江苏省2014年高考数学二轮专题复习素材：训练7

常考问题7三角恒等变换与解三角形

(建议用时：50分钟)

1．(2013·济宁二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则b等于________．

解析∵S＝1

2ac sin B＝2，∴

1

2×1×c×sin 45°＝2.

∴c＝4 2.

∴b2＝a2＋c2－2ac cos B＝1＋32－2×1×42×cos 45°.

∴b2＝25，b＝5.

答案 5

2．(2013·北京东城区期末)在△ABC中，A，B，C为内角，且sin A cos A＝sin B cos B，则△ABC是________三角形．

解析由sin A cos A＝sin B cos B得sin 2A＝sin 2B＝sin(π－2B)，所以2A＝2B

或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π

2，所以△ABC为等腰或直角三角形．

答案等腰或直角

3．(2013·浙江卷改编)已知α∈R，sin α＋2cos α＝10

2，则tan 2α等于________．

解析∵sin α＋2cos α＝10 2，

∴sin2α＋4sin α·cos α＋4cos2α＝5 2.

化简，得4sin 2α＝－3cos 2α，

∴tan 2α＝sin 2α

cos 2α＝－

3

4.

答案－3 4

4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C等于________．

解析先用正弦定理求出角B的余弦值，再求解．

由b sin B ＝c

sin C ，且8b ＝5c ，C ＝2B ， 所以5c sin 2B ＝8c sin B ，所以cos B ＝4

5. 所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2 B －1＝7

25. 答案 7

25

5．已知tan β＝43，sin(α＋β)＝5

13，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为________． 解析 依题意得sin β＝45，cos β＝35；注意到sin(α＋β)＝5

13π2(否则，若α＋β≤π2，则有0<β<α＋β≤π2，0

13，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)·cos β－cos(α＋β)sin β＝6365. 答案 63

65

6．(2013·衡水调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知a 2－c 2＝2b ，且sin A cos C ＝3cos A sin A ，求b ＝______.

解析 在△ABC 中，sin A cos C ＝3cos A sin C ，则由正弦定理及余弦定理有a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝3·b 2＋c 2－a 2

2bc ·c ，化简并整理得2(a 2－c 2)＝b 2.又由已知a 2－c 2＝2b ，则4b ＝b 2，解得b ＝4或b ＝0(舍)． 答案 4

7．若α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝32，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝－12，则cos (α＋β)＝________.

解析 ∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴－π4<α－β2<π2，－π2<α2－β<π4，由cos ⎝ ⎛

⎭⎪⎫α－β2＝32和

sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

α2－β＝－12得α－β2＝±π6，α2－β＝－π6，当α－β2＝－π6，α2－β＝－

π6时，α＋β＝0，与α，β∈⎝ ⎛

⎭

⎪⎫0，π2矛盾；当α－β2＝π6，α2－β＝－π6时，α＝β＝π3，此时

cos (α＋β)＝－1

2. 答案 －1

2

8．(2013·苏北四市模拟)在△ABC 中，AD 为BC 边上的高线，AD ＝BC ，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，则b c ＋c

b 的取值范围是________． 解析 因为AD ＝BC ＝a ，由12a 2＝1

2bc sin A ，

解得sin A ＝a 2

bc ，再由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫b c ＋c b －a 2bc ＝

12⎝ ⎛⎭

⎪⎫

b c ＋c b －sin A ， 得b c ＋c

b ＝2cos A ＋sin A ，又A ∈(0，π)，

所以由基本不等式和辅助角公式得b c ＋c

b 的取值范围是[2，5]． 答案 [2，5]

9．(2010·江苏卷)某兴趣小组要测量电视塔AE 的高度

H (单位：m)．如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度h ＝4 m ，仰角∠ABE ＝α，∠ADE ＝β.

(1)该小组已测得一组α，β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H 的值；

(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d (单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精度．若电视塔的实际高度为125 m ，试问d 为多少时，α－β最大？

解 (1)由AB ＝

H tan α，BD ＝h tan β，AD ＝H

tan β

及AB ＋BD ＝AD ，得H tan α＋h tan β＝H

tan β， 解得H ＝h tan α

tan α－tan β＝4×1.241.24－1.20＝124.

因此，算出的电视塔的高度H 是124 m. (2)由题设知d ＝AB ，得tan α＝H

d .