一元二次不等式的应用(-)
一元二次不等式的应用
D．{a|a>4}
CD 解析：若命题为真命题，由于 x2－2x＋5＝(x－1)2＋4 的最小值为 4，所以 x2
－2x＋5≥a2－3a 对任意实数 x 恒成立，只需 a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.所以题中 a
可以取的范围为{a|a<－1}∪{a|a>4}．
3.若产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系式是 y＝3 000＋
2x＋1
>0，即
<0，
x＋3
x＋3
1
1
∴(2x＋1)(x＋3)<0，解得－3<x<－2.∴原不等式的解集为 x－3<x<－2
.
变式训练1 解下列不等式：
1－x
(1)
≥0；
3x＋5
解
x－1
(2)
＞1.
x＋2
5
－
≤x≤1，
3
（x－1）（3x＋5）≤0，
x－1
(1)原不等式可化为
例 2 设函数 f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数 x，f(x)＜0 恒成立，求 m 的取值范围；
(2)对于 x∈[1，3]，f(x)＜－m＋5 恒成立，求 m 的取值范围.
解
(1)若 m＝0，显然－1＜0 恒成立；
m＜0，
若 m≠0，则
⇒－4＜m＜0. ∴m 的取值范围为(－4，0].
不等关系再求解．
C.{x|－1≤x≤1}
D.{x|－1：原不等式⇔
x－1≠0，
∴－1≤x＜1.
2. (多选题)若“不等式 x2－2x＋5≥a2－3a 对任意实数 x 恒成立”为假命题，则
一元二次不等式的实际应用
探究（二）：成本与收益问题
【背景材料】
某摩托车生产企业，上年度投入的成本为 1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量 为1000辆.本年度为适应市场需要，计划提高 产品档次.若每辆车投入成本增加的比例为
x(0＜x＜1)，则出厂价相应提高的比例为
0.75x，同时预计销售量增加的比例为0.6x. 已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售 量.
＝0.1x＋0.01x2， ＝0.05x＋0.005x2. 问超速行驶谁应负主要责任？
例2 一个车辆制造厂引进了一条摩 托车整车装配流水线，这条流水线生产 的摩托车数量x(辆)与创造的价值y(元) 之间有如下的关系: 若这家工厂希望在一个星期内，利用这 条流水线创收6000元以上，那么它在一 个星期内大约应该生产多少辆摩托车?
思考3：为达到上述目的，应怎样确定t 的范围？
[3，5]
理论迁移
乙超速行驶应负主要责任.
例1 汽车在行驶中由于惯性的作用，刹车 后还要继续向前滑行一段距离才能停住，这 段距离称为“刹车距离”，它是分析交通事 故的一个重要因素.在一个限速40km/h的弯道 上，甲、乙两汽车相向而行，发现情况不对 同时刹车，但还是相碰了.事发后现场测得甲 车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略 超过10m，已知甲、乙两种车型的刹车距离 s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：
思考1：你能用含x的表达式分别表示投 入的成本、出厂价和年销售量吗?
成本：1+x； 出厂价: 1.2(1+0.75x)； 年销售量: 1000(1+0.6x) .
