讲命题逻辑连接词充要条件

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命题及其关系、充分条件与必要条件

命题及其关系、充分条件与必要条件一、基础知识1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能模棱两可.2．四种命题及其相互关系3．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件；①A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B A；②A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且A B，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误．(2)如果q⇒p，则p是q的必要条件；(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件．充要关系与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．②若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．③若A＝B，则p是q的充要条件．二、常用结论1．四种命题中的等价关系原命题等价于逆否命题，否命题等价于逆命题，所以在命题不易证明时，往往找等价命题进行证明．2．等价转化法判断充分条件、必要条件p是q的充分不必要条件，等价于非q是非p的充分不必要条件．其他情况以此类推．考点一四种命题及其真假判断[典例] (2019·菏泽模拟)有以下命题： ①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；③“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”的逆否命题； ④“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题．其中真命题是( ) A ．①② B ．②③ C ．④D ．①②③[解析] ①原命题的逆命题为“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”，是真命题；②原命题的否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”，是真命题；③若m ≤1，Δ＝4－4m ≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；④由A ∩B ＝B ，得B ⊆A ，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题，故①②③正确．[答案] D [题组训练]1．(2019·长春质监)命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是( ) A ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1 B ．若－1<x <1，则x 2<1 C ．若x >1或x <－1，则x 2>1 D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1解析：选D 命题的形式是“若p ，则q ”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题是“若非q ，则非p ”的形式，所以“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是“若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1”．2．已知集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝k ＋12，k ∈Z ，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k2，k ∈Z ，记原命题：“x ∈P ，则x ∈Q ”，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选C 因为P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝k ＋12，k ∈Z ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x ＝2k ＋12，k ∈Z ，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k2，k ∈Z ，所以P Q ，所以原命题“x ∈P ，则x ∈Q ”为真命题，则原命题的逆否命题为真命题．原命题的逆命题“x ∈Q ，则x ∈P ”为假命题，则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为2.考点二充分、必要条件的判断[典例] (1)(2019·湖北八校联考)若a ，b ，c ，d ∈R ，则“a ＋d ＝b ＋c ”是“a ，b ，c ，d 依次成等差数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2018·天津高考)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(3)已知p ：x ＋y ≠－2，q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)定义法当a ＝－1，b ＝0，c ＝3，d ＝4时，a ＋d ＝b ＋c ，但此时a ，b ，c ，d 不成等差数列；而当a ，b ，c ，d 依次成等差数列时，由等差数列的性质知a ＋d ＝b ＋c .所以“a ＋d ＝b ＋c ”是“a ，b ，c ，d 依次成等差数列”的必要不充分条件，故选B.(2)集合法由⎪⎪⎪⎪x －12＜12，得0＜x ＜1，则0＜x 3＜1，即“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”⇒“x 3＜1”；由x 3＜1，得x ＜1，当x ≤0时，⎪⎪⎪⎪x －12≥12，即“x 3＜1”“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”．所以“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的充分而不必要条件． (3)等价转化法因为p ：x ＋y ≠－2，q ：x ≠－1或y ≠－1，所以非p ：x ＋y ＝－2，非q ：x ＝－1且y ＝－1，因为非q ⇒非p 但非p非q ，所以非q 是非p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件．[答案] (1)B (2)A (3)A[提醒] 判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，要注意“A 是B 的充分不必要条件”与“A 的充分不必要条件是B ”的区别，要正确理解“p 的一个充分不必要条件是q ”的含义．[题组训练]1.[集合法]已知x ∈R ，则“x <1”是“x 2<1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若x 2<1，则－1<x <1，∵(－∞，1)⊇(－1,1)，∴“x <1”是“x 2<1”的必要不充分条件．2.[定义法](2018·南昌调研)已知m ，n 为两个非零向量，则“m·n <0”是“m 与n 的夹角为钝角”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 设m ，n 的夹角为θ，若m ，n 的夹角为钝角，则π2<θ<π，则cos θ<0，则m·n <0成立；当θ＝π时，m·n ＝－|m |·|n |<0成立，但m ，n 的夹角不为钝角．故“m·n <0”是“m 与n 的夹角为钝角”的必要不充分条件．3.[等价转化法]“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 设p ：xy ≠1，q ：x ≠1或y ≠1，则非p ：xy ＝1，非q ：x ＝1且y ＝1. 可知非q ⇒非p ，非p非q ，即非q 是非p 的充分不必要条件．故p 是q 的充分不必要条件，即“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的充分不必要条件．考点三根据充分、必要条件求参数的范围[典例] 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围是________．[解析] 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，所以P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以0≤m ≤3.所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]． [答案] [0,3][变透练清]1.[变结论]若本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．解：若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，所以{ 1－m ＝－2，＋m ＝10，解得{ m ＝3，m ＝9，即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．2.(变条件)若本例将条件“若x ∈P 是x ∈S 的必要条件”变为“若非P 是非S 的必要不充分条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．解：由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵非P 是非S 的必要不充分条件， ∴S 是P 的必要不充分条件，∴P ⇒S 且S P .∴[－2,10][1－m,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10. ∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．[课时跟踪检测]1．已知命题p ：“正数a 的平方不等于0”，命题q ：“若a 不是正数，则它的平方等于0”，则q 是p 的( )A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．否定解析：选B 命题p ：“正数a 的平方不等于0”可写成“若a 是正数，则它的平方不等于0”，从而q 是p 的否命题．2．命题“若x 2＋3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题及其真假性为( ) A ．“若x ＝4，则x 2＋3x －4＝0”为真命题B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题解析：选C根据逆否命题的定义可以排除A、D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝－4或1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．3．原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假解析：选B当z1，z2互为共轭复数时，设z1＝a＋b i(a，b∈R)，则z2＝a－b i，则|z1|＝|z2|＝a2＋b2，所以原命题为真，故其逆否命题为真．