2019年浙江省高中数学竞赛试卷

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2019年浙江省中考数学奥赛试题试卷附解析

2019年浙江省中考数学奥赛试题试卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．如图，EB 为半圆O 的直径，点A 在EB 的延长线上，AD 切半圆O 于点D ，BC ⊥AD 于点C ，AB ＝2，半圆O 的半径为2，则BC 的长为（）A ．2B ．1C ．1.5D ．0.52．把抛物线y=x 2＋bx ＋c 的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x 2－3x ＋5,则有（）A ．b=3,c=7B ．b=-9,c=-15C ．b=3,c=3D ．b=-9,c=213．下列关于二次函数2132y x =-+与213()2y x =-- 的图象关系说法错误的是（） A ．开口方向、大小相同 B ．顶点相同C ．可以相互平移得到D ．对称轴不同4．下列图形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（）A ．平行四边形B ．正方形C ．正三角形D ．线段AB 5．如图，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC 、CD 、DA 运动至点A 停止，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则△ABC 的面积是（）94x yO P D CA ．10B ．16C ．18D ．20 6．不等式组31413(3)024x x +<⎧⎪⎨+-<⎪⎩的最大整数解是（） A ．0 B ．-1 C ．-2 D ．17．在一个暗箱里放有a 个除颜色外其他完全相同的球，这a 个球中只有3个红球. 每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱. 通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出a 大约是（）A ． 12B ． 9C ． 4D ． 38．c b a 、、是△ABC 的三边，且bc ac ab c b a ++=++222，那么△ABC 的形状是（）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 9．已知a ＜0，若－3a n ·a 3的值大于零，则n 的值只能是（） A ．n 为奇数B ．n 为偶数C ．n 为正整数D ．n 为整数 10．已知3a b -=-，2c d +=，则()()b c a d +--的值为（） A ．-1B ．-5C ． 5D ． 1 11．一个数的立方根是它本身，则这个数是（）A ．0B ．1，0C ．1，-1D ．１，－1或0 二、填空题12．如图是一口直径AB 为4米，深BC 为2米的圆柱形养蛙池，小青蛙们晚上经常坐在池底中心O 观赏月亮，则它们看见月亮的最大视角∠COD= 度，（不考虑青蛙的身高）． 13．我们在语文课《桃花源记》中学过“初极狭，才通人，复行数十步，豁然开朗”，是因为．14．如图，PA 是⊙O 的切线，切点为A ， PA=23，∠APO=30°，则⊙O 的半径长为．15．一个钢筋三角架长分别为20cm 、50 cm 、60 cm ，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30 cm 和50 cm 的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为两边，则不同的载法有种．解答题(19~22每题5分，23~24每题6分，25~26每题7分，共46分)16．在半径为5厘米的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8厘米，•另一条弦长为6厘米，则两弦之间的距离为________厘米．17．如图，AB 是半圆O 的直径，AC = AD ，OC =2，∠CAB= 30°，则点O 到CD 的距离OE= ．18．如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，要使四边形ABCD 为平行四边形，则应添加的条件是 . (添加一个条件即可)19．平行四边形的周长为30，两邻边的差为5，则其较长边是________．20．如图，飞机要从A 地飞往B 地, 因受大风影响, 一开始就偏离航线(AB)18°(即∠A=18°)，飞到了C 地，已知∠ABC=10°，现在飞机要达到B 地需以的角飞行(即∠BCD 的度数). 21．列车中途受阻，停车 10 min ，再启动后速度提高到原来的 1. 5 倍，这样行驶了 20 km ，正好将耽误的时间补上. 如果设列车原来的速度是 x(km/h)，那么根据题意，可得方程．22．若22(3)16x m x +-+是完全平方式，则m 的值等于．23．164的立方根是，()29-的平方根是，-5是的平方根． 24．计算：(1)22222(43)3(2)a b ab a b ab ---+= ； (2) 22(32)5(1)5m mn ---+- 三、解答题25．如图所示，一根 4m 的竹竿斜靠在墙上．(1)如果竹竿与地面 60°角，那么竹竿下湍离墙角有多远？(2)如果竹竿上端顺墙下滑到高度为2. 3 m 处停止，那么此时竹竿与地面所成的锐角的大小是多少？26．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，•每个小格的顶点叫做格点．以格点为顶点分别按下列要求画图：(1）在图甲中，画出一个平行四边形，使其面积为6；(2）在图乙中，画出一个梯形，使其面积为6．27．已知一次函数的图象经过A(-2，-3)，B(1，3)两点．(1)求这个函数的解析式；(2)试判断点P(-1，1)是否在这个一次函数的图象上.28．计算：322(3)a a -÷= ．29．如图所示，已知△ABC ≌△DCB ，其中AB=DC ，试说明∠ABD=∠ACD 的理由．30．一家奶制品厂现有鲜奶9 t ，若将这批鲜奶制成酸奶销售，则加工l t 鲜奶可获利1200元；若制成奶粉销售，则加工1 t 鲜奶可获利2000元．该厂的生产能力是：若专门生产酸奶，则每天可用去鲜奶3 t ，若专门生产奶粉，则每天可能用去l t ，由于受人员和设备的限制，酸奶和奶粉两种产品不可能同时生产，为了保证产品的质量，这批鲜奶必须在不超过4天内加工完毕．假如你是厂长，你将如何设计生产方案，才能使工厂获利最大，最大利润是多少?【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．B2．A3．B4．A5．A6．C7．A8．D9．B10．C11．D二、填空题12．9013．盲区减少14．215．216．7厘米或1厘米17．18．略19．1020．28°21．2020101.560x x -=22． 7 或一123．14，9±，5 24．(1)221112a b ab - (2)611mn m --+三、解答题25．(1)如图，AB= 4 , ∠B =60° ,∠ACB=90°,01cos602BC AB ==,∴BC=2 m (2)如图， 2.3A C '=,4A B ''=,∴ 2.3sin 4A B C ''∠=,∴35559o A B C '''''∠≈26．解：图形略，答案不惟一．27．(1)21y x =+ (2)点P(-1，1)不在这个一次函数的图象上28．49a 29．略30．用2．5天生产酸奶，用1．5天生产奶粉，即方案三可获最大利润为l2000元，且不浪费．。

浙江省杭州市2019届高考数学命题比赛模拟试题6及参考答案

浙江省杭州市2019届高考数学命题比赛模拟试题6试卷命题双向细目表2019年高考模拟试卷数学卷考试时间 120分钟满分150分命题报告一、命题特色：（1）本模拟试卷严格按照浙题序考查内容分值难易程度 1 复数及复数模的运算 5 容易题 2 充要关系的判定 5 容易题 3 数列的基本性质5 容易题 4 线面垂直、线面平行的判定 5 中档题 5 线性规划问题的求解5 中档题 6空间中的点、线、面的位置关系，同时考查空间想象能力和逻辑推理能力 5中档题 7 组合计数在求解概率问题中的应用 5 中档题 8 函数性质以及方程零点问题 5 较难题 9 基本不等式、函数的性质5难题 10分段函数、三次函数的图像和性质，不等式恒成立和不等式的存在性问题 5难题 11 函数的周期性 6 中档题 12 三角函数性质6 中档题 13 利用三视图求几何体的体积和表面积 4 中档题 14 直线与圆 4 中档题 15 等比数列4 较难题 16 平面向量与三角函数 14 容易题 17 解三角形15 中档题 18 三角恒等变换、余弦定理、三角形的面积 15 中档题 19数列的递推公式和等比数列的求和公式以及累乘法的应用 15 较难题 20 线线垂直的判定，考查线面角 15 较难题 21 椭圆的标准方程与几何性质、直线方程 15 较难题 22导数在研究函数性质中的应用15 较难题江省高考信息进行命题，遵循浙江省高考试题命制的特点；（2）试卷注重考查学生对基础知识、基本方法和基本技能的掌握情况，侧重对通性通法的考查；（3）注重在知识点的交汇处命题，侧重于学生数学学科素养的考查。

二、好题展示：第10题将分段函数、三次函数的图像和性质，不等式恒成立与不等式的存在性问题交汇在一起，考查考生的综合处理能力，考查的核心素养是数学抽象和数学运算；第13题以全新的视角考查了三视图的知识，对考生的空间想象能力要求较高，考查形式新颖，考查的核心素养是数学运算；第22题是考查导数判断函数单调性，函数的最值与零点，不等式的证明等，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查函数与方程思想、化归和转化思想、数形结合思想等，考查的核心素养是数学运算与逻辑推理能力，试题短小精悍，但思维量大，值得考生深思熟虑，符合浙江省高考特色。

浙江省杭州市2019届高考数学命题比赛模拟试题10及参考答案

浙江省杭州市2019届高考数学命题比赛模拟试题10 2019年高考模拟试卷数学卷命题双向细目表说明1、本试卷的命题方向和命题意图主要从以下几点为出发点：（1）强化主干知识，强化知识之间的交叉，渗透和综合：基础知识全面考，重点知识重点考，注意信息的重组及知识网络的交叉点。

