2412垂直于弦的直径 教学设计
人教版数学九年级上册24.1.2《垂直于弦的直径》教学设计
人教版数学九年级上册24.1.2《垂直于弦的直径》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册24.1.2《垂直于弦的直径》是圆的一部分性质的教学内容。
本节课主要让学生了解并掌握垂直于弦的直径的性质，能灵活运用这一性质解决相关问题。
教材通过实例引导学生探究，培养学生的观察、思考和动手能力，为后续圆的弦和圆弧的学习打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对图形的性质和定理有一定的理解。
但垂直于弦的直径这一性质较为抽象，学生可能难以理解。
因此，在教学过程中，要注重引导学生通过观察、操作、思考、讨论等方式，逐步掌握性质，提高学生的空间想象和逻辑思维能力。
三. 教学目标1.了解垂直于弦的直径的性质，能证明并运用这一性质解决相关问题。
2.培养学生的观察、思考、动手和合作能力。
3.提高学生对圆的一部分性质的兴趣，为后续圆的学习打下基础。
四. 教学重难点1.垂直于弦的直径的性质及其证明。
2.灵活运用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实例引导学生观察、思考，激发学生的学习兴趣。
2.问题驱动法：提出问题，引导学生探究，培养学生的解决问题能力。
3.合作学习法：分组讨论，共同完成任务，提高学生的团队协作能力。
4.实践操作法：让学生动手操作，加深对性质的理解。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示实例和动画，辅助教学。
2.教学素材：准备相关的几何图形，便于学生观察和操作。
3.教学设备：投影仪、计算机、黑板、粉笔等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实例引入课题，展示垂直于弦的直径的性质，激发学生的兴趣。
2.呈现（10分钟）展示垂直于弦的直径的性质，引导学生观察、思考，并提出问题。
3.操练（10分钟）分组讨论，让学生动手操作，证明垂直于弦的直径的性质。
4.巩固（10分钟）出示练习题，让学生独立解答，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）出示一些实际问题，让学生运用垂直于弦的直径的性质解决，提高学生的应用能力。
人教版九年级上册24.1.2垂直于弦的直径24.1.2垂直于弦的直径教学设计
人教版九年级上册24.1.2垂直于弦的直径教学设计一、教学目标1.理解垂线、垂足、垂直平分线、相交于垂足的两条线段互为垂直。
2.掌握垂直平分线的性质和应用。
3.学会用垂直平分线求直径。
二、教学重难点1.理解垂线、垂足、垂直平分线的定义和性质。
2.通过垂直平分线求直径，需要掌握数学计算方法。
三、教学过程1. 导入让学生在纸上画一个圆并标记圆心、半径，引出“弦”的概念。
通过学生们的互动，让他们理解弦是圆上任意两点之间的线段。
2. 自主学习让学生自己研究什么是垂直平分线，特别是24.1.2题目中所述的垂直于弦的直径是如何求得的。
学生可以结合自己的理解和常识，得出一些初步的结论。
3. 合作探究将学生分成若干小组，每组成员之间相互讨论，举一反三，尝试解决一些类似的问题。
为了使学生更好地理解，可以在板书上示意图，或在黑板上画出一幅图形，引导学生进行讨论。
4. 指导讲解在学生讨论之后，老师进行正式的讲解，着重讲解垂足、垂线和垂直平分线的性质，并解释直径是如何通过垂直平分线来求得的。
5. 练习巩固让学生进行巩固训练，可以把一些类似的题目给学生进行练习，根据不同程度的学生做出相应的安排和调整，以及针对学生的问题进行讲解和指导；也可以让学生在课堂上完成这些题目，检验学生的掌握程度。
例如：已知圆O的直径AB，通过直线CD（平行于AB）构造两条弦EF、GH，其中EF=9cm，GH=7.5cm，请问EF和GH的中垂线上的某点到圆心的距离是多少？6. 总结归纳在巩固训练之后，对项目进行总结归纳，在课堂上梳理本课内容，使学生对本课内容有一个深入的理解。
此外，还要通过本教学的方式来告诉学生，数学并不是枯燥无味的，也充满了趣味和乐趣。
四、教学评价教学方法：•通过讨论和示例引导学生，促进他们的思维和创造力。
•通过现代媒介如电子白板和计算机等来优化整个教学流程。
教学效果：•从学生的态度和反应来看，这种教学方式能够轻松使学生更好地理解课程内容。
人教版数学九年级上册《24.1.2垂直于弦的直径》教学设计1
人教版数学九年级上册《24.1.2垂直于弦的直径》教学设计1一. 教材分析《24.1.2垂直于弦的直径》是人教版数学九年级上册的一节重要内容。
本节内容主要介绍了垂径定理及其应用。
教材通过实例引导学生探究圆中垂直于弦的直径的性质，并运用这一性质解决一些实际问题。
本节内容既是前面所学知识的延续，也为后续学习圆的性质和圆的方程打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对图形的性质和变换有一定的了解。
但是，他们对圆的性质和应用的理解还不够深入。
因此，在教学过程中，教师需要从学生的实际出发，逐步引导学生理解和掌握垂径定理，并能够运用这一定理解决实际问题。
三. 教学目标1.让学生理解垂径定理的内容，并能够运用垂径定理解决一些实际问题。
2.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.激发学生对数学的兴趣，提高他们的数学素养。
四. 教学重难点1.重难点：垂径定理的理解和运用。
