3.3选择终极生命表分解
生命表的编制
3.5.2生命表的种类与选用
• 国民生命表：根据全体国民或者特定地区 的人口的死亡统计数据编制的生命表。 • 经验生命表：保险公司 • 基础生命表：人寿保险公司计算保费所使 用的生命表。（终极表） • 年金生命表：根据年金购买者的死亡资料 编制的生命表。
3.5.3 注意事项
• 安全性 • 稳定性 • 合理性
选择表 终极表 选择和终极表 综合生命表
终极表的死亡率要比选择表的死亡率高，也比综合表的死亡 率高； 选择表的死亡率要比终极表的死亡率低，也比综合表的死亡 率低。分析课本p66,表3-3选择生命表的基本项目函数
0
l[ x ]+ n , d[ x ]+ n , q[ x ]+ n , e[ x ]+ n 等，它们之间的关系与生命表类似。 d[ x ]+ n = l[ x ]+ n − l[ x ]+ n +1 q[ x ]+ n = d[ x ]+ n l[ x ]+ n
Eg3.5 假设有选择和终极表3-4所示,求 2 [x] 30 31 32 33
p[31] ,2 q[31]+ 2 ,1 p[30]+1.
l[ x ]+ 2
995 988 982 970 X+2 32 33 34 35
l[ x ]
1000 996 994 987
l[ x ]+1
998 994 990 983
3.5 生命表的编制
• • • •
生命表编制的一般方法 生命表的种类及其选用 编制生命表的注意事项 选择生命表
3.5.1 生命表编制的一般方法
实际同批人生命表的优缺点的分析： 1 需要纵向跟踪一批人从生到死的全部过 程； 2 不能说明现在在某个时期的死亡水平； 3 很难取得完整的原始资料。 结论：实际中一般不采用这种方法。
寿险精算第二讲：生命表构成及应用
生命表构建和运用学习重点：掌握生命表基本函数及其相互关系、了解生命表的编制方法及分类。
从概率论和数理统计角度出发、根据大数定律原则，研究人的寿命概率分布和生存函数，建立描述各年龄段死亡率的生命表来弥补生存函数的不足，从而形成较完善的生存（死亡）分布理论。
研究人类寿命的分布规律，讨论生命表构造情况是寿险精算学的基础。
在精算学中，生命表也称死亡率表或精算表。
生命表通常以10万（或100万）人作为0岁的生存人数，然后根据各年中死亡人数，各年末生存人数计算各年龄人口的死亡率、生存率，列成表格，直至此10万全部死亡为止。
生命表上所记载的死亡率、生存率是决定人寿保险费的重要依据。
是反映一个国家或一个区域人口生存死亡规律的调查统计表。
即追踪一批人，逐年记录该人群的死亡人数，得到该人群从出生到死亡为止的各年龄死亡率，并进一步构成表格式模型，称为生命表。
一、生命表简介1、生命表的编制生命表可以依据实际同时出生的一批人资料编制，即纵向跟踪这批人从出生到死亡的的全部过程。
这种生命表成为实际同批人生命表。
但在实际中取得这批人死亡事件的完整资料，而且这种生命表只能是历史的追述，不能说明现在某个时期的死亡水平。
通常采用假设同批人方法编制生命表，即把某一时期各个年龄的死亡水平当成同时出生的一批人各个年龄的死亡水平看待。
这样编制的生命表称为时期生命表或假设同批人生命表。
2、生命表的分类在人口分析中，可按性别、地区、种族等对人口进行分类，从而分别编制反映各类人口死亡规律的生命表。
（1）国民生命表和经验生命表：国民生命表根据全体国民或特定地区的人口统计资料编制的统计表；经验生命表是寿险公司根据被保险人的死亡记录所编制的生命表。
由于寿险公司要求被保险人体检合格后才予以承保，所以，经验生命表的死亡率通常低于国民生命表的死亡率。
（2）寿险生命表和年金生命表：由于逆选择现象的存在，选择年金的人一般对身体健康状况较为乐观，而选择寿险的人对身体状况不太乐观，这两类人群的死亡率是有明显区别的。
寿险精算
f x (t )
qx
例：已知
l x 10000 (1
x ) 100
分别在三种分数年龄假定下，计算下面各值：
0.5
q30 ,5.25 q50，30.5
解： 1、q30 l30 l31 1 e p30 69
l30 70
0.5 q30 UDD 0.5q30
经验数据表明： q[ x n ] n q[ x n 1] n 1的值随着n的增大迅速缩小。一般当n 10时
选择期：把同一年龄上相邻已投保年数死亡率 差异明显的时期，也称为选择明显期。
•
选择生命表： 依据q[ n ] n 编制的生命表。它表明随年龄和已投保期而变动 的死亡规律。
基本原理:插值法 常用方法
均匀分布假定(线性插值) 常数死亡力假定(几何插值) Balducci假定(调和插值)
三种假定
均匀分布假定(线性插值)UDD假设
S0 ( x t ) (1 t ) S0 ( x) tS0 ( x 1) , 0 t 1
常数死亡力假定(几何插值)
3、 30.5 UDD
q30 1 1 0.5q30 69.5
