小学数学应用题之方阵问题
小学数学广角专题10.方阵问题_通用版
小学数学广角专题10.方阵问题_通用版夯实基础1.在一个正方形花坛的四周栽树，要求4个顶点各栽1棵，每边只栽10棵，共栽了（）棵树．A.36B.32C.48D.40【答案】A【解析】试题分析：此题可以看做是空心方阵问题，四周点数=每边点数×4﹣4，由此即可解答．解：10×4﹣4=36（棵），答：一共栽了36棵树．故选：A．2.一队学生围成一个正方形，每边站了12人（四个顶点都有人），共有（）名学生．A.44B.48C.52D.40【答案】A【解析】试题分析：因为每个顶点处的人数在每条边上重复相加，所以最外层人数=每边人数×4﹣4，由此即可解答．解：12×4﹣4，=48﹣4，=44（人），答：共有44人．故选：A．3.一个正方形平顶天花板上每边要装20盏彩灯，一共需要（）盏彩灯．A.40B.76C.44D.50【答案】B【解析】试题分析：这个问题可以看做是空心方阵问题：根据四周点数之和=每边点数×4﹣4即可计算所需要的彩灯盏数．解：20×4﹣4=76（盏），答：一共需要76盏灯．故选：B．4.王大伯在正方形鱼塘的四周栽树，每边栽5棵，王大伯最少能栽棵，最多能栽棵．【答案】16，20．【解析】试题分析：要使植树的棵数最少，那么四个顶点都栽树，则植树棵数=每边植树棵数×4﹣4；要使植树的棵数最多，那么四个顶点都不栽，则栽树棵数=每边栽树棵数×4，据此计算即可解答．解：植树的棵数最少是：5×4﹣4=20﹣4=16（棵）植树的棵数最多是：5×4=20（棵）答：王大伯最少能栽16棵，最多能栽20棵．故答案为：16，20．5.在一个正方形操场的四周插上红旗，4个角上也插上红旗，如果每条边上插15面，那么四周一共插了面红旗．【答案】56【解析】试题分析：每一边上都插了15面红旗，那么15×4=60（面），其中四个角的红旗重复加了一次，所以要减去，即可得出红旗的总面数．解：15×4﹣4，=60﹣4，=56（面），答：四周一共插了56面红旗．故答案为：56．6.36个同学围成一个正方形，相邻两人之间的距离相等．每条边上站了人．【答案】10【解析】试题分析：因为围成一个封闭图形，所以间隔数等于总人数36个，因为是正方形，所以每边上有36÷4=9个间隔，则每边上的人数等于间隔数加1即可解答．解：36÷4+1，=9+1，=10（个）．答：每边上站了10人．故答案为：10．7. 一个正方形游泳池的四周要安装护栏，每边安装10根，每个顶点都要安装，一共要安装多少根？【答案】36根【解析】试题分析：每个边上安装10根，一共是4个边，所以是10×4根，但是四个顶点的被计算了2次，所以再减去4就是一共要安装的根数。
小学数学中年级篇--方阵问题
方阵问题知识归纳：1.方阵问题：把若干人或物排列成正方形队列的形式，根据排列规律，引出的计算问题就叫做方阵问题2.方阵问题的特点是：方阵每边的实物数量相等，相邻两边的实物数量相差2，相邻两层的实物数量相差83.方阵问题的解题思路是：（1）实心方阵：每边数×每边数＝总数（每边数－1）×4＝每层数每层数÷4＋1＝每边数（2）空心方阵：大实心方阵－小实心方阵＝总数（每边数－层数）×层数×4＝总数习题精练：1. 100名同学排成一个方阵，后来又减去一行一列.问减少了多少人？分析与解：100人排成10行10列的方阵，减去一行一列后剩下的是9行9列的方阵.9×9=81 (人)100-(10-1)×(10-1)=19 (人)答：减少19人.2. 在一次运动会开幕式上，有一大一小两个方阵合并变换成一个10行10列的方阵.求原来两个方阵各有多少人？分析与解：10行10列的方阵由100人组成，原来的小方阵每行或每列人数都不会超过10人.大方阵人数应该在50～100之间，可取64或81，运用枚举法，可求出当大方阵人数是64人，小方阵人数为36人时满足条件.答：大方阵有64人，小方阵有36人.3. 有一个用棋子摆成的方阵，如果再放入19枚棋子，可使每行每列上的棋子各增加一枚.原来的方阵中有多少棋子？分析与解：增加的19枚棋子，使原方阵增加了一行一列，其中有一枚棋子是这一行一列的交点，被重复计算了.因此增加后每边棋子数为(19+1)÷2=10(枚)，则原来最外层每边有9枚棋子.原来每边上的棋子数(19+1)÷2-1=9 (枚)；原来方阵中棋子总数9×9=81 (枚).答：原来的方阵中有81枚棋子.4. 180枚棋子摆成一个三层的空心方阵，最外层有多少棋子？最外层每边有多少棋子？分析与解：由于外层比中层多8枚棋子，中层比内层多8枚棋子，因此中层的棋子数为180÷3=60(枚)，外层的棋子数为60+8=68(枚).利用公式：每边棋子数=总数÷4+1，可以求出每边有多少棋子.180÷3+8=68 (枚)；68÷4+1=18 (枚).答：最外层的有68枚，最外层每边上有18枚棋子.5. 在一次团体操表演中，有一个中空方阵最外层有64人，最内层有32人.参加团体操表演的共多少人？分析与解：根据层外层和最内层的人数，可以分别求出内外层每边的人数.一个空心方阵，可以看作从一个最外层有64人的实心方阵中，减去一个小方阵.外层每边人数64÷4+1=17 (人)；内层每边人数32÷4+1=9 (人)；中空方阵人数17×17-(9-2)×(9-2)=240 (人).答：参加团体操表演的共240人.6. 将一个每边16枚棋子的实心方阵变成一个四层的中空方阵，此中空方阵的最外层每边有多少棋子？分析与解：棋子总数为16×16=256(枚)，由于“中空方阵总个数=(每边个数-层数)×层数×4”，所以“每边个数=中空方阵总个数以÷层数÷4+层数”.16×16÷4÷4+4=20 (枚).答：最外层每边有20枚棋子.7. 252名同学组成一个三层的空心方阵.如果要在方阵内部再增加一层，组成四层空心方阵要增加多少人？如果要在外部增加一层，又要增加多少人？分析与解：首先求出原三层方阵中间层的人数，由于每向里或向外一层，人数减少或增加8人，因此可以求出答案.中间层人数252÷3=84 (人)；向里增加一层需84-8×2=68 (人)；向外增加一层需84+8×2=100 (人).答：向内部增加一层需增加68人，向外部增加一层需100人.8. 同学们要把操场的盆花摆成实心方阵，结果还剩4盆，如果增加一行一列，又少15盆.求共有多少盆花？分析与解：由题目可知要增加的这一行一列共需花4+15=19(盆)，因此生边上有花(19+1)÷2=10(盆).如果摆满，将是由100盆花组成的实心方阵，但实际上只有100-15=85(盆).增加的那条边上有花(4+15+1)÷2=10 (盆)；实际有花10×10-15=85 (盆).答：共有85盆花.9. 一群学生，如果排成三层空心方阵多10人，如果在中空部分增加一层又少6人，问有多少学生？分析与解：增加的那一层人数应为10+6=16(人)，从而可求出此每边人数及最外层每边人数.增加的那一层每边人数(10+6)÷4+1=5 (人)；最外层人数5+2×3=11 (人)；四层方阵总人数(11-4)×4×4=112 (人)；实有人数112-6=116 (人).答：共有学生106人.10. 有一群学生排成三层中空方阵，多9人.如中空部分增加两层，又少15人.问有学生多少人？分析与解：增加的两层人数为9+15=24(人)，这两层人数之差是8人.因此最里层有(24-8)÷2=8(人).现在的方阵共5层，那么最外层有8+8×4=40(人)，知道最外层人数及层数就不难求出总人数.最外层人数(9+15-8)÷2+8×4=40(人)；总人数40+(40-8)+(40-8×2)+9=105(人).答：有学生105人.11. 用若干围棋子摆成一个方阵，有两行两列都是黑棋，共48枚，其余都是白棋.白棋有多少枚？分析与解：方阵中的每行每列，棋子数都是一样的。
小学数学典型应用题16：方阵问题(含解析)
小学数学典型应用题16：方阵问题（含解析）方阵问题【含义】将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵）。
根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。
【数量关系】（1）方阵每边人数与四周人数的关系：四周人数＝（每边人数－1）×4每边人数＝四周人数÷4＋1（2）方阵总人数的求法：实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数空心方阵：总人数＝外每边的人数平方－内每边的人数平方内每边人数＝外每边人数－层数×2（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：总人数＝（每边人数－层数）×层数×4解题思路和方法方阵问题有实心与空心两种。
实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。
例1：佳一学校参加运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。
如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少23人。
那么参加团体操表演的运动员一共有多少人？解：1、要知道参加表演的运动员共有多少人，只需要找到最外层每边有多少人即可。
2、一个正方形队列，减去一行和一列，就是去掉了两条边上的人数，其中顶点上的人数计算了两次，所以减少的人数=每边的人数×2-1。
所以开始每边有（23+1）÷2=12（人），参加表演的有12×12=144（人）。
例2：欢欢用围棋子围成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子16枚，欢欢摆这个方阵共用了多少枚围棋子？解法1：1、本题考查的空心方阵，根据四周的枚数和每边上的枚数之间的关系，算出每一层的棋子数。
2、方阵每向里一层，每边的枚数就减少2枚。
知道最外一层每边放16枚，就可求出第二层及第三层每边枚数，知道各层每边的枚数，就可以求出各层的总数。
最外一层的棋子的枚数：（16-1）×4=60（枚），第二层棋子的枚数：（16-2-1）×4=52（枚），第三层棋子的枚数：（16-2-2-1×4=11×4=44（枚），摆这个方阵共用了60+52+44=156（枚）棋子。