2.难点：如何引导学生从实际问题中发现垂径定理的规律，并能够一般性地表述这一规律。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、思考、讨论、总结等方式发现和理解垂径定理。
2.运用多媒体辅助教学，通过动画演示和实例分析，帮助学生直观地理解垂径定理。
3.采用分组合作学习的方式，让学生在合作中发现问题、解决问题，培养他们的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学多媒体课件和教学素材。
2.准备一些实际问题，用于引导学生运用垂径定理解决实际问题。
3.准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考圆中垂直于弦的直径的性质。
例如，在一个圆形水池中，有一根绳子绕着水面漂浮，绳子的两端分别固定在圆形水池的两侧，求绳子的中点与水池中心的距离。
2.呈现（10分钟）通过多媒体展示垂径定理的证明过程，让学生直观地理解垂径定理。
同时，引导学生观察和思考垂径定理的适用范围和条件。
24.1.2垂直于弦的直径教案
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“垂直于弦的直径在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考，例如：“你们认为这个性质在建筑或工程中可能会有哪些应用？”
24.1.2垂直于弦的直径教案
一、教学内容
《24.1.2垂直于弦的直径》为本章节的教学内容，选自人教版数学九年级下册第二十四章《圆》。本节课主要内容包括：
1.探索圆的性质：垂直于弦的直径。
2.证明垂径定理及其推论。
3.应用垂径定理解决实际问题。
二、核心素养目标
《24.1.2垂直于弦的直径》教学的核心素养目标为：
2.教学难点
-难点内容：
a.理解并证明垂径定理。
b.掌握垂径定理推论的应用。
c.将垂径定理应用于解决复杂的几何问题。
-难点突破：
a.通过动态演示或模型操作，帮助学生直观理解垂径定理。
b.分步骤引导学生进行垂径定理的证明，强调证明过程中的关键步骤。
c.设计不同难度的练习题，从简单到复杂，帮助学生逐步掌握垂径定理的应用。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解垂直于弦的直径的基本概念。垂直于弦的直径是圆内一条特殊的线段，它不仅垂直于弦，而且能够将弦平分成两段相等的部分。这个性质在几何图形的构造和解题中有着重要的作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设我们有一个圆，弦AB需要被平分，我们可以如何找到能够实现这一点的直径？通过分析，我们可以发现，只需找到垂直于AB的直径CD，就可以轻松完成这个任务。
24.1.2 垂直于弦的直径-人教版九年级数学上册教教案(学生版 教师版)
24.1.2 垂直于弦的直径-人教版九年级数学上册教教案（学生版教师版）引言本教案是针对人教版九年级数学上册中第24章《圆》中的1.2节“垂直于弦的直径”进行的教学设计。
通过本节课的学习，学生将会了解什么是垂直于弦的直径以及它们的性质和应用。
教学目标•理解垂直于弦的直径的概念；•掌握垂直于弦的直径的性质；•能够应用垂直于弦的直径解决相关问题。
教学准备•教师：教案、黑板、粉笔、教材；•学生：教材、笔、纸。
教学过程1. 导入（5分钟）通过提问的方式引入本节课的内容：•请问在一个圆中，什么是弦？•是否有些弦与圆的直径有什么特殊的关系？2. 知识点讲解（10分钟）对垂直于弦的直径的概念进行讲解，并结合教材中的相关例题进行示范。
理解垂直于弦的直径的概念垂直于弦的直径指的是与弦相交且交点在弧上的直径。
垂直于弦的直径的性质•垂直于弦的直径等分弦；•过圆心与弦的交点作弦的垂直平分线，可得到垂直于弦的直径。
3. 案例分析（15分钟）选择一些示例进行案例分析，让学生运用所学知识解决问题。
案例1：如图所示，O为圆心，AD为一条弦且BD垂直于弦AD，若AB=6cm，BD=3cm，求AD的长。
A---B| |O---D解析：由于BD垂直于弦AD，根据垂直于弦的性质可得BD等于BA的一半，即BD=3cm，而AB=6cm，所以AD=AB+BD=6cm+3cm=9cm。
案例2：如图所示，O为圆心，AB为一条直径，且C为弦上任意一点，若BC=4cm，AC=5cm，求AB的长。
A---C\t | /|/O解析：由于C为弦上任意一点，根据垂直于弦的性质可得OC垂直于AC，而OC 为半径，所以CO=OA=OB，即CO=OC=OA+AC。
又因为OC是直径，所以OC=2×OA，即CO=2×OA。
根据已知BC=4cm，AC=5cm，可得OC=OA+AC=(OB-OB+AC)=OB+BC。
根据等式CO=2×OA，可得OB+BC=2×OB。
人教版数学九年级上册教学设计24.1.2《垂直于弦的直径》
人教版数学九年级上册教学设计24.1.2《垂直于弦的直径》一. 教材分析《垂直于弦的直径》是人教版数学九年级上册第24章《圆》的一部分。
本节课主要内容是让学生掌握垂径定理，理解并证明圆中的一些特殊性质。
通过学习，学生能够运用垂径定理解决实际问题，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念、圆的性质、圆的周长和面积等知识。
但部分学生对圆的性质理解不够深入，对圆中特殊位置关系的判断和证明能力较弱。
因此，在教学过程中，要注重引导学生发现圆中的垂直关系，培养学生动手操作和解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握垂径定理，学会运用垂径定理解决圆中的问题。
