塑性力学 第四章 塑性本构关系
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第四章 结构弹塑性分析
( ≠ 0) ，其余应力为零。
Mises(畸变能)屈服条件为：
σi =
1 (σ x − σ y ) 2 + (σ y − σ z ) 2 + (σ z − σ x ) 2 + 6(τ 2 xy + τ 2 yz + τ 2 zx ) 2 1 = σ 2 + σ 2 + 6τ 2 ) = σ 2 + 3τ 2 ) = σ s 2
Ex4.1 集中荷载（如图示）作用下，求：1) 弹塑性状态时的弹塑性分界线; 2)求极限 P0 = ?
同济大学水利工程系
李遇春编
图 4.3
3、混凝土板的屈服线理论（塑性计算） 混凝土板在极端荷载作用下（如核爆炸、罕遇强烈地震等）可采用塑性法设计，设计 的原则：允许结构破坏，但保证结构不坍塌。 （1） 屈服线假定： 1） 板在行将破坏时，在最大弯矩处形成屈服线。
(4.18)
在小变形下， τ 比 σ 小得多，所以 σ 2 + 3τ 2 ) ≈ σ ，于是屈服条件可近似写为：
σ =σs
根据平截面假设 ε x = ky ， k 为曲率，小变形下 k = −
d 2v εx = −y 2 dx
(4.19)
d 2v ， v 为 y 方向上的位移（挠度） 。所以： dx 2
(4.20)
假定材料为理想弹塑性材料，于是发生塑性变形后，弹性区应力为：
σ = Eε x = − Ey
塑性区应力为：
d 2v dx 2
(4.21)
σ = ±σ s
应力首先在上下边达到屈服值，塑性区逐渐向内扩展。设
(4.22)
y = ±ξ ( x ) 为弹塑性分界面，则：
同济大学水利工程系
Mises(畸变能)屈服条件为：
σi =
1 (σ x − σ y ) 2 + (σ y − σ z ) 2 + (σ z − σ x ) 2 + 6(τ 2 xy + τ 2 yz + τ 2 zx ) 2 1 = σ 2 + σ 2 + 6τ 2 ) = σ 2 + 3τ 2 ) = σ s 2
Ex4.1 集中荷载（如图示）作用下，求：1) 弹塑性状态时的弹塑性分界线; 2)求极限 P0 = ?
同济大学水利工程系
李遇春编
图 4.3
3、混凝土板的屈服线理论（塑性计算） 混凝土板在极端荷载作用下（如核爆炸、罕遇强烈地震等）可采用塑性法设计，设计 的原则：允许结构破坏，但保证结构不坍塌。 （1） 屈服线假定： 1） 板在行将破坏时，在最大弯矩处形成屈服线。
(4.18)
在小变形下， τ 比 σ 小得多，所以 σ 2 + 3τ 2 ) ≈ σ ，于是屈服条件可近似写为：
σ =σs
根据平截面假设 ε x = ky ， k 为曲率，小变形下 k = −
d 2v εx = −y 2 dx
(4.19)
d 2v ， v 为 y 方向上的位移（挠度） 。所以： dx 2
(4.20)
假定材料为理想弹塑性材料，于是发生塑性变形后，弹性区应力为：
σ = Eε x = − Ey
塑性区应力为：
d 2v dx 2
(4.21)
σ = ±σ s
应力首先在上下边达到屈服值，塑性区逐渐向内扩展。设
(4.22)
y = ±ξ ( x ) 为弹塑性分界面，则：
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第四章 弹塑性体的本构理论
第二部分弹塑性问题的有限元法第四章弹塑性体的本构理论第五章弹塑性体的有限元法第四章弹塑性体的本构理论4-1塑性力学的基本内容和地位塑性力学是有三大部分组成的：1) 塑性本构理论，研究弹塑性体的应力和应变之间的关系；2) 极限分析，研究刚塑性体的应力变形场，包括滑移线理论和上下限法；3) 安定分析，研究弹塑性体在低周交变载荷作用下结构的安定性问题。
塑性力学虽然是建立在实验和假设基础之上的，但其理论本身是优美的，甚至能够以公理化的方法来建立整个塑性力学体系。
塑性力学是最简单的材料非线性学科，有很多其它更复杂的学科，如损伤力学、粘塑性力学等，都是借用塑性本构理论体系而发展起来的。
4-2关于材料性质和变形特性的假定材料性质的假定1)材料是连续介质，即材料内部无细观缺陷；2)非粘性的，即在本构关系中，没有时间效应；3)材料具有无限韧性，即具有无限变形的可能，不会出现断裂。
常常根据材料在单向应力状态下的σ-ε曲线，将弹塑性材料作以下分类：硬化弹塑性材料理想弹塑性材料弹塑性本构理论研究的是前三种类型的材料，但要注意对于应变软化材料，经典弹塑性理论尚存在不少问题。
变形行为假定 1)应力空间中存在一初始屈服面，当应力点位于屈服面以内时，应力和应变增量的是线性的；只有当应力点达到屈服面时，材料才可能开始出现屈服，即开始产生塑性变形。
因此初始屈服面界定了首次屈服的应力组合，可表示为()00=σf(1)2) 随着塑性变形的产生和积累，屈服面可能在应力空间中发生变化而产生后继屈服面，也称作加载面。
对于硬化材料加载面随着塑性变形的积累将不断扩张，对于理想弹塑性材料加载面就是初始屈服面，它始终保持不变，对于软化材料随着塑性变形的积累加载面将不断收缩。
因此加载面实际上界定了曾经发生过屈服的物质点的弹性范围，当该点的应力位于加载面之内变化时，不会产生新的塑性变形，应力增量与应变增量的关系是线性的。
只有当应力点再次达到该加载面时，才可能产生新的塑性变形。
第四章 塑性本构关系
一 、理想材料的加卸载准则 理想材料的加载面与初始屈服面是一样的。 由于屈服面不能扩大，所以当应力点达到屈服面上， 应力增量 d 不能指向屈服面外，而只能沿屈服面切线。 d 加载 f ( ij ) 0, 弹性状态
d
n
f ( ij ) 0, f df d ij 0 ij
（4-1）
其中 张量写法：
G E / 2(1 )
ij 3 ij m ij 2G E
1 m kk 为平均正应力。 3
（4-2）
其中
本构关系
将三个正应变相加，得：
kk
3 1 2 m kk kk 2G E E
kk
(5 37)
对理想塑性材料，比例系数d要联系屈服条件来确定。 1 dw sij ( dsij d sij ) 2G 1 dJ 2 2 J 2 d dWe dW p 2G
进入塑性阶段后，应变增量可以分解为弹性部分和塑性部分。
e d ij d ij d ijp
（4-30） （4-31） （4-32）
由Hooke定律， d
e ij
d ij 2G
3 d m ij E
由Drucker公设，d d ij
p ij
其中为加载函数。塑性加载 d 0，中性变载或卸载时 0 时 d
e
注意到（5 - 5）式，We可表示为：
1 1 1 1 1 2 2 W J 2 G 2G 2 2 2 6G
e
本构关系
§4.2 Drucker公设
两类力学量 外变量：能直接从外部可以观测得到的量。如总应变，应力等。 内变量：不能直接从外部观测的量。如塑性应变，塑性功等。 内变量只能根据一定的假设计算出来。 关于塑性应变和塑性功的假设： 1、材料的塑性行为与时间，温度无关。
弹塑性力学第四章弹性本构关系资料
产生的x方向应变：
产生的x方向应变：
叠加
产生的x方向应变：
同理：
剪应变：
物理方程：
说明：
1.方程表示了各向同性材料的应力与应 变的关系，称为广义Hooke定义。也称 为本构关系或物理方程。
2.方程组在线弹性条件下成立。
. 体积应变与体积弹性模量
令： 则： 令：
sm称为平均应力; q 称为体积应变
eij
1 2G
sij
(4.40)
因为 J1 0, J1' 0 ,所以以上六个式子中独立变量只有5个
因此应力偏张量形式的广义虎克定律，即
eij
1 2G
sij
em
1 3K
sm
(4.41)
用应变表示应力：
或： ✓ 各种弹性常数之间的关系
§4-2 线弹性体本构方程的一般表达式
弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维 应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应 变的函数（或应变是应力的函数） 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。
式（２）中的系数 有３６个．
称为弹性常数，共
由均匀性假设，弹性体各点作用同样应力 时，必产生同样的应变，反之亦然．因此 为 常数，其数值由弹性体材料的性质而定．
式（２）推导过程未引用各向同性假设， 故可适用于极端各向异性体、正交各向异性体、 二维各向同性体以及各向同性体等．
式（２）可用矩阵表示
式(3)可用简写为 称为弹性矩阵.