方阵问题
方阵问题【知识要点】1.方阵问题：把若干人或物排列成正方形队列的形式，根据排列规律，引出的计算问题就叫做方阵问题2.方阵问题的特点是：方阵每边的实物数量相等，相邻两边的实物数量相差2，相邻两层的实物数量相差83.方阵问题的解题思路是：（1）实心方阵：每边数×每边数＝总数 （每边数－1）×4＝每层数每层数÷4＋1＝每边数（2）空心方阵：大实心方阵－小实心方阵＝总数（每边数－层数）×层数×4＝总数【典型题解】例1.四年级同学举行广播操比赛，排成了8行8列。
如果去掉一行一列，要去掉几人？还剩多少人？分析：方阵中的任何1人，既是其中一排中的人，也是其中一列中的人。
去掉一行一列，不管去掉哪一行哪一列，总有1人被去掉了两次，因此，求去掉一行一列去掉多少人，就是求比原来方阵中2行的人数少1人是多少人解：82115⨯-=（人） 881549⨯-=（人）答：要去掉15人，还剩49人例2.菊花展上，园丁李师傅要摆一个正方形空心花坛，已知四边各摆5盆菊花，且四个角上都有一盆，请计算李师傅摆这个花坛共要用多少盆菊花？分析：正方形空心花坛是空心方阵，依题意，四个角上的1盆在横、竖排中各计算了一次。
求李师傅共要用多少盆，就是求这个空心方阵的总数，可以4个5盆中减去重复计算的4个1盒解：541416⨯-⨯=（盆）答：李师傅摆这个花坛共要用16盆菊花例3.某校180名学生，排成一个三层空心方阵，这个方阵外层每边有多少名学生？ 分析：在三层空心方阵中，外层比中层多8，中层比内层多8，如果中层、内层的人数与外层同样多，需要加上3个8人，这样总人数180就多了()83⨯人，平均分成3份，就可求出最外层有多少人，然后求外层每边多少人解：()+⨯÷=÷=（人）684117118180833204368÷+=+=（人）答：这个方阵外层每边有18名学生例4.某班抽出一些学生参加节日活动表演，如果排成一个正方形实心方阵多7人，如果每行每列增加1人，就少4人，共抽出学生多少人？分析：排成一个实心方阵多7人，增加一行一列后少4人，说明增加一行一列的总人数是()74+人，就可先求出原来方阵中一排的人数，然后求出抽出学生总数解：()+-÷=÷=（人）5572573274121025⨯+=+=（人）答：共抽出学生32人【能力训练】A 卷1.同学们排队，要排成每行10人，共10行的方阵，共需要多少人？2.同学们排成十行十列的方阵，如果去掉一行一列，要去掉多少人？3.小明用棋子摆了一个实心方阵，后来他又加上15个棋子，使横竖各增加一排，成为一个大的实心方阵，原来的实心方阵每排有几个棋子？4.一个正方形池塘四周栽满了树，已知每边栽了9棵，并且四个角上都有一棵，这个池塘四周一共栽了多少棵树？5.学校的升旗台成正方形，在四周共放了40盆花，每个角放一盆，每边放花多少盆？6.同学们站队，一共站了15行，如果要去掉2行2列，一共要去掉多少人？7.沿一个正方形水池的四周栽树一行，四角都要栽1棵，共载树152棵。
小学数学方阵问题应用题及参考答案
小学数学方阵问题应用题及参考答案1.全校排成一方阵做操．已知外层共有80人，那么这个学校共有多少学生做操？2.学校要美化校园，要在正方形水池四周摆花，四个角都摆一盆，每边都摆5盆，那么一共要准备多少盆花．3.同学们在操场上排队，每行人数和行数恰好相等，最外一圈有100人，每行多少人．4.同学们在操场上排队，每行人数和行数恰好相等，最外一圈有100人，每行同学们做操，排成一个正方形的队伍，从前，后，左，右数，小红都是第5个，问一共有多少人．5.把12枚棋子均匀围成一个正方形，每边是几枚棋子？6.一个池塘（正方形），每边都种10棵树，最少需要种多少棵，如果有48棵树苗，4角上都要种，平均每边种多少棵．7.四年级大家唱大家跳排成方阵，最外层每边都是25人，最外层一共有多少名队员？整个方阵共有多少名队员？8.一个方阵，最外层每边有10人，最外层一共有多少人？9.一个正方形的操场边长20米，如果每边栽5棵数（每个角的顶点栽一棵），一共要栽多少棵树？每两棵树之间的距离多少米？10.在一个边长是40米的正方形草地的四周擦彩旗，每隔5米插1面（正方形的每个顶点插1面），一共要插多少面彩旗．11.同学们用小红花排成了一个四层空心方阵，最外层每边12朵，共有红花多少朵？12.明明用围棋子摆成一个三层空心方阵，如果最外层每边有围棋子15个，明明摆这个方阵最里层一周共有多少个棋子．摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子．13.在迎接神七返回的庆祝活动中，瑞金三中的同学们朝气蓬勃地扭着秧歌，排成了两个正方形阵，每一边有20人，在每个方阵的中心空出了36人的正方形空地，你能算出这个队伍的人数吗？14.一群人排成n×n的方阵，最外3层共有120人，求n的数值．15.共有960名男生站成一个三层的空心方阵，问：中间一层每边有多少人？参考答案：1.解：80÷4+1=21（人），21×21=441（人）；答：这个学校共有441个学生做操．【分析】由于四个顶点上的人属于相邻的两个边公共的人，所以每边的人数是：80÷4+1=21（人），因此这个方阵共有学生21×21=441（人），据此解答．2.解：（5-1）×4=4×4=16（盆）答：一共要准备16盆花．【分析】由题意，此题可看作是一个空心方阵，要求四周一共要摆多少盆花，根据“四周的盆数=（每边的盆数-1）×4”解答即可．3. 解：100÷4+1=25+1=26（人）答：每行26人．【分析】每行人数和行数恰好相等，即排成的是一个正方形实心方阵，已知最外一圈有100人，根据“每边的人数=四周的人数÷4+1”解答即可．4.解：每边人数是：5×2﹣1=9（人），共有：9×9=81（人），答：一共有81人．【分析】因为从前、后、左、右数，小红都是第5个，所以每行都有：5×2﹣1=9人，由此利用方阵问题中：总人数=每边人数×每边人数，即可解答．5.解：12÷4+1=4（枚），答：围成的正方形的每边棋子数是4枚．【分析】此题可以利用空心方阵的每边点数=四周点数÷4+1，先求出围成的这个正方形的每边上的棋子数，再进行选择．6.解：（10-1）×4 =9×4 =36（棵）48÷4+1 =12+1 =13（棵）答：最少需要种36棵，如果有48棵树苗，4角上都要种，平均每边种13棵．故答案为：36，13．7.解：25×4-4=100-4=96（名）25×25=625（名）答：最外层一共有96名队员，整个方阵共有625名队员．【分析】根据方阵问题中最外层人数=每边人数×4-4实心方阵中总人数=每边人数×每边人数；代入数据即可解答．8.解：10×4-4=40-4=36（人）答：最外层共有36人．故答案为：36．【分析】最外层每边都是10人，4条边共有：10×4=40（人），由于四个顶点重复计算了1次，实际最外层共有40-4=36（人）．9.解：5×4-4 =20-4 =16（棵）20÷（5-1）=20÷4 =5（米）答：一共要栽16棵树，每两棵树之间的距离5米．故答案为：16，5．【分析】根据方阵问题中最外层点数=每边点数×4-4，即可求出植树的总棵数；因为每条边上植树5棵，所以每条边上都有5-1=4个间隔，据此可以求出每个间隔的长度是20÷4=5米．10.解：40÷5+1 =8+1 =9（面）9×4-4 =36-4 =32（面）答：一共要插32面彩旗．故答案为：32．【分析】（1）先求出40里面有几个5，再加1就是每边最多要插的面数；（2）再用每边插的面数×4-4即可解答．11.解：（12-4）×4×4=8×16=128（朵）答：共有红花128朵．【分析】由题意知，要求这个四层空心方阵共有红花多少朵，就是求这个方阵的总点数；根据方阵问题中：空心方阵的总人数=（最外层每边的人数-空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4解答即可．12.解：根据分析可得，最里层：15﹣2×2=11（个），（11﹣1）×4=40（个）（15﹣3）×3×4=12×12=144（个）答：明明摆这个方阵最里层一周共有40个棋子．摆这个三层空心方阵共用了144个棋子．故答案为：40，144．【分析】由于方阵每减少一层，每边的围棋子数减少2个，所以这个方阵最里层每边有：15﹣2×2=11个，那么明明摆这个方阵最里层一周共有：（11﹣1）×4=40（个）；根据公式：空心方阵的总点数=（最外层每边的点数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，可得：（15﹣3）×3×4=144（个）；据此解答．13.解：（20×20﹣36）×2=（400﹣36）×2=364×2=728（人）答：这个队伍有728人．【分析】每一边有20人，则实心时应该有20×20=400人，减去36人的正方形空地，每一个方阵应有400﹣36=364人．两个方阵共有364×2=728人14.解：120÷4÷3+3=10+3=13（人）这个方阵的最外层每边13人，也就是n=13．答：n的数值是13．【分析】由题意知，可以先看成一个三层空心方阵，已知共有学生120人，要求最外层每边有多少名学生，据方阵问题中：空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，可得出：最外层每边人数=总人数÷4÷层数+层数，据此解答即可．15.解：最外层每边人数是：960÷4÷3+3，=80+3，=83（人），83﹣2=81（人），答：中间一层每边人数是81人．【分析】根据方阵问题中：空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，可得出最外层每边人数=空心方阵总人数÷4÷空心方阵的层数+空心方阵的层数，据此求出最外层每边人数，则再减去2人，就是中间一层的每边人数，据此解答即可．。
小学奥数之方阵问题—例题习题及含答案
方阵问题知识导航学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。
如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。