取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，所以其逆命题为假，故其否命题也为假．4．(2018·北京高考)设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B a，b，c，d是非零实数，若a<0，d<0，b>0，c>0，且ad＝bc，则a，b，c，d不成等比数列(可以假设a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3)．若a，b，c，d成等比数列，则由等比数列的性质可知ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不充分条件．5．已知命题α：如果x<3，那么x<5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系中，下列说法正确的是()①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．A．①③B．②C．②③D．①②③解析：选A本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确．6．(2018·北京高考)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C由|a－3b|＝|3a＋b|，得(a－3b)2＝(3a＋b)2，即a 2＋9b 2－6a ·b ＝9a 2＋b 2＋6a ·b .因为a ，b 均为单位向量，所以a 2＝b 2＝1，所以a ·b ＝0，能推出a ⊥b .由a ⊥b 得|a －3b |＝10，|3a ＋b |＝10，能推出|a －3b |＝|3a ＋b |，所以“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的充分必要条件． 7．如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 设集合A ＝{(x ，y )|x ≠y }，B ＝{(x ，y )|cos x ≠cos y }，则A 的补集C ＝{(x ，y )|x ＝y }，B 的补集D ＝{(x ，y )|cos x ＝cos y }，显然C D ，所以B A .于是“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的必要不充分条件．8．(2019·湘东五校联考)“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A ．m >14B ．0<m <1C ．m >0D ．m >1解析：选C 若不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m <0，解得m >14，因此当不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立时，必有m >0，但当m >0时，不一定推出不等式在R 上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m >0.9．在△ABC 中，“A ＝B ”是“tan A ＝tan B ”的________条件．解析：由A ＝B ，得tan A ＝tan B ，反之，若tan A ＝tan B ，则A ＝B ＋k π，k ∈Z.∵0＜A ＜π，0<B <π，∴A ＝B ，故“A ＝B ”是“tan A ＝tan B ”的充要条件．答案：充要10．在命题“若m ＞－n ，则m 2＞n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．解析：若m ＝2，n ＝3，则2>－3，但22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m ＝－3，n ＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.答案：311．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，若p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________．解析：因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3. 又p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，解得m <8.故实数m 的取值范围为[3,8)．答案：[3,8)12．(2019·齐鲁名校调研)给出下列说法：①“若x ＋y ＝π2，则sin x ＝cos y ”的逆命题是假命题；②“在△ABC 中，sin B >sin C 是B >C 的充要条件”是真命题；③“a ＝1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件；④命题“若x <－1，则x 2－2x －3>0”的否命题为“若x ≥－1，则x 2－2x －3≤0”．以上说法正确的是________(填序号)．解析：对于①，“若x ＋y ＝π2，则sin x ＝cos y ”的逆命题是“若sin x ＝cos y ，则x ＋y＝π2”，当x ＝0，y ＝3π2时，有sin x ＝cos y 成立，但x ＋y ＝3π2，故逆命题为假命题，①正确；对于②，在△ABC 中，由正弦定理得sin B >sin C ⇔b >c ⇔B >C ，②正确；对于③，“a ＝±1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件，故③错误；对于④，根据否命题的定义知④正确．答案：①②④13．写出命题“已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2≥4b ”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：(1)逆命题：已知a ，b ∈R ，若a 2≥4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，为真命题．(2)否命题：已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，则a 2<4b ，为真命题．(3)逆否命题：已知a ，b ∈R ，若a 2<4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，为真命题．第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、基础知识1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”❶叫做逻辑联结词．①用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p且q”，记作p∧q；②用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p或q”，记作p∨q；③对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作非p.❷❶“且”的数学含义是几个条件同时满足，“且”在集合中的解释为“交集”；“或”的数学含义是至少满足一个条件，“或”在集合中的解释为“并集”；“非”的含义是否定，“非p”只否定p的结论，“非”在集合中的解释为“补集”.❷“命题的否定”与“否命题”的区别(1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论．(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系．(2)命题真值表：命题真假的判断口诀p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与非p→真假相反.2．全称量词与存在量词4．全称命题与特称命题的否定二、常用结论含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)p ∨q 真⇔p ，q 至少一个真⇔(非p )∧(非q)假． (2)p ∨q 假⇔p ，q 均假⇔(非p )∧(非q)真． (3)p ∧q 真⇔p ，q 均真⇔(非p )∨(非q)假． (4)p ∧q 假⇔p ，q 至少一个假⇔(非p )∨(非q)真．考点一判断含有逻辑联结词命题的真假[典例] (1)(2017·山东高考)已知命题p ：∀x >0，ln(x ＋1)>0；命题q ：若a >b ，则a 2>b 2.下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧非qC ．非p ∧qD ．非p ∧非q(2)(2019·安徽安庆模拟)设命题p ：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＋1x 0>3；命题q ：∀x ∈(2，＋∞)，x 2>2x ，则下列命题为真的是( )A ．p ∧(非q )B ．(非p )∧qC ．p ∧qD ．(非p )∨q[解析] (1)当x >0时，x ＋1>1，因此ln(x ＋1)>0，即p 为真命题；取a ＝1，b ＝－2，这时满足a >b ，显然a 2>b 2不成立，因此q 为假命题．由复合命题的真假性，知B 为真命题．(2)对于命题p ，当x 0＝4时，x 0＋1x 0＝174>3，故命题p 为真命题；对于命题q ，当x ＝4时，24＝42＝16，即∃x0∈(2，＋∞)，使得2x0＝x20成立，故命题q为假命题，所以p∧(非q)为真命题，故选A.[答案](1)B(2)A[题组训练]1．(2019·惠州调研)已知命题p，q，则“非p为假命题”是“p∧q是真命题”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B充分性：若非p为假命题，则p为真命题，由于不知道q的真假性，所以推不出p∧q是真命题．必要性：p∧q是真命题，则p，q均为真命题，则非p为假命题．所以“非p为假命题”是“p∧q是真命题”的必要不充分条件．2．已知命题p：“若x2－x>0，则x>1”；命题q：“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则xy＝0”．下列命题是真命题的是()A．p∨(非q) B．p∨qC．p∧q D．(非p)∧(非q)解析：选B若x2－x>0，则x>1或x<0，故p是假命题；若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x ＝0，y＝0，xy＝0，故q是真命题．则p∨q是真命题．考点二全称命题与特称命题[典例](1)命题∀x∈R，e x－x－1≥0的否定是()A．∀x∈R，e x－x－1≤0B．∀x∈R，e x－x－1≥0C．∃x0∈R，e x0－x0－1≤0D．∃x0∈R，e x0－x0－1<0(2)对命题∃x0>0，x20>2x0，下列说法正确的是()A．真命题，其否定是∃x0≤0，x20≤2x0B．假命题，其否定是∀x>0，x2≤2xC．真命题，其否定是∀x>0，x2≤2xD．真命题，其否定是∀x≤0，x2≤2x[解析](1)改全称量词为存在量词，把不等式中的大于或等于改为小于．故选D.(2)已知命题是真命题，如32＝9>8＝23，其否定是∀x>0，x2≤2x.故选C.[答案](1)D(2)C[题组训练]1．