69 ) 70 q30 1 30.5 Balducci p30 0.5q30 69.5
30.5 CF ln( p30 ) ln(
二、选择-终极生命表
在对被保险人依一定的健康标准加以选择后，一组被保险人的死亡率不仅 随年龄而变动，而且随已投保年限长短变动。以 q[ x ] n 表示 x岁加入保险， 经过n年在x n岁的死亡概率，有 q[ x ] q[ x 1]1 q[ x 2 ] 2 这一差异可以忽略不计。
第一章 生命表
1.1.4
离散型未来寿命的分布
取整余命（ K）：K(x)=[T(x)]
Pr[ K ( x ) k ] Pr[ k T ( x ) k 1] Pr[ k T ( x ) k 1] k 1 q x k q x k p x k 1 p x k|q x
1.1.5
死力
几种常见的假设：
1）de Moivre假设（1729）：
xt
1 0 x 1 , e x E [T ( x )]
0
xt
x
,
s(x) 1
,
f T (t )
x
2
x
其中的ω 为极限年龄，即假定在此年龄下，所 有的人均已死亡。
1.1.5
0
1
2
3
… …
q0
q1
i
q2
q3
q
i0
1,
qi 0
1.1.2
含义
生存函数
s(x)=1- F(x)=Pr(X>x), x≥0
新生婴儿x岁以后死亡的概率 新生婴儿活过x岁的概率
性质 a. s ( 0 ) 1,
x
lim s ( x ) 0
b. 单调递减函数
死力
xt
2）Gompertz假设（1825）：
xt B C
,
B 、 C 为常数
3）Makeham假设（1860）：
xt A B C
xt
,
A 、 B 、 C 为常数
4）Weibull假设（1939）：
xt k ( x t ) ,
3.3选择终极生命表
选择生命表：依据q[n]n编制的生命表。它表明随年龄和已投保期而变动 的死亡规律。
当选择效果消失时，死亡率只与年龄有关，如果选择期为r年，
投保期超过r年的同一年龄上的死亡概率相等。此时，死亡
概率可以用qx表示，有
q q q [xr]r
5 q50 0.1
5 p50 0.9
q55
1 45
5.25
q50UDD
0.1
0.9
0.25
1 45
0.105
5.25 q50 CF
0.1 0.9 (1
44 0.25 )
45
0.1050422
0.25 5.25 q50 Balducci 0.1 0.9 44 0.25 0.1050847
1 1t t S0 (x t) S0 (x) S0 (x 1)
, 0t 1
死亡均匀分布假设
假设死亡在整数年龄之间均匀发生，此时存活函数是线性的。
S0 (x t) (1 t) S0 (x) t S0(x 1) (x为整数，0 t 1) S0 (x) t [S0 (x 1) S0 (x)]
＝0.5×0.006844 ＝0.003422 （b）由死亡力为常数，得：
log px log(1 qx )
于是，有：
＝1－ 0.5 q[56]1
p 0.5 [56]1
＝1－ e 0.50.006868 ＝0.003428
例：解释下列符号的意义，计算它们的值，假设死亡率符合 A1967－1970
需要构造选择生命表的原因：刚刚接受体检的 新成员的健康状况会优于很早以前接受体检的 老成员。
保险精算第3章(3)
s(x t)
t px
1 ty px t px
1
pxt y pxt
1
p
y x
y p xt pxy
26
例：在常数死力下求： q5 75.25
l75 56799 l76 54239 l80 43180 l81 40208
p 5 75.25 p 0.75 75.25 4 p76 0.25 p80
5 p20 0.2 p25 (10.8 p25.2 2 p26 0.6 p28 )
l25 l20
(1
0.2q25 )[1
(1
0.8q25 1 0.2q25
)
l28 l26
(1
0.6q28 )
0.00248
24
二、年龄内常数死力假设(几何插值法)
还可以怎么写？
• 令： s(x t) s(x)1t s(x 1)t 0 t 1
p0.75 75
l80 l76
p 0.25 80
0.75545
q5 75.25 0.24455
27
三、调和插值法（Balducci假设）
• 令： 1 1 t t
s(x t) s(x) s(x 1)
0t 1
• 生存函数：
t
px
s(x t) s(x)
1 1t t s(x) s(x 1)
0 t 1
1.t qx
lx
lxt lx
td x lx
tqx
2.t px
lxt lx
lx tdx lx
1 tqx
3. y qxt
lxt
lxt y lxt
yd x lx tdx
yqx 1 tqx
21
2019-生命表的编制-文档资料
以 q[x]n表 示 x岁 的 人 加 入 保 险 ， 经 过 n年 在 x n岁 的 死 亡 率 ， 有
q[ x] q[ x1]1 q[ x2]2 .....
