《抛物线的简单几何性质》导学案
3.3.2第1课时 抛物线的简单几何性质 导学案答案
3.3.2 抛物线的简单几何性质 第1课时 抛物线的简单几何性质【课前预习】知识点一向右 向左 向上 向下 x ≥0,y ∈R x ≤0,y ∈R y ≥0,x ∈R y ≤0,x ∈R x 轴 y 轴 (0,0) e=1 诊断分析(1)× (2)√ (3)√ [解析] (1)抛物线不关于原点对称. (2)抛物线只有一个焦点、一条对称轴,抛物线没有对称中心. (3)抛物线的离心率均为1.知识点二1.(2)焦点弦 x 0+p2 p2-x 0 y 0+p2 p2-y 0 2.2p 诊断分析(1)√ (2)× (3)× [解析] (1)抛物线x 2=4y ,y 2=4x 的焦点到准线的距离都是2,是相同的,离心率都是1,也相同. (2)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是2p. (3)抛物线y 2=2px (p>0)的焦半径长|PF|=x 1+p2. 【课中探究】探究点一例1 解:(1)由y 2=8x ,得p=4,变量x 的范围为x ≥0,∴该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴分别为(0,0),(2,0),直线x=-2,x 轴.(2)椭圆的方程可化为x 24+y 29=1,其短轴在x 轴上,∴抛物线的对称轴为x 轴,∴设抛物线的方程为y 2=2px 或y 2=-2px ,其中p>0.∵抛物线的焦点到顶点的距离为3,即p2=3,∴p=6,∴抛物线的标准方程为y 2=12x 或y 2=-12x ,其准线方程为x=-3或x=3.变式 解:(1)设AB 与x 轴交于点E ,则由|AB|=2得E (√3,0),∴A (√3,1).设抛物线的方程为y 2=2px (p>0),则1=2p ·√3,∴2p=√33,∴抛物线的方程为y 2=√33x.(2)由(1)知2p=√33,∴p 2=√312,∴抛物线的焦点坐标为(√312,0),准线方程为x=-√312,离心率e=1.探究点二例2 解:(1)因为直线l 的倾斜角为60°,所以其斜率k=tan 60°=√3,又F (32,0),所以直线l 的方程为y=√3(x -32).由{y 2=6x ,y =√3(x -32),消去y 得x 2-5x+94=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=5,而|AB|=|AF|+|BF|=x 1+p2+x 2+p2=x 1+x 2+p , 所以|AB|=5+3=8.(2)结合(1)知|AB|=|AF|+|BF|=x 1+p2+x 2+p2=x 1+x 2+p=x 1+x 2+3=9,所以x 1+x 2=6,于是线段AB 的中点M 的横坐标是3,又准线方程是x=-32,所以点M 到准线的距离为3+32=92.变式 AD [解析] 设直线AB 的方程为x=ty+p 2,将x=ty+p2代入y 2=2px ,得y 2-2pty-p 2=0,则y 1+y 2=2pt ,y 1y 2=-p 2,x 1+x 2=t (y 1+y 1)+p=2pt 2+p ,x 1x 2=y 12y 224p2=p24.当直线AB 与x 轴垂直时,t=0,|AB|最小,故A 中说法正确;1|AF |+1|BF |=1x 1+p 2+1x 2+p 2=x 1+x 2+px 1x 2+p 2(x 1+x 2)+p 24=2p,故B 中说法错误;以弦AB 为直径的圆的圆心为(x 1+x 22,y 1+y 22),半径为12|AB|=12(x 1+x 2+p )=pt 2+p ,圆心到准线的距离d=12(x 1+x 2)+12p=pt 2+p=12|AB|,所以圆与准线x=-p 2相切,故C 中说法错误;y 1y 2=-p 2,故D 中说法正确.故选AD .探究点三例3 (1)A (2)2√2 [解析] (1)依据抛物线的对称性,以及等边三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线y 2=4x 上,可设另外两个顶点的坐标分别为(m 24,m),(m 24,-m)(m>0),∴tan 30°=√33=mm 24,解得m=4√3,故这个等边三角形的边长为2m=8√3.故选A .(2)因为抛物线C 的方程为y 2=4√2x ,所以2p=4√2,可得p2=√2,所以焦点为F (√2,0),准线方程为x=-√2,又P 为抛物线C 上一点,且|PF|=3√2,所以点P 到准线x=-√2的距离为3√2,所以x P =3√2-√2=2√2,所以y P 2=4√2×2√2=16,所以|y P |=4,所以S △POF =12×|OF|×|y P |=12×√2×4=2√2.变式 (1)B [解析] 根据题意,可得F (1,0),准线方程为x=-1.不妨设A (x ,y )(y>0),∵|AQ|=43,∴x+1=43,∴x=13,∴A (13,2√33),∴直线AF 的方程为2√33-0=x -113-1,即y=-√3(x-1).将x=-1代入y=-√3(x-1)中,可得y=2√3,∴B (-1,2√3).将y=2√3代入y 2=4x 中,可得x=3,∴P (3,2√3).△PBF 的周长C △PBF =|FB|+|PF|+|PB|,又|FB|=√22+(2√3)2=4,|PF|=|PB|=4,∴C △PBF =12.故选B .(2)解:设点A (x 0,y 0)(x 0>0),由题意可知点B (x 0,-y 0).∵抛物线的焦点F (p2,0)是△AOB 的垂心,∴AF ⊥OB ,∴k AF ·k OB =-1,即y 0x 0-p2·(-y 0x 0)=-1,∴y 02=x 0(x 0-p 2).又y 02=2px 0,∴x 0=2p+p 2=5p2, ∴直线AB 的方程为x=5p2.。
抛物线的简单性质导学案
§2.3* 抛物线的简单性质【合作探究】1. 抛物线的焦半径：抛物线上任意一点P ),(00y x 与抛物线焦点F 的连线段，叫做抛物线的焦半径.由抛物线的定义知，焦半径|PF |的长度，等于点P ),(00y x 到抛物线准线的距离，例如： （1）抛物线)0(22>=p px y ，|PF |=00--22p px x =+（） ； 类比可知： 2. = .3.直线与抛物线的位置关系：（1）相交（ 或 个公共点）；相离（ 个公共点）；相切（ 个公共点）.（2）对于抛物线C ：)0(22>=p px y 和直线b kx y l +=:①当0=k ，即直线平行于对称轴时，直线与抛物线有 个交点.它们相 . ②当0≠k ，联立⎩⎨⎧=+=pxy bkx y 22，消去y ，得到关于x 的二次方程k 2x 2+2（km-p ）x+m 2=0（Ⅰ）若0>∆，直线与抛物线有 个交点，它们相 . （Ⅱ）若0=∆，直线与抛物线有 个交点，它们相 . （Ⅲ）若0<∆，直线与抛物线有 个交点，它们相 .（3）综上，直线与抛物线有1个交点，则它们相交（直线平行于对称轴）或相切；直线与抛物线有2个交点，则它们相交（直线不平行于对称轴）；直线与抛物线有0个交点，则它们相离（k 不存在时，直线与抛物线的位置关系如何？ ） 3. 直线与抛物线的位置关系：（1）相交（ 或 个公共点）；相离（ 个公共点）；相切（ 个公共点）.（2）对于抛物线C ：22(0)y px p =>和直线:l x my a =+①当0k =，即直线平行于对称轴时，直线与抛物线有 个 交点.它们相 . ②当0≠k ，联立22x my a y px=+=⎧⎨⎩，消去y ，得到关于x 的二次方程y 2+2mpy-2pa=0（Ⅰ）若0>∆，直线与抛物线有 个交点，它们 相 . （Ⅱ）若0=∆，直线与抛物线有 个交点，它们相 . （Ⅲ）若0<∆，直线与抛物线有 个交点，它们相 .（3）综上，直线与抛物线有1个交点，则它们相交（直线平行于对称轴）或相切；直线与抛物线有2个交点，则它们相交（直线不平行于对称轴）；直线与抛物线有0个交点，则它们相离 4．相交弦设抛物线C ：)0(22>=p px y 和直线b kx y l +=:有两交点),(),,(2211y x B y x A 相交弦长d=|AB |= = . 【自学检测】1. 抛物线x y 42=上一点P 到直线02=+x 的距离为5，则点P 到抛物线焦点F 的距离为 .2. 抛物线px y 22=与直线04=-+y ax 交于两点A ，B 。