2.过程与方法：培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，提高动手操作和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习圆的性质的兴趣，培养学生团队协作和积极参与的精神。
四. 教学重难点1.重点：垂径定理的理解和运用。
2.难点：圆中特殊位置关系的判断和证明。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实物演示、图形展示等手段，引导学生发现圆中的垂直关系。
2.问题驱动法：设计一系列问题，引导学生思考和探究，激发学生的学习兴趣。
3.合作学习法：学生进行小组讨论和探究，培养学生的团队协作能力。
4.讲授法：教师讲解垂径定理及相关性质，引导学生理解和掌握。
六. 教学准备1.准备相关图形和实物，如圆、弦、直径等。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
3.准备练习题和测试题，用于巩固和检验学生的学习效果。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实物或图形，展示圆中的垂直关系，引导学生关注垂直于弦的直径。
提问：你们发现了吗？垂直于弦的直径有什么特殊的性质吗？2.呈现（10分钟）介绍垂径定理的内容，并用多媒体展示垂径定理的证明过程。
让学生理解并掌握垂径定理。
3.操练（10分钟）设计一系列练习题，让学生运用垂径定理解决问题。
教师引导学生思考和探究，解答学生的疑问。
教学设计1：24.1.2垂直于弦的直径
24.1.2垂直于弦的直径情感态度价值观⒈同学们能不能找到下面这个圆的圆心？动手试一试，有方法的同学请举手。
⒉若把AB 向下平移到任意位置，变成非直径的弦，观察一下，还有与刚才相类似的结论吗？⒊要求学生在圆纸片上画出图形，并沿CD 折叠,实验后提出猜想。
⒋猜想结论是否正确，要加以理论证明引导学生写出已知，求证。
然后让学生阅读课本P81证明，并回答下列问题： ①书中证明利用了圆的什么性质？ ②若只证AE=BE ，还有什么方法？⒌垂径定理： 分析：给出定理的推理格式推论：平分弦（ ）的直径垂直于弦，并且 6．辨析题：下列各图，能否得到AE=BE 的结论？为什么？三、学生展示——面对困难别退缩，相信自己一定行！！！1．如图1，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论中，•错误的是（ ）．A ．CE=DE B ．⌒BC =⌒BD C ．∠BAC=∠BAD D ．AC>ADB ACEDOBAOMBA CEDOFBDAO CPFE(图1) (图2) (图3) （图4） 2．如图2，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是（ ）A ．4B ．6C ．7D ．83．如图3，已知⊙O 的半径为5mm ，弦AB=8mm ，则圆心O 到AB 的距离是（ ） A ．1mm B ．2mmm C ．3mm D ．4mm4．P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为________；•最长弦长为_______．5．如图4，OE ⊥AB 、OF ⊥CD ，如果OE=OF ，那么_______（只需写一个正确的结论）6、已知，如图所示，点O 是∠EPF 的平分线上的一点， 以O 为圆心的圆和角的两边分别交于点A 、Ｂ和C 、D 。
求证：ＡＢ＝ＣＤ 五、当堂检测已知：在圆O 中，⑴弦AB=8，O 到AB 的距离等于3， (1)求圆O 的半径。
2412垂直于弦的直径教学设计
1 / 4公开课教案2 / 4⑶用大屏幕打出证明过程. 结合证明过程提问:(1)证明利用了圆的什么性质? (2)证明CE＝DE还有其它方法吗? 教师小结:通过证明,我们知道猜想是正确的,因此我们可以把它叫做“垂径定理”.2、垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的﹤2﹥﹤1﹥﹤3﹥﹤4﹥﹤5﹥两条弧.（优弧、劣弧）为运用方便,将原定理叙述为:⑴过圆心；⑵垂直于弦；⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧；⑸平分弦所对的劣弧. 练习1⑴若AB为⊙Ｏ的直径, CD⊥AB于E ,⑵在下列图形中,你能否利用垂径定理找到相等的线段或的圆弧.3、例题讲解例1已知:如图,在⊙Ｏ中,弦AB的长为8㎝,圆心O到AB的距离为3㎝. 求:⊙Ｏ的半径.（学生回答,教师板书过程）学生的深刻理解和全面把握。
巩固定理的条件和结论。
教学过程学生活动3 / 4∴⊙Ｏ的半径为5㎝. 教师强调:从例1可以看出“弦心距”是一条很重要的辅助线,弦心距的作用就是平分弦,平分弦所对的弧,它和直径一样. 练习2⑴半径为5 ㎝的⊙Ｏ中,弦AB=6 ㎝,那么圆心O到弦AB的距离是；⑵⊙Ｏ的直径为10㎝,圆心O到弦AB的距离为3 ㎝,那么弦AB的长是；⑶半径为2㎝的圆中,过半径的中点且垂直于这条半径的弦长是 .例2①已知:在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的直径AB交小圆于C、D两点. 求证:AC=BD.例2②已知:在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB 交小圆于C、D两点. 求证:AC=BD. 课堂小结⑴垂径定理相当于说一条直线如果具备:⑴过圆心；⑵垂直于弦；则它有以下的性质:⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧；⑸平分弦所对的劣弧.⑵在圆中解决有关于弦的问题时,经常是过圆心作弦的垂线段（弦心距）,连结半径等辅助线,为应用垂径定理创造条件. 作业:①证明垂径定理（用等腰三角形三线合一性质证明）书中P88 3 P89 4 ②目标P90. 不同的目标。