思考2：本年度的预期年利润y与投入成 本增加的比例x的函数关系如何？
思考3：如何用不等式表示“本年度的年 利润比上年有所增加”？
一元二次不等式的解法和应用
一元二次不等式的解法和应用一元二次不等式是高中数学中一个重要的知识点，在解决实际问题中有着广泛的应用。
本文将介绍一元二次不等式的解法以及其在实际问题中的应用。
一、一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法和一元二次方程的解法有相似之处，都可以通过变形和解析法来求解。
下面将详细讲解两种解法。
1. 变形法对于一元二次不等式 ax^2 + bx + c > 0，首先要将其变形为一个解析式，然后通过求解这个解析式的值域来确定不等式的解集。
步骤如下：a. 将不等式移项，使得一元二次不等式的右边为零。
b. 判断系数a的符号，若a > 0，则可将不等式转化为对应的一元二次方程，然后求出方程的解集。
若a < 0，则需要将不等式的符号反转。
c. 根据解析式的值域，确定不等式的解集。
若解析式的取值范围大于零，则原不等式的解集为实数集；若解析式的取值范围等于零，则原不等式的解集为空集；若解析式的取值范围小于零，则原不等式的解集为空集。
2. 解析法解析法是一种通过图像和函数变化趋势来解决一元二次不等式的解法。
步骤如下：a. 将一元二次不等式化为对应的一元二次方程，然后求出方程的根。
b. 根据一元二次函数的图像和函数变化趋势，确定函数的非负区间和非正区间。
c. 根据函数的非负区间和非正区间，确定不等式的解集。
二、一元二次不等式的应用一元二次不等式在实际问题中有广泛的应用，例如：1. 优化问题：通过建立一元二次不等式模型，可以求解最大值或最小值。
对于给定资源和约束条件的情况下，可以用一元二次不等式来描述并求解最优解。
2. 区间划分问题：通过一元二次不等式的解集，可以将数轴划分成若干个区间，从而对解集进行分类和讨论。
3. 几何问题：一元二次不等式可以用来解决几何相关的问题，如求解面积最大或最小、求解两条直线的位置关系等。
4. 经济问题：一元二次不等式在经济学中有着广泛的应用，如利润最大化、成本最小化等问题的求解。
一元二次不等式的应用
一元二次不等式的应用教案：一元二次不等式的应用1. 引言这节课我们将学习一元二次不等式的应用。
不等式是数学中常见的一种表示关系的符号，它比等式更灵活，能够更精确地描述事物之间的大小关系。
一元二次不等式是指只有一个未知数，并且其最高次数为二次的不等式。
通过学习一元二次不等式的应用，我们可以更好地理解数学知识，并将其应用到实际问题中。
2. 探索一：求解一元二次不等式2.1 一元二次不等式的定义一元二次不等式是指形如ax^2+bx+c>0（<0、≥0、≤0）的不等式，其中a、b、c为实数。
2.2 求解一元二次不等式的方法通过因式分解法、配方法和求解二次方程的方法，我们可以求解一元二次不等式，并找出其满足条件的解集。
2.3 实例讲解通过实例讲解，让学生了解如何通过具体的例子去解决一元二次不等式的问题。
3. 探索二：一元二次不等式的应用3.1 几何意义通过图像分析，我们可以将一元二次不等式与几何图形相联系，进而求解相关问题。
3.2 优化问题将现实生活中的优化问题转化为一元二次不等式，并通过求解不等式得出最优解。
3.3 实例分析分析一些实际问题，并通过一元二次不等式的应用得出解答。
4. 探索三：一元二次不等式的解集表示4.1 解的表示方法我们可以使用集合符号、数轴图和数对等方式来表示一元二次不等式的解集。
4.2 解集的性质探讨一元二次不等式解集的有界性、非空性和唯一性等特点，并通过实例加深学生的理解。
5. 拓展练习提供一些拓展练习题，让学生进一步巩固和应用所学的知识。
6. 总结与小结通过这节课的学习，我们了解了一元二次不等式的定义、求解方法和应用，并掌握了一元二次不等式解集的表示方法和性质。
一元二次不等式是数学中的重要内容，它在解决实际问题中起到了重要的作用。
希望同学们通过这节课的学习，能够更好地理解和应用一元二次不等式的知识。