核心公式：一、实心方阵1．方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）=每边数×每边数2．方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数÷4）＋13．方阵外一层每边人数比内一层每边人数多24．去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－15、每层数=（每边数-1）×4二、空心方阵1、外边人数=总人数÷4÷层数+层数2、总数=最外层人数2 - 最内层人数2=（最外层每边数-层数）×层数×4=（最外层数+最内层数）×层数÷23、内层数=外层数-84、每层数=（每边数-1）×45、实心方阵的总人数是一个完全平方数，空心方阵的总人数是4的倍数。
例1 四年级同学参加广播操比赛，要排列成每行8人，共8行方阵。
排列这个方阵共需要多少名同学？解题分析这是一道实心方阵问题，求这个方阵里有多少名同学，就是求实心方阵中布点的总数。
排列成每行8人点，共8行，就是有8个8点。
求方阵里有多少名同学，就是求8个8人是多少人？解：8×8=64（人）答：排列这个方阵，共需要64名同学。
例2 有一堆棋子，刚好可以排成每边6只的正方形。
问棋子的总数是多少？最外层有多少只棋子？解题分析依题意可以知道：每边6只棋子的正方形，就是棋子每6只1排，一共有6排的实心方阵。
根据方阵问题应用题的解题规律，求实心方阵总数的数量关系，总人数=每边人数×每边人数，从而可以求出棋子的总数是多少只。
而最外层棋子数则等于每边棋子数减去1乘以行数4，即（6-1）×4只。
解：（1）棋子的总数是多少？6×6=36（只）（2）最外层有多少只棋子？（6-1）×4=20（只）答：棋子的总数是36只，最外层有20只棋子。
应用题板块-方阵问题(小学奥数四年级)
应用题板块-方阵问题（小学奥数四年级）“方阵问题”是以现实生活中的方阵为题材，通过对方阵中“每边数量”、“边数”、“总数”的自主探究，探索出此类问题中各个数量之间存在的数量关系。
在此过程中，让孩子充分体验模型思想建立的一般过程，感受数学模型的魅力。
【一、题型要领】士兵排队，横着排叫行，竖着排叫列，若行数与列数相等，正好排成一个正方形，这就是一个方队，这种方队也叫做方阵。
根据不同的排列方式，方阵分为实心方阵和空心方阵。
1.实心方阵【基本概念】实心方阵是内部全部排满的方阵。
下图左侧是一个5 * 5的方阵，下图右侧是一个6 * 6的方阵，图中绿色表示的是方阵的最外层。
【基本公式】假设方阵最外层每边的人数是N（1）方阵层数 = （N + 1）÷ 2，当N为奇数时= N ÷ 2，当N为偶数时（2）方阵最外层总人数 = 最外层每边的人数* 4 - 4 = （N - 1）* 4 （3）方阵总人数 = 最外层每边的人数* 最外层每边的人数= N * N2. 空心方阵【基本概念】空心方阵是内部未全部排满的方阵，注意只能是内部未排满，且未排满的部分也是一个方阵。
下图左侧是一个整体5 * 5，内部1* 1未排满的空心方阵；下图右侧是一个整体6 * 6，内部2 * 2未排满的空心方阵【基本公式】假设方阵最外层每边的人数是N，层数是M（1）方阵最外层总人数 = 最外层每边的人数* 4 - 4 = （N - 1）* 4 （2）内部方阵最外层每边的人数 = 最外层每边的人数 - 2 * 层数 = N - 2 * M（3）方阵总人数 = 外部方阵总人数 - 内部方阵总人数 = N * N - （N - 2 * M）*（N - 2 * M）= 4 * M * （N - M）【二、重点例题】例题1【题目】一个正方形花坛，原来摆了一些花，组成了一个实心方阵，后来运走了11盆花，使行和列都减少了一排，原来摆了多少盆花？【分析】如下图所示，原先鲜花摆放成如下的方阵，蓝色部分为后来运走的鲜花，绿色及省略部分为剩下的鲜花。
【课后延时】小学数学专项《应用题》经典方阵问题基本知识-4星题(含解析)全国通用版
应用题-经典应用题-方阵问题基本知识-4星题课程目标知识提要方阵问题基本知识•概述在日常生活中，我们常把人或物排成正方形的形状，在数学上我们把研究这样的问题称为方阵问题。
在摆放的方阵中如果是实心的，我们叫它实心方阵，也叫中实方阵；如果这个方阵是空心的，我们叫它空心方阵，也叫中空方阵。
•实心方阵的特点总人（或物）数=每边人（或物）数×每边人（或物）数•空心方阵的特点总人（或物）数=（最外层每边人（或物）数−层数）×层数×4奇数层：总人数=中间层总数×层数偶数层：总人数=（外层+内层）×层数÷2若最外层每边有a人，内部虚方阵每边有b人，则空心方阵共有(a2−b2)人。
•变化规律相邻两边之间相差2；相邻两层之间相差8；每层人（或物）数=每边人（或物）数×4−4 =[每边人（或物）数−1 ] ×4精选例题方阵问题基本知识1. 五年级学生分成两队参加学校广播操比赛，他们排成甲、乙两个方阵，其中甲方阵每边的人数等于8，如果两队合并，可以另排成一个空心的丙方阵，丙方阵每边的人数比乙方阵每边的人数多4人，甲方阵的人数正好可以填满丙方阵的空心，那么，五年级参加广播操比赛的一共有人．【答案】260【分析】根据题意，乙方阵加上两个甲方阵的人数128人可以构成实心的丙方阵，且丙方阵每边人数比乙方阵多4人，所以由(b+4)2−b2=128，得到：4×(2×b+4)=128，所以b＝14，因此乙方阵每边人数14人，五年级一共有14×14+8×8=260（人）．2. 有一些人组成2个正方形方阵，2个正方形方阵之间相差97个人，那么这2个正方形方阵一共有人．【答案】4705【分析】假设A方阵有a人，B方阵有b人，那么应该有b2−a2=97，因此(b−a)(b+a)=97，49×49+48×48=4705．3. 有196枚围棋子，摆成一个14×14的正方形．甲、乙两人依次从最外一层起取走每一层的全部棋子，直到取完为止，甲比乙多取了枚棋子．【答案】28【分析】196枚围棋子围成的方阵，最外层棋子数为14×4−4=52，相邻两层棋子数相差8，从外向内每一层棋子数为：52、44、36、28、20、12、4．所以甲取走了52+36+20+4=112(枚)棋子，乙取走了44+28+12=84(枚)棋子，甲比乙多取了112−84=28(枚)棋子．4. 东风小学仪仗队的同学们排队，若排成正方形，则多余12名同学，如果把这个正方形扩大，纵横每排各增加一人，则缺少9人．【答案】112【分析】增加的一行一列有12+9=21(人)，那么原来排成的正方形的每条边上有(21−1)÷2=10(人)，东风小学仪仗队有学生10×10+12=112(人)．5. 一个正方形方阵，其中的4行5列的人数总和为250人，那么如果将这个方阵去掉一行一列还剩人．【答案】841【分析】4行5列，包括重复计算的：250＋20＝270人，每行：270÷9＝30人，所以还剩：30×30−30−30＋1＝841人6. 有大小相同的正方形白石和黑石各n个．首先，将黑石不留空隙地摆成一个正方形，然后在其外围摆一圈白石，再用剩下的黑石在白石圈的外围摆一圈，最后再用剩下的白石在黑石的外围再摆一圈，正好将所有石子用完（如下图所示）．那么2n=．【答案】144个【分析】如上图所示，记最外层的一圈白石为a个，它里面的一圈黑石为b个，再里边的一圈白石为c个，最中间的黑石组成的正方形再分成外面一圈(d个)和里面的正方形(e个)两部分．注意到a−b=b−c=c−d=8，所以c=d+8,b=d+16,a=d+24．因为黑石的总数=白石的总数，所以b+d+e=a+c,d+16+d+e=d+8+d+24,e=32−16=4×4．最大的正方形的每一边有4+4×2=12（个）石子，所以石子的总数为12×12=144（个）．7. 小虎在19×19的围棋盘的格点上摆棋子，先摆成了一个长方形的实心点阵．然后再加上45枚棋子，就正好摆成一边不变的较大的长方形的实心点阵．那么小虎最多用了枚棋子．【答案】285【分析】45=3×3×5，它小于19的最大约数为15，所以不变的边长应为15，另一边最长为19，所以小虎最多用了15×19=285（枚）棋子．8. 在一个实心学生方阵中加入13人，可将原来的方阵变成一个多一行，多一列的大方阵，则原来的方阵有学生多少人？【答案】36【分析】(13－1)÷2＝6（人），所以原来的方阵有6×6＝36（人）．9. 用白、蓝两种颜色的正方形瓷砖铺满一面正方形的墙，共用了324块，最里面一层是蓝色的，第二层是白色，第三层是蓝色……这样下去，最外面一层是什么颜色？整面墙上共有白色瓷砖多少块？【答案】蓝色；144．【分析】324=18×18，共有9层，所以最外层是蓝色的；共有白色瓷砖：12+28+44+ 60=144块．10. 在一个实心学生方阵中加入若干人，原来的方阵变成一个多一行，多一列的方阵；若原来的方阵减少13人，可将原来的方阵变成一个少一行，少一列的方阵，问后来加入的学生有多少人？【答案】15【分析】(13+1)÷2＝7（人），7×2＋1＝15（人），所以后来加入的学生有15人．11. 在一个实心学生方阵中减少11人，可将原来的方阵变成一个少一行，少一列的方阵，则原来的方阵有学生多少人？【答案】36【分析】(11+1)÷2＝6（人），所以原来的方阵有6×6＝36（人）．12. 有大小一样，张数相同的黑白两种颜色的正方形纸片．小高用白色纸片拼成中间没有缝隙的长方形，然后用黑色纸片围绕已经拼成的白色长方形继续拼成更大的长方形，之后有用白色纸片拼下去，……，这样重复拼．当小高用黑色纸片拼过5次以后，黑、白纸片正好用完．请问：黑色纸片至少有多少张？【答案】350张．【分析】不妨设每张小纸片的边长为1．从外往内，每次同时“剥开”一层黑纸片和一层白纸片，剥了5次之后，就只剩下中心的一个由白纸片组成的长方形．每次“剥开”的过程，黑纸片比白纸片多8张．由于一共有5层黑纸片，所以一共可以剥除5次，所有被剥除的黑纸片比所有被刹除的白纸片多40张，而总共的黑白纸片数量相同，所有最后剩余的只有白纸片构成的长方形中有40张白纸片．这个长方形的长和宽都是整数，它的长与宽的所有可能是：40×1、20×2、10×4、8×5．由于全部纸片铺成的大长方形的长和宽比被“剥除”五次之后剩下的长方形的长和宽都大20，所以大长方形的面积可以是60×21=1260、40×22=880、30×24=720、28×25= 700，其中最小的面积是700．