三、. 弹性常数
1. 极端各向异性体:
物体内的任一点, 沿各个方向的性能都不相 同, 则称为极端各向异性体. (这种物体的材料极 少见)
即使在极端各向异性条件下, 式(2)中的36个 弹性常数也不是全部独立.
产生的x方向应变：
叠加
产生的x方向应变：
同理：
剪应变：
物理方程：
说明：
1.方程表示了各向同性材料的应力与应 变的关系，称为广义Hooke定义。也称 为本构关系或物理方程。
2.方程组在线弹性条件下成立。
. 体积应变与体积弹性模量
令： 则： 令：
sm称为平均应力; q 称为体积应变
eij
1 2G
sij
(4.40)
因为 J1 0, J1' 0 ,所以以上六个式子中独立变量只有5个
因此应力偏张量形式的广义虎克定律，即
eij
1 2G
sij
em
1 3K
sm
(4.41)
用应变表示应力：
或： ✓ 各种弹性常数之间的关系
§4-2 线弹性体本构方程的一般表达式
弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维 应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应 变的函数（或应变是应力的函数） 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。
式（２）中的系数 有３６个．
称为弹性常数，共
由均匀性假设，弹性体各点作用同样应力 时，必产生同样的应变，反之亦然．因此 为 常数，其数值由弹性体材料的性质而定．
式（２）推导过程未引用各向同性假设， 故可适用于极端各向异性体、正交各向异性体、 二维各向同性体以及各向同性体等．
式（２）可用矩阵表示
式(3)可用简写为 称为弹性矩阵.
三、. 弹性常数
1. 极端各向异性体:
物体内的任一点, 沿各个方向的性能都不相 同, 则称为极端各向异性体. (这种物体的材料极 少见)
即使在极端各向异性条件下, 式(2)中的36个 弹性常数也不是全部独立.
塑性力学第四章(1)-塑性本构关系
第四章
塑性本构关系
加载与卸载关系 全量型本构关系 增量本构关系
加载与卸载关系
理想弹塑性材料的加卸载准则
r r ∂f =0 d σ ⋅ n = d σ ij ∂ σ ij
r r ∂f ∂f d σ ⋅ n = d σ ij <0 ∂ σ ij
加载 卸载
r dσ
r n
dσ
r
f (σ ij ) = 0
o
1 εx = σx − µ σ y +σz E 1 εy = σ y − µ (σ z + σ x ) E 1 εz = σz − µ σx +σ y E
[
(
)]
体积应变： 体积应变：
θ = εx +ε y +εz
[ [
(
] )]
体积应力： 体积应力：
Θ =σx +σ y +σz
µε = µσ
形变理论（ 理论） 形变理论（ Hencky — Iliushin 理论）
体积变化是弹性的，且与平均应力成正比。 1. 体积变化是弹性的，且与平均应力成正比。
E σm = εm (1 − 2 µ )
应变偏量与应力偏量成比例。 2. 应变偏量与应力偏量成比例。
弹性阶段： 弹性阶段： 塑性阶段： 塑性阶段：
∂ϕ ⋅ d σ ij = 0 ⇒ 中性变载 ∂ σ ij
r r dσ ⋅ n > 0 r r dσ ⋅ n < 0
加卸载准则
r r dσ ⋅ n = 0
中性变载： 中性变载：当应力增量沿加载 面切线方向变化， 面切线方向变化， 而加载面并不扩大 时，不产生新的塑 性变形。 性变形。
塑性本构关系
加载与卸载关系 全量型本构关系 增量本构关系
加载与卸载关系
理想弹塑性材料的加卸载准则
r r ∂f =0 d σ ⋅ n = d σ ij ∂ σ ij
r r ∂f ∂f d σ ⋅ n = d σ ij <0 ∂ σ ij
加载 卸载
r dσ
r n
dσ
r
f (σ ij ) = 0
o
1 εx = σx − µ σ y +σz E 1 εy = σ y − µ (σ z + σ x ) E 1 εz = σz − µ σx +σ y E
[
(
)]
体积应变： 体积应变：
θ = εx +ε y +εz
[ [
(
] )]
体积应力： 体积应力：
Θ =σx +σ y +σz
µε = µσ
形变理论（ 理论） 形变理论（ Hencky — Iliushin 理论）
体积变化是弹性的，且与平均应力成正比。 1. 体积变化是弹性的，且与平均应力成正比。
E σm = εm (1 − 2 µ )
应变偏量与应力偏量成比例。 2. 应变偏量与应力偏量成比例。
弹性阶段： 弹性阶段： 塑性阶段： 塑性阶段：
∂ϕ ⋅ d σ ij = 0 ⇒ 中性变载 ∂ σ ij
r r dσ ⋅ n > 0 r r dσ ⋅ n < 0
加卸载准则
r r dσ ⋅ n = 0
中性变载： 中性变载：当应力增量沿加载 面切线方向变化， 面切线方向变化， 而加载面并不扩大 时，不产生新的塑 性变形。 性变形。
塑性力学-第四章
本构关系研究的论文。
因此塑性本构理论吸引了一些优秀的科学家在从事这 方面的研究。
基本假设
本课程介绍的弹塑性本构关系除先前的各向同性假设和 静水应力不影响屈服的假设外，还采用了两个假设
（1）小变形假设 （2）率无关假设（仅考虑等温过程中的率无关材料）
内变量的引入
内变量——用来刻划材料加载历史的宏观参量，可以描述 经历塑性变形后材料内部微观结构的变化。较常见（用得 较多）的内变量是等效塑性应变。
（16）
内变量的演化方程
当产生新的塑性变形时，内变量也会有所改变。假定内 变量演化方程有以下的形式 （17） Z ,
ij
将（17）式代入（16）式，解出
g g Z ij ij
f g ˆij g kl ˆ kl ij
（用到了（23）式）
ˆ g ˆ f
g ˆg ˆij g ˆ ˆ f ij g ˆij 1 ij
（24）
（25）
于是得到应变加载准则描述的应力加载准则。
当按应变加载准则判断为弹塑性加载时
（9）
可以得到 常用的表 达式
E ij 1
ik jl 1 2 ij kl kl 1 ij ij ij kk E E
（10）
从上式，注意到应力偏量和应变偏量的定义还可得
（23）
ij ˆ Z 式中， ij
。
弹塑性加载时
ˆ g
g g P ij kl kl M ijkl ij ij
弹塑性力学本构关系1资料.
