高中数学《方程的根与函数的零点》导学案

3．1.1方程的根与函数的零点

1．函数零点的概念

函数的零点：□1对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

注意：函数的零点不是一个点，而是f(x)＝0的根．

2．方程的根与函数零点的关系

方程f(x)＝0有实数根⇔□2函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔□3函数y＝f(x)有零点．

3．零点的存在性定理

□4如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．注意：(1)函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，f(a)·f(b)＜0不一定成立．

(2)若连续不断的曲线y＝f(x)在区间[a，b]上有f(a)·f(b)＜0，y＝f(x)在(a，b)内一定有零点，但不能确定有几个．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)所有的函数都有零点．()

(2)若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)的零点为(x1,0)，(x2,0)．()

(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有

f(a)·f(b)<0.()

答案(1)×(2)×(3)×

2．做一做

(1)(教材改编P88T1)函数f(x)＝x2＋3x的零点是________．

(2)(教材改编P88例1)若函数f(x)在区间(2,5)上是减函数，且图象是一条连续不断的曲线，f(2)·f(5)<0，则函数f(x)在区间(2,5)上零点的个数是________．

(3)已知函数y＝f(x)的定义域为R，图象连续不断，若计算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，则可以确定零点所在区间为________．答案(1)0和－3(2)1(3)(1.25,1.5)

『释疑解难』

(1)若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，且在两端点处的函数值f(a)，f(b)异号，则函数y＝f(x)的图象至少穿过x轴一次，即方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数根c.

(2)零点的存在性定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数．如图(1)(2)，虽然都有f(a)·f(b)<0，但图(1)中函数在区间(a，b)内有4个零点，图(2)中函数在区间(a，b)内仅有1个零点．

(3)零点的存在性定理是不可逆的，因为f(a)·f(b)<0可以推出函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点．但是，已知函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，不一定推出f(a)·f(b)<0.如图(3)，虽然在区间(a，b)内函

数有零点，但f (a )·f (b )>0.

(4)如果单调函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有唯一的零点，即存在唯一的c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．

探究1 求函数的零点

例1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．

(1)f (x )＝x 2＋7x ＋6；

(2)f (x )＝1－log 2(x ＋3)；

(3)f (x )＝2x －1－3；

(4)f (x )＝x 2＋4x －12x －2

. 解 (1)解方程f (x )＝x 2＋7x ＋6＝0，得x ＝－1或x ＝－6，所以函数的零点是－1，－6.

(2)解方程f (x )＝1－log 2(x ＋3)＝0，得x ＝－1，所以函数的零点是－1.

(3)解方程f (x )＝2x －1－3＝0，得x ＝log 26，所以函数的零点是log 26.

(4)解方程f (x )＝x 2＋4x －12x －2

＝0，得x ＝－6，所以函数的零点为－6.

拓展提升

求函数零点的方法

函数的零点就是对应方程的根，求函数的零点常有两种方法：

(1)令y ＝0，解方程f (x )＝0的根就是函数的零点；

(2)画出函数y ＝f (x )的图象，图象与x 轴交点的横坐标就是函数

的零点．

【跟踪训练1】若函数f(x)＝x2＋x－a的一个零点是－3，求实数a的值，并求函数f(x)其余的零点．

解由题意知f(－3)＝0，

即(－3)2－3－a＝0，a＝6，

∴f(x)＝x2＋x－6.

解方程x2＋x－6＝0，得x＝－3或2.

∴函数f(x)其余的零点是2.

探究2判断函数零点所在的区间

例2若a

A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内

C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内

解析∵f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)，

∴f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)，∵a

∴f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0，

∴f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．

答案A

拓展提升

确定函数零点所在区间的方法

(1)判断一个函数是否有零点，首先看函数f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，并且是否存在f(a)·f(b)<0，若存在，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．