数学物理方程 齐海涛 热传导方程
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数学物理方程2热传导方程
对未来研究的展望
深入研究热传导方程的数学性质
尽管热传导方程已有广泛的研究和应用，但对其数学性质的理解仍不够深入。未来可以进一步研究热传导方程解的唯 一性、稳定性、渐近性等数学问题，以推动数学理论的发展。
拓展热传导方程的应用领域
随着科技的发展，热传导方程的应用领域也在不断拓展。例如，在新能源领域，热传导方程可以用于研究太阳能电池 板的工作原理和优化设计；在环保领域，热传导方程可用于研究污染物在环境中的扩散和迁移规律。
交换。
热传导方程是偏微分方程的一种形式，通常采用傅里叶级数或
03
有限元方法进行求解。
热传导现象的重要性
1
热传导现象在自然界和工程领域中广泛存在，如 气候变化、能源利用、材料科学等。
2
热传导方程的应用有助于深入理解热量传递的机 制，为相关领域的研究提供理论基础。
3
通过求解热传导方程，可以预测温度分布、热量 传递速率等关键参数，为实际问题的解决提供指 导。
04 热传导方程的数值解法
有限元法
有限元法是一种将连续的求解域离散化为有限个小的、互连 的子域（或单元）的方法。在每个单元内，选择合适的基函 数，将待求的解表示为这些基函数的线性组合。通过求解一 系列线性方程组，可以得到原问题的近似解。
有限元法在求解热传导方程时，可以将复杂的几何形状离散 化为有限个简单的几何形状，从而简化计算过程。同时，有 限元法能够处理复杂的边界条件和初始条件，适用于各种类 型的热传导问题。
有限差分法
总结词
有限差分法是一种数值求解偏微分方程的方法，通过将连续的偏微分方程离散化为差分 方程来求解。
详细描述
有限差分法的基本步骤是将偏微分方程中的空间变量离散化为有限个点，然后将偏微分 方程转化为差分方程，最后通过迭代求解差分方程得到原方程的近似解。这种方法适用
数学物理方程_2_热传导方程
因为
C 1C 20,
(h)elC 1(h)elC 20.
1
1
( h)el (h)el 0
分离变量法
此时方程通解可以写成
为了满足边界条件，必须
C 10, C 2hlC 20
对于情形A和情形B，方程没有分离变量形式的非 平凡解。
分离变量法
此时方程通解可以写成 由边界条件 由边界条件
分离变量法
tan v v , lh
分离变量法
令
分离变量法
根据边界条件
X ( 0 ) T ( t) 0 X ( 0 ) 0 .
X ' ( l ) T ( t ) h X ( l ) T ( t ) 0 X ' ( l ) h X ( l ) 0 .
综上，需求解下述常微分方程
分离变量法
此时方程通解可以写成
为了满足边界条件，必须
分离变量法
由以上结果可知特征问题
存在着无穷多个固有值
及相应的固有函数
分离变量法
由于方程和边界条件都是齐次的，故可利用叠加原 理构造级数形式的解
分离变量法
XmXn ''nXmXn 0, XnXm''mXmXn 0,
分离变量法
l
l
0 (X m X n '' X n X m '') d x (n m )0 X n X m d x 0
扩散定律与质量守恒定律
扩散方程
通过比较可知，扩散过程中所满足的物理规律与热 传导过程中所满足的物理规律具有非常类似的形式。
基于上述物理规律，并通过与热传导方程类似的推 导，可得如下扩散方程
第二章
2.2 初边值问题的分 离变量法
热传导方程的导出及其定解问题的导出
热传导方程的导出及其定解问题的导出1. 热传导方程的导出考察空间某物体G 的热传导问题。
以函数u (x ,y ,z ,t )表示物体G 在位置(x ,y ,z )及时刻t 的温度。
依据传热学中的Fourier 实验定律，物体在无穷小时段dt 内沿法线方向n 流过一个无穷小面积dS 的热量dQ 与物体温度沿曲面dS 法线方向的方向导数学成正比，即o n d udQ =-k (x ,y ,z )dSdt (1-1)o n 其中k (x ,y ,z )称为物体在点(x ,y ,z )处的热传导系数，它应取正值。
(1-1)式中负号的出 o u现是由于热量总是从温度高的一侧流向低的一侧，因此dQ 应和异号。
o n在物体G 内任取一闭曲面r ，它所包围的区域记为0，由(1-1)式，从时刻t 到t 流进12此闭曲面的全部热量为Q =f t 2仙k (x ,y ,z)—dS\dt (1-2)4I r O nJ这里表示u沿r 上单位外法线方向n 的方向导数。
o n流入的热量使物体内部的温度发生变化，在实践间隔(t ,t )中物体温度从u (x ,y ,z ,t )121变化到u (x‘y ,z ,t2)，它所应该吸收的热量是JU c (x ,y ,z )P (x ,y ,z )[u (x ,y ,z ,t )一u (x ,y ,z ,t )]dxdydz其中c 为比热，P 为密度。
因此就成立 >dt=JfJ C (x ,y ,z )P (x，y ,z)[u (x,y ,z ,12)一U (x ,y ,z ,t i )]dxdydz(1-3)假设函数u 关于变量x ,y ,z 具有二阶连续偏导数，关于t 具有一阶连续偏导数，利用格林公式，可以把(1-3)化为交换积分次序，就得到J t t 12仰(x ，y ,z )护t10O x{k 譽'O x 丿(一O u 、 +—k 二+—°y°y 丿 O z (O u 、k 一>dxdydzdt =c P JI o 丿J 「E O u dtdxdydztO t 丿dxdydzdt =0(1-4)训c P '0、由于t i,t2,0都是任意的，我们得到(1-5)式称为非均匀的各向同性体得热传导方程。
热传导方程
∞ ∑
0
(1 − ξ) sin kπξdξ
例 2.3 如果有一长度为 l 的均匀细棒, 其周围以及两端 x = 0, x = l 均为绝热, 初始温度 分别为 u( x, 0) = f ( x), 问以后时刻的温度分布如何? 且证明当 f ( x) 等于常数 u0 时, 恒 有 u( x , t ) = u0 . 解: ( 2 2 ) ut = a2 u xx , ∞ ∑ kπ k π u x | x=0 = u x | x=l = 0, ⇒ u( x, t) = Ck exp − 2 a2 t cos x l l u| k=0 t=0 = f ( x). ∫ ∫ 1 l 2 l kπ C0 = f (ξ)dξ, Ck = f (ξ) cos ξdξ (k 0) l 0 l 0 l f ( x ) ≡ u0 ⇒ C0 = u0 , Ck = 0 (k 0) ⇒ u( x, t) ≡ u0 .
