高中数学 第三章 第一节 第一课时 数系的扩充与复数的概念 新人教版选修1-2
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.1 数系的扩充和复数的概念教案 新人教A版选修1
内蒙古开鲁县高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1 数系的扩充和复数的概念教案新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（内蒙古开鲁县高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1 数系的扩充和复数的概念教案新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为内蒙古开鲁县高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1 数系的扩充和复数的概念教案新人教A版选修1-2的全部内容。
3。
1.1数系的扩充与复数的概念吗？ 二、新课讲解： ①定义复数：形如a bi +的数叫做复数,通常记为z a bi =+(复数的代数形式)，其中i 叫虚数单位,a 叫实部,b 叫虚部，数集{}|,C a bi a b R =+∈叫做复数集。
出示例1:下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。
23,84,83,6,,29,7,0i i i i i i +-+-- 规定：a bi c di a c +=+⇔=且b=d ，强调：两复数不能比较大小，只有等与不等。
②讨论:复数的代数形式中规定,a b R ∈,,a b 取何值时,它为实数?数集与实数集有何关系？ ③定义虚数：,(0)a bi b +≠叫做虚数,,(0)bi b ≠叫做纯虚让学生理解引入i 后,所带来的变化，让学生讨论：aa+i ai Ia+bi 是否都符合复数的一般代数形式？ 让学生学会利用复数的一般代数形式，判断复数的实部与虚部 强调:两复数不能比较大小，只有等与不等。
找到对应的a 与b 的值理解复数的一般代数形式完成答题，体会实部与虚部区分实数，虚数,纯虚数的条件理解复数集实数集的联系数。
最新人教版高中数学选修3.1.1数系的扩充和复数的概念ppt课件
不全为实数的两个复数不能比较大小。
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两 个复数相等．
若a ,b,c ,d R,
a c
a bi c di b d
例2 已知 (2 x 1) i y ，(3其中 y)i 求
x与y.
解：根据复数相等的定义，得方程组
出了复数的定义，但他们仍感到这种数有点虚无缥缈，尽管他们也感到它的 作用．1830年，高斯详细论述了用直角坐标系的复平面上的点表示复数a＋bi， 使复数有了立足之地,人们才最终承认了复数.
谢谢观看！
1.虚数单位i的引入； 2.复数有关概念：
复数的代数形式:
复数的实部 、虚部
z a bi (a R, b R)
x, y R
2x 1 y 1 (3 y)
解得 x 5 , y 4
2
求解复数方程方法：
1、由复数相等的条件，由此可获得一个方程组，再解方程组 求得问题；
2、复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思 想方法。
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两 个复数相等．
复数z=a+bi
无理数
不循环小数
(a、bR)
虚数 (b0)
特别的当 a=0 时
纯虚数
a=0是z=a+bi(a、bR)为纯虚数的
必要条但件不. 充分
2.复数的分类：
复数a+bi
思 考？
实数(b 0)
虚数(b
0)
纯虚数(a 0，b 0) 非纯虚数(a 0，b
若a ,b,c ,d R,
a c
a bi c di b d
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.1 数系的扩充和复数的概念教案 新人教A版选修1-
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1 数系的扩充和复数的概念教案新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1 数系的扩充和复数的概念教案新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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数系的扩充和复数的概念一、教学内容数系的三次扩充过程,复数的引入过程，复数概念的知识二、教学目标三、教学重点引入复数的必要性与复数的相关概念、复数的分类,复数相等的充要条件四、教学难点虚数单位i的引进和复数的概念五、学生分析学生在本章之前已经学习了《推理与证明》的内容，有了一定的推理与证明能力，有利于本节课运用类比思想对实数集进行扩充。
六、教学方法及教学用具启发引导、类比探究并运用多媒体课件展示相关知识七、教学过程（一）问题引入问题：若223+=，3x yxy=，求（1）x+y的值；（2）求x和y的值生（独立完成）：求出x+y=3或-3师:既然和能够求出来，那能不能求出x和y的值呢？生：30∆=-<,我们求不了x、y的值师：事实上在实数范围内x和y确实不存在？为什么会这样呢？假设x和y是存在的，那么就肯定是一些不是实数的数,那么，这些数是什么呢？我们能不能解决这个问题呢?这就是我们今天要学习的内容《数系的扩充和复数的引入》(二）回顾数系的扩充历程师:其实对于这种“数不够用”的情况，我们并不陌生.大家记得吗？从小学到现在，我们一直在经历着数的不断扩充.现在就让我们来回顾一下,看看我们以前是怎么解决“数不够用"的问题的。
人教版高中数学选修一教学课件-数系的扩充和复数的概念
z=x+yi(x,y∈R)中,若x≠0,则复数z一定不是纯虚数;④若a∈R,且a≠0,
则(a+3)i是纯虚数.其中正确的说法的序号是
.