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是()A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n>x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n>x2C．∃x0∈R，∃n∈N*，使得n>x20D．∃x0∈R，∀n∈N*，使得n>x20解析：选D∀改写为∃，∃改写为∀，n≤x2的否定是n>x2，则该命题的否定形式为“∃x0∈R，∀n∈N*，使得n>x20”．2．已知命题p：∃n∈R，使得f(x)＝nxn2＋2n是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增；命题q：“∃x0∈R，x20＋2>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2<3x”．则下列命题为真命题的是()A．p∧q B．(非p)∧qC．p∧(非q) D．(非p)∧(非q)解析：选C当n＝1时，f(x)＝x3为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故p是真命题，则非p是假命题；“∃x0∈R，x20＋2>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2≤3x”，故q是假命题，非q是真命题．所以p∧q，(非p)∧q，(非p)∧(非q)均为假命题，p∧(非q)为真命题，选C.考点三根据命题的真假求参数的取值范围[典例]已知p：存在x0∈R，mx20＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1>0.若p或q为假命题，求实数m的取值范围．[解]依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，则mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q是真命题时，则Δ＝m2－4<0，－2<m<2.因此由p，q均为假命题得{m≥0，m≤－2或m≥2，即m≥2.所以实数m的取值范围为[2，＋∞)．[变透练清]1.(变条件)若本例将条件“p或q为假命题”变为“p且q为真命题”，其他条件不变，则实数m的取值范围为________．解析：依题意，当p 是真命题时，有m <0；当q 是真命题时，有－2<m <2，由⎩⎪⎨⎪⎧m <0，－2<m <2，可得－2<m <0. 所以m 的取值范围为(－2,0)．答案：(－2,0)2.(变条件)若本例将条件“p 或q 为假命题”变为“p 且q 为假，p 或q 为真”，其他条件不变，则实数m 的取值范围为________．解析：若p 且q 为假，p 或q 为真，则p ，q 一真一假．当p 真q 假时⎩⎪⎨⎪⎧ m <0，m ≥2或m ≤－2，所以m ≤－2；当p 假q 真时⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2<m <2，所以0≤m <2. 所以m 的取值范围为(－∞，－2]∪[0,2)．答案：(－∞，－2]∪[0,2)3.(变条件)若本例将条件q 变为：存在x 0∈R ，x 20＋mx 0＋1<0，其他条件不变，则实数m的取值范围为________．解析：依题意，当q 是真命题时，Δ＝m 2－4>0，所以m >2或m <－2.由⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2≤m ≤2，得0≤m ≤2，所以m 的取值范围为[0,2]．答案：[0,2][课时跟踪检测]1．(2019·西安摸底)命题“∀x >0，x x －1>0”的否定是( ) A ．∃x 0≥0，x 0x 0－1≤0 B ．∃x 0>0,0≤x 0≤1 C ．∀x >0，x x －1≤0 D ．∀x <0,0≤x ≤1解析：选B ∵x x －1>0，∴x <0或x >1，∴x x －1>0的否定是0≤x ≤1， ∴命题的否定是“∃x 0>0,0≤x 0≤1”．2．下列命题中，假命题的是( )A ．∀x ∈R,21－x >0 B ．∃a 0∈R ，y ＝xa 0的图象关于y 轴对称C ．函数y ＝x a 的图象经过第四象限D ．直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切解析：选C 对于A ，由指数函数的性质可知为真命题；对于B ，当a ＝2时，其图象关于y 轴对称；对于C ，当x >0时，y >0恒成立，从而图象不过第四象限，故为假命题；对于D ，因为圆心(0,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离等于12，等于圆的半径，命题成立． 3．(2019·陕西质检)已知命题p ：对任意的x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(非p )∧(非q)C ．(非p )∧qD ．p ∧(非q)解析：选D 由指数函数的性质知命题p 为真命题．易知x >1是x >2的必要不充分条件，所以命题q 为假命题．由复合命题真值表可知p ∧(非q)为真命题．4．(2018·湘东五校联考)下列说法中正确的是( )A ．“a >1，b >1”是“ab >1”成立的充分条件B ．命题p ：∀x ∈R,2x >0，则非p ：∃x 0∈R,2x0<0C ．命题“若a >b >0，则1a <1b”的逆命题是真命题 D ．“a >b ”是“a 2>b 2”成立的充分不必要条件解析：选A 对于选项A ，由a >1，b >1，易得ab >1，故A 正确．对于选项B ，全称命题的否定是特称命题，所以命题p ：∀x ∈R,2x >0的否定是非p ：∃x 0∈R,2x 0≤0，故B 错误．对于选项C ，其逆命题：若1a <1b，则a >b >0，可举反例，如a ＝－1，b ＝1，显然是假命题，故C 错误．对于选项D ，由“a >b ”并不能推出“a 2>b 2”，如a ＝1，b ＝－1，故D 错误．故选A.5．(2019·唐山五校联考)已知命题p ：“a >b ”是“2a >2b ”的充要条件；命题q ：∃x 0∈R ，|x 0＋1|≤x 0，则( )A ．(非p )∨q 为真命题B ．p ∧(非q)为假命题C ．p ∧q 为真命题D ．p ∨q 为真命题解析：选D 由题意可知命题p 为真命题．因为|x ＋1|≤x 的解集为空集，所以命题q 为假命题，所以p ∨q 为真命题．6．下列说法错误的是( )A ．命题“若x 2－5x ＋6＝0，则x ＝2”的逆否命题是“若x ≠2，则x 2－5x ＋6≠0”B ．若命题p ：存在x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0，则非p ：对任意x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0C ．若x ，y ∈R ，则“x ＝y ”是“xy ≥⎝⎛⎭⎫x ＋y 22”的充要条件D ．已知命题p 和q ，若“p 或q ”为假命题，则命题p 与q 中必一真一假解析：选D 由原命题与逆否命题的关系，知A 正确；由特称命题的否定知B 正确；由xy ≥⎝⎛⎭⎫x ＋y 22⇔4xy ≥(x ＋y )2⇔4xy ≥x 2＋y 2＋2xy ⇔(x －y )2≤0⇔x ＝y ，知C 正确；对于D ，命题“p 或q ”为假命题，则命题p 与q 均为假命题，所以D 不正确．7．(2019·长沙模拟)已知命题“∀x ∈R ，ax 2＋4x ＋1>0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．(0,4]C ．(－∞，4]D ．[0,4)解析：选C 当原命题为真命题时，a >0且Δ<0，所以a >4，故当原命题为假命题时，a ≤4.8．下列命题为假命题的是( )A ．存在x >y >0，使得ln x ＋ln y <0B ．“φ＝π2”是“函数y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数”的充分不必要条件 C ．∃x 0∈(－∞，0)，使3x 0<4x 0成立D ．已知两个平面α，β，若两条异面直线m ，n 满足m ⊂α，n ⊂β且m ∥β，n ∥α，则α∥β解析：选C 对于A 选项，令x ＝1，y ＝1e，则ln x ＋ln y ＝－1<0成立，故排除A.对于B 选项，“φ＝π2”是“函数y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数”的充分不必要条件，正确，故排除B.对于C 选项，根据幂函数y ＝x α，当α<0时，函数单调递减，故不存在x 0∈(－∞，0)，使3x 0<4x 0成立，故C 错误．对于D 选项，已知两个平面α，β，若两条异面直线m ，n 满足m ⊂α，n ⊂β且m ∥β，n ∥α，可过n 作一个平面与平面α相交于直线n ′.由线面平行的性质定理可得n ′∥n ，再由线面平行的判定定理可得n ′∥β，接下来由面面平行的判定定理可得α∥β，故排除D ，选C.9．若命题p 的否定是“∀x ∈(0，＋∞)，x ＞x ＋1”，则命题p 可写为________________________．解析：因为p 是非p 的否定，所以只需将全称量词变为特称量词，再对结论否定即可．答案：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0≤x 0＋110．已知命题p ：x 2＋4x ＋3≥0，q ：x ∈Z ，且“p ∧q ”与“非q ”同时为假命题，则 x ＝________.解析：若p 为真，则x ≥－1或x ≤－3，因为“非q ”为假，则q 为真，即x ∈Z ，又因为“p ∧q ”为假，所以p 为假，故－3＜x ＜－1，由题意，得x ＝－2.答案：－211．已知p ：a <0，q ：a 2>a ，则非p 是非q 的________条件(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．解析：由题意得非p ：a ≥0，非q ：a 2≤a ，即0≤a ≤1.因为{a |0≤a ≤1}{a |a ≥0}，所以非p 是非q 的必要不充分条件．答案：必要不充分12．已知命题p ：a 2≥0(a ∈R)，命题q ：函数f (x )＝x 2－x 在区间[0，＋∞)上单调递增，则下列命题：①p ∨q ；②p ∧q ；③(非p )∧(非q)；④(非p )∨q.其中为假命题的序号为________．解析：显然命题p 为真命题，非p 为假命题．∵f (x )＝x 2－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122－14， ∴函数f (x )在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上单调递增．∴命题q 为假命题，非q 为真命题．∴p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，(非p )∧(非q)为假命题，(非p )∨q 为假命题．答案：②③④13．设t ∈R ，已知命题p ：函数f (x )＝x 2－2tx ＋1有零点；命题q ：∀x ∈[1，＋∞)， 1x－x ≤4t 2－1.(1)当t ＝1时，判断命题q 的真假；(2)若p ∨q 为假命题，求t 的取值范围．解：(1)当t ＝1时，⎝⎛⎭⎫1x －x max ＝0，1x－x ≤3在[1，＋∞)上恒成立，故命题q 为真命题． (2)若p ∨q 为假命题，则p ，q 都是假命题．当p 为假命题时，Δ＝(－2t )2－4<0，解得－1<t <1；当q 为真命题时，⎝⎛⎭⎫1x －x max ≤4t 2－1，即4t 2－1≥0，解得t ≤－12或t ≥12， ∴当q 为假命题时，－12<t <12， ∴t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，12.。