而黑纸片的张数是这个面积的一半，所以最少有黑纸片350张．13. 如图，一块绿地由3块相同的等边三角形草地和一个水池构成．现在要在草地上种花，要求在草地与草地的公共点都种上（即图中的A、B、C点），且每块草地上的花朵排成了一个三角形点阵，且每条边上有10朵花．请问：整个绿地一共要种多少朵花？【答案】162朵．【分析】每个三角形草地里每边都有10朵花，所以每片草地有：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55朵花，三片草地共有：55×3=165朵花．但这样算，三角形的连接处都被算了2次，多算1次，所以整个绿地一共种花165−3=162朵．14. 某小学三年级共有学生120人，排成一个三层的空心方阵．这个方阵最外层每边有多少人？如果在外面加一层，变成一个四层的空心方阵，那应该增加几个人？如果在内部再加一层，变成一个五层的空心方阵，那么还需要增加几个人？【答案】13；56；24．【分析】一个三层方阵，外层比中层多8人，中层比内层多8人，所以中层有：120÷3=40人，最外层共有40+8=48人，所以，最外层每边48÷4+1=13人；外面加一层需要有48+8=56人；内部加一层需要40−8−8=24人．15. 某校少先队员可以排成一个四层空心方阵，如果最外层每边有20个学生，问这个空心方阵最内层共有多少个学生？这个四层空心方阵共有多少个学生？【答案】52；256【分析】20−2−2−2＝14（人）；14×4−4＝56−4＝52（人）；14−2=12（人），202−122=400−144=256（人）．所以这个空心方阵最内层共有52个学生，这个四层空心方阵共有256个学生．16. 在学校的运动会上，同学们集体表演一个节目，站成了一个空心的正六边形阵列，与图中的阵列类似．从外向内一共8层，分别站着两层六年级的同学、两层五年级的同学、两层四年级的同学以及两层三年级的同学．已知参加表演的六年级同学有126名，那么：（1）最外层有多少人？（2）现在阵列中一共有多少人？（3）如果想要让一、二年级的同学把这个空心阵列填满，还需要多少人？（最里层可站1个人）【答案】（1）66人；（2）360人；（3）37人．【分析】（1）六边形阵列中，相邻两层相差6人，所以最外层共有：(126+6)÷=66人．（2）共有：66+60+54+48+42+36+30+24=360人（3）还需要：18+12+6+1=37人．17. 若干学生排成一个实心方阵，最外一层每边有12人，共有多少层？1∼4层一共有多少人？【答案】6；64【分析】12÷2＝6（层），2×4＝8（人），8×8＝64（人），所以共有6层，1∼4层一共有64人．18. 120个棋子摆成一个三层空心方阵，最外层每边有多少棋子？【答案】13个【分析】中间层总数为120÷3=40（人），则每边有40÷4+1=11（人），所以最外层每边有11+2=13（人）．19. 若干学生排成一个实心方阵，最外一层每边比最内一层多10人，共有多少层？【答案】6【分析】(10÷2)+1＝6（层），所以共有6层．20. 同学们用64盆花排出一个两层空心方阵，后来又决定在外面再增加一层成为三层方阵，还需多少盆花？【答案】44【分析】对于两层方阵，外层比内层多8盆，两层共64盆，利用和差问题的解法，可以求出外层盆数是(64+8)÷2=36（盆），从而得出需增加的盆数，36+8=44（盆）．21. 刘老师把一些树苗栽种成一个尽量大的实心方阵，结果还多出了6棵树苗；后来又运来了34棵树苗，恰好能补成一个更大的实心方阵．那么后来的方阵最外层每边有多少棵树？【答案】11或7【分析】若增加了1层，则现在最外层共有40棵树，所以最外层每边共有：(40+4)÷4= 11；若增加了2层，则40=16+24，此时最外层有：(24+4)÷4=7（棵）树．22. 在一个实心学生方阵中加入9人，可将原来的方阵变成一个多一行，多一列的大方阵，则原来的方阵有学生多少人？【答案】16【分析】(9－1)÷2＝4（人），所以原来的方阵有4×4＝16（人）．23. 在一次运动会开幕式上，有一大一小两个方阵合并变换成一个10行10列的方阵，求较小方阵有多少人？【答案】36【分析】10行10列的方阵由100人组成，原来的小方阵每行或每列人数都不会超过10人，大方阵人数应该在50∼100之间，可取64或81，运用枚举法，可求出满足条件的是：大方阵有64人，小方阵有36人．24. 用黑、白两种颜色的正方形瓷砖共256块铺满一面正方形的墙，最外一层是黑色，第二层是白色，第三层是黑色……这样下去，那么整面墙上共有黑色瓷砖多少块？【答案】144．【分析】256=16×16，所以最外层每边16块，从外往里共有8层，所以黑的共有：60+ 44+28+12=144块．25. 一队战士排成一个三层空心方阵多出16人，如果在空心部分再增加一层又缺28人，这队战士共有多少人？【答案】196【分析】16+28=44（人），所以空心部分新增一层每边有44÷4+1=12（人），所以最外层每边有12+2×3=18（人），所以排好的三层共182−122=324−144=180（人），因此这队战士共180+16=196（人）．26. 如图所示，用10枚棋子可以摆出一个正三角形点阵，每边4枚棋子；用9枚棋子可以摆成一个正方形点阵，每边3枚棋子．今有一堆棋子，棋子总数小于100，用这堆棋子既可以摆出一个正三角形点阵，也可以摆出一个正方形点阵，问这堆棋子共有多少枚？【答案】36【分析】100以内的平方数，只有62=36=1+2+3+4+5+6+7+8所以36既可以组成边长为6的方阵，也能组成边长为8的正三角形点阵．27. 有一个240人排成的5层空心方阵，再增加多少人在最内层，就可以使该方阵变成一个6层空心方阵？【答案】24【分析】240÷4÷5＋5＝12＋5＝17（人），17−2−2−2−2−2＝7（人），(7−1)×4＝24（人），答：再增加24人在内部，就可以使该方阵变成一个6层空心方阵．28. 晓晓爱好围棋，他用棋子在棋盘上摆了一个二层空心方阵，如图所示，外层每边有14个棋子，你知道他一共用了多少个棋子吗？【答案】96【分析】方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个．知道最外面一层每边放14个棋子，就可以求出第二层每边的个数．知道各层每边的个数，就可以求出总数．(14−1)×4=52(个)(14−2−1)×4=44(个)52+44=96(个)一共用了96个棋子．。
三年级小学奥数方阵问题【五篇】
三年级小学奥数方阵问题【五篇】导读：本文三年级小学奥数方阵问题【五篇】，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。
【第一篇：士兵方阵】习题：有一队士兵，排成了一个方阵，最外层一周共有240人，问这个方阵共有多少人？答案：(240÷4)-1=59(人)59×59=3481(人) 【第二篇：空心方阵】习题：某校少先队员可以排成一个四层空心方阵如果最外层每边有20个学生，问这个空心方阵最里边一周有多少个学生？这个四层空心方阵共有多少个学生？答案：(20-2×3-1)×4=42(个)(20-40×4×4=256(个) 【第三篇：鲜花方阵】习题：六一儿童节前夕，在校园雕塑的周围，用204盆鲜花围成了一个每边三层的方阵求最外面一层每边有鲜花多少盆？答案：最外层每边人数=总数÷4÷层数+层数204÷4÷3+3=20(盆) 【第四篇：体操表演】习题：三年级(1)班的学生参加体操表演，排成队形正好是由每7个人为一边的6个三角形组成的一个正六边形，求正六边形一周共有多少名学生？三(1)班参加体操表演的共有多少人？答案：7×6-6=36(人)7×12-6×2-5=67(人) 【第五篇：松柏方阵】习题：最新的三年级奥数题及答案：方阵问题：现有松树和柏树以隔株相间的种法，种成9行9列的方阵，问这个方阵最外层有松树和柏树各多少棵？方阵*有松树柏树各多少棵？答案：最外层松柏各是：(9-1)×4÷2=16(棵)共有松柏树是：(9×9+1)÷2=41(棵)81-41=40(棵)答：柏树41棵，松树40棵，或松树41棵，柏树40棵。
(模块化思维提升)专题6-方阵问题-小升初数学思维拓展典型应用题专项训练(人教版)
专题6方阵问题小升初数学思维拓展典型应用题专项训练（知识梳理+典题精讲+专项训练）1、方阵问题。
将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题．2、数量关系。
（1）方阵每边人数与四周人数的关系：四周人数=（每边人数1）×4每边人数=四周人数÷4+1（2）方阵总人数的求法：实心方阵：总人数=每边人数×每边人数空心方阵：总人数=（外边人数）2（内边人数）2内边人数=外边人数层数×2（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：总人数=（每边人数层数）×层数×4．【典例一】为庆祝“六一”儿童节，城东小学四年级同学举行队列表演，他们排成2个“77⨯”的方阵。
每个方阵中，外两圈同学穿黄色运动服，其余同学穿红色运动服。
最少需要准备套黄色运动服，套红色运动服。
【答案】80；18。
【分析】每个方阵的最外层一共有4个边，每边有7人，共4层，然后根据总点数=每边点数⨯每边点数求出总方阵的人数和内2层的人数，再进一步解答即可。
【解答】解：（1）7749⨯=（人)(722)(722)--⨯--=⨯33=（人)9⨯=（人)9218-=（人)49940⨯=（人)40280答：最少需要准备80套黄色运动服，18套红色运动服。
故答案为：80；18。
【点评】此题考查了方阵问题中：总点数=每边点数⨯每边点数的灵活应用。
【典例二】运动会上，四年级同学组成了四个表演方阵，每个方阵排成6行，每行6人。
每个方阵最外面一圈的同学穿黄色表演服，其余同学穿红色表演服，这两种颜色的表演服各多少件？【答案】黄色表演服80件，红色表演服64件。
【分析】用6乘6求出每个方队的总人数，然后用64⨯减去4求出最外圈穿黄色表演服的人数；再和每个方队的总人数相减求出穿红色表演服的人数。
最后再用每个方队中红、黄的衣服人数分别乘4，求出4个方队中两种颜色的表演服的件数即可。
方阵问题带答案版PPT课件
或 36-2×8=20（人）
.