分析:根据复数及其相关概念进行分析判断,注意列举反例.
解析:①错,复数由实数与虚数构成,在虚数中又分为纯虚数和非
纯虚数.
②错,只有当m,n∈R时,才能说复数z=3m+2ni的实部与虚部分别
做一做2 若a,b∈R,且2 016+ai=2 015i-b,则实数
a=
,b=
.
解:析:由复数相等的充要条件可得
2 ������
016 =2
= -������, 015,
所以a=2 015,b=-2 016.
答案:2 015 -2 016
3.复数的分类 (1)对于复数a+bi,当且仅当b=0时,它是实数;当且仅当a=b=0时,它 是实数0;当b≠0时,叫做虚数;当a=0,且b≠0时,叫做纯虚数. 这样,复数z=a+bi(a,b∈R)可以分类如下:
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
复数分类及其应用 【例2】 已知复数z=(m2-2m)+ ������2-���2���������-8i,其中m∈R.试求当m为 何值时, (1)z是实数；(2)z是虚数；(3)z是纯虚数.
解:(1)当
z
是实数时,应有������2-���2���������-8=0,即
(3)复数可以分为两大类:实数与虚数. ( ) (4)若复数z等于0,则其实部与虚部都等于0. ( )
(5)若i是虚数单位,则3+2i>1+i. ( × )
探究一
探究二
高中数学第三章《数系的扩充与复数的概念》教案新人教A版选修1-21.doc
2019-2020年高中数学第三章《数系的扩充与复数的概念》教案新人教A版选修1-212019-2020年高中数学第三章《数系的扩充与复数的概念》教案新人教A版选修1-2教学要求: 理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念教学重点：复数及其相关概念，能区分虚数与纯虚数，明白各数系的关系。
教学难点：复数及其相关概念的理解教学过程：一、复习准备：1. 提问：N 、Z 、Q 、R 分别代表什么？它们的如何发展得来的？（让学生感受数系的发展与生活是密切相关的）2．判断下列方程在实数集中的解的个数（引导学生回顾根的个数与的关系）：（1）（2）（3）（4）3. 人类总是想使自己遇到的一切都能有合理的解释，不想得到“无解”的答案。
讨论：若给方程一个解，则这个解要满足什么条件？是否在实数集中？实数与相乘、相加的结果应如何？二、讲授新课：1. 教学复数的概念：①定义复数：形如的数叫做复数，通常记为（复数的代数形式），其中叫虚数单位，叫实部，叫虚部，数集叫做复数集。
出示例1：下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。
23,84,83,6,,29,7,0i i i i i i +-+--规定：a bi c di a c +=+⇔=且b=d ，强调：两复数不能比较大小，只有等与不等。
②讨论：复数的代数形式中规定，取何值时，它为实数？数集与实数集有何关系？③定义虚数：叫做虚数，叫做纯虚数。
④数集的关系：0,0)0)0,0)Z a a ⎧⎧≠≠⎧⎧≠⎧⎧≠=⎧⎧实数(b=0)复数一般虚数(b 虚数(b 纯虚数(b 上述例1中，根据定义判断哪些是实数、虚数、纯虚数？2.出示例题2：（引导学生根据实数、虚数、纯虚数的定义去分析讨论）练习：已知复数与相等，且的实部、虚部分别是方程的两根，试求：的值。
（讨论中，k 取何值时是实数？）小结：复数、虚数、纯虚数的概念及它们之间的关系及两复数相等的充要条件。
三、巩固练习：1．指出下列复数哪些是实数、虚数、纯虚数，是虚数的找出其实部与虚部。
高中数学 3.1.1数系的扩充和复数的相关概念课件 新人教A版选修1-2
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6
►变式训练
1．有下列命题：
①若 a，b∈R，则 z＝a＋bi 为虚数；②若 b∈R，则 z＝bi 必为
纯虚数；③若 a∈R，则 z＝a 一定不是虚数；④两个虚数不能比较大
小．
栏
其中，正确命题的序号是(D)
目
链
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
接
复数的分类
m 取何实数时，复数 z＝m2m－＋m3－6＋(m2－2m－15)i，
解析：由复数相等的概念，得方程组
x2＋y2－6＝0，
①
x－y－2＝0.②来自由②得 x＝y＋2，代入①，得 y2＋2y－1＝0.
