江苏省高考数学二轮复习：第讲 函数与方程思想

第19讲函数与方程思想

考试说明指出：“高考把函数与方程的思想作为思想方法的重点来考查，使用填空题考查函数与方程思想的基本运算，而在解答题中，则从更深的层次，在知识网络的交汇处，从思想方法与相关能力相综合的角度进行深入考查．”

函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．方程的思想，就是分析数学问题中各个量及其关系，建立方程或方程组、不等式或不等式组或构造方程或方程组、不等式或不等式组，通过求方程或方程组、不等式或不等式组的解的情况，使问题得以解决．

函数和方程的思想简单地说，就是学会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系，对函数和方程思想的考查，主要是考查能不能用函数和方程思想指导解题，一般情况下，凡是涉及未知数问题都可能用到函数与方程的思想．

函数与方程的思想在解题应用中主要体现在两个方面：(1) 借助有关初等函数的图象性质，解有关求值、解(证)方程(等式)或不等式，讨论参数的取值范围等问题；(2) 通过建立函数式或构造中间函数把所要研究的问题转化为相应的函数模型，由所构造的函数的性质、结论得出问题的解．

由于函数在高中数学中的举足轻重的地位，因而函数与方程的思想一直是高考要考查的重点，对基本初等函数的图象及性质要牢固掌握，另外函数与方程的思想在解析几何、立体几何、数列等知识中的广泛应用也要重视．

1. 设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.

2.函数f(x)＝ax－a＋1存在零点x0，且x0∈[0,2]，则实数a的取值范围是________．

3.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别为2，3，6，则该长方体的外接球体积为________．

4.关于x的方程sin2x＋cosx＋a＝0有实根，则实数a的取值范围是________．

【例1】若a，b为正数，且ab＝a＋b＋3，求a＋b的取值范围．

【例2】设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，且f(1)＝－a 2.

(1) 求证：函数f(x)有两个零点；

(2) 设x1，x2是函数f(x)的两个零点，求|x1－x2|的取值范围；

(3) 求证：函数f(x)的零点x1，x2至少有一个在区间(0,2)内．

【例3】如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.

(1) 求实数b的值；

(2) 求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．

【例4】已知函数f(x)＝x|x2－3|，x∈[0，m]，其中m∈R，且m>0

(1) 若m<1，求证：函数f(x)是增函数；

(2) 如果函数f(x)的值域是[0,2]，试求m的取值范围；

(3) 如果函数f(x)的值域是[0，λm2]，试求实数λ的最小值．

1. (2011·北京)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧

2x ，x ≥2，

(x －1)3，x<2，若关于x 的方程f(x)＝k 有两个不同的

实根，则实数k 的取值范围是________．

2.(2011·广东)等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________.

3.(2009·福建)若曲线f(x)＝ax 3＋lnx 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．

4.(2010·天津)设函数f(x)＝x －1

x ，对任意x ∈[1，＋∞)，f(mx)＋mf(x)<0恒成立，则实

数m 的取值范围是________．

5.(2011·辽宁) 设函数f(x)＝x ＋ax 2＋blnx ，曲线y ＝f(x)过点P(1,0)，且在P 点处的切线斜率为2.

(1) 求a ，b 的值； (2) 证明：f(x)≤2x －2.

6.(2011·全国)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．

(1) 求圆C 的方程；

(2) 若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．

(2009·广东)(本小题满分14分)已知二次函数y ＝g(x)的导函数的图象与直线y ＝2x 平行，且y ＝g(x)在x ＝－1处取得最小值m －1(m ≠0)．设函数f(x)＝g (x )x

.

(1) 若曲线y ＝f(x)上的点P 到点Q(0,2)的距离的最小值为2，求m 的值 (2) k(k ∈R )如何取值时，函数y ＝f(x)－kx 存在零点，并求出零点． 解：(1) 设g(x)＝ax 2＋bx ＋c ，则g ′(x)＝2ax ＋b ；

又g ′(x)的图象与直线y ＝2x 平行，∴ 2a ＝2，a ＝1.(1分) 又g(x)在x ＝－1取极小值，－b

2＝－1，b ＝2，

∴ g(－1)＝a －b ＋c ＝1－2＋c ＝m －1，c ＝m ；(2分) f(x)＝

g (x )x ＝x ＋m

x

＋2，设P(x 0，y 0)， 则|PQ|2＝x 20＋(y 0－2)2＝x 20＋

⎝⎛⎭⎫x 0＋m x 02＝2x 20＋m 2

x 20

＋2m ≥22m 2

＋2m ，(4分) 当且仅当2x 02＝

m 2

x 02

时，|PQ|2取最小值，即|PQ|取最小值 2. 当m>0时，22m ＋2m ＝2，∴ m ＝2－1(6分) 当m<0时，－22m ＋2m ＝2，∴ m ＝－2－1(7分) (2) 由y ＝f(x)－kx ＝(1－k)x ＋m

x ＋2＝0，

得(1－k)x 2＋2x ＋m ＝0. (*)