塑性力学 第四章 塑性本构关系
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3 2 Sij Sij , i eijeij ） 2 3
ii
i i
1 2 ii E 3 eij i S ij 2 i
6
二、依留申小弹塑性形变理论 1943年，依留申考虑了与弹性变形同量级的塑性变形，给 出了微小弹塑性变形下的应力—应变关系 在弹性阶段：
3 i 其本构方程为： d ij 2 S ij i
二、Prandtl—Reuss流动法则
17
P d ij dSij d 0 适用于弹塑性体
其本构方程为：
1 de dS dS ij ij 2G ij d 1 2 d ii ii E
16
§4-7
Levy—Mises流动法则和 Prandtl—Reuss流动法则
在塑性变形阶段，应力和应变之间没有一一对应的全量 关系，由于变形的不可逆性，故塑性区的变形不仅取决于最 终状态的应力，而且和加载路径有关。但在某一给定状态下， 有一个应力增量，相应的必有唯一的应变增量。因此在一般 塑性变形条件下，只能建立应力与应变增量之间的关系，即 增量理论。 一、Levy—Mises流动法则 d ij dSij d 0 适用于刚塑性体
i
7
例4-1。在薄壁筒的拉伸与扭转问题中，若材料为理想弹塑性 ，且 0.5 。设拉力为P，扭矩为M，筒的平均半径为r，壁厚 为t。于是筒内应力为均匀应力状态，有
P M z , z 2rt 2r 2t
其余应力分量为零。当按照同时拉伸与扭转，在 的比值保
, s 持不变条件下进入塑性状态到 s ，用全量理论 E G 求筒中的应力。 解：（一）由全量理论
yz
将应力 张 量和应 变 张量分 解 为球张 量 和偏张 量 部分 ，则 Hooke定律改写为
1 2 ii ii , E
1 eij S ij 2G
前面是一个独立式子，后者是五个独立式子（ S ii 0 ）。
3
在弹性范围内，应力和应变之间的方向关系是应力主轴和应 变主轴重合，分配关系是应变偏张量各分量和应力偏张量各 分量成比例。 为便于推广到塑性状态，并与塑性本构方程的写法一致，将 3 i 1 S ij , i 3G i eij S ij 改写为 eij 2 i 2G （因为 i E i 21 G i ，而塑性状态是 0.5 ）
13
§4-5
全量理论的适用范围 简单加载定律
目前已经证明，全量理论在小变形并且是简单加载的条件 下与实验结果接近，可以证明是正确的。 一、简单加载
0 t ij 物体内每一点的应力和 在简单加载的情况下， ij
应变的主方向都保持不变。其主值之比也不改变。在应力空 间中，应力点的轨迹是直线。 依留申在 1943 年继续解决了在什么条件下才能保持物体内部 各点都处于简单加载情况。提出了一组充分条件： 1、外载按比例增长，如有位移边界条件，只能是零位移边界 条件；
（1）先拉至 s 扭矩至 s G 。
s
s
s 不变，然后加 进入塑性状态，保持 E
（）先扭至 s
s
拉力至 s E 。
s
G 进入塑性状态，保持 s 不变，然后加
19
（3）同时拉伸与扭转，在 的比值保持不变条件下进入塑 s s , s 性状态到 s 。 E G
18
例4-2、在薄壁筒的拉伸与扭转问题中，若材料为理想弹塑性 ，且 0.5 。设拉力为P，扭矩为M，筒的平均半径为r，壁厚 为t。于是筒内应力为均匀应力状态，有
P M z , z 2rt 2r 2t
其余应力分量为零。现按照下列三种加载路径（如图)，试用 Prandtl—Reuss理论来计算筒中的应力：
1
§4-1
建立塑性本构关系的基本要素
描述塑性变形规律的理论可分为两大类： 一类理论认为在塑性状态下仍是应力和应变全量之间的关系 即全量理论；另一类理论认为在塑性状态下是塑性应变增量 （或应变率）和应力及应力增量（应力率）之间的关系即增 量理论或流动理论。 为了建立塑性本构关系，需要考虑三个要素： 1、初始屈服条件； 2、与初始屈服及后继加载面相关连的某一流动法则。即要 有一个应力和应变（或它们的增量）间的关系，此关系包括 方向关系和分配关系。实际是研究它们的偏量之间的关系； 3、确定一种描述材料强化（硬化）特性的强化条件，即加 载函数。有了这个条件才能确定应力、应变或它们的增量之 间的定量关系。
G K u k ,ki Gui , jj 2Geij , j f i 0 3
E 其中 K 31 2
G K u k ,ki Gui , jj f i 2Geij , j 或 3