在
平面上任取一点，坐标为 (1, 2 , 3 )
它代表一个应力状态，对应的应力张量分量为 ij
相应的平均应力为 m 易见有
m
1 2
3
3
0
将应力张量分解为应力球张量和应力偏张量，即
ij m ij sij sij
上式表明，与此应力状态相应的应力球张量为零，应力张量
等于应力偏张量。 平面上每一点对应的应力张量是应力偏张量。
• Drucker把它引伸到复杂应力 情况,这就是Drucker公设.
0 d p 0
ij
0 ij
d
p ij
0
d d p 0
第二式中的等号适用于理想 塑性材料.
d
ij
d
p ij
0
Drucker公设在塑性力学中有
重要意义.
屈服面的外凸性和塑性应变增量的法向性
•我们如将塑性应变空间与应力空间重合起来,由Drucker公 设的第一式, 把它看成是两个矢量的点积.
在应力空间中代表一曲面，此曲面称为屈服曲面。
屈服曲面内的点满足不等式
f (1, 2,3) c 时，代表弹性状态。 屈服曲面上及屈服曲面外的点满足 f (1, 2,3) c
时，代表塑性状态。因此，屈服曲面是弹、塑性状态的分界面。
4．2．3 等倾线与 平面
1.等倾线 在应力空间中，过坐标原点与三个坐标轴成相同倾角的直线 叫等倾线。
PR线上每一点都代表一个应力状态。 PR线上的点有相同的应力偏张量和不同的应力球张量。
因为应力球张量不影响屈服，所以如果P点在屈服曲面上， 那么PR线上所有点都应该在屈服面上。因此屈服曲面实际上 是一个柱面，并且柱面的母线平行于等倾线OL
P
弹塑性力学-弹塑性本构关系
此式限制了屈服面的形状： 对于任意应力状态，应力增量方向
与塑性应变向量之间所成的夹角不应 该大于90°
稳定材料的屈服面必须是凸的.
(a)满足稳定材 料的屈服面
ij
0 ij
(b) 不满足稳定 材料的屈服面
/2
2 塑性应变增量向量与屈服面法向平行
d 必p 与加载面的外法线
重合，否则总可以找到A0 使A0A·dεp≥0不成立(如右 图)。
的真实功与ij0起点无关；
Ñ d ipj ij ij 0
(2)附加应力功不符合功的 定义，并非真实功
i0j ij i0jdij0
-
应力循环中外载所作真实功 与附加应力功
（3）非真实物理功不能引用热力学定律；
（4）德鲁克公设的适用条件：
①ij0在塑性势面与屈服面
之内时，德鲁克公设成立；
d
p ij
d
ij
由应力空间中的屈服与应变空间中屈服面的转换关系，可得：
结合
-
D
ij
ij
dipj Ddipj
d
p ij
d
ij
可得：
d d
3.1.4 塑性位势理论与流动法则
与弹性位势理论相类似，Mises于1928年提出塑性
位势理论。他假设经过应力空间的任何一点M，必有
一塑性位势等势面存在，其数学表达式称为塑性位势
残余应力增量与塑性 应变增量存在关系：
dipj Ddipj
式中，D为弹性矩阵。 根据依留申公设，在 完成上述应变循环中， 外部功不为负，即
Ñ WI ijdij 0 i0j
只有在弹性应变时，上述WI=0。
根据Druker塑性公设
当 i0 jij时 (iji0 j)dijp 0
与塑性应变向量之间所成的夹角不应 该大于90°
稳定材料的屈服面必须是凸的.
(a)满足稳定材 料的屈服面
ij
0 ij
(b) 不满足稳定 材料的屈服面
/2
2 塑性应变增量向量与屈服面法向平行
d 必p 与加载面的外法线
重合，否则总可以找到A0 使A0A·dεp≥0不成立(如右 图)。
的真实功与ij0起点无关；
Ñ d ipj ij ij 0
(2)附加应力功不符合功的 定义，并非真实功
i0j ij i0jdij0
-
应力循环中外载所作真实功 与附加应力功
（3）非真实物理功不能引用热力学定律；
（4）德鲁克公设的适用条件：
①ij0在塑性势面与屈服面
之内时，德鲁克公设成立；
d
p ij
d
ij
由应力空间中的屈服与应变空间中屈服面的转换关系，可得：
结合
-
D
ij
ij
dipj Ddipj
d
p ij
d
ij
可得：
d d
3.1.4 塑性位势理论与流动法则
与弹性位势理论相类似，Mises于1928年提出塑性
位势理论。他假设经过应力空间的任何一点M，必有
一塑性位势等势面存在，其数学表达式称为塑性位势
残余应力增量与塑性 应变增量存在关系：
dipj Ddipj
式中，D为弹性矩阵。 根据依留申公设，在 完成上述应变循环中， 外部功不为负，即
Ñ WI ijdij 0 i0j
只有在弹性应变时，上述WI=0。
根据Druker塑性公设
当 i0 jij时 (iji0 j)dijp 0
第4章 弹塑性本构方程
典型的本构关系模型
4-3-1 双曲线（邓肯-张）模型
它属于数学模型的范畴。即它以数学 上的双曲线来模拟土等材料的应力应 变关系曲线并以此进行应力和应变分 析的。由于这种模型是由邓肯和张两 人所提出，所以也叫邓肯-张模型，有 时简称D C模型。
a b
4-3-2 Drucker-Prager模型(D-P模型)
在F点之前，试件处于均匀应变 状态，到达F点后，试件开始出现 颈缩现象。如果再继续加载则变形 将主要集中于颈缩区进行，F点对应 的应力是材料强化阶段的最大应力， 称为强度极限，用 b 表示。
判定物体中某一点是否由弹性状态 转变到塑性状态，必然要满足一定 的条件（或判据），这一条件就称 为屈服条件。在分析物体的塑性变 形时，材料的屈服条件是非常重要 的关系式。
第4章 弹塑性本构方程
§4-1 典型金属材料
曲线分析
大量实验证明，应力和应变之间的 关系是相辅相成的，有应力就会有 应变，而有应变就会有应力。
对于每一种具体的固体材料，在一 定的条件下，应力和应变之间有着 确定的关系，这种关系反映了材料 客观固有的特性。下面以典型的金 属材料低碳钢轴向拉伸试验所得的 应力应变曲线为例来说明。
§4-5 世界上最常用岩土本构模型及土 本构模型剖析
◆
世界上最常用的土本构模型
1.概述 土作为天然地质材料在组成及构 造上呈现出高度的各向异性、非 均质性、非连续性和随机性,在 力学性能上表现出强烈的非线性、 非弹性和粘滞性,土的本构模型 就是反映这些力学性态的数学表 达式。
一般认为,一个合理的土的本构 模型应该具备理论上的严格性、 参数上的易确定性和计算机实现 的可能性。自Roscoe等创建剑桥 模型至今,各国学者已发展数百 个土的本构模型。
弹塑性力学塑性本构关系
0
14
1.理想塑性材料的增量本构关系 2.硬化材料的增量塑性本构关系 3.全量塑性本构关系
15
2. 硬化材料的增量塑性本构关系
d
p ij
d
f
ij
f g 相关联流动
塑性应变大小 塑性应变方向
对于强化材料
f
ij
d ij
0
d ij 在
f
ij
方向上的投影，反映了塑性应变增量的大小。
可假设：
d
1 h
H121
Cp ijkl
1
9K 2
G
H11H 22
H
2 22
对称
H11H 33
H 22H33
H
2 33
H11H12 H 22H12 H 33 H12
H122
H11H 23
H 22H 23
H 33 H12
H12H 23
H
2 23
H11H 31 H 22H31
H
33
H
31
H12H31
H12
H
0
如果hd以 d累积pf塑2ij d性d32应ijd变ijpdkfddijpkdp作32p0为d内2变hd量f ij
f
fij ij
ij
p ij
d
k k p k d2 p f f
p ij
d
d
p ij
d
f k
k
p
d
d p
f
p
ij
0
3 ij ij
2 f f
3 ij ij
h f
Cijkl
1 H
H
ij
H
kl
H
塑性力学--第四章 塑性本构关系
向都保持不变.
