高中数学《方程的根与函数的零点》导学案

3．1.1方程的根与函数的零点1．函数零点的概念函数的零点：□1对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．注意：函数的零点不是一个点，而是f(x)＝0的根．2．方程的根与函数零点的关系方程f(x)＝0有实数根⇔□2函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔□3函数y＝f(x)有零点．3．零点的存在性定理□4如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．注意：(1)函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，f(a)·f(b)＜0不一定成立．(2)若连续不断的曲线y＝f(x)在区间[a，b]上有f(a)·f(b)＜0，y＝f(x)在(a，b)内一定有零点，但不能确定有几个．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有的函数都有零点．()(2)若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)的零点为(x1,0)，(x2,0)．()(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)<0.()答案(1)×(2)×(3)×2．做一做(1)(教材改编P88T1)函数f(x)＝x2＋3x的零点是________．(2)(教材改编P88例1)若函数f(x)在区间(2,5)上是减函数，且图象是一条连续不断的曲线，f(2)·f(5)<0，则函数f(x)在区间(2,5)上零点的个数是________．(3)已知函数y＝f(x)的定义域为R，图象连续不断，若计算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，则可以确定零点所在区间为________．答案(1)0和－3(2)1(3)(1.25,1.5)『释疑解难』(1)若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，且在两端点处的函数值f(a)，f(b)异号，则函数y＝f(x)的图象至少穿过x轴一次，即方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数根c.(2)零点的存在性定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数．如图(1)(2)，虽然都有f(a)·f(b)<0，但图(1)中函数在区间(a，b)内有4个零点，图(2)中函数在区间(a，b)内仅有1个零点．(3)零点的存在性定理是不可逆的，因为f(a)·f(b)<0可以推出函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点．但是，已知函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，不一定推出f(a)·f(b)<0.如图(3)，虽然在区间(a，b)内函数有零点，但f (a )·f (b )>0.(4)如果单调函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有唯一的零点，即存在唯一的c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．探究1 求函数的零点例1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f (x )＝x 2＋7x ＋6；(2)f (x )＝1－log 2(x ＋3)；(3)f (x )＝2x －1－3；(4)f (x )＝x 2＋4x －12x －2. 解 (1)解方程f (x )＝x 2＋7x ＋6＝0，得x ＝－1或x ＝－6，所以函数的零点是－1，－6.(2)解方程f (x )＝1－log 2(x ＋3)＝0，得x ＝－1，所以函数的零点是－1.(3)解方程f (x )＝2x －1－3＝0，得x ＝log 26，所以函数的零点是log 26.(4)解方程f (x )＝x 2＋4x －12x －2＝0，得x ＝－6，所以函数的零点为－6.拓展提升求函数零点的方法函数的零点就是对应方程的根，求函数的零点常有两种方法：(1)令y ＝0，解方程f (x )＝0的根就是函数的零点；(2)画出函数y ＝f (x )的图象，图象与x 轴交点的横坐标就是函数的零点．【跟踪训练1】若函数f(x)＝x2＋x－a的一个零点是－3，求实数a的值，并求函数f(x)其余的零点．解由题意知f(－3)＝0，即(－3)2－3－a＝0，a＝6，∴f(x)＝x2＋x－6.解方程x2＋x－6＝0，得x＝－3或2.∴函数f(x)其余的零点是2.探究2判断函数零点所在的区间例2若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内解析∵f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)，∴f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)，∵a<b<c，∴f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0，∴f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．答案A拓展提升确定函数零点所在区间的方法(1)判断一个函数是否有零点，首先看函数f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，并且是否存在f(a)·f(b)<0，若存在，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(2)对于连续函数f (x )，若存在f (a )·f (b )<0，则f (x )在区间(a ，b )内有零点，若只有一个零点，则称此零点为变号零点，反过来，若f (a )与f (b )不变号，而是同号，即不满足f (a )·f (b )<0，也不能说函数无零点，如f (x )＝x 2，f (－1)·f (1)＝1>0，但0是f (x )的零点．【跟踪训练2】 根据表格中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个根所在的最小区间为________．答案 解析 解题的关键是e x 与x ＋2的差的符号，构造函数f (x )＝e x －x －2，将求方程e x －x －2＝0的根所在的区间转化为求函数的零点问题．令f (x )＝e x －x －2，由表格中数据知f (－1)＝0.37－1＝－0.63<0，f (0)＝1－2＝－1<0，f (1)＝2.72－3＝－0.28<0，f (2)＝7.39－4＝3.39>0，f (3)＝20.09－5＝15.09>0，由于f (1)·f (2)<0，所以根据表格，可知根所在的最小区间为(1,2)．