高中数学《函数的表示法》导学案

1.2.2函数的表示法第1课时函数的表示法1．函数的表示法(1)解析法：□1用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．(2)图象法：□2用图象表示两个变量之间的对应关系．(3)列表法：□3列出表格来表示两个变量之间的对应关系．2．对三种表示法的说明(1)解析法：利用解析式表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域．(2)图象法：图象既可以是连续的曲线，也可以是离散的点．(3)列表法：采用列表法的前提是函数值对应清楚，选取的自变量要有代表性．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何一个函数都可以用列表法表示．()(2)任何一个函数都可以用解析法表示．()(3)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线．()答案(1)×(2)×(3)×2．做一做(1)函数f(x)是一次函数，若f(1)＝1，f(2)＝2，则函数f(x)的解析式是________．(2)某教师将其1周课时节次列表如下：X(星期)12345Y (节次)2 4 53 1从这个表中看出这个函数的定义域是________，值域是________．(3)(教材改编P 23T 3)画出函数y ＝|x ＋2|的图象．答案 (1)f (x )＝x (2){1,2,3,4,5} {2,4,5,3,1}(3)探究1 作函数的图象例1 作出下列函数的图象并求出其值域．(1)y ＝2x ，x ∈[2，＋∞)；(2)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]．解 (1)列表：x2 3 4 5 … y 1 23 12 25 …画图象，当x ∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y ＝2x 的一部分(图1)，观察图象可知其值域为(0,1]．(2)列表：x－2－1012y0－1038画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分(图2)．由图可得函数的值域是[－1,8]．拓展提升常见函数图象的画法技巧(1)对于一次函数的图象，描出与坐标轴的交点，连线即得．(2)对于二次函数的图象，描出与坐标轴的交点、顶点，连线即得．注意：所选的点越多画出的图象越精确，同时所选的点应该是关键处的点．【跟踪训练1】 作出下列函数的图象，并指出其值域．(1)y ＝x 2＋x (－1≤x ≤1)；(2)y ＝2x (－2≤x ≤1，且x ≠0)．解 (1)用描点法可以作出函数的图象如图(1)．由图可知y ＝x 2＋x (－1≤x ≤1)的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2.(2)用描点法可以作出函数的图象如图(2)．由图可知y ＝2x (－2≤x ≤1，且x ≠0)的值域为(－∞，－1]∪[2，＋∞)．探究2 待定系数法求函数解析式例2 求下列函数解析式．(1)已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝9x ＋4，求f (x )的解析式；(2)已知二次函数满足f (3x ＋1)＝9x 2－6x ＋5，求f (x )．解 (1)设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则f [f (x )]＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ＝9x ＋4.∴⎩⎪⎨⎪⎧ k 2＝9，kb ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝3，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3，b ＝－2. ∴f (x )＝3x ＋1或f (x )＝－3x －2.(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (3x ＋1)＝a (3x ＋1)2＋b (3x ＋1)＋c＝9ax 2＋(6a ＋3b )x ＋a ＋b ＋c＝9x 2－6x ＋5.比较系数，得⎩⎪⎨⎪⎧ 9a ＝9，6a ＋3b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－4，c ＝8，∴f (x )＝x 2－4x ＋8.拓展提升待定系数法求函数解析式已知函数的模型求函数解析式，常采用待定系数法，由题设条件求待定系数．待定系数法求函数解析式的步骤如下：(1)设出所求函数含有待定系数的解析式．如一次函数解析式设为f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，反比例函数解析式设为f (x )＝k x (k ≠0)，二次函数解析式设为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．(2)把已知条件代入解析式，列出关于待定系数的方程或方程组．(3)解方程或方程组，得到待定系数的值．(4)将所求待定系数的值代回所设解析式．【跟踪训练2】 (1)已知函数f (x )＝x 2，g (x )为一次函数，且一次项系数大于零，若f [g (x )]＝4x 2－20x ＋25，求g (x )的表达式；(2)已知二次函数f (x )满足f (0)＝1，f (1)＝2，f (2)＝5，求该二次函数的解析式．解 (1)由g (x )为一次函数，设g (x )＝ax ＋b (a >0)，∵f [g (x )]＝4x 2－20x ＋25，∴(ax ＋b )2＝4x 2－20x ＋25，即a 2x 2＋2abx ＋b 2＝4x 2－20x ＋25，从而a 2＝4,2ab ＝－20，b 2＝25，解得a ＝2，b ＝－5，故g (x )＝2x －5(x ∈R )．