注：以上教案仅供参考，具体教案内容及教学活动可根据教学实际情况进行调整。
数学解一元二次不等式的方法与应用
数学解一元二次不等式的方法与应用引言：一元二次不等式是数学中常见的一种问题类型，解一元二次不等式是我们学习的数学知识内容之一。
本课将介绍解一元二次不等式的方法与应用，以帮助学生更好地理解和应用这一知识点。
第一节：一元二次不等式的基本概念与性质一元二次不等式是指含有一个未知数的二次不等式，一般形式为ax^2+bx+c>0 (或<0)。
我们首先来回顾一下一元二次不等式的基本概念和性质。
1. 概念：一元二次不等式是一个包含一个未知数的二次式，并且不等式中至少有一个系数为非零实数的不等式。
例如：x^2-3x+2>0。
2. 性质：一元二次不等式中的系数和常数项可以是实数，不等式的解是满足不等式的实数。
求解一元二次不等式的方法可以分为两种情况：一是通过图像法，二是通过代数法。
第二节：通过图像法解一元二次不等式图像法是解一元二次不等式的一种直观有效的方法，它可以通过绘制函数图像来帮助我们找到不等式的解。
1. 绘制函数图像：首先将一元二次不等式转换成一元二次函数的形式，即将不等式改写成f(x)>0 (或f(x)<0)的形式。
然后根据二次函数的图像性质，绘制出函数图像。
2. 确定解的范围：通过分析函数图像与x轴的交点和函数图像在不同区间的取值情况，确定不等式的解的范围。
3. 确定解的具体值：根据不等式的形式和解的范围，确定不等式的具体解的取值范围。
第三节：通过代数法解一元二次不等式代数法是解一元二次不等式的另一种常用的方法，它通过使用代数变量和不等式的性质来求解不等式。
1. 转化形式：首先将一元二次不等式转化成一元二次方程的形式，即将不等式的符号替换成等号。
2. 求解方程：通过求解一元二次方程的根，得到方程的解。
3. 确定解的范围：根据方程的解和不等式的形式，确定不等式的解的范围。
4. 确定解的具体值：根据不等式的形式和解的范围，确定不等式的具体解的取值范围。
第四节：一元二次不等式的应用一元二次不等式在现实生活和数学问题中都有着广泛的应用。
一元二次不等式的应用
一元二次不等式的应用哎呀呀，一元二次不等式？这对我这个小学生来说，一开始简直就像个超级大怪兽！你能想象吗？在数学的世界里，突然冒出这么个看起来很复杂的家伙。
老师在黑板上写下那些奇怪的式子，我瞪大眼睛，心里直犯嘀咕：“这到底是啥呀？”就拿买东西来说吧，假如我有20 块钱，去买笔。
一支笔的单价是x 元，商家说买两支以上每支便宜1 块钱。
那我怎么知道我能买多少支笔，才能让花的钱既不超过20 块，又能尽量多买呢？这时候一元二次不等式就派上用场啦！我同桌小明，数学可好了。
我问他：“小明，这一元二次不等式到底咋弄啊？”小明说：“别着急，你看啊，咱先设能买y 支笔。
如果买两支以下，那总价就是xy 要小于等于20；要是买两支以上，那总价就是(x - 1)y 也要小于等于20。
这不就是一元二次不等式嘛！”我听了，好像有点明白，但又好像还有点迷糊。
再比如说，学校组织活动，要租车。
一辆车能坐30 个人，租车的费用和车的数量有关系。
如果租的车太多，费用太高；租的车太少，又坐不下所有人。
这时候就得用一元二次不等式来算一算，到底租几辆才最合适，既省钱又能把大家都拉走。
还有啊，盖房子的时候。
假如一块地的面积是固定的，要盖一个长方形的房子，长和宽怎么定才能让房子的面积最大，同时又满足一些条件，比如不能超过预算啥的。
这也得靠一元二次不等式来帮忙算清楚。
你说，这一元二次不等式是不是就像个神奇的魔法棒，能帮我们解决好多生活中的难题？虽然一开始它让我头疼得要命，可一旦搞明白了，还真是挺有用的呢！我觉得啊，数学虽然有时候很难，但是只要我们认真学，多思考，多问问老师和同学，就一定能把这些难题都解决掉！。
一元二次不等式的解法与应用
一元二次不等式的解法与应用一元二次不等式是代数学中常见的一种求解问题的方法，它可以描述一个变量的取值范围。
在实际问题中，一元二次不等式的解法及其应用广泛存在于各个领域。
本文将介绍一元二次不等式的解法，并探讨其在实际应用中的具体案例。