14
小结：
方阵的特点
1、相邻两层，每边个数差2，每层个数差8 （除心为1时，最里两层差7）
2、每边个数为偶数：层数=每边个数÷2
每边个数为奇数：层数=（每边个数-1）÷2+1
.
15
组二：空心方阵
最外层有（ ）个 最外层有（ ）个
共有（ ）个
共有（ ）个
最外层有（ ）个 共有（ ）个
方阵问题
许朝娟老师
.
1
.
2
.
3
.
4
在排队时，横着排叫行，竖着排叫列，当行 数和列数相等，正好排成一个正方形，这样的 方队我们就叫做方阵。方阵有中实方阵（即实 心方阵）和中空方阵（即空心方阵）。
.
5
每边有（ ）个 共（ ）个 最外层有（ ）个
每边有（ ）个 共（ ）个 最外层有（ ）个
每边个数= 最外层总数÷4+1 实心方阵总数= 行数×列数 最外层总数=（每边个数-1）×4
去掉人数：7×2-1=13（人）
剩余人数：7×7-13=36（人） 或 （7-1）×（7-1）=36（人）
.
10
5、参加小学生运动会团体操表演的运动员排成一个正 方形队列，如果要使这个正方形队列减少一行一列， 则要减少33人。参加团体操表演的运动员原来有多少 人？
每边人数：（33+1）÷2=17（人）
.
18
3、四（1）班的学生进行队列训练，排成两层空 心方阵，已知最外层每边有6人，求这个班共有多 少人？
最外层人数 ： （6-1）×4=20（人）
总人数 ： 20+（20-8）=32（人）
.
19
小学奥数之方阵问题—例题习题及含答案
方阵问题知识导航学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。
如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。
核心公式：一、实心方阵1．方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）=每边数×每边数2．方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数÷4）＋13．方阵外一层每边人数比内一层每边人数多24．去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－15、每层数=（每边数-1）×4二、空心方阵1、外边人数=总人数÷4÷层数+层数2、总数=最外层人数2-最内层人数2=（最外层每边数-层数）×层数×4=（最外层数+最内层数）×层数÷23、内层数=外层数-84、每层数=（每边数-1）×45、实心方阵的总人数是一个完全平方数，空心方阵的总人数是4的倍数。
例1四年级同学参加广播操比赛，要排列成每行8人，共8行方阵。
排列这个方阵共需要多少名同学？解题分析这是一道实心方阵问题，求这个方阵里有多少名同学，就是求实心方阵中布点的总数。
排列成每行8人点，共8行，就是有8个8点。
求方阵里有多少名同学，就是求8个8人是多少人？解：8×8=64（人）答：排列这个方阵，共需要64名同学。
例2有一堆棋子，刚好可以排成每边6只的正方形。
问棋子的总数是多少？最外层有多少只棋子？解题分析依题意可以知道：每边6只棋子的正方形，就是棋子每6只1排，一共有6排的实心方阵。
根据方阵问题应用题的解题规律，求实心方阵总数的数量关系，总人数=每边人数×每边人数，从而可以求出棋子的总数是多少只。
而最外层棋子数则等于每边棋子数减去1乘以行数4，即（6-1）×4只。
解：（1）棋子的总数是多少？6×6=36（只）（2）最外层有多少只棋子？（6-1）×4=20（只）答：棋子的总数是36只，最外层有20只棋子。
第二讲---方阵问题(一)
第二讲方阵问题（一）姓名在我们的日常生活中常遇到一些有关正方形的问题，如：运动会上大型团体操表演队的正方形队列，解放军的方形仪仗队，正方形棋盘上摆棋子等有趣的数学问题，我们称为方阵问题。
方阵可以分为实心方阵（图①）和空心方阵（图②、③）。
①②③方阵问题的基本特点是：方阵中，内一层总比外一层的一边少个物体；内一层物体的总个数一定比外一层物体总个数少。
解答方阵问题的关键是：判断此方阵是实心方阵还是空心方阵。
1、方阵问题每边数与每层数之间的数量关系为：每层数＝（每边数－1）×4 、每边数＝每层数÷4＋1 .2、实心方阵的数量关系为：总数＝外层每边数×外层每边数＝（外层每边数）23、空心方阵的数量关系为：总数＝（外层每边数－层数）×层数×4或总数＝实心方阵总数－中间空心方阵总数最内层每边数＝外层每边数－2×（层数－1）最外层每边数＝总数÷4÷层数＋层数【例1】一个实心方阵，最外一层每边12人。
（1）那么整个方阵一共有。
（2）最外面一层共有。
（3）从外向内数，第二层每边有人，一共有人。
（4）如果考虑最外面三层，那么这三层共有人。
（5）如果将方阵外面增加一层，那么一共增加人。
随堂练习1用64枚棋子摆成一个实心方阵。
（1）每边有枚棋子。
（2）最外层有枚棋子。
（3）从外向内数，第二层每边有枚棋子，第二层共有枚棋子。
【例2】有一块空地在进行种树绿化，打算把树种成实心方阵的样子，方阵最外面一周有60棵树，问这个方阵最外层每边有多少棵树？这块空地一共需要多少棵树？随堂练习2三年级学生排成一个实心方阵，最外一层的人数为36人，问：方阵最外层每边有多少人？这个方阵共有三年级学生多少人【例3】小刚在用棋子摆好的实心方阵上又添了17枚棋子，它的横竖各增加了一排，成了大一点的实心方阵。
求原来实心方阵有多少枚棋子？随堂练习3 军训的学生进行队列表演，排成了一个5行5列的正方形队形，如果去掉一行一列，要去掉多少人？【例4】有一个正方形的稻田，四个角上都放1个稻草人，如果每边放5个，四边一共放多少个稻草人？ 解析：可以按每边5个计算，四个角各多1次；可以按每边4个计算，恰好分4组；可以按每边3个计算，四个角各少算1次。
小学数学之方阵问题
小学数学之方阵问题学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。
如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方公式）。
核心公式：1、方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）2、方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数/4）+13、方阵外一层总人数比内一层总人数多24、去掉一行、一列总人数比内一层总人数多2例1 学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人?A．256人 B．250人 C．225人 D．196人解析：方阵问题的核心是求最外层每边人数。
根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。
方阵最外层每边人数：60÷4+1=16（人）整个方阵共有学生人数：16×16=256（人）。
所以，正确答案为A。
例2 参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。
如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少33人。
问参加团体操表演的运动员有多少人？分析如下图表示的是一个五行五列的正方形队列。
从图中可以看出正方形的每行、每列人数相等；最外层每边人数是5，去一行、一列则一共要去9人，因而我们可以得到如下公式：去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1•••••••••••••••••••••••••解析：方阵问题的核心是求最外层每边人数。
原题中去掉一行、一列的人数是33，则去掉的一行（或一列）人数＝（33+1）÷2＝17方阵的总人数为最外层每边人数的平方，所以总人数为17×17=289（人）例3 小红把平时节省下来的全部五分硬币先围成个正三角形，正好用完，后来又改围成一个正方形，也正好用完。
如果正方形的每条边比三角形的每条边少用5枚硬币，则小红所有五分硬币的总价值是：A．1元 B．2元 C．3元 D．4元解析：设当围成一个正方形时，每边有硬币X枚，此时总的硬币枚数为4（X-1），当变成三角形时，则此时的硬币枚数为3（X＋5-1），由此可列方和为4（X-1）=3（X＋5-1）解得X=16 总的硬币枚数为60，则总价值为3元。
三年级奥数.应用题.方阵问题(A级).学生版
一、 方阵问题（1） 明确空心方阵和实心方阵的概念及区别. （2） 每边的个数＝总数÷41 ”； （3） 每向里一层每边棋子数减少2；（4） 掌握计算层数、每层个数、总个数的方法，及每层个数的变化规律。