选择性
经 验 数 据 表 明 ： 这 种 选 择 性 随 着 n的 不 断 增 大 迅 速 缩 小 。 一 般 ，
假设同批人生命表：
即把某一时期各个年龄的死亡水平当 作同时出生的一批人在一生中经历各个年龄 时的死亡水平看待，这样编制的生命表称之 为时期生命表或者假设同批人生命表。
1 可以描述某一时期处于不同年龄人群 的死亡水平
2 反映了假定一批人按这一时期各年龄 死亡水平度过一生时的生命过程。
分年龄中心死亡率：
当 n 10时 ， 这 一 差 异 可 以 忽 略 不 计 。 把同一年龄上相邻已投保年数死亡率差异明显的时期称为选择
效 果 明 显 期 或 者 选 择 期 。 把 依 据 q[x]n编 制 的 生 命 表 称 为 选 择 生 命表。
当 选 择 效 果 消 失 时 ， 死 亡 率 只 与 年 龄 相 关 ， 如 果 选 择 期 为 r年 ， 投 保 期 超 过 r年 同 一 年 龄 上 的 死 亡 率 相 同 ， 此 时 死 亡 率 用 qx表 示 。 则
在保险精算中，反映被保险人死亡规律的经验生命表与人 口生命表是不同的。
1 被保险人不是全部人口中的随机群体；
2 被保险人是经过选择符合保险条件的人群。
因此，在年龄相等时，可以认为刚买保险的人比已经买了 若干年保险的人，死亡率更低，对保单资料的经验分析也可以 证明之。
结论：在对被保险人依一定健康标准加以选择后，一组被保险 人的死亡率不仅随年龄而变动，也随已投保年限长短变动。
3.5 生命表的编制
第四章 生命表
生命表起源
• 生命表的定义
– 生命表是用表格的行使来反映生命的变化规 律，又称为死亡表，是一定时期、一定数量 的人口从生存到死亡的统计记录。它反映了 整数年龄的人在整数年内生存或者死亡的概 率分布情况。
• 生命表的发展历史
– 1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡 名单,写过《生命表的自然和政治观察》。这是生命表 的最早起源。 – 1693年，Edmund Halley,《根据Breslau城出生与下葬 统计表对人类死亡程度的估计》，在文中第一次使用 了生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。人们因 而把Halley称为生命表的创始人。
s '( x) f ( x) x [ ln s( x)]' s ( x ) 1 F ( x)
• 死亡效力与生存函数的关系
s( x) exp{ s ds}
0 t x
(1.4)
px exp{ s ds}
x
x t
• 含义：
s ( x) s ( x x ) x lim x0 x s ( x) P{x将在 x x岁之前死亡} lim x0 x x瞬间死亡的比率
生命表基本函数
• lx：存活到确切整数年龄x岁的人口数，x=0,1,……ω-1。 • ndx：在x~x+n岁死亡的人数，当n=1时，简记为dx • nqx：x岁的人在x~x+n岁死亡的概率，当n=1时，简记为qx
生存分布
• 一、新生儿的生存函数
• 二、x岁余寿的生存函数
• 三、死亡力
• 四、整值平均余寿与中值余寿
• 人类的“浴盆曲线”意味着：
– 刚出生的婴儿是脆弱的，死亡效力非常高。这是因为各种先天性的不足都 会在这个时期暴露。经过淘汰先天不足的孩子，死亡效力逐渐下降。 – 青壮年时期是人类死亡效力最低的时期。在这段时间里，身体各部位都属 于良好运作阶段，身体属于“偶然失效期”。 – 中老年时期属于人类的加速死亡时期。在这段时间里，身体各器官逐渐老 化，开始罹患各种疾病。在可靠性理论中，称这段时期为加速失效期。
生命表