探究3 判断函数零点的个数例3 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x <0，x 2－1，x >0的零点个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3解析 解法一：方程x ＋2＝0(x <0)的根为x ＝－2，方程x 2－1＝0(x >0)的根为x ＝1，所以函数f (x )有2个零点：－2与1.解法二：画出函数f (x )＝⎩⎨⎧ x ＋2，x <0，x 2－1，x >0的图象，如图所示，观察图象可知，f (x )的图象与x 轴有2个交点，所以函数f (x )有2个零点．答案 C拓展提升 判断函数零点个数的方法(1)直接求出函数的零点进行判断．(2)结合函数图象进行判断．(3)借助函数的单调性进行判断．若函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a ，b )上单调，满足f (a )·f (b )<0，则函数f (x )在区间(a ，b )上有且仅有一个零点，如图所示．【跟踪训练3】 判断下列函数零点的个数．(1)f (x )＝x 2－34x ＋58；(2)f (x )＝ln x ＋x 2－3.解 (1)由f (x )＝0，即x 2－34x ＋58＝0， 得Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－342－4×58＝－3116<0， 所以方程x 2－34x ＋58＝0没有实数根，即f (x )零点的个数为0.(2)解法一：函数对应的方程为ln x ＋x 2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y ＝ln x 与y ＝3－x 2的图象交点个数．在同一直角坐标系下，作出两函数的图象(如图所示)．由图象知，函数y ＝3－x 2与y ＝ln x 的图象只有一个交点．从而方程ln x ＋x 2－3＝0有一个根，即函数y ＝ln x ＋x 2－3有一个零点．解法二：由于f (1)＝ln 1＋12－3＝－2<0，f (2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，所以f (1)·f (2)<0，又f (x )＝ln x ＋x 2－3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f (x )在(1,2)上必有零点，又f (x )在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．探究4 函数零点的应用例4 已知关于x 的方程x 2－2ax ＋4＝0，在下列条件下，求实数a 的取值范围．(1)一个根大于1，一个根小于1；(2)一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内．解 (1)方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，设f (x )＝x 2－2ax ＋4，结合二次函数的图象与性质及零点的存在性定理得f (1)＝5－2a <0，解得a >52.(2)方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次函数的图象与性质及零点的存在性定理得⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝4>0，f (1)＝5－2a <0，f (6)＝40－12a <0，f (8)＝68－16a >0，解得103<a <174.拓展提升 解决根的分布的注意事项及方法(1)解决有关根的分布问题应注意以下几点：①首先画出符合题意的草图，转化为函数问题．②结合草图考虑四个方面：a.Δ与0的大小；b.对称轴与所给端点值的关系；c.端点的函数值与零的关系；d.开口方向．③写出由题意得到的不等式并检验条件的完备性．(2)解决此类问题可设出方程对应的函数，根据函数的零点所在的区间分析区间端点函数值的符号，建立不等式，使问题得解．当函数解析式中含有参数时，要注意分类讨论．【跟踪训练4】 函数y ＝x 2＋2px ＋1的零点一个大于1，一个小于1，求p 的取值范围．解 解法一：记f (x )＝x 2＋2px ＋1，则函数f (x )的图象开口向上，当f (x )的零点一个大于1，一个小于1时，即f (x )与x 轴的交点一个在(1,0)的左方，另一个在(1,0)的右方，∴必有f (1)<0，即12＋2p ＋1<0.∴p <－1.∴p 的取值范围为(－∞，－1)．解法二：设y ＝x 2＋2px ＋1的零点为x 1，x 2，则⎩⎨⎧ Δ＝4p 2－4>0，(x 1－1)(x 2－1)<0⇔⎩⎨⎧ p 2>1，x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1<0 ⇔⎩⎨⎧ p 2>1，1＋2p ＋1<0，得p <－1.1.函数的零点 (1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零.(2)根据函数零点定义可知，函数f (x )的零点就是f (x )＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f (x )＝0是否有实根，有几个实根.(3)函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的实数根，也就是函数y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象交点的横坐标.2.判断函数y ＝f (x )零点的存在性的两个条件(1)函数的图象在区间[a ，b ]上是一条连续不断的曲线.(2)由f (a )·f (b )<0就可判断函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点.但应用时应注意以下问题：①并非函数所有的零点都能用这种方法找到．如y ＝x 2的零点在x＝0附近就没有这样的区间．只有函数值在零点的左右两侧异号时才能用这种方法.②利用上述结论只能判别函数y＝f(x)在区间(a，b)上零点的存在性，但不能确定其零点的个数.1．函数y ＝4x －2的零点是( ) A ．2B ．(－2,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 D.12答案 D解析 令y ＝4x －2＝0，得x ＝12.∴函数y ＝4x －2的零点为12. 2．函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)答案 C解析 因为函数f (x )的图象是连续不断的一条曲线，又f (－2)＝e－2－4<0，f (－1)＝e －1－3<0，f (0)＝－1<0，f (1)＝e －1>0，f (2)＝e 2>0，所以f (0)·f (1)<0，故函数的零点所在的一个区间是(0,1)．