解得 y1＝－1＋ 2，y2＝－1－ 2. 所以 x1＝1＋ 2，x2＝1－ 2. 即x1＝1＋ 2，或x2＝1－ 2，
y1＝－1＋ 2 y2＝－完1整－版p2p.t
栏 目 链 接
a2－5a－6≠0， a≠－1且a≠6， a2－1≠0， ⇒a≠±1， a2－7a＋6＝0 a＝1或a＝6.
则 a 不存在，∴z 不可能完为整版纯p虚pt 数．
栏 目 链 接
11
题型二 复数相等的充要条件
例 2 已知 x2＋y2－6＋(x－y－2)i＝0，求实数 x，y 的值．
分析：可根据 a＋bi＝0⇔a＝0 且 b＝0 来解．
目 链
略．②纯虚数要求实部为零的条件也易考虑不周．③本题“或”和 接
“且”等逻辑用语的使用会模糊，应重点分析．
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9
►变式训练
2．实数 a 为何值时，复数 z＝a2－a27－a＋1 6＋(a2－5a－6)i：
(1)是实数？
栏
目
(2)是虚数？
链
人教版数学 选修1-2 1 数系的扩充和复数的概念(共14张ppt)教育课件
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
有些人经常做一些计划，有的计划几乎 不去做 或者做 了坚持 不了多 久。其 实成功 的关键 是做很 坚持。 上帝没 有在我 们出生 的时候 给我们 什么额 外的装 备，也 许你对 未来充 满迷惑 ，也许 你觉得 是在雾 里看花 ，但是 只要我 们不停 的去做 ，去实 践，总 是可以 走到一 个鲜花 盛开的 地方， 也许在 那个时 候，你 就能感 受到什 么叫柳 暗花明 。走向 成功的 过程就 好像你 的起点 是南极 ，而成 功路径 的重点 在北极 。那么 无论你 往哪个 方向走 ，只要 中途的 方向不 变，最 终都会 到达北 极，那 就在于 坚持。
高中数学《3.1.1数系的扩充和复数的概念》课件1 新人教A版选修1-2
【变式1】 已知下列命题：
①复数a＋bi不是实数；
②当z∈C时，z2≥0； ③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2； ④若复数z＝a＋bi，则当且仅当b≠0时，z为虚数； ⑤若a、b、c、d∈C时，有a＋bi＝c＋di，则a＝c且b＝d.
其中真命题的个数是________．
A．0 B．1 C．2 D．3
[思路探索] 只需根据复数的有关概念判断即可． 解析 ①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符
合复数相等的充要条件，①是假命题．
②由于两个虚数不能比较大小，
∴②是假命题． ③当x＝1，y＝i时， x2＋y2＝0成立，∴③是假命题． 因为复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故④错；因为－1
题型二
复数相等的充要条件的应用
【例 2】 (1)已知 x2－y2＋2xyi＝2i，求实数 x、y 的值． a (2)关于 x 的方程 3x － x－1＝(10－x－2x2)i 有实根，求实数 2
2
a 的值． [思路探索] 先确定“＝”两边复数的实部和虚部，然后列方 程组求解．
解
(1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，
2x－1＝－b， ∴ 1＝b－3，
3 3 x＝－ ， x＝－ ， 2 2 解得 ∴ b＝4. y＝4i.
题型三 复数的分类 m2＋m－6 【例 3】 当实数 m 为何值时，复数 z＝ ＋(m2－2m)i 为 m (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数．
[规范解答]
规律方法
(1)利用复数相等，我们可以把复数问题转化为实数问
题来解决．
(2)复系数方程有实根问题，实际上就是两个复数相等的问题．
【变式 2】 求适合等式(2x－1)＋i＝y＋(y－3)i 的 x、y 值．其中 x ∈R，y 是纯虚数． 解 设 y＝bi(b∈R 且 b≠0)代入等式得
中学高中数学 第三章 第一节 第一课时 数系的扩充与复数的概念课件 新人教版选修1-2
式,应先化为这种形式,得到复数的实部、虚部再进行求解.
(2)应特别注意 z=a+bi(a,b∈R)是纯虚数的条件是 a=0 且 b≠0,
不能忘记 b≠0 这一限制条件.