(2)设二次函数的解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝1，a ＋b ＋c ＝2，4a ＋2b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝0，c ＝1，故f (x )＝x 2＋1.探究3 换元法(或配凑法)、方程组法求函数解析式例3 (1)已知函数f (x ＋1)＝x 2－2x ，求f (x )的解析式；(2)已知函数y ＝f (x )满足f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，求函数y ＝f (x )的解析式． 解 (1)解法一(换元法)：令x ＋1＝t ，则x ＝t －1，t ∈R ，可得f (t )＝(t －1)2－2(t －1)＝t 2－4t ＋3，即f (x )＝x 2－4x ＋3.解法二(配凑法)：因为x 2－2x ＝(x 2＋2x ＋1)－(4x ＋4)＋3＝(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3，所以f (x ＋1)＝(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3，即f (x )＝x 2－4x ＋3.(2)在已知等式中，将x 换成1x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f (x )＝1x ，与已知方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f (x )＝1x ，解得f (x )＝－x 3＋23x .[结论探究]对于本例中的(1)若把“求f(x)的解析式”改为“求f(2)的值”，应如何求解．解解法一：直接求f(x)的解析式，然后把x＝2代入即可．解法二：令x＝1代入即可，f(2)＝－1.拓展提升求函数解析式的五种常用方法(1)待定系数法：已知函数f(x)的函数类型，求f(x)的解析式时，可根据类型设出其解析式，确定其系数即可．(2)换元法：令t＝g(x)，再求出f(t)的解析式，然后用x代替所有的t即可．(3)配凑法：已知f[g(x)]的解析式，要求f(x)时，可从f(g(x))的解析式中拼凑出“g(x)”，即用g(x)来表示，再将解析式两边的g(x)用x代替即可．(4)代入法：已知y＝f(x)的解析式求y＝f[g(x)]的解析式时，可直接用新自变量g(x)替换y＝f(x)中的x.(5)方程组法：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．【跟踪训练3】(1)已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)的解析式；(2)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)的解析式．解(1)解法一(配凑法)：∵f(x＋1)＝x＋2x＝(x＋1)2－1(x＋1≥1)，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．解法二(换元法)：令x＋1＝t(t≥1)，则x＝(t－1)2(t≥1)，∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)2＝t2－1(t≥1)．∴f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)因为f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，将x 换成－x ，得f (－x )＋2f (x )＝x 2－2x ，将以上两式消去f (－x )，得3f (x )＝x 2－6x ，所以f (x )＝13x 2－2x .1.函数三种表示法的优缺点2.作函数图象时应注意的几点(1)在定义域内作图.(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象.(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点.1．y 与x 成反比，且当x ＝2时，y ＝1，则y 关于x 的函数关系式为( )A ．y ＝1xB ．y ＝－1xC ．y ＝2xD ．y ＝－2x答案 C 解析 设y ＝k x (k ≠0)，则1＝k 2，∴k ＝2，∴y ＝2x .2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0]，x 2＋1，x ∈(0，1]，则函数f (x )的图象是( )答案 A解析 当x ＝－1时，y ＝0，即图象过点(－1,0)，D 错；当x ＝0时，y ＝1，即图象过点(0,1)，C 错；当x ＝1时，y ＝2，即图象过点(1,2)，B 错．故选A.3．某种茶杯，每个2.5元，把买茶杯的钱数y (元)表示为茶杯个数x (个)的函数，则y 与x 的函数关系式为______．答案 y ＝2.5x ，x ∈N *解析 由题意得，y ＝2.5x (x ∈N *)．4．若3f (x －1)＋2f (1－x )＝2x ，则f (x )的解析式为________． 答案 f (x )＝2x ＋25解析 (换元法)令t ＝x －1，则x ＝t ＋1，t ∈R ， 原式变为3f (t )＋2f (－t )＝2(t ＋1)，①以－t 代替t ，①式变为3f (－t )＋2f (t )＝2(1－t )，② 由①②消去f (－t )得f (t )＝2t ＋25，∴f (x )＝2x ＋25. 5．已知f (x )＝x ＋b ，f (ax ＋1)＝3x ＋2，求a ，b 的值． 解 由f (x )＝x ＋b ，得f (ax ＋1)＝ax ＋1＋b .∴ax ＋1＋b ＝3x ＋2，∴a ＝3，b ＋1＝2，即a ＝3，b ＝1.A 级：基础巩固练一、选择题1．