4 / 4设计说明一、教材处理“垂径定理”是圆的重要性质，为证明线段相等和进行圆的有关计算提供了方法和依据。
24.1.2 垂直于弦的直径教学设计
24.1.2 垂直于弦的直径本节内容是前面初步理解圆后的第一个重要性质，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也是为实行圆的计算和作图提供了方法和依据．本课时主要内容有垂直于弦的直径的性质、推论及其应用．教学时要提醒学生在使用性质时要注意：直径和直径垂直于弦这两个条件缺一不可．【情景导入】(1)请同学把手中的圆对折，你会发现圆是一个什么样的图形呢？(2)请同学们再把手中的圆沿直径向上折，折痕是圆的一条什么呢？通过观察，你能发现直径与这条折痕的关系吗？【说明与建议】说明：通过折叠圆的操作，探索圆的轴对称性及垂径定理，思考利用等腰三角形的性质证明圆的轴对称性．建议：学生动手操作，并分组观察、讨论和归纳操作结果，在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和简洁性．【归纳导入】(1)操作1：如图①，沿着圆的直径折叠圆，你有什么发现？【归纳】圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴．(2)操作2：如图，将一个圆二等分、四等分、八等分．①②③(3)操作3：按下面的步骤做一做：第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两部分重合；第二步，展开，得到一条折痕CD；第三步，在⊙O 上任取一点A ，过点A 作折痕CD 的垂线，沿垂线将纸片折叠； 第四步，将纸打开，得到新的折痕，其中点M 是两条折痕的交点，即垂足，新的折痕与圆交于另一点B ，如图．在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？为什么？【说明与建议】 说明：通过对剪圆和折叠圆的操作，调动学生的积极性，活跃课堂气氛．建议：在学生操作、分析、归纳的基础上，引导学生归纳垂直于弦的直径的性质时注意全等图形或等腰三角形知识的复习和应用．命题角度1 垂径定理及推论的理解 1．下列说法正确的是(D)A ．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧B ．平分弦的直径垂直于弦C ．垂直于直径的直线平分这条直径D ．弦的垂直平分线经过圆心2．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于点E ，则下列结论中不成立是(C)A.AC ︵＝AD ︵B.BC ︵＝BD ︵C ．OE ＝BED ．CE ＝DE命题角度2 直接利用垂径定理进行计算3．如图，⊙O 的直径为10，AB 为弦，OC ⊥AB ，垂足为C ，若OC ＝4，则弦AB 的长为(C)A ．10B ．8C ．6D ．44．如图，在⊙O 中，半径r ＝10，弦AB ＝12，M 是弦AB 上的动点，则线段OM 长的最小值是(D)A ．10B ．16C ．6D ．8命题角度3 垂径定理的实际应用5．如图，一个隧道的截面图为⊙O 的一部分，路面AB ＝10米，净高CD ＝7米，则此圆半径长为(D)A ．5米B ．7米C.375米D.377米 6．(鄂州中考)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1.筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O 为圆心的圆，如图2.已知圆心O 在水面上方，且⊙O 被水面截得的弦AB 长为6米，⊙O 半径长为4米．若点C 为运行轨道的最低点，则点C 到弦AB 所在直线的距离是(B)图1 图2 A ．1米B ．(4－7)米C ．2米D ．(4＋7)米魔术蛋魔术蛋是九块板，这九块板合起来是一个椭圆，形如鸟蛋，用它可以拼出各种鸟形，因而又名“百鸟拼板”．要制作一个魔术蛋，先绘制一个椭圆形鸟蛋：上部为半圆，下部为椭圆．1．作一个圆，圆心为O ，并通过圆心，作直径AB 的垂线MN.2．连接AN ，并适当延长，再以A 为圆心，AB 的长为半径作圆弧交AN 的延长线于点C. 3．连接BN ，并适当延长，再以B 为圆心，BA 的长为半径作圆弧交BN 延长线于点D. 4．以N 为圆心，NC 为半径，作圆弧CD ，于是下部成为椭圆．5．在OM 上作线段MF 等于NC.以F 为圆心，MF 为半径作圆弧，交AB 于点G ，H ，连接FG ，FH ，这样魔术蛋便制好了．活动一：学生动手操作把事先准备好的一张圆形纸片沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你有什么发现？由此你能得到什么结论？试一试！师生活动：学生动手操作，教师观察操作结果，在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和衔接性．结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴． 