∞ ∑
(
例 2.5 长度为 l 的均匀细杆的初始温度为 0 ◦ C, 端点 x = 0 保持常温 u0 , 而在 x = l 和 侧面上, 热量可以发散到周围的 介质中去, 介质的温度为 0 ◦ C, 此时杆上的温度分布函数 u( x, t) 满足下述定解问题: ut = a2 u xx − b2 u, u(0, t) = u0 , (u x + Hu)| x=l = 0, u( x, 0) = 0. 试求出 u( x, t). 解: 令 u( x, t) = e−b t v( x, t) + ψ( x), 则当 ψ( x) 满足
T ′ + λa2 T = 0, X (0) = X ′ (π) = 0. k = 0, 1, 2, . . . ( 1) sin k + x. 2
0
(1 − ξ) sin kπξdξ
例 2.3 如果有一长度为 l 的均匀细棒, 其周围以及两端 x = 0, x = l 均为绝热, 初始温度 分别为 u( x, 0) = f ( x), 问以后时刻的温度分布如何? 且证明当 f ( x) 等于常数 u0 时, 恒 有 u( x , t ) = u0 . 解: ( 2 2 ) ut = a2 u xx , ∞ ∑ kπ k π u x | x=0 = u x | x=l = 0, ⇒ u( x, t) = Ck exp − 2 a2 t cos x l l u| k=0 t=0 = f ( x). ∫ ∫ 1 l 2 l kπ C0 = f (ξ)dξ, Ck = f (ξ) cos ξdξ (k 0) l 0 l 0 l f ( x ) ≡ u0 ⇒ C0 = u0 , Ck = 0 (k 0) ⇒ u( x, t) ≡ u0 .
∞ ∑
(
例 2.5 长度为 l 的均匀细杆的初始温度为 0 ◦ C, 端点 x = 0 保持常温 u0 , 而在 x = l 和 侧面上, 热量可以发散到周围的 介质中去, 介质的温度为 0 ◦ C, 此时杆上的温度分布函数 u( x, t) 满足下述定解问题: ut = a2 u xx − b2 u, u(0, t) = u0 , (u x + Hu)| x=l = 0, u( x, 0) = 0. 试求出 u( x, t). 解: 令 u( x, t) = e−b t v( x, t) + ψ( x), 则当 ψ( x) 满足
T ′ + λa2 T = 0, X (0) = X ′ (π) = 0. k = 0, 1, 2, . . . ( 1) sin k + x. 2
偏微分方程讲义
2 达朗贝尔公式、波的传播
例 2.1 证明方程 [ ] ∂ ( x )2 ∂u 1 ( x )2 ∂ 2 u 1− = 2 1− ∂x h ∂x a h ∂t2
(h > 0 常数)的通解可以写成 u= F (x − at) + G(x + at) , h−x
其中 F, G 为任意的具有二阶连续导数的单变量函数, 并由此求解它的初值问题: t=0: u = φ(x), ∂u = ψ (x). ∂t
其中 k 为正常数. 齐海涛 htqi2008@ 4
山东大学威海分校
2
达朗贝尔公式、波的传播
解: 波动方程的通解为 u = F (x − at) + G(x + at), 由初始条件得 F (x) + G(x) = φ(x), −aF ′ (x) + aG′ (x) = 0
1 C 1 C F (x) − G(x) = C, F (x) = φ(x) + , G(x) = φ(x) − , 2 2 2 2
G(x) = φ(x/2) − F (0), F (0) + G(0) = φ(0) = ψ (0). ( ) ( ) x − at x + at ⇒ u(x, t) = ψ +φ − φ(0). 2 2
例 2.4 对非齐次波动方程的初值问题 (2.5)、(2.6), 证明: 当 f (x, t) 不变时, (1) 如果初始条件在 x 轴的区间 [x1 , x2 ] 上发生变化, 那么对应的解在区间 [x1 , x2 ] 的影响区域外不发生变化; (2) 在 x 轴区间 [x1 , x2 ] 上所给的初始条件唯一确定区间 [x1 , x2 ] 的决定区域中解的 数值. 解: 弄清影响区域、决定区域的定义. 例 2.5 求解 utt − a2 uxx = 0, x > 0, t > 0, u|t=0 = φ(x), ut |t=0 = 0, ux − kut |x=0 = 0,
偏微分方程讲义
其中 k 为正常数. 齐海涛 htqi2008@ 4
山东大学威海分校
2
达朗贝尔公式、波的传播
解: 波动方程的通解为 u = F (x − at) + G(x + at), 由初始条件得 F (x) + G(x) = φ(x), −aF ′ (x) + aG′ (x) = 0
1 C 1 C F (x) − G(x) = C, F (x) = φ(x) + , G(x) = φ(x) − , 2 2 2 2
《数学物理方程》讲义 第一章 波动方程
齐海涛 2010年9月30日
目录
1 方程的导出、定解条件 2 达朗贝尔公式、波的传播 3 初边值问题的分离变量法 4 高维波动方程的柯西问题 5 波的传播与衰减 6 能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性 1 3 7 10 13 14
