：(1)排除法，抓住函数的特殊性质或特殊点；(2)讨论函数图象，依据图象特征，得到参数间的关系．【训练2】(2012·山东卷改编)设函数f(x)＝1x，g(x)＝－x2＋bx，若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2________0，y1＋y2________0(比较大小)．教学效果分析教学过程1．对于幂函数的图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x分区域．根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．2．二次函数的综合应用多涉及单调性与最值或二次方程根的分布问题，解决的主要思路是等价转化，多用到数形结合思想与分类讨论思想．3．对于与二次函数有关的不等式恒成立或存在问题注意等价转化思想的运用．答题模板2——二次函数在闭区间上的最值问题【典例】(12分)(经典题)求函数f(x)＝－x(x－a)在x∈[－1,1]上的最大值．[反思感悟] (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键是对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．(2)部分学生易出现两点错误：①找不到分类的标准，无从入手；②书写格式不规范，漏掉结论答题模板第一步：配方，求对称轴.第二步：分类，将对称轴是否在给定区间上分类讨论.第三步：求最值.第四步：下结论.【自主体验】已知函数f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]内有一个最大值－5，求a的值．教学效果分析。
专题08 幂函数与二次函数(学生版)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇
【考点预测】1.高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇专题08幂函数与二次函数幂函数的定义一般地，()a y x a R =∈(a 为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数.2.幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数①a x 的系数为1；②a x 的底数是自变量；③指数为常数.(3)幂函数的图象和性质3.常见的幂函数图像及性质：函数y x=2y x =3y x =12y x=1y x -=图象定义域R R R {|0}x x ≥{|0}x x ≠值域R {|0}y y ≥R {|0}y y ≥{|0}y y ≠奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性在R上单调递增在(0)-∞，上单调递减，在(0+)∞，上单调递增在R 上单调递增在[0+)∞，上单调递增在(0)-∞，和(0+)∞，上单调递减公共点(11)，4.二次函数解析式的三种形式（1）一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠；（2）顶点式：2()()(0)f x a x m n a =-+≠；其中，(,)m n 为抛物线顶点坐标，x m =为对称轴方程.（3）零点式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠，其中，12,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标.5．二次函数的图像二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是一条抛物线，对称轴方程为2bx a=-，顶点坐标为24(,)24b ac b a a--.（1）单调性与最值①当0a >时，如图所示，抛物线开口向上，函数在(,2b a -∞-上递减，在[,)2ba-+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a-=；②当0a <时，如图所示，抛物线开口向下，函数在(,]2ba -∞-上递增，在[,)2b a -+∞上递减，当2b x a =-时，；2max 4()4ac b f x a-=.（2）与x 轴相交的弦长当240b ac ∆=->时，二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像与x 轴有两个交点11(,0)M x 和22(,0)M x ，1212||||M M x x =-==.6.二次函数在闭区间上的最值闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.对二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，当0a >时，()f x 在区间[,]p q 上的最大值是M ，最小值是m ，令02p qx +=：（1）若2bp a-≤，则(),()m f p M f q ==；（2）若02b p x a <-<，则(()2bm f M f q a =-=；（3）若02b x q a ≤-<，则(),()2bm f M f p a=-=；（4）若2bq a-≥，则(),()m f q M f p ==.【方法技巧与总结】1.幂函数()a y x a R =∈在第一象限内图象的画法如下：①当0a <时，其图象可类似1y x -=画出；②当01a <<时，其图象可类似12y x =画出；③当1a >时，其图象可类似2y x =画出．2．实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根符号与系数之间的关系（1）方程有两个不等正根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩（2）方程有两个不等负根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩（3）方程有一正根和一负根，设两根为12,x x ⇔120cx x a=<3.