（2）淡化特殊技巧，强调数学思想方法。

考查与数学知识联系的基本方法、解决数学问题的科学方法。

（3）深化能力立意，突出考察能力与素质，对知识的考察侧重于理解和运用。

淡化繁琐、强调能力，提倡学生用简洁方法得出结论。

（4）控制难度. “易︰中︰难=3︰5︰2” .（5）新增知识考查力度及所占分数比例可略超课时比例。

基础题象“会考”，压轴题似“竞赛”.2、试卷结构与2018年样卷保持一致（1）题型结构为， 10道选择、7道填空、5道解答的结构；（2）赋分设计为，选择每题4分、填空题单空体每题4分，多空题每题6分，解答题共74分；（3）考查的内容，注重考查高中数学的主干知识：函数与导数，三角函数和解三角形，立体几何，解析几何，数列等。

3、立足基础，突出主干命题把重点放在高中数学课程中最基础、最核心的内容上，充分关注考生在学习数学和应用数学解决问题中必须掌握的核心观念、思想方法、基本概念和常用技能。

对基础知识的考查主要集中在小题上，具体知识点分布在集合、向量、直线与圆、数列、函数图像、函数性质、线性规划、三视图、三角函数、圆锥曲线性质、空间角等内容上，而且小题的考查直接了当，大部分是直接考查单一知识点，试卷对中学数学的核心内容和基本能力，特别是对高中数学的主干知识进行较为全面地考查。

注重了知识之间的内在联系，重点内容重点考，没有片面追求知识及基本思想、方法的覆盖面，反映了新课程的理念。

4、试题难度适中，层次分明试卷在三种题型中体现出明显的层次感，选择题、填空题、解答题，层层递进。

试卷的入口题和每种题型的入口题较好的把握了难度。

试卷对较难的解答题利用分步给分的设计方法，在化解难度的同时，又合理区分不同层次的考生。

浙江省杭州市2019届高考数学命题比赛模拟试题5及参考答案

浙江省杭州市2019届高考数学命题比赛模拟试题5本试卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共6页，选择题部分1-3页，非选择题部分3-7页。

满分150分，考试时间120分钟。

考生注意：1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。

2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上作答一律无效。

参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式24πS R =()()()P A B P A P B +=+球的体积公式34π3V R = 如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径)()()(B P A P AB P =棱柱的体积公式 V Sh =如果事件A 在一次试验中发生的概率是p 棱锥的体积公式 13V Sh = 那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：棱台的体积公式：()(1)(01,2)k kn k n n P k C P P k n -=-=L ，，， 13V h =（2211S S S S ++）选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【原创】1．已知A ⊆B ，A ⊆C ，B ＝{2，0，1，8}，C ＝{1，9，3，8}，则A 可以是（） A ．{1，8}B ．{2，3}C ．{0}D ．{9}（命题意图：考查集合含义及运算）【原创】2. 复数z ＝（m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（命题意图：考查复数概念及复数的运算）【原创】3. 已知πcos(-)+sin =6αα354，则7sin(+π)6α的值是（）A ．－532 B ． 532 C ．－54 D ．54（命题意图：考查诱导公式及三角运算）【原创】4．等比数列{}n a 中，10a >，则“14a a <”是“35a a <”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件（命题意图：考查充要条件、等价命题转化）【原创】5. 若x ，y 满足约束条件，则y x z 3+=的取值范围是（）A ．[0，9]B ．[0，5]C ．[9，)+∞D ．[5，)+∞（命题意图：考查线性规划最值问题）【原创】6．函数()()()1g x x f x '=-()（） A ． B ． C. D ．（命题意图：考查函数的图像及导数的应用）【改编】7.已知随机变量ξi 满足P （ξi ＝0）＝p i ，P （ξi ＝1）＝1﹣p i ，且0＜p i，i ＝1，2．若E （ξ1）＜E （ξ2），则（） A ．p 1＜p 2，且D （ξ1）＜D （ξ2） B ．p 1＞p 2，且D （ξ1）＞D （ξ2） C ．p 1＜p 2，且D （ξ1）＞D （ξ2） D ．p 1＞p 2，且D （ξ1）＜D （ξ2）（命题意图：考查期望与方差概念）【改编】8. 设椭圆（a ＞b ＞0）的一个焦点F （2，0）点A （﹣2，1）为椭圆OOOO1（第6题图）E 内一点，若椭圆E 上存在一点P ，使得|PA |+|PF |＝8，则椭圆E 的离心率的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．（命题意图：考查椭圆的几何性质）【改编】9．如图，已知正四棱锥P ABCD -的各棱长均相等，M 是AB 上的动点（不包括端点），N 是AD 的中点，分别记二面角P MN C --，P AB C --，P MD C --为,,αβγ则（）A ． γαβ<<B ．αγβ<< C. αβγ<< D ．βαγ<<（命题意图：考查二面角的求法）【改编】10．已知函数2()f x x ax b =++，,m n 满足m n <且()f m n =，()f n m =，则当m x n<<时，（）A ．()f x x m n +<+B ．()f x x m n +>+C ．()0f x x -<D ．()0f x x ->（命题意图：考查函数的性质）非选择题部分（共110分）二、填空题（本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共32分。

2019年重庆市学考选考浙江省高中数学竞赛预赛试题与解答

2019年“中南传媒湖南新教材杯”重庆市高中数学竞赛暨全国高中数学联赛（重庆赛区）预赛试题参考答案一、填空题(每小题8分，共64分)1.设A 为三元集合（三个不同实数组成的集合），集合{|,,}B x y x y A x y =+∈≠，若222{log 6,log 10,log 15}B =，则集合A =________. 答案：22{1,log 3,log 5}提示：设222{log ,log ,log }A a b c =，其中0.a b c <<<则6,10,15.ab bc ad ===解得2,3,5a b c ===，从而22{1,log 3,log 5}A =。

2.函数的最小值为，最大值为，则________.答案：提示：设 ,则且，∴ .，令， . 令得，，， ∴ ，，∴.3. ________. 答案：提示：.4.已知向量，，满足，且，若为，的夹角，则 ________. 答案：提示：∵ ∴ ∴ ∵ ∴又∵ ∴ ∴.5.已知复数，，使得为纯虚数，，，则的最小值是________.1提示：设，则，由已知∴∴ ∴ ∴ 。

当12321,,(1)2z z i z i ===+时，最小值能取到。

6.已知正四面体可容纳10个半径为1的小球，则正四面体棱长的最小值为________. 答案：提示：当正四面体棱长最小时，设棱长为，此时，一、二、三层分别有1、3、6个小球，且相邻小球两两相切，注意到重心分四面体的高为，所以正四面体的高, 得7. 设()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数，对任意0x >有4()f x x >-，4(())3f f x x+=，则(8)f = . 答案：72提示：由题意存在00x >使0()3f x =。

又因()f x 是(0,)+∞上的单调函数，这样的00x >是唯一的，再由004(())3f f x x +=得00044()3x f x x x=+=+解得04x =或01x =-（舍）。

2019学年浙江省高中数学竞赛

2019学年浙江省高中数学竞赛一、填空题：本大题共10个小题，每小题8分，共80分.1. 在多项式103)2()1(+-x x 的展开式中6x 的系数为2. 已知5log )35(log 172+=-a a ，则实数a=3. 设()b ax x x f ++=2在[]1,0中两个实数根，则b a 22-的取值范围为4. 设R y x ∈,，且1)sin(sin sin cos cos cos sin 222222=+-+-y x y x y x x x ，则x -y= 5. .已知两个命题，命题P ：函数())0(log >=x x x f a 单调递增；命题q ：函数)(1)(2R x ax x x g ∈++=.若q p ∨为真命题，q p ∧为假命题，则实数a 的取值范围为6. 设S 是⎪⎭⎫ ⎝⎛85,0中所有有理数的集合，对简分数()1,,=∈q p S p q ，定义函数()32,1=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x f p q p q f 则在S 中根的个数为 7. 已知动点P ，M ，N 分别在x 轴上，圆()()12122=-+-y x 和圆()()34322=-+-y x 上，则PN PM +的最小值8. 已知棱长为1的正四面体ABC P -,PC 的中点为D ，动点E 在线段AD 上，则直线BE 与平面ABC 所成的角的取值范围为9. 已知平面向量→a ，→b ，→c ，满足1=→a ，2=→b ，3=→c ，10<<λ，若0=⋅→→c b ，则→→→---c b a )1(λλ所有取不到值的集合为10. 已知()⎩⎨⎧≥-<-=0,10,22x x x x x f ，方程()()04212122=*---+-+a x x f x x x f 有三个根321x x x <<.若)(21223x x x x -=-，则实数a=二、解答题：本大题共5个小题，满分120分，将答案填在答题纸上11. 设.,2,1,)(316)(,32)(2121 =+=+=+n x f x x f x x f n n 对每个n ，求x x f n 3)(=的实数解。