• 但是物体内的内力是不能事先确定的, 那么如何判断加载过 程是简单加载? Il’yushin指出, 在符合下列三个条件时, 可以 证明物体内所有各点是处于简单加载过程:
(1) 荷载(包括体力)按比例增长.如有位移边界条件应为零.
(2) 材料是不可压缩的.
(3)应力强度和应变强度之间幂指数关系,
3i 2 i
(3)应力强度是应变强度的函数 i i , 即按单一曲线假
定的硬化条件.
综上所述, 全量型塑性本构方程为
ii
1 2
E
ii
eij
3i 2 i
Sij
i i
注意的是上式只是描述了加载过程中的弹塑性变形规律. 加
载的标志是应力强度 i 成单调增长. i 下降时为卸载过
程, 它时服从增量Hooke定律.
y
些基本未知量的基本方程有
x
Su : ui
平衡方程 ij, j Fi 0
几何方程
ij
1 2
ui. j u j,i
本构方程
ii
1 2
E
ii
eij
3i 2 i
Sij
i i
其中
i
3 2
Sij Sij
i
2 3
eij eij
这就是对于全量 理论的塑性力学
边界条件 S : ijl j pi , Su : ui ui
(1)全量理论, 又称为形变理论, 它认为在塑性状态下仍有应力 和应变全量之间的关系. 有Hencky(亨奇)理论和Il’yushin (伊柳 辛)理论.
(2)增量理论, 又称为流动理论, 它认为在塑性状态下是塑性应 变增量和应力及应力增量之间有关系.有Levy-Mises(莱维-米泽 斯)理论和Prandtl-Reuss(普朗特-罗伊斯)理论.
弹塑性力学-弹塑性本构关系
(ij , H ) F(I1, J2, J3) K 0
初始屈服面 硬化系数
tresca、von mises、M－C K H( dW p )或H( d p )
dW p
ij
d
p ij
d p
2 3
deipj deipj
mises : q s H ( dW p )[或H ( d p )] 0 tresca : max s H ( dW p )[或H ( d p )] 0
d ij
0
应力循环中外载所作真实功 与附加应力功
（3）非真实物理功不能引用热力学定律；
（4）德鲁克公设的适用条件：
①ij0在塑性势面与屈服面
之内时，德鲁克公设成立；
②ij0在塑性势面与屈服面
之间时，德鲁克公设不成立；
屈服面 势面线
（5）金属材料的塑性势面与 屈服面基本一致。
附加应力功为非负的条件
3.1.3 依留申塑性公设的表述
弹塑性力学本构关系
(1) 稳定材料与非稳定材料
德鲁克公设和依留申公设是传统塑性力学的基础，它把塑性势函 数与屈服函数紧密联系在一起。德鲁克公设只适用于稳定材料， 而依留申既适用于稳定材料，又适用于不稳定材料。
稳定材料
非稳定材料
附加应力对附加应变做功 附加应力对附加应变负做
为非负，即有 0
功，即 0
依留申塑性公设：在弹塑性材料的一个应变循环内， 外部作用做功是非负的，如果做功是正的，表示有塑性变 形，如果做功为零，只有弹性变形发生。
设材料单元体经历任意应力
历即史初后始，的在应应变力εσij0ij在0下加处载于面平内衡，，然
后在单元体上缓慢地施加荷载，使
ε应变原i变d先j达ε点的到ijp应ε屈。变ij+服然状d面后ε态，卸ij，ε再载此ij继0使，时续应并产加变产生载又生塑达回了性到到与应
弹塑性力学第四章 弹性本构关系
E K 3(1 2 )
(4.36) (4.37) (4.38)
K称为体积弹性模量，简称体积模量。
因此
q
sm
K
,em
sm
3K
1 3 1 1 ex e x e m ( sx sm) sm sx E E 3K 2G
1 ey e y e m sy 2G
1 eij sij 2G
(4.40)
1 eij sij 2G 1 em sm 3K
(4.41)
用应变表示应力：
或：
各种弹性常数之间的关系
§4-2 线弹性体本构方程的一般表达式
弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维 应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应 变的函数（或应变是应力的函数） 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。
• 材料的应力与应变关系需通过实验确定的。 • 本构方程实际是应力与应变关系实验结果的数学 描述。 • 由于实验的局限性，通常由简单载荷实验获得应 力与应变关系结果，建立描述相应的数学模型， 再将数学模型用于复杂载荷情况的分析。（用一 定实验验证结果）
• 例如：材料单轴拉伸应力-应变z e m sz 2G
1 1 1 1 yz s yz exy e xy xy sxy eyz e yz 2G 2G 2G 2G
1 1 exz e xz xz sxz 2G 2G
整理以上六个式子，得 整理以上六个式子，得
因为 J1 0, J1' 0 ,所以以上六个式子中独立变量只有5个 因此应力偏张量形式的广义虎克定律，即
物理方程：
s ij 3 1 3 e ij s ij s m ij s m ij E E 2G E
(4.36) (4.37) (4.38)
K称为体积弹性模量，简称体积模量。
因此
q
sm
K
,em
sm
3K
1 3 1 1 ex e x e m ( sx sm) sm sx E E 3K 2G
1 ey e y e m sy 2G
1 eij sij 2G
(4.40)
1 eij sij 2G 1 em sm 3K
(4.41)
用应变表示应力：
或：
各种弹性常数之间的关系
§4-2 线弹性体本构方程的一般表达式
弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维 应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应 变的函数（或应变是应力的函数） 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。
• 材料的应力与应变关系需通过实验确定的。 • 本构方程实际是应力与应变关系实验结果的数学 描述。 • 由于实验的局限性，通常由简单载荷实验获得应 力与应变关系结果，建立描述相应的数学模型， 再将数学模型用于复杂载荷情况的分析。（用一 定实验验证结果）
• 例如：材料单轴拉伸应力-应变z e m sz 2G
1 1 1 1 yz s yz exy e xy xy sxy eyz e yz 2G 2G 2G 2G
1 1 exz e xz xz sxz 2G 2G
整理以上六个式子，得 整理以上六个式子，得
因为 J1 0, J1' 0 ,所以以上六个式子中独立变量只有5个 因此应力偏张量形式的广义虎克定律，即
物理方程：
s ij 3 1 3 e ij s ij s m ij s m ij E E 2G E
第4章 塑性本构关系
已知： ij
m
1 ij 2G
1 2 m E
广义虎克定律的张量表达式：
1 1 2 ij ij m ij 2G E
广义虎克定律其他形式 1、比例形式：
xy yz 1 xz yz xz 2G x y z xy x y z
x x
2 xy 2 yz 2 2 xy 2 2 yz 2 2 6 xz 4G 2 xz ×6