三、复数相等
活动与探究 3
(1)已知(a2-b)+4i=6+(a-b)i,求实数 a,b 的值.
那么 a+bi≠c+di(a,b,c,d∈R).所以,一般地,两个复数只有说相等或
不相等,而不能比较大小,例如 1+i 和 3+5i 不能比较大小.
当堂检测
1.复数 2+ 3的虚部为(
)
A. 3
B.2
C.i
D.0
解析:复数 2+ 3为实数,虚部为 0.
答案:D
2.若复数 z=(x2-1)+(x-1)i 为纯虚数,则实数 x 的值为(
并非不可以比较大小,当两个复数都是实数时就可以比较大小,故③
错.因此正确命题的个数为 0.
答案:(1)①②③ (2)0
迁移与应用
下列说法中正确的是(
)
A.在复数 a+bi(a,b∈R)中,若 a≠0,则 a+bi 一定不是纯虚数
B.实数 a 与纯虚数 ai 是一一对应的
C.满足 x2=-1 的数 x 只能为 i
预习导引
1.复数
(1)复数与复数集
集合 C={a+bi|a,b∈R}中的数,即形如 a+bi(a,b∈R)的数叫做复
数,其中 i 叫做虚数单位,全体复数所成的集合 C 叫做复数集.
(2)复数的代数形式
3.1.1_数系的扩充和复数的概念课件人教新课标
把实数 a与新引入的数i相加,结果记作a +i; 把实数b与i相乘,结果记作bi; 把实数a与实数b和i相乘的结果相加,结果 记作a + bi.
加法和乘 法的运算律仍然成立 ,这些运算的结果 都可以写成 a + bi(a,b∈R)的形式,把这些数都添 加到数集 A中去.
数集扩充到有理数集
边长为1的正方形的对角线长度为多少？
？
1Hale Waihona Puke 1无理数是“推”出来 的.公元前六世纪，古希 腊毕达哥拉斯学派利用毕 达哥拉斯定理，发现了 “无理数”. “无理数” 的承认（公元前4世纪） 是数学发展史上的一个里 程碑.
数集扩充到有实数集
毕达哥拉斯 (约公元前560——480年）
数集扩充到实数集
负数是“欠”出来的. 它是由于借贷关系中量的 不同意义而产生的.我国 三国时期数学家刘徽（公 元250年前后）第一给出 了负数的定义、记法和加 减运算法则. 数集扩充到整数集
刘徽（公元250年前后）
分数（有理数）是“分” 出来的.早在古希腊时期， 人类已经对有理数有了非 常清楚的认识，而且他们 认为有理数就是所有的数.
这样的数都可以看作是a + bi(a,b∈R) 的特殊形式,所以实数系经过扩充后
得到的新数集应该是C = a + bi|a,b∈R .
复数的概念
我们把集合 C = a + bi|a,b∈R 中的数,即形
如a + bia,b∈R的数叫做复数(complex number),
其中i叫做虚数单位(imaginary unit).全体复数 所成的集合 C叫做复数集(set of complex numbers).
高中数学第3章3.1.1数系的扩充和复数的概念课件新人教选修12.ppt
实__数__b＝0 R)虚__数__b≠0纯 非虚 纯数 虚数a_＝___a0__≠_0_
3．复数相等的充要条件 设a、b、c、d都是实数，则 a＋bi＝c＋di⇔a_＝__c_，_b_＝__d___； a＋bi＝0⇔_a＝__b_＝__0__.
问题探究
1．复数m＋ni的实部是m，虚部是n吗？ 提示：不一定，只有当m、n∈R时，m才是实部， n才是虚部． 2．复数就是虚数吗？ 提示：复数与虚数不是同一个概念，现在所见的 所有数都是复数，它包括实数和虚数两大部分．
解得x＝－32， y＝4.
∴x＝－32，y＝4.