2019浙江卷数学(解析版)

2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学参考公式：选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}101B =-,,，则U A B =I ð（）A. {}1-B. {}0,1C. {}1,2,3-D. {}1,0,1,3-【答案】A 【解析】【分析】本题借根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.【详解】={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-I 【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误2.渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（）A. B. 1C.D. 2【答案】C 【解析】【分析】本题根据双曲线的渐近线方程可求得1a b ==，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.【详解】因为双曲线的渐近线为0x y ±=，所以==1a b，则c =，双曲线的离心率ce a==【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.3.若实数,x y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值是（）A. 1-B. 1C. 10D. 12【答案】C 【解析】【分析】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(-1,1),(1,-1),(2,2)为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数=3+2z x y 经过平面区域的点(2,2)时，=3+2z x y 取最大值max 322210z =⨯+⨯=.【点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.4.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（）A. 158B. 162C. 182D. 32【答案】B 【解析】【分析】本题首先根据三视图，还原得到几何体—棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积.常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.【详解】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为264633616222++⎛⎫⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭. 【点睛】易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算. 5.若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当0, 0a >b >时，2a b ab +≥，则当4a b +≤时，有24ab a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.6.在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且0)a ≠的图象可能是（） A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】本题通过讨论a 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当01a <<时，函数xy a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1xy a =过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性.7.设01a <<，则随机变量X 的分布列是：则当a 在()0,1内增大时（） A. ()D X 增大 B. ()D X 减小C. ()D X 先增大后减小D. ()D X 先减小后增大【答案】D 【解析】【分析】研究方差随a 变化增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数a 表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为a 的二次函数，二测函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查. 【详解】方法1：由分布列得1()3aE X +=，则 2222111111211()01333333926a a a D X a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大.方法2：则()222221(1)222213()()03399924a a a a D X E X E X a ⎡⎤+-+⎛⎫=-=++-==-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 故选D.【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式.8.设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（）A. ,βγαγ<<B.,βαβγ<<C.,βαγα<< D. ,αβγβ<<【答案】B 【解析】【分析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.【详解】方法1：如图G 为AC 中点，V 在底面ABC 的投影为O ，则P 在底面投影D 在线段AO 上，过D 作DE 垂直AE ，易得//PE VG ，过P 作//PF AC 交VG 于F ，过D 作//DH AC ，交BG 于H ，则,,BPF PBD PED α=∠β=∠γ=∠，则cos cos PF EG DH BDPB PB PB PBα===<=β，即αβ>，tan tan PD PDED BDγ=>=β，即y >β，综上所述，答案为B.方法2：由最小角定理βα<，记V AB C --的平面角为γ'（显然γ'=γ）由最大角定理β<γ'=γ，故选B.法2：（特殊位置）取V ABC -为正四面体，P 为VA 中点，易得cos sin ,sin sin 6633α=⇒α=β=γ=，故选B. 【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.9.已知,a b R ∈，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（） A. 1,0a b <-< B. 1,0a b <-> C. 1,0a b >-> D. 1,0a b >-<【答案】C 【解析】【分析】当0x <时，()(1)y f x ax b x ax b a x b =--=--=--最多一个零点；当0x …时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．【详解】当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，得1bx a=-；()y f x ax b =--最多一个零点；当0x …时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-， 2(1)y x a x '=-+，当10a +…，即1a -…时，0y '…，()y f x ax b =--在[0，)+∞上递增，()y f x ax b =--最多一个零点．不合题意；当10a +>，即1a <-时，令0y '>得[1x a ∈+，)+∞，函数递增，令0y '<得[0x ∈，1)a +，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点⇔函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0，)+∞上有2个零点，如右图：∴01b a <-且3211(1)(1)(1)032b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩，解得0b <，10a ->，31(1)6b a >-+．故选：C ．【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及,a b 两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底..10.设,a b R ∈，数列{}n a 中，21,n n n a a a a b +==+，N n *∈ ,则（）A. 当101,102b a => B. 当101,104b a => C. 当102,10b a =-> D. 当104,10b a =->【答案】A 【解析】【分析】本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想的考查.本题从确定不动点出发，通过研究选项得解.【详解】选项B：不动点满足221142x x x⎛⎫-+=-=⎪⎝⎭时，如图，若1110,,22na a a⎛⎫=∈<⎪⎝⎭，排除如图，若a不动点12则12na=选项C：不动点满足22192024x x x⎛⎫--=--=⎪⎝⎭，不动点为ax12-，令2a=，则210na=<，排除选项D：不动点满足221174024x x x⎛⎫--=--=⎪⎝⎭，不动点17122x=±，令17122a=±，则171102na=<，排除.选项A：证明：当12b=时，2222132431113117,,12224216a a a a a a=+≥=+≥=+≥≥，处理一：可依次迭代到10a；处理二：当4n≥时，221112n n na a a+=+≥≥，则117117171161616log2log log2nn n na a a-++>⇒>则12117(4)16nna n-+⎛⎫≥≥⎪⎝⎭，则626410217164646311114710161616216a⨯⎛⎫⎛⎫≥=+=++⨯+⋯⋯>++>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选A【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a的可能取值，利用“排除法”求解.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11.复数11z i=+（i 为虚数单位），则||z =________.【答案】2【解析】【分析】本题先计算z ，而后求其模.或直接利用模的性质计算. 容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查.【详解】1|||1|2z i ===+. 【点睛】本题考查了复数模的运算，属于简单题.12.已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆相切于点(2,1)A --，则m =_____，r =______.【答案】 (1). 2m =- (2). r =【解析】【分析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线AC 的斜率，进一步得到其方程，将(0,)m 代入后求得m ，计算得解.【详解】可知11:1(2)22AC k AC y x =-⇒+=-+，把(0,)m 代入得2m =-，此时||r AC ===【点睛】：解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.13.在二项式9)x 的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.【答案】 (1). (2). 5 【解析】【分析】本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二项展开式的通项入手，根据要求，考察x 的幂指数，使问题得解.【详解】9(2)x +的通项为919(2)(0,1,29)rr r r T C x r -+==L 可得常数项为0919(2)162T C ==，因系数为有理数，1,3,5,7,9r =，有246810T , T , T , T , T 共5个项【点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确.14.在V ABC 中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =____；cos ABD ∠=________.【答案】 (1). 1225 (2). 7210【解析】【分析】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.通过引入CD x =，在BDC ∆、ABD ∆中应用正弦定理，建立方程，进而得解.. 【详解】在ABD ∆中，正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而34,4AB ADB π=∠=,22AC AB BC 5=+=，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以122BD =. 72cos cos()coscos sinsin 4410ABD BDC BAC BAC BAC ππ∠=∠-∠=∠+∠=【点睛】解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.15.已知椭圆22195x y+=的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，OF为半径的圆上，则直线PF的斜率是_______.【答案】15【解析】【分析】结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示考点圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.【详解】方法1：由题意可知||=|2OF OM|=c=，由中位线定理可得12||4PF OM==，设(,)P x y可得22(2)16x y-+=，联立方程22195x y+=可解得321,22x x=-=（舍），点P在椭圆上且在x轴的上方，求得315,2P⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，所以1521512PFk==方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知|2OF|=|OM|=c=，由中位线定理可得12||4PF OM==，即342p pa ex x-=⇒=-求得315,2P ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，所以1521512PF k ==.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.16.已知a R ∈，函数3()f x ax x =-，若存在t R ∈，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是____. 【答案】max 43a = 【解析】【分析】本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究()2(2)()23642f t f t a t t +-=++-入手，令2364[1,)m t t =++∈+∞，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.【详解】使得()()222(2)()2(2)(2))223642f t f t a t t t t a t t +-=•++++-=++-，使得令2364[1,)m t t =++∈+∞，则原不等式转化为存在11,|1|3m am ≥-≤，由折线函数，如图只需113a -≤，即43a ≤，即a 的最大值是43【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.17.已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r的最小值是________；最大值是_______.【答案】 (1). 0 (2). 25【解析】【分析】本题主要考查平面向量的应用，题目难度较大.从引入“基向量”入手，简化模的表现形式，利用转化与化归思想将问题逐步简化. 【详解】()()12345613562456AB BC CD DA AC BD AB AD λ+λ+λ+λ+λ+λ=λ-λ+λ-λ+λ-λ+λ+λu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v要使123456AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v的最小，只需要135562460λ-λ+λ-λ=λ-λ+λ+λ=，此时只需要取1234561,1,1,1,1,1λ=λ=-λ=λ=λ=λ= 此时123456min0AB BC CD DA AC BDλ+λ+λ+λ+λ+λ=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v等号成立当且仅当1356,,λ-λλ-λ均非负或者均非正，并且2456,,λ-λλ+λ均非负或者均非正。