y
2
4G 4G
2
y
2
等式左边为：
x
2 2 2 y y z z x 6 xy yz xz 2 2 2
等式左边与右边关系为： σ=Eε 结论：材料弹性变形范围内，应力强度与应变强度成 正比，比例系数为E
弹性变形应力应变关系
应力应变完全成线性关系，应力主轴与应 变主轴重合。 弹性变形可逆，应力应变之间为单值关系， 加载与卸载规律相同。 弹性变形时，应力球张量使物体产生体积 变化，泊松比ν<0.5。
x y y z z x xy yz xz x y y z z x xy yz xz
上式两边平方后整理后得：
d
2
d
2 y
x
y
z
2 2 2
x
y
y
z
2
6d
2
2 xy 2 yz 2 xz
6 6 6
2 xy 2 yz 2 xz
2
6d
2
d
2 z
x
m
1 ij 2G
1 2 m E
广义虎克定律的张量表达式：
1 1 2 ij ij m ij 2G E
广义虎克定律其他形式 1、比例形式：
xy yz 1 xz yz xz 2G x y z xy x y z
x x
2 xy 2 yz 2 2 xy 2 2 yz 2 2 6 xz 4G 2 xz ×6
y
2
4G 4G
2
y
2
等式左边为：
x
2 2 2 y y z z x 6 xy yz xz 2 2 2
等式左边与右边关系为： σ=Eε 结论：材料弹性变形范围内，应力强度与应变强度成 正比，比例系数为E
弹性变形应力应变关系
应力应变完全成线性关系，应力主轴与应 变主轴重合。 弹性变形可逆，应力应变之间为单值关系， 加载与卸载规律相同。 弹性变形时，应力球张量使物体产生体积 变化，泊松比ν<0.5。
x y y z z x xy yz xz x y y z z x xy yz xz
上式两边平方后整理后得：
d
2
d
2 y
x
y
z
2 2 2
x
y
y
z
2
6d
2
2 xy 2 yz 2 xz
6 6 6
2 xy 2 yz 2 xz
2
6d
2
d
2 z
x
塑性力学 第四章 塑性本构关系.
s
s
3G
, s
s , s ， s s 1 s
G 3G 3G
10
分别代入（4）得到
s s s 3G 3 3G
s
2
0.707 s
故
9
（二）对于理想塑性材料： i s 将（2）、（3）代入式（1），得到
2 1 2 i 3
（2） （3）
s
2 1 2 3
,
s
2 1 2 3 3
（4）
（三）在简单加载的条件下，材料进入塑性状态时各应变分 量同时达到屈服，即 又
1
§4-1
建立塑性本构关系的基本要素
描述塑性变形规律的理论可分为两大类： 一类理论认为在塑性状态下仍是应力和应变全量之间的关系 即全量理论；另一类理论认为在塑性状态下是塑性应变增量 （或应变率）和应力及应力增量（应力率）之间的关系即增 量理论或流动理论。 为了建立塑性本构关系，需要考虑三个要素： 1、初始屈服条件； 2、与初始屈服及后继加载面相关连的某一流动法则。即要 有一个应力和应变（或它们的增量）间的关系，此关系包括 方向关系和分配关系。实际是研究它们的偏量之间的关系； 3、确定一种描述材料强化（硬化）特性的强化条件，即加 载函数。有了这个条件才能确定应力、应变或它们的增量之 间的定量关系。
3 2 Sij Sij , i eijeij ） 2 3
ii
i i
1 2 ii E 3 eij i S ij 2 i
6
二、依留申小弹塑性形变理论 1943年，依留申考虑了与弹性变形同量级的塑性变形，给 出了微小弹塑性变形下的应力—应变关系 在弹性阶段：
第四章 弹性变形、塑性变形、本构方程
弹性变形特点: ⑴ 弹性变形特点:
弹性变形是可逆的。物体在变形过程中， ① 弹性变形是可逆的。物体在变形过程中，外力所做 的功以能量（应变能）的形式贮存在物体内， 的功以能量（应变能）的形式贮存在物体内，当卸 载时，弹性应变能将全部释放出来， 载时，弹性应变能将全部释放出来，物体的变形得 以完全恢复； 以完全恢复； 无论材料是处于单向应力状态，还是复杂应力态， ② 无论材料是处于单向应力状态，还是复杂应力态， 在线弹性变形阶段，应力和应变成线性比例关系； 在线弹性变形阶段，应力和应变成线性比例关系； 对材料加载或卸载，其应力应变曲线路径相同。 ③ 对材料加载或卸载，其应力应变曲线路径相同。 因此，应力与应变是一一对应的关系。 因此，应力与应变是一一对应的关系。
◆ 理想线性强化刚塑性力学模型
理想线性强化刚 塑性力学模型， 塑性力学模型，其 应力应变关系的数 学表达式为： 学表达式为：
σ = σ s + E1ε
弹塑性力学
(当ε ≥ 0时)
（4--5）
常用简化力学模型（ §4-2 常用简化力学模型（续7）
◆ 幂强化力学模型 为了避免在 ε = ε s 处 的变化， 的变化，有时可以采用幂 强化力学模型。 强化力学模型。当表达式 中幂强化系数 n 分别取 0 或 1 时，就代表理想弹塑 性模型和理想刚塑性模型。 性模型和理想刚塑性模型。 其应力应变关系表达式为： 其应力应变关系表达式为：
弹塑性力学
弹性变形与塑性变形的特点、塑性力学的附加假设（ ） §4-1 弹性变形与塑性变形的特点、塑性力学的附加假设（续3）
塑性变形特点: ⑵ 塑性变形特点:
塑性变形不可恢复，所以外力功不可逆， ① 塑性变形不可恢复，所以外力功不可逆，塑性变形的产生必 定要耗散能量（称耗散能或形变功）。 定要耗散能量（称耗散能或形变功）。 在塑性变形阶段，其应力应变关系是非线性的。 ② 在塑性变形阶段，其应力应变关系是非线性的。由于本构方 程的非线性，所以不能使用叠加原理。 程的非线性，所以不能使用叠加原理。又因为加载与卸载的 规律不同， 应力与应变之间不再存在一一对应的关系， 规律不同， 应力与应变之间不再存在一一对应的关系，即 应力与相应的应变不能唯一地确定， 应力与相应的应变不能唯一地确定，而应当考虑到加载路径 （或加载历史）。 或加载历史）。 在载荷作用下，变形体有的部分仍处于弹性状态称弹性区， ③ 在载荷作用下，变形体有的部分仍处于弹性状态称弹性区， 有的部分已进入了塑性状态称塑性区。在弹性区， 有的部分已进入了塑性状态称塑性区。在弹性区，加载与卸 载都服从广义虎克定律。但在塑性区， 载都服从广义虎克定律。但在塑性区，加载过程服从塑性规 而在卸载过程中则服从弹性的虎克定律。 律，而在卸载过程中则服从弹性的虎克定律。并且随着载荷 的变化，两区域的分界面也会产生变化。 的变化，两区域的分界面也会产生变化。 依据屈服条件，判断材料是否处于塑性变形状态。 ④ 依据屈服条件，判断材料是否处于塑性变形状态。 弹塑性力学
《弹塑性力学》第四章 应力应变关系(本构方程)
dW W
W W ij ij
0
ij
ij
一些书上写为
W dW ij d ij
0
2019/5/16 15
ij
§4-2 线弹性体的本构关系
2.1 各向异性材料
在线弹性体应力与应变为线性关系，材料均匀
和小变形情况,以及当 ij=0 时 ij=0。 用指标符号表示：ij = Eijkl kl Eijkl 共有81个元素（四阶张量常数）。
§4-2 线弹性体的本构关系
2.5 各向同性材料 各个方向弹性性质一样，[C]中仅有2个独立 系数：
C11 C12 C12 C11 C12 C11 C 对 称
2019/5/16
0 0 0 0 0 0 (C11 C12 ) 0 0 (C11 C12 ) 0 (C11 C12 ) 0 0 0