活动二：出示问题从上面的动手操作可知，如图，如果⊙O 的直径CD 垂直于弦AA ′，垂足为M ，那么点A 和点A ′是对称点，把⊙O 沿着直径CD 折叠时，点A 与点A ′重合，你能找出图中有哪些相等的线段和弧吗？并说明理由．师生活动：学生进行观察、分析，通过合情推理总结结论，教师指导学生分析题目中的条件和结论．教师用多媒体演示，学生尝试归纳垂径定理后，教师补充、完善，最后用几何语言进行描述．教师板书：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．几何语言：∵CD ⊥AA ′，CD 是⊙O 的直径， ∴AM ＝MA ′，AC ︵＝A ′C ︵，AD ︵＝A ′D ︵. 活动三：教师针对图形，提出问题1：垂径定理是由几个条件得到几个结论？ 师生分析得：①直径；②垂直于弦；③平分弦；④平分优弧；⑤平分劣弧．问题2：把垂径定理中的“垂直”和“平分”互换，是否仍然成立呢？ 学生讨论、交流，并用语言进行总结，教师引导、点拨，得到结论： 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．【典型例题】例1 如图所示，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，CD ⊥AB 于点E ，则下列结论中不一定正确的是(D)A ．∠COE ＝∠DOEB ．CE ＝DE C.AC ︵＝AD ︵D ．OE ＝BE例2 如图，在⊙O 中，CD 是⊙O 的直径，AB ⊥CD 于点E.若AB ＝6，OE ＝7，则⊙O 的直径为(D)A.10 B ．210 C ．4 D ．8师生活动：教师引导学生分析，圆心到弦的距离为，连接半径，从而构造直角三角形进行解答． 例3 解答赵州桥的问题．教师引导学生分析：根据赵州桥的实物图画出几何图形，如图．教师总结：在圆中解决有关弦长或半径的问题，常需要作垂直于弦的半径或过圆心向弦作垂线段，把垂径定理和勾股定理结合，得到半径r ，弦心距d ，弦长a 之间的关系：r 2＝d 2＋(a 2)2.学生书写解答过程，教师做好点评． 【变式训练】1.如图，⊙O 中弦AB 长为8，OC ⊥AB ，垂足为E.若CE ＝2，则⊙O 半径长是(D)A ．10B ．8C ．6D ．52．如图，一根排水管道的横截面是半径为13 cm 的圆．排水管内有水，若水面宽度AB ＝24 cm ，则水管中水的最大深度为8 cm.3．已知⊙O 的直径CD ＝100 cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB ＝96 cm ，则AC 的长为(B)A ．36 cm 或64 cmB ．60 cm 或80 cmC ．80 cmD ．60 cm师生活动：学生思考，小组讨论，教师作适当引导，使学生能运用转化思想、分类讨论思想解决问题.A．12.5 B．13 C．25 D．263．一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图所示的隧道，则卡车的外形高必须低于(A)A．4.1米 B．4.0米 C．3.9米 D．3.8米师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行个别提问，并指导学生解释做题理由和做题方法，使学生在思考解答的基础上，共同交流，形成共识，确定答案.1.课堂小结：(1)你在本节课的学习中有哪些收获？有哪些进步？(2)学习本节课后，还存在哪些困惑？教师讲解主要内容：在圆内求弦的长度，常常需要过圆心作弦的垂线段，利用勾股定理进行解答．2．布置作业：(1)教材第83页练习第2题，教材第89～90页习题24.1第8，9，10，11题．(2)补充题(选做)：好山好水好绍兴，石拱桥在绍兴处处可见，小明要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面AB宽度16 m时，拱顶高出水平面4 m，货船宽12 m，船舱顶部为矩形并高出水面3 m.。
人教版九年级数学上册24.1.2垂直于弦的直径教学设计
难点：学生在解决具体问题时，能够将垂径定理与所学知识综合运用，形成系统的解题思路。
3.重点：培养学生的几何直观和空间想象能力。
难点：如何设计教学活动，使学生在探索圆的性质过程中，提升几何直观和空间想象能力。
（二）教学设想
1.创设情境，导入新课
在教学开始时，通过展示生活中的圆形物体，如硬币、圆桌等，引导学生观察并思考其中所包含的几何性质。在此基础上，提出本节课要探讨的问题：垂直于弦的直径有哪些性质？
3.注重培养学生的几何直观和空间想象能力，帮助他们将几何知识与实际图形相结合，更好地理解和运用垂径定理。
4.鼓励学生积极参与课堂讨论，分享解题思路和经验，提高他们的合作能力和交流能力。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：垂直于弦的直径的性质及其应用。
难点：如何引导学生发现并理解垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧这一性质，并能灵活运用该性质解决相关问题。
4.布置课后作业，要求学生运用垂径定理解决实际问题，巩固课堂所学。
5.教师对本节课的教学进行反思，为下一节课做好准备。
五、作业布置
为了巩固本节课所学的垂径定理及其应用，特此布置以下作业：
1.请同学们完成课本第24.1.2节后的习题1、2、3，并尝试用垂径定理解决实际问题。
2.设计一道关于垂径定理的应用题，要求包含弦长、圆心角等元素，并尝试自己解答。
3.结合生活中的圆形物体，观察并思考其中可能涉及的垂径定理问题，将观察到的现象和问题记录下来，下节课与同学们分享。
