第2周平行线中的倒角模型(拐点问题)(详解版)

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平行线中的拐点(拐角)问题

专题一平行线中的拐点问题【学习目标】1.复习巩固平行线的性质和判定，找到解决平行线间拐点问题的基本方法，学会运用平行线转移角，建立分散的角之间的练习，提高几何推理能力。

2.在探究的过程中，体会观察-猜想-实验-证明的探究过程，初步体会添加辅助线的目的。

【学习过程】一、复习填空.平行线的判定：①_____________________________________________.②_____________________________________________.③_____________________________________________.④_____________________________________________.平行线的定理：①_____________________________________________.②_____________________________________________.③_____________________________________________.二、探究新知假设，两根木杆AB与CD平行放置，木杆的两端B、D用一根橡皮筋连接，现在在橡皮筋BD上任取一点P，将点P向里压：例1.如图，在平行线AB，CD内任取一点P，连接DP，BP.（1）若∠ABP=45°，∠CDP=15°则∠BPD=__________.（2）若∠BPD=50°，∠CDP=10°则∠ABP=__________.（3）试猜想∠BPD与∠ABP、∠CDP之间的数量关系，并说明理由.变式练习：1.如图，直线AB∥CD，∠A=40°，∠D=45°，则∠1的度数是__________. 2.如图，直线AB∥CD，∠C=44°，∠E为直角，则∠1的度数是_____________.（1）（2）拓展提升：如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线．（1）如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC之间会满足怎样的数量关系，证明你的结论．（2）如果将折一次改为折三次，如图3，则∠BEO、∠O、∠P、∠Q、∠QFD之间会满足怎样的数量关系（直接写出结果不需证明）假设，现在在橡皮筋BD上任取一点P，将点P水平向外拉：例2.如图，在平行线段AB、CD外取一点P，连接BP，DP，刚才的结论还成立吗？若不成立，你又有新的发现吗？变式练习：1.某小区地下停车场入口门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD=110°，则∠ABC=__________.2.如图，如果a∥b，∠1=55°，∠2=130°，则∠3=___________.（1）（2）拓展提升：已知：如图，AB∥CD，试解决下列问题：（1）∠1+∠2＝；（2）∠1+∠2+∠3＝；（3）∠1+∠2+∠3+∠4＝_；（4）试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝．假设，现在在橡皮筋BD上任取一点P，将点P斜上右上方拉或者斜上左上方拉：例3.如图①②，在平行线AB、CD外取一点P，连接BP，DP，这时∠ABP，∠CDP，∠BPC之间又有怎样的数量关系呢？变式训练：1.如图，BD∥EF，AE与BD交于点C，∠B＝30°，∠A＝75°，则∠E的度数为__________.2.如图，直线AB∥EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD＝100°，∠CDE＝15°，则∠DEF的度数是___________.3.如图，已知直线a∥b，则∠1、∠2、∠3的关系是______________.（1）（2）（3）三、课后练习1.如图，直线l2∥12，∠A＝125°，∠B＝85°，则∠1+∠2＝．2.如图，如果AB∥CD，则角α、β、γ之间的关系为．3.如图，已知AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，∠E＝140°．则∠BFD的度数为____________．（1）（2）（3）4.如图，直线m∥n，AB⊥BC，∠1＝35°，∠2＝62°，则∠BCD的度数为．5.直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝105°，则∠1+∠2=____________.（4）（5）6.如图，已知AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BED＝75°．求∠BFD的度数．7.如图，一条公路修到湖边时需绕道，第一次拐角∠B＝110°，第二次拐角∠C＝150°，为了保持公路AB与DE平行，则第三次拐角∠D的度数为__________.8．如图，AB∥EF，BC⊥CD于C，∠ABC＝30°，∠DEF＝45°，则∠CDE等于（）A．105°B．75°C．135°D．115°9．如图所示，两平面镜α、β的夹角为60°，入射光线AO平行于β入射到α上，经两次反射后的反射光线O′B平行于α，则∠1的度数为（）A．60°B．45°C．30°D．75°10．如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB＝90°．若∠1+∠B＝70°，则∠2的度数为（）A．20°B．40°C．30°D．25°（8）（9）（10）11．阅读第（1）题解题过程，解答第（2）题．（1）如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间的一点，已知∠B＝40°，∠C＝30°，求∠BEC的度数．解：过点E作EM∥AB，∴∠B＝（）．∵AB∥CD，AB∥EM，∴EM∥（）．∴∠2＝（）．∴∠BEC＝∠1+∠2＝∠B+∠C＝40°+30°＝70°．（2）如图2，AB∥ED，试探究∠B、∠BCD、∠D之间的数量关系．。

2024七年级数学下册提练第2招巧解平行线中的“拐点”问题习题课件新版浙教版

(3)如图③，点P在直线CD下方，∠BAP与∠DCP的平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？并说明理由．
【解】∠AKC＝12∠APC. 理由：如图③，过点 K 作 KE∥AB，则∠BAK＝∠AKE， ∵AB∥CD，∴KE∥CD，∴∠DCK＝∠CKE， ∴∠AKC＝∠AKE－∠CKE＝∠BAK－∠DCK.
【解】如图①，过点P作PE∥AB，则∠APE＝∠BAP. ∵AB∥CD，∴PE∥CD， ∴∠CPE＝∠DCP， ∴∠APC＝∠APE＋∠CPE＝ ∠BAP＋∠DCP＝60°＋20°＝80°.
(2)如图②，点P在直线AB，CD之间，∠BAP与∠DCP的平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？并说明理由．
【解】如图，过点C作CF∥AB，则∠ABC＋∠FCB＝180°， ∴∠FCB ＝ 180° － ∠ABC ＝ 60° ， ∴∠DCF＝∠BCD－∠FCB＝ 80°－60°＝20°. 由题意可得 DE∥AB ， ∴CF∥DE ， ∴∠CDE＝∠DCF＝20°.
4. 如图，已知AB∥CD，∠B＝135°，∠D＝30°，求 ∠BED的度数．
(1)MD和NE平行吗？为什么？【解】MD∥NE.理由如下：如图①，过点A作AF∥MD，则∠MBA＋∠BAF＝180°. 又∵∠MBA＋ ∠BAC＋∠NCA＝360°， ∴∠FAC＋∠NCA＝180°， ∴AF∥NE，∴MD∥NE.
(2)若∠ABD＝ 70° ，∠ACE＝ 36°， BP和CP分别平分 ∠ABD，∠ACE，求∠BPC的度数．【解】如图②，过点P作PQ∥MD. ∵BP 和 CP 分别平分 ∠ABD ， ∠ACE ， ∠ABD＝70°，∠ACE＝36°，
【解】∠AKC＝12∠APC. 理由：如图②，过点 K 作 KE∥AB，则∠AKE＝∠BAK. ∵AB∥CD，∴KE∥CD，∴∠CKE＝∠DCK， ∴∠AKC＝∠AKE＋∠CKE＝∠BAK＋∠DCK.