高考一轮复习专题2 命题及其关系、逻辑联结词、充分条件与必要条件

第一章集合与常用逻辑用语第02节命题及其关系、逻辑联结词、充分条件与必要条件【知识清单】1．命题及其关系（1）命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．（2）四种命题及相互关系（3）四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；@网(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．2．逻辑联结词（1）用联结词“且”联结命题p和命题q，记作____，读作______”．（2）用联结词“或”联结命题p和命题q，记作_____，读作“____”．（3）对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作_____，读作“_____”．（4）命题p且q、p或q、非p的真假判断3．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．【重点难点突破】考点1四种命题的关系及真假判断【1-1】【北京卷理】能说明“若f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，则f（x）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．+也是偶数”的逆否命题是（）【1-2】命题“若,x y都是偶数，则x y+是偶数，则x与y不都是偶数A．若x y+是偶数，则x与y都不是偶数B．若x y+不是偶数，则x与y不都是偶数C．若x y+不是偶数，则x与y都不是偶数D．若x y【领悟技法】1.四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，理解其关系（尤其是两种等价关系）的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以叙述为：（1）交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原来命题的逆命题；（2）同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原来的否命题；（3）交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题。

注意：在写其他三种命题时，大前提必须放在前面。

2024年高考数学考点分析与突破性讲练专题02命题及其关系充要条件简单逻辑连接词理

专题02 命题及其关系、充要条件、简洁逻辑连接词一、考纲要求：1.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系。

2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义。

3.了解逻辑连接词“或”、“且”、“非”的含义。

4.理解全称量词与存在量词的意义。

5.能正确地对含有一个量词的命题进行否定。

二、概念驾驭和解题上留意点：1.分清一个命题的条件和结论。

从条件结论是原命题，从结论条件是逆命题。

能够推断真假的陈述句是命题，没有条件或条件不明确，一般都不是命题。

2.原命题正确，则条件是结论成立的充分条件，逆命题成立，条件是结论成立的必要条件。

留意：原命题与逆命题中的条件是统一的，同时原命题与逆命题又是互逆的。

3.互为逆否命题同真假。

四种命题中，原命题与逆否命题、逆命题与否命题是互为逆否的。

所以真命题的个数肯定是0个或2个或4个。

4.学习四种命题及其关系，学会擅长利用逆否的角度考虑问题。

一般正难则反。

5.有关充要条件的问题，通常利用集合的包含关系来解决比较好。

例如：p是q的充分条件，则p等价的集合是q等价的集合的子集;p是q的必要条件，则q等价的集合是p等价的集合的子集;一般，若p是q成立的充要条件，则这两个集合相等。

6.在复合命题真假的推断中，需留意的是：p、q都真，p才真；p、q都假，p才假；p与中一真一假。

7.留意区分否命题与命题的否定，否命题是条件否定到结论否定，命题的否定是条件不变，结论否定。

在含有否定词中，将“且”改为“或”，将“或”改为“且”。

三、高考考题题例分析例1.（2024上海卷）已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【解答】解：a ∈R ，则“a＞1”⇒“”， “”⇒“a＞1或a ＜0”，∴“a＞1”是“”的充分非必要条件．故选：A ．例2．（2024北京卷）设，均为单位向量，则“|﹣3|=|3+|”是“⊥”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件例3. （2024天津卷）设x ∈R ，则“|x ﹣|＜”是“x 3＜1”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】：由|x ﹣|＜可得﹣＜x ﹣＜，解得0＜x ＜1，由x 3＜1，解得x ＜1，故“|x ﹣|＜”是“x 3＜1”的充分不必要条件，故选：A ．例4.（2024浙江卷）已知平面α，直线m ，n 满意m ⊄α，n ⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】：∵m ⊄α，n ⊂α，∴当m ∥n 时，m ∥α成立，即充分性成立，当m ∥α时，m ∥n 不肯定成立，即必要性不成立，则“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．故选：A ．例5.（2024全国卷1）设有下面四个命题1p ：若复数z 满意1z∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满意2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满意12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A ．13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p【答案】B【考点】复数的运算与性质分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成i(,)z a b a b =+∈R 的形式进行推断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可. 例6.（2015全国卷1）设命题p ：2,2nn N n ∃∈>，则p ⌝为( )（A ）2,2nn N n ∀∈> （B ）2,2nn N n ∃∈≤ （C ）2,2nn N n ∀∈≤ （D ）2,=2nn N n ∃∈ 【答案】C 【解析】:,故选C.本题考查的意图：特称命题的否定留意：全称命题与特称命题的否定是高考考查的重点，对特称命题的否定，将存在换成随意，后边变为其否定形式。

逻辑联结词、四种命题、充分条件与必要条件

逻辑联结词、四种命题、充分条件与必要条件逻辑联结词、四种命题、充分条件与必要条件1. 主要内容：命题、真命题、假命题的概念，逻辑连接词、简单命题、复合命题的概念、复合命题的真值表，四种命题、四种命题的关系，反证法、充分条件、必要条件的概念、充分条件的判断。

2. 重点：判断复合命题真假的方法，四种命题的关系，关于充要条件的判断。

3. 难点：逻辑连结词的理解与日常用语的区别，反证法的理解和应用，关于充要条件的判断。

【例题选讲】例1. 分别指出下列复合命题的形式及构造的简单命题。

（1）小李是老师，小赵也是老师。

（2）1是合数或质数。

（3）他是运动员兼教练员。

（4）不仅这些文学作品艺术上有缺点，而且政治上有错误。

解：（1）这个命题是p且q的形式，其中p：小李是老师，q：小赵是老师。

（2）这个命题是p或q的形式，其中p：1是合数，q：1是质数。

（3）这个命题是p且q的形式，其中，p：他是运动员，q：他是教练员。

（4）这个命题是p且q的形式，其中，p：这些文学作品艺术上有缺点，q：这些文学作品政治上有错误。

小结：正确理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义是解题的关键。

应根据组成上述各复合命题的语句中所出现的逻辑联结词，或语句的意义确定复合命题的形式。

例2. 已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负根；q：方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根。

若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围。

解：若方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根，解得：1<m<m<3。

<="">因p 或q 为真，所以p 、q 至少有一为真，又p 且q 为假，所以p 、q 至少有一为假，因此，p 、q 两命题应一真一假，即p 为真，q 为假或p 为假，q 为真。

∴或或m m m m m >≤≥≤<<213213解得：或。

m m ≥<≤312小结：由简单命题的真假可根据真值表来判断复合命题的真假。

高中数学常用逻辑用语知识点

高中数学常用逻辑用语目标认知考试大纲要求：1. 理解命题的概念；了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2. 了解命题“若p,则q”的形式及其逆命题、否命题与逆否命题，分析四种命题相互关系.3. 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.4. 理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定.重点：充分条件与必要条件的判定难点：根据命题关系或充分(或必要)条件进行逻辑推理。

知识要点梳理知识点一：命题1. 定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题.（1）命题由题设和结论两部分构成. 命题通常用小写英文字母表示，如p,q,r,m,n等.（2）命题有真假之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题. 数学中的定义、公理、定理等都是真命题（3）命题“”的真假判定方式：①若要判断命题“”是一个真命题，需要严格的逻辑推理；有时在推导时加上语气词“一定”能帮助判断。

如：一定推出.②若要判断命题“”是一个假命题，只需要找到一个反例即可.注意：“不一定等于3”不能判定真假，它不是命题.2. 逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.（1）不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题.（2）复合命题的构成形式：①p或q；②p且q；③非p（即命题p的否定）.（3）复合命题的真假判断（利用真值表）：非真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假①当p、q同时为假时，“p或q”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”；②当p、q同时为真时，“p且q”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”。

③“非p”与p的真假相反.注意：（1）逻辑连结词“或”的理解是难点，“或”有三层含义，以“p或q”为例：一是p成立且q不成立，二是p不成立但q成立，三是p成立且q也成立。

可以类比于集合中“或”. （2）“或”、“且”联结的命题的否定形式：“p或q”的否定是“p且q”；“p且q”的否定是“p或q”.（3）对命题的否定只是否定命题的结论；否命题，既否定题设，又否定结论。