4.针对本节课的学习内容，撰写一篇学习心得，内容包括：你对垂径定理的理解、学习过程中的困难与收获、对今后学习的期望等。
5.预习下一节课的内容，提前了解圆中其他相关性质，为课堂学习做好准备。
人教版九年级上册24.1.2垂直于弦的直径24.1.2垂直于弦的直径课程设计
人教版九年级上册24.1.2垂直于弦的直径课程设计一、教学目标通过本节课的学习，学生将会掌握以下知识点：1.理解垂直的概念；2.掌握研究圆的垂线定理；3.熟练应用垂线定理解决几何问题；4.培养学生分析问题的能力，提高思维逻辑能力。
二、教学重难点1.研究圆的垂线定理，并掌握其应用方法；2.解决几何问题时，要注意分析问题，构建几何关系模型。
三、教学步骤及课时安排第一课时1. 导入向学生介绍本节课要学习的内容，并回顾学生已经学过的内容，引导学生进入本节课的学习状态。
2. 理解垂线的概念介绍垂直的概念，并通过画图示例，帮助学生理解垂线的概念。
3. 介绍圆的垂线定理•定义圆的垂线定理；•讲解垂线定理的基本思想；•通过示例介绍如何应用垂线定理。
4. 同步练习让学生在课堂上完成几道简单的练习题，巩固所学知识。
第二课时1. 检查练习检查上一节课的练习情况，并对练习中的问题进行讲解和澄清。
2. 进一步掌握垂线定理应用方法通过三个典型例题，让学生更深入地理解垂线定理应用方法。
3. 解决实际问题通过实例，引导学生分析问题，运用垂线定理解决几何问题，并指导学生如何合理地应用所掌握的知识。
4. 同步练习让学生在课堂上完成练习题，巩固所学知识，同时检查学生是否掌握了垂线定理的应用方法。
第三课时1. 检查作业检查上一节课的作业，并就作业中出现的问题进行解答和讲解。
2. 综合练习组织学生进行综合练习，让学生充分体验综合应用垂线定理的过程，锻炼综合解题能力。
3. 安排学习后的练习安排学生进行锻炼和巩固练习，检查学生对垂线定理的掌握情况。
四、教学评估1. 课堂表现评估通过学生发言、回答问题、完成课堂练习或作业的情况，来评估学生在本节课的学习中的表现情况。
2. 能力考察评估组织学生进行综合练习，考察学生的综合解题能力，以及对垂线定理的掌握程度。
同时，将学生的平时成绩、课堂参与度、作业完成情况等综合考虑，得出最终的成绩评定。
五、教学反思本节课通过垂线定理的学习，培养了学生的分析问题的能力，并提高了学生的思维逻辑能力。
2412垂直于弦的直径的教学设计12垂直于弦的直径的教学设计
1 / 4《垂直于弦的直径》的教学设计【教材分析】《垂直于弦的直径》是人教版义务教育课程标准实验教材九年级上册第二十四章第24.1.2节内容。
垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段、角相等、垂直关系的重要依据，也为进行一些圆的计算和作图问题提供了方法和依据．【学情分析】1、学生已学过轴对称图形的概念及其性质；数的范围已经扩充到实数，能灵活运用勾股定理解决实际问题．2、学生在第24.1.1节学习了圆的定义和弦、弧、等弧等概念．3、学生已具备动手操作、观察思考和合作交流的能力，初步具备了运用建模思想将实际问题转化为数学数学问题的能力．【教学目标】1、知识与技能目标：①理解圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．②掌握垂径定理及其推论．③学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题．2、过程与方法目标：经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及其推论的过程，锻炼学生的思维品质，学习几何证明的方法．3、情感与态度目标：2 / 4在学生通过观察、操作、变换和研究的过程中进一步培养学生的思维能力，创新意识和良好的运用数学的习惯和意识．【教学重点】垂径定理及其推论的发现、记忆与证明．【教学难点】垂径定理及其推论的运用．【教学用具】圆形纸张、圆规、直尺、多媒体课件．【教学过程】圆形纸张、圆规、直尺、投影仪．【教学过程】一、创设问题情境：教师提问：世界上最著名的割圆拱桥首推中国赵州桥，你知道赵州桥吗？它的设计者是谁？在学生回答的基础上，教师播放幻灯片，显示赵州桥图片，向学生介绍有关赵州桥的知识．学生：回答问题之后，一边观看图片，一边聆听老师的讲述，引发思考．（通过赵州桥知识的简单介绍，使学生认识到数学总是与现实问题密不可分，激发学生的好奇心和获得新知的欲望．）教师指出：欲解决此问题，必须具备圆中“垂直于弦的直径”的一些重要性质．二、探究学习新知：活动一：教师播放幻灯片，显示实践探究内容及要求．3 / 4将圆形纸张沿着它的任意一条直径所在的直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？学生按要求动手折叠圆形纸张若干次，经历观察、思考、归纳等数学活动过程，得到结论．教师利用幻灯片，显示结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。
24.1.2垂直于弦的直径(教案)(可编辑修改word版)