1 方程的导出、定解条件
例 1.1 细杆(或弹簧)受某种外界原因而产生纵向振动, 以 u(x, t) 表示静止时在 x 点处 的点在时刻 t 离开原来位置的偏移. 假设振动过程中所发生的张力服从胡克定律, 试证 明 u(x, t) 满足方程 ( ) ( ) ∂ ∂u ∂ ∂u ρ(x) = E , ∂t ∂t ∂x ∂x 其中 ρ 为杆的密度, E 为杨氏模量. 解: 由细杆的假设, 在杆的垂直与杆的每一个截面上的每一点力与位移的情形是相同的. 取杆的左端截面的形心为原点, 杆轴为 x 轴. 任取 (x, x + ∆x) 上的小段 B 为代表加 以研究. t 时刻, B 的两端位移分别记作 u(x, t) 和 u(x + ∆x, t) = u(x, t) + ∆u, B 段 的伸长为 u(x + ∆x, t) − u(x, t) = ∆u, 相对伸长则为 u(x + ∆x, t) − u(x, t) ∆u ∂u = = (x, t), ∆x ∆x ∂x ∆x → 0.
热传导方程习题解答
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2015-11-27 13 / 51
初边值问题的分离变量法
Example 2.1
用分离变量法求下列定解问题的解:
ut = a2uxx (t > 0, 0 < x < π), u(0, t) = ux(π, t) = 0 (t > 0), u(x, 0) = f(x) (0 < x < π).
故单位时间流入 (x, x + ∆x) 的热量为
( ∂
) ∂u
πl2
dQ = dQ1 + dQ2 + dQ3 = ∂x
k(x) ∂x
·
x∗
4 ∆x − k1(u − u1)πl∆x.
综上, 从时刻 t1 到 t2 流入位于 [x1, x2] 杆段的热量为
∫ t2
t1
∫ x2
x1
[ ∂ ∂x
(
)
∂u
k(x) ∂x
y,
z)
∂N ∂n
dSdt.
因此从时刻 t1 到 t2 流入区域 Ω (Γ 为 Ω 的表面) 的质量为
∫ t2
D(x, y, z) ∂N dSdt = ∫ t2
t1
Γ
∂n
t1
div(DgradN)dxdydzdt.
Ω
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2015-11-27 5 / 51
热传导方程及其定解问题的导出
(
)
∂u 1 ∂ ∂t = cρ ∂x
∂u k(x) ∂x
−
4k1 cρl
(u
−
u1).
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2015-11-27 4 / 51
热传导方程与拉普拉斯方程特殊函数解析求解与应用
热传导方程与拉普拉斯方程特殊函数解析求解与应用热传导方程和拉普拉斯方程是数学物理中常见的偏微分方程，广泛应用于能量传输、温度分布、电势分布等领域。
为了求解这些方程，一种常用的方法是利用特殊函数解析求解。
本文将介绍热传导方程和拉普拉斯方程的基本概念，并详细阐述特殊函数解析求解的方法和应用。
一、热传导方程热传导方程描述了物质内部温度分布随时间的变化规律。
假设我们有一个热导率为k的均匀材料，其温度分布由函数u(x, t)表示，其中x 表示空间坐标，t表示时间。
则热传导方程可表示为：∂u/∂t = k∇²u其中，∇²是拉普拉斯算子，定义为∇² = ∂²/∂x² + ∂²/∂y² + ∂²/∂z²。
该方程描述了温度分布变化的速率与热导率和温度分布的曲率之间的关系。
为了求解热传导方程，可以采用分离变量法。
我们假设温度分布u(x, t)可以表示为两个函数的乘积：u(x, t) = X(x)T(t)。
将这个表达式代入热传导方程中可以得到：X(x)T'(t) = kX''(x)T(t)这里，X''(x)表示X(x)对x的二阶导数，T'(t)表示T(t)对t的一阶导数。
由于等式两侧只含有x和t两个变量，所以可以等号两侧除以X(x)T(t)，得到两个方程：T'(t)/T(t) = kX''(x)/X(x)左侧只含有t，右侧只含有x，而等式两侧是相等的常数，表示为λ。
于是，我们可以得到两个简化的方程：T'(t)/T(t) = λkX''(x)/X(x) = λ由于左侧只含有t，右侧只含有x，两个方程可以分别等于一个常数。
这两个方程分别称为时间方程和空间方程，它们的解分别为特殊函数T(t)和X(x)。
二、特殊函数解析求解特殊函数是满足某些特定条件的函数，常见的特殊函数有奇异函数、超几何函数、贝塞尔函数等等。
偏微分方程讲义
1 其中 C = F (0) − G(0). 由于 x + at ≥ 0, G(x + at) = 2 φ(x + at) − C 2 . 当 x − at ≥ 0 1 C 1 时, F (x − at) = 2 φ(x − at) + 2 . 此时 u(x, t) = 2 [φ(x + at) + φ(x − at)]. 当 x − at < 0 时, 由边界条件知
(1 + ka)F ′ (−at) + (1 − ka)G′ (at) = 0 对上式从 0 到 x 积分
⇒
(1 + ka)F ′ (−x) + (1 − ka)G′ (x) = 0.