充要条件的逻辑关联词

充要条件的逻辑关联词在逻辑学中，存在着一些重要的逻辑关联词，它们用于表达命题之间的逻辑关系。

在命题逻辑中，充要条件是一种非常重要的逻辑关系，我们将在本文中详细讨论充要条件以及与之相关的逻辑关联词。

充要条件是指两个命题之间存在一种必要性和充分性的关系。

也就是说，如果一个命题A是另一个命题B的充分条件，那么只要A成立，B就一定成立；而如果A是B的必要条件，那么只有当B成立时，A才能成立。

在逻辑学中，我们常用到以下几种逻辑关联词来表示充要条件：1.当且仅当：表示两个命题的真值完全一致，其中一个命题成立时另一个命题也成立，两者是相互依存的关系。

用符号"⇔"表示。

例如，命题A当且仅当命题B成立可以表示为A⇔B。

2.只有当：表示只有在某个条件满足时，另一个命题才成立。

用符号"⇒"表示。

例如，命题A只有当命题B成立时才成立可以表示为A⇒B。

3.若...则...：表示如果某个条件成立，那么另一个命题也一定成立。

用符号"→"表示。

例如，若A成立，则B成立可以表示为A→B。

4.必要条件：表示某个条件是实现另一个命题的条件，如果不满足这个条件，那么另一个命题也无法成立。

用符号"⇐"表示。

例如，命题A是命题B的必要条件可以表示为A⇐B。

5.充分条件：表示某个条件可以保证另一个命题的成立，但并不是必要条件，也就是说还有其他条件可以使得另一个命题成立。

用符号"⇒"表示。

例如，命题A是命题B的充分条件可以表示为A⇒B。

接下来，我们将通过一些例子来说明这些逻辑关联词的具体用法。

例1：假设我们要表达"一个数是偶数当且仅当它能被2整除"这个关系。

可以表示为：命题A：这个数是偶数命题B：这个数能被2整除由于偶数除2没有余数，因此A⇒B；而对于任意能被2整除的数来说，它都可以表示为2的倍数，所以B⇒A。

因此，我们可以用"一个数是偶数当且仅当它能被2整除"来表示这个关系。

命题及其关系充分条件必要条件简单的逻

自身的同一性。
矛盾律
矛盾律是指在同一思维过程中，两个相互矛盾的命题或概念不能同时为真。
排中律
排中律是指在同一思维过程中，两个相互矛盾的命题或概念不能同时为假。
充足理由律
充足理由律是指在推导新的命题或结论时，必须提供充分的
理由或证据。
逻辑推理的应用
在学研究中的应用
在法律中的应用
逻辑推理是科学研究中的重要方法之一，通过归纳和演绎等方法，科学家可以得出新的科学结论和理论。
需要注意的是，必要条件并不一定是唯一条件，也就是说，可能存在其他条件也能使原命题成立。
必要条件的应用
在日常生活和工作中，我们经常需要判断某个条件是否是必要条件。例如，在解决问题时，我们需要确定哪些条件是必不可少的，以便更好地理解和解决该问题。
在科学研究、工程设计和企业管理等领域中，必要条件的运用也十分广泛。例如，在制定产品标准或规范时，需要明确规定哪些条件是产品必须满足的，以确保产品的质量和安全性。
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03
两个命题之间如果一个为真，另一个必为假，则它们之间存在
矛盾关系。
02 充分条件
充分条件的定义
充分条件的定义
如果条件A存在，那么结果B一定发生，则称A是B的充分条件。
例如
如果天下雨（条件A），那么地面会湿（结果B）。在这里，“天下雨”就是“地面会湿”的充分条件。
充分条件的判断
判断方法
如果结果B发生，那么是否一定存在条件A。如果存在，则是充分条件；如果不存在，则不是充分条件。
命题及其关系、充分条件、必要条件、简单的逻辑推理
目录
• 命题及其关系 • 充分条件 • 必要条件 • 简单的逻辑推理
01 命题及其关系

命题及其关系、充分条件及必要条件知识点及题型归纳

-●高考明方向1.理解命题的概念．2.了解"假设p，则q〞形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.*备考知考情常用逻辑用语是新课标高考命题的热点之一，考察形式以选择题为主，试题多为中低档题目，命题的重点主要有两个：一是命题及其四种形式，主要考察命题的四种形式及命题的真假判断；二是以函数、数列、不等式、立体几何中的线面关系等为背景考察充要条件的判断，这也是历年高考命题的重中之重．命题的热点是利用关系或条件求解参数*围问题，考察考生的逆向思维.一、知识梳理"名师一号"P4知识点一命题及四种命题1、命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．注意：命题必须是陈述句，疑问句、祈使句、感慨句都不是命题。

2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系．(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有一样的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性无关．注意：(补充)1、一个命题不可能同时既是真命题又是假命题2、常见词语的否认知识点二充分条件与必要条件1、充分条件与必要条件的概念〔1〕充分条件：q p ⇒ 则p 是q 的充分条件即只要有条件p 就能充分地保证结论q 的成立，亦即要使q 成立，有p 成立就足够了，即有它即可。

〔2〕必要条件：q p ⇒ 则q 是p 的必要条件即没有q 则没有p ，亦即q 是p 成立的必须要有的条件，即无它不可。

(补充)〔3〕充要条件q p ⇒且q p ⇒即p q ⇔则p 、q 互为充要条件〔既是充分又是必要条件〕"p 是q 的充要条件〞也说成"p 等价于q 〞、 "q 当且仅当p 〞等 (补充)2、充要关系的类型〔1〕充分但不必要条件定义：假设q p ⇒，但p q ⇒/，则p 是q 的充分但不必要条件；〔2〕必要但不充分条件定义：假设p q⇒，但q p ⇒/，则p 是q 的必要但不充分条件〔3〕充要条件定义：假设q p ⇒，且p q ⇒，即p q ⇔，则p 、q 互为充要条件；〔4〕既不充分也不必要条件定义：假设q p ⇒/，且p q ⇒/，则p 、q 互为既不充分也不必要条件．3、判断充要条件的方法："名师一号"P6 特色专题①定义法；②集合法；③逆否法〔等价转换法〕．逆否法----利用互为逆否的两个命题的等价性集合法----利用集合的观点概括充分必要条件假设条件p 以集合A 的形式出现，结论q 以集合B的形式出现，则借助集合知识，有助于充要条件的理解和判断．〔1〕假设⊂≠A B ，则p 是q 的充分但不必要条件〔2〕假设⊂≠B A ，则p 是q 的必要但不充分条件〔3〕假设B A =，则p 是q 的充要条件〔4〕假设B A ⊂/，且B A ⊃/，则p 是q 的既不必要也不充分条件 (补充)简记作----假设A 、B 具有包含关系，则〔1〕小*围是大*围的充分但不必要条件〔2〕大*围是小*围的必要但不充分条件二、例题分析〔一〕四种命题及其相互关系例1.(1) "名师一号"P4 对点自测1命题"假设*，y 都是偶数，则*＋y 也是偶数〞的逆否命题是( )A ．假设*＋y 是偶数，则*与y 不都是偶数B ．假设*＋y 是偶数，则*与y 都不是偶数-C．假设*＋y不是偶数，则*与y不都是偶数D．假设*＋y不是偶数，则*与y都不是偶数答案 C例1.(2) "名师一号"P5 高频考点例1以下命题中正确的选项是( )①"假设a≠0，则ab≠0〞的否命题；②"正多边形都相似〞的逆命题；③"假设m>0，则*2＋*－m＝0有实根〞的逆否命题；④"假设*－123是有理数，则*是无理数〞的逆否命题．A．①②③④B．①③④C．②③④D．①④解析:①中否命题为"假设a＝0，则ab＝0〞，正确；②中逆命题不正确；③中，Δ＝1＋4m，当m>0时，Δ>0，原命题正确，故其逆否命题正确；④中原命题正确故逆否命题正确．答案 B注意："名师一号"P5 高频考点例1 规律方法在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比拟每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的"逆命题〞"否命题〞"逆否命题〞；判定命题为真命题时要进展推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可．对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手．例1.(3) "名师一号"P4 对点自测2(2014·**卷)原命题为"假设z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|〞，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的选项是( )A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假解析易知原命题为真命题，所以逆否命题也为真，设z1＝3＋4i，z2＝4＋3i，则有|z1|＝|z2|，但是z1与z2不是共轭复数，所以逆命题为假，同时否命题也为假．注意："名师一号"P5 问题探究问题2四种命题间关系的两条规律(1)逆命题与否命题互为逆否命题；-互为逆否命题的两个命题同真假．(2)当判断一个命题的真假比拟困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．同时要关注"特例法〞的应用．例2．(1)(补充)〔2011**文5)a ，b ，c ∈R ，命题"假设a b c ++=3，则222a b c ++≥3〞的否命题．．．是〔〕 (A)假设a+b+c ≠3，则222a b c ++<3(B)假设a+b+c=3，则222a b c ++<3(C)假设a+b+c ≠3，则222a b c ++≥3(D)假设222a b c ++≥3，则a+b+c=3【答案】A 来【解析】命题"假设p ，则q 〞的否命题是："假设p ⌝，则q ⌝〞例2．(2)(补充)命题："假设0xy =，则0x =或0y =〞的否认．．是：________ 【答案】假设0xy =，则0x ≠且0y ≠【解析】命题的否认只改变命题的结论。