【思维总结】 一般根据复数相等的充要条件， 可由一个复数等式得到实数等式组成的方程组， 从而可确定两个独立参数，本题就是利用这一重 要思想，化复数问题为实数问题得以解决．
互动探究3 若本例条件变为x、y∈R，且满足
(2x－t)＋i＝－y－(t＋y)i.求点(x，y)满足的轨
复数z＝a＋bi(a、b∈R)，根据a，b的取值可分 为实数、虚数及纯虚数． 例2 当 实 数 m 为 何 值 时 ， 复 数 z ＝ m2＋mm－6＋(m2－2m)i 为(1)实数；(2)虚数； (3)纯虚数．
【 思 路 点 拨 】 据复数的分类标准 → 列出式子 → 解出m → 结论
m2－2m＝0
3．两个复数能否比较大小？ 提示：对于复数z＝a＋bi(a、b∈R)，当b＝0时 能比较大小，当b≠0时，不能比较大小．即两个 不全是实数的复数不能比较大小．
课堂互动讲练
考点突破
考点一 复数的概念和性质
规定i与实数可以进行四则运算，在进行 运算时，原有的加、乘运算律仍然成立， 即与原数集不矛盾．
【解】 (1)当m≠0
高中数学人教版选修数系的扩充和复数的概念课件系列一
(6)的实部为 0，虚部为 0，是实数．
概念小结
复数 a＋bi 中，实数 a 和 b 分别叫做复数的实部和虚部．特 别注意，b 为复数的虚部而不是虚部的系数，b 连同它的 符号叫做复数的虚部．
跟踪训练
符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例 子；若不存在，请说明理由．
(1)实部为－ 2的虚数； (2)虚部为－ 2的虚数； (3)虚部为－ 2的纯虚数； (4)实部为－ 2的纯虚数． 解 (1)存在且有无数个，如－ 2＋i 等；
(2)存在且不唯一，如 1－ 2i 等； (3)存在且唯一，即－ 2i； （4）不存在，因为纯虚数的实数为 0.
例 2 当实数 m 为何值时，复数 z＝m2＋mm－6＋(m2－2m)i 为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 解 (1)当mm2≠－02m＝0 ，即 m＝2 时，复数 z 是实数； (2)当mm2≠－02m≠0， 即 m≠0 且 m≠2 时，复数 z 是虚数；
2．复数的分类及包含关系 实数b＝0
(1)复数(a＋bi，a，b∈R)虚数b≠0纯非虚纯数虚数a＝a0≠ 0 (2)集合表示：
3．复数相等的充要条件
设 a，b，c，d 都是实数，那么 a＋bi＝c＋di⇔ a＝c且b＝d .
新知探究
一. 复数的概念
问题 1 为解决方程 x2＝2，数系从有理数扩充到实数；那 么怎样解决方程 x2＋1＝0 在实数系中无根的问题呢？ 答 设想引入新数 i，使 i 是方程 x2＋1＝0 的根，即 i·i＝ －1，方程 x2＋1＝0 有解，同时得到一些新数．
问题 2 两个复数相等的充要条件是什么？ 答 复数 a＋bi 与 c＋di 相等的充要条件是 a＝c 且 b＝ d(a，b，c，d∈R)．
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的概念(第1课时)预习导航 新人教
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念(第1课时）预习导航新人教A版选修2—21．复数的概念及代数表示法(1)定义：我们把集合C＝｛a＋b i｜a，b∈R｝中的数，即形如a＋b i（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位,全体复数所组成的集合C叫做复数集，规定i·i＝－1.（2）表示:复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i(a，b∈R)．这一表示形式叫做复数的代数形式．对于复数z＝a＋b i，以后不作特殊说明，都有a,b∈R,其中的a与b分别叫做复数z 的实部与虚部．思考1如何理解虚数单位i？提示：①i2＝－1；②i可与实数进行四则运算,且原有的加、乘运算律仍成立．2．复数相等的充要条件在复数集C＝｛a＋b i|a，b∈R｝中任取两个数a＋b i，c＋d i(a，b，c，d∈R),我们规定：a＋b i与c＋d i相等的充要条件是a＝c且b＝d.思考2两个复数能否比较大小？提示：两个复数不一定能比较大小,只有当两个复数全部为实数时，才能比较大小，否则不能比较大小，只能判定这两个复数相等或者不相等．这是因为虚数单位i与实数0的大小关系不确定,若i＞0，则两边同乘以i,有i2＞0,即－1＞0，这是不可能的．若i＜0，则两边同时平方得i2＞0，即－1＞0，这也不可能．3．复数的分类(1)对于复数a＋b i,当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时,它是实数0;当b≠0时，叫做虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．这样，复数z＝a＋b i(a,b∈R)可以分类如下:复数a＋b i（a，b∈R）错误!（2)集合表示：思考3 a＝0是z＝a＋b i（a，b∈R)为纯虚数的什么条件？提示：必要不充分条件．当a＝0，b＝0时,z＝0∈R.当z为纯虚数时，a＝0，b≠0，所以为必要不充分条件．。