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的分布问题一般情况下需要从以下4个方面考虑：（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴2bx a=-与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.设12,x x 为实系数方程20(0)ax bx c a ++=>的两根，则一元二次20(0)ax bx c a ++=>的根的分布与其限定条件如表所示.根的分布图像限定条件12m x x <<02()0b m a f m ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩12x m x <<()0f m <y（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.【题型归纳目录】题型一：幂函数的定义及其图像题型二：幂函数性质的综合应用题型三：二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根分布及条件题型四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题【典例例题】题型一：幂函数的定义及其图像例1．（2022·全国·高三专题练习）幂函数()()22121m f x m m x -=-+在()0,∞+上为增函数，则实数m 的值为（）A ．2-B ．0或2C ．0D ．2例2．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数pq y x =（p ，q ∈Z 且p ，q 互质）的图象关于y 轴对称，如图所示，则（）A ．p ，q 均为奇数，且0p q >B ．q 为偶数，p 为奇数，且0p q <C ．q 为奇数，p 为偶数，且0p q >D ．q 为奇数，p 为偶数，且0p q<例3．（2022·海南·文昌中学高三阶段练习）已知幂函数()()a f x x a R =∈过点A （4，2），则f （14）=___________.例4．（2022·黑龙江·哈九中高三开学考试（文））已知幂函数()f x 的图象过点()8,2--，且()()13f a f a +≤--，则a 的取值范围是______．例5．（2022·全国·高三专题练习）如图是幂函数i y x α=（αi ＞0，i ＝1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，其中α1＝3，α2＝2，α3＝1，412α=，513α=，已知它们具有性质：①都经过点（0，0）和（1，1）；②在第一象限都是增函数．请你根据图象写出它们在（1，+∞）上的另外一个共同性质：___________．例6．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数223()m m y f x x --==（m ∈Z ）在(0,)+∞是严格减函数，且为偶函数.（1）求()y f x =的解析式；（2）讨论函数5()(2)()y af x a x f x =+-⋅的奇偶性，并说明理由.【方法技巧与总结】确定幂函数y x α=的定义域，当α为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负.当0α≤时，底数是非零的.题型二：幂函数性质的综合应用例7．（2022·河北石家庄·高三期末）已知实数a ，b 满足3e e 1a a a -+=+，3e e 1b b b -+=-，则a b +=（）A ．-2B ．0C ．1D ．2例8．（2022·四川眉山·三模（文））下列结论正确的是（）A．2<B．2<C．2log <D．2<例9．（2022·广西·高三阶段练习（理））已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围为（）A ．()0,1B ．(),1-∞C ．(]0,1D ．()0,∞+例10．（2022·浙江·模拟预测）已知0a >，函数()(0)xa f x x a x =->的图象不可能是（）A ．B ．C ．D ．例11．（2022·全国·高三专题练习）不等式()10112200221210x x x -++-≤的解集为：_________．例12．（2022·上海市实验学校高三阶段练习）若函数()()()3,a f x m x m a =+∈R 是幂函数，且其图象过点(，则函数()()2log 3ag x xmx =+-的单调递增区间为___________.例13．（2020·四川·泸州老窖天府中学高二期中（理））已知函数()12e ,021,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，若方程2()()20f x bf x ++=有8个相异的实数根，则实数b 的取值范围是_________________________．例14．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数()()224222mm f x m m x-+=--在()0,∞+上单调递减.（1）求m 的值并写出()f x 的解析式；（2）试判断是否存在0a >，使得函数()()()211ag x a x f x =--+在(]0,2上的值域为(]1,11？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.【方法技巧与总结】紧扣幂函数y x α=的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意α为奇数时，x α为奇函数，α为偶数时，x α为偶函数.题型三：二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根分布及条件例15．（2022·河南·焦作市第一中学高二期中（文））设p ：二次函数()()210f x ax ax a =++≠的图象恒在x轴的上方，q ：关于x 的方程22210x ax a -+-=的两根都大于－1，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件例16．（2022·重庆·模拟预测）已知二次函数24y x x a =-+的两个零点都在区间()1,+∞内，则a 的取值范围是（）A ．(),4-∞B ．