命题及其关系、充要条件

种类
演绎推理、归纳推理、类比推理。
推理的规则和形式
规则
必须遵守形式逻辑的规则，确保推理的正确性。
形式
包括前提、结论和推理形式，如"如果 P，则Q"等。
推理的方法和技巧
方法
包括直接推理、间接推理、反证法等。
技巧
如排除法、归纳法、演绎法等，有助于简化推理过程。
05
命题的否定与等价
命题的否定
命题的否定是指将一个命题的真假性取反。例如，如果一个命题是 “所有动物都是哺乳动物”，那么它的否定就是“存在一个动物不是哺乳动物”。
利用充要条件可以简化证明过程，提高证明效率。
在逻辑推理中的应用
充要条件是逻辑推理中的重要概念，用于判断推理的正确性。
在日常生活中的应用
充要条件可以帮助我们更好地理解事物之间的联系，做出正确的决策。
03
命题逻辑
命题逻辑的基本概念
命题
一个具有真假意义的陈述句。
真值
命题所表达的实际情况。
复合命题
由简单命题通过逻辑联结词组合而成的命题。
简单命题
不包含其他命题作为其组成部分的命题。
命题逻辑的推理规则
演绎推理
从一般到特殊的推理方式，即从普遍性前提推出特殊性结论的推理。
归纳推理
从特殊到一般的推理方式，即从个别性前提推出普遍性结论的推理。
类比推理
根据两个或两类对象在某些属性上相同，推断出它们在其他属性上也相同的推理。
命题组公理或基本命题，通过逻辑推理得出结论的方法。
反证法
通过假设与已知事实相矛盾的命题，进而推出矛盾，从而证明原命题正确的方法。
直接证明
直接利用已知条件和推理规则，逐步推导到结论的方法。

常用逻辑用语知识点归纳ying

常用逻辑用语知识点归纳1. 四种命题，（原命题、否命题、逆命题、逆否命题）（1）四种命题的关系，（2）等价关系（互为逆否命题的等价性）小结：原命题与其逆否命题同真、同假。

（b ）否命题与逆命题同真、同假。

2. 充分条件、必要条件、充要条件（1）定义：若p 成立，则q 成立，即q p ⇒时，p 是q 的充分条件。

同时q 是p 的必要条件。

若p 成立，则q 成立，且q 成立，则p 成立，即q p ⇒且p q ⇒，则p 与q 互为充要条件。

（2）判断方法：（i ）定义法，（ii ）集合法：设使p 成立的条件组成的集合是A ，使q 成立的条件组成的集合为B ，①若B A ⊆ 则p 是q 的充分条件。

（同时q 是p 的必要条件）②若A B 则p 是q 的充分非必要条件。

③若B ⊆A 则p 是q 的必要条件④若B A 则p 是q 的必要非充分条件⑤若A=B ，则p 与q 互为充要条件。

（iii ）命题法：假设命题：“若p 则q ”。

当原命题为真时，p 是q 的充分条件。

当其逆命题也为真时，p 与q 互为充要条件。

小结：注意充分条件与充分非必要条件的区别：用集合法判断看，前者：集合A 是集合B 的子集；后者：集合A 是集合B 的真子集。

3. 全称命题、特称命题（含有全称量词的命题叫全称命题，含有存在量词的命题叫特称命题）（1）关系：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。

（2）全称量词与存在量词的否定。

关键词否定词关键词否定词关键词否定词关键词否定词都是不都是至少一个一个都没有至多一个至少两个属于不属于4. 逻辑连结词“或”，“且”，“非”。

（1）构造复合命题的方式：简单命题+逻辑连结词（或、且、非）+简单命题。

（2）复合命题的真假判断：pq 非p p 或q p 且q 真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假注意：“命题的否定”与“否命题”是两个不同的概念：前者只否定结论，后者结论与条件共同否定。

逻辑联结词与充要条件

第2讲逻辑联结词与充要条件【考点解读】1、了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，会判断简单复合命题的真假。

2.理解全称量词与存在量词的意义。

3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定，会判断含有量词的命题的真假。

4.理解命题的概念。

5.了解“若p ，则q ”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系。

6.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义。

【知识扫描】1.简单的逻辑联结词（1）“或”“且”“非”等词叫做逻辑联结词。

逻辑联结词与集合中的“交”、“并”、“补”密切相关。

① {}|,B AB x x A x =∈∈或，集合中的并集是用“或”来定义的。

是指至少满足“x A ∈”与“x B ∈”中的一个，即：x A ∈，且x B ∉；也可以是x A ∉，且x B ∈；还可以是x A ∈，且x B ∈.因此逻辑联结词“或”的含义与并集中“或”的含义基本一致.②{}|,B A B x x A x =∈∈且，集合中的交集是用“且”来定义的。

它是指“x A ∈”与“x B ∈”都要满足的意思，即：x 既属于A ，同时又属于B.③{},u C A x x U xA =蜗且，集合中的“补集”与“非”密切相关。

（2）复合命题：不含逻辑联结词的命题叫做简单命题。

由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题。

（3）复合命题的三种形式与真假判断： p 或q 记为p q Ú，一真即真； p 且q 记为p q Ù，一假即假；非p 记为p Ø，p 与 p Ø一真一假。

对于复合命题的真假判断可以借助下列表格进行记忆.2.全称量词与存在量词(1)短语“所有”在陈述句中表示事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示，含有全称量词的命题叫做全称命题.(2)短语“有一个”、“有些”、“至少有一个”在陈述句中表示事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示，含有存在量词的命题叫做特称命题.(3)全称命题与特称命题的否定：①对于全称命题p ：)(,x p M x ∈∀，其否定为p ⌝：)(,x p M x ⌝∈∃；②对于特称命题q ：)(,x q M x ∈∃，其否定为q ⌝：)(,x q M x ⌝∈∀.常见的正面叙述的和它的否定词语如下表所示：词语是一定是都是大于小于词语的否定不是一定不是不都是小于或等于大于或等于词语且必有一个至少有n 个至多有一个所有x 成立词语的否定或一个也没有至多有n -1个至少有两个存在一个x 不成立3.命题的定义及真假判断(1)用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.一般地来说，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题；对于含有变量的语句，要注意根据变量的范围，看能否判断真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题；还有一些语句，尽管目前无法判断其真假，但从事物的本质而论，语句是可辨别真假的，尤其是在科学上的一些猜想等，这类语句也叫做命题.(2)命题的常见形式是：若p ，则q.其中p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论.判断其真假时，首先要搞清楚该命题的结构，分清条件和结论，再和其他的相关知识联系起来，加以判断.4.命题的四种形式及其相互关系 (1)命题的四种形式:原命题:若q 则p; 逆命题: 若q 则p;否命题:若p Ø则q Ø；逆否命题：若q Ø则p Ø。