【优质模拟题】浙江省杭州市2019年高考选考命题比赛数学试题含答案 (7)

试卷命题双向细目表说明：题型及考点分布按照《2019考试说明》参考样卷。

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。

2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。

参考公式：若事件A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+ 若事件A ，B 相互独立，则()()()P AB P A P B = 若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()C (1)(0,1,2,,)k k n kn n P k p p k n -=-=台体的体积公式121()3V S S h =其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高柱体的体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高球的表面积公式 24S R =π球的体积公式343V R =π其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. （原创）已知集合{}1,3,4A =，{}2,4B =，{}1,2,5C =，则()AB C =（）{}.2A {}.1,2B {}.1,2,4C {}.1,2,4,5D（命题意图：考察集合的关系与集合的运算，属容易题）【预设难度系数】0.852. （原创）若2z i =+，则23izz =-（） .1A .1B - .C i .D i -（命题意图：考察复数的概念及运算，属容易题）【预设难度系数】0.853. （改编自2017浙江镇海中学模拟卷二）已知抛物线2:2C y x =-，则其准线方程为（）1.2A x =1.2B x =- 1.8C y = 1.8D y =- （命题意图：考察抛物线的简单几何性质，属容易题）【预设难度系数】0.84. （原创）设l 是平面α外的一条直线，m 是平面α内的一条直线，则“m l ⊥”是“α⊥l ”的（） .A 充要条件 .B 充分不必要条件.C 必要不充分条件 .D 既不充分又不必要条件（命题意图：考察空间线面的位置关系，充分条件，必要条件，属容易题）【预设难度系数】0.85. （原创）随机变量X 的取值为0，1，2，若()105P X ==，()1E X =，则()D X =（）1.5A2.5B 5C 5D （命题意图：考察离散型随机变量的均值与方差问题，属容易题）【预设难度系数】0.856. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）1.3A π+2.3B π+ 1.23C π+ 2.23D π+ （命题意图：考察三视图，能画出直观图，求几何体的体积，属中档题）【预设难度系数】0.77. （改编自网络）函数()(1cos )sin f x x x =-在[],ππ-上的图像大致为（）（命题意图：考察函数的图像，属中档题）【预设难度系数】0.658. （改编自2017浙江测试卷）在三棱锥D ABC -中，记二面角C AB D --的平面角为θ，直线DA 与平面ABC 所成的角为1θ，直线DA 与BC 所成的角为2θ，则（）1.A θθ≥ 1.B θθ≤2.C θθ≥ 2.D θθ≤（命题意图：考察立体几何线线角、线面角问题，属中档偏难题）【预设难度系数】0.559. （改编自镇海中学交流卷）已知2a b c ===，且0a b ⋅=，()()0a c b c -⋅-≤，则a b c ++（） .25A-有最小值 .2B +.52C+有最小值，最大值.1D -有最小值（命题意图：考察平面向量的综合应用，属较难题）【预设难度系数】0.5510. 已知函数()23,1,2, 1.x x x x x xf x -+≤+>⎧=⎨⎩设a R ∈，若关于x 的不等式()2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（）47.,216A ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 4739.,1616B ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ .C ⎡⎤-⎣⎦ 39.16D ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（命题意图：考察分段函数的应用及不等式恒成立问题，属较难题）【预设难度系数】0.5非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

2019年高中数学竞赛试题及答案及答案

高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号填在答题卡的相应位置．）1．集合{0,4,}A a =，4{1,}B a =，若{0,1,2,4,16}A B ⋃=，则a 的值为A ．0B ．1C ．2D ．2．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能．．．是．①长方形；②正方形；③圆；④菱形. 其中正确的是 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 3．设0.50.320.5,log 0.4,cos3a b c π-===，则A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b c a <<4. 平面上三条直线210,10,0x y x x ky -+=-=-=，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的值为A . 1B . 2C . 0或2D . 0，1或2 5．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到()cos 2g x x =的图像，则只要将()f x 的图像A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度6. 在棱长为1的正四面体1234A A A A 中，记12(,1,2,3,4,)i j i j a A A A A i j i j =⋅=≠，则i j a 不同取值的个数为A ．6B ．5C ．3D ．2二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．请把答案填在答题卡相应题的横线上．） 7．已知)1,(-=m a ，)2,1(-=b ，若)()(b a b a -⊥+，则m = .8．如图，执行右图的程序框图，输出的T= . 9. 已知奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，则不等式0)()1(<⋅-x f x 的解集为．10.求值：=+250sin 3170cos 1 ． 11．对任意实数y x ,，函数)(x f 都满足等式)(2)()(22y f x f y x f +=+，且0)1(≠f ，则（第5题图）（第8题图）3侧视图正视图2222=)2011(f .12.在坐标平面内，对任意非零实数m ，不在抛物线()()22132y mx m x m =++-+上但在直线1y x =-+ 上的点的坐标为 .答题卡一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）7． 8． 9． 10． 11． 12．三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 13.（本小题满分12分）为预防(若疫苗有效已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组的概率是0.375. （1）求x 的值；（2）现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个，问应在C 组中抽取多少个？（3）已知465≥y ,25≥z ,求该疫苗不能通过测试的概率.已知函数x x x f 2sin )12(cos 2)(2++=π．（1）求)(x f 的最小正周期及单调增区间；（2）若),0(,1)(παα∈=f ，求α的值． 15．（本题满分13分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，21===AA BC AC ，︒=∠90ACB ，G F E ,,分别是AB AA AC ,,1的中点．（1）求证：//11C B 平面EFG ；（2）求证：1AC FG ⊥；（3）求三棱锥EFG B -1的体积.ACBB 1A 1C 1FGE已知函数t t x x x f 32)(22+--=.当∈x ),[∞+t 时，记)(x f 的最小值为)(t q . (1)求)(t q 的表达式；(2)是否存在0<t ，使得)1()(tq t q =？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由.已知圆22:228810M x y x y +---=和直线:90l x y +-=，点C 在圆M 上，过直线l 上一点A 作MAC ∆.（1）当点A 的横坐标为4且45=∠MAC 时，求直线AC 的方程；（2）求存在点C 使得45=∠MAC 成立的点A 的横坐标的取值范围.18．（本题满分14分）在区间D 上，若函数)(x g y =为增函数，而函数)(1x g xy =为减函数，则称函数)(x g y =为区间D 上的“弱增”函数．已知函数()1f x =-．（1）判断函数()f x 在区间(0,1]上是否为“弱增”函数，并说明理由；（2）设[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠，证明21211()()2f x f x x x -<-；（3）当[]0,1x ∈时，不等式xax +≥-111恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题：C B A D D C二、填空题：7. 2± 8．29 9. ),2()1,0()2,(+∞--∞10.3 11．2201112. 31(,),(1,0),(3,4)22-- 三、解答题：13. （本题满分12分）解：（1）因为在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组的概率0.375，所以375.0200090=+x ， ………………2分即660x =. ………………3分（2）C 组样本个数为y ＋z ＝2000－（673＋77＋660＋90）＝500， ………………4分现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个，则应在C 组中抽取个数为360500902000⨯=个. ………………7分（3）设事件“疫苗不能通过测试”为事件M.由（2）知 500y z +=，且,y z N ∈,所以C 组的测试结果中疫苗有效与无效的可能的情况有：（465，35）、（466，34）、（467，33）、……（475，25）共11个. ……………… 9分由于疫苗有效的概率小于90%时认为测试没有通过，所以疫苗不能通过测试时，必须有9.02000660673<++y， …………………10分即1800660673<++y ，解得467<y ，所以事件M 包含的基本事件有：（465，35）、（466，34）共2个. …………………11分所以112)(=M P ，故该疫苗不能通过测试的概率为211. …………………12分14. （本小题满分12分）解：x x x f 2sin )62cos(1)(+++=π…………………1分x x x 2sin 6sin2sin 6cos 2cos 1+-+=ππx x 2sin 212cos 231++= ………………… 2分 1)32sin(++=πx . …………………4分（1）)(x f 的最小正周期为ππ==22T ； …………………5分又由]22,22[32πππππ+-∈+k k x ， …………………6分得)](12,125[Z k k k x ∈+-∈ππππ， …………………7分从而)(x f 的单调增区间为)](12,125[Z k k k ∈+-ππππ． …………………8分（2）由11)32sin()(=++=πααf 得0)32sin(=+πα， …………………9分所以ππαk =+32，62ππα-=k )(Z k ∈． …………………10分又因为),0(πα∈，所以3πα=或65π． …………………12分15. （本题满分13分）解：（1）因为E G 、分别是AC AB 、的中点，所以BC GE //；……1分又BC C B //11，所以GE C B //11； …………2分又⊆GE 平面EFG ，⊄11C B 平面EFG ，所以//11C B 平面EFG ． …………3分（2）直三棱柱111C B A ABC -中，因为︒=∠90ACB ，所以⊥BC 平面C C AA 11； ……………4分又BC GE //，所以⊥GE 平面C C AA 11，即1AC GE ⊥； ……………5分又因为21==AA AC ，所以四边形11A ACC 是正方形，即11AC C A ⊥； ……………6分又F E ,分别是1,AA AC 的中点，所以C A EF 1//，从而有1AC EF ⊥， ……………7分由E GE EF =⋂，所以⊥1AC 平面EFG ，即1AC FG ⊥． ……………8分（3）因为//11C B 平面EFG ，所以111EFC G EFG C EFG B V V V ---==． ……………10分由于⊥GE 平面C C AA 11，所以GE S V EFC EFC G ⋅=∆-1131，且121==BC GE ．…………11分又由于2321114111111=---=---=∆∆∆∆ECC FC A AEF A ACC EFC S S S S S 正方形，……………12分所以21123313111=⋅⋅=⋅=∆-GE S V EFC EFC G ，即211=-EFG B V ． ……………13分16. （本题满分13分）解：（1）t t x x x f 32)(22+--=13)1(22-+--=t t x ． ……………1分①当1≥t 时，)(x f 在∈x ),[∞+t 时为增函数，所以)(x f 在∈x ),[∞+t 时的最小值为t t f t q ==)()(；……………3分②当1<t 时，13)1()(2-+-==t t f t q ； ……………5分综上所述，2(1)()31(1)t t q t t t t ≥⎧=⎨-+-<⎩． ……………6分ACBB 1A 1C 1FGE（2）由（1）知，当0<t 时，13)(2-+-=t t t q ，所以当0<t 时，131)1(2-+-=tt tq ． ……………7分由)1()(t q t q =得：1311322-+-=-+-tt t t ， ……………8分即013334=-+-t t t ， ……………9分整理得0)13)(1(22=+--t t t ， ……………11分解得：1±=t 或253±=t . ……………12分又因为0<t ，所以1-=t .即存在1-=t ，使得)1()(tq t q =成立. ……………13分17. （本题满分14分）解：（1）圆M 的方程可化为：2217(2)(2)2x y -+-=，所以圆心M （2，2），半径r=2. ……1分由于点A 的横坐标为4，所以点A 的坐标为（4，5），即AM =……………2分若直线AC 的斜率不存在，很显然直线AM 与AC 夹角不是45，不合题意，故直线AC 的斜率一定存在，可设AC 直线的斜率为k ，则AC 的直线方程为5(4)y k x -=-，即540kx y k -+-=. ……………3分由于45=∠MAC 所以M 到直线AC 的距离为226||22==AM d ，此时r d <，即这样的点C 存在. ……………4分2=，2=，解得15 5k k =-=或. ……………5分所以所求直线AC 的方程为0255=-+y x 或0215=+-y x . ……………6分 (2)当r AM 2||=时，过点A 的圆M 的两条切线成直角，从而存在圆上的点C （切点）使得45=∠MAC . ……………7分设点A 的坐标为),(y x ，则有⎪⎩⎪⎨⎧=-+=⋅=-+-09172342)2()2(22y x y x ， ……………8分解得⎩⎨⎧==63y x 或⎩⎨⎧==36y x . ……………9分记点)6,3(为P ，点)3,6(为Q ，显然当点A 在线段PQ 上时，过A 的圆的两条切线成钝角，从而必存在圆上的一点C 使得45=∠MAC ；……当点A 在线段PQ 的延长线或反向延长线上时，过A 的圆的两条切线成锐角，从而必不存在圆上的点C 使得45=∠MAC ， …………所以满足条件的点A 为线段PQ 上的点，即满足条件的点的横坐标取值范围是.……14分18．（本题满分14分）解：（1）由()1f x =-可以看出，在区间(0,1]上，()f x 为增函数. ………………1分又11()(1f x x x ===3分显然)(1x f x在区间(0,1]∴ ()f x 在区间(0,1]为“弱增”函数. ………………4分（2）21()()f x f x -===.…6分[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠,∴111≥+x ，112≥+x ，21121>+++x x ，即2>，………………8分21()()f x f x ∴-2112x x <-. ………………9分（3）当0x =时,不等式xax +≥-111显然成立. ………………10分“当(]0,1x ∈时，不等式xax +≥-111恒成立”等价于“ 当(]0,1x ∈时，不等式)111(1xx a +-≤即)(1x f x a ≤恒成立” . ………………11分也就等价于:“ 当(]0,1x ∈时， min )](1[x f xa ≤成立” . ………………12分由(1)知1()f x x 在区间(0,1]上为减函数, 所以有221)1()](1[min -==f x f x . ……………13分 ∴221-≤a ，即221-≤a 时，不等式xax +≥-111对[]0,1x ∈恒成立. ……………14分。