24.1.2垂直于弦的直径教学目标【知识与技能】1.通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性.2.掌握垂径定理及其推论.理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题.【过程与方法】通过探索垂径定理及其推论的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.【情感态度】1.结合本课特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透.2.激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望.【教学重点】垂径定理及其推论，会运用垂径定理等结论解决一些有关证明，计算和作图问题.【教学难点】垂径定理及其推论.教学过程一、情境导入，初步认识你知道赵州桥吗？它是1300 多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中心点到弦的距离）为7.2m.你能求出主桥拱的半径吗？（图：课本第82 页图24.1-7）【教学说明】赵州桥问题充分体现了数学与应用数学的关系，了解我国古代人民的勤劳与智慧，要解决此问题需要用到这节课的知识，这样较好地调动了学生的积极性，开启了学生的思维，成功地引入新课.二、思考探究，获取新知1.圆的轴对称性问题 1 用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？【教学说明】学生通过自己动手操作，归纳出圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴.2.垂径定理及其推论问题 2 请同学们完成下列问题：如右图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD.使CD⊥AB，垂足为 E.（1）右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么呢？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说说理由.【教学说明】问题（1）是对圆的轴对称性这一结论的复习与应用，也是为问题（2）作下铺垫，垂径定理是根据圆的轴对称性得出来的.问题（2）可由问题（1）得到，问题（2）由学生合作交流完成，培养他们合作交流和主动参与的意识.【归纳结论】垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧（优弧、劣弧）.数学语言：如上图，在⊙O 中，AB 是弦，直径CD 垂直于弦AB.∴AE=BE. AC=B C. AD=B D。
24.1.2垂直于弦的直径 教学设计
24.1.2垂直于弦的直径教学设计一、教学目标1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.2.理解垂直于弦的直径的性质和推论.3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.重点：理解垂直于弦的直径的性质和推论.难点：灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.二、教学过程探究剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？可以发现，圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴结论证明：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在的直线(对称轴)的对称点也在圆上.证明：如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C，D以外的任意一点.过点A作AA′⊥CD，交⊙O于点A′，垂足为M，连接OA，OA′.在△OAA′中，∵OA=OA′∴△OAA′是等腰三角形又AA′⊥CD∴AM=MA′即CD是AA′的垂直平分线这就是说，对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A′，因此⊙O关于直线CD对称.即圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.从前面的证明我们知道,如果⊙O的直径CD⊥AB，垂足为M，那么点A与B对称点.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧?线段: AE=BE弧：，AC BC AD BD==这样，我们就得到垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.几何语言：∵ CD 是⊙O 的直径，AB 为弦，CD ⊥AB ，垂足为E .∴ AE =BE ，AC BC AD BD ==，. 垂径定理的几个基本图形：定理辨析：想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？（1）是（2）不是，因为没有垂直 （3）是（4）不是，因为CD 没有过圆心 定理推论如果把垂径定理中“垂直于弦的直径平分弦”的题设与结论交换一下，所得命题是否成立？所得命题：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦.已知：AB 是⊙O 的一条弦， 作直径CD ，使AM =BM . 求证（1）CD ⊥AB（2）AC BC AD BD 与相等吗？与相等吗？证明:（1）连接AO ,BO ,则AO =BO又AE =BE ，∴△AOE ≌△BOE （SSS ） ∴∠AEO =∠BEO =90° ∴CD ⊥AB（2）由垂径定理可得AC BC AD BD ==，垂径定理推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 几何语言：∵ CD 是⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦(不是直径)，且AE =BE∴ CD ⊥AB ，AC BC AD BD ==，思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.