Lax等价定理证明

定义1：线性空间X 上的准范数定义为这空间上的一个函数1→ ：X ，满足条件：

（1）()0,00x x x x ≥=⇔=∀∈ X

（2）(),x y x y x y +≤+∀∈ X

（3）()x x x -=∀∈ X

（4）()00

lim 0,lim 0,n n n a x a x ax x a →→==∀∈∀∈ X 定义2：线性空间X 上的范数 是一个非负值函数1→ X ，满足

（1）()0,00x x x x ≥=⇔=∀∈ X

（2）(),x y x y x y +≤+∀∈ X

（3）()||,ax a x a x =∀∈∀∈ K X

定义3：当赋准范数的线性空间中的准范数是范数时，这空间叫做线性赋范空间，或称*B 空间，完备的*B 空间叫做B 空间或Banach 空间

定义4：设X Y ,都是*B 空间，称现行算子:T →X Y 是有界的，如果有常数0M ≥，使得()Tx M x x ≤∀∈ Y X X

定理1：设X,Y 是B 空间，若()T ϕ∈X Y ,，它既是单射又是满射，那么()-1T ϕ∈Y X ,

共鸣定理：设X 是B 空间，Y 是*B 空间，如果()W ϕ⊂Y X ,，使得()sup A W

Ax x ∈<∞∀∈ X ，那么存在常数M ，使得()A M A W ≤∀∈

Lax 等价定理

在数值分析中，为了求一个方程的解，往往用求一个近似方程的解去代替.例如用差分方程或有限元方程近似代替微分方程.其首要问题便是：近似方程的解是否收敛到原方程的解？若是，则称这近似格式具有收敛性.

用泛函分析的语言描述，设()T ϕ∈X Y ,，其中X,Y 是B 空间，给定y ∈Y ，求解x ∈X ，使得Tx y = （1）

首先我们应当假定，,1y x ∀∈∃∈Y X 满足（1）这是，由定理1，便有

()-1T ϕ∈Y X ,.现在来考虑（1）的近似方程.n ∀∈N ，设()n T ϕ∈X Y ,，求解n x ∈X ，使得n n T x y = （2） 当然还要假定,1n y x ∀∈∃∈Y X 满足（2），于是有()-1n T ϕ∈Y X ,

何谓n T 是T 的近似？它是指：x ∀∈X ，()0n Tx T x n -→→∞ （3） 这在数值分析中，称为近似格式具有相容性

在数值分析中，还有一个重要的概念：称近似格式具有稳定性，是指0C ∃>使得()1n T C n -≤∀∈ N （4）

Lax 等价定理：如果（3）对x ∀∈X 成立，那么为了()n x x n →→∞，其中n x 与x 分别是（2）与（1）的解，当且仅当0C ∃>，使得（4）成立.

证明：充分性.由（3）、（4）我们得

()

1110n n n n n n n x x T y T T x T Tx T x C Tx T x n ---→=-≤-≤-→→∞

必要性.y ∀∈Y ，令11,n n x T y x T y --==，便有n x x →.因此()11,n T y T y y n --→∀∈→∞Y ，由共鸣定理，得1n T - 有界