讲命题逻辑连接词充要条件

第二讲 命题、量词、逻辑联结词

一．明确考试大纲

1. 理解命题的概念.

2. 理解全称量词与存在量词的意义,能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

3. 了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义,知道复合命题与构成它的简单命题的真假关系.

二．知识点梳理

1．命题的概念:

2．全称量词与存在量词

（1）全称量词与全称命题

①短语“ ”、“ ”等在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“ ”表示. ②含有 的命题,叫做全称命题.

③全称命题“对 A 中任意一个x ,有P (x )成立”可用符号简记为: ,

读作“对任意x 属于A ,有P (x )成立”.

（2）存在量词与特称命题

①短语“ ”、“ ”等在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“ ”表示. ②含有 的命题,叫做特称命题.

③特称命题“存在 A 中的一个x 0,使P (x 0)成立”可用符号简记为: ,

读作“存在一个x 0属于A ,使P (x 0)成立”.

（3）含有一个量词的命题的否定

命题:∀x ∈A ,P (x ),命题的否定:_______________________.

命题:∃x 0∈A ,P (x 0),命题的否定: _______________________.

3．逻辑联结词、简单命题与复合命题

（1）“ ”这些词叫做逻辑联结词;不含有逻辑联结词的命题是 命题;由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是 命题.

（2）构成复合命题的形式:p 或q (记作“ ”);p 且q (记作“ ”);非p (记作“ ”).

（3）“或”、 “且”、 “非”的真值判断

①“非p ”形式复合命题的真假与p 的真假相反;

②“p 且q ”形式复合命题当p 与q 同为真时为真,其他情况时为假;

③“p 或q ”形式复合命题当p 与q 同为假时为假,其他情况时为真.

基础检测

1.下列关系式中不正确的是 ( )

（A ）0∉∅ （B ）{}0∉∅ （C ）{}∅∈∅ （D ）{}00⊆

2.已知命题2:0p a ≥ (a ∈R),命题2q:>0a (a ∈R),下列命题为真命题的是 ( )

(A)p ∨q . (B)p ∧q . (C)(⌝p )∧(⌝q ). (D)(⌝p )∨q .

3.给定下列四个命题:

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;

②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;

③垂直于同一直线的两条直线相互平行;

④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.

其中为真命题的是 ( )

(A)①和②. (B)②和③. (C)③和④. (D)②和④.

4. 命题“有些负数满足不等式(1+x )(1-9x 2)>0”用符号“∃”写成特称命题为

三．典例分析

题型1 对“或”“且”“非”的理解

例1 写出下列各组命题构成的“p ∨q ”、“p ∧q ”、“⌝p ”形式的复合命题,并判断这些复合命题的真假:

(1)p :平行四边形的对角线相等;q :平行四边形的对角线互相垂直;

(2)p :方程x 2+x -1=0的两实根符号相同;q :方程x 2+x -1=0的两实根的绝对值相等.

变式训练1 (1)命题p :所有有理数都是实数,命题q :正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是 

(A)(⌝p )∨q . (B)p ∧q . (C)(⌝p )∧(⌝q ). (D)(⌝p )∨(⌝q ).

(2)已知命题p :∃x ∈R,使tan x =1,命题q :x 2-3x +2<0的解集是{x |1

命题“p ∧(⌝q )”是假命题;③命题“(⌝p )∨q ”是真命题;④命题“(⌝p )∨(⌝q )”是假命题.正确的是 ( )

(A)②③. (B)①②④. (C)①③④. (D)①②③④.

题型2 全(特)称命题及真假判断

例2 判断下列命题是否是全称命题或特称命题,若是,用符号表示,并判断其真假.

(1)有一个实数a , sin 2a +cos 2a ≠1;

(2)任何一条直线都存在斜率;

(3)所有的实数a ,b ,方程ax +b =0恰有唯一解;

(4)存在实数x ,使得2

+2+3=0x x

变式训练2 判断下列命题的真假:

(1)每个指数函数都是单调函数;

(2)任何实数都有算术平方根;

(3)任意x ∈{x |x 是无理数},x 2是无理数;

(4)存在x ∈R,x 3≤0.

题型3 全(特)称命题的否定

例3 写出下列命题的否定并判断其真假:

(1)p :不论m 取何实数,方程x 2+mx -1=0必有实数根;

(2)p :有的三角形的三条边相等;

(3)p :菱形的对角线互相垂直;

(4)p :∃x ∈N,使得x 2-2x +1≤0.

【总结】常见词语的否定形式有:

变式训练3 写出下列命题的否定形式:

(1)有些三角形的三个内角都等于60°;

(2)能够被3整除的整数,能够被6整除;

(3)∃θ∈R,使得函数y =sin(2x +θ)是偶函数;

(4)∀x ,y ∈R,|x +1|+|y -1|>0.

题型4 与逻辑联结词、全(特)称命题有关的参数问题

例4 已知r (x ):sin x +cos x >m ,s (x ):x 2+mx +1>0.如果对∀x ∈R,r (x )与s (x )有且仅有一个是真命题,求实数m 的

取值范围.

变式训练4 已知p : “∀x ∈[1, 2],x 2-a ≥0”,q :“∃x ∈R,x 2+2ax +2-a =0”,若命题“p 且q ”是真命题,求实数a 的取

值范围.