平行线中的拐点(拐角)问题专题

①已知：AB∥CD，结论：∠AEC+∠A+∠C=360°
证明：过点E作EF,使得EF∥AB
B
A
∵AB∥CD
1
F
E
∴EF∥CD
2
∴∠A+∠1=180°，∠C+∠2=180°
D
C
∵∠1+∠2=∠AEC ∴∠A+∠C+∠AEC=∠A+∠1+∠C+∠2=360°
②已知：∠AEC+∠A+∠C=360°，结论：AB∥CD
B
A 证明：过点E作EF,使得EF∥AB
∴∠A=∠1
E1
F
2
∵∠AEC=∠1+∠2 ，且∠AEC=∠A+∠C ∴∠2=∠C
D
C
∴EF∥CD
∴AB∥CD
模型1：平行线间的“M”模型（猪手）
模型1：平行线间的“M”模型（猪手）
模型1：平行线间的“M”模型（猪手）
模型2:平行线间的“铅笔”模型（子弹头）
B
A
证明：过点E作EF,使得EF∥AB
∵AB∥CD
D
C
∴EF∥CD
E
F ∴∠A=∠AEF，∠C=∠CEF ∵∠AEC=∠CEF-∠AEF
∴∠AEC=∠C-∠A
模型3:平行线间的“枝丫”模型（锄头型和犀牛角型）
模型3:平行线间的“枝丫”模型（锄头型和犀牛角型）
模型3:平行线间的“枝丫”模型（锄头型和犀牛角型）
第二章相交线与平行线
平行线中的拐点问题
模型1：平行线间的“M”模型（猪手）
①已知：AB∥CD，结论：∠AEC=∠A+∠C
B
A 证明：过点E作EF,使得EF∥AB

七年级下册数学课件：平行线中的拐点问题

∴∠A=∠AEC+∠C
C
D
思考3：你能类比之前的构造辅助线的方法，想到其他证明方法吗？
新课授知
思考3：你能类比之前的构造辅助线的方法，想到其他证明方法吗？
E
解：延长EA交CD于点
∵AB//CD
∴∠AFD=∠EAB
∵∠AEC+∠C+∠EFC=180°
A
B
∵∠AFD+∠EFC=180°
∴∠AFD=∠AEC+∠C
拓展探索
思考2：还有其他方法吗？
A
B
A
1 E
F 2
C
E
2
D
13
F
C
A
B
B
1 2
E3
D
4 5
D
C
拓展探索
2、如图，AB∥CD，试求∠A、∠AEF、∠EFC、∠C有何关系？
A
B
E
M
F
N
C
D
新课授知
二、猪蹄型
3.如图，已知：AB∥CD，点E是平面内一点，那么∠AEC与∠A、 ∠C之间的数量关系是什么呢？
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课题：5.3.3平行线中的拐点问题
复习回顾
两线四角
相交线
三线八角
一般情况
邻补角对顶角
邻补角互补对顶角相等
特殊
垂线
存在性和唯一性垂线段最短点到直线的距离
同位角内错角同旁内角
平
行线
平行公理及其推论
平行线的判定平行线的性质
典例探究
例1：已知如图，AB//CD;若线段AC是拉直的橡皮筋，在AC上任取一点E，若向不同的方向拉动点E，动点E与两平行线的位置有哪几种？∠A，∠C， ∠AEC之间有何关系呢？

平行线中的拐点拐角问题专题 ppt课件

B
A
∵AB∥CD
1
F
E
∴EF∥CD
2
∴∠A+∠1=180°，∠C+∠2=180°
D
C
∵∠1+∠2=∠AEC ∴∠A+∠C+∠AEC=∠A+∠1+∠C+∠2=360°
②已知：∠AEC+∠A+∠C=360°，结论：AB∥CD
B
A
证明：过点E作EF,使得EF∥AB
1
F
E
2
∵AB∥EF ∴∠A+∠1=180°
①已知：AB∥CD，结论：∠AEC=∠A-∠C
B
A
证明：过点E作EF,使得EF∥AB
∵AB∥CD
D
C
∴EF∥CD
∴∠A=∠AEF，∠C=∠CEF
E
F
∵∠AEC=∠AEF-∠CEF
∴∠AEC=∠A-∠C
②已知：AB∥CD，结论：∠AEC=∠C-∠A
B
A
证明：过点E作EF,使得EF∥AB
∵AB∥CD
D
C
∵∠AEC=∠1+∠2 ∴∠A+∠C+∠AEC=∠A+∠1+∠C+∠2=360°
∴∠C+∠2=180° ∴EF∥CD
∴AB∥CD
模型2:平行线间的“铅笔”模型（子弹头）
模型2:平行线间的“铅笔”模型（子弹头）
模型2:平行线间的“铅笔”模型（子弹头）
模型3:平行线间的“枝丫”模型（锄头型和犀牛角型）
第二章相交线与平行线
平行线中的拐点问题
模型1：平行线间的“M”模型（猪手）
①已知：AB∥CD，结论：∠AEC=∠A+∠C

平行线中的拐点问题

新知究
A
B
P
例2、已知AB∥DE，试问∠B.∠E、
C
∠BCE有什么关系。
A
解: 过点C作CF∥AB，
C
则_∠_B_=_∠__1_ （两直线平行, 内错角相等）
又∵AB∥DE，AB∥CF，
D
∴_C_F_∥__D_E____（平行于同一直线的两条直线互相平行）
∴∠E＝∠__2__（两直线平行, 内错角相等） ∴∠B＋∠E＝∠1＋∠2
即∠B＋∠E＝∠BCE．
D
B
1
F
2
E
5
知识点二: ‘凹’进去的模型
学以致用
1.如图，AB∥CD，∠A=65°－ α ，∠P=80°+α，
∠C=60°－α，则α= 15°。
A
B
P
C
D
6
知识点二: ‘凹’进去的模型
学以致用
2.如图，有一块含有45°角的三角尺放在直尺上，如果
∠2=20°，那么∠1= 25°。
果∠3= 135° ，∠2=60°那么∠1=
16。5º
M
1
a
P
2 3
b
N
3
知识点一: ‘凸’出来的模型
学以致用
2.如图，AB//CD,FG⊥CD于N，若∠EMB=α,则∠EFG=( )。
B A
A.180°－α B.90°＋α
C.180°＋α D.270°－α C
∟
E Mα B
F
D N
G
4
知识点二: ‘凹’进去的模型
=(180°－∠C)－(180°－
∠A)=∠A－∠C
B D
F
8
知识点三: “猪手图”模型

专题02 平行线中的拐点模型之铅笔头模型(解析版)