国内的生命表
10年来，业务快速发展，积累了大量的保险业务数据资料； 2、保险公司信息化程度大幅提高，数据质量也有了较大 的改善； 3、保险精算技术获得了极大的发展，积累了一些死亡率 分析经验。 基于各方面的考虑，在中国保监会的领导和组织下， 2003年8月，正式启动了新生命表编制项目。新生命表编 制完成后，于2005年11月12日通过了以著名人口学专家、 全国人大副委员长蒋正华为主任的专家评审会的评审。于 2006年1月1日正式启用。
X=年龄 lx=在X岁生存的人数 dx=年龄在岁的人在一年内死亡的人数=lx-lx+1 qx=年龄在岁的人在一年内死亡的概率=dx/lx px=年龄在岁的人活过一年的概率 =lx+1/lx
生命表的分类
以死亡统计的对象为标准，生命表可分为 国民生命表和经验生命表。 国民生命表是根据全体国民或某一特定地 区人口的死亡资料编制而成的。 经验生命表是根据保险机构有关人寿保险、 社会保险的死亡记录编制而成的。
生命表概述
2009年10月
原理
现代保险学是建立在概率论和大数定律的基础上 大数法则：是用来说明大量的随机现象由于偶然性相互抵消所呈现的必然数 量规律的一系列定理的统称. 切比雪夫大数法则：在承保标的数量足够大时，被保险人所交纳的纯保费与 其所能获得的赔款期望值相等。 贝努力定理大数法则：利用统计资料来估计损失概率是极其重要的。 泊松大数法则：平均概率与观察结果所得的比例将无限接近。
国内的生命表
新生命表包括非养老金业务男女表和养老金业务男女表共 两套四张表，简称“CL(2000-2003)”。其结构与原生命表 相同，但取消了混合表。 之所以非养老金业务与养老金业务用表不同，是因为整体 而言，投保养老金的人群死亡的概率比投保非养老金的人 群要小。 本次非养老金业务表男性平均寿命为76.7岁，较原生命表 提高了3.1岁，女性平均寿命为80.9岁，较原生命表提高 了3.1岁。养老金业务表男性平均寿命为79.7岁，较原生 命表提高了4.8岁，女性平均寿命为83.7岁，较原生命表 提高了4.7岁。
第二章 生命表函数与生命表构造
第二章生命表函数与生命表构造第一节生命表函数一、生存函数1、定义：2、概率意义：新生儿能活到的概率3、与分布函数的关系：4、与密度函数的关系：二、剩余寿命1、定义：已经活到x岁的人（简记），还能继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。
2、剩余寿命的分布函数5、：，它的概率意义为：将在未来的年内去世的概率，简记3、剩余寿命的生存函数：，它的概率意义为：能活过岁的概率，简记特别：（1）（2）（3）（4）：将在岁与岁之间去世的概率4、整值剩余寿命（1）定义：未来存活的完整年数，简记（2）概率函数：5、剩余寿命的期望与方差（1）期望剩余寿命：剩余寿命的期望值（均值），简记（2）剩余寿命的方差：6、整值剩余寿命的期望与方差（1）期望整值剩余寿命：整值剩余寿命的期望值（均值），简记（2）整值剩余寿命的方差：2三、死亡效力1、定义：的人瞬时死亡率，记作2、死亡效力与生存函数的关系3、死亡效力与密度函数的关系4、死亡效力表示剩余寿命的密度函数记为剩余寿命的分布函数，为的密度函数，则第二节生命表的构造一、有关寿命分布的参数模型1、de Moivre模型（1729）2、Gompertz模型（1825）3、Makeham模型（1860）4、Weibull模型（1939）二、生命表的起源1、参数模型的缺点（1）至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。
这四个常用模型的拟合效果不令人满意。