一、一元二次不等式的解法对于形如ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0的一元二次不等式，我们可以通过以下步骤进行求解。
步骤一：化简方程首先，我们需要将一元二次不等式化简为标准形式，即将不等式的右边移动到左边，使得不等式的右边等于零。
步骤二：求解方程在化简为标准形式后，我们将不等式转化为等式，即求解ax^2+bx+c=0的方程。
通过因式分解、配方法、求根公式等方法，我们可以得到方程的根。
步骤三：确定范围在得到方程的根后，我们需要使用数轴或数表来确定解的范围。
根据方程的根的位置和曲线的走势，我们可以判断出不等式的解在数轴上的位置。
步骤四：确定不等号最后，根据方程和不等式的关系，确定不等号的方向。
如果方程的根对应的点满足不等式，那么不等号应为“≥”或“≤”；如果方程的根对应的点不满足不等式，那么不等号应为“>”或“<”。
通过以上步骤，我们可以得到一元二次不等式的解的具体范围和形式。
二、一元二次不等式的应用一元二次不等式的应用广泛存在于各个领域，如经济学、物理学、工程学等。
下面我们将介绍一些具体的应用案例。
1. 经济学应用在经济学中，一元二次不等式可以用于描述成本、收益、销售额等变量之间的关系。
例如，某公司的利润可以用一元二次不等式P(x) = -2x^2 + 30x - 50来表示，其中x表示销售量。
通过求解不等式P(x) > 0，可以确定该公司的利润为正的销售范围，从而帮助决策者制定合适的销售策略。
2. 物理学应用在物理学中，一元二次不等式可以用于描述运动过程中的问题。
例如，一个物体的运动方程可以表示为一元二次不等式h(t) = -16t^2 + vt+ h0，其中h(t)表示物体的高度，t表示时间，v为初速度，h0为初始高度。
一元二次不等式的应用教案
3．2．3一元二次不等式的应用授课类型：新授课【教学目标】1．知识与技能：巩固一元二次不等式的解法；进一步研究一元二次不等式的应用．2．过程与方法：培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想【教学重点】熟练掌握一元二次不等式的解法，初步掌握分式不等式及简单高次不等式的解法．【教学难点】分式不等式及简单高次不等式的解法的理解．【教学过程】1．引入上一小节我们讨论了一元二次不等式的解法，本小节我们进一步研究一元二次不等式的应用．2．发展探究例1：解下列不等式（1） 1<x 2－3x+3≤7 （2） （x 2+4x-5）（x 2-2x+2）>0（3） （x 2+4x-5）（x 2-4x+4）>0 （4） x 4-x 2-6≥０（5）+4-1x x >0 （6） -3+7x x ≤0 【解】答案：(1){}21|≤≤x x (2){}15|>-<x x x 或(3)),2()2,1()5,(+∞--∞ (4)),3[]3,(+∞--∞(5)),1()4,(+∞--∞ (6)]3,7(-【课堂练习1】1． 函数__ ]21,1[- ____ 2． 函数y=lg （2x 2+3x-1）的定义域为__ ),21()1,(+∞--∞ ____ 3． 函数y=lg （-x 2+5x+24）的值小于１，则x 的取值范围为___),7()2,3(+∞-- ___4．设k ∈R ， x 1 ， x 2是方程x 2－2kx+1－k 2=0的两个实数根， 则x 21+x 22的最小值为（ Ｃ ）A ． —2B ． 0C ． 1D ． 2例2．（高次不等式的解法）解下列不等式：（1）22(23)(6)0x x x x （2）22411372x x x x答案：（1）),3()1,2()3,(+∞---∞ （2）)2,1[]21,31( - 【思维点拨】解高次不等式的方法步骤：方法： 序轴标根法．步骤：① 化一边为零且让最高次数系数为正； ② 把根标在数轴上；③ 右上方向起画曲线，让曲线依次穿过标在数轴上的各个根； ④ 根据“大于0在上方，小于0在下方”写出解集． 注：① 重根问题处理方法：“奇过偶不过”．② 分式不等式转化为高次不等式求解．【课堂练习2】课本94页练习1第3．4题．例1 课本94页例12．3．课堂小结：3课后作业：课本98页习题3-2 A组第7．8题；B组第3题（选作）．【板书设计】【教后记】。