2020-2021学年高二数学选修1-2第三章3.1.1数系的扩充和复数的概念教案
数系的扩充和复数的概念一、内容和内容解析1.内容数系的扩充和复数的概念2.内容解析《数系的扩充与复数的概念》是人教版普通高中课程标准数学实验教科书选修1-2第三章第一节的内容，大纲课时安排一课时。
主要包括数系概念的发展简介，数系的扩充，复数相关概念、代数形式、相等条件、分类.复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，引入复数以后，不仅可以使学生对于数的概念有一个更为完整的认识，也为进一步学习数学打下了基础。
通过本节课学习，要使学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用.在学习了这节课以后，学生首先能知道数系是怎么扩充的，并且这种扩充是必要的，虚数单位i在数系扩充过程中的作用，而复数就是一个实数加上一个实数乘以i的形式，学生能清楚的知道一个复数什么时候是实数，什么时候是虚数，什么时候是纯虚数，两个复数相等的充要条件是什么.本节课让学生在经历一系列的思维活动后，完成对知识的探索，变被动地“接受问题”为主动地“发现问题”，加强学生对知识应用的灵活性，深化学生对复数的认识，提高学生分析问题和解决问题的能力.基于以上分析，确定本节课的教学重点是：数系的扩充以及复数的有关概念.二、目标和目标解析1.目标（1）使学生体会数的概念是逐步发展的，初步体会引入虚数单位i的合理性；了解引入复数的必要性；（2）理解复数的基本概念；掌握两复数相等的充要条件；能够对复数进行简单的分类;（3）在培养学生类比与转化的数学思想方法的过程中，激发学生勇于探索创新的精神，提高学生的创新思维和应用意识．2.目标解析（1）学生对数的概念已经扩充到实数，也已清楚各种数集之间的包含关系等内容，但知识是零碎、分散的，对数的生成发展的历史和规律缺乏整体认识与理性思考，知识体系还未形成.（2）作为新学知识，理解复数的基本概念，掌握复数有关知识，为今后学习奠定基础，承上启下.（3）通过问题设置，引领学生追溯历史，提炼数系扩充原则，帮助学生合乎情理的建立新的认知结构，让数学理论自然诞生在学生的思想中.三、教学问题诊断分析学生已经学过自然数、整数、有理数、实数等数系，但是对知识的认识相对比较零碎、分散，对知识没有一个系统性的理解，同时由于虚数单位i的概念非常抽象，又与学生原有的知识冲突，因此在学习过程中可能遇到的问题有：1.学生不太容易体会数系再次扩充的必要性.2.由于学生的认知能力有限，学生很难发现数系扩充前后对于运算法则的一致性要求.3.由于学生对数系扩充的知识不熟悉，对了解实数系扩充到复数系的过程有困难，也就是对虚数单位i的引入难以理解.在学习本节课的过程中，复数的概念如果采用单纯的讲解会显得比较枯燥无味，教学时，采用已学过的数集的认识历程，让学生体会数系的扩充是生产实践的需要，介绍数的发展过程，使学生对数的形成、发展的历史和规律有着比较清晰的认识，让学生能够在问题探索中掌握新知.基于以上分析，确定本节课的教学难点是：对引入复数引入必要性的认识以及从实数到复数的扩充历程．四、教学支持条件分析根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，利用图片展示数系学习历程，另外通过演示，体会复数从无到有的发展过程.五、教学过程分析（一）课题引入多媒体课件展示“数学的魅力在于用数来诠释全世界”，引入课题.设计意图：采用名言欣赏的方式进行情景引入，紧扣主题，展示本节课学习的意义.（二）复习回顾1.已经学习了哪些数集？2.回顾数的学习历程情境一一年级数学第一节《数一数》情境二三年级（上）数学第八节《分数的初步认识》情境三三年级（下）数学第七节《小数的初步认识》情境四六年级数学第一节《负数》情境五七年级数学第六节《实数》师：我们回顾了对数系的认识历程，我们看到数系在不断地进行扩充，从自然数到整数，再到有理数，乃至实数，请你思考：（1）人们为什么不断地扩充数系？师：从上述过程可以看出，满足社会实践的需要，是数系扩充的一个重要原因．正所谓自然数是“数”出来的，分数是“分”出来的，负数是“欠”出来的．另外，数学内部的发展、需求也是一个重要的原因！例如，求下列方程的解：x+3=1；3x−2=0；x2−2=0．如果没有数系的合理扩充，这些方程的解就是一个问题，数学本身也不可能协调的发展．因此，数学源于社会实践又服务于社会实践，问题或数学矛盾是数学发展的动力．（2）数学扩充的一般原则是什么？