专题02 平行线中的拐点模型之铅笔头模型平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。

本专题就平行线中的拐点模型（铅笔头模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。

通用解法：见拐点作平行线；基本思路：和差拆分与等角转化。

模型2：铅笔头模型图1 图2 图3如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN.如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540°如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.【模型证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ，∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D，∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN，∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．例1．（2023·江苏南通·校考二模）如图，已知//AB CD ，140A Ð=°，120E Ð=°，则C Ð的度数是（）A ．80°B ．120°C ．100°D ．140°【答案】C 【分析】过E 作直线MN //AB ，根据两直线平行，同旁内角互补即可求出∠1，进而可求出∠2，然后根据平行于同一条直线的两直线平行可得MN //CD ，根据平行线性质从而求出∠C ．【详解】解：过E 作直线MN //AB ，如下图所示，∵MN //AB ，∴∠A +∠1＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠1＝180°﹣∠A ＝180°﹣140°＝40°，∵12120AEC Ð=Ð+Ð=°，∴211204080AEC Ð=Ð-Ð=°-°=°∵MN //AB ，AB //CD ，∴MN //CD ，∴∠C +∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠C ＝180°﹣∠2＝180°﹣80°＝100°，故选：C ．【点睛】此题考查的是平行线的判定及性质，掌握构造平行线的方法是解决此题的关键．例 2．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行.若132Ð=°，262Ð=°，则3Ð的度数为（）A ．118°B ．148°C ．150°D ．162°【答案】C 【分析】过点B 作BA ∥工作篮底部，根据平行线的性质及角的和差求解即可．【详解】解：如图，过点B 作BA ∥工作篮底部，3180MBA \Ð+Ð=°，Q 工作篮底部与支撑平台平行，BA ∥工作篮底部BA \∥支撑平台，132ABN \Ð=Ð=°，2ABN MBA Ð=Ð+ÐQ ，262Ð=°，30MBA \Ð=°，3150\Ð=°，故选：C ．【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．例3．（2023下·江苏·七年级专题练习）如图，AB //ED ，α＝∠A +∠E ， β＝∠B +∠C +∠D ，则β与α的数量关系是（）A ．2β＝3αB ．β＝2αC ．2β＝5αD ．β＝3α【答案】B 【分析】作CF //ED ，利用平行线的性质求得β与α，再判断β与α的数量关系即可．【详解】解：如图，作CF //ED ， ∵AB //ED ，∴∠A +∠E =180°= α ，∵ED //CF ， ∴∠D +∠DCF =180°，∵AB //ED ，ED //CF ，∴AB //CF ，∴∠B +∠BCF =180°，∴∠D +∠DCF +∠B +∠BCF =180°+180° 即 ∠B +∠C +∠D =360°= β ， ∴ β＝2α ．故选B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟悉运用平行线的性质是解题的关键．例4．（2023下·广西南宁·七年级校考期末）如图，如果AB EF ∥，那么ABC BCD CDE DEF Ð+Ð+Ð+Ð=A ．270°B ．360°【答案】C 【分析】利用平行线的性质，结合所作的辅助线，可以得出答案．【详解】解：过点C 作CM AB ∥∵AB EF ∥，∴AB CM DN EF ∥∥∥，∴1180ABC Ð+Ð=°，23180Ð+Ð=°，Ð∴540ABC BCD CDE DEF Ð+Ð+Ð+Ð=【点睛】本题考查了平行线的性质及判定的相关知识点，掌握知识点是解答此题的关键．例5．（2023下·湖北武汉·七年级期末）如图，【答案】60°/60度【分析】根据平角定义可求出，∴180ABC BCM Ð+Ð=°，180MCF EFC +Ð=°，BCM Ð∴360ABC FCB EFC Ð+Ð+Ð°，∵120FCB Ð=°，∴360360ABC EFC FCB Ð=-Ð=°-∵14ABP ABC Ð=Ð， 14EFP EFC Ð=Ð，A ．2360P Q Ð+Ð=°B ．2【答案】A 【分析】过点P 作PM AB ∥,EPM AEP FPM CFP Ð=ÐÐ=Ð进而得到12EQF Ð=Ð+Ð，再由角平分线的定义可得()2122PEB PFD EQF Ð+Ð=Ð+Ð=Ð，即可求解．【详解】解：如图，过点P 作PM AB ∥，过点Q 作QN AB ∥，∵AB CD P ，∴PM AB CD QN ∥∥∥，∴,EPM AEP FPM CFP Ð=ÐÐ=Ð，1,2EQN FQN Ð=ÐÐ=Ð，180,180PEB EPM PFD FPM Ð+Ð=°Ð+Ð=°，∴12EQF Ð=Ð+Ð，∵PEB Ð和PFD Ð的平分线交于点Q ，∴21,22PEB PFD Ð=ÐÐ=Ð，∴()()21222PEB PFD EQN FQN EQF Ð+Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð，∵180,180PEB EPM PFD FPM Ð+Ð=°Ð+Ð=°，∴2360EPF EQF AEP CFP PEB PFD Ð+Ð=Ð+Ð+Ð+Ð=°．故选：A ．【点睛】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．例7．（2023下·江苏南京·七年级统考期中）从特殊到一般是数学研究的常用方法，有助于我们发现规律，探索问题的解．(1)如图1，AB CD ∥，点E 为AB 、CD 之间的一点．求证：12360MEN Ð+Ð+Ð=°．(2)如图2，AB CD ∥，点E 、F 、G 、H 为AB 、CD 之间的四点．则123456Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=______．(3)如图3，AB CD ∥，则123n Ð+Ð+Ð++Ð=L ______．【答案】(1)证明见详解；(2)900°；(3)()1801°-n ；【分析】（1）过点E 作OE ∥A B ，可得OE AB CD ∥∥，根据平行线的性质可得1180MEO Ð+Ð=°，2180OEN Ð+Ð=°，再计算角度和即可证明；（2）分别过点E 、F 、G 、H 作AB 的平行线，在两相邻平行线间利用两直线平行同旁内角互补求得两角度和后，再将所有角度相加即可解答；（3）由（2）解答可知在AB 、CD 之间每有一条线段便可求得一个180°角度和，结合图3找出n 和线段条数的关系便可解答；【详解】（1）证明：如下图，过点E 作OE ∥A B ，∵AB CD ∥，OE ∥A B ，∴P OE CD ，根据两直线平行同旁内角互补可得：1180MEO Ð+Ð=°，2180OEN Ð+Ð=°，∴12360MEO OEN Ð+Ð+Ð+Ð=°，∴12360MEN Ð+Ð+Ð=°；（2）解：如下图，分别过点E 、F 、G 、H 作1O E AB ∥，2O F AB ∥，3O G AB ∥，4O H AB ∥，结合（1）解答在两相邻平行线间可得：1180AME MEO Ð+Ð=°，12180O EF EFO Ð+Ð=°，23180O FG FGO Ð+Ð=°，34180O GH GHO Ð+Ð=°，4180O HN HNC Ð+Ð=°，将所有角度相加可得：1234561805900Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=°´=°；（3）解：由（2）解答可知在AB 、CD 之间每有一条线段便可求得一个180°角度和，由图3可知：当AB 、CD 之间有2条线段时，3n =，当AB 、CD 之间有3条线段时，4n =，当AB 、CD 之间有4条线段时，5n =，当AB 、CD 之间有5条线段时，6n =，…，当AB 、CD 之间有()1n -条线段时，n n =，∴()1231801n n Ð+Ð+Ð++Ð=°-L ；【点睛】本题考查了平行线公理的推论，平行线的性质，归纳总结的解题思路，通过作辅助线将角度按组计算是解题关键．例8．（2023下·江苏苏州·七年级校考期中）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图中②，都有12Ð=Ð，3=4ÐÐ，设镜子AB 与BC 的夹角αABC Ð=．(1)如图①，若α90=°，判断入射光线EF 与反射光线GH 的位置关系，并说明理由．(2)如图②，若90α180°<<°，入射光线EF 与反射光线GH 的夹角βFMH Ð=，探索α与β的数量关系，并说明理由．