判断系统稳定性

摘要

现今数字信号处理理论与应用已成为一门很重要的高新科学技术学科，通过功能强大的MATLAB软件与数字信号处理理论知识相互融合在一起，既使我们对数字信号处理的理论知识能够有更加深厚的解也提高了动手能力，实践并初步掌握了MATLAB 的使用。

根据本次课题要求，通过使用MATLAB，方便了对系统函数的繁琐的计算，并且直观形象的用计算机进行模拟仿真，通过观察图，由图像的特征从而进一步的对系统进行形象的分析。

本课题中给出了系统函数，对其稳定性进行分析我们可以通过MATLAB画零极图观察极点的分布，另外还可以通过MATLAB分析系统的单位阶跃响应、单位脉冲响应、幅频相频特性的图形更加具体的对系统进行分析。

关键字：离散系统函数、MATLAB、零极点分布、系统稳定性。

一、设计原理

1.设计要求

（1）：根据系统函数求出系统的零极点分布图并且判断系统的稳定性。

（2）：求解系统的单位阶跃响应，并判断系统的稳定性。

（3）：求系统的单位脉冲响应，并判断系统的稳定性

（4）：求出各系统频率响应，画出幅频特性和相频特性图（zp2tf,zplane，impz等）

2、系统稳定性、特性分析

进行系统分析时我主要利用MATLAB软件绘制出系统零极点的分布图、单位脉冲响应图、单位阶跃响应图等。采用MATLAB 软件进行设计时我调用了软件本身的一些函数来对课题进行绘图和分析。诸如zplane、impz、stepz、freqz等。

对系统函数的零极图而言：极点在单位圆内,则该系统稳定,极点在单位圆外，则该系统为非稳定系统。 当极点处于单位圆内，系统的冲激响应曲线随着频率的增大而收敛；当极点处于单位圆上，系统的冲激响应曲线为等幅振荡；当极点处于单位圆外，系统的冲激响应曲线随着频率的增大而发散。 系统的单位阶跃响应若为有界的则系统为稳定系统。由以上的判据配合图形对系统的稳定性进行分析，达到我们的课程要求。

系统函数H（z）的零极点分布完全决定了系统的特性，若某系统函数的零极点已知，则系统函数便可确定下来。

因此，系统函数的零极点分布对离散系统特性的分析具有非常重要意义。通过对系统函数零极点的分析，可以分析离散系统以下几个方面的特性：

(1)系统单位样值响应h(n)的时域特性；

(2)离散系统的稳定性；

(3)离散系统的频率特性；

二、MATLAB 绘图分析

MATLAB 功能丰富，可扩展性强。MATLAB 软件包括基本部分和专业扩展两大部分的功能。基本部分包括：矩阵的运算和各种变换；代数和超越方程的求解；数据处理和傅立叶变换；数值部分等等，可以充分满足大学理工科本科的计算需要。扩展部分称为工具箱。它实际上是用MATLAB 的基本语句辩称的各种子程序集，用于解决某一方面的专门问题，或实现某一类的新算法。

在使用MATLAB 语言进行编程过程中，根据题目设计要求，需要用到得主要函数语言有clear ，figure ，impz ，zplane ，freqz ，stepz 等。

clear 清除变量和函数。 figure 即创建图形窗口的命令。 impz 绘制单位脉冲响应。

zplane 显示离散系统的零极点分布图。 freqz 绘制幅频特性图。 stepz 绘制单位阶跃响应图。 roots 求多项式的根。

plot 用于绘出函数图，plot （x ，y ），其中x 为横坐标，y 为纵坐标，且x ，y 一般为一维的。 axis 为人工选择坐标轴尺寸命令。

title(‘加图形标题')。 xlabel('加X 轴标记')。 ylabel('加Y 轴标记')。 grid on 加网格线。

subplot （m,n,p ）该命令将当前图形窗口分成m ×n 个绘图区。

（1）

5147.13418.217.098.2250

5)(2

34

20-++--+=z z z z z z z H

1）zplane函数求解系统函数零极点分布

对应分子多项式系数为

B=[1,5,-50];

对应分母多项式系数为

A=[2,-2.98,0.17,2.3418,-1.5147];

zplane(B,A);

grid on;

legend('零点','极点');

title('零极点分布图');

x=roots(A);

y=roots(B);

abs(x);

零极点分布图为：

零点rz=（-10,5）rp=（-0.9000,0.7000±0.6000i,0.9900）结合图形分析，极点都在圆内，所以该系统稳定。

2)求输入为单位阶跃序列时系统的响应

B=[1,5,-50];

A=[2,-2.98,0.17,2.3418,-1.5147];

stepz(B,A,2000);

grid on;

title(‘单位阶跃系列输入的系统响应’);

单位阶跃响应图为:

由图可见，该系统的单位阶跃响应曲线随着n增大最终归于有界。因此，验证了该系统是一个稳定系统。

3）系统的单位脉冲响应

a=[1,5,-50];

b=[2,-2.98,0.17,2.3418,-1.5147];

impz(a,b,100);

grid on;

title(‘系统单位脉冲响应’)

单位脉冲响应图为:

由图可见，该系统的冲激响应曲线随着n增大而收敛。因此，验证了该系

统是一个因果稳定系统。

4）系统相频幅频特性图及分析

clear

a=[1,5,-50];

b=[2,-2.98,0.17,2.3418,-1.5147];

[H,w]=freqz(a,b,400,'whole');

Hf=abs(H);

Hx=angle(H);

clf

figure(1);

plot(w,Hf);

title('离散系统幅频特性曲线')

figure(2) plot(w,Hx)

title('离散系统相频特性曲线')