（2）使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差（3）寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布。
（4）在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。
2、生命表的起源（1）生命表的定义根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所组成的汇总表.（2）生命表的发展历史1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写过《生命表的自然和政治观察》。
中国精算师考试指引——考试用书及考试形式
中国精算师资格考试指南第I部分中国精算师资格考试一准精算师部分A1数学考试时间：3小时考试形式：选择题考试要求：本科目是关于风险管理和精算中随机数学的基础课程。
通过本科目的学习，考生应该掌握基本的概率统计知识，具备一定的数据分析能力，初步了解各种随机过程的性质。
考生应掌握概率论、统计模型和应用随机过程的基本概念和主要内容。
考试内容：A、概率论（分数比例约为35%）1. 概率的计算、条件概率、全概公式和贝叶斯公式（第一章）2. 联合分布律、边缘分布函数及边缘概率密度的计算（第二章）3. 随机变量的数字特征（§3.1、§3.2、§3.4）4. 条件期望和条件方差（§3.3）5. 大数定律及其应用（第四章）B、数理统计（分数比例约为25%）1. 统计量及其分布（第五章）2. 参数估计（第六章）3. 假设检验（第七章）4. 方差分析（§8.1）C、应用统计（分数比例约为10%）1. 一维线性回归分析（§8.2）2. 时间序列分析（平稳时间序列及ARIMA模型）（第九章）D、随机过程（分数比例约为20%）1. 随机过程一般定义和基本数字特征（第十章）2. 几个常用过程的定义和性质（泊松过程、更新过程、马氏过程、鞅过程和布朗运动）（第十一章）E、随机微积分（分数比例约为10%）1. 关于布朗运动的积分（§11.5、第十二章）2. 伊藤公式（§12.2）考试指定教材：中国精算师资格考试用书：《数学》肖宇谷主编，李勇权主审，中国财政经济出版社2010版，所有章节。
A2金融数学考试时间：3小时考试形式：选择题考试要求：本科目要求考生具有较好的数学知识背景。
通过学习本科目，考生应该熟练掌握利息理论、利率期限结构与随机利率模型、金融衍生工具定价理论、投资组合理论的主要内容，在了解基本概念、基本理论的基础上，掌握上述几部分内容涉及的方法和技巧。
第二章生命表(生存模型-中国精算研究院,周渭兵)
n qx n dx lx
n dx
lx l xn lx
px
px
l x 1 lx
• 例2.2 根据表2.2求： • （1）在2-4岁之间死亡的人数。 • （2）1岁生存到4岁的概率。
• 2.2由lx推导的其他函数
• 一、死力（the force of mortality）的概念
dx Lx
dx l x (1 f x ) d x
qx 1 (1 f x ) q x
一般地 由于 有
0
n
s l x s x s ds l x s ds n l x n n Lx n l x n
0
n
nf x
n L x n l x n
表2.2 x 0 1 2 3
传统生命表 lx 100000 99724 99538 99407 x 4 … 109 110 lx 99311 … 1 0
特点：1、不使用S(x),而是将S(x) ×100000. 2、l0=100000.令lx=l0S(x).