一、 方阵问题【例 1】 在一次运动会开幕式上，有一大一小两个方阵合并变换成一个10行10列的方阵，求原来两个方阵各有多少人？【巩固】 小华观看团体操表演，他看到表演队伍中的一个方阵变换成一个正三角形实心队列，他估计队伍中人数大概在30至50人之间，你能告诉他到底有多少人吗？例题精讲知识结构方阵问题【例2】学生进行队列表演，排成了一个正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉11人，问这个方阵共有多少人？【巩固】学生进行队列表演，排成了一个正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉13人，问这个方阵共有多少人？【例3】二年级舞蹈队为全校做健美操表演，组成一个正方形队列，后来由于表演的需要，又增加一行一列，增加的人数正好是17人，那么原来准备参加健美操表演的有多少人？【巩固】某部队战士排成方阵行军，另一支队伍共17人加入他们的方阵，正好使横竖各增加一排，现共有多少战士？【例4】育新小学召开秋季运动会，准备在正方形的操场周围插上彩旗．如果4个角上都要插上一面彩旗，要使每边有7面彩旗，那么一共要准备多少面彩旗才行？【巩固】 某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人．问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？【例 5】 新学期开始，手持鲜花的少先队员在一辆彩车四周围成了每边两层的方阵，最外面一层每边13人，彩车周围的少先队员有多少人？【巩固】 节日来临，同学们用盆花在操场上摆了一个空心花坛，最外层的一层每边摆了12盆花，一共3层，一共用去多少盆花？【例 6】 在一次团体操表演中，有一个空心方阵最外层有64人，最内层有32人，参加团体操表演的共多少人？【巩固】 希望小学举行运动会，全体运动员的编号是从1开始的连续整数，他们按图1中实线所示，从第1行第1列开始，按照编号从小到大的顺序排成一个方阵。
第八章方阵问题
第八章方阵问题第八章方阵问题一、知识要点及基本方法方阵问题应用题就是把人或物按照一定的条件排成正方形，再根据已知条件求出人或物的数量的应用题。
特点是：方阵每边的实物数量相等，同边上相邻两层的实物数量相差2，相邻两层的实物数量相差8。
数量关系：（1）方阵每边人数和四周人数的关系：（每边人数-1）某4=四周人数四周人数÷4+1=每边人数（2）方阵总人数的计算方法：实心方阵：每边人数某每边人数=总人数空心方阵：外边人数某外边人数-内边人数某内边人数=总人数若将空心方阵分成4个相等的矩形计算，则：（外边人数-层数）某层数某4=总人数二、例题精讲例1四年级同学参加广播操比赛，要排列成每行8人，共8行方阵。
排列这个方阵共需要多少名同学？解题分析这是一道实心方阵问题，求这个方阵里有多少名同学，就是求实心方阵中布点的总数。
排列成每行8人点，共8行，就是有8个8点。
求方阵里有多少名同学，就是求8个8人是多少人？解：8某8=64（人）答：排列这个方阵，共需要64名同学。
例2有一堆棋子，刚好可以排成每边6只的正方形。
问棋子的总数是多少？最外层有多少只棋子？解题分析依题意可以知道：每边6只棋子的正方形，就是棋子每6只1排，一共有6排的实心方阵。
根据方阵问题应用题的解题规律，求实心方阵总数的数量关系，总人数=每边人数某每边人数，从而可以求出棋子的总数是多少只。
而最外层棋子数则等于每边棋子数减去1乘以行数4，即（6-1）某4只。
解：（1）棋子的总数是多少？6某6=36（只）（2）最外层有多少只棋子？（6-1）某4=20（只）答：棋子的总数是36只，最外层有20只棋子。
例3一堆棋子排成一个实心方阵，共有8行8列，如果去掉一行一列，要去掉多少只棋子？还剩下多少只棋子？解题分析排成方阵的棋子，无论排在任何地方，都既是其中一排的棋子，也是其中一行的棋子，所以，无论去掉哪一行和哪一列，总会有一只棋子被重复去掉1次，因此，要求出去掉一行一列去掉多少只棋子，就是要求出比原来方阵中2行的棋子数少1只。
【课后延时】小学数学专项《应用题》经典方阵问题基本知识-3星题(含解析)全国通用版
应用题-经典应用题-方阵问题基本知识-3星题课程目标知识提要方阵问题基本知识•概述在日常生活中，我们常把人或物排成正方形的形状，在数学上我们把研究这样的问题称为方阵问题。
在摆放的方阵中如果是实心的，我们叫它实心方阵，也叫中实方阵；如果这个方阵是空心的，我们叫它空心方阵，也叫中空方阵。
•实心方阵的特点总人（或物）数=每边人（或物）数×每边人（或物）数•空心方阵的特点总人（或物）数=（最外层每边人（或物）数−层数）×层数×4奇数层：总人数=中间层总数×层数偶数层：总人数=（外层+内层）×层数÷2若最外层每边有a人，内部虚方阵每边有b人，则空心方阵共有(a2−b2)人。
•变化规律相邻两层之间相差8；精选例题方阵问题基本知识1. 一个正方形方阵，其中的4行5列的人数总和为250人，那么如果将这个方阵去掉一行一列还剩人．【答案】841【分析】4行5列，包括重复计算的：250＋20＝270人，每行：270÷9＝30人，所以还剩：30×30−30−30＋1＝841人2. 东风小学仪仗队的同学们排队，若排成正方形，则多余12名同学，如果把这个正方形扩大，纵横每排各增加一人，则缺少9人．【答案】112【分析】增加的一行一列有12+9=21(人)，那么原来排成的正方形的每条边上有(21−1)÷2=10(人)，东风小学仪仗队有学生10×10+12=112(人)．3. 有大小相同的正方形白石和黑石各n个．首先，将黑石不留空隙地摆成一个正方形，然后在其外围摆一圈白石，再用剩下的黑石在白石圈的外围摆一圈，最后再用剩下的白石在黑石的外围再摆一圈，正好将所有石子用完（如下图所示）．那么2n=．【答案】144个【分析】如上图所示，记最外层的一圈白石为a个，它里面的一圈黑石为b个，再里边的一圈白石为c个，最中间的黑石组成的正方形再分成外面一圈(d个)和里面的正方形(e个)两部分．注意到a−b=b−c=c−d=8，所以c=d+8,b=d+16,a=d+24．因为黑石的总数=白石的总数，所以b+d+e=a+c,d+16+d+e=d+8+d+24,e=32−16=4×4．最大的正方形的每一边有4+4×2=12（个）石子，所以石子的总数为12×12=144（个）．4. 运动会上，五年级学生排成一个方队（横竖行人数相等），已知最外层为60人，这个方队共有人．【答案】256【分析】最外层每边有60÷4+1=16(人)，共有16×16=256(人)．5. 小朋友们排成方阵做广播体操，小明恰好站在方阵的正中心，此时无论是从前往后或者从后往前数他都排在第5个，无论是从左往右或者从右往左数时他都排在第6个，则这个方阵中一共有位小朋友．【答案】99【分析】小明前后各有5−1=4(人)，那么每列就有4+1+4=9(人)；小明左右有6−1=5(人)，那么每行就有5+1+5=11(人)，这个方阵共有9×11=99(位)小朋友．6. 一个实心方阵，最外一层每边18人，（1）那么整个方阵一共人；（2）最外面一层有人；（3）从外向内数，第2层每边有人，一共有人；（4）如果考虑最外面三层，那么这三层共有人．【答案】324；68；16，60；180【分析】（1）182=324；（2）17×4=68或18×4−4=68；（3）18−2=16；15×4=60或68−8=60；（4）60×3=180．7. 有196枚围棋子，摆成一个14×14的正方形．甲、乙两人依次从最外一层起取走每一层的全部棋子，直到取完为止，甲比乙多取了枚棋子．【答案】28【分析】196枚围棋子围成的方阵，最外层棋子数为14×4−4=52，相邻两层棋子数相差8，从外向内每一层棋子数为：52、44、36、28、20、12、4．所以甲取走了52+36+20+ 4=112(枚)棋子，乙取走了44+28+12=84(枚)棋子，甲比乙多取了112−84=28(枚)棋子．8. 五年级学生分成两队参加学校广播操比赛，他们排成甲、乙两个方阵，其中甲方阵每边的人数等于8，如果两队合并，可以另排成一个空心的丙方阵，丙方阵每边的人数比乙方阵每边的人数多4人，甲方阵的人数正好可以填满丙方阵的空心，那么，五年级参加广播操比赛的一共有人．【答案】260【分析】根据题意，乙方阵加上两个甲方阵的人数128人可以构成实心的丙方阵，且丙方阵每边人数比乙方阵多4人，所以由(b+4)2−b2=128，得到：4×(2×b+4)=128，所以b＝14，因此乙方阵每边人数14人，五年级一共有14×14+8×8=260（人）．9. 有一些人组成2个正方形方阵，2个正方形方阵之间相差97个人，那么这2个正方形方阵一共有人．【答案】4705【分析】假设A方阵有a人，B方阵有b人，那么应该有b2−a2=97，因此(b−a)(b+ a)=97，49×49+48×48=4705．10. 小虎在19×19的围棋盘的格点上摆棋子，先摆成了一个长方形的实心点阵．然后再加上45枚棋子，就正好摆成一边不变的较大的长方形的实心点阵．那么小虎最多用了枚棋子．【答案】285【分析】45=3×3×5，它小于19的最大约数为15，所以不变的边长应为15，另一边最长为19，所以小虎最多用了15×19=285（枚）棋子．11. 一个长方形队列，如果增加一横行和一竖行，就要增加13人．这个长方形队列原来最少有人．【答案】11【分析】增加一横行和一竖行，就要增加13人，那么原方阵的长与宽的和为13−1=12，所以人数最少时，12=1+11，有1×11=11(人)．12. 如图所示，用10枚棋子可以摆出一个正三角形点阵，每边4枚棋子；用9枚棋子可以摆成一个正方形点阵，每边3枚棋子．今有一堆棋子，棋子总数小于100，用这堆棋子既可以摆出一个正三角形点阵，也可以摆出一个正方形点阵，问这堆棋子共有多少枚？【答案】36【分析】100以内的平方数，只有62=36=1+2+3+4+5+6+7+8所以36既可以组成边长为6的方阵，也能组成边长为8的正三角形点阵．13. 有大小一样，张数相同的黑白两种颜色的正方形纸片．小高用白色纸片拼成中间没有缝隙的长方形，然后用黑色纸片围绕已经拼成的白色长方形继续拼成更大的长方形，之后有用白色纸片拼下去，……，这样重复拼．当小高用黑色纸片拼过5次以后，黑、白纸片正好用完．请问：黑色纸片至少有多少张？【答案】350张．【分析】不妨设每张小纸片的边长为1．从外往内，每次同时“剥开”一层黑纸片和一层白纸片，剥了5次之后，就只剩下中心的一个由白纸片组成的长方形．