在弹性状态时，故当上式右端等于零时，可得到弹性解。 将它作为第一次近似解，代入上式右端作为已知项，又可以 解出第二次近似解。重复以上过程，可得出所要求的精确度 内接近实际的解。在小变形情况下，可以证明解能够很快收 敛。在很多问题第二次近似解已能给出较为满意的结果。
s
s
3G
, s
s , s ， s s 1 s
G 3G 3G
10
分别代入（4）得到
s
s
2 1 2 3G s s 3G 3 3G
s
2
0.707 s
15
§4-6
卸载定律
卸载定律：卸载后的应力或应变等于卸载前的应力或应变减 ~ 去以卸载时的荷载改变量 P P P为假想荷载按弹性计算所 得之应力或应变（即卸载过程中应力或应变的改变量）。
使用上述计算方法时必须注意两点： （1）卸载过程必须是简单卸载，即卸载过程中各点的各应力 分量是按比例减少的。 （2）卸载过程中不发生第二次塑性变形，即卸载不应该引起 应力改变符号而达到新的屈服。
s
2 1 2 3 s s 3G 3 3G
s
3G
sHale Waihona Puke Baidu
6
0.408 s
11
§4-4
全量理论的基本方程及边值问题的提法
全量理论的边值问题及解法 设在物体V 内给定体力 f i ，在应力边界 ST 上给定面力 f i ，在 位移边界 Su上给定 u i ，要求物体内部各点的应力 ij 、应变 ij 、 位移 u i 。确定这些未知量的基本方程组有： 1） ij,i f j 0
故
9
（二）对于理想塑性材料： i s 将（2）、（3）代入式（1），得到
2 1 2 i 3
（2） （3）
s
2 1 2 3
,
s
2 1 2 3 3
（4）
（三）在简单加载的条件下，材料进入塑性状态时各应变分 量同时达到屈服，即 又
2
§4-2
x
1 x y z , E 1 y y z x , E 1 z z x y , E
广义Hooke定律
1 yz G 1 zx zx G 1 xy xy G
弹性范围内，广义Hooke定律：
当应力从加载面卸载时，也服从广义 Hooke 定律，但是不能 写成全量形式，只能写成增量形式。
d ii 1 2 d ii , E de ij 1 dS ij 2G
4
§4-3
全量型本构方程
由于在塑性变形状态应力和应变不存在一一对应的关系。 因此，必须用增量形式来表示它们之间的关系。只有在知道 了应力或应变历史后，才可能沿加载路径积分得出全量的关 系。由此可见，应力与应变的全量关系必然与加载的路径有 关，但全量理论企图直接建立用全量形式表示的，与加载路 径无关的本构关系。所以全量理论一般说来是不正确的。不 过，从理论上来讲，沿路径积分总是可能的。但要在积分结 果中引出明确的应力—应变的全量关系，而又不包含历史的 因素，只有在某些特殊加载历史下才有可能。因此，这种关 系只能在特定条件下应用。 一、全量理论的基本假设 1 、体积的改变是弹性的，且与静水应力成正比，而塑性变 形时体积不可压缩。
2、材料的体积不可压缩，即 0.5
, ii 0 ；
14
3、应力强度与应变强度之间有幂函数的关系，即 i A im 。 二、偏离简单加载 在实际应用中，全量理论的适用范围不限于简单加载， 这个范围的确定以及这个范围内应用全量理论所引起的误差， 都尚需要作进一步的研究。在这一范围内的加载路径称为偏 离简单加载。
eij S ij 2G S ij
（G即剪切弹性模量）
在塑性阶段：
1 （ eij 2G 2G
2G
即
S ij S ij ekl ekl
）
J2 J2 1 2 i 2 i 3 3 2 3 i i 4
上式自乘求和后开方得：
3 2 1 1 eij eij S ij S ij , i eij eij , J 2 S ij S ij , J 2 2 3 2 2 以 0.5 代入 i E i 1 得到 i 3G i 1 则 Sij 2G1 eij 这是全量理论的另一种表达形式。
ij 2）
2 i S ij 3 eij i 3） E kk kk 1 2
1 ui , j u j ,i 2
i
3 S ij S ij 2
2 i eij eij 3
4） ij li f j
12
5） ui ui 求解方法和弹性问题一样，可以用两种基本方法：按位 移求解或按应力求解。在全量理论适用并按位移求解弹塑性 问题时，依留申提出的弹性解法显得很方便。 将 Sij 2G1 eij 代入用位移表示的平衡微分方程得：
s
s
3 i eij S ij , i i 2 i
1 2 ii ii E
（1）
8
第二式可以写为
m 3K m
