第七章典型作业题

7-10 用细绝缘线弯成的半圆形环，半径为R ，其上均匀地带正电荷Q ，求圆心O 点处的电场强度。

解：如图所示，设0Q >。在半圆形环上任取一电荷元d d q l λ=，在圆心处的电场强度的大小为

2

01d d 4l

E R λπε=

方向如图所示。式中,d d Q

l R R

λθπ=

= 由电荷的对称分布可知，圆心O 点处的电场强度沿x 轴正方向。有

220001d d cos 2cos d 44x l E E R R πλλθθθπεπε===⨯⎰⎰⎰22

0022Q

R R λπεπε==

7-12 一半径为r 的半球面均匀带电，电荷面密度为σ，求球心处的电场强度。

解：如图所示，图中圆环对ox 轴对称，所带电量为()d d 2sin d q S r r σσπθθ==，圆环半径为sin r θ，环心在x 轴处。

根据带电圆环轴线上的电场强度（见课本260页公式（7-11））

()

32

2

201

4xq

E x R πε=

+

作相应的代换，cos x r θ=，sin R r θ=，

222x R r +=，

可得到细圆环在O 点的电场强度为

()300

cos 2sin d 1d 4sin cos d 2r r r E r θσπθθπεσ

θθθε⨯=

=

通过积分，得到球心处的电场强度为

2

d sin cos d 24E E πσσθθθεε===

⎰⎰

E 指向x 正方向。

7-17 在半径分别为10 cm 和20 cm 的两层假想同心球面中间，均匀分布着电荷体密度为

9310C m ρ-=的正电荷。求离球心5 cm 、15 cm 和50 cm 处的电场强度。

解：以1R 和2R 分别表示均匀带电球壳的内、外半径。

（1）设离球心10.05r m =处的电场强度为1E r ，在以1r 为半径的高斯球面1S 上，1E r

的大小

应该相同，并处处与1S 的法线方向平行。对1S 运用高斯定理，有

1

10

d d 0S V

E S ρε=

=⎰⎰⎰⎰⎰

r

r g Ò

所以，离球心5 cm 处的电场强度10E =r

。

（2）以20.15r m =为半径作高斯球面2S ，设2S 上各点的电场强度为2E r

，对2S 运用高斯

定理，有

2

22220

d d 4S V E S E r ρπε==

⎰⎰⎰⎰⎰

r

r g Ò

式中d V ρ⎰⎰⎰是2S 所围的电荷量()21

2

33214d 4d 3

r R V r r r R π

ρρπρ==

-⎰⎰⎰⎰ 所以，离球心15 cm 处的电场强度2E r

的大小为

()

33212202

4.03r R E V m r

ρε-=

=

2E r

的方向与2S 的法线方向一致，即沿径向向外。

（3）以30.50r m =为半径作高斯球面3S ，带电球壳在3S 内，对3S 运用高斯定理，有

()3

23

33332

10

d 4d 43S V E S E r R R ρππρεε

==

=-⎰⎰⎰⎰⎰

r

r g Ò

所以，离球心50 cm 处的电场强度3E r

的大小为

()

3

32122

02

1.053R R E V m r

ρε-=

=

3E r

的方向与3S 的法线方向一致，即沿径向向外。

7-18 一个半径为R 的球体内的电荷体密度为kr ρ=，式中r 是径向距离，k 是常量。求空间的电场强度分布，并画出E 对r 的关系曲线。 解：

（1）在球体内作半径为r 的同心高斯球面1S ，设1S 上的电场强度为1E r

，对1S 运用高斯定理，有

1

2110

d d 4S

V E S E r ρπε==

⎰⎰⎰⎰⎰

r

r g Ò

式中

d V ρ⎰⎰⎰是1

S 所围的电荷量

234

d 4d 4d r

r

V kr r r k r r kr ρπππ=⨯==⎰⎰⎰⎰⎰

所以，在球体内离球心r 处的电场强度为

()()210

04r

kr E r e r R ε=<

（2）在球体外作半径为r 的同心高斯球面2S ，设2S 上的电场强度为2E r

，对2S 运用高斯定

理，有

2

2220

d d 4S V E S E r ρπε==

⎰⎰⎰⎰⎰

r

r g Ò

2S 包围了整个球体

234

d 4d 4d R

R

V kr r r k r r kR ρπππ=⨯==⎰⎰⎰⎰⎰

所以，在球体外离球心r 处的电场强度为

()()41204r

kR E r e r R r

ε=>r r

（3）E r -关系曲线如图所示。