2019年浙江省高中数学竞赛试题参考解答与评分标准

2019年浙江省高中数学竞赛试题参考解答与评分标准说明：本试卷分为A 卷和B 卷：A 卷由本试卷的2２题组成，即10道选择题，7道填空题、3道解答题和2道附加题；B 卷由本试卷的前20题组成，即10道选择题，7道填空题和3道解答题。

一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）1. 已知53[,]42ππθ∈ D ） A ．2sin θ B. 2sin θ- C. 2cos θ- D. 2cos θ解答：因为53[,]42ππθ∈cos sin cos sin θθθθ--+ 2c o s θ=。

正确答案为D 。

2．如果复数()()21a i i ++的模为4，则实数a 的值为（ C ）A. 2B.C. 2±D. ±42a =⇒=±。

正确答案为C 。

3. 设A ，B 为两个互不相同的集合，命题P ：x A B ∈⋂，命题q ：x A ∈或x B ∈，则p 是q 的（ B ）A. 充分且必要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 非充分且非必要条件解答：P 是q 的充分非必要条件。

正确答案为B 。

4. 过椭圆2212x y +=的右焦点2F 作倾斜角为45弦AB ，则AB 为（ C ）A.B. C. 3 D. 解答：椭圆的右焦点为（1，0），则弦AB 为1,y x =-代入椭圆方程得21243400,33x x x x AB -=⇒==⇒==。

正确答案为C 。

5. 函数150()51xxx f x x -⎧-≥=⎨-<⎩，则该函数为（ A ）A. 单调增加函数、奇函数B. 单调递减函数、偶函数C. 单调增加函数、偶函数D. 单调递减函数、奇函数解答：由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。

正确答案为A 。

6. 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（ A ）正视图侧视图俯视图（圆和正方形）A. 4+52πB. 4+32πC. 4+2π D. 4+π解答：该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分（2π），所以该几何体的体积为52213422πππ⨯⨯+-=+。