• • • •
已知l0,则 lx=l0S(x)。 dx=lx-lx+1 ndx=lx-lx+n
xd (Tx )
0
Tx dx
定义： Y0 得： ( 4)
0 2
Tx dx
2 Y0 l0 2 2
E( X )
于是： Var（X） E ( X ) E ( X )
2 Y0 l0
T0 l 0
2
2.2.3 条件概率与密度
(1)
x n m q x 表示x岁的人在（ n）岁和
第二章生命表函数与生命表构造
第⼆章⽣命表函数与⽣命表构造第⼆章⽣命表函数与⽣命表构造第⼀节⽣命表函数⼀、⽣存函数1、定义：2、概率意义：新⽣⼉能活到的概率3、与分布函数的关系：4、与密度函数的关系：⼆、剩余寿命1、定义：已经活到x岁的⼈（简记），还能继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。
2、剩余寿命的分布函数5、：，它的概率意义为：将在未来的年内去世的概率，简记3、剩余寿命的⽣存函数：，它的概率意义为：能活过岁的概率，简记特别：（1）（2）（3）（4）：将在岁与岁之间去世的概率4、整值剩余寿命（1）定义：未来存活的完整年数，简记（2）概率函数：5、剩余寿命的期望与⽅差（1）期望剩余寿命：剩余寿命的期望值（均值），简记（2）剩余寿命的⽅差：6、整值剩余寿命的期望与⽅差（1）期望整值剩余寿命：整值剩余寿命的期望值（均值），简记（2）整值剩余寿命的⽅差：2三、死亡效⼒1、定义：的⼈瞬时死亡率，记作2、死亡效⼒与⽣存函数的关系3、死亡效⼒与密度函数的关系4、死亡效⼒表⽰剩余寿命的密度函数记为剩余寿命的分布函数，为的密度函数，则第⼆节⽣命表的构造⼀、有关寿命分布的参数模型1、de Moivre模型（1729）2、Gompertz模型（1825）3、Makeham模型（1860）4、Weibull模型（1939）⼆、⽣命表的起源1、参数模型的缺点（1）⾄今为⽌找不到⾮常合适的寿命分布拟合模型。
这四个常⽤模型的拟合效果不令⼈满意。
（2）使⽤这些参数模型推测未来的寿命状况会产⽣很⼤的误差（3）寿险中通常不使⽤参数模型拟合寿命分布，⽽是使⽤⾮参数⽅法确定的⽣命表拟合⼈类寿命的分布。
（4）在⾮寿险领域，常⽤参数模型拟合物体寿命的分布。
2、⽣命表的起源（1）⽣命表的定义根据已往⼀定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所组成的汇总表.（2）⽣命表的发展历史1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写过《⽣命表的⾃然和政治观察》。
保险精算学3-生命表
设S(x)为x岁人在其死亡年度中所活过的不足一年的 部分。 S(x)是（0，1）上的连续分布，有：
T (x) K(x) S(x)
K(x)的期望值是简约平均余命：
ex E(K (x)) k k px qxk k ( k px k1 px ) p k1 x
3050253031303030053030050530300530303070700514069700505139525505002555505552550025525505255001094501090250105454401090105042245025010901050847440253030530305303030530300569569ln05695生命表可以依据实际同时出生的一批人资料编制不过编制这种生命表需要纵向追踪一批人从生到死的全部过程而且在实际中很难取得完整的原始资料同时该表也只是历史的追述不能说明现在某个时期的死亡水平因此一般不采用实际同批人方法编制生通常采用假设同批人方法编制即把某一时期各个年龄的死亡水平当做同时出生的一批人在一生中经历的各个年龄时的死亡水平看待从而描述某一时期处于不同年龄人群的死亡水平
1、tLx：x岁的人在x~x+t岁间的生存人年数。
人年数（复合单位）：人群存活时间的复合单位。1 个人存活1年是1人年，2个人每人存活半年也是1人 年。
在死亡均匀分布的假设下，x~x+t岁间死亡的人数
tdx平均存活t/2年，活到lx+t的人则存活t年，故有：
t Lx
t lxt
t 2
t dx
t 2
二、x岁余命的生命函数
T(x)：x岁的人未来能生存的时间。其分布函数为：
第2章 生命表基础
t +u
px
条件生存函数
进一步地，有：
t |u
qx = Pr(t < T ( x ) ≤ t + u ) = Pr(T ( x ) > t ) ⋅ Pr(T ( x ) ≤ t + u | T ( x ) > t ) = t px ⋅ u qx +t
条件生存函数：
t +u
px =
t |u
px = t p x ⋅ u px +t =
u|t
p x = u p x ⋅ t p x +u
特别地，有：
x +t
p0 = x p0 ⋅ t px
整值剩余寿命