3.3.2第1课时 抛物线的简单几何性质 导学案正文
3.3.2抛物线的简单几何性质第1课时抛物线的简单几何性质【学习目标】能类比椭圆、双曲线几何性质的研究方法得到抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质及其代数表达.◆知识点一抛物线的几何性质标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)图形焦点坐标(p2,0)(-p2,0)(0,p2)(0,-p2)准线方程x=-p2x=p2y=-p2y=p2开口方向范围对称轴顶点坐标离心率【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)抛物线关于原点对称.( )(2)抛物线只有一个焦点、一条对称轴,无对称中心. ( )(3)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.( )◆知识点二抛物线的焦半径、焦点弦与通径1.焦半径与焦点弦(1)抛物线上一点与焦点F连接的线段叫作焦半径.(2)过抛物线焦点的直线与抛物线相交,直线被抛物线所截得的线段称为抛物线的.设A(x0,y0)为抛物线上任意一点,则四种标准方程形式下的焦半径公式和焦点弦长|MN|(M(x1,y1),N(x2,y2))为标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)焦半径|AF|焦点弦长|MN|x1+x2+p-x1-x2+p y1+y2+p-y1-y2+p2.通径经过抛物线的焦点作垂直于对称轴的直线交抛物线于A,B两点,线段AB称为抛物线的通径,通径的长|AB|为.【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)抛物线x2=4y,y2=4x的焦点到准线的距离是相同的,离心率也相同.( )(2)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是p(p>0).( )(3)P(x1,y1)是抛物线y2=2px(p>0)上一点,F是抛物线的焦点,则|PF|=x1+p.( )◆探究点一抛物线的几何性质例1 (1)已知抛物线y2=8x,求出变量x的范围及该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴.(2)抛物线的顶点在原点,对称轴与椭圆9x2+4y2=36的短轴所在的直线重合,抛物线的焦点到顶点的距离为3,求抛物线的标准方程及抛物线的准线方程.变式已知等边三角形AOB的边长为2,O为坐标原点,AB⊥x轴,且点A在第一象限.(1)求以O为顶点且过点A,B的抛物线的方程;(2)求(1)中所求抛物线的焦点坐标、准线方程及离心率e.[素养小结]运用抛物线的几何性质要把握三个要点:(1)定性:由抛物线的标准方程看抛物线的开口方向,关键是看准二次项是x还是y,一次项的系数是正还是负.(2)定量:确定焦点到准线的距离p(p>0).(3)转化:抛物线上的一点到焦点的距离与到准线的距离相等,解题时适时转化可起到事半功倍的效果.◆探究点二焦点弦的性质问题例2已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线交于A,B两点.(1)若直线l的倾斜角为60°,求|AB|的值;(2)若|AB|=9,求线段AB的中点M到准线的距离.变式 (多选题)经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),则下列说法中正确的是( )A.当AB与x轴垂直时,|AB|最小B.1|AF|+1|BF|=p2C.以弦AB为直径的圆与直线x=-p2相离D.y1y2=-p2[素养小结]抛物线焦点弦长的求法:设过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),利用弦所在直线的方程(注意方程的设法)与抛物线方程联立、消元,由根与系数的关系求出x1+x2,由公式|AB|=x1+x2+p求出焦点弦长.◆探究点三抛物线几何性质的应用例3 (1)已知等边三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线y2=4x上,则这个等边三角形的边长为( )A.8√3B.4√2C.4√3D.3√2(2)已知抛物线C:y2=4√2x的焦点为F,O为坐标原点,P为抛物线C上一点,且满足|PF|=3√2,则△POF的面积为.变式 (1)以抛物线C:y2=4x的焦点F为端点的射线与C及C的准线l分别交于A,B两点,过B且平行于x轴的直线交C于点P,过A且平行于x轴的直线交l于点Q,若|AQ|=43,则△PBF的周长为( )A.16B.12C.10D.6(2)已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上不同的两点,O为坐标原点,若|OA|=|OB|,且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点,求直线AB的方程.[素养小结]利用抛物线的性质可以解决的问题:(1)对称性:解决抛物线的内接三角形问题.(2)焦点、准线:解决与抛物线的定义有关的问题.(3)范围:解决与抛物线有关的最值问题.(4)焦点:解决焦点弦问题.。
抛物线的简单几何性质教案
抛物线的简单几何性质（一）导学案【教学目标】知识与技能：了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.使学生理解并掌握抛物线的几何性质，从定义和标准方程出发，探究有关抛物线的焦半径和焦点弦的常见性质．过程与方法：从抛物线的定义和标准方程出发，结合几何分析和坐标运算，推导抛物线的性质。
培养学生分析、归纳、推理等能力．情感态度与价值观：使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线方程的关系概念的理解，解决抛物线中的弦的问题．【学法指导】结合椭圆和双曲线的几何性质，类比抛物线的性质，通过对抛物线的标准方程的讨论，进一步理解用代数方法研究几何性质的优越性，感受坐标法和数形结合的基本思想.教学重难点：1．重点：有关抛物线焦半径和焦点弦几何性质的推理过程中所应用的方法、技巧和结论．2．难点：对抛物线的几何性质和焦点弦几何性质推理和应用的方法渗透．学情分析：【知识回顾】1．抛物线的定义、标准方程。
（生口述完成）2．焦半径直线过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋p2，|BF|＝x2＋p2，3.填空（顶点在原点，焦点在坐标轴）方程，焦点，准线，开口.1.26y x=2.()1,0F-3.1y=-4.2270x y+=二、新课讲授【问题探究一】探究点一抛物线的几何性质问题1类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，说出抛物线y2＝2px (p>0)的范围、对称性、顶点、离心率.怎样用方程验证？(生通过预习，完成导学案上的表格，并小组之间互相分享结果，互相讨论)1．抛物线的几何性质（方程的方法进行验证）(生口述完成) 研究抛物线)0(22>=p px y ： （1）范围因为0>p ，由方程可知0≥x ，所以抛物线在y 轴的右侧，当x 的值增大时，||y 也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． （2）对称性以y -代y ，方程不变，所以抛物线关于x 轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． （3）顶点抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方程中，当0=y 时0=x ，因此抛物线的顶点就是坐标原点．（4）离心率抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义可知1=e例题1：【引题】已知斜率为1直线经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点.求线段AB 的长。
