角的平分线性质及应用

角的平分线性质及应用
我们知道，把一个角分成两个相等的角的射线，叫做角的平分线．关于角的平分线，它有两个重要性质
（1）性质定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
（2）性质定理的逆定理：到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．利用角的平分线的性质定理可以证明题目中某两条线段相等；利用性质定理的逆定理可以证明某两个角相等，下面举例说明角的平分线的应用．
例1．三角形内到三边的距离相等的点是（）的交点．
（A）三条中线（B）三条高（C）三条角平分线（D）以上均不对．
解：由角平分线性质定理的逆定理可知：应选（C）．
例2．如图1，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P，
试问：P到AB、BC、CA的距离相等吗？
解：相等．理由如下：
过P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足
为D、E、F，
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE，同
理PE=PF，
∴PD=PE=PF，即点P到边AB、BC、CA的距离相等．
例3．如图2，△ABC中，∠C=900，AD平分∠BAC，BD=4，BC=7，
则D到AB的距离是．
分析：∵∠C=900，∴DC⊥CA，过点D作DE⊥AB，
垂足为E，∵AD平分∠BAC，∴DE=DC=BC－BD=7－4=3，
即点D到AB的距离是3．
例4．如图3，△ABC中，∠B、∠C的角平分线相交于O，下面结论中正确的是（）．
（A）∠1＞∠2（B）∠1=∠2（C）∠1＜∠2（D）不能确定．分析：由例2知点O到△ABC的三边距离相等，因此点在∠
的平分线上，即AO平分∠BAC，故选（B）．例5．如图4
，在△ABC中，∠A=900，BD是角平分线，
B
D
C
图2
B C
图１
图３
若AD=m ，BC=n ，求△BDC 的面积．
分析：过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，∵BD 是角平分线， AD ⊥AB ，DE ⊥BC ，∴DE=AD=m ， ∴mn DE BC S ABC 2
1
21=⨯⨯=
∆． 例6．如图4，在△ABC 中，∠A=900，AC=AB ，BD 平分∠BAC ，DE ⊥BC ，BC=8， 求△BED 的周长．
分析：△BED 的周长为
DE+DC+EC=AD+DC+EC=AC+EC=AB+EC=BE+EC=BC=8．
例7．如图5，△ABC 中，∠A=900，点D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，且AE=EB ，DE=DC ，
求∠B 的度数．
解：∵DC ⊥AC ，DE ⊥AB ，且DE=DC ，∠1=∠2， 在△AED 和△BED 中，AE=BE ，
∠AED=∠BED ，ED=ED ，∴△AED 和△BED ，∠1=∠B ， ∴∠B=∠1=∠2，又∵在Rt △ABC 中，∠B+∠BAC=900，
∴∠B=300．
例8．如图6，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭，供人们小憩，而且要使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭的中心位置（不写作法，保留作图痕迹）．
分析：到三马路的距离相等的点在每两条马路所成角的平分线上，可作任意两个角的平分线，其交点即为所求小亭的中心位置．
解：（略）．
A
B
C
D E
图４
1 A B
C
D
E
2
图５
图6。