每次“剥开”的过程，黑纸片比白纸片多8张．由于一共有5层黑纸片，所以一共可以剥除5次，所有被剥除的黑纸片比所有被刹除的白纸片多40张，而总共的黑白纸片数量相同，所有最后剩余的只有白纸片构成的长方形中有40张白纸片．这个长方形的长和宽都是整数，它的长与宽的所有可能是：40×1、20×2、10×4、8×5．由于全部纸片铺成的大长方形的长和宽比被“剥除”五次之后剩下的长方形的长和宽都大20，所以大长方形的面积可以是60×21=1260、40×22=880、30×24=720、28×25= 700，其中最小的面积是700．而黑纸片的张数是这个面积的一半，所以最少有黑纸片350张．14. 120个棋子摆成一个三层空心方阵，最外层每边有多少棋子？【答案】13个【分析】中间层总数为120÷3=40（人），则每边有40÷4+1=11（人），所以最外层每边有11+2=13（人）．15. 在一次运动会开幕式上，有一大一小两个方阵合并变换成一个10行10列的方阵，求较小方阵有多少人？【答案】36【分析】10行10列的方阵由100人组成，原来的小方阵每行或每列人数都不会超过10人，大方阵人数应该在50∼100之间，可取64或81，运用枚举法，可求出满足条件的是：大方阵有64人，小方阵有36人．16. 刘老师把一些树苗栽种成一个尽量大的实心方阵，结果还多出了6棵树苗；后来又运来了34棵树苗，恰好能补成一个更大的实心方阵．那么后来的方阵最外层每边有多少棵树？【答案】11或7【分析】若增加了1层，则现在最外层共有40棵树，所以最外层每边共有：(40+4)÷4= 11；若增加了2层，则40=16+24，此时最外层有：(24+4)÷4=7（棵）树．17. 某校少先队员可以排成一个四层空心方阵，如果最外层每边有20个学生，问这个空心方阵最内层共有多少个学生？这个四层空心方阵共有多少个学生？【答案】52；256【分析】20−2−2−2＝14（人）；14×4−4＝56−4＝52（人）；14−2=12（人），202−122=400−144=256（人）．所以这个空心方阵最内层共有52个学生，这个四层空心方阵共有256个学生．18. 在一个实心学生方阵中加入13人，可将原来的方阵变成一个多一行，多一列的大方阵，则原来的方阵有学生多少人？【答案】36【分析】(13－1)÷2＝6（人），所以原来的方阵有6×6＝36（人）．19. 在一个实心学生方阵中加入若干人，原来的方阵变成一个多一行，多一列的方阵；若原来的方阵减少13人，可将原来的方阵变成一个少一行，少一列的方阵，问后来加入的学生有多少人？【答案】15【分析】(13+1)÷2＝7（人），7×2＋1＝15（人），所以后来加入的学生有15人．20. 一队战士排成一个三层空心方阵多出16人，如果在空心部分再增加一层又缺28人，这队战士共有多少人？【答案】196【分析】16+28=44（人），所以空心部分新增一层每边有44÷4+1=12（人），所以最外层每边有12+2×3=18（人），所以排好的三层共182−122=324−144=180（人），因此这队战士共180+16=196（人）．21. 用黑、白两种颜色的正方形瓷砖共256块铺满一面正方形的墙，最外一层是黑色，第二层是白色，第三层是黑色……这样下去，那么整面墙上共有黑色瓷砖多少块？【答案】144．【分析】256=16×16，所以最外层每边16块，从外往里共有8层，所以黑的共有：60+ 44+28+12=144块．22. 在一个实心学生方阵中减少11人，可将原来的方阵变成一个少一行，少一列的方阵，则原来的方阵有学生多少人？【答案】36【分析】(11+1)÷2＝6（人），所以原来的方阵有6×6＝36（人）．23. 一个实心体操方阵，最外层有32人．这个体操方阵有多少人？【答案】81【分析】最外层每边人数：(32＋4)÷4＝36÷4＝9（人）；9×9＝81（人）；答：这个体操方阵有81人．24. 共有200人排成一个5层空心方阵，这个方针最外面一层每边多少人？如果要在最外面增加一行一列，那么需要增加多少人？【答案】15；31．【分析】中间层共有：200÷5=40人，所以最外层共有：40+8×2=56人，每边有56÷4+1=15人；增加一行一列需要：16×16−15×15=31人．25. 一个实心方阵，最外面一层共有44人，请问：（1）这个方阵共有多少人？（2）如果让这个方阵减少一行一列，一共需要减少多少人？【答案】（1）144；（2）23．【分析】（1）“最外一层共有44人”，说明最外层每边有：44÷4+1=12人，所以，这个方阵是一个12×12的方阵，共有12×12=144人．（2）减少一行一列，也就是变成一个11×11的方阵，需要减少144−11×11=23人．26. 某学校三年级同学180人，排成一个三层空心方阵，这个方阵最外层每边多少人？【答案】18【分析】中间层总数为180÷3＝60（人），则每边有60÷4+1=16（人），所以最外层每边有16+2=18（人）．27. 如图所示，小刚在用棋子摆好的实心方阵上又填了17枚棋子，使它的横竖各增加一排，成了大一点的实心方阵，求原来的实心方阵有多少枚棋子？【答案】64【分析】填上17枚棋子，正好可以增加一排一列，此时每条边有(17−1)÷2+1=9(枚)那么原来的方阵每条边有91−1=8(枚)原来实心方阵的总棋子数：8×8=64(枚)28. 小明用一些棋子摆成了一个两层的空心方阵，后来他又用28枚棋子摆成了另外一个单层的空心方阵，摆完后他发现两个方阵正好可以拼在一起，组成一个新的三层空心方阵，那么他原来用了多少枚棋子？【答案】32或80【分析】如果单层空心方阵放在双层空心方阵的里面，那么原有棋子(28＋8)＋(28＋8＋8)＝80枚；如果单层空心方阵放在双层空心方阵的外面，那么原有棋子(28−8)＋(28−8−8)＝32枚；所以原来用了80枚棋子或32枚棋子．29. 同学们用64盆花排出一个两层空心方阵，后来又决定在外面再增加一层成为三层方阵，还需多少盆花？【答案】44【分析】对于两层方阵，外层比内层多8盆，两层共64盆，利用和差问题的解法，可以求出外层盆数是(64+8)÷2=36（盆），从而得出需增加的盆数，36+8=44（盆）．30. 一个实心方阵，最外面一层共有36人，如果要让这个方阵增加一行一列，需要增加多少人？【答案】21人．【分析】最外层36人，每边36÷4+1=10人，增加一行一列需要11×11−10×10=21人．31. 若干学生排成一个实心方阵，最外一层每边有12人，共有多少层？1∼4层一共有多少人？【答案】6；64【分析】12÷2＝6（层），2×4＝8（人），8×8＝64（人），所以共有6层，1∼4层一共有64人．32. 一个实心体操方阵，最外层有72人．这个体操方阵有多少人？【答案】361【分析】最外层每边人数：(72＋4)÷4＝76÷4＝19（人）；19×19＝361（人）；答：这个体操方阵有361人．33. 在学校的运动会上，同学们集体表演一个节目，站成了一个空心的正六边形阵列，与图中的阵列类似．从外向内一共8层，分别站着两层六年级的同学、两层五年级的同学、两层四年级的同学以及两层三年级的同学．已知参加表演的六年级同学有126名，那么：（1）最外层有多少人？（2）现在阵列中一共有多少人？（3）如果想要让一、二年级的同学把这个空心阵列填满，还需要多少人？（最里层可站1个人）【答案】（1）66人；（2）360人；（3）37人．【分析】（1）六边形阵列中，相邻两层相差6人，所以最外层共有：(126+6)÷=66人．（2）共有：66+60+54+48+42+36+30+24=360人（3）还需要：18+12+6+1=37人．34. 士兵排成一个实心方阵，最外一层一周的人数为80人，问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有多少士兵？【答案】21；441人【分析】80÷4＋1＝21（人）；21×21＝441（人）答：方阵外层每边有21人，这个方阵共有441士兵．35. 用64枚棋子摆成一个两层中空方阵，如果想在外面再增加一层，问需要增加多少枚棋子？【答案】44【分析】方阵相邻两层棋子数差为8，又知两层棋子数和为64，由和差问题，外层有(64+8)÷2=36(枚)如果再增加一层，需要增加36+8=44(枚)36. 晓晓爱好围棋，他用棋子在棋盘上摆了一个二层空心方阵，如图所示，外层每边有14个棋子，你知道他一共用了多少个棋子吗？【答案】96【分析】方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个．知道最外面一层每边放14个棋子，就可以求出第二层每边的个数．知道各层每边的个数，就可以求出总数．(14−1)×4=52(个)(14−2−1)×4=44(个)52+44=96(个)一共用了96个棋子．37. 同学们参加了广播操比赛，排成每行9人，每列9人的实心方阵，问方阵中共有多少学生？【答案】81【分析】可以根据“实心方阵总人数=每边人数×每边人数”得到9行9列的实心方阵人数为：9×9=81(人)38. 有一个6层的空心方阵，最外层每边25人，问要多少学生才能排出这个空心方阵？【答案】456人【分析】(25−6)×6×4＝19×24＝456（个），答：要456个学生才能排出这个空心方阵．39. 若干名同学站成一个15×15的方阵，请问：最外层一共有多少人？这个方阵一共有多少层？从里向外的第七层有多少人？【答案】56；8；48．【分析】最外层每边15人，但角落上的4个人每人都同时位于两条边上，所以最外层共有：15×4−4=56人；每人往里一层，每边人数会减少2个，最里层的每边应该有：15−2×7=1人，共有7+1=8层；从里向外第7层每边有：1+2×(7−1)=13人，所以这一层共有：13×4−4=48人．