ij ei e j
A
V
u ui ei
f udV F udS
S
8
2019/5/16
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的
本构关系
A
V
V
f udV F udS
S
s
：函数增量
2019/5/16
x3
弹性主轴
x2
x3’
22
§4-2 线弹性体的本构关系
Qi’j x’1 = x1 x’2=x2 x’3=-x3 代入 得
2019/5/16 23
x1 x2 1 0
x3 0 0 -1
0 1 0 0
i ' j ' Qi ' k Q j 'l kl
W W ij ij
0
ij
ij
一些书上写为
W dW ij d ij
0
2019/5/16 15
ij
§4-2 线弹性体的本构关系
2.1 各向异性材料
在线弹性体应力与应变为线性关系，材料均匀
和小变形情况,以及当 ij=0 时 ij=0。 用指标符号表示：ij = Eijkl kl Eijkl 共有81个元素（四阶张量常数）。
§4-2 线弹性体的本构关系
2.5 各向同性材料 各个方向弹性性质一样，[C]中仅有2个独立 系数：
C11 C12 C12 C11 C12 C11 C 对 称
2019/5/16
0 0 0 0 0 0 (C11 C12 ) 0 0 (C11 C12 ) 0 (C11 C12 ) 0 0 0
ij ei e j
A
V
u ui ei
f udV F udS
S
8
2019/5/16
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的
本构关系
A
V
V
f udV F udS
S
s
：函数增量
2019/5/16
x3
弹性主轴
x2
x3’
22
§4-2 线弹性体的本构关系
Qi’j x’1 = x1 x’2=x2 x’3=-x3 代入 得
2019/5/16 23
x1 x2 1 0
x3 0 0 -1
0 1 0 0
i ' j ' Qi ' k Q j 'l kl
弹塑性力学-第4章_本构方程
第四章本构方程在前面的章节中，已经建立了变形体的平衡微分方程和几何方程，分别是从静力学方面和从几何学方面考察了变形体的受力和变形。
但是只有这些方程还不足以解决变形体内的应力和变形问题。
对于变形体，未知变量包括6个应力分量，6个应变分量和3个位移分量，一共有15个未知函数，而平衡方程和几何方程一共是9个，未知函数的个数多于方程数。
因此还必须研究物体的物理性质，即应力与应变之间的关系。
通常称这种关系为变形体的本构方程，或称为物性方程。
塑性本构包括三个方面：1、屈服条件，2、流动法则，3、硬化关系；其中屈服条件：判断何时达到屈服，流动法则：屈服后塑性应变增量的方向，也即各分量的比值，硬化规律：决定给定的应力增量引起的塑性应变增量大小。
以上构成塑性本构关系。
4.1弹性应变能函数变形固体的平衡问题不仅需要运动微分方程、应变—位移方程(即变形几何方程)还需要将应变分量和应力张量分量联系起来，方能给定物体的材料抵抗各种形式变形的规律。
该规律的理论解释需要对分子间力的本质有深入的认识，该分子力力图使固体粒子间保持—定的距离，也就是需要对固体中应力分量和应变分量有深入的认识。
这种作用机理在非常接近稳定状态的气体中己弄清楚，但对于弹性体情况，目前科学技术发展水平还不能解决这一难题。
如要通过实验探求物体内部的应力和应变的关系，则总是从一些量的测量来推理得到，在一般情况下，这些量并非应力或应变的分量(例如平均应变、体积压缩、物体表面一线元的伸长等等)．因此，在现时应力与应变关系主要是通过直接实验建立。
然而该关系中的某些固有的一般特性可以在理沦上加以说朋，如能量守恒定律为应力-应变关系的理论研究提供了基础。
1.1应变能密度假设变形的过程是绝热的，也就是在变形过程中系统没有热的损失，而且假设物体中任意无穷小单元改变其体积和形状所消耗的功与其从未变形状态到最终变形状态的转换方式无关。
这个条件是弹性的另一种定义。
换句话说，就是假设物体粒子互相作用过程中的耗散(非保守)力的作用与保守力的作用相比是可以忽略的。
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故
9
（二）对于理想塑性材料： i s 将（2）、（3）代入式（1），得到
2 1 2 i 3
（2） （3）
s
2 1 2 3
,
s
2 1 2 3 3
（4）
（三）在简单加载的条件下，材料进入塑性状态时各应变分 量同时达到屈服，即 又
第四章 塑性本构关系—— 全量理论和增量理论
§4-1 §4-2 §4-3 §4-4 §4-5 §4-6 §4-7 建立塑性本构关系的基本要素 广义Hooke定律 全量型本构方程 全量理论的基本方程及边值问题的提法 全量理论的适用范围 简单加载定律 卸载定律 Levy—Mises和Prandtl—Reuss 流动法则 §4-8 增量型本构方程 §4-9 增量理论的基本方程及边值问题的提法 §4-10 两种理论的比较
yz
将应力 张 量和应 变 张量分 解 为球张 量 和偏张 量 部分 ，则 Hooke定律改写为
1 2 ii ii , E
1 eij S ij 2G
前面是一个独立式子，后者是五个独立式子（ S ii 0 ）。
3
在弹性范围内，应力和应变之间的方向关系是应力主轴和应 变主轴重合，分配关系是应变偏张量各分量和应力偏张量各 分量成比例。 为便于推广到塑性状态，并与塑性本构方程的写法一致，将 3 i 1 S ij , i 3G i eij S ij 改写为 eij 2 i 2G （因为 i E i 21 G i ，而塑性状态是 0.5 ）
3 i 其本构方程为： d ij 2 S ij i
二、Prandtl—Reuss流动法则
17
P d ij dSij d 0 适用于弹塑性体
其本构方程为：
1 de dS dS ij ij 2G ij d 1 2 d ii ii E
G K u k ,ki Gui , jj 2Geij , j f i 0 3
E 其中 K 31 2
G K u k ,ki Gui , jj f i 2Geij , j 或 3
在弹性状态时，故当上式右端等于零时，可得到弹性解。 将它作为第一次近似解，代入上式右端作为已知项，又可以 解出第二次近似解。重复以上过程，可得出所要求的精确度 内接近实际的解。在小变形情况下，可以证明解能够很快收 敛。在很多问题第二次近似解已能给出较为满意的结果。
s
s
3 i eij S ij , i i 2 i
1 2 ii ii E
（1）
8
第二式可以写为
m 3K m
E 其中 K 31 2 第一式，且 0.5, ij eij ， 2 i 3 i ij Sij 或 Sij 故 ij 3 i 2 i 1 2 又因为 S z z m z z , Sz z 3 3 i i , 其展开式为 i 3 i 1 1 1 1 又由于 r z , z z 2 2 2 2
ij 2）
2 i S ij 3 eij i 3） E kk kk 1 2
1 ui , j u j ,i 2
i
3 S ij S ij 2
2 i eij eij 3
4） ij li f j
12