➢ 特别说明：圆的两条直径是互相平分的.例2 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m ，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m ，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位)？解：如图，用AB 表示主桥拱，设AB 所在圆的圆心为O ，半径为R .经过圆心O 作弦AB 的垂线OC ，D 为垂足，OC 与AB 相交于点C ，连接OA .根据垂径定理，D 是AB 的中点，C 是AB 的中点，CD 就是拱高. 由题设可知，AB =37m ，CD =7.23m 所以，AD =12AB =12×37=18.5(m )，OD =OC -CD =R -7.23 在Rt △OAD 中，由勾股定理，得OA 2=AD 2+OD 2即 R 2=18.52+(R -7.23)2解得 R ≈27.3(m )因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m 练习1.如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm .求⊙O 的半径. 解：过点O 作OE ⊥AB ，垂足为E ，连接OA .∴AE=BE=12AB=12×8=4(cm)在Rt△AOE中，由勾股定理，得AE2+OE2=AO2即 42+32=AO2解得AO=5cm因此，⊙O的半径为5cm.三、课堂小结在利用垂径定理解题时，通常需要作___弦心距___，构造___直角三角形_______，把__垂径 __定理和_ 勾股___定理结合起来，容易得到圆的半径r，弦心距d，和弦长a之间的关系式2222ar d⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.四、作业布置见精准作业设计五、板书设计。
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公开课教案
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1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. ∵OE ⊥AB, ∴AE=EB. ∵AB=8 ㎝,∴AE=4㎝. 又∵OE=3 ㎝,
在Rt△AOE中,
∴⊙Ｏ的半径为5㎝.
教师强调:从例1可以看出“弦心距”是一条很重要的辅助线,弦心距的作用就是平分弦,平分弦所对的弧,它和直径一样. 练习2
⑴半径为5 ㎝的⊙Ｏ中,弦AB=6 ㎝,那么圆心O到弦AB的距离
是；
⑵⊙Ｏ的直径为10㎝,圆心O到弦AB的距离为3 ㎝,那么弦AB的长是；
⑶半径为2㎝的圆中,过半径的中点且垂直于这条半径的弦长是. 例2①已知:在以O为圆心
的两个同心圆中,大圆的
直径AB交小圆于C、D两点. 求证:AC=BD.
例2②已知:在以O为圆心的
两个同心圆中,大圆的弦AB 交小圆于C、D两点. 求证:AC=BD. 课堂小结⑴垂径定理相当于说一条直线如果具备:⑴过圆心；⑵垂直于弦；则它有以下的性质:⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧；⑸平分弦所对的劣弧.
⑵在圆中解决有关于弦的问题时,经常是过圆心作弦的垂线段（弦心距）,连结半径等辅助线,为应用垂径定理创造条件. 作业:
①证明垂径定理（用等腰三角形三线合一性质证明）
书中P88 3 P89 4 ②目标P90. 教师板书。
引导学生总结出圆的一条重要辅助线。
巩固定理内容。
通过例题的变式，分层教学，使学生达到不同的目标。
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设计说明
一、教材处理
“垂径定理”是圆的重要性质，为证明线段相等和进行圆的有关计算提供了方法和依据。
由于定理的证明所采用的推理方法学生比较生疏，不易理解，故在讲课时首先复习轴对称图形，根据小学学习“圆的认识”结合轴对称的定义，学生易作出判断：圆是轴对称图形，并且经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
这既是圆的性质，也可用作论证的基础。
定理的得出，采用学生自己动手，动口，动脑，教师引导，注意抓住关键，突破难点，然后通过对定理的分析与强调使学生理解定理的实质。
两个例题属计算、证明两种类型，但解题方法有相同之处，因此，把例２作为例１的延伸，将它们组合在一起，比较自然。
练习分两段插入，促进目标达成。
二、教法的设计
1、符合学生的认识规律
“垂径定理”的引入与证明，充分利用教具，并运用“实验——观察——猜想——验证”的思想方法逐步由感性到理性的认识定理，这样安排符合学生的认知规律，揭示了知识的发生、发展过程。
也符合现代教育理论中的“要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学”的观点。
2、体现学生的主体地位
在教学的过程中始终体现着“以学生为主体，教师为主导”的原则，通过学生自己的动手、观察、分析和推理获得新知识。
讲练结合，适时点拨，充分调动学生思维。
另外，注重引导学生阅读课本，巩固、总结，给以学法指导。
最后给出思考和变式，引导学生思维向更深更广发展，以培养学生良好的思维品质，并为以后的学习作好铺垫。