电路分析基础第六章

换路前后，电路工作状态发生改变。
过渡过程产生的原因:
电路内部含有储能元件L、C，电路在换路时能量
发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时
间来完成。
p = Δw Δt
Δt ⇒ 0
p⇒∞
描述动态电路的电路方程为微分方程； 动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数；
一阶电路：一阶电路中只有一个动态元件，描述
?
前一个稳定状态 0
t1
t
新的稳定状态
过渡状态
电感电路
K未动作前(t=0)，电路处于稳定状态 uL = 0，iL = 0
K接通电源后很长时间(t→∞)，电路
达到新的稳定状态，电感视为短路
uL = 0，iL = Us /R
有一过渡期
iL
US/R
?
前一个稳定状态 0
t1
t
新的稳定状态
过渡状态
换路: 电路中开关闭合、断开或电路参数突然变化。
电源提供总能量：
1 2
CU
2 S
+
1 2
CU
2 S
=
CU
2 S
电源提供的能量一半消耗在电阻上， 一半转换成电场能量储存在电容中。
t=0
uS
RL
US
电
路
O
t
零
状 态
L
diL dt
+
RiL
=US
t≥0
响
iL(0) = 0
应
iL (t )
=
US R
(1 −
−Rt
eL
)
−Rt
uL(t) = USe L
t≥0 t≥0
=
U0 R
−t
eτ
t≥0
iC (0− ) = 0
iC
(0+
)
=
U0 R
U0 uC O
连续 函数
t
iC
U0 R
O
跃变 t
τ = RC
时间常数 τ 的大小反映了电容放电时间的长短
τ 大 → 放电时间长 τ 小 → 放电时间短
uc
U0
τ大
0 τ小 t
物理含义
电压初始值一定
C 大（R一定） W=Cu2/2 储能大 R 大（C一定） i=u/R 放电电流小
电路的方程是一阶线性微分方程。
a1
dx dt
+
a0 x
=
e(t )
t≥0
二阶电路： 二阶电路中有二个动态元件，描述
电路的方程是二阶线性微分方程。
a2
d2x dt 2
+
a1
dx dt
+
a0
x
=
e(t )
t≥0
1. 列写图示电路uC的微分方程和iL的微分方程。
d 2uC dt 2
+ 4 duC dt
+ 4uC
第六章 一阶电路
6-1 分解方法在动态电路分析中的应用 6-2 零状态响应 6-3 阶跃响应 冲激响应 6-4 零输入响应 6-5 线性动态电路的叠加原理 6-6 三要素法 6-7 瞬态和稳态
动态电路：含有动态元件电容和电感的电路。
特点：当动态电路状态发生改变时（换路）需要
经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。 这个变化过程称为电路的过渡过程。
t→∞ ， 进 入 直 流 稳 态 后，电感相当于短路！
小结： RC电路
−1t
uC (t) = U S (1 − e RC )
来自百度文库t≥0
uC (∞)
iC (t)
=
US R
−1t
e RC
t≥0
τ = RC
RL电路
iL (t)
=
US R
−Rt
(1 − e L )
iL (∞)
t≥0
−Rt
uL(t) = USe L
RC电路 τ = RC， RL电路 τ = L/R
3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。 4. 一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入 线性（或比例性）。
例 1 ： 电 路 如 图 所 示 ， 已 知 R1=9Ω ， R2=4Ω ， R3=8Ω，R4=3Ω，R5=1Ω。t=0时开关打开，求 uab(t)，t≥0。
τ ：f(t)衰减到初始值的36.8%所需的时间。
−1t
uC (t) = US (1 − e RC )
uc US
0
U S ic
R
连续 函数
跃变
0
iC (t)
=
US R
−1t
e RC
t
直 流 稳 态
t→∞
t
uC (0+ ) = uC (0− ) = 0
duC dt
0+
= US RC
= iC (0+ ) C
时间常数
τ=L
R
iL (t )
=
US R
(1 −
−Rt
eL
)
U S iL
R
0 uL US
连续 函数
跃变
0
−Rt
uL(t) = USe L
t
直 流 稳 态
t→∞
t
iL(0+ ) = iL(0− ) = 0
diL dt
0+
= US L
= uL(0+ ) L
uL(0+ ) = US uL(0− ) = 0
放电时间长
能量关系:
电容释放能量：
1 2
CU
2 0
电阻消耗能量：
∫ ∫ e i∞ 2 0C
(t )R
dt
=
∞ (U0 0R
−
t
RC
)2
R
dt
=
1 2
CU
2 0
电容不断释放能量被电阻吸收， 直至全部消耗完毕。
t=0
RL 电 路
L
diL dt
+
RiL
=
0
iL(0) = I0
−t
iL(t) = I0e τ t ≥ 0
(t
)
− t−t0
uC = US(1 − e RC )ε (t − t0 )
uC (t0− )=0
激励在t=t0时输入， 则响应从t=t0开始。
i
US R
O t0
t
i
=
U
S
−
e
t RC
ε
(t
)
R
i
=
US R
− t−t0
e RC ε
(t
−
t0
)
例1：求图中所示零状态RL电路在所示脉冲电压 作用下的电流i(t)。已知L=1H，R=1Ω。
t≥0
[τ
]
=
[RC
]
=
[欧][法]
=
[欧]⎢⎣⎡ 伏库
⎤ ⎥⎦
=
[欧]⎢⎣⎡ 安伏秒
⎤ ⎥⎦
=
[秒]
从理论上讲t→∞时，电路才能达到稳态。但实际上一般认
为经过4τ-5τ的时间，过渡过程结束，电路已达到新的稳态。
t
0τ
2τ
3τ
4τ 5τ
−t
f (t) = USe τ US 0.368US 0.135US 0.05US 0.02US 0.007US
矩形脉冲
f(t) 1
O t0
t
⎧0 (t < 0) f (t) = ⎪⎨1 (0 < t < t0 )
⎪⎩0 (t > t0 )
ε(t)
1
O t0
t
-ε(t-t0)
f (t) = ε (t) − ε (t − t0 )
二、阶跃响应
1. 单位阶跃响应s(t)：单位阶跃输入作用下的零状态响应。
Ri
S(t=0) R i
=0
d 2iL dt 2
+
4 diL dt
+ 4iL
=
0
§6-1 分解方法在动态电路分析中的应用
RC串联电路
uR0 (t) + uC (t) = uOC (t)
uR0 (t) = R0i(t)
i(t) = C duC (t) dt
R0C
duC (t dt
)
+
uC
(t
)
=
uOC
(t)
uC (t0 )
u(t) A
O
t0
t
例 2：若作用于图示电路的电压uS(t)=[-3+4ε(t)]
V，试求u(t)，对所有t。
三、冲激函数
1.
单位冲激函数：ε (t) 的导数。δ (t) =
dε (t)
dt
δ
(t)
=
⎧ ⎨
⎩
0 0
(t < 0) (t > 0)
δ (t)
∫t δ (ξ )dξ = 1 −∞
O
t
2. 单位延时冲激函数δ (t-t0)：
t≥0
τ=L
R
直流稳态时，电容开路 直流稳态时，电感短路
零状态响应：线性或比例性，叠加性
例 1 ： 电 路 如 图 ， 开 关 在 t=0 时 打 开 ， 已 知 uC(0)=0，求uC(t)，i(t)和iC(t)。
例 2 ： 图 示 电 路 在 t=0 时 开 关 S 闭 合 ， 求 iL(t) ， i(t)，t≥0。
无外施激励电源，仅由元件初始储能所产生的响应。
t=0
RC 电 路
RC
duC dt
+ uC
=
0
uC (0) = U0
−t
uC (t) = U0e τ t ≥ 0
iC
(t)
=
U0 R
−t
eτ
t≥0
τ = RC
−t
uC (t) = U0e τ
t≥0
uC (0+ ) = uC (0− ) = U0
iC
(t)
−t
uL (t) = RI0e τ t ≥ 0
τ=L
R
−t
iL(t) = I0e τ t ≥ 0 iL (0+ ) = iL (0− ) = I0
−t
uL (t) = RI0e τ t ≥ 0
uL (0− ) = 0 uL (0+ ) = RI0
iL I0
O
uL
RI0
O
连续 函数 t
跃变 t
τ = L/R
电阻电路
+ i R1
us
-
R2
（t=0）
i
i = U S / R2 i = U S (R1 + R2 )
t
0 过渡期为零
电容电路
K未动作前(t=0) ，电路处于稳定状态
iC = 0，uC = 0
K接通电源后很长时间(t→∞)，电容
充电完毕，电路达到新的稳定状态
iC = 0，uC = Us
uc
US
有一过渡期
态响应。
δ (t)
h(t)
零状态
由单位阶跃响应求单位冲激响应:
单位阶跃函数
ε (t)
单位冲激函数
δ (t)
单位阶跃响应 s(t)
单位冲激响应 h(t)
δ (t) = dε (t)
dt
h(t) = ds(t) dt
例1：求RC并联电路在冲激电流源δ(t)作用下的 电压u(t)的单位冲激响应。
§6-4 零输入响应
§6-3 阶跃响应 冲激响应
一、阶跃函数
1. 单位阶跃函数
ε (t)