40. 在一个实心学生方阵中加入9人，可将原来的方阵变成一个多一行，多一列的大方阵，则原来的方阵有学生多少人？【答案】16【分析】(9－1)÷2＝4（人），所以原来的方阵有4×4＝16（人）．41. 若干学生排成一个实心方阵，倒数第二层每边比第二层多10人，共有多少层？【答案】8【分析】(10÷2)+1＋2＝8（层），所以共有8层．42. 如图，一块绿地由3块相同的等边三角形草地和一个水池构成．现在要在草地上种花，要求在草地与草地的公共点都种上（即图中的A、B、C点），且每块草地上的花朵排成了一个三角形点阵，且每条边上有10朵花．请问：整个绿地一共要种多少朵花？【答案】162朵．【分析】每个三角形草地里每边都有10朵花，所以每片草地有：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55朵花，三片草地共有：55×3=165朵花．但这样算，三角形的连接处都被算了2次，多算1次，所以整个绿地一共种花165−3=162朵．43. 某学校三年级同学180人，排成个三层空心方阵，这个方阵最外层每边多少人？【答案】18【分析】中间层总数为180÷3=60(人)则每边有60÷4+1=16(人)所以最外层每边有16+2=18(人)44. 某小学三年级共有学生120人，排成一个三层的空心方阵．这个方阵最外层每边有多少人？如果在外面加一层，变成一个四层的空心方阵，那应该增加几个人？如果在内部再加一层，变成一个五层的空心方阵，那么还需要增加几个人？【答案】13；56；24．【分析】一个三层方阵，外层比中层多8人，中层比内层多8人，所以中层有：120÷3=40人，最外层共有40+8=48人，所以，最外层每边48÷4+1=13人；外面加一层需要有48+8=56人；内部加一层需要40−8−8=24人．45. 三年级学生排成一个实心方阵进行体操表演，最外一层的人数为32人，问这个方阵最外层每边有多少人？这个方阵共有三年级学生多少人？【答案】每边9人，共81人．【分析】每边有32÷4+1=9(人)共92=81(人)46. 节日来临，同学们用盆花在操场上摆了一个空心方阵花坛，最外面的一层每边摆了12盆花，一共3层，一共用去多少盆花？【答案】108【分析】方法一：最外层共有12×4−4=44(盆)第二层共有44−8=36(盆)第三层共有36−8=28(盆)所以共有44+36+28=108(盆)方法二：第二层每边有12−2=10(盆)第二层共有10×4−4=36(盆)所以共有36×3=108(盆)47. 若干学生排成一个实心方阵，最外一层每边比最内一层多10人，共有多少层？【答案】6【分析】(10÷2)+1＝6（层），所以共有6层．48. 有225枚棋子，摆成一个15×15的正方形，甲、乙两人从最外一层起，轮流取走每一层的全部棋子，直到取完为止，甲比乙多取了多少没枚棋子？【答案】31【分析】甲取走的是56,40,24,8，乙取走的是48,32,16,1，甲比乙多取31枚．49. 用白、蓝两种颜色的正方形瓷砖铺满一面正方形的墙，共用了324块，最里面一层是蓝色的，第二层是白色，第三层是蓝色……这样下去，最外面一层是什么颜色？整面墙上共有白色瓷砖多少块？【答案】蓝色；144．【分析】324=18×18，共有9层，所以最外层是蓝色的；共有白色瓷砖：12+28+44+ 60=144块．50. 有一个240人排成的5层空心方阵，再增加多少人在最内层，就可以使该方阵变成一个6层空心方阵？【答案】24【分析】240÷4÷5＋5＝12＋5＝17（人），17−2−2−2−2−2＝7（人），(7−1)×4＝24（人），答：再增加24人在内部，就可以使该方阵变成一个6层空心方阵．51. 共有240人排成一个5层空心方阵，这个方阵最里面一层每边多少人？如果要在内部加一层，变成6层空心方阵，还需要增加多少人？【答案】32；24．【分析】5层中间一层共有：240÷5=48人，所以最内一层共有：48−8×2=32人，每边32÷4+1=9人，内部增加一层需要32−8=24人．52. 若干学生排成一个实心方阵，最外一层每边有10人，共有多少层？1∼3层一共有多少人？【答案】5；36【分析】10÷2＝5（层），2×3＝6（人），6×6＝36（人），所以共有5层，1∼3层一共有36人．53. 用红、绿两种颜色的小正方形瓷砖400块铺成一块正方形墙面，这个墙面最外圈铺的是红色瓷砖，由外到内的第二圈是绿色瓷砖，第三圈是红色瓷砖，第四圈又是绿色瓷砖……这样依次铺下去．请问这个墙面上哪种颜色的瓷砖更多？两种瓷砖相差多少块？【答案】红色；40块．【分析】共有400块瓷砖，所以整个方阵是一个20×20的方阵，共有10层，从外向里依次为红、绿两种颜色相间排列，最里一层为绿色；从外向里，每层红色瓷砖都比它里面相邻的那层绿色瓷砖多8块，所以红色比绿色多5×8=40块．54. 176个棋子摆成一个四层空心方阵，最内层每边有多少棋子？【答案】9个【分析】最内层与最外层总数和为176÷4×2＝88（个），则则最内层有(88−3×8)÷2=32（个），则每边有32÷4+1=9（个）．55. 学而思运动会上，五年级的女生们准备出一个团体操的节目．现在的人数刚好排成一个方阵（每一行人数和每一列人数相等）．后来又加入了23个女生，恰好还可以组成一个方阵．那么你能算出加入23人之前，方阵共有多少人吗？【答案】121人【分析】依题意，前后两次的学生总人数都是完全平方数．不妨设前者人数是B2，后者人数是A2.那么根据平方差式，A2−B2=(A+B)(A−B)=23．因为(A+B)和(A−B)是同奇偶的，所以23也应该拆成2个同奇偶性的数的乘积．因此(A+B)(A−B)=23×1⇒{A+B=23A−B=1⇒{A=12B=11则加入23人之前，方阵有11×11=121人．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
小学数学应用题之方阵问题
【含义】
将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。
【数量关系】
（1）方阵每边人数与四周人数的关系：
四周人数＝（每边人数－1）×4
每边人数＝四周人数÷4＋1
（2）方阵总人数的求法：
实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数
空心方阵：总人数＝外每边的人数平方－内每边的人数平方内每边人数＝外每边人数－层数×2
（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：
总人数＝（每边人数－层数）×层数×4
【解题思路和方法】
方阵问题有实心与空心两种。
实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。
例1：
佳一学校参加运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。
如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少23人。
那么参加团体操表演的运动员一共有多少人？
解：
1、要知道参加表演的运动员共有多少人，只需要找到最外层每边有多少人即可。
2、一个正方形队列，减去一行和一列，就是去掉了两条边上的人数，其中顶点上的人数计算了两次，所以减少的人数=每边的人数×2-1。
所以开始每边有（23+1）÷2=12（人），参加表演的有12×12=144（人）。
例2：
欢欢用围棋子围成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子16枚，欢欢摆这个方阵共用了多少枚围棋子？
解法1：
1、本题考查的空心方阵，根据四周的枚数和每边上的枚数之间的关系，算出每一层的棋子数。
2、方阵每向里一层，每边的枚数就减少2枚。
知道最外一层每边放16枚，就可求出第二层及第三层每边枚数，知道各层每边的枚数，就可以求出各层的总数。
最外一层的棋子的枚数：（16-1）×4=60（枚），第二层棋子的枚数：（16-2-1）
×4=52（枚），第三层棋子的枚数：（16-2-2-1）×4=11×4=44（枚），摆这个方阵共用了60+52+44=156（枚）棋子。
解法2: 若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：总人数＝（每边人数－层数）×层数×4。
则：（16-3）×3×4=156(枚)
例3：
一个实心方阵由81人组成，这个方阵的最外层有多少人？
解：
方阵的行数和列数相同，9×9=81，所以这是一个9行9列的方阵。
最外层人数与一边人数的关系：一边人数×4-4=一层人数。
所以最外层的人数是9×4-4=32(人)。
例4：
明明在一个用棋子排成的实心方阵的下面和右面各多排一排棋子，一共用了23个棋子，这样排成了一个新方阵，他又把这个新方阵改排成一个4层的空心方阵，这个方阵最外层每边有多少个棋子？
解：
1、根据题意，排成的这个新方阵的每边棋子数是（23+1）÷2=12（个），那么这个实心方阵的棋子总数是12×12=144（个）。
2、根据空心方阵中，每相邻的两层的棋子数相差8的关系，我们可以找出等量关系，列方程解决。
设最外层有x个棋子，则从外到内每层的棋子数分别是（x-8）个、（x-16）个、（x-24）个。
则：x+ x-8+x-16+x-24=144，x=48
所以这个方阵最外层每边有48÷4+1=13（个）棋子。