第七章典型作业题

7-10 用细绝缘线弯成的半圆形环，半径为R ，其上均匀地带正电荷Q ，求圆心O 点处的电场强度。

解：如图所示，设0Q >。

在半圆形环上任取一电荷元d d q l λ=，在圆心处的电场强度的大小为201d d 4lE R λπε=方向如图所示。

式中,d d Ql R Rλθπ== 由电荷的对称分布可知，圆心O 点处的电场强度沿x 轴正方向。

有220001d d cos 2cos d 44x l E E R R πλλθθθπεπε===⨯⎰⎰⎰220022QR R λπεπε==7-12 一半径为r 的半球面均匀带电，电荷面密度为σ，求球心处的电场强度。

解：如图所示，图中圆环对ox 轴对称，所带电量为()d d 2sin d q S r r σσπθθ==，圆环半径为sin r θ，环心在x 轴处。

根据带电圆环轴线上的电场强度（见课本260页公式（7-11））()3222014xqE x R πε=+作相应的代换，cos x r θ=，sin R r θ=，222x R r +=，可得到细圆环在O 点的电场强度为()300cos 2sin d 1d 4sin cos d 2r r r E r θσπθθπεσθθθε⨯==通过积分，得到球心处的电场强度为2d sin cos d 24E E πσσθθθεε===⎰⎰E 指向x 正方向。

7-17 在半径分别为10 cm 和20 cm 的两层假想同心球面中间，均匀分布着电荷体密度为9310C m ρ-=的正电荷。

求离球心5 cm 、15 cm 和50 cm 处的电场强度。

解：以1R 和2R 分别表示均匀带电球壳的内、外半径。

（1）设离球心10.05r m =处的电场强度为1E r ，在以1r 为半径的高斯球面1S 上，1E r的大小应该相同，并处处与1S 的法线方向平行。

对1S 运用高斯定理，有110d d 0S VE S ρε==⎰⎰⎰⎰⎰rr g Ò所以，离球心5 cm 处的电场强度10E =r。

（2）以20.15r m =为半径作高斯球面2S ，设2S 上各点的电场强度为2E r，对2S 运用高斯定理，有222220d d 4S V E S E r ρπε==⎰⎰⎰⎰⎰rr g Ò式中d V ρ⎰⎰⎰是2S 所围的电荷量()21233214d 4d 3r R V r r r R πρρπρ==-⎰⎰⎰⎰ 所以，离球心15 cm 处的电场强度2E r的大小为()332122024.03r R E V m rρε-==2E r的方向与2S 的法线方向一致，即沿径向向外。

（3）以30.50r m =为半径作高斯球面3S ，带电球壳在3S 内，对3S 运用高斯定理，有()3233333210d 4d 43S V E S E r R R ρππρεε===-⎰⎰⎰⎰⎰rr g Ò所以，离球心50 cm 处的电场强度3E r的大小为()332122021.053R R E V m rρε-==3E r的方向与3S 的法线方向一致，即沿径向向外。

7-18 一个半径为R 的球体内的电荷体密度为kr ρ=，式中r 是径向距离，k 是常量。

求空间的电场强度分布，并画出E 对r 的关系曲线。

解：（1）在球体内作半径为r 的同心高斯球面1S ，设1S 上的电场强度为1E r，对1S 运用高斯定理，有12110d d 4SV E S E r ρπε==⎰⎰⎰⎰⎰rr g Ò式中d V ρ⎰⎰⎰是1S 所围的电荷量234d 4d 4d rrV kr r r k r r kr ρπππ=⨯==⎰⎰⎰⎰⎰所以，在球体内离球心r 处的电场强度为()()21004rkr E r e r R ε=<<r r（2）在球体外作半径为r 的同心高斯球面2S ，设2S 上的电场强度为2E r，对2S 运用高斯定理，有22220d d 4S V E S E r ρπε==⎰⎰⎰⎰⎰rr g Ò2S 包围了整个球体234d 4d 4d RRV kr r r k r r kR ρπππ=⨯==⎰⎰⎰⎰⎰所以，在球体外离球心r 处的电场强度为()()41204rkR E r e r R rε=>r r（3）E r -关系曲线如图所示。

7-21 半径为R 的无限长直圆柱体内均匀带电，电荷体密度为ρ，求电场强度分布，并作E r -曲线。

解：在圆柱体内，以r 为半径作高为l 的同轴闭合圆柱面1S ，对1S 运用高斯定理，有1201d 2S E S E rl r l πρπε==⎰⎰r r g Ò圆柱内，离轴线r 处的电场强度大小为()02rE r R ρε=< 在圆柱体外，以r 为半径作高为l 的同轴闭合圆柱面2S ，对2S 运用高斯定理，有2201d 2S E S E rl R l πρπε==⎰⎰r r g Ò圆柱内，离轴线r 处的电场强度大小为()202R E r R rρε=>E r -曲线如图所示。