−(1 + ka)F (−x) + (1 − ka)G(x) = C1 , F (−x) =
C1 = −(1 + ka)F (0) + (1 − ka)G(0).
= 0.
x=l
例 1.3 试证: 圆锥形枢轴的纵向振动方程为 [ ] ( ∂ ( x )2 ∂u x )2 ∂ 2 u E 1− =ρ 1− , ∂x h ∂x h ∂t2 其中 h 为圆锥的高. 解: 仿照第一题有 (R 为圆锥的底面半径) ρV (x) 其中 ∂u ∂u ∂2u (x, t) = ES (x + ∆x) (x + ∆x, t) − ES (x) (x, t) ∂t2 ∂x ∂x ( x )2 S (x) = πR2 1 − . h
x+t
x−t
φ1 (ξ )dξ.
x − t < 0 时, 取 u = F (x − t) + G(x + t). 当 t = x 时, 它应与上式的解相同. 当 t = kx 时, 利用边界条件有 ∫ 1 2x 1 φ1 (ξ )dξ, F (0) + G(2x) = [φ0 (0) + φ0 (2x)] + 2 2 0 F ((1 − k )x) + G((1 + k )x) = ψ (x). 由以上两式解 F 和 G 得 ( u(x, t) = ψ + 1 2 x−t 1−k ∫ x−t ) [ ( )] 1 1+k + φ0 (x + t) − φ0 ( x − t) 2 1−k φ1 (ξ )dξ, x < t < kx
(1 + ka)F ′ (−at) + (1 − ka)G′ (at) = 0 对上式从 0 到 x 积分
⇒
(1 + ka)F ′ (−x) + (1 − ka)G′ (x) = 0.
−(1 + ka)F (−x) + (1 − ka)G(x) = C1 , F (−x) =
C1 = −(1 + ka)F (0) + (1 − ka)G(0).
= 0.
x=l
例 1.3 试证: 圆锥形枢轴的纵向振动方程为 [ ] ( ∂ ( x )2 ∂u x )2 ∂ 2 u E 1− =ρ 1− , ∂x h ∂x h ∂t2 其中 h 为圆锥的高. 解: 仿照第一题有 (R 为圆锥的底面半径) ρV (x) 其中 ∂u ∂u ∂2u (x, t) = ES (x + ∆x) (x + ∆x, t) − ES (x) (x, t) ∂t2 ∂x ∂x ( x )2 S (x) = πR2 1 − . h
x+t
x−t
φ1 (ξ )dξ.
x − t < 0 时, 取 u = F (x − t) + G(x + t). 当 t = x 时, 它应与上式的解相同. 当 t = kx 时, 利用边界条件有 ∫ 1 2x 1 φ1 (ξ )dξ, F (0) + G(2x) = [φ0 (0) + φ0 (2x)] + 2 2 0 F ((1 − k )x) + G((1 + k )x) = ψ (x). 由以上两式解 F 和 G 得 ( u(x, t) = ψ + 1 2 x−t 1−k ∫ x−t ) [ ( )] 1 1+k + φ0 (x + t) − φ0 ( x − t) 2 1−k φ1 (ξ )dξ, x < t < kx
热传导动方程
数学物理方程
第二章 热传导方程
分析：（两个物理定律） 1、热量守恒定律: 温度变 化吸收 的热量
通过边 界流入 的热量
热源放 出的热 量
2、傅里叶（Fourier）热传导定律:
u dQ k ( x , y , z ) dS dt , n k ( x , y, z ) 为热传导系数。
[ F ( x , y, z , t )dV ]dt
t1
t2
由 及 t1 , t 2 的任意性知 u u u u c (k ) (k ) (k ) F ( x, y, z, t ).(1.4) t x x y y z z
数学物理方程
数学物理方程
上述定解问题可分解为下面两个混合问题：
第二章 热传导方程
(I )
ut a 2 uxx 0, 0 x l , t 0, 0 x l, t 0 : u ( x ), x 0 : u 0, x l : u hu 0, t 0; x
第二章 热传导方程
三维有热源的热传导方程： （均匀且各向同性物 体，即 c , , k 都为常数的物体）
2 2 2 u u u u 2 a 2 2 2 f ( x , y , z , t ), t y z x
(1.5)
k , 其中 a c
和
( II ) ut a 2 uxx f ( x , t ), 0 x l , t 0, t 0 : u 0, 0 x l , x 0 : u 0, x l : u hu 0, t 0. x
t
则（II）的解为: u( x , t ) 0 w ( x , t ; )d ,
第二章热传导方程
∂N D ∂y
∂ + ∂z
∂N D ∂z
.
