高一数学__对数函数综合练习题(答案)
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对数的运算性质
1．例题分析：
例1．用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式： （1）log a xy
z ； （2）23log a x y z
．
解：（1）log a xy
z
log ()log a a xy z =- log log log a a a x y z =+-；
例2．求下列各式的值：
（1）()
75
2log 42⨯； （2）5lg 100 ．
解：（1）原式=7522log 4log 2+=227log 45log 2725119+=⨯+⨯=； （2）原式=2
1
22lg10lg105
55
=
= 例3．计算：（1）lg14-21g
18lg 7lg 37-+； （2）9lg 243lg ； （3）2.1lg 10
lg 38lg 27lg -+． 解：（1）解法一：18lg 7lg 3
7
lg
214lg -+-2lg(27)2(lg7lg3)lg7lg(32)=⨯--+-⨯ lg 2lg72lg72lg3lg72lg3lg 20=+-++--=；
解法二：18
lg 7lg 3
7
lg
214lg -+-27lg14lg()lg 7lg183=-+-=18)3
7(714lg 2⨯⨯lg10==；
说明：本例体现了对数运算性质的灵活运用，运算性质常常逆用，应引起足够的重视。
（2）253lg 23lg 53
lg 3lg 9lg 243lg 2
5===； （3）2
.1lg 10lg 38lg 27lg -+=1133
2
2
23
(lg32lg 21)
lg(3)lg 23lg103232lg32lg 212lg
10
+-+-==
⨯+-． 例4．已知lg 20.3010=，lg30.4771=，求lg1.44的值。
分析：此题应注意已知条件中的真数2，3，与所求中的真数有内在联系，故应将 1.44进行恰当变形：
22121.44 1.2(3210)-==⨯⨯，然后应用对数的运算性质即可出现已知条件的形式。
解：2212
lg1.44lg1.2lg(3210)-==⨯⨯2(lg32lg 21)=+- 2(0.477120.30101)0.1582=+⨯-=．
说明：此题应强调注意已知与所求的内在联系。 例5．已知log log a a x c b =+，求x ．
分析：由于x 是真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b 的存在使变形产生困
（2）23
log a
x y
z
23log ()log a a x y z =-
23log log log a a a x y z =+-
11
2log log log 23
a a a x y z =+-．
难，故可考虑将log a c 移到等式左端，或者将b 变为对数形式。 解：（法一）由对数定义可知：b
c a a
x +=log log a c b b a a c a =⋅=⋅．
（法二）由已知移项可得b c x a a =-log log ，即b c
x
a =log ，由对数定义知：
b a
c x =，∴ b x c a =⋅．
（法三）
log b a b a =，∴log log log b a a a x c a =+log b a c a =⋅，∴ b x c a =⋅．
说明：此题有多种解法，体现了基本概念和运算性质的灵活运用，可以对于对数定义及运算性质的理解。
1．对数的运算性质：
如果 a > 0 ， a ≠ 1， M > 0 ，N > 0， 那么（1）log ()log log a a a MN M N =+；（2）log log -log a
a a M
M N N
=； （3）log log ()n a a M n M n R =∈．
证明：（性质1）设log a M p =，log a N q =， 由对数的定义可得 p
M a =，q
N a =， ∴p
q
p q
MN a a a
+=⋅=，
∴log ()a MN =p q +，
即证得log log log a a a MN M N =+．
练习：证明性质2． 说明：（1）语言表达：“积的对数 = 对数的和”……（简易表达以帮助记忆）；
（2）注意有时必须逆向运算：如 11025101010==+log log log ； （3）注意定义域： )(log )(log ))((log 5353222-+-=-- 是不成立的， )(log )(log 1021010210-=-是不成立的； （4）当心记忆错误：N log M log )MN (log a a a ⋅≠，试举反例， N l o g M l o g )N M (l o g a a a ±≠±，试举反例。
例6．（1）已知32a
=，用a 表示33log 4log 6-；（2）已知3log 2a =，35b
=，用a 、b 表示 30log 3．
解：（1）∵32a =，∴3log 2a =， ∴ log 3 4 - log 3 6 = 112log 3
2
log 33
-=-=a ． （2）∵35b
=， ∴3log 5b =， 又∵3log 2a =，∴30log 3=
()31log 2352⨯⨯()33311
log 2log 3log 5(1)22
a b =++=++． 换底公式
1．换底公式：log log log m a m N
N a
=
( a > 0 , a ≠ 1 ；0,1m m >≠)
（性质3）
设log a M p =，
由对数的定义可得 p
M a =， ∴n
np
M a =， ∴log n a M np =，
即证得log log n a a M n M =．