()3,+∞C ．()3,4D ．(),3-∞例17．（2022·江西省丰城中学高一开学考试）函数()3x f x =且()218f a +=，函数()34ax x g x =-.(1)求()g x 的解析式；(2)若关于x 的方程()80xg x m -⋅=在区间[]22-,上有实数根，求实数m 的取值范围.例18．（2022·湖北·高一期末）已知函数()2sin 1f x x =-，[0,]x π∈．(1)求()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的值；(2)设实数a R ∈，求方程23[()]2()10f x af x -+=存在8个不等的实数根时a 的取值范围．【方法技巧与总结】结合二次函数2()f x ax bx c =++的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于参数的不等式，从而解不等式求参数的范围.题型四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题例19．（2022·全国·高三专题练习）已知2()(0)f x ax bx c a =++>，()(())g x f f x =，若()g x 的值域为[2，)+∞，()f x 的值域为[k ，)+∞，则实数k 的最大值为（）A ．0B ．1C ．2D ．4例20．（2022·全国·高三专题练习）已知值域为[1,)-+∞的二次函数()f x 满足(1)(1)f x f x -+=--，且方程()0f x =的两个实根12,x x 满足122x x -=．(1)求()f x 的表达式；(2)函数()()g x f x kx =-在区间[2,2]-上的最大值为(2)f ，最小值为(2)f -，求实数k 的取值范围．例21．（2022·贵州毕节·高一期末）已知函数2()2(0)f x x ax a =->．(1)当3a =时，解关于x 的不等式5()7f x -<<；(2)函数()y f x =在[],2t t +上的最大值为0，最小值是4-，求实数a 和t 的值．例22．（2022·全国·高三专题练习）问题：是否存在二次函数2()(0,,)f x ax bx c a b c R =++≠∈同时满足下列条件：(0)3f =，()f x 的最大值为4，____？若存在，求出()f x 的解析式；若不存在，请说明理由.在①(1)(1)f x f x +=-对任意x ∈R 都成立，②函数(2)y f x =+的图像关于y 轴对称，③函数()f x 的单调递减区间是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭这三个条件中任选一个，补充在上面问题中作答.例23．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数()f x 满足(1)(3)3,(1)1f f f -===-．（1）求()f x 的解析式；（2）若()f x 在[1,1]a a -+上有最小值1-，最大值(1)f a +，求a 的取值范围．例24．（2022·全国·高三专题练习）设函数2()1f x ax bx =++（,a b ∈R ），满足(1)0f -=，且对任意实数x 均有()0f x ≥.(1)求()f x 的解析式；(2)当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，若()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围.【方法技巧与总结】“动轴定区间”、“定轴动区间”型二次函数最值的方法：（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.【过关测试】一、单选题1．（2022·全国·高三阶段练习）已知函数()2f x a x bx c =++，其中0a >，()00f <，0a b c ++=，则（）A ．()0,1x ∀∈，都有()0f x >B ．()0,1x ∀∈，都有()0f x <C ．()00,1x ∃∈，使得()00f x =D ．()00,1x ∃∈，使得()00f x >2．（2022·北京·二模）下列函数中，与函数3y x =的奇偶性相同，且在()0,+∞上有相同单调性的是（）A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．ln y x =C ．sin y x=D ．y x x=3．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数()()()222nf x n n x n Z =+-∈在()0,∞+上是减函数，则n 的值为（）A ．1或3-B ．1C ．1-D ．3-4．（2022·全国·高三专题练习（理））设11,,1,2,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数y x α=的定义域为R ，且该函数为奇函数的α值为（）A ．1或3B ．1-或1C ．1-或3D ．1-、1或35．（2022·全国·高三专题练习（理））已知幂函数()f x x α=的图像过点(8,4)，则()f x x α=的值域是（）A ．(),0-∞B ．()(),00,-∞⋃+∞C ．()0,∞+D ．[)0,+∞6．（2022·北京·高三专题练习）设x R ∈，[]x 表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n =同时成立，则正整数n 的最大值是A ．3B ．4C ．5D ．67．（2022·全国·高三专题练习）若幂函数()mn f x x =(m ，n ∈N *，m ，n 互质)的图像如图所示，则（）A ．m ，n 是奇数，且mn<1B ．m 是偶数，n 是奇数，且m n >1C ．m 是偶数，n 是奇数，且m n <1D ．m 是奇数，n 是偶数，且m n>18．（2022·全国·高三专题练习）已知3,0()3,0x xx f x e x x x ⎧⎪=⎨⎪-<⎩ ，若关于x 的方程22()()10f x k f x ⋅--=有5个不同的实根，则实数k 的取值范围为（）A ．72(,)2e e--B ．72](,2e e --C ．72(,(,)2e e-∞--+∞ D ．72(,(,2)e e-∞--+∞二、多选题9．