相关关系和最小二乘法

5
n
代入公式，得 b＝－3.2，所以，a＝ y －b x ＝40， 故线性回归方程为 y＝－3.2x＋40.
答案 y＝－3.2x＋40
题型三 利用线性回归方程对总体进行估计 例 3 下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产甲产品过 程中记录的产量 x(吨)与相应的生产能耗 y(吨标准煤)的几 组对照数据. x y 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5
思维启迪：画散点图，对变量的相关关系作出评估；求线性 回归方程，由线性回归方程进行回归分析预测．
解 (1)散点图如下图：
3＋4＋5＋6 2.5＋3＋4＋4.5 (2) x ＝ ＝4.5， y ＝ ＝3.5， 4 4
i 1 4 i 1
∑ xiyi＝3×2.5＋4×3＋4×5＋6×4.5＝66.5， ＝
③ 填序号)． 乘法的思想得拟合程度最好的直线是___(
解析 由题意知 x ＝4， y ＝6， ∑ (xi－ x )(yi－ y ) 8 ＝ i 1 ∴b＝ ＝ ， n 2 5 ∑ ( x － x ) i ＝
i 1 n
2 8 2 ∴a＝ y －b x ＝－ ，∴y＝ x－ ，故选③. 5 5 5
4．对变量 x， y 有观测数据(xi， yi)(i＝ 1,2，„，10)，得散点 图 (1)；对变量 u， v 有观测数据(ui，vi)(i＝ 1,2，„，10)， 得散点图(2)．由这两个散点图可以判断( )
答题模板 12．线性回归问题 试题： (12 分)某电脑公司有 6 名产品推销员，其工作年 限与年推销金额的数据如下表： 推销员编号 工作年限 x/年 推销金额 y/万元 1 3 2 2 5 3 3 6 3 4 7 4 5 9 5
(1)以工作年限为自变量 x，推销金额为因变量 y，作出 散点图； (2)求年销售金额 y 关于工作年限 x 的线性回归方程； (3)若第 6 名推销员的工作年限为 11 年，试估计他的年 推销金额．
探究提高：从本题可以看出，求线性回归方程，关键在于 正确求出系数 a，b，由于计算量较大，所以计算时要仔细 谨慎，分层进行，避免因计算产生失误，特别注意，只有 在散点图大体呈线性时，求出的线性回归方程才有意义．
变式训练 2 在 2009 年春节期间，某市物价部门对本市五个 商场销售的某商品一天的销售量及其价格进行调查，五个 商场的售价 x 元和销售量 y 件之间的一组数据如下表所示： 价格 x 销售量 y 9 11 9.5 10 10 8 10.5 6 11 5
“是”与“否”)
解析
从散点图看，散点图的分布成团状，无任何规
律，所以两个变量不具有线性相关关系．
题型二 如下：
求线性回归方程
例 2 某地 10 户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料
年收入 x(万元) 年饮食支出 y (万元) 关关系；
2
4
4
6
6
6
7
7
8
10
0.9 1.4 1.6 2.0 2.1 1.9 1.8 2.1 2.2 2.3
A．变量 x 与 y 正相关，u 与 v 正相关 B．变量 x 与 y 正相关， u 与 v 负相关 C．变量 x 与 y 负相关，u 与 v 正相关 D．变量 x 与 y 负相关，u 与 v 负相关
解析 图(1)中的数据随着 x 的增大 y 减小， 因此变量 x 与变 量 y 负相关；图(2)中的数据随着 u 的增大，v 也增大，因此 u 与 v 正相关．
答案 C
5．(2010· 湖南)某商品销售量 y(件)与销售价格 x(元/件)负相 关，则其回归方程可能是 A．y＝－10x＋200 C．y＝－10x－200 B．y＝10x＋200 D．y＝10x－200 ( A )
解析 由于销售量 y 与销售价格 x 成负相关，故排除 B、 D.C 中 y 值恒为负，不符合题意，故选 A.