命题、充要条件、逻辑关联词解题经典方法2

命题、充要条件、逻辑关联词解题经典方法2一、充分条件和必要条件的判断方法1. 命题判断方法（定义法）① 若p q ⇒且p q <≠，p 是q 的充分不必要条件；② 若p q ≠>且p q ⇐，p 是q 的不充分必要条件；③ 若p q ⇒且p q ⇐，p 是q 的充分必要条件；④ 若p q ≠>且p q <≠，p 是q 的既不充分也不必要条件.例1.设a ，b 是向量，则“a b = ”是的“a b a b +=- ”的（ D ）A. 充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件2. 集合判断方法对于两个数集,A B① 若A B ≠⊂，则“x A ∈”是“x B ∈”的充分而不必要条件 ② 若A B ≠⊃，则“x A ∈”是“x B ∈”的不充分而必要条件③ 若A B =，则“x A ∈”是“x B ∈”的充分而必要条件例2. “1x >”是“11x<”的（ A ） A. 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件3. 等价转化方法①p q p q ⌝⇒⌝⇔⇐即p ⌝是q ⌝的充分不必要条件等价于p 是q 的必要不充分条件.②p q p q ⇒⌝⇔⌝⇐即p ⌝是q 的充分不必要条件等价于p ⌝是q 的必要不充分条件.例3.已知条件p ：2230x x +->；条件:q x a >，且q ⌝的一个充分不必要条件是p ⌝，则a 的取值范围（ A ）A. [1,)+∞B. (,1]-∞C. [1,)-+∞D. (,3]-∞-二、含有逻辑联结词的命题1. 含有逻辑联结词的命题的真假判断方法：“或”——见真即真；“且”——见假即假，“非”——真假相反例 4.已知命题p :方程210x mx ++=有两个不相等的正实数根，命题q ：方程244(2)10x m x +++=无实数根，若“p 或q ”为真命题，则实数m 的取值范围_______.(,1)-∞-2. 全称命题与特称命题真假的判断① 对于“,()x M p x ∀∈”若为真，必须使得()p x 对集合M 中的每一个元素x 都成立② 对于“,()x M p x ∀∈”若为假，只须在集合M 中的找出一个元素0x 使()p x 不成立即可.③ 对于“00,()x M p x ∃∈”若为真，只须在集合M 中的找出一个元素0x 使0()p x 成立即可.④ 对于“00,()x M p x ∃∈”若为假，必须使得()p x 对集合M 中的每一个元素x都不成立例5.下列命题：1p ：000,sin cos 2x R x x π∃∈+=；2p ：,a R ∃∈使直线0ax y a ++=与圆229x y +=相切；3p ：,x R ∀∈都有1x e x ≥+4p ：(0,)x ∀∈+∞方程121()log 2x x > 其中的假命题是_____________1p 2p 4p3. 含有一个量词的命题的否定① 命题：,()x M p x ∀∈，命题的否定：00,()x M p x ∃∈⌝② 命题：00,()x M p x ∃∈，命题的否定：,()x M p x ∀∈⌝例6.已知命题:p ,2x x R e x a ∃∈≤+为假命题，则实数a 的取值范围是__________.(,22ln 2)-∞-参考答案：例1. D 例2. A 例3. A 例4. (,1)-∞-例5. 1p 2p 4p 例6. (,22ln 2)-∞-。

逻辑联结词,充要条件

简易逻辑教学目的：了解命题的概念和命题的构成；理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；理解四种命题及其互相关系；反证法在证明过程中的应用．教学重点：复合命题的构成及其真假的判断，四种命题的关系教学过程;（一）主要知识：1．简单逻辑联结词(1)命题：叫命题．(2)逻辑联结词：这些词叫逻辑联结词．(3)简单命题：的命题叫做简单命题，常用p 、q 、r 、s ，…，等小写字母表示．(4)复合命题：构成的命题叫做复合命题，构成复合命题的三种形式是： .2．由真值表判断复合命题的真假；命题“p ∧q ”与命题“p ∨q ”的真假的规定（即一假则假）（即一真则真）若p 是真命题，则￢p 必是假命题；若p 是假命题，则￢p 必是真命题；3．四种命题的关系(1)基本关系(2)原命题⇔ ，逆命题⇔ ．原命题为真，它的逆命题、否命题为真，但原命题的逆否命题____真．例1. 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假:(1) 若q <1，则方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根；(2) 若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0；(3) 若x 2＋y 2＝0，则x 、y 全为零.解：(1)逆命题：若方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根，则q ＜1，为假命题．否命题：若q ≥1，则方程x 2＋2x ＋q＝0无实根，为假命题．逆否命题：若方程x 2＋2x ＋q ＝0无实根，则q ≥1，为真命题．(2)逆命题：若a ＝0或b ＝0，则ab ＝0，为真命题．否命题：若ab ≠0，则a ≠0且b ≠0，为真命题．逆否命题：若a ≠0且b ≠0，则ab ≠0，为真命题．(3)逆命题：若x 、y 全为零，则x 2＋y 2＝0，为真命题．否命题：若x 2＋y 2≠0，则x 、y 不全为零，为真命题．逆否命题：若x 、y 不全为零，则x 2＋y 2≠0，为真命题．变式训练：写出下列命题的否命题，并判断原命题及否命题的真假：（1）如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形的三个角都相等；（2）矩形的对角线互相平分且相等；（3）相似三角形一定是全等三角形.解：（1）否命题是：“如果一个三角形的三条边不都相等，那么这个三角形的三个角也不都相等”. 原命题为真命题，否命题也为真命题.（2）否命题是：“如果四边形不是矩形，那么对角线不互相平分或不相等”原命题是真命题，否命题是假命题.（3）否命题是：“不相似的三角形一定不是全等三角形”.原命题是假命题，否命题是真命题.例2 下列命题中，真命题是（）A ．0,00≤∈∃x e R xB ．22,x R x x >∈∀C ．0=+b a 的充要条件是1-=b a D ．1,1>>b a 是1>ab 的充分条件分析：本题考查的知识点为复逻辑中的充要条件的判定。

2008高考数学复习逻辑联结词四种命题充分必要条件

2008高考数学复习逻辑联结词四种命题充分必要条件一、基本知识体系：1、命题、简单命题、复合命题；逻辑联结词：2、复合命题的真假与构成它的简单命题的真假之间的关系：p 或q ：__，p 且q ：___；p 与⌝p ：___3、四种命题及它们之间的关系：原命题与逆否命题，否命题与逆命题分别为等价的命题4、关于充要条件：5、注意：命题的否定与否命题的区别：如果原命题是“若p 则q ”，那么它的否命题是：“若非p 则非q ”，即既否定条件，又否定结论；而命题的否定形式是：“若p 则非q ”，即只否定命题的结论。