一元二次不等式的解法与应用
一元二次不等式的解法与应用一元二次不等式是数学中常见的问题之一，其解法和应用可以帮助我们解决各种实际问题。
本文将介绍一元二次不等式的解法以及如何应用这些解法解决实际问题。
一、一元二次不等式的解法解一元二次不等式的基本思路是将其转化为二次方程，并根据二次方程的性质求解。
具体而言，在解一元二次不等式时，我们可以先将不等式中的一项移项，使其整理为一个平方项与一个线性项的形式。
然后根据平方项的性质，我们可以通过求解对应的二次方程来找到不等式的解集。
举个例子来说明，假设我们要求解不等式x^2 - 4x + 3 > 0。
我们可以将其转化为二次方程x^2 - 4x + 3 = 0，并求出其根。
通过分析根的位置，我们可以得出x^2 - 4x + 3 > 0的解集为x < 1或x > 3。
除了这种基本的解法外，我们还可以利用一元二次不等式的性质进行推导和求解。
例如，根据二次函数图像的几何性质，我们可以根据一元二次不等式的系数来确定不等式的解集的范围。
二、一元二次不等式的应用一元二次不等式的应用非常广泛，它可以帮助我们解决各种实际问题。
接下来，我们将介绍一些实际问题，并利用一元二次不等式的解法进行求解。
1. 生产问题假设某公司从事产品生产，确定某一产品每天的销售量为x，销售价格为p(x)，销售成本为c(x)。
为了保证利润最大化，我们可以通过不等式p(x) - c(x) > 0来确定每天的最低销售量。
2. 函数图像问题假设我们需要绘制二次函数y = ax^2 + bx + c的图像，并且要指定函数图像在某一区间上的增减性。
我们可以通过求解不等式ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0来确定函数图像的增减性。
3. 优化问题假设我们需要在一定条件下寻找某个函数的最值。
可以通过求解函数的一元二次不等式来确定函数的极值点和取值范围。
这些只是一元二次不等式应用的一小部分例子，实际上，一元二次不等式的应用范围非常广泛。
一元二次不等式的实际应用
一元次不等式的实际应用
最大限速：40km/h. 例3：已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离(m)与 速度(km/h)的平方及汽车总质量成正比，设某辆卡 车不装货物以59km/h的速度行驶时，从刹车到停 车走了20m。如果这辆卡车装着等于车重的货物行 驶时，发现前面20m处有障碍物，这时为了能在离 障碍物5m以外处停车，最大限制速度应是多少（结 果保留整数，设卡车司机发现障碍物到踩刹车需经 过1s）？ 分析：由已知得：滑行的距离 S=k×v2×m; 20 由已知得： 解得 km = 2 59 20=k×592×m 1000 5v ( m) 刹车1s行驶的距离为 s1 =v
一元二次不等式的实际应用
3600
由已知得20-s12
5 2 v 化简得 2 v 3 0 59 18
18
作业：
P87
B组 3、4题
一元二次不等式的实际应用
例1、甲乙两辆汽车相向而行，在一个弯道上相遇， 弯道限制车速在40km/h以内，又遇突发情况，两车 相撞了。交警在现场测得甲车的刹车距离接近但未 超过12m，，乙车的刹车距离刚刚超过了10m，又 知这两辆汽车的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间 分别有以下函数关系：
2 2
s甲 0.01x 0.1x， s乙 0.005x 0.05x，
谁的车速超过了40km/h，谁就违章了。 试问：哪一辆车违章行驶？