(3)如图③，若α120=°，设镜子CD 与BC 的夹角γ(90γ180)BCD Ð=°<<°，入射光线EF 与镜面AB 的夹角1(090)m m Ð=°<<°，已知入射光线EF 从镜面AB 开始反射，经过(n n 为正整数，且3)n £次反射，当第n 次反射光线与入射光线EF 平行时，请直接写出γ的度数(可用含有m 的代数式表示)．【答案】(1)EF GH ∥，见解析(2)2180b a =-°，见解析(3)90m °+或150°【分析】（1）在BEG V 中，23α180ÐÐ++=°，α90=°，可得2390Ð+Ð=°，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，180FEG EGH Ð+Ð=°，进而可得//EF GH ；（2）在BEG V 中，23α180ÐÐ++=°，可得23180αÐÐ+=°-，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，22MEG ÐÐ=，23MGE ÐÐ=，在MEG V 中，β180MEG MGE ÐÐ++=°，可得α与β的数量关系；（3）分两种情况画图讨论：①当3n =时，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等，及GCH △内角和，可得γ90.m =°+②当2n =时，如果在BC 边反射后与EF 平行，则α90=°，与题意不符；则只能在CD 边反射后与EF 平行，根据三角形内角和定理推出，可得γ60G Ð=-°，由EF HK ∥，且由（1）的结论可得，γ150=°．【详解】（1）EF GH ∥，理由如下：在BEG V 中，23α180ÐÐ++=°，α90=°，2390\Ð+Ð=°，12Ð=ÐQ ，3=4ÐÐ，1234180Ð+Ð+Ð+Ð=\°，12180FEG ÐÐÐ++=°Q ，34180EGH ÐÐÐ++=°，180FEG EGH \Ð+Ð=°，EF GH \∥；（2）β2α180=-°，理由如下：在BEG V 中，23α180ÐÐ++=°，23180αÐÐ\+=°-，12Ð=ÐQ ，1MEB Ð=Ð，2\Ð=ÐMEB ，22\Ð=ÐMEG ，同理可得，23MGE ÐÐ=，在MEG V 中，β180MEG MGE ÐÐ++=°，()β180MEG MGE ÐÐ\=°-+()1802223ÐÐ=°-+()180223ÐÐ=°-+()1802180α=°-°-2α180=-°；1BEG m ÐÐ==Q ，18012060BGE CGH m m ÐÐ\==°-°-=°-，180211802FEG m ÐÐ\=°-=°-(1802180260EGH BGE Ð=°-=°-°EF HK Q ∥，360FEG EGH GHK \Ð+Ð+=°，则120GHK Ð=°，则30GHC Ð=，由GCH △内角和得γ90m =°+．②当2n =时，如果在BC 边反射后与EF 平行，由（1）可知α90=°，与题意不符；则只能在CD 边反射后与EF 平行，如下图所示，设AB 与DC 的延长线交于点【答案】(1)110°(2)3603APC AQC Ð=°-Ð；(3)11n n -+【分析】（1）过点P 作PQ AB ∥，则PQ AB CD ∥∥，根据平行线的性质即可求解；（2）过点P 作PM AB ∥，过点Q 作QN AB ∥，则PM AB CD ∥∥，QN C AB D ∥∥，结合22QAP QAB QCP QCD Ð=ÐÐ=Ð，，即可得到结论；（3）过点P 作PE AB ∥，则PE ∥∵130PAB Ð=°，∴13050APQ Ð=-°=°，∵120APC Ð=°，∴5070CPQ Ð=°-°=°，∴18070110PCD Ð=°-°=°；（2）解：过点P 作PM ∥，过点Q 作QN AB ∥，则PM AB CD ∥，QN C AB D ∥∥∴180180PAB APM PCD CPM Ð+Ð=°Ð+Ð=°，，，即()360APC PAB PCD Ð=°-Ð+Ð，同理：AQC BAQ Ð=Ð课后专项训练1．（2023下·江苏苏州·七年级校考期中）如图，在五边形ABCDE 中，AE BC ∥，则C D E Ð+Ð+Ð=（）A ．540°B ．360°C ．270°D ．180°【答案】B 【分析】首先过点D 作DF AE ∥，交AB 于点F ，由AE BC ∥，可证得AE DF BC ∥∥，然后由两直线平行，同旁内角互补可知180E EDF Ð+Ð=°，180CDF C Ð+Ð=°，继而证得结论．【详解】解：过点D 作DF AE ∥，交AB 于点F ，AE BC Q ∥，AE DF BC \∥∥，180E EDF \Ð+Ð=°，180CDF C Ð+Ð=°，360C CDE E \Ð+Ð+Ð=°．故选：B ．【点睛】此题考查了平行线的性质，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．2．（2023上·四川绵阳·八年级统考开学考试）如图，一束光线AB 先后经平面镜OM ，ON 反射后，当35ABM Ð=°时，DCN Ð的度数为（）A ．55°B ．70°C ．60°D ．35°【答案】A 【分析】根据入射角等于反射角以及“两直线平行，同旁内角互补”解答即可．【详解】解：∵35ABM Ð=°，ABM OBC Ð=Ð，∴35OBC Ð=°，∴1801803535110ABC ABM OBC Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°，∵CD AB ∥，∴180ABC BCD Ð+Ð=°，∴18070BCD ABC Ð=°-Ð=°，A．115°B．120°【答案】A【分析】直接利用平移的性质结合平行线的性质得出答案．【详解】解：过B 作h m ∥，由题意可得：m n ∥,∴h n ∥，∴1180ABD Ð+Ð=°，∴3DBC Ð=Ð，180118065115ABD Ð=°-Ð=°-°=°，∴232115DBC ABD Ð-Ð=Ð-Ð=Ð=°．故选：A ．【点睛】此题主要考查了平移的性质以及平行线的性质，正确转化角的关系是解题关键．5．（2023·安徽安庆·八年级统考期中）一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若146Ð=°，则2Ð=（）A ．46°B ．44°C ．42°D ．40°【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键，过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，根据平行线的性质可得1346Ð=Ð=°，24ÐÐ=，再结合角的和差关系可得答案.【详解】解：过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，∵直尺两边互相平行，∴1346Ð=Ð=°，24ÐÐ=，∵490344Ð=°-Ð=°，∴2444Ð=Ð=°，故选：B ．6．（2023下·山东烟台·七年级统考期末）如图，按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角，并使1160Ð=°，AB BC ^，则2Ð的度数为（）A ．100°B ．110°C ．120°D ．130°【答案】B 【分析】过点B 作BE AD ∥，然后根据两直线平行，同旁内角互补得出12360ABE CBE Ð+Ð+Ð+Ð=°，再解答即可．【详解】解：过点B 作BE AD ∥，∴1360ABE Ð+Ð=°∵CF AD ∥，∴CF BE AD ∥∥，∴2360CBE Ð+Ð=°∴12360ABE CBE Ð+Ð+Ð+Ð=°，∴12360ABC Ð+Ð+Ð=°，∵AB BC ^∴90ABC Ð=°∵1160Ð=°，∴2Ð的度数为110°．故选：B ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，加辅助线，然后利用平行线的性质求解是解此题的关键．7．（2023下·广东中山·七年级校联考期中）如图，已知：,115,135AB CD B D Ð=°Ð=°∥，则E Ð= （）A ．105°B ．110°C ．115°D ．120°【答案】B 【分析】过点E 作ME AB ∥，根据平行线的性质得出180B BEM Ð+Ð=°，180D DEM Ð+Ð=°，再根据角的和差求解即可．AB CD ∥Q ，ME AB CD \∥∥115B Ð=°Q ，135D Ð=°，\Ð110BED BEM DEM \Ð=Ð+Ð=A ．40°B ．50°【答案】C 【分析】利用多边形的内角和公式求得五边形的内角和，再由平行线性质求得BAE ABC BCD Ð+Ð+Ð，最后利用角的和差即可求得答案．【详解】解：∵四边形ABCDE 为五边形，【答案】540°/540度【分析】可过点B ，【详解】解：如图，过点AE DF ∥Q ，AE BM CN \∥∥则180A ABM Ð+Ð=°，MBC ÐA ABM MBC BCN =Ð+Ð+Ð+Ð【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，平行公理的推论，掌握两直线平行，同旁内角互补是解决此【答案】1402n °+°【分析】首先过点E 作EF AB ∥，由平行线的传递性得得出B C D A B C n Ð=Ð=°，BAD Ð=由两直线平行，内错角相等得出BEF Ð∥Q AB CD ，∴B C D A B C n Ð=Ð=°，Ð又∵BE 平分ABC Ð，DE 平分ADC Ð，∵AB EF CD ∥∥，∴12BEF ABE n Ð=Ð=° ∴1402BED FED BEF n Ð=Ð+Ð=°+°，故答案为：【答案】50【分析】先根据平行公理判定【详解】解:如图，过点∵CM EF ∥,AB EF ∥，∵155A Ð=°，105E Ð=°∵CD 平分ACE Ð，ACD \Ð【答案】150【分析】过点B 作BF AE P ，根据平行线的性质可得90BAE Ð=°，则90ABF Ð=°，可求出CBF Ð=【详解】解：过点B 作BF AE P ，∵CD AE ∥，∴BF AE CD ∥∥∵BA AE ^，∴90BAE Ð=°，∵120ABC Ð=°，∴30CBF Ð=【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，解题的关键是掌握：平行于同一直线的两直线互相平行；【答案】3b a =/13a =【点睛】本题考查平行线的性质，关键是过点平行线的性质即可解决问题．