（2022·全国·高三专题练习）若函数244y x x =--的定义域为[)0,a ，值域为[]8,4--，则正整数a 的值可能是（）A ．2B ．3C ．4D ．510．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()3232x x f x =-⋅+，定义域为M ，值域为[1,2]，则下列说法中一定正确的是（）A ．[]30,log 2M =B ．(]3,log 2M ⊆-∞C ．3log 2M∈D ．0M∈11．（2022·广东揭阳·高三期末）已知函数()3f x x x =+，实数,m n 满足不等式()()2320f m n f n -+->，则（）A ．e e m n >B ．11n n m m +>+C ．()ln 0m n ->D ．20212021m n <12．（2022·全国·高三专题练习）设点(),x y 满足()55340x y x x y ++++=．则点(),x y （）A ．只有有限个B ．有无限多个C ．位于同一条直线上D ．位于同一条抛物线上三、填空题13．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（文））写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x =______．①()()f x f x -=；②当()0,x ∞∈+时，()0f x >；③()()()1212f xx f x f x =⋅；14．（2022·全国·高三专题练习（文））已知α∈112,1,,,1,2,322⎧⎫---⎨⎬⎩⎭.若幂函数f (x )＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______.15．（2022·广东肇庆·模拟预测）已知函数21()2f x x ax =++，()lng x x =-，用min{,}m n 表示m ，n 中的最小值，设函数()min{(),()}(0)h x f x g x x =>，若()h x 恰有3个零点，则实数a 的取值范围是___________.16．（2022·全国·高三专题练习）93,42M ⎛⎫⎪⎝⎭是幂函数()a f x x 图象上的点，将()f x 的图象向上平移32个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若点(,)n T n m （*n ∈N ，且2n ）在()g x 的图象上，则239M T M T M T +++=______.四、解答题17．（2022·全国·高三专题练习）解不等式3381050(1)1x x x x +-->++．18．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数()()2144m f x m m x+=+-在区间()0,+∞上单调递增.（1）求()f x 的解析式；（2）用定义法证明函数()()()43m g x f x x+=+在区间()0,2上单调递减.19．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数()2242()22m m f x m m x -+=--在(0,)+∞上单调递减.（1）求m 的值并写出()f x 的解析式；（2）试判断是否存在0a >，使得函数()(21)1()ag x a x f x =--+在[1,2]-上的值域为[4,11]-？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.20．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数()()2,f x x ax b a b R =++∈.(1)当6a =-时，函数()f x 定义域和值域都是[1，2b，求b 的值；(2)若函数()f x 在区间()0,1上与x 轴有两个不同的交点，求()1b a b ++的取值范围.21．（2022·全国·高三专题练习）已知函数24()3f x x x a =-++，a R ∈(1)若函数()y f x =在[1-，1]上存在零点，求a 的取值范围；(2)设函数()52g x bx b =+-，b R ∈，当0a =时，若对任意的1[1x ∈，4]，总存在2[1x ∈，4]，使得12()()f x g x =，求b 的取值范围．22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数222()()m m f x x m Z -++=∈为偶函数，且(3)(2)f f >.（1）求m 的值，并确定()f x 的解析式；（2）若()log [()5](0,a g x f x ax a =-+>且1a ≠）,是否存在实数a ，使得()g x 在区间[1,2]上为减函数.。
第4讲-幂函数、二次函数及基本不等式
幂函数与二次函数学习目标1、了解幂函数的概念及其性质，尤其是几个特殊幂函数的图像、单调性等基本性质2、进一步了解一元二次函数的相关性质3、掌握几个基本不等式及其应用1．幂函数的定义一般地，形如y x α=(R α∈)的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数． 2．幂函数的图象在同一平面直角坐标系下，幂函数12312,,,,y x y x y x y x y x -=====的图象分别如右图．上面五个函数是学习和研究幂函数性质（图像、单调性、 对称性、奇偶性等）的代表，需熟练掌握。
3．幂函数的性质（1）所有幂函数y x α=的图像均过定点(1,1)（2）如0α>，所有幂函数的图像均过原点，且在[0,)+∞上单调递增 （3）如0α<，所有幂函数在(0,)+∞上都单调递减。
4．一元二次函数及其性质定义：形如2()(0)f x ax bx c a =++≠的函数，叫一元二次函数。
其图像如下xyO xyO2b x a=-2b x a=-一元二次函数的性质（续） 对称轴顶点开口方向及最值2b x a=-24(,)24b ac ba a --0a >时开口向上 2min 44ac by a-=0a <时开口向下2max 44ac b y a-=如0a >，则2b x a >-（对称轴右边）时单调递增，2bx a <-（对称轴左边）时单调递减。