ε (t)
=
⎧ ⎨ ⎩
0 1
(t < 0) (t > 0)
1 O
t
-ε (t)
−
ε
(t)
=
⎧ ⎨
⎩
0 -1
(t < 0) (t > 0)
O -1
t
U Sε
(t) =
⎧ ⎨ ⎩
0 US
(t < 0) (t > 0)
2. 延时单位阶跃函数
+
USε(t)
–
+
+
C uC
–
US –
+
C uC
–
uC (0−)=0
uC
=
U
S
(1
−
−
e
t RC
)ε
(t
)
i
=
U
S
−
e
t RC
ε
(t)
R
uC uC (0−)=0 US
O
t
US i
R
O
t
2. 延时阶跃响应 Ri
+
+
USε (t-t0) C uC
–
–
uC US
O t0
t
uC
=
U
S
(1
−
−
e
t RC
)ε
−1t
uC (t) = U S (1 − e RC )
t≥0
iC (t)
=
US R
−1t
e RC
t≥0
−1t
uC (t) = U S (1 − e RC )
iC (t)
=
US R
−1t
e RC
−t
= US (1 − e τ ) t ≥ 0
=
US
−t
eτ
令τ =RC，称τ为一阶RC电路的时间常数。 R
−
R L
t
)2
R
dt
=
1 2
LI02
电感不断释放能量被电阻吸收， 直至全部消耗完毕。
小结：
1. 一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的 响应, 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。
−t
uC (t) = U0e τ
t≥0
−t
iL (t) = I0e τ
t≥0
uC (0)
iL (0)
2. 衰减快慢取决于时间常数τ。
ε (t-t0)
ε
(t
−
t0
)
=
⎧ ⎨
⎩
0 1
(t < t0 ) (t > t0 )
1 O t0
t
延时单位阶跃函数可以“起始”任一函数
f(t)
f(t)ε(t− t0)
O t0
t
O t0
t
f
(t )ε
(t
−
t0
)
=
⎧ ⎨
⎩
0 f (t)
(t < t0 ) (t > t0 )
分段常量信号：可分解为一系列阶跃信号之和。
uOC (t) t ≥ t0
RL串联电路
L
uR0 (t) + uL (t) = uOC (t)
uR0 (t) = R0iL (t)
uL
(t
)
=
L
diL (t) dt
L
diL (t dt
)
+
R0iL
(t
)
=
uOC
(t)
iL (t0 )
uOC (t) t ≥ t0
一阶电路分析方法：
1. 把给定的网络分为两个单口网络 N1和N2。 2. 将含电阻网络N1，用戴维南（或诺顿）等效电路 简化。 3. 写出电路方程和元件的伏安特性VCR。 4. 由给定的初始条件及t≥t0时的uoc值，来解方程。 5. 解得uc(t)，根据置换定理，以电压源uc(t)去置换 电容C，将原电路变成了电阻电路，然后用电阻电 路分析方法分析电路。
δ(t − t0 ) = 0 (t ≠ t0 )
∫t δ(ξ −∞
−
t0
)dξ
=
1
O
δ (t-t0)
t0
t
3. 冲激函数δ (t)的取样性质（筛分性质）
f (t)δ (t) = f (0)δ (t)
f (t)δ (t − t0 ) = f (t0 )δ (t − t0 )
四、冲激响应
单位冲激响应h(t)：单位冲激输入作用下的零状
时间常数 τ 的大小反映了电感放电时间的长短
τ 大 → 放电时间长
τ 小 → 放电时间短
物理含义
电流初值i(0)一定：
L大 W=Li2/2 起始能量大
放电慢
R小 P=Ri2 放电过程消耗能量小
τ大
能量关系:
电感释放能量：
1 2
LI02
电阻消耗能量：
∫ ∫ e ∞ 0
iC2
(t )R
dt
=
∞
0 (I0
直流电路中各个元件的电 压和电流都不随时间变化。
iC
(0+
)
=
US R
iC (0− ) = 0
t→∞ ， 进 入 直 流 稳 态 后，电容相当于开路！
能量关系:
电容储存能量：
1 2
CU
2 S
电阻消耗能量：
∫ ∫ e i∞ 2 0C
(t )R
dt
=
∞ (US 0R
−
t
RC
)2
R
dt
=
1 2
CU
2 S
§6-2 零状态响应
uC (t) = uC' (t) + uC'' (t) 叠加
全响应
零状态响应
在t≥t0时，零初始状态下， 仅由电路的输入引起的响应
零输入响应
在t≥t0时，零输入情况下，仅 由非零初始状态引起的响应
t=0
uS
RC
US
电
路
O
t
零
状 态
RC
duC dt
+ uC
=US
t≥0
响 应
uC (0) = 0