14．（2023下·贵州安顺=540°，根据以上的规律求【答案】140【分析】过点E作EM Q AB CD∥，EM AB∥Q的平分线与ABFÐ1\Ð=ÐÐ,ABE ABF【答案】①②③④【分析】根据平行公理判断到212180Ð+Ð=°，2+4=90ÐÐ得到2123360Ð+Ð=°，根据【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．【答案】（1）55°；（2）140°【点睛】本题考查平行线的性质和三角形外角的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补，是解题的关键．18．（2023下·江苏南京·七年级校联考期末）珠江某河段两岸安置了两座可旋转探照灯示，假如河道两岸是平行的，PQ MN ∥，且(1)填空：BAN Ð= °；(2)若灯B 射线先转动30秒，灯A 射线才开始转动，在灯A 灯转动几秒，两灯的光束互相平行？(3)如图3，若两灯同时转动，在灯A 射线到达的射线AC 与BC 交于点C ，过C 作ACD Ð交PQ 于点D ，且120ACD Ð=°，则在转动过程中，与BCD Ð的数量关系，并说明理由．①当090t <<时，如图1，PQ MN Q ∥，PBD BDA \Ð=ÐAC BD Q P ，CAM BDA \Ð=Ð，CAM PBD \Ð=Ð2t \=②当90150t <<时，如图2，PQ MN Q ∥，PBD BDA \Ð+ÐAC BD Q P ，CAN BDA \Ð=Ð180PBD CAN \Ð+Ð=°1802CAN t Ð=°-Q ，\Ð又120ABC t Ð=°-Q ，(1)如图①，点C 是夹在AB 和DE 之间的一点，当AC CD ^时，垂足为C ，你知道(2)如图②，点1C ，2C 是夹在AB 和DE 之间的两点，请想一想：12A C C Ð+Ð+Ð(3)如图③，随着AB 与DE 之间点的增加，那么121n A C C C D -Ð+Ð+Ð++Ð+ÐL 的度数为必说明理由）【答案】(1)270°(2)540°(3)()180n °【分析】（1）如图所示，过点C 作AB 的平行线CF ，则CF DE AB ∥∥，由平行线的性质得到180A ACF Ð+Ð=°，180DCF D Ð+Ð=°，进而得到360A ACD D Ð+Ð+Ð=°，再由AC CD ^，即可得到270A D Ð+Ð=°．（2）如图所示，过点2C 作2C F AB ∥，则2C AB DE ∥∥，由平行线的性质得到2180D FC D +=°∠∠，同（1）可得112360A C C C F ++=°∠∠∠，112540A C C C D D +++=°∠∠∠∠；（3）由（1）（2）可知，AD DE、之间每多增加一个点，那么所得角度之和就会增加180°，据此规律求解即可．【详解】（1）解：如图所示，过点C 作AB 的平行线CF ．∵AB DE ∥，∴CF DE ∥，∴180A ACF Ð+Ð=°，180DCF D Ð+Ð=°，∴1802360A ACD D Ð+Ð+Ð=°´=°．又∵AC CD ^，∴36090270A D Ð+Ð=°-°=°．（2）解：如图所示，过点2C 作2C F AB ∥，∵AB DE ∥，∴2C F AB DE ∥∥，∴2180D FC D +=°∠∠，同（1）可得112360A C C C F ++=°∠∠∠，∴1122540A C C C F D FC D ++++=°∠∠∠∠∠，∴112540A C C C D D +++=°∠∠∠∠，故答案为：540°；（3）解：由（1）（2）可知，AD DE 、之间每多增加一个点，那么所得角度之和就会增加180°，∴()121180n A C C C D n -Ð+Ð+Ð++Ð+Ð=°L ，故答案为：()180n °．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，图形类的规律探索，熟知平行线的性质是解题的关键．20．（2023下·江苏·七年级专题练习）已知AB CD ∥，连接A ，C 两点．(1)如图1，CAB Ð与ACD Ð的平分线交于点E ，则AEC Ð等于(2)如图2，点M 在射线AB 反向延长线上，点N 在射线CD 4570AMN ACN Ð=°Ð=°，，求MEC Ð的度数；(3)如图3，图4，M ，N 分别为射线AB ，射线CD 上的点，()AMN ACN a b a b Ð=Ð=¹，，请直接写出图中MEC Ð的度数（用含【答案】(1)90(2)57.5°(3)1118022a b °-+或1118022b a °-+【分析】（1）根据平行线的性质得到180BAC ACD Ð+Ð=°90CAE ACE Ð+Ð=°，即可求出答案；（2）过点E 作EF ∥∵,ME CE 分别平分BMN ACD Ð，，∴122.52BME BMN Ð=Ð=°，∴3557.5MEC MEF CEF Ð=Ð+Ð=+°=°；（3）①如图3，过点E 作AB ，∵AB CD ∥，∴EF CD ∥，∵11AME AMN a Ð=Ð=，11802MEF a =°-，∵AB CD ∥，∴EF CD ∥，∴Ð∵1122ECD ACD b Ð=Ð=，∴Ð【点睛】此题考查了平行线的性质及角平分线的定义，解题的关键是正确掌握平行线的性质：两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等．【答案】(1)80°(2)36012P Ð=°-Ð-Ð；证明见详解(3)140°【分析】（1）过点P 作MN AB ∥，利用平行的性质就可以求角度，解决此问；（2）利用平行线的性质求位置角的数量关系，就可以解决此问；（3）分别过点P 、点G 作MN AB ∥、KR AB ∥，然后利用平行线的性质求位置角的数量关系即可．【详解】（1）解：如图过点P 作MN AB ∥，∵AB CD ∥，∴AB MN CD ∥∥．∴1180EPN Ð+Ð=°，2180FPN Ð+Ð=°．∵1130Ð=°，2150Ð=°，∴12360EPN FPN Ð+Ð+Ð+Ð=° ∴36013015080EPN FPN Ð+=°-°-°=°．∵P EPN FPN Ð=Ð+Ð，∴∠P =80°．故答案为：80°；（2）解：36012P Ð=°-Ð-Ð，理由如下：如图过点P 作MN AB ∥，∵AB CD ∥，∴AB MN CD ∥∥．∴1180EPN Ð+Ð=°，2180FPN Ð+Ð=°．∴12360EPN FPN Ð+Ð+Ð+Ð=°∵EPN FPN P Ð+Ð=Ð，36012P Ð=°-Ð-Ð．（3）如图分别过点P 、点G 作MN AB ∥、KR AB∥（1）如图2，AB CD P ，点M 是AEF Ð和FGC Ð平分线的交点，EFG Ð（2）如图3，AB CD P ，GM 平分CGF Ð，EM GM ^，EF 平分BEM ÐCGF Ð的度数是________．【答案】EFG BEF DGF Ð=Ð+Ð，360；（1）117°；（2）124°【答案】(1)60OFD Ð=°(2)见解析(3)2760n <<【分析】（1）过点O 作AB OH ∥，易得AB CD OH ∥P ,利用平行线的性质可求解；（2）延长EG 交CD 于Z ,由于EG 平分AEO Ð，所以AEG OEG Ð=Ð，根据此条件表示可求出两角的关系；（3）过点O 作AB OK MP NQ P P P ，设2AEG x Ð=，MNF MNG FNG Ð=Ð+Ð，求出n ，m 之间的关系，利用已知条件n m ＞，求出【详解】（1）解：证明：过点O 作AB OH ∥，∵AB CD ∥，∴AB CD OH ∥P ,∴AEO Ð又∵150AEO Ð°＝，90EOF Ð°＝,∴EOH Ð（2）解：GFO Ð与CFG Ð相等，理由如下：延长∵AB CD ∥，∴180AEG CZG Ð+Ð°Ð＝，∵135EGF Ð°＝，且CZG ZGF ZFG Ð=Ð+Ð又∵90EOF Ð°＝，∴在四边形EOFG 中，∵EG 平分AEO Ð，∴AEG OEG Ð=Ð,∴∵AB CD ∥，∴AB CD OK MP NQ ∥P P P ∴90EOF BEO OFD Ð=Ð+Ð=°，即180又∵3EMN n Ð°＝，5MNH m Ð°＝，∴MNF Ð∴322MNF MNQ FNQ n x Ð=Ð+Ð=°-+(1)【特例探究】如图1，90C Ð=°．①CED CGF Ð+Ð=______度；②若CED Ð与CGF Ð的角平分线相交于点P ，则EPG Ð=______度；(2)【一般探索】如图2，C a Ð=，EPG b Ð=．①若13DEP CED Ð=Ð，13FGP CGF Ð=Ð，求a 与b 的关系；②若1DEP CED nÐ=Ð，1FGP CGF n Ð=Ð（2n ³且n 为整数），直接写出a 与b 的关系；∴180DEC ECM Ð+Ð=°，∴DEC ECM MCG Ð+Ð+Ð∵ECM MCG ECG Ð+ÐÐ=∴DEC ECG FGC Ð+Ð+Ð=②∵CED Ð与CGF Ð的角平分线相交于点∴1DEP CED Ð=Ð，FGP Ð∵12l l ∥， ∴2CM l P ，PN ∥∴180DEC ECM Ð+Ð=°，Ð∴DEC ECM MCG Ð+Ð+Ð+即DEC ECG FGC Ð+Ð+Ð=∵13DEP CED Ð=Ð，FGP Ð。