浙江省2019年高中数学竞赛模拟试题及答案解析

浙江省2019年高中数学竞赛模拟试题及答案解析一、选择题1、在中，“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：由正弦定理可得，在中，“”则，则，由倍角公式可得，可得，反之也成立，所以在中，“”是“”的充分必要条件，故选C.考点：正弦定理与倍角公式.2、若集合，，，则集合（）A． B．C． D．【答案】D【解析】依题意，，．由，知；，知或．所以，或，即．故选D；3、若函数（，且）的值域为，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】当时，函数的值域为，当时，，即时，，且时恒成立．∴，的取值范围为．故选A；4、如图，在四面体中，已知两两互相垂直，且．则在该四面体表面上与点距离为的点形成的曲线段的总长度为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】如图，设 (在上，在上，在上)．由，，知，，．∴在面内与点距离为的点形成的曲线段(图中弧) 长为．同理，在面内与点距离为的点形成的曲线段长为．同理，在面内与点距离为的点形成的曲线段长为．同理，在面内与点距离为的点形成的曲线段长为．所以，该四面体表面上与点距离为的点形成的曲线段的总长度为．故选B．点睛：想象出在每个截面上的弧线是一个个圆弧，找到相应的圆弧的圆心角，和半径，弧长就求出来了；5、已知函数，则关于的不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】令，则函数为奇函数且在实数上为增函教，不等式转化为故选D．6、记为三个数中的最小数，若二次函数有零点，则的最大值为（）A．2 B． C． D．1【答案】B【解析】可以不妨设，因为，所以，故所以，，所以（当且仅当时取等号) 故选B．二、填空题7、数学竞赛后，小明、小乐和小强各获得一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得银牌，一人得铜牌，老师猜测：“小明得金牌，小乐不得金牌，小强得的不是铜牌．”结果老师只猜对了一个，由此推断：得金牌、银牌、铜牌的依次是__________．【答案】小乐，小强，小明．【解析】其一，若小明得金牌，则小乐一定不得金牌，不合题意；其二，小明得银牌时，再以小乐得奖情况分析，若小乐得金牌，小强得铜牌，不合提议，若小乐得铜牌小强得金牌，也不合题意；其三，若小明得铜牌，仍以小乐得奖情况分类，若小乐得金牌，小强得银牌，则老师才对一个合题意，若小乐得银牌，小强得金牌，则老师对了俩；不合题意，综上，小明得铜牌，小乐得金牌，小强得银牌．8、省中医院5月1号至5月3号拟安排6位医生值班，要求每人值班1天，每天安排2人．若6位医生中的甲不能值2号，乙不能值3号，则不同的安排值班的方法共有__________种．【答案】42;【解析】分两类(1) 甲、乙同一天值班，则只能排在1号，有种排法；(2) 甲、乙不在同一天值班，有种排法，故共有42 种方法．故结果为42．9、已知函数，若对于任意的，存在，使得成立，则的取值范围为__________．【答案】;【解析】函数视作为的函数问题等价于对于，由于，所以所以问题等价于，即，所以．故结果为．点睛：双变元问题，先看成函数视作为的函数，求出最值；再看成x的函数求最值．10、已知，则的取值范围为__________．【答案】;【解析】由及有，所故结果为．11、已知是偶函数，时， (符号表示不超过的最大整数)，若关于的方程恰有三个不相等的实根，则实数的取值范围为__________．【答案】;【解析】作出函数与的草图(如图所示)．易知直线恒过点，是方程的一个根．从图像可知，当，即时，两个函数的图像恰有三个不同的交点．∴的取值范围为．点睛：方程的根转化为函数的零点，图像的交点问题，且发现直线过定点；根据图像得到结果．12、已知点为椭圆的右焦点，椭圆的离心率为，过点的直线交椭圆于两点(点在轴的上方)，且，则直线的斜率为__________．【答案】;【解析】极点在右焦点的极坐标方程为，所以，，从而，可得，，所以直线的斜率为．13、方程的正整数解为______________（写出所有可能的情况)．【答案】;【解析】．∴，∴，．由，知，因此，．∴，若，则，，．将，代入题中方程，得．若，则，．由知，不存在．若，则．以，，又，因此，．经验证只有符合．将代入题中方程，得．∴符合条件的正整数解有或．14、一个有限项的数列满足：任何3 个连续项之和都是负数，且任何4个连续项之和都是正数，则此数列项数的最大值为__________．【答案】5;【解析】一方面可以构造5 项的数列：符合题设；另一方面，证明满足条件的数列不超过5项．否则取出前6 项，作出如下排列：由每行的和为负数，知这12 个数之和为负数；由每列的和为正数，知这12 个数之和为正数．矛盾．故结果为5．三、解答题15、已知函数，直线为曲线的切线（为自然对数的底数）．（1）求实数的值；（2）用表示中的最小值，设函数，若函数为增函数，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）先求导，然后利用导数等于求出切点的横坐标，代入两个曲线的方程，解方程组，可求得；（2）设与交点的横坐标为，利用导数求得，从而，然后利用求得的取值范围为.试题解析：（1）对求导得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分设直线与曲线切于点，则，解得，所以的值为1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分（2）记函数，下面考察函数的符号，对函数求导得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分当时，恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分当时，，从而．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分∴在上恒成立，故在上单调递减．，∴，又曲线在上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知唯一的，使．∴；，，∴，从而，∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分由函数为增函数，且曲线在上连续不断知在，上恒成立．①当时，在上恒成立，即在上恒成立，记，则，当变化时，变化情况列表如下：3极小值∴，故“在上恒成立”只需，即．②当时，，当时，在上恒成立，综合①②知，当时，函数为增函数．故实数的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：函数导数与不等式.【方法点晴】函数导数问题中，和切线有关的题目非常多，我们只要把握住关键点：一个是切点，一个是斜率，切点即在原来函数图象上，也在切线上；斜率就是导数的值.根据这两点，列方程组，就能解决.本题第二问我们采用分层推进的策略，先求得的表达式，然后再求得的表达式，我们就可以利用导数这个工具来求的取值范围了.16、（12分）如图，椭圆（）的离心率，短轴的两个端点分别为B1、B2，焦点为F1、F2，四边形F1 B1F2 B2的内切圆半径为（1）求椭圆C的方程；（2）过左焦点F1的直线交椭圆于M、N两点，交直线于点P，设，，试证为定值，并求出此定值．【答案】（1）；（2）【解析】试题解析：（1）设四边形F1B1F2B2的内切圆与边B1B2的切点为G，连接OG，则|OG|=由S△OB2F2=|OB2||OF2|=|B2F2||OG|，|OB2|=b， |OF2|=c， |B2F2|=a，得bc= a又∵e=解得a=2，b=故椭圆方程为：（2）设直线MN的方程为y=k（x+1）代入椭圆方程，整理得（3+4k2）x2+8k2x+4（k2-3）=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=又P（-4，-3k），F2（-1，0）由，得，∴∵∴为定值考点：本题考查椭圆的几何性质向量共线点评：解决本题的关键是利用向量共线，求出即可17、已知函数的图象恒过定点，且点又在函数的图象上．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）当方程有两个不等实根时，求的取值范围；（Ⅲ）设，，，求证，，．【答案】(1)；(2)的取值范围为；（3）见解析．【解析】试题分析：（1）点的坐标为；点在上，则（2）方程的根转化为图像的交点；（3）裂项求和．（Ⅰ）函数的图像恒过定点，点的坐标为又因为点在上，则即，∴（Ⅱ）即，∴由图像可知：，故的取值范围为．（Ⅲ），∴，．点睛：主要考查函数零点，方程的根，图像的交点可等价；再就是数列裂项求和问题．。

浙江省杭州市2019届高考数学命题比赛模拟试题3及参考答案

浙江省杭州市2019届高考数学命题比赛模拟试题32019年高考模拟试卷数学卷双向细目表绝密★考试结束前2019年高考模拟试卷数学卷考生须知：1. 本卷满分150分，考试时间120分钟；2. 答题前务必将自己的姓名,准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方。

3. 答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效。

4. 考试结束后，只需上交答题卷。

参考公式：如果事件,A B 互斥，那么柱体的体积公式()()()P A B P A P B +=+ V Sh =如果事件,A B 相互独立,那么其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高()()()P AB P A P B = 锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率为p ,那么n13V Sh =次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率为其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高()()10,1,2),,(k k n k n n P k C p p k n -==⋯－球的表面积公式台体的体积公式24S R =π121()3V S S h = 球的体积公式其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积， 343V R =πh 表示为台体的高其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(原创) 1．已知U R =，集合{}|11A x x =-<<，则U C A = A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞UC．[1,1]-D ．(,1][1,)-∞-+∞U【命题意图】考查集合的基本运算（★）(原创) 2．设i z +=11，i z -=12（i 是虚数单位），则2111z z +＝ A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i 【命题意图】考查复数的基本运算（★）(原创) 3．若实数,x y 满足约束条件0,30,20,y x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩+--≥≤≥ 则2z x y =+的取值范围是A ．[4,)+∞B ．[0,6]C ．[0,4]D ．[6,)+∞【命题意图】考查简单的二元一次线性规划（★★）(原创) 4．已知互相垂直的平面,αβ交于直线l ．若直线,m n 满足//m α，n β⊥，则 A ．//l mB ．//m nC ．n l ⊥D ．m n ⊥【命题意图】考查立体几何线面平行、面垂直的性质定理（★★） (原创) 5．观察下列各式： ,则A ．196B ．197C ．198D ．199【命题意图】考查斐波那契数列的简单推理（★★） (改编) 6．已知函数且,则A ． B.C.D.【命题意图】考查函数的图像与性质（★★★） (原创) 7．已知是正整数，满足的正整数解有A ．54种B ．55种C ．56种D ．57种【命题意图】考查排列组合（★★★） (改编) 8．已知点为的外心，则的最小值为A ．1B ．2C ．D ．【命题意图】考查向量的应用（★★★★）(原创) 9．已知为双曲线C:上的一点，若的内切圆的直径为a,则双曲线C的离心率的取值范围为A. B. C.D.【命题意图】考查求曲线的离心率（★★★★）10．已知函数 ,函数,若函数恰有4个零点，则的取值范围为A．B． C．D．【命题意图】用函数数形结合（★★★★）摘自《至精至简的数学思想方法》非选择题部分 (共110分)二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