48.抛物线的简单几何性质导学案(原卷版)
3.3.2抛物线的简单几何性质导学案【学习目标】1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．【自主学习】知识点1抛物线的范围(1)抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心．(2) 由抛物线y 2＝2px (p >0)有⎩⎪⎨⎪⎧2px ＝y 2≥0，p ＞0，所以x ≥0.所以抛物线x 的范围为x ≥0.抛物线在y轴的右侧，当x 的值增大时，︱y ︱也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． 知识点2抛物线的对称性、准线方程 抛物线四种形式的性质如下表所示：知识点3 直线与抛物线的位置关系直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px (p >0)的交点个数决定于关于x 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝2px 解的个数，即二次方程k 2x 2＋2(kb －p )x ＋b 2＝0解的个数．当k ≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0时，直线与抛物线没有公共点．当k ＝0时，直线与抛物线的轴平行或垂直，此时直线与抛物线有1个公共点【合作探究】探究一 抛物线的性质应用例1(1)已知抛物线y 2＝8x ，求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x 的范围． (2)抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．归纳总结：练习1已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，|AB |＝23，求抛物线方程．探究二抛物线的焦半径和焦点弦问题例2(1)过抛物线y2＝8x的焦点，倾斜角为45°的直线被抛物线截得的弦长为________．(2) 直线l过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为________________．(3)过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为________________．归纳总结：练习2已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．探究三抛物线中的最值问题例3（1）设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x ＝－1的距离之和的最小值为________．（2）如图，已知抛物线C 的顶点为O (0,0)，焦点为F (0,1)．(i)求抛物线C 的方程；(ii)过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点．若直线AO ，BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M ，N 两点，求|MN |的最小值．归纳总结：练习3抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P (x ，y )为该抛物线上的动点，若点A (－1,0)，则|PF ||P A |的最小值是( ) A.12 B.22C.32D.223课后作业A 组 基础题一、选择题1．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( ) A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．82．抛物线22y x =的准线方程是（ ）A ．1y =B ．1y =-C ．18y =D ．18y =-3．抛物线y 2＝12x 截直线y ＝2x ＋1所得弦长等于( ) A.15 B ．215C.152D ．154.设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，曲线()0ky k x =>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则k = A ．12B ．1C ．32D ．25．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是( ) A.43 B.75 C.85D ．36．动圆M 与定圆22:40C x y x ++=相外切，且与直线:2l x =相切，则动圆M 的圆心(),x y 满足的方程为（ ）A ．212120y x -+=B ．212120y x +-=C ．280y x +=D ．280y x -=7．已知抛物线224(0)y ax a =>上的点0(3,)M y 到焦点的距离是5，则抛物线的方程为( ) A ．28y x =B ．212y x =C ．216y x =D ．220y x =8．已知点P 为抛物线C ：()220x py p =>上一点，且点P 到x 轴的距离比它到焦点的距离小3，则p =（ ） A ．3 B ．6C ．8D ．129.已知双曲线：的离心率为2．若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为（ ）A ．B ．C ．D ． 10．已知点(x ，y )在抛物线y 2＝4x 上，则z ＝x 2＋12y 2＋3的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．0 二、填空题11．若抛物线2:2(0)C x py p =>上的点P 到焦点的距离为8，到x 轴的距离为6，则抛物线C 的方程是_________.12．已知直线l 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点且与抛物线相交，其中一交点为(2p,2p )，则其焦点弦的长度为________．13．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．三、解答题22221(0,0)x y a b a b-=>>22:2(0)C x py p =>1C 2C 2x y =2x y 28x y =216x y =14.已知抛物线22(0)y px p =>的准线方程为1x =-. （∈）求p 的值；（∈）直线:1l y x =-交抛物线于A 、B 两点，求弦长AB .15．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∈x 轴．证明：直线AC 经过原点O .B 组 能力提升一、单选题1．已知()A 3,2，若点P 是抛物线2y 8x =上任意一点，点Q 是圆22(x 2)y 1-+=上任意一点，则PA PQ +的最小值为( ) A ．3 B ．4C ．5D ．62．如图，点F 是抛物线28y x =的焦点，点A ，B 分别在抛物线28y x =及圆22(2)16x y -+=的实线部分上运动，且AB 始终平行于x 轴，则ABF ∆的周长的取值范围是（ ）A ．(2,6)B ．(6,8)C ．(8,12)D ．(10,14)3．平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线24y x =的焦点，点A B 、在抛物线C 上，满足4OA OB ⋅=-，43FA FB -= FA FB ⋅为A ．11-B ．12-C ．13-D ．14-4．