0ρ>时，E r的方向沿径向向外。

7-26 两个同心球面，半径分别为10 cm 和30 cm 。

小球面均匀带有810C -正电荷，大球面带有81.510C -⨯正电荷。

求离球心分别为20 cm 和50 cm 处的电势。

解法一：设两球面半径分别为1R 、2R ，带电1q 、2q ，由高斯定理可求得电场分布为()()()01111220122220044E r R q E R r R r q qE r R r πεπε⎧⎪=<⎪⎪=<<⎨⎪⎪+=>⎪⎩120r cm =处的电势为2121121120120211d d 44R r R q q q V E r E r r R R πεπε∞⎛⎫+=+=-+ ⎪⎝⎭⎰⎰r r r rg g12010290044q q V r R πεπε=+=150r cm =处的电势为2122202d 4504r q q V E r V r πε∞+===⎰r r g解法二：由各球面电势的叠加计算电势120r cm =，位于两球面之间，电势为小球面电荷在1r 处的电势和大球面电势的代数和。

即121010290044q q V V r R πεπε=+=250r cm =，位于两球面外，电势为两球面在2r 处的电势。

即122020245044q q V V r r πεπε=+=7-27 电荷Q 均匀分布在半径为R 的球体内，试证离球心r 处()r R <的电势为()223038Q R r V R πε-=解法一：均匀带电球体的电场强度具有球对称性，设球体内和球体外的电场强度分别为1E r和2E r，由高斯定理201d 4d SE S E r V πρε==⎰⎰⎰⎰⎰r r g g Ò可以求得1E r 和2E r 。

式中334343R Q Q R πρπ⎛⎫== ⎪⎝⎭球内的场强为()103004Qr E e r R R πε=≤≤rr球外的场强为()20204Q E e r R rπε=≥rr 球体内r 处的电势为11123200d d d d 44RR r Rr R Qr Q V E r E r r r R r πεπε∞∞=+=+⎰⎰⎰⎰r r r rg g ()()2222330003848Q R r Q R r Q RRRπεπεπε--=+=解法二：以r 为半径作球面，将带电球体分割为半径为r 的球体和厚度为()R r -的球壳两部分，则r 处的电势为这两部分带电体的电势1V 和2V 的代数和，即12V V V =+。

1V 是半径为r 的球体表面的电势，2313000144434qQr V r r r R ρππεπεπε⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 这里334343R Q Q R πρπ⎛⎫== ⎪⎝⎭2V 是厚度为()R r -带电球壳在其内表面的电势。

由于带电球面内的电势与表面的相同，将球壳分割为无数厚度为d r 的薄球壳，则r 处在每个薄球壳的内部。

每个薄球壳所带的电量为2d 4d q r r ρπ=电势为200d d d 4q r V r rρπεε==所以，()2222303d d 8RrQ R r V V r r Rρεπε-===⎰⎰()()222221233300033488Q R r Qr Q V V V R r R R R πεπεπε-=+=+-= 直接计算332001444433q V R r RRρπππεπε⎛⎫==- ⎪⎝⎭这种做法是错误的!7-32 一半径8R cm =的圆盘，其上均匀带有面密度为52210C/m σ-=⨯的电荷，求： （1）轴线上任一点的电势表达式（用该点与盘心的距离x 、圆环半径R 及σ表示）； （2）从电场强度和电势的关系求该点的电场强度；（3）计算距离盘心6x cm =处的电势和电场强度。

（1221201085.8---⋅⋅⨯=N m C ε）解 （1）在圆盘上以盘心为圆心，取半径为r ，宽为dr 的细圆环，所带电荷量为2dq dS rdr σσπ==在轴线上x 处的电势为：d V ==整个圆盘上x 处的电势为)d 2RV V x σε===⎰⎰（2）轴线上x 处的电场强度为012V E i i x σε⎛⎫∂=-= ∂⎝r r r （3）带入数据8R cm =，得6x cm =处454.5210 4.5210V VE i V m =⨯=⨯r r7-36 点电荷104.010q C -=⨯，处在导体球壳的中心，壳的内外半径分别为1 2.0R cm =和2 3.0R cm =，求：（1）导体球壳的电势；（2）离球心 1.0r cm =处的电势；（3）把点电荷移开球心1.0 cm 后球心O 点的电势及导体球壳的电势。

解：利用高斯定理可以得到静电平衡时各区域的电场分布为()()()11202123220404q E r R r E R r R q E r R r πεπε⎧=<⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪=>⎪⎩（1）导体球壳的电势22232002d d 12044R R R q q V E r r V r R πεπε∞∞====⎰⎰r r g（2）离球心 1.0r cm =处的电势1212123d d d R R r rR R V E r E r E r ∞=++⎰⎰⎰r r r r r r g g g0121113004q V r R R πε⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭（3）把点电荷移开球心1.0cm ，仍然在导体球壳内部。

导体球壳外表面的电荷分布没有变化，故球壳电势与第一问相同，仍为120V 。