(1.19)
上式称为扩散方程 (diffusion equations). 对扩散方程同样可以考虑 Cauchy 问题以及第一、第二与第三初边值问题.
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2015-11-27 12 / 65
1 热传导方程及其定解问题的导出 2 初边值问题的分离变量法 3 Cauchy 问题 4 极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性 5 解的渐近性态
∂y ∂y ∂z ∂z
考虑到 t1, t2 与区域 Ω 的任意性, 得
()
()
()
cρ
∂u ∂t
=
∂ ∂x
k
∂u ∂x
∂ + ∂y
k
∂u ∂y
∂ + ∂z
k
∂u ∂z
+ F.
(1.5)
(1.5) 式称为非均匀的各向同性体的热传导方程. 如物体是均匀的, 即 k, c
及
ρ
均为常数,
记
a2 =
k cρ
,
得到
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2015-11-27 7 / 65
热传导方程的导出
∂u ∂t
=
a2
(
∂2u ∂x2
+
∂2u ∂y2
+
∂2u ) ∂z2
+ f(x, y, z, t),
其中
f(x, y, z, t)
=
F(x, y, ρc
z,
t)
.
如果物体内部没有热源, 则热传导方程为
∂u ∂t
=
a2
数学物理方程(第三版)第一章练习答案全解
解: k, σ 为正常数
utt − a2uxx + kut = 0, 0 < x < l, t > 0, u|t=0 = φ(x), ut|t=0 = ψ(x), u|x=0 = 0, (ux + σu)|x=l = 0.
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 9 / 67
方程的导出、定解条件
方程的导出、定解条件
.E.xample 1.1
细杆(或弹簧)受某种外界原因而产生纵向振动, 以 u(x, t) 表示静止时在 x 点 处的点在时刻 t 离开原来位置的偏移. 假设振动过程中所发生的张力服从胡克 定律, 试证明 u(x, t) 满足方程
(
)
()
∂ ∂t
ρ(x)
∂u ∂t
=
∂ ∂x
E
∂u ∂x
,
.其中 ρ 为杆的密度, E 为杨氏模量.
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 3 / 67
方程的导出、定解条件
.E.xample 1.1
细杆(或弹簧)受某种外界原因而产生纵向振动, 以 u(x, t) 表示静止时在 x 点 处的点在时刻 t 离开原来位置的偏移. 假设振动过程中所发生的张力服从胡克 定律, 试证明 u(x, t) 满足方程
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数学物理方程
2012-10-3 3 / 67
方程的导出、定解条件
u(x + ∆x, t) − ∆x
u(x, t)
=
∆u ∆x
=
∂u ∂x
(x,
t),
∆x → 0.
由 Hooke 定律, B 两端的张力分别为 E(x)ux|x, E(x)ux|x+∆x. B 段的运动方
热传导方程与热扩散现象
热传导方程与热扩散现象人们在日常生活中常常会遇到许多与温度有关的现象，比如热水瓶中的水会逐渐变凉，夏天的火车座位会感觉非常热，生活中这些看似简单的现象都与热传导方程和热扩散现象有着密切的联系。
热传导是物质内部微观粒子的能量传递过程。
热扩散现象指的是在没有外力作用的情况下，由高温区域或高能量区域向低温区域或低能量区域进行能量传递的过程。
这两者之间存在着紧密的关联。
热传导方程是描述物质内部温度分布随时间变化的数学模型。
它是一个偏微分方程，一般形式为：∂u/∂t = D∇²u其中，u是温度分布函数，∂u/∂t表示温度随时间的变化率，D是热扩散系数，∇²是拉普拉斯算子。
这个方程告诉我们温度分布随时间的变化是由热扩散引起的。
热传导方程中的拉普拉斯算子∇²表示温度梯度的二阶空间导数。
简单来说，它描述了温度分布的曲率或弯曲程度。
如果曲率较大，也就是温度变化非常剧烈的地方，热能将更快地向相邻区域传递，引起热扩散现象。
热传导方程可以应用于许多领域，比如工程、物理、地球科学等等。
在工程领域中，我们可以利用热传导方程来研究材料的热导率和热传导性能，以便设计更高效的热能利用装置或者保温材料。
在物理领域中，热传导方程可以用来解释物质的热响应和温度变化。
在地球科学中，热传导方程常被应用于地球内部的温度研究，以推断地球的构造和演化过程。
热传导方程的解析解通常是非常困难的，需要借助数值计算方法进行求解。
一种常用的数值方法是有限差分法。
该方法将空间和时间离散化，将连续的热传导问题转化为离散的代数问题。
通过迭代求解离散的代数方程组，可以得到温度分布随时间的变化情况。
热扩散现象的具体表现形式有很多，比如杯中的热茶慢慢变凉、热水瓶中的热水逐渐降温以及夏天的火车座位感觉烫手等。
这些现象都是由于热能在物质内部通过热传导的方式进行传递导致的。
通过研究热扩散现象，我们能够更好地理解和解释这些现象的原因，并根据需要采取相应的措施。
第三章1(热传导)
n n2
, n 1,2,3,
X n ( x) Bn sin n x
T ' a 2T 0