5） ui ui 求解方法和弹性问题一样，可以用两种基本方法：按位 移求解或按应力求解。在全量理论适用并按位移求解弹塑性 问题时，依留申提出的弹性解法显得很方便。 将 Sij 2G1 eij 代入用位移表示的平衡微分方程得：
3 2 Sij Sij , i eijeij ） 2 3
ii
i i
1 2 ii E 3 eij i S ij 2 i
6
二、依留申小弹塑性形变理论 1943年，依留申考虑了与弹性变形同量级的塑性变形，给 出了微小弹塑性变形下的应力—应变关系 在弹性阶段：
eij S ij 2G S ij
（G即剪切弹性模量）
在塑性阶段：
1 （ eij 2G 2G
2G
即
S ij S ij ekl ekl
）
J2 J2 1 2 i 2 i 3 3 2 3 i i 4
上式自乘求和后开方得：
3 2 1 1 eij eij S ij S ij , i eij eij , J 2 S ij S ij , J 2 2 3 2 2 以 0.5 代入 i E i 1 得到 i 3G i 1 则 Sij 2G1 eij 这是全量理论的另一种表达形式。
s
s
3G
, s
s , s ， s s 1 s
G 3G 3G
10
分别代入（4）得到
s
s
2 1 2 3G s s 3G 3 3G
s
2
0.707 s
13
§4-5
全量理论的适用范围 简单加载定律
目前已经证明，全量理论在小变形并且是简单加载的条件 下与实验结果接近，可以证明是正确的。 一、简单加载
0 t ij 物体内每一点的应力和 在简单加载的情况下， ij
应变的主方向都保持不变。其主值之比也不改变。在应力空 间中，应力点的轨迹是直线。 依留申在 1943 年继续解决了在什么条件下才能保持物体内部 各点都处于简单加载情况。提出了一组充分条件： 1、外载按比例增长，如有位移边界条件，只能是零位移边界 条件；
16
§4-7
Levy—Mises流动法则和 Prandtl—Reuss流动法则
在塑性变形阶段，应力和应变之间没有一一对应的全量 关系，由于变形的不可逆性，故塑性区的变形不仅取决于最 终状态的应力，而且和加载路径有关。但在某一给定状态下， 有一个应力增量，相应的必有唯一的应变增量。因此在一般 塑性变形条件下，只能建立应力与应变增量之间的关系，即 增量理论。 一、Levy—Mises流动法则 d ij dSij d 0 适用于刚塑性体
2
§4-2
x
1 x y z , E 1 y y z x , E 1 z z x y , E
广义Hooke定律
1 yz G 1 zx zx G 1 xy xy G
弹性范围内，广义Hooke定律：
18
例4-2、在薄壁筒的拉伸与扭转问题中，若材料为理想弹塑性 ，且 0.5 。设拉力为P，扭矩为M，筒的平均半径为r，壁厚 为t。于是筒内应力为均匀应力状态，有
P M z , z 2rt 2r 2t
其余应力分量为零。现按照下列三种加载路径（如图)，试用 Prandtl—Reuss理论来计算筒中的应力：
2、材料的体积不可压缩，即 0.5
, ii 0 ；
14
3、应力强度与应变强度之间有幂函数的关系，即 i A im 。 二、偏离简单加载 在实际应用中，全量理论的适用范围不限于简单加载， 这个范围的确定以及这个范围内应用全量理论所引起的误差， 都尚需要作进一步的研究。在这一范围内的加载路径称为偏 离简单加载。
15
§4-6
卸载定律
卸载定律：卸载后的应力或应变等于卸载前的应力或应变减 ~ 去以卸载时的荷载改变量 P P P为假想荷载按弹性计算所 得之应力或应变（即卸载过程中应力或应变的改变量）。
使用上述计算方法时必须注意两点： （1）卸载过程必须是简单卸载，即卸载过程中各点的各应力 分量是按比例减少的。 （2）卸载过程中不发生第二次塑性变形，即卸载不应该引起 应力改变符号而达到新的屈服。
i
7
例4-1。在薄壁筒的拉伸与扭转问题中，若材料为理想弹塑性 ，且 0.5 。设拉力为P，扭矩为M，筒的平均半径为r，壁厚 为t。于是筒内应力为均匀应力状态，有
P M z , z 2rt 2r 2t
其余应力分量为零。当按照同时拉伸与扭转，在 的比值保
, s 持不变条件下进入塑性状态到 s ，用全量理论 E G 求筒中的应力。 解：（一）由全量理论
（1）先拉至 s 扭矩至 s G 。
s
s
s 不变，然后加 进入塑性状态，保持 E
（）先扭至 s
s
拉力至 s E 。
s
G 进入塑性状态，保持 s 不变，然后加
19
（3）同时拉伸与扭转，在 的比值保持不变条件下进入塑 s s , s 性状态到 s 。 E G
5
e ii
1 2 ii E
,
P 0
2、应变偏张量与应力偏张量相似且同轴，即 eij S ij 3 、‘单一曲线假设’：不论应力状态如何，对于同一种材 i i 料来说，应力强度是应变强度的确定函数 ，是与 Mises条件相应的。 （ i E i 1 ，单拉时 E 1 ） 全量型塑性本构方程为（ i
s
2 1 2 3 s s 3G 3 3G
s
3G
s
6
0.408 s
11
§4-4
全量理论的基本方程及边值问题的提法
全量理论的边值问题及解法 设在物体V 内给定体力 f i ，在应力边界 ST 上给定面力 f i ，在 位移边界 Su上给定 u i ，要求物体内部各点的应力 ij 、应变 ij 、 位移 u i 。确定这些未知量的基本方程组有： 1） ij,i f j 0
9
（二）对于理想塑性材料： i s 将（2）、（3）代入式（1），得到
2 1 2 i 3
（2） （3）
s
2 1 2 3
,
s
2 1 2 3 3
（4）
（三）在简单加载的条件下，材料进入塑性状态时各应变分 量同时达到屈服，即 又
第四章 塑性本构关系—— 全量理论和增量理论
§4-1 §4-2 §4-3 §4-4 §4-5 §4-6 §4-7 建立塑性本构关系的基本要素 广义Hooke定律 全量型本构方程 全量理论的基本方程及边值问题的提法 全量理论的适用范围 简单加载定律 卸载定律 Levy—Mises和Prandtl—Reuss 流动法则 §4-8 增量型本构方程 §4-9 增量理论的基本方程及边值问题的提法 §4-10 两种理论的比较
yz
将应力 张 量和应 变 张量分 解 为球张 量 和偏张 量 部分 ，则 Hooke定律改写为
1 2 ii ii , E
1 eij S ij 2G
前面是一个独立式子，后者是五个独立式子（ S ii 0 ）。
3
在弹性范围内，应力和应变之间的方向关系是应力主轴和应 变主轴重合，分配关系是应变偏张量各分量和应力偏张量各 分量成比例。 为便于推广到塑性状态，并与塑性本构方程的写法一致，将 3 i 1 S ij , i 3G i eij S ij 改写为 eij 2 i 2G （因为 i E i 21 G i ，而塑性状态是 0.5 ）
3 i 其本构方程为： d ij 2 S ij i
二、Prandtl—Reuss流动法则
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P d ij dSij d 0 适用于弹塑性体
其本构方程为：
1 de dS dS ij ij 2G ij d 1 2 d ii ii E
G K u k ,ki Gui , jj 2Geij , j f i 0 3
E 其中 K 31 2
G K u k ,ki Gui , jj f i 2Geij , j 或 3
