河北省“五个一名校联盟”高三数学教学质量监测试题(

河北省“五个一名校联盟”2015届高三教学质量监测(一)数学（文）试题（满分：150分，测试时间：120分钟）第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合{}023A 2<+-=x x x ，{}822B <<=x x ，则( )A.A =BB.A ⊆BC.A ⊇BD.A I B φ= 2.已知复数i z 2321+-=，则1z=( ) A. i 2321--B. i 2321+-C. i 2321+D. i 2321- 3.已知113::<+≥x q k x p ，，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( )A. ),2[+∞B. ),2(+∞C. ),1[+∞D. ]1,(--∞4.在等差数列{}n a 中，9a =12162a +,则数列{}n a 的前11项和11S =（ ）． A ．24 B ．48 C ．66 D ．1325. 设1a >，函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为12，则a = （ ）A 2B ．2C ．22．46．b a ,21==b a ,且a b a ⊥+)(,则与的夹角为（ ）A ．30° B.60°C.120°D.150°7．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，若3AF =，则AOF ∆的面积为（ ）A.222 C.322D.228．如图给出的是计算1111352013+++L 的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是( )A ．1006≤iB ．1006>iC ．1007≤iD ．1007>i9．已知正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，若点),(y x 在△ABC 内部，则z x y =-+的取值范围是( ) A ．(1－3，2) B ．(0，2) C ．(3－1，2) D ．(0，1+3)10．一个几何体的三视图及尺寸如图所示， 则该几何体的体积为（ ） A.48 B.72 C.12 D.2411.若圆C:222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++= 对称，则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. 3 D.612．已知定义在R 上的函数)(x f 是奇函数且满足)()23(x f x f =-，3)2(-=-f ，数列{}n a 满足11-=a ，且21n n S an n=⨯+，（其中n S 为{}n a 的前n 项和），则=+)()(65a f a f ( )．A ．3-B ．2-C ．3D ．2二、选择题： 本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知tan 2θ=，则___________cos sin cos sin =-+θθθθ.14. 已知函数1)(+-=mx e x f x的图像为曲线C ，若曲线C 存在与直线x y 21=垂直的 切线，则实数m 的取值范围是_______.15．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，由F 向其渐近线引垂线，垂足为P ，若线段PF 的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为 ．16.已知函数()sin 2xf x x =∈R ，，将函数()y f x =图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，则关于()()f x g x ⋅有下列命题， ①函数()()y f x g x =⋅是奇函数； ②函数()()y f x g x =⋅不是周期函数；③函数()()y f x g x =⋅的图像关于点），（0π中心对称；④函数()()y f x g x =⋅3. 其中真命题是_________.三、非选择题：包括必考题和选考题两部分 。

第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答。

17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，已知3,2π==C c .(1)若ABC ∆的面积等于3，求b a ,；(2)若A A B C 2sin 2)sin(sin =-+，a b <且，求ABC ∆的面积.18．（本小题满分12分）某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，（阴影部分为破坏部分）其可见部分如下，据此解答如下问题：（1）计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高；（2）若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份的分数在[90,100]之间的概率； （3）根据频率分布直方图估计这次测试的平均分．19.（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，90,60ABC ACD BAC CAD ∠=∠=︒∠=∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，2PA =，1AB =．(1) 求四棱锥P ABCD -的体积V ；(2) 若F 为PC 的中点，求证：平面PAC ⊥平面AEF ．20．（本小题满分12分）已知椭圆14:221=+y x C 和动圆)0(:2222>=+r r y x C ，直线l ：m kx y +=与1C 和2C 分别有唯一的公共点A 和B ．(1)求r 的取值范围；(2)求AB 的最大值，并求此时圆2C 的方程．21. （本小题满分12分）已知函数2()ln ,()()f x b x g x ax x a R ==-∈。