定义：( x)未来存活的完整年数，简记 K ( x)
K ( X ) = k, k ≤ T ( x) < k + 1, k = 0,1,L
概率函数
Pr( K ( X ) = k ) = Pr(k ≤ T ( x) < k + 1) = k +1 qx − k qx = k px − k +1 px = k px ⋅ qx + k = k qx
生命表的特点
构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布假定（非参 数方法）
生命表的分类
总体上可分为：国民生命表和经验生命表两大类。 国民生命表：完全生命表和简易生命表。 经验生命表：由寿险公司编制。分为： 综合生命表：仅考虑到达年龄（被保人已经达到的年 龄）而不考虑进入年龄（被保人投保时的年龄）。国民 生命表和终极和进入年龄的生命表。 终极生命表：按照承保选择的影响消失后的死亡率数 据编制而成的生命表称为终极表。 选择-终极生命表：选择表和终极表编制在同一张表 格中。
精算
答案
方法一
1.75
p75.25 = 0.75 p75.25 ⋅ p76 = (1− 0.75 q75.25 ) ⋅ p76 0.75q75 ⋅ (1 − q76 ) = 1 − 1 − 0.25q 75 = (1 − 0.045685279) × (1 − 0.07) = 0.88751269
l0
1 5 l1 − l1 + l2 6 1 l1 − l2 1 d1 6 = = × = × = 0.000 113 33 l0 6 l0 6 l0
1 1 l1 l1 − l2 1 d1 或 1 q = p0 i1/ 6 q1 = p0 i q1 = × × = × = 0.000 113 33 1| 6 6 l0 l1 6 l0 6
1, K = 0,1,⋯ , n − 1 bK +1 = 0, K = n, n + 1,⋯
保险金给付在签单时的现值随机变量
v K +1 , K = 0,1,⋯ , n − 1 Z = bK +1vK +1 = K = n, n + 1,⋯ 0, 趸缴净保费
A
1 x: n|
= E (Z ) = ∑ v
计算原理 k +1 E ( Z ) = ∑ bk +1 ⋅ v ⋅ Pr( K = k )
k
= ∑ bk +1 ⋅ v
k
k +1
⋅ k | qx ⋅ k px ⋅ qx + k
= ∑ bk +1 ⋅ v
k
k +1
K的不同上下限，对应着不同的险种 的不同上下限， 的不同上下限
（一）n年定期寿险
给付函数
寿险精算
.0596 .0652 .0714 .0781 .0855 .0936 .1024
66 67 68 69 70 71 72
例
假定有两位老人今年都是65岁。甲老人是今 年刚刚体检合格购买的保险，乙老人是10年 前购买的保险，至今仍在保障范围内。使用 上面给出的选择－终极生命表估计两位老人 分别能活到73岁的概率。
x5 .0175 .0249 .0313 .0388 .0474 .0545 65
q[ x ]
q[ x ]1
q[ x ] 2 q[ x ] 3
q[ x ] 4
qx 5
.0191 .0209 .0228 .0249 .0273 .0298 .0326
.0272 .0297 .0324 .0354 .0387 .0424 .0464
3、 30.5 UDD
q30 1 1 0.5q30 69.5
69 ) 70 q30 1 30.5 Balducci p30 0.5q30 69.5
30.5 CF ln( p30 ) ln(
二、选择-终极生命表
在对被保险人依一定的健康标准加以选择后，一组被保险人的死亡率不仅 随年龄而变动，而且随已投保年限长短变动。以 q[ x ] n 表示 x岁加入保险， 经过n年在x n岁的死亡概率，有 q[ x ] q[ x 1]1 q[ x 2 ] 2 这一差异可以忽略不计。
死亡均匀分布假设
t qx y
S0 ( x y ) S0 ( x y t ) tqx S0 ( x y ) 1 yqx
(0≤t≤１, 0≤y≤１,0≤t+y≤１)
x t
S0 '( x t ) S0 ( x) S0 ( x 1) qx S0 ( x t ) S0 ( x) t[ S0 ( x) S0 ( x 1)] 1 tqx
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三种假定下的生命表函数
函数
t
均匀分布
常数死亡力
Ballucci
t qx 1 (1 t ) qx
qx
tq x
yqx 1 tq x qx 1 tq x
1 e t
e
t
t px
y q x t
e t
q ,
q ，30.5
解： 1、q30 l30 l31 1 e p30 69
l30 70
0.5 30
70
q UDD 0.5q30
1 140 69 70