T 'n n2a2Tn 0
Tn Cne
n 2 a 2t
n 2 a 2t
un X nTn Cn Bn e
u un Cn e
2
X X 0 0 x l X (l ) 0 X (0) 0,
数学物理方程
第三章 热传导方程
X X 0 0 x l X (l ) 0 X (0) 0,
2 0
X 2 X 0
X (0) A B 0
数学物理方程
第三章 热传导方程
2、长度为L的均匀细杆，侧面和两端均为绝热，若杆的初始温度 分布为 ( x) 求杆任意时刻的温度分布。此问题可写成如下的混合 问题：
u 2u a2 2 , 0 x l, t 0 t u (0, t ) x u (l , t ) 0, 0, t 0 x x 0 xl u ( x,0) ( x),
A B0 X 0 X Ax B
X (l ) Ael Be l
0
X 0
X B0
2 0
X 2 X 0
X (0) A 0
n n l
X A sin x B cos x X (l ) B sin l 0
数学物理方程第三章热传导方程数学物理方程第三章热传导方程二拉普拉斯变换及其性质laplace变换1拉普拉斯变换的定义数学物理方程第三章热传导方程2laplace变换的性质性质1导数性质数学物理方程第三章热传导方程利用初始条件得到数学物理方程第三章热传导方程余误差函数数学物理方程第三章热传导方程数学物理方程第三章热传导方程数学物理方程第三章热传导方程积分变换法求解问题的步骤?对方程的两边做积分变换将偏微分方程变为常微分方程?对定解条件做相应的积分变换导出新方程变的为定解条件?对常微分方程求原定解条件解的变换式?对解的变换式取相应的逆变换得到原定解问题的解?总的原则是laplace变换可以用于半空间的变量如时间变量而fourier变换可以用于整空间的变量如空间变量
数学物理方法-热传导方程
其中 n 为边界 的法线方向
法向的正向为指向系统外
例如：杆的热传导问题中，若杆的一端x=a处，是绝热的，没有热流通
过，那里的边界条件就是
u 0 n
(dQ k u ds dt 0) n
又如：均匀弦的横振动问题中，如果在其一端x=L处，是未加固定的自 由端，弦在自由端处不受位移方向的外力，从而在这个端点上弦在位
在热传导问题中，如果物体内不存在热源，物体周围的环境温度不随 时间变化，则经过相当长的时间后，物体各处的温度将不再随时间而
改变，趋向于稳定状态。这时，ut 0 ，齐次的热传导方程便化为稳
定温度场的拉普拉斯方程。
热传导方程： ut a2 (uxx uyy uzz ) ut a22u 0
变为： 2u 0
)dydz
q1 x
dxdydz
将
q1
k
u x
kux 代入，得：
Q1
x
(kux
)dxdydz
x
(kux
)dxdydz
z
Q1 x (kux )dxdydz
如果六面体中没有源和汇，则浓度对时间
的变化率为：
u Q1 (kux ) t dxdydz x
——一维扩散方程
O
A(x, y, z)
C(x, y dy, z dz)
§1.3 定解问题的提法
推导了三种不同类型偏微分方程
波动方程 热传导方程 Laplace方程
定解条件：初始条件和边界条件。 定解问题：偏微分方程和相应的定解条件
初值问题（ Cauchy(柯西)问题）：只有初始条件，没有边 界条件的定解问题
S
V
此式左端的曲面积分中S是闭曲面，利用Gauss公式将它化为三重积分，即
数学物理方程习题讲义
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.1 学习要求 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.2 习题选讲 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
u|x−at=0 = F (0) + G (2x) = ϕ (x)
u|x+at=0 = F (2x) + G (0) = ψ (x)
从而F (x) = ψ
x 2
− G (0) , G (x) = ϕ
x 2
− F (0) , 又因为u(0, 0) = ϕ(0) = ψ(0),于是F (0) +
G(0) = ϕ(0) = ψ(0).因此
,且其正向与x
轴方向相反,因此有
E(0)
∂u ∂x
(0,
t)
S
=
ku(0,
t),
或写为
−
∂u ∂x
+
σu
= 0;
x=0
其中σ = k/ES.
类似的,对x = l 端,有
−
∂u ∂x
+
σu
= 0.
x=l
4.1 学习要求 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.2 习题选讲 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
u|x−at=0 = F (0) + G (2x) = ϕ (x)
u|x+at=0 = F (2x) + G (0) = ψ (x)
从而F (x) = ψ
x 2
− G (0) , G (x) = ϕ
x 2
− F (0) , 又因为u(0, 0) = ϕ(0) = ψ(0),于是F (0) +
G(0) = ϕ(0) = ψ(0).因此
,且其正向与x
轴方向相反,因此有
E(0)
∂u ∂x
(0,
t)
S
=
ku(0,
t),
或写为
−
∂u ∂x
+
σu
= 0;
x=0
其中σ = k/ES.