已知F 是抛物线2:2(0)C y px q =>的焦点，过点(2,1)R 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，R 为线段AB 的中点，若5FA FB +=，则直线l 的斜率为( )A ．3B ．1C ．2D ．125．已知直线l ：()(1)0y k x k =+>与抛物线2:4C y x =相交于A 、B 两点，且满足2AF BF =，则k 的值是（ ）A ．3BC D ．6．如图，设抛物线24y x =的焦点为 F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ， B ，C ，其中点 A ，B 在抛物线上，点 C 在y 轴上，则 BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（ ）A ．11BF AF -- B ．2211BF AF -- C ．11BF AF ++ D ．2211BF AF ++7．已知抛物线2:4C y x =的焦点F 和准线l ，过点F 的直线交l 于点A ，与抛物线的一个交点为B ，且3FA FB =-，则||AB =（ ）A ．23B ．43C ．323D ．1638．已知点M 是抛物线24x y =上的一动点，F 为抛物线的焦点，A 是圆C ：22(1)(4)1x y -+-=上一动点，则||||MA MF +的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．69．设点A 的坐标为，点P 在抛物线28y x =上移动，P 到直线1x =-的距离为d ，则d PA +的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．410．已知点F 是抛物线24x y =的焦点，点P 为抛物线上的任意一点，(1,2)M 为平面上点，则PM PF +的最小值为（ ）A ．3B ．2C ．4D ．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知()()1,2,1,0M N -，动点P 满足||||PM ON PN ⋅=，则动点P 的轨迹方程是（ ）A ．24y x =B ．24x y =C ．24y x =-D ．24x y =-12．已知抛物线24,y x =上一点P 到准线的距离为1d ，到直线l :43110x y -+=为2d ，则12d d +的最小值为（ ）A ．3B ．4C 5D 7二、填空题13.过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 在准线上的射影为A 1、B 1，则∈A 1FB 1＝________.14．已知点()11M ，-和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ∈B 两点．若90AMB ∠=︒，则k =________．15．已知F 是抛物线C:28y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则F N =____________．16．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心，FA 为半径的圆交l 于,B D 两点，若90ABD ∠=，且ABF ∆的面积为3的方程为__________．17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，抛物线22y px = 的焦点与2F 重合，若点P 为椭圆和抛物线的一个公共点且125cos 7PF F ∠=，则椭圆的离心率为_____．三、解答题18．已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B 、C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →. (1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．19．设A 、B 为曲线C ：24x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4． （1）求直线AB 的斜率；（2）M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM BM ⊥，求直线AB 的方程．20．已知抛物线C ；22y px =过点()1,1A ．()1求抛物线C 的方程；()2过点()3,1P -的直线与抛物线C 交于M ，N 两个不同的点(均与点A 不重合)，设直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k ⋅为定值．21．已知动点P 到点()2,0F 的距离比到直线l ：1x =-的距离大1.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,0Q 的直线与C 相交于A ，B 两点，在x 轴上是否存在点M 使得AMQ BMQ ∠=∠？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.C 组 挑战压轴题一、选择题1.己知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足PA m PB =，当m 取最大值时，点P 恰好在以A 、B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为A ．12B 1CD 12．已知圆()(221:31C x y -+-=和焦点为F 的抛物线221:8,C y x N C =是上一点，M 是2C 上，当点M 在1M 时，MF MN +取得最小值，当点M 在2M 时，MF MN -取得最大值，则12M M =A ．B ．C ．D二、多选题3．已知抛物线212x y =的焦点为F ，()11,M x y ，()22,N x y 是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ） A ．点F 的坐标为1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．若直线MN 过点F ，则12116x x =- C ．若MF NF λ=，则MN 的最小值为12 D ．若32MF NF +=，则线段MN 的中点P 到x 轴的距离为58三、填空题4.设抛物线24x y =的焦点为F ∈A 为抛物线上第一象限内一点，满足||2AF =，已知P 为抛物线准线上任一点，当||||PA PF +取得最小值时，PAF ∆的外接圆半径为______.5．已知点是抛物线：214y x =与椭圆：()222210x y b a a b+=>>的公共焦点，2F 是椭圆2C 的另一焦点，P 是抛物线1C 上的动点，当12PF PF 取得最小值时，点P 恰好在椭圆2C 上，则椭圆2C 的离心率为_______.6.已知()3,0A ，若点P 是抛物线28y x =上的任意一点，点Q 是圆()2221x y -+=上任意一点，则2PA PQ 最小值是_____7．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，直线l 与C 交于A ，B 两点，AF BF ⊥，线段AB 的中点为M ，过点M 作抛物线C 的准线的垂线，垂足为N ，则AB MN的最小值为____．三、解答题8．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点()2,0P 的直线交抛物线C 于()11,A x y 和()22,B x y 两点. （1）当124x x +=时，求直线AB 的方程； （2）若过点P 且垂直于直线AB 的直线l 与抛物线C 交于,C D 两点，记ABF 与CDF 的面积分别为12,S S ，求12S S 的最小值.。
高二数学组 抛物线的简单几何性质导学案(林祖成)