0.5 1 0.5 q30 CF 1 e
0.5 q30 Balducci
0.5q30 1 p30 0.5q30 139
(0≤t≤１, 0≤y≤１,0≤t+y≤１)
x t
S0 '( x t ) S0 ( x) S0 ( x 1) qx S0 ( x t ) S0 ( x) t[ S0 ( x) S0 ( x 1)] 1 tqx
死亡力恒定假设
当假设死亡力在x~x+1上恒定时， x t (x为整数，0≤t≤1)， d ln t p x 由死亡力的定义， x t dt
t qx
( x为整数， 0 t 1)
S0 ( x) S0 ( x t ) t[ S0 ( x) S0 ( x 1)] tqx S0 ( x ) S0 ( x)
死亡均匀分布假设
t qx y
S0 ( x y ) S0 ( x y t ) tqx S0 ( x y ) 1 yqx
第五节 生命表的编制
一、有关分数年龄的假设
使用背景:
生命表提供了整数年龄上的寿命分布,但有时我们需要分 数年龄上的生存状况,于是我们通常依靠相邻两个整数生 存数据,选择某种分数年龄的生存分布假定， 估计分数 年龄的生存状况
基本原理:插值法 常用方法
均匀分布假定(线性插值) 常数死亡力假定(几何插值) Balducci假定(调和插值)
经验数据表明： q[ x n ] n q[ x n 1] n 1的值随着n的增大迅速缩小。一般 当n 10时
选择期：把同一年龄上相邻已投保年数死亡率 差异明显的时期，也称为选择明显期。
•
选择生命表：依据q[ n ] n 编制的生命表。它表明 随年龄和已投保期而变 动 的死亡规律。
1 1 t t S0 ( x t ) S0 ( x) S0 ( x 1)
, 0 t 1
死亡均匀分布假设
假设死亡在整数年龄之间均匀发生，此时存活函数是线性的。
S0 ( x t ) (1 t ) S0 ( x) t S0 ( x 1) S0 ( x) t [ S0 ( x 1) S0 ( x)]
2、5.25 q50 5 q50 5 p50 0.25 q55
5 q50 0.1 5 p50 0.9
q55
1 45
5.25
q50 UDD 0.1 0.9 0.25
1 0.105 45 ) 0.1050422
44 q CF 0.1 0.9 (1 5.25 50 45
5.25 q50 Balducci 0.1 0.9
0.25
0.25 0.1050847 44 0.25
3、 30.5UDD
q30 1 1 0.5q30 69.5
69 ) 70 q30 1 30.5 Balducci p30 0.5q30 69.5
30.5 CF ln( p30 ) ln(
二、选择-终极生命表
在对被保险人依一定的 健康标准加以选择后， 一组被保险人的死亡率 不仅 随年龄而变动，而且随 已投保年限长短变动。 以 q[ x ] n 表示 x岁加入保险， 经过n年在x n岁的死亡概率，有 q[ x ] q[ x 1]1 q[ x 2] 2 这一差异可以忽略不计 。
三种假定
均匀分布假定(线性插值)UDD假设
S0 ( x t ) (1 t )S0 ( x) tS0 ( x 1) , 0 t 1
常数死亡力假定(几何插值)
S0 ( x t ) S0 ( x)(1t ) S0 ( x 1)t
, 0 t 1
Balducci假定(调和插值)
px 1 (1 t ) qx yqx 1 (1 y t )qx qx 1 (1 t )qx
px qx [1 (1 t ) qx ]2
f x (t )
qx
例：已知
l x 10000 (1
x ) 100
分别在三种分数年龄假定下，计算下面各值：
0.5 30 5.25 50
(1 t ) 1 t s( x t ) s ( x) s( x 1)
巴尔杜奇(Balducci)假设
此时，
t qx
tq x 1 (1 t )q x tq x 1 (1 y t )q x
(1 t )q x
t q x y
（其中，0≤t≤1, 0≤y≤1, 0≤t+y≤1）
t dt 0 e t px e
死亡力恒定假设
若以
x1 / 2表示 x t ，有
x 1/ 2 ln px
此时，
tμx1/ 2 p e ( px )t t x
巴尔杜奇(Balducci)假设
以意大利精算师巴尔杜奇的名字命名，这一假设 是当x为整数，0≤t≤1时，生存函数的倒数是t的 线性函数，即
当选择效果消失时，死亡率只与年龄有关，如果选择期为r年， 投保期超过r年的同一年龄上的死亡概率相等。此时，死亡 概率可以用qx 表示，有 q[ x r ] r q[ x r 1] r 1 q[ x r 2] r 2 qx 依据选择效果已经消失后的死亡概率资料编制的生命表 称为终极表。 注记： 由于终极表是选择表中选择效果消失后形成的表， 通常把他们放在一起，形成选择 终极表 由不分投保年数的死亡率资料编制的生命表， 称为综合表。