类似的,对x = l 端,有
−
∂u ∂x
+
σu
= 0.
x=l
数学物理方程——4 热传导方程的建立
建立
若物体内部有热源， 设单位时间内， 单位体积内所产生的热量为
F ( x, y , z , t ),
则易得相应的热传导方程为
其中
∂u = a 2 Δu + f , ∂t F f = . cρ
数学物理方法
抛物型方程的建立
如果我们考虑的是稳恒的温度场， 温度分布达到某种动态平衡状态，
S′
单位时间流过 S ′ 的热量为
′ ′ 由 Q1 = Q2 及 S ′ 的任意性知
∂u ′ Q2 = ∫∫ −k ds. ∂n S′
⎛ ∂u ⎞ + k1 (u − u1 ) ⎟ = 0 ⎜k ⎝ ∂n ⎠S ⎛ ∂u ⎞ + k1u ⎟ = 0. 若外部介质 温度为零，则 ⎜ k ⎝ ∂n ⎠S
即 u 与时间 t 无关 ， 则有
∂u = 0, ∂t
这时上述两个方程分别变为
Δu = 0
和
Laplace方程 Poisson方程
Δu = f
数学物理方法
抛物型方程的建立
2. 扩散方程
长为 l 的柱形管，一端封闭一端开放，管外空 气中含有某种浓度为 u0的气体向管内扩散， 试写出该扩散问题的定解问题。
∂u = 0. ∂n S
（3）若传热过程中，物体G与周围介质之间 有热量交换，以 u1 表示邻接处介质的温度， 由Newton冷却定律知，
dQ = k1 (u − u1 )dsdt
（流出G的热量）
数学物理方法
抛物型方程的建立
而单位时间内通过 G 的任一部分边界 S ′ 流入周围介质的热量为
Q1′ = ∫∫ k1 (u − u1 )ds.
解
y
o
x x + dx
若物体内部有热源， 设单位时间内， 单位体积内所产生的热量为
F ( x, y , z , t ),
则易得相应的热传导方程为
其中
∂u = a 2 Δu + f , ∂t F f = . cρ
数学物理方法
抛物型方程的建立
如果我们考虑的是稳恒的温度场， 温度分布达到某种动态平衡状态，
S′
单位时间流过 S ′ 的热量为
′ ′ 由 Q1 = Q2 及 S ′ 的任意性知
∂u ′ Q2 = ∫∫ −k ds. ∂n S′
⎛ ∂u ⎞ + k1 (u − u1 ) ⎟ = 0 ⎜k ⎝ ∂n ⎠S ⎛ ∂u ⎞ + k1u ⎟ = 0. 若外部介质 温度为零，则 ⎜ k ⎝ ∂n ⎠S
即 u 与时间 t 无关 ， 则有
∂u = 0, ∂t
这时上述两个方程分别变为
Δu = 0
和
Laplace方程 Poisson方程
Δu = f
数学物理方法
抛物型方程的建立
2. 扩散方程
长为 l 的柱形管，一端封闭一端开放，管外空 气中含有某种浓度为 u0的气体向管内扩散， 试写出该扩散问题的定解问题。
∂u = 0. ∂n S
（3）若传热过程中，物体G与周围介质之间 有热量交换，以 u1 表示邻接处介质的温度， 由Newton冷却定律知，
dQ = k1 (u − u1 )dsdt
（流出G的热量）
数学物理方法
抛物型方程的建立
而单位时间内通过 G 的任一部分边界 S ′ 流入周围介质的热量为
Q1′ = ∫∫ k1 (u − u1 )ds.
解
y
o
x x + dx
热传导方程和定解条件
u u k dSdt h(u u1 )dSdt , k hu hu1. n n u h ( u ) |S f 3 ( x, y, z , t ), , n k
其中 f3 ( x, y, z, t ) 是定义在 ( x, y, z ) S , t 0 上的已知函数.
2 1
u [ k dS]dt n
t2 t1
t2
t1
u u u { [ ( k ) ( k ) ( k )]dv}dt x x y y z z
6
u ( c dv)dt t
移项即得
t2
t1
u u u u { [c ( k ) (k ) ( k )]dv}dt 0. t x x y y z z
2u 2u 2u u u A 2 2B C 2 D E Fu ci f i x xy x x y i 1
特别地,当方程(1)中的自由项 fi 0 时,则得相应的 齐次方程为 2u 2u 2u u u A 2 2B C 2 D E Fu 0. (3) x xy x x y 若 ui (i 1,2,) 是方程(3)的解,则级数(2)也是方程 (3)的解.
u
对曲面的外法向导数.
u u u u cos cos cos . n x y z
3
流入的热量使区域 内部的温度发生变化, 在时间间隔 (t1 , t2 ) 中物理温度从 u( x, y, z, t1 ) 变化到 u( x, y, z, t2 ) 所需要的热量为
2 u 2u 2u 2 u a ( 2 2 2 ). t x y z
齐次热传导 方程
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êÆÔ理方程
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热传导方程的导出
函ê������ 关u变量������, ������ , ������ 具k二阶连Y偏导ê, 关u������ 具k一阶连Y偏 导ê. 在������ 内任取一闭曲面, 它所包Œ的区••Ω, d(1.1) 知, 从ž刻������1 到������2 ž刻流入Ω 的热量• ∫︁ ������2 ∫︁ ∫︁ ������������ ������ = ������ (������, ������, ������ ) d������ d������. (1.2) ������������ ������1 Γ 在žmm隔(������1 , ������2 ) 中Ô体§度从������(������, ������, ������, ������1 ) 变化到������(������, ������, ������, ������2 ), 它所áÂ的 热量• ∫︁ ∫︁ ∫︁ ������(������, ������, ������ )������(������, ������, ������ )[������(������, ������, ������, ������2 ) − ������(������, ������, ������, ������1 )]d������d������ d������ Ω ∫︁ ������2 ∫︁ ∫︁ ∫︁ ������������ = ������������ d������d������ d������ d������, ������������ ������1 Ω 其中������ •比热, ������ •密度.