小专题(二)平行线中的“拐点”模型

平行线中的“拐点”模型证明
证明方法
通过几何证明或代数证明来证明“拐点”模型的有效性和正确性。
证明过程
需要使用数学定理和推论，如平行线的性质、交点的性质等。
平行线中的“拐点”模型应用实例
应用场景
在几何学、物理学、工程学等领域中，可以利用“拐点”模型来解决实际问题。
实例解析
例如，在道路设计、桥梁建造、机械运动等领域中，可以利用“拐点”模型来确定物体的运动轨迹和方向。
“拐点”模型在其他数学问题中的应用
在代数问题中
通过“拐点”模型，我们可以更好地理解函数图像的对称性、周期性等，进而解决与函数相关的代数问题。
在概率统计中
利用“拐点”模型，可以更好地理解数据的分布规律和变化趋势，进而进行更准确的预测和推断。
“拐点”模型的数学意义与价值
简化问题解决过程
促进数学交流与应用
01
总结了平行线中“拐点 ”模型的起源、发展历程和应用领域。
02
深入探讨了“拐点”模型在解决实际问题中的优势和局限性。
03
分析了该模型在不同领域的应用案例，并对其效果进行了评估。
04
指出了该模型在理论和实践方面仍需进一步研究和完善的问题。
对未来研究的展望与建议
01
02
03
04
鼓励跨学科合作，将“拐点” 模型应用于更多领域，拓展其
应用范围。
加强数学建模和计算机模拟在 “拐点”模型研究中的应用，提高研究的准确性和可靠性。
深入研究“拐点”模型的数学基础和理论基础，推动该模型
的深入发展。Leabharlann 关注“拐点”模型在实际应用中的反馈，及时调整和完善模型，提高其解决实际问题的能

平行线与拐点问题(经典)

A
B
C
图1
E D
A
B
F
E
C
D
解：过点E 作EF∥AB ∵AB∥CD（已知）
∴AB∥CD∥EF ∴∠B+∠BEF=180°∴∠FED+∠D=180°
∴∠B+∠BEF+∠FED+∠D=360° ∵∠BED=∠BEF+∠DEF ∴∠B+∠BED+∠D=360°
〖练习〗 1．如图，AB∥CD，∠B=23°，∠D=42°，则 ∠E=____6_5_°____.
_____5_0_°____.
E
B
25°
F
A
75°
D
C
返回
变式训练：1、如图，已知：AB∥CD，CE分别交AB、CD于点F、C，若∠E=20°，∠C=45°，则∠A的度数为（） A. 5° B. 15° C. 25° D. 35°
巧用平行解决“拐点”问题
〖探究4〗（犀牛角型或靴子型）若将点E向线段AB的左上方拉动（如图）. 已知AB∥CD，问 ∠B、∠D、∠ABE的关系.
F
E
A
B
C
D
过点E 作EF∥AB
∴∠FEA=∠A
∵AB∥CD（已知）
∴CD∥EF
∴∠FEC=∠C
∵∠FEA=∠FEC+∠AEC
∴∠A= ∠C +∠AEC
例2. 请思考：若改变点E的位置，则∠BED 与∠B、∠D的数量
关系会发生变化吗？
E
E
A
B
A
B
D
C
图4
D
∠BED=∠B－∠D
A
B
C
图5

(完整版)平行线间拐点问题--知识点匹配

题目：已知：如图，AB ∥CD ，求证：∠B ＋∠D ＋∠F ＝∠E ＋∠G.题型：解答题难度：4.0方法技巧：巧用平行线的性质添辅助线，解决拐点问题思路启发：这里出现了平行线间的“拐点”，分别过点E 、F 、G 作AB 的平行线，利用平行线的性质可证得结论.解答过程：证明：如图，分别过点E 、F 、G 作AB 的平行线EH 、FM 、GN ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥EH ∥FM ∥GN ∥CD ，∴∠B ＝∠1，∠2＝∠3，∠4＝∠5，∠6＝∠D ，∴∠B ＋∠D ＋∠3＋∠4＝∠1＋∠2＋∠5＋∠6，即∠B ＋∠D ＋∠EFG ＝∠BEF ＋∠FGD.答案：略归纳总结：本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，解题的方法是利用经过平行线间的“拐点”，作已知平行线的平行线，然后根据平行线的性质得到相应的结论.题目：如图，点A 、B 分别在直线CM 、DN 上，CM ∥DN.(1)如图1，连接AB ，则∠CAB ＋∠ABD ＝____；(2)如图2，点1P 是直线CM 、DN 内部的一个点，连接1AP 、1BP .则1CAP Ð、1APB Ð、1PBD Ð之和是多少？并说明.(3)如图3，点1P 、2P 是直线CM 、DN 内部的点，连接1AP 、12PP 、2P B .试求1CAP Ð＋∠12APP ＋12PP B Ð＋2P BD Ð的度数；(4)按以上规律，请直接写出1CAP Ð＋12APPÐ＋…＋5P BD Ð的度数(不必写出过程). 题型：解答题难度：4.2方法技巧：巧用平行线的性质添辅助线，解决拐点问题思路启发：(1)直接根据“两直线平行，同旁内角互补”得到结论；(2)过点1P 作1P H CM ∥，然后根据平行的性质得到11=180180CAP +︒+=︒∠∠1，∠2∠DBP ，结合图形，根据112APB +=∠∠∠即可得到结论；(3)利用(2)的方法，分别过“拐点12,P P ”作CM 、CN 的平行线即可得到结论；(4)用上面题目得到的规律直接写出答案即可.解答过程：(1)∵CM ∥DN.∴∠CAB ＋∠ABD ＝180°；(2)点1P 作平行于CM 和DN 的平行线1P H ， ∴11=180180CAP +︒+=︒∠∠1，∠2∠DBP ，∴1111112180180360CAP APB PBD CAP PBD o o???????+=?；(3)过点1P 、2P 作平行于CM 和DN 的平行线，根据(2)的求解可知，平行线间有一个“拐点”时，内角和的度数为(1+1)×180°，这里有两个“拐点”，则1CAP Ð＋∠12APP ＋12PP B Ð＋2P BD Ð=3×180°＝540°；(4)由上可得，1125CAP APP P BD???…＝6×180°＝1080°. 答案：(1)180°(2)360°(3)540°(4)1080°归纳总结：对于本题考查了平行线的性质，这里解题的关键是根据题目中有平行线间的“拐点”，那么求解问题的方法就是经过“拐点”作已知平行线的平行线，然后根据平行线的性质，利用“两直线平行，同旁内角互补”求解问题.题目：如图，直线AB ∥CD ，∠EFA ＝30°，∠FGH ＝90°，∠HMN ＝30°，∠CNP ＝50°.试求∠GHM 的大小.题型：解答题难度：4.5方法技巧：巧用平行线的性质添辅助线，解决拐点问题思路启发：根据AB ∥CD ，利用旋转的思想，得到AB 经过分别以F 、G 、H 、M 、N 为旋转中心，分别旋转得到EG ，GH 、HM 、MN 、CD ，然后根据顺时针旋转的角度=逆时针旋转的角度相等得到关于∠GHM 的方程求解.解答过程：解：设∠GHM=x ：∵AB 以点F 为旋转中心顺时针旋转30°得到EG ，FG 以点G 为旋转中心逆时针旋转90°得到GH ，HG 以点H 为旋转中心顺时针旋转x 得到HM ，HM 以点M 为旋转中心逆时针旋转30°得到MN ，MN 以点N 为旋转中心顺时针旋转50°得到CD ，又AB ∥CD ，∴上述旋转过程中顺时针旋转的角度=逆时针旋转的角度，∴30°+x+50°=90°+30°，解得x=40°，∴∠GHM=40°.答案：40°归纳总结：本题考查了平行线的性质，旋转的定义.要注意区别，这里不是一般的“平行线中间有拐点”的问题.这里可以利用“扭转直线”的方法得到顺时针扭转的角度和=逆时针扭转的角度和来建立方程求解.。