师：数系的扩充不仅仅是增加一种新的数，它还涉及数的运算．因此，数系的扩充还需保留原来的基本运算，用今天的话来讲，就是要向前“兼容”，不能推倒小楼建大楼．具体来讲，就是加、减、乘、除、乘方和开方的运算律应得到继承．比如要满足加法、乘法的交换率和结合律以及乘法对加法的分配律．设计意图：通过梳理数系的学习历程，体会数系扩充的必要性，了解数系扩充前后的联系，为后面学习做好铺垫.（三）问题导引师：数系的扩充是否就此止步不前了呢？如果不是，新的数系又是什么呢？情境六与数学家的对话 16世纪意大利数学家达尔卡诺在他的著作中写到“将10分成两部分，使他们的乘积等于40”，这是不可能的，不过我却用下列方式解决了：10=(5+√−15)+(5−√−15)，40=(5+√−15)(5−√−15)．师：这样一个似乎简单的问题为什么会有争议呢？这两个表达式有什么问题？又包含了有哪些“合理”的成分，没有让数学家们一巴掌把它拍死？师：的确，虽然16世纪实数理论还没有完善，但任何一个（实）数的平方都是一个非负数，或者负数的开方没有意义的道理是人所共知的．这里√−15是什么？他有什么意义吗？是√−15个苹果还是√−15斤棉花？你卡尔达诺能说清楚吗？不过，另一方面，根据当时还不太严谨的运算法则，这两个式子好像也没什么大的问题（先不管√−15是什么，和为10，积为40也是明显的），至少就数学论数学来说，还马马虎虎有点意思，不能因为看不顺眼就拍死它吧？设计意图：以问题形式吸引学生注意力，承上启下，调动学生的积极性.（四）问题探究提出1637年，法国数学家笛卡尔在他的《几何学》中把这样的数称为“i maginary” .（“想象中的数”,虚数）迷茫“……，它大概是存在和虚妄两界中的两物”．——德国数学家莱布尼茨“……我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻．”——瑞士数学大师欧拉发展1777年，欧拉在其论文中首次用符号“i ”表示√−1，称为虚数单位．1832年，德国数学家高斯第一次引入复数概念，一个复数可以用a＋b i来表示，其中a，b是实数，i代表虚数单位完善1837年哈密顿用有序实数对(a，b)定义了复数及其运算，并说明复数的加、乘运算满足实数的运算律，把实数看成特殊的复数，建立完整的复数系．复数的概念 1.形如a+b i(a,bϵR)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位2.全体复数所成的集合叫做复数集，一般用字母C表示3.复数的代数形式：复数通常用字母z表示，即z= a+b i(a,bϵR)其中a 与b分别叫做z的实部与虚部设计意图：通过问题的提出、迷茫、发展和完善过程，让学生感受有实数系扩充到复数系的历程，体会数学家的创新精神和实践能力，让学生参与其中，培养学生解决问题的能力，增强学生解决问题的自信心.练习完成课后练习1设计意图：巩固所学内容，加强对复数概念的认识.（五）自主学习阅读请阅读教材51页完成下面的问题：1．两个复数相等的充要条件是什么？2．复数集C和实数集R之间有什么关系？3．复数集是怎么分类的？设计意图：让学生通过自己去阅读、思考的方式获得知识，培养学生积极参与的意识和自主探索的能力.练习完成课后练习2、3设计意图：及时反馈，学以致用，加强对知识的认识，提高学生的解题能力.（六）例题讲解例：实数m取什么值时，复数z=(m+1)+(m－1)i是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．分析：因为m∈R，所以m+1，m-1都是实数．由复数z=a+b i是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m的取值．解：（1）当m-1=0，即m=1时，复数z是实数；（2）当m-1≠0，即m≠1时，复数z是虚数；（3）当m+1=0，且m-1≠0即m=-1时，复数z是纯虚数．设计意图：通过例题，强化复数相等的充要条件，提高分析、解决问题的能力，规范做题步骤.变式练习实数m取什么值时，复数z=(m-1)(m+2)+(m-1)(m-3)i是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）0.设计意图：增加题目难度，检验学生学习情况.（七）课堂小结这节课你学到了哪些内容，你有什么收获？学生活动：学生发言交流自己的收获，其他同学补充．设计意图：通过学生总结，教师提炼，培养学生归纳概括的能力，回顾本节课内容，为以后学习打下基础.（八）课后作业1、书面作业：习题3.1A组 1，2.2、课后探究：请你收集一些从实数系扩充到复数系的数学史料，并对“自然数——整数——有理数——实数——复数”的数系扩充过程进行整理.设计意图：巩固本节课所学知识，同时带着新的问题走出课堂，扩大学生的视野，加深对知识的认识，激发学生课外学习数学的兴趣.（九）知识拓展复数的应用师：在本节课我们看到，虚数从提出到完善大约经历了300年的历程,数学也就是在这种曲折、矛盾中不断的向前发展．