四年级奥数风筝模型和梯形蝴蝶定理(C级)

板块一风筝模型：（又叫任意四边形模型）

①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++

风筝模型为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．

板块二梯形模型的应用

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：

①2213::S S a b =

②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2

a b +．

梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)

S 4

S 3

S 2

S 1O D

C

B

A A B

C

D

O b

a

S 3

S 2

S 1S 4

知识框架

风筝模型和梯形蝴蝶定理

【例 1】 如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的

面积；⑵:AG GC ？

【巩固】 在△ABC 中

DC BD =2:1, EC AE =1:3，求OE

OB

=?

【例 2】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次

是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积．

【巩固】 如右上图，已知BO=2DO ，CO=5AO ，阴影部分的面积和是11平方厘米，求四边形ABCD 的面积。

321G

D

C

B

A O

G

F E

D

C B

A

例题精讲

【例 3】 如图，边长为1的正方形ABCD 中，2BE EC =，CF FD =，求三角形AEG 的面积．

【巩固】 如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长

方形ABCD 的面积．

【例 4】 如图，在ABC ∆中，已知M 、N 分别在边AC 、BC 上，BM 与AN 相交于O ,若AOM ∆、ABO

∆和BON ∆的面积分别是3、2、1，则MNC ∆的面积是．

【巩固】 如图4，在三角形ABC 中，已知三角形ADE 、三角形DCE 、三角形BCD 的面积分别是89、28、26，

那么三角形DBE 的面积是。

A

B

C

D

E

F G

A

B

C

D

E

F G

O

M N

C

B

A

E

D

C B

A

【例 5】 已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，三角形ODE 的面积为6平方厘米。则阴影部分的面

积是平方厘米。

【巩固】 在梯形ABCD 中，上底长5厘米，下底长10厘米，20=∆BOC S 平方厘米，则梯形ABCD 的面积是 平方厘米。

【例 6】 如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG 的面积是11，三角形BCH

的面积是23，求四边形EGFH 的面积．

【巩固】 如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5，四边形2的面积为36，则三

角形1的面积为________．

O

E D

C

B

A

H

G F

E

D

C

B A

3

21

【例 7】 在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF 的面积为1

平方厘米，那么正方形ABCD 面积是平方厘米．

【巩固】 如图所示，BD 、CF 将长方形ABCD 分成4块，DEF ∆的面积是4平方厘米，CED ∆的面积是6

平方厘米．问：四边形ABEF 的面积是多少平方厘米？

【例 8】 如图，ABC ∆是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交于K 点．已知正方形DEFG

的面积48，:1:3AK KB =，则BKD ∆的面积是多少？

【巩固】 如图所示，ABCD 是梯形，ADE ∆面积是1.8，ABF ∆的面积是9，BCF ∆的面积是27．那么阴影

AEC ∆面积是多少？

A B

C

D

E

F 6

4A

B

C

D

E

F

K

G

F E D

C

B

A F

E D

C

B

A

【例 9】 如图，正六边形面积为6，那么阴影部分面积为多少？

【巩固】 如图，在一个边长为6的正方形中，放入一个边长为2的正方形，保持与原正方形的边平行，现

在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面积为．

【例 10】 如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，AB=8,AD=15四边形EFGO 的面积为

______．

【巩固】 如图5所示，矩形ABCD 的面积是24平方厘米，、三角形ADM 与三角形BCN 的面积之和是7.8平方

厘米，则四边形PMON 的面积是平方厘米。

15

8

O

G

F

E

D

C

B

A