2.3.2《抛物线的简单几何性质》导学案高二数学组 林祖成编制教学目标1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质；2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题；3.培养学生分析、归纳、推理等能力.教学过程(一)情景引入抛物线在光学、物理学和建筑学等领域的应用，引出学习抛物线知识的必要性.(二)课前自主回顾1、抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的 ，直线l 叫做抛物线的 .2、抛物线的标准方程： 22y px（三）探索新知1、类比探索结合抛物线22(0)y px p =>的标准方程和图形,探索其的几何性质:(1)范围(2)对称性(3)顶点(4)离心率(5)焦半径(6)通径通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。
2、拓展探索探究p 到抛物线图象有怎样的影响 在同一个直角坐标系中画出22221,,2,4.2y x y x y x y x ====图象，并观察.结论：_______________________________________________3、形成知识特点：(请同学们归纳总结)1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线；2．____________________________________________________________；3．____________________________________________________________；4．____________________________________________________________；5．____________________________________________________________；（四）理论迁移例1.顶点在坐标原点,对称轴是x 轴,并且过点(2,M -,求它的标准方程.【变式1】顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点(2,M -,满足条件的抛物线有几条，求它的标准方程.例2.斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ,且与抛物线相交于A B 、两点,求线段AB 的长.解这题,你有什么方法呢?【变式2】（抛物线的弦点弦的性质探究）已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l ，交抛物线于1122(,)(,)A x y B x y 、两点 问题1:若l 的倾斜角α，则22||sin p AB α=问题2:焦点弦中，通径最短.问题3:求证221212,4p x x y y p ==-归纳：抛物线的焦点弦的常用性质（1）焦点弦公式：12||AB x x p =++；（2）___________________________________________；（3）___________________________________________；（4）___________________________________________；（5）___________________________________________；（五）随堂检测1.顶点在原点，对称轴是y 轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为( )A.x 2＝±3yB.y 2＝±6xC. x 2＝±12yD.y 2＝±6y2.设过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的弦为AB ，则|AB |的最小值为( ) A. 2p B.p C.2p D.无法确定3.过抛物线y 2＝8x 的焦点，倾斜角为45°的直线被抛物线截得的弦长为___.4 .直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线交于A ，B 两点，若|AB |＝8，则直线l 的方程为________________________.5.过抛物线24y x =的焦点的直线交抛物线于,A B 两点，O 为坐标原点，则OA OB ∙ 的值是( )A. 12B. 12-C. 3D. 3-（六）课堂小结、布置作业教材P72 练习1，3教材P73 A 组 2，4，6。
《2.3.2抛物线的简单几何性质》导学案(新部编)3
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《抛物线的简单几何性质》导学案学习目标:1．掌握抛物线的几何性质；2．根据几何性质确定抛物线的标准方程．学习过程:一、课前准备 复习1：准线方程为x =2的抛物线的标准方程是___________________．复习2：双曲线221169x y -=有哪些几何性质？ 二、新课导学 ※ 学习探究探究1：类比椭圆、双曲线的几何性质，抛物线又会有怎样的几何性质？ 新知：抛物线的几何性质 图形标准方程焦点(0,)2p -准线 2p y =-顶点 (0,0)(0,0)对称轴 x 轴 离心率试试：画出抛物线8y x =的图形，顶点坐标( )、焦点坐标( )、准线方程（ ）、对称轴（ ）、离心率（ ）． ※ 典型例题例1已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点(2,22)M -，求它的标准方程．变式：顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点(2,22)M -的抛物线有几条？求出它们的标准方程．小结：一般，过一点的抛物线会有两条，根据其开口方向，用待定系数法求解． 例2斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长 ．变式：过点(2,0)M 作斜率为1的直线l ，交抛物线24y x =于A ，B 两点，求AB ． 小结：求过抛物线焦点的弦长：可用弦长公式，也可利用抛物线的定义求解． ※ 动手试试练1. 求适合下列条件的抛物线的标准方程： ⑴顶点在原点，关于x 轴对称，并且经过点 (5M ，4)-；⑵顶点在原点，焦点是(0,5)F ； ⑶焦点是(0,8)F -，准线是8y =． 三、总结提升 ※ 学习小结1．抛物线的几何性质 ； 2．求过一点的抛物线方程； 3．求抛物线的弦长． ※ 知识拓展抛物线的通径：过抛物线的焦点且与对称轴垂直的直线，与抛物线相交所得的弦叫抛物线的通径．其长为2p ．※ 当堂检测(时量：5分钟 满分：10分)计分： 1．下列抛物线中，开口最大的是( )． A ．212y x =B ．2y x =C ．22y x =D ．24y x =2．顶点在原点，焦点是(0,5)F 的抛物线方程( ) ． A ．220y x = B ．220x y = C ．2120y x =D ．2120x y = 3．过抛物线24y x =的焦点作直线l ，交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则AB 等于( )．A ．10B ．8C ．6D ．4 4．抛物线2(0)y ax a =≠的准线方程是 ．5．过抛物线22y x =的焦点作直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，如果126x x +=，则AB=______________________．课后作业1．根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画出图形：⑴顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等到于6；P--．⑵顶点在原点，对称轴是y轴，并且经过点(6,3)2.M是抛物线24=上一点，F是抛物线的焦点，60y x∠=o，求FA．xFM。
高中数学《抛物线的简单几何性质》(导学案)