如0a <，则2b x a <-（对称轴左边）时单调递增，2bx a>-（对称轴右边）时单调递减。
【注意】求解二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]m n 上的最值，要分析对称轴2bx a=-是否经过此区间，然后用函数的单调性解决。
5．一元二次不等式的解集 不妨设0a >，则20ax bx c ++>的解集如下（1）如0∆<，其解集为(,)-∞+∞；（2）如0∆≥，其解集为12(,)(,)x x -∞⋃+∞，其中12,x x 为20ax bx c ++=之二根，且12x x ≤20ax bx c ++<的解集如下（1）如0∆<，则其解集为∅；（2）如0∆≥，则其解集为12(,)x x ，其中12,x x 为20ax bx c ++=之二根，且12x x ≤开口向下的情况可参照上面的解法求解，也可转化为开口向上的情况求解。
幂函数与二次函数.doc
幂函数与二次函数基础梳理1．幂函数的定义 一般地，形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数．2．幂函数的图象在同一平面直角坐标系下，幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1的图象分别如右图．3.二次函数的图象和性质 解析式 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a<0)图象上单调递减 奇偶性 当b ＝0时为偶函数，b ≠0时为非奇非偶函数值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a 单调性 在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增 在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增 奇偶性当b ＝0时为偶函数，b ≠0时为非奇非偶函数 顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a 对称性图象关于直线x ＝－b 2a 成轴对称图形5.二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)(2)顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)(3)两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)函数y ＝f (x )对称轴的判断方法(1)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象关于x ＝x 1＋x 22对称．(2)一般地，函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数)．练习检测1．(2011·安徽)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝( )．A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (1)＝－f (－1)＝－3.答案 A2.如图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为( )．A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12答案 B3．(2011·浙江)设函数f (x )＝⎩⎨⎧ －x ，x ≤0，x 2，x ＞0.若f (α)＝4，则实数α等于( )． A ．－4或－2 B ．－4或2 C ．－2或4 D ．－2或2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ α≤0，－α＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ α＞0，α2＝4，得α＝－4或α＝2，故选B. 答案 B4．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2的定义域和值域均为[1，b ]，则b 等于( )．A ．3B ．2或3C ．2D ．1或2解析 函数f (x )＝x 2－2x ＋2在[1，b ]上递增，由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝1，f (b )＝b ，b >1，即⎩⎨⎧b 2－3b ＋2＝0，b >1.解得b ＝2. 答案 C5．(2012·武汉模拟)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a 、b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________.解析 f (x )＝bx 2＋(ab ＋2a )x ＋2a 2由已知条件ab ＋2a ＝0，又f (x )的值域为(－∞，4]，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≠0，b ＝－2，2a 2＝4.因此f (x )＝－2x 2＋4.答案 －2x 2＋46.函数f (x )＝x 2－2x ＋2在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值记为g (t )．(1)试写出g (t )的函数表达式；(2)作g (t )的图象并写出g (t )的最小值．[审题视点] 分类讨论t 的范围分别确定g (t )解析式．解 (1)f (x )＝(x －1)2＋1.当t ＋1≤1，即t ≤0时，g (t )＝t 2＋1.当t <1<t ＋1，即0<t <1时，g (t )＝f (1)＝1当t ≥1时，g (t )＝f (t )＝(t －1)2＋1综上可知g (t )＝⎩⎨⎧ t 2＋1≤0，t ≤0，1，0<t <1，t 2－2 t ＋2，t ≥1.(2)g (t )的图象如图所示，可知g (t )在(－∞，0]上递减，在[1，＋∞)上递增，因此g (t )在[0,1]上取到最小值1.