浙江省磐安县第二中学2019_2020学年高二数学10月竞赛试题201912230286

浙江省磐安县第二中学2019-2020学年高二数学10月竞赛试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)一、单选题1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．4B ．4CD ．32．平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β的位置关系为（）A ．平行+B ．相交C ．平行或相交D ．垂直3．下列命题中正确的个数是（）①平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点．②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则//l α．③若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行④已知平面α，β和异面直线a ，b ，满足a α⊂，//a β，b β⊂，//b α，则//αβ．A ．0B ．1C ．2D ．34．正方体中，直线与所成的角为（） A ．30o B ．45o C ．60o D ．90o5．已知a ，b ，c 是三条互不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出四个命题：①a ∥b ，b ∥α，则a ∥α；②a ，b ⊂α，a ∥β，b ∥β，则α∥β；③a ⊥α，a ∥β，则α⊥β；④a ⊥α，b ∥α，则a ⊥b .其中正确的命题个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．46．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的表面积为（）A ．40+B ．72C ．40+D ．327．如图所示，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，点E 在11A B 上，且11B E =，记图中阴影平面为平面α，且平面α平面1BC E .若平面α平面111AA B B A F =，则AF 的长为（）A ．1B ．1.5C ．2D ．38．ABC ∆的斜二侧直观图如图所示，则ABC ∆的面积为（）A ．1B ．2C ．2D 9．下列图形中不一定是平面图形的是（）A ．三角形B ．平行四边形C ．梯形D ．四边相等的四边形10．如图所示的平面结构（阴影部分为实心，空白部分为空心），绕中间轴旋转一周，形成的几何体为（）A ．一个球B ．一个球中间挖去一个圆柱C ．一个圆柱D ．一个球中间挖去一个棱柱第II 卷（非选择题)二、填空题11．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，则直线11D B 与平面11A BCD 所成角的正弦值为________.12．正方体的全面积为a ，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是______.13．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，E F G H ，，，分别是1111AB AC A B A C ，，，的中点，则与平面BCHG 平行的平面为________.14．如图所示，在四面体D ABC -中，若CD =，其余各棱长都为1，则在这个四面体中互相垂直的平面是____________________________________.15．已知ABC ∆，用斜二测画法作它的直观图'''A B C ∆，若'''A B C ∆是斜边平行于'x 铀的等腰直角三角形，则ABC ∆是________三角形（填“锐角”.“直角”.“钝角”）16．某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为____．17．已知圆锥和圆柱的底面半径均为R ，高均为3R ，则圆锥和圆柱的表面积之比是______．三、解答题18．求图中阴影部分绕AB 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积和体积.19．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ，F 分别为A 1C 1和BC 的中点．(1)求证：EF∥平面AA1B1B；(2)若AA1＝3，AB＝EF与平面ABC所成的角．20．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，E，F分别为BC，CD的中点，且平面求证：平面PBD；平面PEF．的直观图及三视图如图所示，E、F分别为PC、BD的中点．21．如图，多面题P ABCD（1）求证：EF ∥平面PAD ；（2）求证：平面PDC ⊥平面PAD ；（3）求P ABCD V -.22．如图，四边形ABCD 为菱形， G 为AC 与BD 的交点， BE ⊥平面ABCD . （Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面BED .（Ⅱ）若120ABC ∠=, AE EC ⊥, 2AB =,求点G 到平面AED 的距离.2019-2020学年度磐安二中学校10月月考卷高二数学考试时间：120分钟；命题人：潘建华一、单选题1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A B C D 【答案】C【解析】【分析】根据三视图得到原图，再由椎体公式得到结果.【详解】由三视图可推知，几何体的直观图如图所示，其中平面ABD ⊥平面BCD ，1AO =，三棱锥A BCD -的体积为(2113⨯=故答案为：C.【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整. 2．已知四面体中，平面平面，为边长2的等边三角形，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形的特征建立空间直角坐标系，得到相关点的坐标后根据直线方向向量的夹角求出异面直线所成的角．【详解】根据题意画出图形如下图所示．∵平面平面，平面平面，，∴平面，以过点D且与平面垂直的直线为z轴建立空间直角坐标系，则，∴,∴，∴异面直线与所成角的余弦值为．故选A．【点睛】解题的关键是将求两条异面直线所成角转化为两向量夹角的问题求解，其中需要注意异面直线所成角与两向量夹角间的关系，解题的关键是要注意异面直线所成角的范围，此处容易出现错误，属于基础题．3．已知点A，B O表面上运动，且AB＝2，过AB作相互垂直的平面α，β，若平面α，β截球O所得的截面分别为圆M，N，则A．MN长度的最小值是2 B．MNC．圆M面积的最小值是2πD．圆M，N的面积和是定值8π【答案】B【解析】【分析】由过AB作相互垂直的平面α，β,确定BA、BC、DB两两互相垂直，M，N分别是AC，AD的中点，求出CD，即可得结论．【详解】如图所示，因为过AB作相互垂直的平面α、β，则面ABC⊥面ABD,由面面垂直的性质定理，得AB⊥面BCD，所以AB⊥BC,AB⊥BD,得BD⊥BC，所以BA、BC、DB两两互相垂直，所以BC2+BD2+2AB＝(2，因为AB=4,∴CD2＝BC2+BD2=8，所以∵M，N分别是AC，AD的中点，∴MN故选：B．【点睛】本题考查了球的内接几何体和面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．4．若三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC,PA=AB=2，AC=三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为A．12πB．16πC．20πD．24π【答案】A【解析】【分析】求解底面长方形的外接圆，PA⊥平面ABC，球心到圆心的距离为1，利用圆心与球心构造直角三角形求解即可．【详解】由题意，PA⊥平面ABC，PA=AB=2，AC＝ABC是直角三角形，补形底面为长方形．∴球心到圆心的距离为1，底面长方形的外接圆,∴R2=r2+1，即,∴球O的表面积S=4πR2=12π．故选：A．【点睛】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．5．平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β的位置关系为（）A．平行B．相交C．平行或相交D．垂直【答案】C【解析】【分析】根据三点在平面的同侧或异侧，两种情况，即可判定得到α与β的位置关系，得到答案．【详解】α平面β；由题意，若三点分布在平面β的同侧，此时平面//若三点分布于平面β的两侧时，此时平面α与平面β相交，综上可知，平面α与平面β平行或相交，故选C．【点睛】本题主要考查了空间中平面的位置关系的判定，其中根据三点在平面β的同侧和异侧，分类讨论是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．6．正方形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得组（）A．由两个圆台组合成的B．由两个圆锥组合成的C．由一个圆锥和一个圆台组合成的D．由两个棱台组合成的【答案】B【解析】【分析】将正方形ABCD绕对角线AC所在的直线旋转一周，根据旋转体的定义，即可求解，得到答案.【详解】由题意，将正方形ABCD绕对角线AC所在的直线旋转一周，根据旋转体的定义，可知得到的组合体是两个同底的圆锥，故选B.【点睛】本题主要考查了旋转体的概念及其应用，其中解答中熟记旋转体的概念，合理判定是解答的关键，着重考查了空间想象能力，属于基础题.7．直线m⊥平面α，下面判断错误的是（）A．若直线n⊥m，则n∥αB．若直线n⊥α，则n∥mC．若直线n∥α，则n⊥m D．若直线n∥m，则n⊥α【答案】A【解析】【分析】结合线面垂直、线线平行及线面平行的相关性质可以判断.【详解】由直线m⊥平面α，得：在A中，若直线n⊥m，则由线面平行性质得n与α相交、平行或n⊂α，故A错误；在B中，若直线n⊥α，则由线面垂直的性质得n∥m，故B正确；在C中，若直线n∥α，则由线面垂直的性质得n⊥m，故C正确；在D中，若直线n∥m，则由线面垂直的判定定理得n⊥α，故D正确．故选：A．【点睛】本题主要考查空间位置关系的判定，可以借助模型求解，侧重考查直观想象和逻辑推理的核心素养.8．已知两条不同直线m、n和两个不同平面α﹑β，下列叙述正确的是（）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若////m n m n ααββ⊂⊂，，，，则//αβC ．若αβ⊥，m α⊂，则m β⊥D ．若αβ⊥，m β⊥，m α⊄，则//m α【答案】D【解析】【分析】A 选项可由线面平行的性质作出判断，B 选项可由面面平行的判定定理作出判断，C 选项可由面面垂直的性质作出判断，D 选项可由线面平行的条件作出判断【详解】当两条直线同时与一个平面平行时，两条直线之间的关系不能确定，故A 不正确，B 选项再加上两条直线相交的条件，可以判断面与面平行，故B 不正确，C 选项再加上m 垂直于两个平面的交线，得到线面垂直，故C 不正确，D 选项中，如下图所示设=b αβ⋂，,a b a β⊥∴⊥，又m β⊥，根据垂直于同一平面的两直线平行，可得m a ∥，又a α⊂，m α∴∥选D【点睛】考生需灵活掌握线线平行到线面平行，面面平行到线面平行的基本转化关系，遇到较为抽象的证明问题时，辅以图像能够更加有效的解决问题9．下列命题中正确的个数是（）①平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点．②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则//l α．③若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行④已知平面α，β和异面直线a ，b ，满足a α⊂，//a β，b β⊂，//b α，则//αβ．A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】【分析】利用线线平行、线面平行以及面面平行的定义来判断选项即可【详解】在①中，平面α与平面β相交，它们有无数个公共点，故①错误；在②中，若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l 与α平行或相交，故②错误；在③中，若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线相交、平行或异面，故③错误；在④中，已知平面α，β和异面直线a ，b ，满足a α⊂，//αβ，b β⊂，//b α，则由面面平行的判定定理得//αβ，故④正确．故选：B ．【点睛】本题考查线线平行、线面平行、面面平行的定义，属于基础题10．在长方体1111ABCD A B C D -中，AB ==AD 1AA =1AC 与CD 所成角的大小为( ) A.6π B.4π C.3π D.3π或23π 【答案】C【解析】【分析】平移CD 到AB ，则1C AB ∠即为异面直线1AC 与CD 所成的角，在直角三角形中即可求解.【详解】连接AC 1，CD //AB ，可知1C AB ∠即为异面直线1AC 与CD 所成的角，在1Rt C AB ∆中，11tan BC C AB AB∠=，故选C ．【点睛】本题考查异面直线所成的角.常用方法：1、平移直线到相交；2、向量法.二、填空题11．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，则直线11D B 与平面11A BCD 所成角的正弦值为________. 【答案】12【解析】【分析】利用平面11ABB A ⊥平面11A BCD 得到 B 1O ⊥平面11A BCD ，进而作出直线与平面所成角，易解．【详解】如图，平面11ABB A ⊥平面11A BCD ，又B 1O ⊥1A B ，∴B 1O ⊥平面11A BCD ，∴∠B 1D 1O 即为所求角，sin∠B 1D 1O 12=，故答案为：12．【点睛】求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.12．正方体的全面积为a ，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是______. 【答案】2a π 【解析】【分析】由题意可得正方体的边长及球的半径，可得球的表面积.【详解】解：根据正方体的表面积可以求得正方体的边长为l =，正方体的外接球球心位于正方体体心，半径为正方体体对角线的一半，求得球的半径r ==积为242aS r ππ==，故答案：2aπ.【点睛】本题主要考查空间几何体的表面积,得出正方体的边长和球的半径是解题的关键.13．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，E F G H ，，，分别是1111AB AC A B A C ，，，的中点，则与平面BCHG 平行的平面为________.【答案】平面1A EF【解析】【分析】由E F ，分别为AB AC ，的中点，所以EF BC ∥，利用线面平行的判定定理，得到EF 平面BCHG ，再由四边形1A EBG 是平行四边形，得到1A E GB ∥，证得1A E ∥平面BCHG ，最后利用面面平行的判定定理，即可得到平面1A EF ∥平面BCHG .【详解】由题意，因为E F ，分别为AB AC ，的中点，所以EF BC ∥，因为EF ⊄平面BCHG ，BC ⊂平面BCHG ，可得EF 平面BCHG ，因为1AG EB =且1AG EB ∥，所以四边形1A EBG 是平行四边形，所以1A E GB ∥，又因为1A E ⊄ 平面BCHG ，GB ⊂平面BCHG ，所以1A E ∥平面BCHG ，因为1A EEF E =，所以平面1A EF ∥平面BCHG . 【点睛】主要考查了空间中平行关系的判定与证明，其中解答中熟记线面平行、面面平行的判定定理和性质定理，准确判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．14．如图所示，在四面体D ABC -中，若CD =，其余各棱长都为1，则在这个四面体中互相垂直的平面是____________________________________.【答案】平面ACD ，平面BCD .【解析】【分析】过A 作AE CD ⊥，得到AEB ∠是二面角A CD B --的平面角，又由222AE BE AB +=，得到90AEB ∠=，即可求解.【详解】由题意，过A 作AE CD ⊥，交CD 于点E ，因为1,AD AC CD ===90DAC =∠，由E 为CD 的中点，所以AE =连接BE ，因为1,BD BC CD ===BE CD ⊥，且2BE =，所以AEB ∠是二面角A CD B --的平面角，又1AB =，所以222AE BE AB +=，所以90AEB ∠=，∴平面ACD ⊥平面BCD .【点睛】本题主要考查了线面位置关系的应用，其中解答中熟练应用线面垂直的性质定理，合理准确判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.15．已知ABC ∆，用斜二测画法作它的直观图'''A B C ∆，若'''A B C ∆是斜边平行于'x 铀的等腰直角三角形，则ABC ∆是________三角形（填“锐角”.“直角”.“钝角”）.【答案】直角【解析】【分析】根据斜二测画法，45x oy ∠=''︒，直接判断ABC ∆的形状。

