椭圆、双曲线切线方程的一个简便求法

椭圆、双曲线切线方程的一个简便求法

中学数学研究2009年第6期

的直线方程.

分析:要求A的内外角平分线所在的直

线方程,只要分别求出它们的斜率即可,由角平

分线到两边的角相等,很容易求出斜率.

解:设A的角平分线为AM,由AB到

AM的角等于AM到Ac的角可知:

kAc--kAM

,解得k-=711k

Ac

AM或+.忌

AB+.‰

忌=一专,所以直线AM的方程为:ll:7x—

Y一17=0或Z2:+7y一31=0,它们分别是

A的内外角平分线所在的直线方程.因为内

角平分线内分对边,所以点B,C应在AM的

异侧.经验证,点B,C在直线l1的异侧,而点

B,C在直线z2的同侧.因而z1:7x—y一17=0

为A内角平分线所在直线方程,z2:z+7y一

31=0为A的外角平分线所在的直线方程.

例7已知集合A={(,Y)IY一√3z≤

0},集合B={(z,Y)I+(Y一口)≤1},若A

nB=B,求a的取值范围.

解:Y一√3z≤0表示直线Y一√3z=0右下

方的平面区域,+(Y—a)≤1表示圆+

(Y一口)=1的内部和圆周上的点的集合,要使

AnB=B,只要z+(Y一口)≤1的区域全部

在Y一√3z≤0区域的右下方即可,所以圆心到

直线的距离大于这个圆的半径就可以了.

I一一I

即d=L>1,由于a<0,所以口<一2.

总之,线性规划不光能解决目标函数在线

性约束条件下的最值问题,还可以解决与平面

区域有关的问题,而且运算量较小.因此可以促

进思维能力创新,请在复习中认真体会,仔细推

敲.

参考文献

[1]高考复习专题二,2009年高考复习预测.中学数学

教学增刊.

[2]陈贵伦.直线与椭圆位置关系问题的换元解法,中

学数学教学(.,).2009,1.

簟■j-}_}业,'}j-}-}-}j-}-}jkr,'簟j.},Ij●}1■}j-}_}■}—j●}-}——j_}j-}1-'}j-}—_}1■}j-}j-

椭圆,双曲线切线方程的一个简便求法

江西省吉安县二中(343100)罗章军

大家都知道,求椭圆,双曲线切线方程通常

用导数法,△法等,但运算量都较大.笔者运用

线性规划知识找到一种求椭圆,双曲线切线方

程新法,较为简便实用.现简述如下.

定理1若直线z:Y=如+m为椭圆

f.znncosa

,.

(口>0,b>o,∈[0,27f))的切线,

(Yo—Osm0'

设z=k.zo+m—Yo,贝0仃mx=0或tIli=0.其

中k为直线z的斜率.

证明:若l与椭圆相切,则椭圆上的点都在

z的同侧,据线性规划知识可知,对于椭圆上任一

点P(xo,Yo),=kXo+m—Yo>/o或≤0,

.

'

.liII=0或一=0,当且仅当P为切点时等

号成立.

例1为使直线j,z+m与椭圆+

25=1有两个公共点,求的范围.

解:设=.z+6为椭圆+25=1的切

线,令z=xo+b-yo,其~中.1(x

.

o

:

=

5

1

s

2

i

c

n

osO

∈[.,

27r),因为=13+b=0或z.m=一13+b

=0'...Y=z±13为已知椭圆的切线,所以m

∈(一13,13).

例2求函数s=的值域.

解:令P(2cos0,sin0),Q(一4,一3),则

==一

sinO-

一

(f-

一

3)

2cosO42eosO4=足'...s的值域+一

(一)''

2009年第6期中学数学研究

即为椭~圆{x0=2

.

cos0

上的点P与Q连线的斜

lY0一slnU

率范围,设过Q的切线方程为Y+3=k(z+

4),令z=o—Y0+4k一3,则z=2kcosO—

sin0+4k一3,由=0或Zmi:0,得

4k一3±而:0,.?.k:—3+43.

.

.

[学,学].

定理2若直线l:Y=妇+为双曲线

{xo:=asect).,(a>0,b>0,0EyobtanO(一号,)u'{(>,>,(一_兰_,)【J【=,,,2'2 (詈,))的切线,其中k为直线z的斜率,令

kzo+m—Yo,则(zcos0)=0或(zcosO)~

=0.

证明:①.若直线与双曲线右支相切,当

k>0时,因为双曲线的右支都位于l的右侧,

据线性规划知识可知对于右支上任一点P

(X0,yo),有=kcco+m—Y0>/o,显然此时0

∈(一,詈),.'.cosO>0,.'.有zcosO≥0,因此

(zcos0)TI1i:0,而当k<0同理可得(zcosO)

=

0.当且仅当P为切点时等号成立.

②.若直线l与双曲线左支相切时,同样可

得0E(詈,警)时有(cos0)rI1i=0或

(zcos0).~x=0.当且仅当P为切点时等号成

立.又因为ZCOS0=(0+m—Yo)ms0=ah+

mcos0一bsin0,由正弦函数的性质可知,若

zmsO在开区间(一号,詈)与(号,萼)存在最大

值或最小值,其值分别为+√6+m2.一

V厂.

综合①②,若直线1:=taz+为双曲线

的切线,则有(zcosO)=0或(ZCOS0)r=x=0.

例3求过点(1,2)且与双曲线等一=1

相切的直线方程的斜率.

解:若P(xo,Yo)为双曲线上任一点,则有

c一苎,设切线

方程为Y一2=k(z一1),令=kxo—0+2一

k,...zcosO=3k一2sin0+(2一志)cosO,由

(zeosO)=0或(zcosO)一=0,得3k±

研:0,...忌:寺.

坐坐业坐业业业坐业~~e,,ale--ale-.ale--ale-业坐业业业业坐业尘业业业坐一

道课本复习题的证法研究与拓展

西北师范大学实验中学(730070)宋波