例2、国家计划以2400元/t的价格收购某种农产品mt。 按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元 （称作税率为8个百分点，即8％）。为了减轻农民负 担，制定积极的的收购政策。根据市场规律，税率降 低x个百分点，收购量能增加2x个百分点。试确定 x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低 于原计划的78％。 分析: 调整后税率：（8-x）％ 调整后收购量：m（1+2x％） 调整后纳税：2400m（1+2x％）x（8-x）％ 调整前纳税：2400mx8％ 依题意得： 调整后纳税≥调整前纳税x78％
一元二次不等式的应用
一元二次不等式的应用一元二次不等式是数学中常见的一种不等式形式，它可以通过解析法或图像法来求解。
解一元二次不等式的过程是将不等式转化为方程式的过程，通过判别式和求根公式求得方程的解，再通过代入法验证解的范围，最终得到不等式的解集。
一元二次不等式在实际生活和数学中有很多应用，本文将探讨一些常见的应用。
1. 最值问题一元二次不等式可以用来求解最值问题。
最值问题是寻找函数的最大值或最小值。
我们以一个实际问题为例，假设某电商公司生产某款产品，成本是固定的，售价是固定的，而销售量是不断变化的。
我们可以设销售量为x，利润为y，利润与销售量之间的关系可以表示为一元二次函数。
设定利润函数为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
在这个问题中，我们可以通过求解一元二次不等式找到利润函数的最大值或最小值，从而得到销售量对应的最大利润或最小利润。
2. 区间问题一元二次不等式也可以用来解决区间问题。
在某些情况下，我们需要确定不等式中的未知数在何种范围内满足条件。
以求解一个线性函数与一个二次函数的交点为例，假设线性函数为y = kx + m，二次函数为y = ax^2 + bx + c。
我们可以通过求解一元二次不等式，找到线性函数与二次函数的交点的x值范围，从而确定两个函数在何种区间内有交点。
3. 不等式约束问题一元二次不等式还可以用来解决约束问题。
约束问题是指在一定条件下，寻找满足条件的解集。
假设我们有一个长方形，其中宽为x，长度为y，我们要求满足约束条件的长方形面积不小于某个值S。
根据长方形的面积公式S = xy，我们可以建立一个不等式约束问题，即xy ≥ S。
通过解一元二次不等式，我们可以求得长方形宽度x的约束范围，从而满足面积条件。
总结：一元二次不等式在实际生活和数学中有着广泛的应用。
本文讨论了一元二次不等式的最值问题、区间问题和约束问题的应用，但实际应用中还有许多其他问题。
通过灵活运用数学知识，我们可以将一元二次不等式应用于各种实际场景，并通过求解不等式来解决问题。
2.3.2 一元二次不等式的应用-(新教材人教版必修第一册)(45张PPT)
一元二次不等式的应用
【例2】 国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按 规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分 点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律， 税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税 率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.
[解] 法一：∵不等式x2＋2x＋a2－3>0的解集为R， ∴函数y＝x2＋2x＋a2－3的图象应在x轴上方， ∴Δ＝4－4(a2－3)<0， 解得a>2或a<－2. 法二：令y＝x2＋2x＋a2－3，要使x2＋2x＋a2－3>0的解集为R，则a 满足ymin＝a2－4>0，解得a>2或a<－2.
法三：由 x2＋2x＋a2－3>0，得 a2>－x2－2x＋3， 即 a2>－(x＋1)2＋4，要使该不等式在 R 上恒成立，必须使 a2 大于－ (x＋1)2＋4 的最大值，即 a2>4，故 a>2 或 a<－2.