E 其中 K 31 2 第一式，且 0.5, ij eij ， 2 i 3 i ij Sij 或 Sij 故 ij 3 i 2 i 1 2 又因为 S z z m z z , Sz z 3 3 i i , 其展开式为 i 3 i 1 1 1 1 又由于 r z , z z 2 2 2 2
5
e ii
1 2 ii E
,
P 0
2、应变偏张量与应力偏张量相似且同轴，即 eij S ij 3 、‘单一曲线假设’：不论应力状态如何，对于同一种材 i i 料来说，应力强度是应变强度的确定函数 ，是与 Mises条件相应的。 （ i E i 1 ，单拉时 E 1 ） 全量型塑性本构方程为（ i
第四章 塑性本构关系—— 全量理论和增量理论
§4-1 §4-2 §4-3 §4-4 §4-5 §4-6 §4-7 建立塑性本构关系的基本要素 广义Hooke定律 全量型本构方程 全量理论的基本方程及边值问题的提法 全量理论的适用范围 简单加载定律 卸载定律 Levy—Mises和Prandtl—Reuss 流动法则 §4-8 增量型本构方程 §4-9 增量理论的基本方程及边值问题的提法 §4-10 两种理论的比较
ii
i i
1 2 ii E 3 eij i S ij 2 i
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二、依留申小弹塑性形变理论 1943年，依留申考虑了与弹性变形同量级的塑性变形，给 出了微小弹塑性变形下的应力—应变关系 在弹性阶段：
3 i 其本构方程为： d ij 2 S ij i
二、Prandtl—Reuss流动法则
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P d ij dSij d 0 适用于弹塑性体
其本构方程为：
1 de dS dS ij ij 2G ij d 1 2 d ii ii E
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§4-7
Levy—Mises流动法则和 Prandtl—Reuss流动法则
在塑性变形阶段，应力和应变之间没有一一对应的全量 关系，由于变形的不可逆性，故塑性区的变形不仅取决于最 终状态的应力，而且和加载路径有关。但在某一给定状态下， 有一个应力增量，相应的必有唯一的应变增量。因此在一般 塑性变形条件下，只能建立应力与应变增量之间的关系，即 增量理论。 一、Levy—Mises流动法则 d ij dSij d 0 适用于刚塑性体
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例4-1。在薄壁筒的拉伸与扭转问题中，若材料为理想弹塑性 ，且 0.5 。设拉力为P，扭矩为M，筒的平均半径为r，壁厚 为t。于是筒内应力为均匀应力状态，有
P M z , z 2rt 2r 2t
其余应力分量为零。当按照同时拉伸与扭转，在 的比值保
, s 持不变条件下进入塑性状态到 s ，用全量理论 E G 求筒中的应力。 解：（一）由全量理论
yz
将应力 张 量和应 变 张量分 解 为球张 量 和偏张 量 部分 ，则 Hooke定律改写为
1 2 ii ii , E
1 eij S ij 2G
前面是一个独立式子，后者是五个独立式子（ S ii 0 ）。
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在弹性范围内，应力和应变之间的方向关系是应力主轴和应 变主轴重合，分配关系是应变偏张量各分量和应力偏张量各 分量成比例。 为便于推广到塑性状态，并与塑性本构方程的写法一致，将 3 i 1 S ij , i 3G i eij S ij 改写为 eij 2 i 2G （因为 i E i 21 G i ，而塑性状态是 0.5 ）
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§4-5
全量理论的适用范围 简单加载定律
目前已经证明，全量理论在小变形并且是简单加载的条件 下与实验结果接近，可以证明是正确的。 一、简单加载
0 t ij 物体内每一点的应力和 在简单加载的情况下， ij
应变的主方向都保持不变。其主值之比也不改变。在应力空 间中，应力点的轨迹是直线。 依留申在 1943 年继续解决了在什么条件下才能保持物体内部 各点都处于简单加载情况。提出了一组充分条件： 1、外载按比例增长，如有位移边界条件，只能是零位移边界 条件；