2019高中数学联赛(A卷)

2019年高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）一.填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分. 1.已知正实数a 满足()89,aa a a = 则()log 3a a 的值为 .2.若实数集{}1,2,3,x 的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x 的值为 .3.平面直角坐标系中，e 是单位向量，向量a 满足2,a e ⋅=且25a a te ≤+对任意实数t 成立，则a 的取值范围是 .4.设,A B 为椭圆Γ的长轴顶点，,E F 为Γ的两个焦点，4,2AB AF P ==为Γ上一点，满足2,PE PF ⋅= 则PEF △的面积为 .5.在1,2,3,,10… 中随机选出一个数a ，在1,2,3,,10----…中随机选出一个数b ，则2a b +被3整除的概率为 .6.对任意闭区间,I 用I M 表示函数sin y x =在,I 上的最大值.若正数a 满足[][]0,,2,a a a M M = 则a 的值为 .7.如图，正方体ABCD EFGH -的一个截面经过顶点,A C 及棱EF 上一点K ，且将正方体分成体积比为3：1的两部分，则EKKF的值为 . 8.将6个数2，0，1，9，20，19按任意次序排成一行，拼成一个8位数（首位不为0）。

则产生的不同的8位数的个数为 .二．解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.在ABC △中，,,.BC a CA b AB c ===若b 是a 与c 的等比数列，且sin A 是()sin B A -与sin C 的等差中项，求cos B 的值.10.在平面直角坐标系xOy 中，圆Ω与抛物线24y x Γ=：恰有一个公共点，且圆Ω与x 轴相切于Γ的焦点.F 求圆Ω的半径.11.称一个复数数列{}n z 为“有趣的”，若1=1,z 且对任意正整数,n 均有2211420.n n n n z z z z ++++=求最大的常数C ，使得对一切有趣的数列{}n z 及任意正整数，均有12.m z z z C +++≥加试一．（本题满分40分）如图，在锐角ABC △中，M 是BC 边的中点.点P 在ABC △内，使得AP 平分BAC ∠.直线MP 与ABP △，ACP △的外接圆分别相交于不同于点P 的两点,.D E 证明：若,DE MP = 则2.BC BP =二.（本题满分40分）设整数122019,,,a a a 满足122019199.a a a =≤≤≤= 记()()22212201913243520172019.f a a a a a a a a a a a =+++-++++求f 的最小值0.f 并确定使0f f =成立的数组()122019,,,a a a 的个数.三. （本题满分50分）设m 为整数， 2.m ≥整数数列12,,a a …满足：12,a a 不全为零，且对任意正整数n ，均有21.n n n a a ma ++=- 证明：若存在整数(),2r s r s >≥使得1,r s a a a == 则.r s m -≥四. （本题满分50分）设V 是空间中2019个点构成的集合，其中任意四点不共面.某些点之间连有线段，记E 为这些线段构成的集合.试求最小的正整数n ，满足条件：若E 至少有n 个元素，则E 一定含有908个二元子集，其中每个二元子集中的两条线段有公共端点，且任意两个二元子集的交为空集.。

2019年全国高中数学联赛浙江赛区预赛试题

年高中数学联赛浙江赛区初赛试题
阳泉十一中：杨翔鹏整理（说明：本试卷满分分，共题，道填空题，道解答题。

填空题的答案和解答题的解答过程写在答题纸上。

）
一、填空题（每题分，共分）
如图，将长度为的线段分为两段，再将长度为的线
段弯成半圆周，将长度为的线段折成矩形
三条边，构成闭“曲边形”，则
该曲边形面积的最大值为 .
已知集合为正整数，若集合中所有元素之和为
则当取最大值时，集合 .
设，则的最大值为 .
设三条不同的直线：
则它们相交于一点的充分必要条件为 .
如图，在中，.在
边上取一点，将沿线段折
起，得到，当平面垂直平面时，则
到平面的距离最大值为 .
如图，在中，分别为上的点，且
.设为四边形
内一点.若则实数的
取值范围为 .
设，定义则 .
设为复数，且满足，，则取值
为 .
设，数列满足，.若，则的取值范围为 .
在复平面上，任取方程的三个不同的根为顶点组成三角形，则不同的锐角三角形的数目为 .
二、解答题（第题分，第题各分）
如图，椭圆，抛物线.
设相交于两点，为坐标原点.
若的外心在椭圆上，求实数的值；
若的外接圆经过点，求实数的值.
设.若，证明：
设是有限集，为正整数，是包含.如果中的部分子集构成的集族满足：对中任意两个不相等的集合，
均不成立，则称为反链.设为包含集合最多的反链，是任意反链.证明存在到的单射成立.。