若一个命题的条件与结论不明显时，可以先把它改写为“若p 则q ”的形式，再去确定其否命题或否定形式。

二、典型例题剖析：【★题1】写出下列命题的否定及否命题：① 两组对边平行的四边形是平行四边形。

解：（否定形式：两组对边平行的四边形不是平行四边形；否命题：若一个四边形至少有一组对边不平行，则它不是平行四边形。

② 正整数1既不是质数也不是合数。

解：（否定形式：正整数1是质数或者是合数。

否命题：若一个正整数不是1，则它是质数或者是合数。

③ 命题“若a>b,则2a >2b -1”的否命题为_____(若a ≤b, 则2a ≤2b -10【★题2】已知c >0,设P ：函数y=c x 在R 上单调递减；Q ：不等式x+|x-2c |>1的解集为R ；如果P 和Q 有且只有一个正确，求c 的取值范围解、c 的取值范围为（0，12]∪[1，+∞）【★题3】（正难则反）若二次函数ƒ（x ）=4x 2-2(t-2)x-2t 2-t+1,在[-1，1]内至少存在一个实数c,使得ƒ（c ）>0，求实数t 的取值范围解、正难则反：考查反面“对[-1，1]内任意一个实数c,都有ƒ（c ）≤0成立的t 的范围”，而此范围则对应为；ƒ（-1）≤0且ƒ（1）≤0从而有｛t |t ≤-3或t ≥32｝∴所求为t |-3<t <32｝【★题4】① 如果不等式|x-m|≤1成立的充分不必要条件是1<x ≤2，则实数m 的取值范围是（Ａ）Ａ［１，２］Ｂ（１，２］Ｃ［１，２）Ｄ（１，２）（2）◆①0<a ≤51是函数ƒ（x ）=ax 2+2(a-1)x+2在区间（-∞，4）上为↘的（ A ）条件： A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 非充分非必要条件※【★题5】①关于x 的方程ax 2+2x+1=0(a ≠0)有一正一负两个实根的充分非必要条件为( )A a <0B a >0C a <-1D a >1解、选C,要注意a <0是一个充要条件②已知条件p:|4x-3|≤1；q: x 2-(2a+1)x+a(a+1)≤0 若⌝p 是⌝q 的必要非充分条件,求a 的取值范围_________解、p: 12≤x ≤1 ⌝p: x >1 或 x <12q: a ≤x ≤a+1 ⌝q: x <a 或x >a+1 ∴0≤a ≤12为所求（3）、若m 、n 是实数，则使mn(m-n)>0成立的一个充要条件是（C ）A 0<1m <1nB 0>1m >1nC 1m <1nD 1m >1n【★题6】已知命题P:函数y=lg(ax 2-x+a 16)定义域为R ；命题Q:函数y=(5-2a)x 为↗；若“P 或Q ”为真命题,“P 且Q ”为假命题,则实数a 的取值范围为____________解、命题P: a >2；命题Q: a <2 则｛a|a ≠2｝为所求【★题7】已知函数ƒ（x ）=2-x+3x+1定义域为集合A 函数g （x ）=lg[(x-a-1)(2a-x)]定义域为集合B,若B ⊆A 求实数a 的取值范围解、集合A=｛x|x <-1或 x ≥1｝①当a <1时,B=(2a,a+1),则2a ≥1或a+1≤-1 ∴｛a|12≤a<1或a ≤-2｝ ②当a=1时,B=∅ 满足要求③当a >1时, B=(a+1,2a),则2a ≤-1或a+1≥1则a>1； ∴a ∈[12,+∞)∪(-∞,-2]为所求【★题8】①是否存在实数p ，使得“4x+p<0”是“x 2-x-2>0”的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围；②是否存在实数p ，使得“4x+p<0”是“x 2-x-2>0”的必要条件？如果存在，求出p 的取值范围解：①｛p|p ≥4｝则为充分条件；② 不存在。

高考数学一轮总复习名师精讲第3讲逻辑联结词与四种命题充要条件课件

p 或 q：方程 2x2－2 6x＋3＝0 有两实根或两实根不相等． p 且 q：方程 2x2－2 6x＋3＝0 有两实根且两实根不相等．非 p：方程 2x2－2 6x＋3＝0 无实根． ∵Δ＝24－24＝0， ∴命题 p 真而命题 q 假， ∴p 或 q 真，p 且 q 假，非 p 假．
❖ [点评]三种形式的复合命题的真假往往不直接判断，而是借助构成它们的简单命题的真假来判断，判断时需借助真值表的相关结论．
❖ 答案：B
❖ 2．原命题：“设a、b、c∈R，若ac2＞bc2，则 a＞b”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有( )
❖ A．0个
B．1个
❖ C．2个D．3个❖ 解析：由题意可知，原命题正确，逆命题错误，所以否命题错误，而逆否命题正确，故选B.
❖ 答案：B
❖ 3．(2011·重庆十二校一检)如果命题“非p或非 q”是假命题，则下列各结论中正确的是( )
❖ (3)该命题为假．
❖ 逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x 轴有公共点，则b2－4ac<0.为假．
❖ 否命题：若二次函数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c 中 b2 － 4ac≥0 ，则该二次函数图象与 x 轴没有公共点．为假．
❖ 逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与 x轴没有公共点，则b2－4ac≥0.为假．
❖ 所以假设不成立，原命题正确，即两个方程中至少有一个方程有两个不相等的实数根．
❖ [点评] 反证法可应用于数学证明的各个方面，只要是直接证明有困难的，且有可能从结论的否定推出矛盾的都可以．本题是方程的根的分布问题，所以要考虑方程的判别式．
❖ 在假设时，应该设问题的直接对立面，所以是两个方程都没有不等的实数根，再从判别式的特点入手，推出矛盾．

充分条件和必要条件逻辑符号

充分条件和必要条件逻辑符号在逻辑学和数学中，充分条件和必要条件是重要的概念。

它们通常用于描述命题之间的关系，并且在数学证明和推理中起着至关重要的作用。

在本文中，我们将对充分条件和必要条件进行详细的解释和讨论，以便读者能够更清晰地理解这两个概念。

一、充分条件和必要条件的概念1. 定义在逻辑学和数学中，充分条件和必要条件是用来描述命题之间关系的两个重要概念。

2. 充分条件当一个条件语句“A→B”成立时，如果“A”为真，则“B”也必定为真。

这时我们说“A→B”是“B”的充分条件。

3. 必要条件当一个条件语句“A→B”成立时，如果“B”为假，则“A”也必定为假。

这时我们说“A”是“B”的必要条件。

二、充分条件和必要条件的符号表示充分条件和必要条件在逻辑符号中有特定的表示方法。

在逻辑符号中，“A→B”表示“A”是“B”的充分条件。

2. 必要条件的表示在逻辑符号中，“B→A”表示“A”是“B”的必要条件。

三、充分条件和必要条件的关系1. 互为逆否命题“A→B”和“¬B→¬A”互为逆否命题。

2. 充分条件和必要条件的等价关系在逻辑学中，“A→B”和“B→A”是等价的。

也就是说，一个命题的充分条件是另一个命题的必要条件，并且反之亦然。

3. 举例说明举一个具体的例子来说明充分条件和必要条件之间的关系。

假设有以下命题：“如果今天下雨，那么地面湿润。

”这里，“下雨”是“地面湿润”的充分条件，“地面湿润”是“下雨”的必要条件。

四、充分条件和必要条件在数学证明中的应用在数学证明中，充分条件和必要条件是非常重要的概念。

它们常常用于证明和推理过程中，帮助我们确定命题之间的逻辑关系。

当我们需要证明一个条件语句“A→B”成立时，通常可以采用反证法或者假设法来进行证明。

如果能够证明“A”为真，则“B”也必定为真，于是“A→B”就成立了。

2. 必要条件的应用当我们需要证明一个命题“B”的必要条件时，可以采用反证法来进行证明。

数学推理的基本知识点

数学推理的基本知识点数学推理作为数学的重要组成部分，对于学习数学和解决实际问题非常关键。

本文将介绍数学推理的基本知识点，包括命题逻辑、条件与充分条件、逆否命题、等价命题、数学归纳法以及反证法。

一、命题逻辑命题逻辑是数学推理中的基础，它研究的是命题之间的逻辑关系。

命题是陈述句，它要么是真，要么是假。

常见的命题逻辑符号有“与”（∧）、“或”（∨）和“非”（¬）。

通过这些符号，我们可以连接多个命题，得出新的命题。

二、条件与充分条件条件是数学推理中常见的逻辑形式。

条件命题由两个命题组成，如果一个命题为真，那么另一个命题也为真。

条件命题可以用“若...则...”来表达。

充分条件是条件命题的一种特殊形式，即如果两个命题互相为真，那么它们是充分条件。

三、逆否命题逆否命题是对条件命题进行否定和转换得到的命题。

逆命题是将条件命题中的前提和结论都取反，而否命题只是将结论取反。

逆否命题与原命题具有相同的真值。

因此，在推理过程中，我们可以使用逆否命题来推理条件命题的真值。

四、等价命题等价命题是在逻辑上与原命题具有相同真值的命题。

如果两个命题的真值表完全相同，那么它们是等价命题。

等价命题可以通过连接词“当且仅当”（简写为“↔”）来表示。

五、数学归纳法数学归纳法是一种常用的证明方法，它适用于证明涉及自然数的命题。

数学归纳法分为两个步骤：基础步骤和归纳步骤。

基础步骤是证明命题在自然数的最小值上成立，而归纳步骤是假设命题在某一自然数上成立，然后证明在下一个自然数上也成立。

六、反证法反证法是一种常用的证明方法，它通过假设命题的反面，然后通过推理得出矛盾，从而证明原命题的真值。

反证法的基本思想是排除掉其他可能性，只留下肯定的答案。

总结：数学推理的基本知识点包括命题逻辑、条件与充分条件、逆否命题、等价命题、数学归纳法以及反证法。

掌握这些知识点对于解决数学问题和进行数学证明非常重要。

在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的推理方法，提高解决问题的效率和准确性。