（1）先拉至 s 扭矩至 s G 。
s
s
s 不变，然后加 进入塑性状态，保持 E
（）先扭至 s
s
拉力至 s E 。
s
G 进入塑性状态，保持 s 不变，然后加
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（3）同时拉伸与扭转，在 的比值保持不变条件下进入塑 s s , s 性状态到 s 。 E G
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例4-2、在薄壁筒的拉伸与扭转问题中，若材料为理想弹塑性 ，且 0.5 。设拉力为P，扭矩为M，筒的平均半径为r，壁厚 为t。于是筒内应力为均匀应力状态，有
P M z , z 2rt 2r 2t
其余应力分量为零。现按照下列三种加载路径（如图)，试用 Prandtl—Reuss理论来计算筒中的应力：
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§4-1
建立塑性本构关系的基本要素
描述塑性变形规律的理论可分为两大类： 一类理论认为在塑性状态下仍是应力和应变全量之间的关系 即全量理论；另一类理论认为在塑性状态下是塑性应变增量 （或应变率）和应力及应力增量（应力率）之间的关系即增 量理论或流动理论。 为了建立塑性本构关系，需要考虑三个要素： 1、初始屈服条件； 2、与初始屈服及后继加载面相关连的某一流动法则。即要 有一个应力和应变（或它们的增量）间的关系，此关系包括 方向关系和分配关系。实际是研究它们的偏量之间的关系； 3、确定一种描述材料强化（硬化）特性的强化条件，即加 载函数。有了这个条件才能确定应力、应变或它们的增量之 间的定量关系。
G K u k ,ki Gui , jj 2Geij , j f i 0 3
E 其中 K 31 2
G K u k ,ki Gui , jj f i 2Geij , j 或 3
在弹性状态时，故当上式右端等于零时，可得到弹性解。 将它作为第一次近似解，代入上式右端作为已知项，又可以 解出第二次近似解。重复以上过程，可得出所要求的精确度 内接近实际的解。在小变形情况下，可以证明解能够很快收 敛。在很多问题第二次近似解已能给出较为满意的结果。
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2 1 2 3G s s 3G 3 3G
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0.707 s
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§4-6
卸载定律
卸载定律：卸载后的应力或应变等于卸载前的应力或应变减 ~ 去以卸载时的荷载改变量 P P P为假想荷载按弹性计算所 得之应力或应变（即卸载过程中应力或应变的改变量）。
使用上述计算方法时必须注意两点： （1）卸载过程必须是简单卸载，即卸载过程中各点的各应力 分量是按比例减少的。 （2）卸载过程中不发生第二次塑性变形，即卸载不应该引起 应力改变符号而达到新的屈服。
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2 1 2 3 s s 3G 3 3G
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3G
sHale Waihona Puke Baidu
6
0.408 s
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§4-4
全量理论的基本方程及边值问题的提法
全量理论的边值问题及解法 设在物体V 内给定体力 f i ，在应力边界 ST 上给定面力 f i ，在 位移边界 Su上给定 u i ，要求物体内部各点的应力 ij 、应变 ij 、 位移 u i 。确定这些未知量的基本方程组有： 1） ij,i f j 0
故
9
（二）对于理想塑性材料： i s 将（2）、（3）代入式（1），得到
2 1 2 i 3
（2） （3）
s
2 1 2 3
,
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2 1 2 3 3
（4）
（三）在简单加载的条件下，材料进入塑性状态时各应变分 量同时达到屈服，即 又
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§4-2