1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为 一元二次不等式(组)求解．当不等式含有等号时，分母不为零．
2．对于某些恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因 为将参数分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当 然，这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到以下简 单结论：
3．不等式x2＋ax＋4＜0的解集 不是空集，则实数a的取值范围是 ________．
a＞4或a＜－4 [∵x2＋ax＋4＜ 0的解集不是空集，即不等式x2＋ax ＋4＜0有解，∴Δ＝a2－4×1×4＞0，
解得，a＞4或a＜－4.]
一元二次不等式的应用教案
2.2 一元二次不等式的应用一教学重点：1. 从实际问题中抽象出一元二次不等式的模型。
2. 围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想。
3. 分式不等式与简单的高次不等式如何根据实数运算的符号法则，把它们转化与其等价的两个或多个不等式（组）（由表示成的各因式的符号所有可能的组合决定），于是原不等式的解集就是各个不等式组的解集的并集。
同时注意分式不等式的同解变形有如下几种：（1）()()f xg x >0⇔().()f x g x >0且()0g x ≠； (2) ()()f xg x <0⇔().()f x g x <0且()0g x ≠。
(3) ()()f xg x ≤0⇔().()f x g x ≤0且()g x ≠0； （4）()()f x g x ≥0⇔().()f x g x ≥0且()g x ≠0。
解简单的高次不等式一般有两种思想，即转化法和数轴标根法，其中转化法就是应用实数乘法的运算性质，把高次不等式转化为低次不等式组。
数轴标根法的基本思路是：整理（分解）——标根——画线——选解。
二 教学难点：1.深入理解二次函数，一元二次方程与一元二次不等式的关系。
2.分式不等式与简单的高次不等式在转化为一次或二次不等式组时，每一步变形，都应该是不等式的等价变形。
在等价变形时，要注意什么时候取并集。
带等号的分式不等式，要注意分母不能为零。
由于各个不等式组的解集是本组各个不等式解集的交集，计算较烦，且容易出错，同学们一定要细心。
另外，再取交集，并集时，可以借助数轴的直观效果，这样可以避免出错。
教学过程上一小节中，我们讨论了一元二次不等式的解法，本小节我们将一起研究一元二次不等式的应用。
例1：m 为何值时，方程2(3)0x m x m +-+= 有实数解？解：方程2(3)0x m x m +-+= 有实数解，等价于： 2(3)40m m ∆=--≥；即：21090m m -+≥。
一元二次不等式的实际问题
一元二次不等式的实际问题引言一元二次不等式是高中数学中的重要知识点之一，它在解决实际问题中有着广泛的应用。
本文将通过一系列实际问题，帮助读者加深对一元二次不等式的理解，并学会在实际问题中正确应用它们。
1.水平抛体运动问题小明在体育课上进行了一次水平抛体运动实验，他从地面上抛出一个小球，小球的初速度为v(m/s)，抛出的角度为θ(弧度)。
根据物理学知识，小球在t(秒)时间内的水平位移为x(米)，竖直位移为y(米)。
现在我们来解决如下问题：问题：已知小球的初速度为v(m/s)，抛出的角度为θ(弧度)，小球在t(秒)时间内的水平位移为x(米)，竖直位移为y(米)。
求得角度θ的取值范围。
2.物体自由落体问题小红在城市的高楼上面观看烟花，她把一颗小石子自由落体地投掷出去。
已知小石子从高楼上面的高度h(米)自由落体并击中地面所需的时间为t(秒)。
现在我们来解决如下问题：问题：已知小石子从高楼上面的高度h(米)自由落体并击中地面所需的时间为t(秒)，求得高楼的高度h的取值范围。
3.小汽车行驶问题小明乘坐一辆小汽车驶出城市，已知小汽车的时速为v(k m/h)，那么行驶s(km)需要的时间为t(小时)。
现在我们来解决如下问题：问题：已知小汽车的时速为v(k m/h)，行驶s(km)需要的时间为t(小时)，求得速度v的取值范围。
4.水果价格问题在某个水果市场上，根据经济学的分析结果，当某种水果的价格为p(元/斤)时，消费者的需求量为q(斤)。