若g (x ＋2)＝2x ＋3，g (3)的值是( ) A ．9 B ．7 C ．5 D ．3 答案 C解析 解法一：令x ＋2＝3，则x ＝1， ∴g (3)＝2×1＋3＝5.解法二：令x ＋2＝t ，则x ＝t －2，∴g (t )＝2(t －2)＋3， ∴g (3)＝5.2．设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的表达式是( ) A ．g (x )＝2x ＋1 B ．g (x )＝2x －1 C ．g (x )＝2x －3 D ．g (x )＝2x ＋7答案 B解析 解法一：∵g (x ＋2)＝2x ＋3＝2(x ＋2)－1， ∴g (x )＝2x －1.解法二：g (x )＝f (x －2)＝2(x －2)＋3＝2x －1.3．已知f (x )是一次函数，且2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则( )A ．f (x )＝3x ＋2B ．f (x )＝3x －2C ．f (x )＝2x ＋3D ．f (x )＝2x －3答案 B解析 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)．因为2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，所以⎩⎨⎧ 2(2k ＋b )－3(k ＋b )＝5，2b －(－k ＋b )＝1，即⎩⎨⎧k －b ＝5，k ＋b ＝1，所以⎩⎨⎧k ＝3，b ＝－2.所以f (x )＝3x －2.4．李明放学回家的路上，开始和同学边走边讨论问题，走的比较慢；然后他们索性停下来将问题彻底解决；最后他快速地回到了家．下列图象中与这一过程吻合得最好的是( )答案 D解析由题意知当时间t＝0时，离家的距离不应为0，故排除A，B.又因为一开始慢，到最后快，比较C，D，只有D符合题意．5．若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值为()A．2 B．1 C．－1 D．无最大值答案B解析在同一坐标系中画出函数y＝2－x2，y＝x的图象，如图所示，根据题意，图中实线部分即为函数f(x)的图象．∴当x＝1时，f(x)max ＝1，故选B.二、填空题6．观察数表：x－3－2－1123f(x)41－1－335g(x)1423－2－4则f[g(3)－f(－1)]＝________.答案4解析由数表，可得g(3)＝－4，f(－1)＝－1，∴g(3)－f(－1)＝－3，∴f[g(3)－f(－1)]＝f(－3)＝4.7．若2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x ＋12(x ≠0)，则f (2)＝______.答案 52解析 令x ＝2得2f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝92，令x ＝12得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (2)＝32， 消去f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12得f (2)＝52. 8．一水池有2个进水口，1个出水口，每个口进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则一定能确定正确的论断序号是________．答案 ①解析 设进水量为y 1，出水量为y 2，时间为t ，由图象知y 1＝t ，y 2＝2t .由图丙知，从0～3时蓄水量由0变为6，说明0～3时两个进水口均打开进水但不出水，故①正确；3～4时蓄水量随时间增加而减少且每小时减少一个单位，若3～4时不进水只出水，应每小时减少两个单位，故②不正确；4～6时为水平线说明水量不发生变化，因为至少打开一个水口，所以是所有水口都打开，进出均衡．故③不正确．三、解答题9．作出下列函数的图象： (1)f (x )＝x ＋x 0；(2)f (x )＝1－x (x ∈Z ，且－2≤x ≤2)； (3)f (x )＝x 2－2|x |－1； (4)f (x )＝|x 2＋3x －4|. 解 (1)如图．(2)如图．(3)f (x )＝x 2－2|x |－1＝⎩⎨⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0.如图．(4)f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋3x －4，x ≤－4或x ≥1，－(x 2＋3x －4)，－4<x <1.如图．B 级：能力提升练10．求下列函数的解析式：(1)已知函数f (x －1)＝x 2－4x ，求函数f (x )的解析式；(2)已知f (x )是二次函数，且f (x ＋1)＋f (x －1)＝2x 2－4x ，求f (x )的解析式．解 (1)解法一：已知f (x －1)＝x 2－4x ， 令x －1＝t ，则x ＝t ＋1，代入上式得， f (t )＝(t ＋1)2－4(t ＋1)＝t 2－2t －3， 即f (x )＝x 2－2x －3(x ∈R )．解法二：∵f (x －1)＝(x －1)2－2(x －1)－3， ∴f (x )＝x 2－2x －3(x ∈R )．(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则依题意代入，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ＋a (x －1)2＋b (x －1)＋c ＝2x 2－4x ，即2ax 2＋2bx ＋2a ＋2c ＝2x 2－4x ，利用等式两边对应项的系数相等，可得 2a ＝2,2b ＝－4,2a ＋2c ＝0.解得a ＝1，b ＝－2，c ＝－1，∴f (x )＝x 2－2x －1.。