x
1 x y z , E 1 y y z x , E 1 z z x y , E
广义Hooke定律
1 yz G 1 zx zx G 1 xy xy G
弹性范围内，广义Hooke定律：
当应力从加载面卸载时，也服从广义 Hooke 定律，但是不能 写成全量形式，只能写成增量形式。
d ii 1 2 d ii , E de ij 1 dS ij 2G
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§4-3
全量型本构方程
由于在塑性变形状态应力和应变不存在一一对应的关系。 因此，必须用增量形式来表示它们之间的关系。只有在知道 了应力或应变历史后，才可能沿加载路径积分得出全量的关 系。由此可见，应力与应变的全量关系必然与加载的路径有 关，但全量理论企图直接建立用全量形式表示的，与加载路 径无关的本构关系。所以全量理论一般说来是不正确的。不 过，从理论上来讲，沿路径积分总是可能的。但要在积分结 果中引出明确的应力—应变的全量关系，而又不包含历史的 因素，只有在某些特殊加载历史下才有可能。因此，这种关 系只能在特定条件下应用。 一、全量理论的基本假设 1 、体积的改变是弹性的，且与静水应力成正比，而塑性变 形时体积不可压缩。
2、材料的体积不可压缩，即 0.5
, ii 0 ；
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3、应力强度与应变强度之间有幂函数的关系，即 i A im 。 二、偏离简单加载 在实际应用中，全量理论的适用范围不限于简单加载， 这个范围的确定以及这个范围内应用全量理论所引起的误差， 都尚需要作进一步的研究。在这一范围内的加载路径称为偏 离简单加载。
eij S ij 2G S ij
（G即剪切弹性模量）
在塑性阶段：
1 （ eij 2G 2G
2G
即
S ij S ij ekl ekl
）
J2 J2 1 2 i 2 i 3 3 2 3 i i 4
上式自乘求和后开方得：
3 2 1 1 eij eij S ij S ij , i eij eij , J 2 S ij S ij , J 2 2 3 2 2 以 0.5 代入 i E i 1 得到 i 3G i 1 则 Sij 2G1 eij 这是全量理论的另一种表达形式。
ij 2）
2 i S ij 3 eij i 3） E kk kk 1 2
1 ui , j u j ,i 2
i
3 S ij S ij 2
2 i eij eij 3
4） ij li f j
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5） ui ui 求解方法和弹性问题一样，可以用两种基本方法：按位 移求解或按应力求解。在全量理论适用并按位移求解弹塑性 问题时，依留申提出的弹性解法显得很方便。 将 Sij 2G1 eij 代入用位移表示的平衡微分方程得：
s
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3 i eij S ij , i i 2 i
1 2 ii ii E
（1）
8
第二式可以写为
m 3K m
E 其中 K 31 2 第一式，且 0.5, ij eij ， 2 i 3 i ij Sij 或 Sij 故 ij 3 i 2 i 1 2 又因为 S z z m z z , Sz z 3 3 i i , 其展开式为 i 3 i 1 1 1 1 又由于 r z , z z 2 2 2 2
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2、应变偏张量与应力偏张量相似且同轴，即 eij S ij 3 、‘单一曲线假设’：不论应力状态如何，对于同一种材 i i 料来说，应力强度是应变强度的确定函数 ，是与 Mises条件相应的。 （ i E i 1 ，单拉时 E 1 ） 全量型塑性本构方程为（ i
第四章 塑性本构关系—— 全量理论和增量理论
§4-1 §4-2 §4-3 §4-4 §4-5 §4-6 §4-7 建立塑性本构关系的基本要素 广义Hooke定律 全量型本构方程 全量理论的基本方程及边值问题的提法 全量理论的适用范围 简单加载定律 卸载定律 Levy—Mises和Prandtl—Reuss 流动法则 §4-8 增量型本构方程 §4-9 增量理论的基本方程及边值问题的提法 §4-10 两种理论的比较