第二章第03讲解题技巧专题：平行线中有关拐点的模型专题问题(4类热点题型讲练)(原卷版)

第03讲解题技巧专题：平行线中有关拐点的模型专题问题(4类热点题型讲练)目录【考点一平行线中含一个拐点问题】 (1)【考点二平行线中含两个拐点问题】 (4)【考点三平行线中含多个拐点问题】 (6)【考点四平行线中在生活上含拐点问题】 (8)【考点一平行线中含一个拐点问题】例题：（2023上·广东揭阳·八年级统考期末）如图，直线【变式训练】1．（2023下·山东泰安·六年级统考期末）如图，已知直线A Ð、D Ð、APD Ð之间的等量关系为2．（2023上·福建漳州·八年级统考期中）已知直线3．（2023上·吉林长春·七年级统考期末）在CD 上．求证：MEN Ð【类比迁移】（2）如图②【结论应用】（3）如图③4．（2023上·七年级课时练习）已知AB CD P ，点E 为,AB CD 之外任意一点．（1）如图1，探究BED Ð与,B D ÐÐ之间的数量关系，并说明理由；（2）如图2，探究CDE Ð与,B BED ÐÐ之间的数量关系，并说明理由．【拓展变式】如图，“抖空竹”是国家级非物质文化遗产．在一个数学问题：如图2，若,AB CD EAB Ð=∥5．（2023上·吉林长春·七年级统考期末）如图，AB CD ∥，点E 、F 分别在直线AB 、CD 上，点P 是AB 、CD 之间的一个动点．【感知】如图①，当点P 在线段EF 左侧时，若50AEP Ð=°，70PFC Ð=°，求EPF Ð的度数．分析：从图形上看，由于没有一条直线截AB 与CD ，所以无法直接运用平行线的性质，这时需要构造出“两条直线被第三条直线所截”的基本图形，过点P 作PG AB ∥，根据两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，可知PG CD ∥，进而求出EPF Ð的度数．【探究】如图②，当点P 在线段EF 右侧时，AEP Ð、EPF Ð、PFC Ð之间的数量关系为______ ．6．（2023下·陕西咸阳·七年级校考阶段练习）（基础巩固】（1）如图1，AP 平分BAC Ð，CP 平分ACD Ð，AB CD ∥，则12Ð+Ð=____________°；【尝试探究】（2）如图2，AB CD ∥，AP 平分BAC Ð，CP AC ^，1Ð是AP 与AB 的夹角，2Ð是CP 与CD 的夹角．①若222Ð=°，求1Ð的度数；②试说明：21290ÐÐ-=°．【拓展提高】（3）如图3，若AB CD ∥，AP AC ^，CP 平分ACD Ð，请判断1Ð与2Ð的等量关系，并说明理由．Ð=Ð+Ð．（完成下面的填空部分）(1)【基础问题】如图1，试说明：AGD A D证明：过点G作直线MN AB∥，∥，∵AB CD∥．∴_______①_______CD∵MN AB∥，【考点二平行线中含两个拐点问题】∥、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4=_____．例题：如图所示，AB CD【变式训练】2．①如图1，AB ∥CD ，则∠A +∠E +∠C ＝180°；②如图2，AB ∥CD ，则∠E ＝∠A +∠C ；③如图3，若AB ∥EF ，则∠x =180°-∠α-∠γ+∠β；④如图4，AB ∥CD ，则∠A ＝∠C +∠P ．以上结论正确的是_____．3．（23·24八年级上·广东江门·阶段练习）（1）如图①，如果AB CD ∥，求证：APC A C Ð=Ð+Ð．（2）如图②，AB CD ∥，根据上面的推理方法，直接写出A P Q C Ð+Ð+Ð+Ð=___________．（3）如图③，AB CD ∥，若ABP x BPQ y PQC z QCD m Ð=Ð=Ð=Ð=，，，，则m =___________（用x 、y 、z 表示）．4．（2023下·海南省直辖县级单位·七年级统考期末）如图1，AB CD ∥，点P 为直线AB CD ，间一点，点E ，F 分别是直线AB CD ，上的点，连接EP FP ，.(1)【证明推断】求证：EPF AEP CFP Ð=Ð+Ð，请完善下面的证明过程，并在（）内填写依据.证明：过点P 作直线MN AB ∥，MN AB ∥Q （已作），AEP EPN \Ð=Ð（______），又MN AB ∥Q ，AB CD ∥（已知）\______，（______）CFP FPN \Ð=Ð，AEP CFP EPN FPN \Ð+Ð=Ð+Ð=______.(2)如图2，若AEP Ð的平分线与PFC Ð的平分线交于点Q .①【类比探究】试猜想EPF Ð与EQF Ð之间的关系，并说明理由；②【结论运用】若240BEP DFP Ð+Ð=°，求EQF Ð的度数.(3)【拓展认知】如图3，直线AB CD ∥，点P ，H 为直线AB CD 、间的点，请直接写出AEP Ð，PHF Ð，EPH Ð，HFD Ð的数量关系：______.5．（2023上·重庆九龙坡·八年级重庆市育才中学校考开学考试）如图1，AB CD ∥，点E 、F 分别在AB 、CD 上，点O 在直线AB 、CD 之间，且80EOF Ð=°．(1)求BEO OFD Ð+Ð的值；(2)如图2，直线MN 分别交BEO Ð、OFC ∠的角平分线于点M 、N ，直接写出EMN FNM Ð-Ð的值；(3)如图3，EG 在AEO Ð内，AEG m OEG Ð=Ð；FH 在DFO Ð内，DFH m OFH Ð=Ð，直线MN 分别交EG 、FH 分别于点M 、N ，且80FMN ENM Ð-Ð=°，直接写出m 的值．【考点三平行线中含多个拐点问题】例题：如图，直线AB CD ∥，则23415Ð+Ð+Ð-Ð-Ð的度数为___________°．【变式训练】2．（2023上·七年级课时练习）观察图形：已知a b P ，在图1中，可得12Ð+Ð=_______________度，在图2中，可得112P Ð+Ð+Ð=_______________度……按照以上规律，则112n P P Ð+Ð+Ð++Ð=L _______________度．3.如图：(1)如图1， 1l ∥2l ，若65P Ð=o ，计算并直接写出A B ÐÐ+的大小．(2)如图2，在图1的基础上，将直线PB 变成折线PQB ，证明： 180A B Q P ÐÐÐÐ++=+o(3)如图3，在图2的基础上，继续将且线BQ 变成折现BMQ ．请你写出一条关于 1Ð 、2345ÐÐÐÐ，，，的数量关系（无需证明直接写出）拓展应用：（2）如图4，若AB CD P ，则A C AFC Ð+Ð+Ð= （3）在图5中，若1n A B A D ∥，请你用含n 的代数式表示【考点四平行线中在生活上含拐点问题】例题：（2023·广东深圳·校考模拟预测）“绿水青山，就是金山银山”在两个景区之间建立上的一段观光索道如图所示，索道支撑架均为互相平行（AM CN ∥），且每两个支撑架之间的索道均是直的，若65MAB Ð=°，55NCB Ð=°，则ABC Ð=（）A ．110°B ．115°C ．120°D ．125°【变式训练】1．（2023下·山西临汾·七年级统考期中）图①是某种青花瓷花瓶，图②是其抽象出来的简易轮廓图，已知AG EF P ，AB DE ∥，若120DEF Ð=°，则A Ð的度数为（）。

平行线中的“拐角”

平行线中的“拐角”作者：***来源：《初中生世界·七年级》2022年第02期“我”与“你”永远保持相同距离，但又永远不相交，这就是“平行线”。

随着平面几何的逐步学习，我越发感觉数学的有趣。

譬如我们在学平行线的性质与判定时，有个“经典”图经常出现，我把它归结为“平行拐角”模型。

下面，我们来一起看看它的“庐山真面目”吧！已知：如圖1，AB∥DE，∠B=25°，∠D=30°，求∠BCD的度数。

第一次遇见这题时，我有点“蒙”。

老师常说根据条件“顺藤摸瓜”，于是我思考：由已知可以得到什么？由待证或待求的问题思考，还需要什么？可是根据条件“AB∥DE”，无法得出什么，说好的“三线八角”不见了;∠B与∠D既不是同一个三角形的内外角关系，也不是同位角、内错角、同旁内角关系。