现在我们来解决如下问题：问题：已知某种水果的价格为p(元/斤)，消费者的需求量为q(斤)，求得价格p的取值范围。
结论。
一元二次不等式的应用题
一元二次不等式的应用题一元二次不等式的应用题，听起来好像跟数学教室里的黑板有点沾边，其实它可是生活中的小秘密呢。
想象一下，有一天你要买水果，正好看中了一堆橙子。
老板说，每个橙子两块钱，买十个就给你打八折，哎呀，简直划算得让人心动。
不过，你的口袋里只有十五块钱，这可就要好好算一算了。
要是你只想买几个橙子，能不能既享受打折，又不超出预算呢？这可得用到一元二次不等式了，嘿，别急，让我们一起来算算。
设定变量，假设你想买x个橙子，那么价格就是2x块钱。
要是你买十个，就会是20块钱，打八折后就是16块，想想都让人流口水。
可是你得记住，手里只有15块，不能让小钱袋失望啊。
所以，就有了不等式：2x ≤ 15。
把这个不等式简化一下，得出x ≤ 7.5，哎，这可真是个有意思的结果，不能买半个橙子，那也就是说你最多只能买七个橙子，真是妙啊。
然后再来点儿实际的，看看如果你想买的橙子再多一些，比如你想买八个。
这时候，价钱就是2×8=16块，哎呀，超出预算了！这可不行，买八个橙子可不只是一点点超预算，简直就是让人心疼。
于是，不得不承认，买七个才是最理智的选择。
生活中就是这样，很多事情都得算计好，才能不让自己为难。
生活就像一道不等式，你得找到那个平衡点，太多了就出问题，太少了也不满足。
这让我想起小时候的家长们，总是告诉我们，要会过日子，不能贪心，不能一口吃个胖子。
买水果就像是理财，有时候你买得多了，结果只会让自己空着手回家，满心失落。
你看看那些精明的顾客，总是抓住最佳时机，选择对的数量，既省钱又开心，这可不是随便谁都能做到的。
说到这里，咱们再回过头，来看看这不等式到底有什么实用的地方。
就好比在生活中，许多问题都能转化成数学题。
想要实现某个目标，得先设定好条件，就像做菜前得准备好食材一样。
你在追求梦想的时候，心里也得有数。
要是你想考个好大学，就得明确目标和规划，怎么学习，怎么安排时间，这些都是一元二次不等式的变形，懂了吗？再比如，有些人想减肥，去健身房挥汗如雨。
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一元二次不等式的应用(一)
【学习目标】
巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握掌握简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法.
【学习重点】 简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法
【学习难点】 正确串根（根轴法的使用）.
【课前预习案】
1.解不等式：.
2. 解不等式031
≥-+x x
3解不等式.
4.解不等式：(x-1)(x+2)(x-3)>0；
【课堂探究案】
探究一：分式不等式的解法
例1.解下列不等式
（1）23
+-x x <0 （2）11
2-+x x ≤1.
（3）x x 1-≥2 变式1.
（1）22-1<+x x （2）02
6
2≥--+x x x
探究二：一元高次不等式的解法
例2．解下列不等式 073
<+-x x 253
>+-x x
（1）（x+1）(x-3)(x-5)0≥ (2)()()()01313<++-x x x
变式2．解下列不等式
（1）()032<-+x x x （2）()032≥-+x x x
总结：一元高次不等式的解法：“穿针引线法”，具体步骤如下： ①将f(x)的最高次项的系数化为正数；
②将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积；
③将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过，即“奇穿偶不穿”）；
④根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集。
【课后检测案】
1.函数y =
261x x --的定义域是
2.不等式
21+-x x >1的解集是 .
3.解不等式：
112-+x x ≤1.
4.不等式21+-x x >1的解集是 .
3.解不等式
（1）(x +1)(1-x )(x -2)>0;
（2）x (x -1) 2(x +1) 3(x +2)≥0.
（3）(x -3)(x +2)(x -1) 2(x -4)<0.。