(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，在(－∞，＋∞)上的最值可由二次函数图象的顶点坐标公式求出；(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，在[m ，n ]上的最值需要根据二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象对称轴的位置，通过讨论进行求解．7. 已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]．(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值．(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5,5]，∴x ＝1时，f (x )取得最小值1；x ＝－5时，f (x )取得最大值37.(2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2的图象的对称轴为直线x ＝－a ，∵y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数，∴－a ≤－5或－a ≥5，故a 的取值范围是a ≤－5或a ≥5.8.已知幂函数)()(*322N m x x f m m∈=--的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足33)23()1(mma a ---<+的a 的取值范围．[审题视点] 由幂函数的性质可得到幂指数m 2－2m －3＜0，再结合m 是整数，及幂函数是偶数可得m 的值．解 ∵函数在(0，＋∞)上递减，∴m 2－2m －3＜0，解得－1＜m ＜3.∵m ∈N *，∴m ＝1,2.又函数的图象关于y 轴对称，∴m 2－2m －3是偶数，而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m ＝1.而f (x )＝x －13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，∴(a ＋1)－13＜(3－2a )－13等价于a ＋1＞3－2a ＞0或0＞a ＋1＞3－2a 或a ＋1＜0＜3－2a .解得a ＜－1或23＜a ＜32.故a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ＜－1或23＜a ＜32. 本题集幂函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一体，综合性较强，解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质．解答此类问题可分为两大步：第一步，利用单调性和奇偶性(图象对称性)求出m 的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a 的取值范围．9.(2011·济南模拟)已知f (x )＝－4x 2＋4ax －4a －a 2在区间[0,1]内有最大值－5，求a 的值及函数表达式f (x )．求二次函数f (x )的对称轴，分对称轴在区间的左侧、中间、右侧讨论．[解答示范] ∵f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22－4a ， ∴抛物线顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－4a .(1分) ①当a 2≥1，即a ≥2时，f (x )取最大值－4－a 2.令－4－a 2＝－5，得a 2＝1，a ＝±1＜2(舍去)；(4分)②当0＜a 2＜1，即0＜a ＜2时，x ＝a 2时，f (x )取最大值为－4a .令－4a ＝－5，得a ＝54∈(0,2)；(7分)③当a 2≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,1]内递减，∴x ＝0时，f (x )取最大值为－4a －a 2，令－4a －a 2＝－5，得a 2＋4a －5＝0，解得a ＝－5或a ＝1，其中－5∈(－∞，0]．(10分)综上所述，a ＝54或a ＝－5时，f (x )在[0,1]内有最大值－5.∴f (x )＝－4x 2＋5x －10516或f (x )＝－4x 2－20x －5.(12分)求解本题易出现的问题是直接利用二次函数的性质——最值在对称轴处取得，忽视对称轴与闭区间的位置关系，不进行分类讨论．10. 设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，求函数的最小值g (a )．[尝试解答] ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴对称轴为直线x ＝1，而x ＝1不一定在区间[－2，a ]内，应进行讨论．当－2＜a ＜1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，y min ＝a 2－2a ；当a ≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y min ＝－1.综上，g (a )＝⎩⎨⎧ a 2－2a ，－2＜a ＜1，－1，a ≥1.。
二次函数与幂函数知识梳理
二次函数与幂函数【考纲要求】1.理解常数函数、一次函数、二次函数、反比例函数的概念、图象与性质。
2.幂函数(1)了解幂函数的概念．(2)结合函数1(1,2,3,1,)2y x αα==-的图象，了解它们的图象的变化情况． 【知识网络】【考点梳理】考点一、初中学过的函数 （一）函数的图象与性质1.过原点的直线的方程,图象,性质；2.函数的最高次项的系数能否为零。