复数系建立之后，人们又把复数和向量联系起来，并在复数的基础上建立了复变函数理论，成为数学新的一个分支，其在流体力学、机翼理论等方面有着广泛的应用，从我们熟悉的飞机制造，到引以为傲的高铁，再到跨世纪的伟大工程——三峡大坝，复数都起到了重要的作用．可谓虚数不虚，学海无涯！设计意图：拓展了学生的知识面，使学生思想得到升华.教学评析本节课的学习，一方面帮助学生回忆数系扩充的过程，体会虚数引入的必要性和合理性，让学生参与有实数系到复数系的扩充历程;一方面，让学生理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件，为今后的学习奠定基础.从各个环节上看，本节课主要亮点有：采用名言欣赏的方式进行情景引入，紧扣主题，调动学生的积极性和求知欲。
《数系的扩充和复数的概念》人教版高中数学选修1-2PPT课件(第3.1.1课时)
当且仅当a b 0时,它是实数0; 当b 0时,叫做虚数; 当a 0且b 0时,叫做纯虚数.
新知探究
这样，复数 z a bi 可以分类如下 :
复数
z
实数 虚数
b b
0 0
,
当a
0时为纯虚数
.
复数集, 实数集, 虚数集, 纯虚数集之间的关系, 可用图 示表示.
新知探究
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．
若a,b, c, d R,
a c
a bi c di b d
注意：1.若z1,z2为实数时，则具有大小关系 2.如果z1,z2不都为实数时，z1和 z2只有相等或不相等的关系，不能比较大小。
例如：2 3i 与 1 i 不能比较大小
讲解人：XXX 时间：2020.6.1
纯虚数集
新知探究
例：下列复数是虚数吗？并指出实部和虚部分别是多少？
3 2i
，1 2
3i ，
31i 2
， 0.2i
它们都是虚数
纯虚数
新知探究
解 （1）当m -1 = 0,即m = 1时,复数z是实数; （2）当m -1≠ 0,即m ≠1时,复数z是虚数; （3）当m +1
例2 已知（x+y）+（x-2y）i=（2x-5）+（3x+y）i，求实数x,y的值.
巩固练习
1. 复数z=（m-2）(m+5)+(m-2)（m-5）i，
m∈R，则z为纯虚数的充要条件是m为( D )
A.2或5 B.5 C.2或-5
D.-5
3.1.1数系的扩充和复数的概念课件人教新课标
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
[问题1] 方程2x2－3x＋1＝0.试求方程的整数解？方程的 实数解？
[提示 1] 方程的整数解为 1，方程的实数解为 1 和12. [问题2] 方程x2＋1＝0在实数范围内有解吗？ [提示2] 没有解．
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
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2．实数 x 分别取什么值时，复数 z＝x2－x＋x－3 6＋(x2－2x－ 15)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
解析： (1)要使 z 是实数，必须且只需
x＋3≠0 x2－2x－15＝0
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
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(2)由复数相等的充要条件知
x＋32＝y，
①
2y＋1＝4x，
②
2x＋ay＝9，
③
－4x－y＋b＝－8， ④
由①②得x＝52， y＝4，
代入③④得ab＝＝12 .
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第三章 数合作探究 课堂互动
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答案： A
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第三章 数系的扩充与复数的引入
自主学习 新知突破
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复数的概念
已知复数 z＝a2－a27－a＋1 6＋(a2－5a－6)i(a∈R)，试求 实数 a 分别取什么值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚 数．
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第三章 数系的扩充与复数的引入
解析： (1)由复数相等的充要条件知