我一时无从下笔。

没有我想要的，那怎么办呢？对了，那就“变无为有”呗！为什么没有“三线八角”？因为没有与两平行线都相交的“截线”。

那好办，延长BC或DC不就行了，见图2（以延长BC为例）。

辅助线一出，我豁然开朗了。

这个“变无为有”的想法一下子打开了我的思路。

既然延长BC可以构造内错角，那么直接连接BD不就出现同旁内角了吗？如图3，由AB∥DE，得∠ABD+∠BDE=180°，即∠ABC+∠1+∠CDE+∠2=180°，又因为∠BCD+∠1+∠2=180°，所以∠BCD=∠ABC+∠CDE=55°。

我越来越兴奋了。

我由上面这个“∠BCD=∠ABC+∠CDE”结论，又激发出一个灵感。

既然∠BCD是两个角之和，那何不“成全”它，把它分成两个角呢？使所分的其中一个角等于∠ABC。

相信小伙伴们也想到了吧！对，只要过点C作AB的平行线CF即可，如图4。

因为AB∥DE、AB∥CF，所以CF∥DE，所以∠FCD=∠D，结果显而易见了。

向内拐角可以如此，那向外拐角呢？如图5，已知AB∥DE，∠B=150°，∠D=130°，求∠C的度数。

2021寒7A-第2讲平行线中的拐点模型-人教版

第二讲平行线中的拐点模型专题一拐点模型【例题1】如图，AB ∥CD ，试探究图中所画各角之间的数量关系．4NA BCDM图6123321图5M DCBAN454G N A BCDM图4123321321321ABCDM图3A BCDM 图2图1MD CBA【练1.1】如图，直线MN ∥PQ ，∠A ＝125°，∠B ＝105°，则∠1＋∠2＝（）． A ．40° B ．45° C ．50° D ．55°BA 105°125°21QPNM【练1.2】如图，已知直线a ∥b ，则∠1＝（）．A ．120°B ．130°C ．135°D ．140°20°40°150°120°ba1【例题2】如图，AB ∥CD ，AM ,CM 分别平分∠BAP ,∠DCP ．试分别探索∠M 与∠P 的数量关系．图3图2图1DCPMBADCP MBAMPDCBA【练2.1】如图，AB ∥CD ，∠MBN ＝3∠ABM ，∠MDN ＝3∠CDM ，∠N ＝160°，则∠M ＝（）．A ．38°B ．42°C ．46°D ．50°MC DNBA专题二拐点模型的综合应用【例题3】已知AB ∥CD ，M ,N 分别是AB ,CD 上的两点，点G 在AB ,CD 之间．（1）如图1，点E 是AB 上方一点，MF 平分∠AME ，若点G 恰好在MF 的反向延长线上，且NE 平分∠CNG ，2∠E 与∠G 互余，求∠AME ；（2）如图2，在（1）的条件下，若点P 是EM 上的一动点，PQ 平分∠MPN ，NH 平分∠PNC ，交AB 于点H ，PI ∥NH ．当点P 在线段EM 上运动时，∠IPQ 的大小是否改变？若不变，求出其值；若改变，请说明理由．BE F AB CDNGM图1E P NCDIM QAH图2【练3.1】已知直线CD ∥AB ，截线MN 分别交CD ,AB 于M ,N ．（1）如图1，点P 在线段MN 上，若∠MNB ＝45°，∠MDP ＝20°，则∠MPD ＝__________；（2）如图2，在截线MN 左侧作三角形MNQ ，其中∠MQN ＝90°，且∠ENM ＝∠QNM ，直线ME 平分∠DMQ 交直线AB 于E ，求∠EMN 的度数；（3）如图3，若点G 是截线MN 上位于M 点上方的一点，当点P 在射线MG 上运动时，∠CDP 与∠ABP 的平分线交于Q ，DPBQ∠∠的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．图3图2图1NBA CMPDGQB NAEMDCQNBAP MDC1．如图，已知AB ∥DE ，∠ABC ＝70°，∠CDE ＝140°，则∠BCD 的度数为（）． A ．70° B ．50° C ．40° D ．30° 2．如图，若AB ∥CD ，∠BEF ＝50°，则∠B ＋∠F ＋∠D ＝（）． A ．200° B ．220° C ．230° D ．250°3．如图，AB ∥CD ，F ,G 分别是射线AB ,BD 上的点，∠HDG ＝2∠CDH ，∠GBE ＝2∠EBF ，直线HD 与直线BE 交于点E ，则∠E 的度数为（）．A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°140°70°DC EB ACDFEBAG HDEFB A C第1题图第2题图第3题图4．已知：点 A ,C ,B 不在同一条直线，AD ∥BE ．（1）如图1，求证：∠B ＋∠C －∠A ＝180°；（2）如图2，AQ ,BQ 分别为∠DAC ,∠EBC 的平分线所在直线，探究∠C 与∠AQB 的数量关系．图2图1EBCDAQE BDCA【学霸自修】1．如图，已知CD ∥EF ，∠1＋∠2＝∠ABC ，求证：AB ∥GF ．21GFEDB AC。

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第2周平行线中的倒角模型（拐点问题）
一、本周目标
1. 熟悉平行线中基本倒角模型，猪蹄模型与铅笔模型 2. 平行线间有拐点，思路：过拐点做平行线 3. 相等的角用同一字母表示
1 如图，，
，
，则的度数为
度．
答案
解析 ∵ ，
∴
，
∴
．
故答案为．
考点
几何初步相交线与平行线
平行线的综合根据性质与判定计算角度
4 如图，若两直线，则
．
A.
B.
C.
答案 D
解析过，作平行线，，皆平行于直线，则
则
，
，
，
．
D. ，
考点
几何初步角角的计算与证明
有图形的角的计算相交线与平行线
平行线的性质平行有关的几何模型
拐点模型
5 如图，已知
，在上，在上，在的左侧，在的右侧，平分
，
平分
，直线、交于点，
，
∴
．
过作
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
又∵ 平分
，
∴
，
∴
．
考点
几何初步相交线与平行线平行线的综合根据性质与判定计算角度根据性质与判定判断位置关系平行线的性质平行有关的几何模型平行线的构造
7 如图，已知
，Байду номын сангаас
，平分
交于点，
，
，
则
．
答案
解析 ∵
，
∴
，
又∵
，
∴
．
由猪蹄模型得：
，
∴
，
又∵ 平分
9 如图，
，平分
，平分
，
，
和的数量关系．
，求
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析过作
，过作
，过作
，
∵
，
∴
，
又∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
同理可得：
，
设
，则
，
设
，则
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
即
．
考点
几何初步相交线与平行线平行线的综合平行有关的几何模型平行线的构造
，
∴
，
∴
∴
．
，，
考点
几何初步相交线与平行线平行线的综合根据性质与判定计算角度
8 如图，已知
，
，
，则
的度数为
．
答案
解析反向延长交于，∵ ∥ ，
∴
，
∴
；
又∵
，
∴
．
故答案是：．
考点
几何初步相交线与平行线三线八角内错角平行线的性质
三角形三角形基础三角形的外角性质内、外角定理及应用
2 如图，
，
于，交于点，交于点，
度．
，则
答案
解析过点作
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
．
考点
几何初步相交线与平行线平行线
3 如图，，、分别为、上，为两平行线间一点，则
．
答案
解析过点作
，
，
，
，
，
．故答案为：．
，，
考点
几何初步相交线与平行线平行线的性质平行有关的几何模型
．若
，则
的度数为
（）.
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析如图，∵ 平分
∵ ∵ ∴ 过作 ∴ ∴ ∴
，
，
，
，平分
，
，
，则
，
，
，
．
考点
几何初步相交线与平行线平行线的综合
根据性质与判定计算角度
6 如图，已知
，平分
，平分
，
．
（1）求（2）若
的度数．，求
的度数．
答案解析
．．
∵
，
∴
，
又∵ 平分