（二）二次函数的最值1.二次函数有以下三种解析式： 一般式：2y ax bx c =++（0≠a ），顶点式：2()y a x h k =-+（0≠a ），其中顶点为(,)h k ，对称轴为直线x h =， 零点式：12()()y a x x x x =--（0≠a ），其中21,x x 是方程02=++c bx ax 的根 2. 二次函数2y ax bx c =++（0a >）在区间[,]p q 上的最值：基 本 初 等 函 数图象与性质一次函数 二次函数幂函数常数函数二次函数2y ax bx c =++（0a >）在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+.（1） （2） （3） （4）（1）若2bp a-<，则min ()()f x f p m ==，max ()()f x f q M ==； （2）若02b p x a ≤-<，则min ()()2bf x f m a =-=，max ()()f x f q M ==；（3）若02b x q a ≤-<，则min ()()2bf x f m a =-=，max ()()f x f p M ==；（4）若2bq a≤-，则min ()()f x f q m ==，max ()()f x f p M ==.要点诠释：1．二次函数的最值只可能在三处取得：两个区间端点以及顶点的函数值； 2. 求二次函数的最值一般要数形结合。
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幂函数与二次函数基础梳理
1．幂函数的定义
一般地，形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数． 2．幂函数的图象
在同一平面直角坐标系下，幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 1
2， y ＝x －1的图象分别如右图． 3.二次函数的图象和性质
解析式
f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)
f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)
图象
定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域
⎣⎢⎡⎭
⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝
⎛
⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a
单调性
在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫
－b 2a ，＋∞上单调递增
在x ∈⎝ ⎛
⎦
⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减
在x ∈⎝ ⎛
⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增
在x ∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
－b 2a ，＋∞上单调递减
奇偶性 当b ＝0时为偶函数，b ≠0时为非奇非偶函数
顶点 ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－b 2a
，4ac －b 24a
对称性
图象关于直线x ＝－b
2a 成轴对称图形
5.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) (2)顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0) (3)两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0) 函数y ＝f (x )对称轴的判断方法
(1)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象关于x ＝
x 1＋x 2
2对称．
(2)一般地，函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数)．
练习检测
1．(2011·安徽)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝( )． A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (1)＝－f (－1)＝－3. 答案 A
2.如图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±
12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为( )．
A ．－2，－12，12，2
B ．2，12，－12，－2
C ．－12，－2,2，1
2 D ．2，12，－2，－12 答案 B
3．(2011·浙江)设函数f (x )＝⎩⎨⎧
－x ，x ≤0，x 2，x ＞0.若f (α)＝4，则实数α等于( )．
A ．－4或－2
B ．－4或2
C ．－2或4
D ．－2或2 解析 由⎩⎨⎧ α≤0，－α＝4或⎩⎨⎧
α＞0，
α2＝4，得α＝－4或α＝2，故选B.
答案 B
4．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2的定义域和值域均为[1，b ]，则b 等于( )． A ．3 B ．2或3 C ．2 D ．1或2 解析 函数f (x )＝x 2－2x ＋2在[1，b ]上递增，
由已知条件⎩⎨⎧
f (1)＝1，
f (b )＝b ，
b >1，
即⎩⎨⎧
b 2－3b ＋2＝0，b >1.
解得b ＝2. 答案 C
5．(2012·武汉模拟)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a 、b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________.
解析 f (x )＝bx 2＋(ab ＋2a )x ＋2a 2
由已知条件ab ＋2a ＝0，又f (x )的值域为(－∞，4]，
则⎩⎨⎧
a ≠0，
b ＝－2，2a 2＝4.
因此f (x )＝－2x 2＋4.
答案 －2x 2＋4
6.函数f (x )＝x 2－2x ＋2在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值记为g (t )． (1)试写出g (t )的函数表达式； (2)作g (t )的图象并写出g (t )的最小值．
[审题视点] 分类讨论t 的范围分别确定g (t )解析式． 解 (1)f (x )＝(x －1)2＋1.