第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2抛物线的简单几何性质一、学习目标1．掌握抛物线的性质、焦半径、焦点弦的应用． 2．掌握直线与抛物线位置关系的判断． 【重点难点】1．会用抛物线的性质解决与抛物线相关的综合问题．(重点)2．直线与抛物线的位置关系的应用．(难点) 二、学习过程 【问题导思】类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以讨论抛物线的哪些几何性质？ 【提示】 范围、对称性、顶点、离心率． 【导入新课】标准方程y 2＝2px (p ＞0) y 2＝－2px (p ＞0) x 2＝2py(p ＞0)x 2＝－2py(p ＞0)图形性质焦点 (p2，0) (－p2，0) (0，p2)(0，－p2)准线x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R________________对称轴 ____________顶点 ______ 离心率 ______ 开口方向向右 向左向上向下特征：1.2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的,为1. 【典型例题】例1. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆x 29＋y 216＝1短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为5，求抛物线的标准方程．例2 斜率为1的直线l 经过抛物线24y x 的焦点F ,且与抛物线相交于A,B 两点,求线段AB 的长.例3 求过点P(0,1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程．【变式拓展】1.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4，求该抛物线的方程并指出焦点坐标与准线方程．2.直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C有：(1)一个公共点；(2)两个公共点；(3)没有公共点．3.求顶点在原点，焦点在x轴上且截直线2x－y＋1＝0所得弦长为15的抛物线方程．三、总结反思（1）本节课我们学习了抛物线的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义. （2）了解了研究抛物线的焦半径，焦点弦和通径这对我们解决抛物线中的相关问题有很大的帮助.（3）在对曲线的问题的处理过程中，我们更多的是从方程的角度来挖掘题目中的条件，认识并熟练掌握数与形的联系.在本节课中，我们运用了数形结合，待定系数法来求解抛物线方程，在解题过程中，准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想.求抛物线弦长问题的方法：(1)一般弦长公式|AB|＝|x1－x2|·1＋k2＝|y1－y2|·1＋1k2.(2)焦点弦长设AB是抛物线y2＝2px(p＞0)的一条过焦点F的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长：|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p.即求抛物线的焦点弦长，通常是利用焦半径，把点点距转化为点线距(点到准线的距离)解决，这体现了抛物线的特殊性以及求抛物线焦点弦的便捷特点．四、随堂检测1.抛物线x2=-8y的通径为线段AB,O为抛物线的顶点,则AB长是( )A.2B.4C.8D.12.(2015·兰州高二检测)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,那么|AB|= ( )A.6B.8C.9D.103.(2015·阜新高二检测)已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,点P为C的准线上一点,则△ABP的面积为( )A.18B.24C.36D.484.已知过抛物线y2=6x焦点的弦长为12,则该弦所在直线的倾斜角是( )A.错误!未找到引用源。
《抛物线的几何性质》 导学案
《抛物线的几何性质》导学案一、学习目标1、掌握抛物线的定义、标准方程及其简单几何性质。
2、能够运用抛物线的几何性质解决相关的问题。
3、通过对抛物线几何性质的探究，提高观察、分析和解决问题的能力。
二、学习重点1、抛物线的几何性质，如开口方向、对称轴、顶点、焦点、准线等。
2、抛物线几何性质的应用。
三、学习难点1、抛物线几何性质的推导和理解。
2、运用抛物线的几何性质解决综合问题。
四、知识回顾1、抛物线的定义：平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。
2、抛物线的标准方程：焦点在 x 轴正半轴上：＼（y^2 ＝ 2px （p ＞ 0)＼），焦点坐标\（F(＼frac{p}｛2}， 0)＼），准线方程\（x ＝＼frac{p}｛2}＼）。
焦点在 x 轴负半轴上：＼（y^2 ＝－2px （p ＞ 0)＼），焦点坐标\（F(＼frac{p}｛2}， 0)＼），准线方程\（x ＝＼frac{p}｛2}＼）。
焦点在 y 轴正半轴上：＼（x^2 ＝ 2py （p ＞ 0)＼），焦点坐标\（F(0, ＼frac{p}｛2}）＼），准线方程\（y ＝＼frac{p}｛2}＼）。
焦点在 y 轴负半轴上：＼（x^2 ＝－2py （p ＞ 0)＼），焦点坐标\（F(0, ＼frac{p}｛2}）＼），准线方程\（y ＝＼frac{p}｛2}＼）。
五、新课讲解（一）抛物线的范围以抛物线\（y^2 ＝ 2px （p ＞ 0)＼）为例，因为\（y^2 ＼geq 0\），所以\（2px ＼geq 0\），又因为\（p ＞ 0\），所以\（x ＼geq 0\），即抛物线在\（x\）轴的右侧。
同理，对于抛物线\（y^2 ＝－2px （p ＞ 0)＼），＼（x ＼leq 0\），抛物线在\（x\）轴的左侧。
对于抛物线\（x^2 ＝ 2py （p ＞ 0)＼），＼（y ＼geq 0\），抛物线在\（y\）轴的上方。
抛物线的简单几何性质导学案
2.3.2抛物线的简单几何性质导学案一、学习目标1．能叙述抛物线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点和离心率等。
学习过程：在直角坐标系中，顶点在原点，轴与坐标轴重合的共有四种情况，因此抛物线的方程相应也有四种形式，它们都叫抛物线的标准方程。
二、新知探究：以22(0)y px p =>为例来研究（类比椭圆和双曲线用两种方法进行探究） 1、对称性：方法一：观察抛物线：22(0)y px p =>关于____对称，有______条对称轴。
方法二：通过方程证明：2范围：方法一：观察抛物线：22(0)y px p =>的图像在____________， 方法二：通过方程证明：所以抛物线的范围是 。
3、顶点：方法一：观察抛物线：22(0)y px p => 顶点方法二：抛物线22(0)y px p =>令____0==x y 得：所以顶点是___；双曲线有__个顶点，椭圆___个顶点。
4、离心率： ，抛物线22(0)y px p =>的离心率e______。
5、思考：抛物线标准方程中的p 对抛物线开口的影响.在同一坐标系中画出下列抛物线的草图：（1）x y 212= （2）2;y x = （3）22;y x = （4）24.y x = 说明抛物线的开口大小取决于___________________________________。
三、填写下表（用类比的方法）：设焦点到准线的距离为P(P>0)1、已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，通过点)22,2(-，且以坐标轴为轴，求该抛物线的标准方程.(类比椭圆或双曲线标准方程求法)2、探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处。