0 2.2
1 4.3
3 4.8
4 6.7
从散点图分析，y 与 x 线性相关，且 y＝0.95x＋a，则 a 的
3．已知 x，y 之间的一组数据如下表： x y 2 3 3 4 4 6 5 8 6 9
对于表中数据，现给出如下拟合直线：①y＝x＋1； 8 2 3 ②y＝2x－1；③y＝ x－ ；④y＝ x，则根据最小二 5 5 2
通过分析，发现销售量 y 与商品的价格 x 具有线性相关关 系，则销售量 y 关于商品的价格 x 的线性回归方程为 ∑ xiyi－ n x y i＝1 ____________．(参考公式：b＝ n 2 ，a＝ y －b x ) 2 ∑ xi －n x ＝
i 1 n
2 解析 ∑ x y ＝ 392 ， x ＝ 10 ， y ＝ 8 ， ∑ x i i i ＝502.5， ＝ ＝ i 1 i 1
(2)回归方程 方程 y＝bx＋a 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据 (x1，y1)，(x2，y2)，„，(xn，yn)的回归方程，其中 a，b 是待 定参数．
n n xiyi－n x y ∑ (xi－ x )(yi－ y ) ∑ ＝ ＝ i 1 i 1 b ＝ ＝ n n 2 2 2 ∑ x － n x ∑ ( x － x ) i i i＝1 i＝1 a＝ y －b x
题型分类 深度剖析
题型一 利用散点图判断两个变量的相关关系 例 1 山东鲁洁棉业公司的科研人员在 7 块并排、形状大小 相同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量 x 对产量 y 影响的试验，得到如下表所示的一组数据(单位：kg). 施化肥量 x 棉花产量 y 15 330 20 345 25 365 30 405 35 445 40 450 45 455
解
6
(1)n＝6，∑ xi＝21，∑ yi＝426， x ＝3.5， y ＝71， ＝ ＝
i 1 i 1
6
6
6 2 ∑xi ＝79，∑ xiyi＝1 i＝ 1 i＝ 1 6
481，
b＝
i＝ 1
∑xiyi－6 x y
i 1 2 2 ∑ x － 6 x i ＝ 6
1 481－6×3.5×71 ＝ ＝－1.82， 79－6×3.52
2 2 2 2 2 ∑ x i ＝3 ＋4 ＋5 ＋6 ＝86， ＝
4
i＝ 1 ∴b＝ 4
∑xiyi－4 x · y
2 2 ∑ x － 4 x i ＝ i 1
4
66.5－4×3.5×4.5 ＝ ＝0.7， 86－4×4.52
a＝ y －b x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35. ∴所求的线性回归方程为 y＝0.7x＋0.35. (3)现在生产 100 吨甲产品用煤 y＝0.7×100＋0.35＝70.35(吨)， ∴90－70.35＝19.65(吨)． ∴比技改前大约降低 19.65 吨标准煤．
10 2 ∵ x ＝6， y ＝1.83，∑ xi ＝406，∑ xiyi＝117.7， i＝ 1 i＝ 1 10
10
∑ xiyi－10 x y ＝ i 1 ∴b＝ 10 2 ≈0.172， 2 ∑ xi －10 x ＝
i 1
a＝ y －b x ≈1.83－0.172×6＝0.798. 从而得到线性回归方程为 y＝0.172x＋0.798. (2)某家庭年收入为 9 万元时，其年饮食支出约为 y＝0.172×9＋0.798＝2.346(万元)．
探究提高：散点图是由大量数据点分布构成的，是定义在 具有相关关系的两个变量基础之上的， 对于性质不明确的 两组数据可先作散点图， 直观地分析它们有无关系及关系 的密切程度．
变式训练 1 根据两个变量 x，y 之间的观测数据画成散点图
否 ．(填 如图所示， 这两个变量是否具有线性相关关系______
审题视角
规范解答 解
(1)先用散点图判断 x、y 的线性相关关系；
a＝ y －b x ＝71＋1.82×3.5＝77.37， ∴线性回归方程为 y＝a＋bx＝77.37－1.82x. (2)因为单位成本平均变动 b＝－1.82<0， 且产量 x 的计量 单位是千件，所以根据回归系数 b 的意义有： 产量每增加一个单位即 1 000 件时，单位成本平均减少 1.82 元． (3)当产量为 6 000 件时，即 x＝6，代入线性回归方程， 得 y＝77.37－1.82×6＝66.45(元) ∴当产量为 6 000 件时，单位成本大约为 66.45 元．