在弹性状态时，故当上式右端等于零时，可得到弹性解。 将它作为第一次近似解，代入上式右端作为已知项，又可以 解出第二次近似解。重复以上过程，可得出所要求的精确度 内接近实际的解。在小变形情况下，可以证明解能够很快收 敛。在很多问题第二次近似解已能给出较为满意的结果。
s
s
3 i eij S ij , i i 2 i
1 2 ii ii E
（1）
8
第二式可以写为
m 3K m
E 其中 K 31 2 第一式，且 0.5, ij eij ， 2 i 3 i ij Sij 或 Sij 故 ij 3 i 2 i 1 2 又因为 S z z m z z , Sz z 3 3 i i , 其展开式为 i 3 i 1 1 1 1 又由于 r z , z z 2 2 2 2
ij 2）
2 i S ij 3 eij i 3） E kk kk 1 2
1 ui , j u j ,i 2
i
3 S ij S ij 2
2 i eij eij 3
4） ij li f j
12
5） ui ui 求解方法和弹性问题一样，可以用两种基本方法：按位 移求解或按应力求解。在全量理论适用并按位移求解弹塑性 问题时，依留申提出的弹性解法显得很方便。 将 Sij 2G1 eij 代入用位移表示的平衡微分方程得：
3 2 Sij Sij , i eijeij ） 2 3
ii
i i
1 2 ii E 3 eij i S ij 2 i
6
二、依留申小弹塑性形变理论 1943年，依留申考虑了与弹性变形同量级的塑性变形，给 出了微小弹塑性变形下的应力—应变关系 在弹性阶段：
eij S ij 2G S ij
（G即剪切弹性模量）
在塑性阶段：
1 （ eij 2G 2G
2G
即
S ij S ij ekl ekl
）
J2 J2 1 2 i 2 i 3 3 2 3 i i 4
上式自乘求和后开方得：
3 2 1 1 eij eij S ij S ij , i eij eij , J 2 S ij S ij , J 2 2 3 2 2 以 0.5 代入 i E i 1 得到 i 3G i 1 则 Sij 2G1 eij 这是全量理论的另一种表达形式。
s
s
3G
, s
s , s ， s s 1 s
G 3G 3G
10
分别代入（4）得到
s
s
2 1 2 3G s s 3G 3 3G
s
2
0.707 s
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§4-5
全量理论的适用范围 简单加载定律
目前已经证明，全量理论在小变形并且是简单加载的条件 下与实验结果接近，可以证明是正确的。 一、简单加载
0 t ij 物体内每一点的应力和 在简单加载的情况下， ij
应变的主方向都保持不变。其主值之比也不改变。在应力空 间中，应力点的轨迹是直线。 依留申在 1943 年继续解决了在什么条件下才能保持物体内部 各点都处于简单加载情况。提出了一组充分条件： 1、外载按比例增长，如有位移边界条件，只能是零位移边界 条件；
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§4-7
Levy—Mises流动法则和 Prandtl—Reuss流动法则
在塑性变形阶段，应力和应变之间没有一一对应的全量 关系，由于变形的不可逆性，故塑性区的变形不仅取决于最 终状态的应力，而且和加载路径有关。但在某一给定状态下， 有一个应力增量，相应的必有唯一的应变增量。因此在一般 塑性变形条件下，只能建立应力与应变增量之间的关系，即 增量理论。 一、Levy—Mises流动法则 d ij dSij d 0 适用于刚塑性体
2
§4-2
x
1 x y z , E 1 y y z x , E 1 z z x y , E
广义Hooke定律
1 yz G 1 zx zx G 1 xy xy G
弹性范围内，广义Hooke定律：
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例4-2、在薄壁筒的拉伸与扭转问题中，若材料为理想弹塑性 ，且 0.5 。设拉力为P，扭矩为M，筒的平均半径为r，壁厚 为t。于是筒内应力为均匀应力状态，有
P M z , z 2rt 2r 2t
其余应力分量为零。现按照下列三种加载路径（如图)，试用 Prandtl—Reuss理论来计算筒中的应力：
2、材料的体积不可压缩，即 0.5
, ii 0 ；
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3、应力强度与应变强度之间有幂函数的关系，即 i A im 。 二、偏离简单加载 在实际应用中，全量理论的适用范围不限于简单加载， 这个范围的确定以及这个范围内应用全量理论所引起的误差， 都尚需要作进一步的研究。在这一范围内的加载路径称为偏 离简单加载。
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§4-6
卸载定律
卸载定律：卸载后的应力或应变等于卸载前的应力或应变减 ~ 去以卸载时的荷载改变量 P P P为假想荷载按弹性计算所 得之应力或应变（即卸载过程中应力或应变的改变量）。
使用上述计算方法时必须注意两点： （1）卸载过程必须是简单卸载，即卸载过程中各点的各应力 分量是按比例减少的。 （2）卸载过程中不发生第二次塑性变形，即卸载不应该引起 应力改变符号而达到新的屈服。
i
7
例4-1。在薄壁筒的拉伸与扭转问题中，若材料为理想弹塑性 ，且 0.5 。设拉力为P，扭矩为M，筒的平均半径为r，壁厚 为t。于是筒内应力为均匀应力状态，有
P M z , z 2rt 2r 2t
其余应力分量为零。当按照同时拉伸与扭转，在 的比值保
, s 持不变条件下进入塑性状态到 s ，用全量理论 E G 求筒中的应力。 解：（一）由全量理论
（1）先拉至 s 扭矩至 s G 。
s
s
s 不变，然后加 进入塑性状态，保持 E
（）先扭至 s
s
拉力至 s E 。
s
G 进入塑性状态，保持 s 不变，然后加
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（3）同时拉伸与扭转，在 的比值保持不变条件下进入塑 s s , s 性状态到 s 。 E G
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e ii
1 2 ii E
,
P 0
2、应变偏张量与应力偏张量相似且同轴，即 eij S ij 3 、‘单一曲线假设’：不论应力状态如何，对于同一种材 i i 料来说，应力强度是应变强度的确定函数 ，是与 Mises条件相应的。 （ i E i 1 ，单拉时 E 1 ） 全量型塑性本构方程为（ i
s
2 1 2 3 s s 3G 3 3G
s
3G
s
6
0.408 s
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§4-4
全量理论的基本方程及边值问题的提法
全量理论的边值问题及解法 设在物体V 内给定体力 f i ，在应力边界 ST 上给定面力 f i ，在 位移边界 Su上给定 u i ，要求物体内部各点的应力 ij 、应变 ij 、 位移 u i 。确定这些未知量的基本方程组有： 1） ij,i f j 0