当t ＋1≤1，即t ≤0时，g (t )＝t 2＋1. 当t <1<t ＋1，即0<t <1时，g (t )＝f (1)＝1 当t ≥1时，g (t )＝f (t )＝(t －1)2＋1
综上可知g (t )＝⎩⎨⎧
t 2＋1≤0，t ≤0，
1，0<t <1，
t 2－2 t ＋2，t ≥1.
(2)g (t )的图象如图所示，可知g (t )在(－∞，0]上递减，在[1，＋∞)上递增，因此g (t )在[0,1]上
取到最小值1.
(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，在(－∞，＋∞)上的最值可由二次函数图象的顶点坐标
公式求出；(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，在[m ，n ]上的最值需要根据二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象对称轴的位置，通过讨论进行求解． 7. 已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值．
(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数． 解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5,5]， ∴x ＝1时，f (x )取得最小值1； x ＝－5时，f (x )取得最大值37.
(2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2的图象的对称轴为直线x ＝－a ， ∵y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数， ∴－a ≤－5或－a ≥5，
故a 的取值范围是a ≤－5或a ≥5. 8.已知幂函数)()(*3
22
N m x x f m m ∈=--的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满
足3
3
)
23()
1(m m a a -
--<+的a 的取值范围．
[审题视点] 由幂函数的性质可得到幂指数m 2－2m －3＜0，再结合m 是整数，及幂函数是偶数可得m 的值．
解 ∵函数在(0，＋∞)上递减， ∴m 2－2m －3＜0，解得－1＜m ＜3. ∵m ∈N *，∴m ＝1,2. 又函数的图象关于y 轴对称， ∴m 2－2m －3是偶数， 而22－2×2－3＝－3为奇数， 12－2×1－3＝－4为偶数， ∴m ＝1.
而f (x )＝x －1
3在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数， ∴(a ＋1)－13＜(3－2a )－1
3等价于a ＋1＞3－2a ＞0 或0＞a ＋1＞3－2a 或a ＋1＜0＜3－2a . 解得a ＜－1或23＜a ＜3
2. 故a
的取值范围为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a |a ＜－1或23＜a ＜32. 本题集幂函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一体，综合性较强，解此题的关键
是弄清幂函数的概念及性质．解答此类问题可分为两大步：第一步，利用单调性和奇偶性(图象对称性)求出m 的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a 的取值范围．
9.(2011·济南模拟)已知f (x )＝－4x 2＋4ax －4a －a 2在区间[0,1]内有最大值－5，求a 的值及函数表达式f (x )．
求二次函数f (x )的对称轴，分对称轴在区间的左侧、中间、右侧讨论．
[解答示范] ∵f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －a 22－4a ，
∴抛物线顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
a 2，－4a .(1分)
①当a
2≥1，即a ≥2时，f (x )取最大值－4－a 2. 令－4－a 2＝－5，得a 2＝1，a ＝±1＜2(舍去)；(4分) ②当0＜a 2＜1，即0＜a ＜2时，x ＝a
2时， f (x )取最大值为－4a .
令－4a ＝－5，得a ＝5
4∈(0,2)；(7分)
③当a
2≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,1]内递减， ∴x ＝0时，f (x )取最大值为－4a －a 2， 令－4a －a 2＝－5，得a 2＋4a －5＝0，
解得a ＝－5或a ＝1，其中－5∈(－∞，0]．(10分) 综上所述，a ＝5
4或a ＝－5时，f (x )在[0,1]内有最大值－5. ∴f (x )＝－4x 2
＋5x －105
16或f (x )＝－4x 2－20x －5.(12分)
求解本题易出现的问题是直接利用二次函数的性质——最值在对称轴处取得，忽视
对称轴与闭区间的位置关系，不进行分类讨论．
10. 设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，求函数的最小值g (a )．
[尝试解答] ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴对称轴为直线x ＝1，而x ＝1不一定在区间[－2，a ]内，应进行讨论．
当－2＜a ＜1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，y min ＝a 2－2a ；当a ≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y min ＝－1. 综上，g (a )＝⎩
⎨⎧
a 2－2a ，－2＜a ＜1，
－1，a ≥1.。