已知灯口圆的直径为60cm，灯深40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置。
3、P是抛物线24y x=上的点，若P到准线的距离是5，求P点的坐标。
4. P是抛物线24y x=上的点，若P到准线的距离是5，求P点的坐标。
抛物线简单几何性质导学案.doc
例1已知抛物线关于X轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(2.-2V2),求它的标准方程.变式：顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点M(2,-2血)的抛物线有几条？求出它们的标准方程.例2斜率为1的直线/经过抛物线v2 = 4x的焦点F,且与抛物线相交于A , B两点, 求线段AB的长. 变式：过点M(2,0)作斜率为1的直线/,交抛物线V2 = 4x于A, B两点、,求嗣| .练1.求适合下列条件的抛物线的标准方程：⑴顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点M(5, -4)；⑵顶点在原点，焦点是F(0,5)；⑶焦点是F(0,-8),准线是y = 8.1.下列抛物线中，开口最大的是().A. v2B. )* = xC. v2 = 2.xD. )，= 4x2.顶点在原点，焦点是F(0,5)的抛物线方程().A. v2 = 2O.vB. .V2 = 20vC. v2 = —-vD. = — v- 20 20 -3.过抛物线严=力的焦点作直线/,交抛物线于A , B两点，若线段AB中点的横坐标为3,则|AB| 等于().A. 10B. 8C. 6D. 44.抛物线v = ax2 (a K 0)的准线方程是 ______ .5.过抛物线y2 = 2x的焦点作直线交抛物线于A(.¥,, y,), B(A:.V2)两点,如果“+x：=6,则§ 2. 4. 2抛物线的简单几何性质（1）一、课前准备复习1：准线方程为x=2的抛物线的标准方程是 ________ .复习2：双曲线有哪些几何性质?二、新课导学学习探究探究1:类比椭圆、双曲线的几何性质，抛物线又会有怎样的几何性质?新知：抛物线的几何性质图形标准方程焦点准线顶点对称轴离心率试试：画出抛物线y = 8x2的图形，顶点坐标（）、焦点坐标（）、准线方程__________ 、对称轴________离心率_______ .典型例题练1.直线y = x-2与抛物线y2=2x相交于A, B两点，求证：0A10B,2.垂直于兀轴的直线交抛物线/=4x于A, B两点，且|AB| = 4希，求直线的方程.1.过抛物线y2=2px（p>0）焦点的直线交抛物线于A, B两点，则|佔|的最小值为（）.A.彳B. pC. 2pD.无法确定2.抛物线y2=10x的焦点到准线的距离是（）.A. -B. 5C. —D. 102 23.过点（0,1）且与抛物线/=4x只有一个公共点的直线有（）.A. 1条B. 2条C. 3条D. 0条4.若直线兀-丁 = 2与抛物线/=4x交于A、B两点,则线段的中点坐标是___________ ・5.抛物线上一点（-5,2厉）到焦点F（x,0）的距离是6,则抛物线的标准方程是______________ .6.已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线与直线y = 2x + l交于P , Q两点，\PQ\ = y/15f求抛物线的方程._______________ -6、根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画出图形：⑴顶点在原点，对称轴是兀轴，并且顶点与焦点的距离等到于6；⑵顶点在原点，对称轴是y轴，并且经过点P(-6,-3).7、M是抛物线护=4无上一点，F是抛物线的焦点，60°,求|则.学习过程复习1：以原点为顶点，坐标轴为对称轴，且过点戶(-2,3)的抛物线的方程为( ).A. y2 = —xB. y2 = ——x = ——yC. x2 = — yD. y2 = -—x ^x2 = — y4 4 3 3 2 3复习2：已知抛物线y2=-2px(p>0)的焦点恰好是椭圆—+ ^ = 1的左焦点，贝ljp=_16 12二、新课导学学习探究探究1：抛物线y2=2px(p>0)±一点的横坐标为6,这点到焦点距离为10,则:这点到准线的距离为 ___________ ;焦点到准线的距离为_________ ;抛物线方程 ___________________ ;这点的坐标是 ______________ ;此抛物线过焦点的最短的弦长为____________ •典型例题例1过抛物线焦点F的直线交抛物线于4, 3两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证：直线DB平行于抛物线的对称轴.例2已知抛物线的方程y2=4x f直线/过定点P(-2,l),斜率为比比为何值时，直线/与抛物线/=4x：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？。
抛物线几何性质导学案
§2.4.2抛物线的简单几何性质（导学案）学习目标：1．能叙述抛物线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点和离心率等。
2．能用抛物线的简单几何性质解决一些简单问题。
3．能在对抛物线几何性质的讨论中，体会数形结合的思想与转化。
学习重点：抛物线的简单几何性质及初步运用。
学习难点：抛物线的简单几何性质及初步运用。
预学案1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做_______．定点F叫做抛物线的_______，定直线l叫做抛物线的_______．2．抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程相同点：(1)_______________；(2)____________；(3)________________，垂足与焦点在对称轴上关于_____对称.探究案探究点一、求抛物线标准方程例1.已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点且开口向右，并且经过点)3M，2,4(求它的标准方程，并画出其大致图形．变式1：已知抛物线的顶点在坐标原点，并且经过点)2M，求它的标准方程，并画,2(-2出其大致图形．例2、已知A在平行于y轴的直线L上，且L与x轴的交点为（4,0），动点P 满足,平行于求P点的轨迹方程，并说明轨迹形状。
AP⊥轴，且OPOAx变式2、已知抛物线的顶点在坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上的一点A的横坐标为2，且16FA,求此抛物线的方程。
.=OA探究点二、抛物线性质的应用例3、已知正三角形AOB 的顶点A,B 在抛物线x y 62=上，O 是坐标原点，求三角形AOB 的边长。
变式3：垂直于x 轴的直线与抛物线x y 42=交于A,B 两点，且|AB|=34，求直线AB 的方程。
我的收获你在这堂课学到了什么？训练案1.抛物线y 2=10x 的焦点到准线的距离是( )A.2.5B.5C.7.5D.102.已知原点为顶点，x 轴为对称轴的抛物线的焦点在直线2x-4y+11=0上，则此抛物线的方程是( )A.y2=11xB.y2=-11xC.y2=22xD.y2=-22x3.以抛物线y2=2px(p＞0)的焦半径｜PF｜为直径的圆与y轴位置关系为( ）A.相交B.相离C.相切D.不确定4．经过抛物线y2=2px(p＞0)的所有焦点弦中，弦长的最小值为( )A.pB.2pC.4pD.不确定5.若顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y=2x+1所得的弦长为15，则此抛物线的方程是 .6.圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的圆的方程是 .。