(1.6)称•齐次热传导方程, 而(1.7)称•非齐次热传导方程.
(1.6)
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定解¯题的提法
初©条‡:
������(������, ������, ������, 0) = ������(������, ������, ������ ), (1.9)
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热传导方程的导出
根据热量Å恒原理k (︂ )︂ ∫︁ ������2 ∫︁ ∫︁ ∫︁ [︂ ∫︁ ������2 ∫︁ ∫︁ ∫︁ ������ ������������ ������������ ������ ������������ d������d������ d������ d������ = ������������ ������������ ������ Ω ������������ ������1 Ω (︂ )︂ (︂1 )︂ ]︂ ������ ������������ ������ ������������ + ������ + ������ + ������ d������d������ d������ d������ ������������ ������������ ������������ ������������ 考虑到������1 , ������2 †区•Ω 的任意5, 得 (︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂ ������������ ������ ������������ ������ ������������ ������ ������������ ������������ = ������ + ������ + ������ + ������. ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������
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扩散方程
考虑分子扩散过程, 以������ (������, ������, ������, ������) 表«在ž刻������, (������, ������, ������ ) 点处扩散Ô质 的浓度, 今推导������ (������, ������, ������, ������) 所满足的方程. ŸþÅð½Æ: 如果在所考察的范Œ内没k产)扩散Ô质的源, 那么对 任意区•Ω k下ª 因浓度变化而增\的质量 = 流入的质量.
Fick *ѽÆ: 在Ã穷
žm段d������ 内, 通过Ã穷
曲面块d������ 的质量d������
(1.17)
•
������������ d������ d������ ������������ ������ 表«扩散Ô质的浓度, ������(������, ������, ������ ) •扩散系ê. d������ = −������(������, ������, ������ )
其中
������ (������, ������, ������, ������) = ������ (������, ������, ������, ������) . ������������ (1.8)
如果Ô体内部没k热源, 则热传导方程• (︂ 2 )︂ ������������ ������ ������ ������ 2 ������ ������ 2 ������ = ������2 + + . ������������ ������������2 ������������ 2 ������������ 2
边界条‡: (0 ≤ ������ ≤ ������ )
1
第一类边界条‡(Dirichlet 边界条‡)
������(������, ������, ������, ������)|à = ������ (������, ������, ������, ������) (1.10)
2
第二类边界条‡(Neumann 边界条‡) ⃒ ������������ ⃒ ⃒ = ������ (������, ������, ������, ������) ������������ ⃒Γ 第三类边界条‡(Robin 边界条‡) (︂ )︂⃒ ⃒ ������������ + ������������ ⃒ ⃒ = ������ (������, ������, ������, ������) ������������ Γ
������������ = ������2 ������������
(︂
������ 2 ������ ������ 2 ������ ������ 2 ������ + 2 + 2 ������������2 ������������ ������������
)︂ + ������ (������, ������, ������, ������), (1.7)
第二章
热传导方程
Heat Equations
齐海涛
Email: htqi2008@
ìÀŒ学威°©校 数学与Ú计学
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)Leabharlann êÆÔ理方程2008 年 12 月 9 日
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目录
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热传导方程9其定解¯题的导出 初边值¯题的分离变量法
齐海涛 (山东大Æ%海分
(1.11)
3
(1.13)
2008 年 12 月 9 日 9 / 63
)
êÆÔ理方程
定解¯题的提法
Cauchy ¯题 ������(������, ������, ������, 0) = ������(������, ������, ������ ) (−∞ < ������, ������, ������ < ∞) (1.14)
热传导方程的导出
¯题
给定一空mÔ体������, 所满足的方程. 其上的点(������, ������, ������ ) 在ž刻������ 的§度•������(������, ������, ������, ������), Á求������
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热传导方程的导出
¯题
给定一空mÔ体������, 所满足的方程. 其上的点(������, ������, ������ ) 在ž刻������ 的§度•������(������, ������, ������, ������), Á求������
Fourier 热传导定律
在一§度场������(������, ������, ������, ������) 中, 在Ã穷 žm段d������ 内, 流过一Ã穷 面积块d������ 的 热量• ������������ d������ = −������ (������, ������, ������ ) d������ d������, (1.1) ������������ 其中������ •曲面‡元所指方向的单 法向量, ������ (������, ������, ������ ) > 0 •Ô体在点(������, ������, ������ ) 处的热传导系ê, 负号表«热量从§度高的一侧流向§度低的一侧.
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热传导方程9其定解¯题的导出 初边值¯题的分离变量法
Cauchy ¯题
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4值原理、 定解¯题解的•一5和-定5 解的ì进5态
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