(1)若曲线()f x 与()g x 在公共点)0,1(A 处有相同的切线，求实数,a b 的值；(2)若1,2a b e =>，求方程()()f x g x x -=在区间(1,)be 内实根的个数（e 为自然对数的底数）.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，E 是圆O 内两弦AB 和CD 的交点，过AD 延长线上一点F 作圆O 的切线FG ，G5 6 86 2 3 3 5 6 8 97 1 2 2 3 4 5 6 7 8 9 89 5 8为切点，已知FG EF =．求证： (1) DEF ∆∽EAF ∆； (2) EF ∥CB ．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，O 为极点，点A （2，2π），B （4π）．(1)求经过O ，A ，B 的圆C 的极坐标方程；(2)以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆D 的参数方程为1cos (1sin x a y a θθθ=-+⎧⎨=-+⎩是参数，a 为半径），若圆C 与圆D 相切，求半径a 的值．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式证明选讲． 已知函数()f x =．(1)求)4()(f x f ≥的解集；(2)设函数()(3),g x k x =-k ∈R ，若()()f x g x >对任意的x ∈R 都成立，求k 的取值范围．参考答案一、选择题：1.B2. A3. B4. D5. D 6．C 7.B 8．C 9． A 10.D 11.B 12.C 二、填空题：13. 3 14. 2>m 15. 2 16. ③ 三、解答题：17. 解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得422=-+ab b a又3sin 21=C ab Θ，得4=ab ……3分联立⎩⎨⎧==-+4422ab ab b a 解得2,2==b a……5分（Ⅱ）由题意得，A A A B A B cos sin 4)sin()sin(=-++即A A A B cos sin 2cos sin =，SinA B A 2sin ,0cos ==或又a b <332,334,6,2,0cos =====∴b a B A A ππ……9分 ABC ∆的面积33221==bc S ……12分 18．解：（1）分数在[50,60)的频率为0.008100.08⨯=，由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数为2，所以全班人数为2250.08=， ………2分 ∴分数在[80,90)之间的人数 为25214-=人. 则对应的频率为40.1625=， ………3分 所以[80,90)间的矩形的高为4100.01625÷=． ………4分 （2）将[80,90)之间的4个分数编号为1,2,3,4， [90,100]之间的2个分数编号为5,6，在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)， (2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)， (4,5)，(4,6)，(5,6)共15个． ………6分其中，至少有一份在[90,100]之间的基本事件有9个，故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是90.615=． ……8分 （3）全班人数共人，根据各分数段人数计算得各分数段的频率为：所以估计这次测试的平均分为：550.08650.28750.4850.16950.0873.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．………12分19解：(1)在Rt ABC ∆中，1AB =，060BAC ∠=，∴ 2BC AC == …………2分 在Rt ACD ∆中，2AC =，060CAD ∠=，23CD=…………………………………4分∵ 3253222131212121=⨯⨯+⨯⨯=⋅+⋅=CDACBCABSABCD四边形,155323323V=⨯⨯=则………………………………………………………6分证: (2)∵ PA ABCD⊥平面，∴ PA CD⊥…………………………………7分又AC CD⊥，PA AC A=I∴ CD PAC⊥平面，…………………………………………………………8分∵ E F PD PC、分别是、的中点，∴ EF//CD∴ EF PAC⊥平面…………………………………………………………………10分EF AEF⊂Q平面，∴PAC AEF⊥平面平面…………………………………12分20.解：（I）由2214xyy kx m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(14)84(1)0k x kmx m+++-=.21. 解：（1）''(),()21b f x g x ax x==- 则''(1)(1)01(1)(1)1g f a g f b ===⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩………5分 （2)设()2()()()ln (1,)b h x f x g x x b x x x e =--=-∈，2'2()b x h x x-=，令e be b x x h b >>=⇒='2,20)( ………7分 x2b ⎛ ⎝ 2b ,2b b e ⎫⎪⎪⎭'()h x+-()h x↑极大↓所以，原问题()ln 10222b b b h x h ⎛⎫==-> ⎪⎝⎭极大 ………10分 又因为()()()()11,bbbh h eb e b e =-=-+设()xt x e x =-（()2,x e ∈+∞）'()10x t x e =->所以()t x 在()2,e +∞上单调递增，()()(2)00x b t x t e e x h e >>∴>∴<所以有两个交点 ………12分22．解：（Ⅰ）由切割线定理得FG 2＝FA ·FD ．又EF ＝FG ，所以EF 2＝FA ·FD ，即EF FA ＝FDEF．因为∠EFA ＝∠DFE ，所以△FED ∽△EAF ．………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠FED ＝∠FAE ． 因为∠FAE ＝∠DAB ＝∠DCB ，所以∠FED ＝∠BCD ，所以EF ∥CB ． ………10分23解（I ）)4cos(22πθρ-= ………5分（II ）2=a 或23=a ． ………10分24.解（1）()f x=|3||4|x x ==-++∴()(4)f x f ≥即|3||4|x x -++9≥∴4349x x x ≤-⎧⎨---≥⎩① 或43349x x x -<<⎧⎨-++≥⎩② 或3349x x x ≥⎧⎨-++≥⎩③解得不等式①：5x ≤-；②：无解 ③：4x ≥所以()(4)f x f ≥的解集为{|5x x ≤-或4}x ≥．………5分（2）()()f x g x >即()|3||4|f x x x =-++的图象恒在()(3)g x k x =-图象的上方21,4()|3||4|7,4321,3x x f x x x x x x --≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪+≥⎩()(3)g x k x =-图象为恒过定点P (3,0)，且斜率k 变化的一条直线作函数(),()y f x y g x ==图象如图,其中2PB k =，(4,7)A -，∴1PA k =-由图可知，要使得()f x 的图象恒在()g x 图象的上方 ∴实数k 的取值范围为12k -<≤． ………10分。