《2.4.2 抛物线的简单几何性质(1)》导学案1
《抛物线的简单几何性质(1)》导学案学习目标1．掌握抛物线的几何性质；2．根据几何性质确定抛物线的标准方程．学习重难点重点：掌握抛物线的几何性质；难点：根据几何性质确定抛物线的标准方程．学习过程问题：类比椭圆、双曲线的几何性质，抛物线又会有怎样的几何性质？新知：抛物线的几何性质试试：画出抛物线8y x =的图形，顶点坐标( )、焦点坐标( )、准线方程______、对称轴______、离心率e =_____合作探究例1已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点(2,M -，求它的标准方程．小结：一般，过一点的抛物线会有两条，根据其开口方向，用待定系数法求解． 例2斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长 ．变式：过点(2,0)M 作斜率为1的直线l ，交抛物线24y x =于A ，B 两点，求AB ．小结：求过抛物线焦点的弦长，可用弦长公式求解，也可利用抛物线的定义求解．目标检测1．抛物线2y ax =的准线方程是2y = ， 则a 的值为( ) A 、18 B 、18- C 、8 D 、-8 2．过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于()11,y x A ，()22,y x B 两点，如果621=+x x ，那么||AB =( )A 、10B 、8C 、6D 、4 3．已知直线y kx k =-及抛物线22y px =(0p >)则( ) A ．直线与抛物线有一个公共点 B ．直线与抛物线有两个公共点C ．直线与抛物线有一个或两个公共点D ．直线与抛物线可能没公共点4．已知抛物线22(0)y px p =->的焦点恰好是椭圆2211612x y +=的左焦点，则p =______。
《2.4.2 抛物线的简单几何性质》导学案(新部编)3
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《2.4.2 抛物线的简单几何性质》导学案3【学习目标】1.记住抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质。
2.能根据抛物线的方程对抛物线几何性质进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形。
3.学会抛物线的简单几何性质并会在实际问题中简单运用。
【学习重点】抛物线的简单几何性质并会在实际问题中简单运用。
【学习流程】一、独学1．根据抛物线的标准方程总结：抛物线的几何性质。
比较椭圆、双曲线以及抛物线离心率，指出它们的异同。
2. 已知抛物线关于坐标轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过(2M ，，求它的标准方程。
思考： 本题与课本例题有何异同？3.（1）我们把“抛物线上任意一点A 与抛物线焦点F 的连线段”，叫做抛物线的焦半径； “过焦点的直线割抛物线所成的相交弦”叫做抛物线的焦点弦， 当y ²=2px （p ＞0）时，你能算出此时焦半径和焦点弦的长度吗？135的直线，被抛（2）.抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为0物线截得的弦长为8，试求抛物线的方程。
思考：如何求两个图像的交点？4.（1）在抛物线y2＝2px(p＞0)中，通过焦点且垂直于x轴的直线与抛物线两交点之间的线段叫做抛物线的通径，你能求出它的长度吗？（2）若抛物线通径的长为8，顶点在坐标原点且以x轴为对称轴时，你能求出它的方程吗？5.当k为何值时，直线y=kx+k-2与抛物线y²=4x有两个公共点？仅有一个公共点？无公共点？6. 已知抛物线y2＝6x，过点P(4，1)引一弦，使它恰在点P被平分，求这条弦所在的直线方程．二、对学以预习和独学的问题为切入点，重点解决预习和独学中的问题，进行小对子间的检测，交换思考总结方法和规律。
三、群学在预习、独学和对学的学习成果基础上，进而达到可以运用知识点解决问题，并进行方法和规律的总结。
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抛物线的简单几何性质（2）导学案
教学目标
1、掌握抛物线的几何性质；
2、抛物线与直线的关系。
学习过程
一、课前准备复习1：以原点为顶点，坐标轴为对称轴，且过点)32(，-P 的抛物线的方程为（ ） A 、x y 492= B 、x y 492-=或y x 3
42-= C 、243x y = D 、x y 292-=或y x 342= 复习2：已知抛物线)0(22
>-=p px y 的焦点恰好是椭圆112162
2=+y x 的左焦点，则=p
二、新课导学
★学习探究
探究：抛物线)0(22
>=p px y 上一点的横坐标为6，这点到焦点距离为10，则：
（1）这点到准线的距离为 ；
（2）焦点到准线的距离为 ；
（3）抛物线方程 ；
（4）这点的坐标是 ；
（5）此抛物线过焦点的最短的弦长为 ；
★典型例题
例1 过抛物线焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，通过点A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D ，求证：直线DB 平行于抛物线的对称轴。
例2（理） 已知抛物线的方程x y 42
=，直线l 过定点)12(，
-P ，斜率为k ，k 为何值时，直线l 与抛物线x y 42=：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？
小结：（1）直线与抛物线的位置关系：相离、相交、相切；（2）直线与抛物线只有一个公共点时，它们可能相切，也可能相交。
★动手试一试
练习1 直线2-=x y 与抛物线x y 22
=相较于A 、B 两点，求证：OB OA ⊥
练习2 垂直于x 轴的直线交抛物线x y 42=于A 、B 两点，且34||=AB ，求直线AB 的方程。
三、总结提升
★学习小结
1、抛物线的几何性质；
2、抛物线与直线的关系。
★知识拓展
过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的直线交抛物线于M 、N 两点，则NF
MF 11+为 定值，其值为p
2。
四、巩固练习
A 组
1、过抛物线)0(22>=p px y 焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，则|AB|的最小值为（ ）
A ．2p
B ．p
C ．p 2
D ．无法确定 2、抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是（ ）
A ．25
B ．5
C ．2
15 D ．10 3、过点)10(，P 且与抛物线x y 42=只有一个公共点的直线有（ ）
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．0条
4、若直线2=-y x 与抛物线x y 42=交于A 、B 两点，则线段AB 的中点坐标是
B 组
1、求过)11(，-A ，
且与抛物线22
+=x y 有一个公共点的直线方程。
2、在抛物线x y 42=上求一点P ，使得点P 到直线3+=x y 的距离最短。
3、已知抛物线2
742
++=x x y C ：，过C 上一点M ，且与M 处的切线垂直的直线称为C 在点M 的法线。
若C 在点M 的法线的斜率为21-，求点M 的坐标)(00y x ，。
五、课后作业
1、已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线与直线12+=x y 交于Q P 、两点，15||=PQ ，求抛物线的方程。
2、从抛物线)0(22>=p px y 上各点向x 轴作垂线段，求垂线段中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线。