3．方程x 3－x －1＝0在[1,1.5]上实数解有( ) A ．3个 B ．2个 C ．至少一个 D ．0个答案 C解析 令f (x )＝x 3－x －1，则f (1)＝－1<0，f (1.5)＝1.53－1.5－1＝1.53－2.5>0，故选C.4．已知函数f (x )的图象是不间断的，且有如下的x ，f (x )对应值表：则函数f (x )在区间[－2,2]内的零点个数至少为________． 答案 3解析由f(－2)·f(－1.5)<0，f(－0.5)·f(0)<0，f(0)·f(0.5)<0可知，函数f(x)在区间[－2,2]内至少有3个零点．5．已知函数f(x)＝x2－2x－3，x∈[－1,4]．(1)画出函数y＝f(x)的图象，并写出其值域；(2)当m为何值时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点？解(1)依题意，f(x)＝(x－1)2－4，x∈[－1,4]，其图象如图所示．由图可知，函数f(x)的值域为[－4,5]．(2)∵函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点．∴方程f(x)＝－m在x∈[－1,4]上有两相异的实数根，即函数y＝f(x)与y＝－m的图象有两个交点．由(1)所作图象可知，－4<－m≤0，∴0≤m<4.∴当0≤m<4时，函数y＝f(x)与y＝－m的图象有两个交点，即当0≤m<4时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点．A级：基础巩固练一、选择题1．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：x－3－2－101234f(x)6m－4－6－6－4n6不求a ，b ，c 的值，判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根所在区间是( )A ．(－3，－1)和(2,4)B ．(－3，－1)和(－1,1)C ．(－1,1)和(1,2)D ．(－∞，－3)和(4，＋∞)答案 A解析 因为f (－3)＝6>0，f (－1)＝－4<0，所以在(－3，－1)内必有根．又f (2)＝－4<0，f (4)＝6>0，所以在(2,4)内必有根．2．对于函数f (x )，若f (－1)·f (3)<0，则( ) A ．方程f (x )＝0一定有实数解 B ．方程f (x )＝0一定无实数解 C ．方程f (x )＝0一定有两实根 D ．方程f (x )＝0可能无实数解 答案 D解析 因为函数f (x )的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f (－1)·f (3)<0，但方程f (x )＝0在(－1,3)上不一定有实数解．3．函数y ＝lg x －9x 的零点所在的大致区间是( ) A ．(6,7) B ．(7,8) C ．(8,9) D ．(9,10)答案 D解析 因为f (9)＝lg 9－1<0，f (10)＝lg 10－910＝1－910>0，所以f (9)·f (10)<0，所以y ＝lg x －9x 在区间(9,10)上有零点，故选D.4．已知f (x )是定义域为R 的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有2018个，则f (x )的零点的个数为( )A ．2018B ．2019C ．4036D ．4037答案 D解析 ∵f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)内有2018个零点，∴在(－∞，0)上也有2018个零点，又∵f (0)＝0，∴共有4036＋1＝4037个．5．设a 是函数f (x )＝2x －log 12x 的零点，若x 0>a ，则( )A ．f (x 0)＝0B ．f (x 0)>0C ．f (x 0)<0D ．f (x 0)的符号不确定答案 B解析 如图所示，画出函数y ＝2x 与y ＝log 12x 的图象，可知当x 0>a 时，2 x 0>log 12x 0，故f (x 0)>0.二、填空题6．已知函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是________．答案 －12，－13解析 由题意知，方程x 2－ax －b ＝0的两根为2,3，∴⎩⎨⎧2＋3＝a ，2×3＝－b ，即a ＝5，b ＝－6，∴方程bx 2－ax －1＝－6x 2－5x －1＝0的根为－12，－13，即为函数g (x )的零点．7．函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞ 解析 由零点存在性定理得f (－1)·f (1)<0， 即(3a ＋1－2a )·(－3a ＋1－2a )<0，整理(a ＋1)(－5a ＋1)<0，解得a <－1或a >15.8．若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________．答案 (0,2)解析 由f (x )＝|2x －2|－b ＝0，得|2x －2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象，如图所示，则当0<b <2时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点．三、解答题9．已知f (x )＝2(m ＋1)x 2＋4mx ＋2m －1.(1)当m 满足什么条件时，函数f (x )有两个零点？(2)若函数f (x )有两个零点x 1，x 2，且x 1<0<x 2，求实数m 的取值范围．解(1)由题意，知⎩⎨⎧2(m ＋1)≠0，(4m )2－4×2(m ＋1)(2m －1)>0，解得m <1且m ≠－1.(2)根据二次函数的图象，可知函数f (x )的两个零点满足x 1<0<x 2，有两种情况(如图)：开口向上与开口向下．因为⎩⎨⎧2(m ＋1)>0，f (0)＝2m －1<0或⎩⎨⎧2(m ＋1)<0，f (0)＝2m －1>0，解得－1<m <12.所以实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12.B 级：能力提升练10．已知关于x 的方程4x 2－2(m ＋1)x ＋m ＝0，若该方程的一根在区间(0,1)上，另一根在区间(1,2)上，求实数m 的取值范围．解 设f (x )＝4x 2－2(m ＋1)x ＋m ，则函数f (x )的图象与x 轴的交点分别在区间(0,1)和(1,2)内，画出示意图(如图)：则有⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝m ＞0，f (1)＝4－2(m ＋1)＋m ＜0，f (2)＝4×22－2×2(m ＋1)＋m ＞0，解得2＜m ＜4，所以实数m 的取值范围(2,4)．。