探究提高：利用线性回归方程可以对总体进行预测估计，线 性回归方程将部分观测值所反映的规律进行延伸， 是我们对 有线性相关关系的两个变量进行分析和控制的依据， 依据自 变量的取值估计和预报因变量的值， 在现实生活中有广泛的 应用．
变式训练 3 某企业上半年产品产量与单位成本资料如下： 月份 1 2 3 4 5 6 (1)求出线性回归方程； (2)指出产量每增加 1 000 件时，单位成本平均变动多少？ (3)假定产量为 6 000 件时，单位成本为多少元？ 产量(千件) 2 3 4 3 4 5 单位成本(元) 73 72 71 73 69 68
(1)根据表中数据，确定家庭的年收入和年饮食支出的相 (2)如果某家庭年收入为 9 万元，预测其年饮食支出．
思维启迪：画出散点图，判断其线性相关性，求出线 性回归方程．
解
(1)由题意知，年收入 x 为解释变量，年饮食支出 y 为预
报变量，作散点图如图所示．
从图中可以看出，样本点呈条状分布，年收入和年饮食支出 有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它 们之间的关系．
§10.3 变量间的相关关系 基础知识 自主学习
要点梳理 1．两个变量的线性相关 若两个变量 x 和 y 的散点图中，所有点看上去都在一条直 线附近波动，则称变量间是线性相关的． 2．回归方程 (1)最小二乘法 n 个点 (x1， y1)，(x2， y2)，„，(xn， yn)，用表达式 [y1－ (a ＋ bx1)]2＋ [y2－ (a＋ bx2)]2＋„＋ [yn－ (a＋ bxn)]2 来刻画这 些点与直线 y＝ a＋ bx 的接近程度，使得上式达到最小值 的直线 y＝ a＋ bx 就是我们所要求的直线，这种方法称为 最小二乘法．
解析 将 y＝24.8 代入，得 x≈185.03.
百度文库
2．已知 x，y 的取值如下表所示： x y
2.6 值为________ ．
0＋1＋3＋4 解析 x ＝ ＝2， 4 2.2＋4.3＋4.8＋6.7 y＝ ＝4.5， 4 样本中心为(2,4.5)，又样本中心在回归直线上． 所以 4.5＝0.95×2＋a，即 a＝2.6.
.
[难点正本 疑点清源] 1．相关关系与函数关系的区别 相关关系与函数关系不同．函数关系中的两个变量间是一 种确定性关系．例如正方形面积 S 与边长 x 之间的关系 S ＝x2 就是函数关系．相关关系是一种非确定性关系，即相 关关系是非随机变量与随机变量之间的关系．例如商品的 销售额与广告费是相关关系．两个变量具有相关关系是回 归分析的前提．
(1)画出散点图； (2)判断是否具有相关关系．
思维启迪：(1)用 x 轴表示化肥施用量，y 轴表示棉花产量， 逐一画点． (2)根据散点图，分析两个变量是否存在相关关系．
解 (1)散点图如图所示
(2)由散点图知，各组数据对应点大致都在一条直线附 近，所以施化肥量 x 与产量 y 具有线性相关关系．
2．对回归分析的理解 回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法，它主要解 决三个问题： (1)确定两个变量之间是否有相关关系， 如果有就找出它们 之间贴近的数学表达式； (2)根据一组观察值， 预测变量的取值及判断变量取值的变 化趋势； (3)求出线性回归方程．
基础自测 1．人的身高与手的扎长存在相关关系，且满足 y＝0.303x－ 31.264(x 为身高，y 为扎长，单位： cm) ，则当扎长为 24.8 cm 时，身高约为__________ 185.03 cm.
(1)请画出上表数据的散点图； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的 线性回归方程 y＝bx＋a； (3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准 煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产 100 吨甲产 品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ (参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)