整系数多项的因式分解问题

整系数多项式的因式分解问题摘要：多项式理论是高等代数与解析几何的重要内容，是进一步学习代数学及其他数学分支的必要基础。

多项式理论是整个高等代数与解析几何课程中一个相对独立而自成体系的部分，它不以高等代数与解析几何的其他章节的内容为基础，但却为高等代数与解析几何的其他部分提供理论依据。

本文主要讨论整系数多项式的基本概念与性质，多项式的根及其值，和在有理数域上的因式分解问题。

关键词：多项式；因式分解；Eisenstein 判断法；多项式的根；有理数域。

引言：在Q 上讨论多项式的因式分解问题，我们已经论证了在有理数域Q 上和在整数环Z 上其可约性是一致的，即在整数环Z 上若)()()(x h x g x f = （1）当然可以看成有理数域Q 上的多项式分解结果。

反过来，（1）式中)(x f 为整系数多项式，而)()(x h x g 、是有理数域Q 上的多项式，那么通过)()(x h x g 、的系数处理可以使其成为整系数多项式)()(11x h x g 、，满足)()()(11x h x g x f =，因此在Q 上讨论因式分解问题往往给出的只是整数环Z 上的多项式。

一.Eisenstein 判断法的研究此处介绍判断整系数多项式可约性的如下方法：定理1.1 设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++⋅⋅⋅++=--是一个整系数多项式，若是能够找到一个素数p 。

使1）最高次项系数n a 不能被p 整除； 2）其余各项的系数都能被p 整除； 3）常数项0a 不能2p 整除， 那么多项式)(x f 在有理数域不可约。

这一方法叫做Eisenstein 判断法。

在判断一些多项式可约性及诸如无理数判断有其直接作用。

例1. 存在有理数域上的任意次不可约多项式。

事实上，下列整系数多项式2)(-=n x x f不论其n 取任意正整数，都存在素数p=2满足Eisenstein 判断法的条件。

例 2. 证明2是无理数。

（2）上述（2）中取n=2，若2是有理数，则2x 2-在Q 上可约，与Eisenstein 判断结果矛盾。

由此，我们可以判断以下数均为无理数⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅,732,532,72,52,32,732,532,72,52,32,7,5,3,2,7,5,3,2,7,5,3,23333344443333一般地，n21t p p p ⋅⋅⋅(其中t p p p ,,,21⋅⋅⋅为互不相同的素数）均为无理数。

事实上t n p p p x x f ⋅⋅⋅-=21)(由Eisenstein 判断法可知不可约，若n 21t p p p ⋅⋅⋅为无理数，则多项式可约，矛盾。

Eisenstein 判别法为我们判断一个多项式是否不可约提供一种手段，但它并非是多项式不可约的必要条，事实上可以用Eisenstein 判断法判断其不可约的多项式并不是很多，经行适当研究可以进一步发挥Eisenstein 判断法的作用。

关于变换的问题例3. 设p 为一素数，多项式1)(21++⋅⋅⋅++=--x x x x f p p叫做分圆多项式，试证明)(x f 在有理数域上不可约。

直接用Eisenstein 判断法难以找到一个素数，而令1+=y x ，那么1)1()1()1()()1()(21+++⋅⋅⋅++++==+=--y y y y g y f x f p p由于1)()1(-=-p x x f x即y C y C y C y y y yg p p p p p p p p 122111)1()(---+⋅⋅⋅+++=-+=于是得到1211)(---+⋅⋅⋅++=p pp p p C y C y y g （3） 因为!)1()1(k k p p p C kp +-⋅⋅⋅-=，p k <≤1是一个整数，均能被p 整除，事实上，上式右端分子能被!k 整除，p k <，!k 与p 互素，因此1)k -(p 1)-(p |!+⋅⋅⋅k所以kp C 是p 的倍数。

这样，多项式（3）可以找到一个素数p ，p 不能整除（3）的最高次项的系数，可以整除（3）的其余系数，但常数项p C p p =-1不能被2p 整除，从而（3）在有理数域上不可约，那么)(x f 在有理数域上也不可约，因为如果在[]x Q 中存在)()(21x f x f 、使)()()(21x f x f x f = ，那么根据这个例子我们考虑以下两个问题：1）)(x f 在有理数域上的可约性与)()(b y f y g +=或者)()(b ay f y g +=在有理数域上的可约性是否一致？2）当)(x f 无法用Eisenstein 判断法判断其可约性时是否一定可以通过某种变换后可以使用Eisenstein 判断法进行判断？ 我们先来看如下问题。

定理1.2 在有理数域上多项式)(x f 与)()(b ay f y g +=可约性相同。

证明 设)(x f 在有理数域上不可约，但)(x g 在有理数域上可约，且设)()()()(21x g x g b ax f x g =+=其中 2,1,)()(0=∂<∂i x g x g i 令aby a x -=1，则 )1()1()1()(21aby a g a b y a g a b y a g y f --=-=， 说明)(x f 在有理数域上可约，矛盾。

反过来，)()(b ay f y g +=在有理数域上不可约，但)(x f 可约，且设)()()(21x f x f x f =其中2,1,)()(00=∂<∂i x f x f i ，那么)()()(21b ay f b ay f b ay f ++=+，即 )()()(21y f y f y g =， 与)(x g 不可约矛盾。

这个定理给我们采取变换后使用Eisenstein 判断法提供了理论保障，一些不能直接使用Eisenstein 判断法的多项式可采用适当的变换。

例4. 证明14+x 在有理数域上不可约。

证明： 令1+=y x ，则24641)1(123444++++=++=+y y y y y x取p=2，用Eisenstein 判断法即知2464)(234++++=y y y y y g不可约，从而14+x 也不可约。

二．多项式的根及其值与因式分解利用根研究多项式的因式分解在复数范围内是很常见的。

例5. 讨论1-n x 的因式分解。

解： 在复数范围内，1-n x 的n 个根是nk i n k k ππε2sin 2cos+=， 1,,1,0-⋅⋅⋅=n k ，所以 ∏-=-=-1)(1n k knx x ε在实数域上，当n 为奇数时，1-n x 只有一个实根10=ε，因此只有一个一次因式1-x ，其余的均为二次不可约因式，由相互共轭的非实根jε及)210(-≤<=-n j j n εε， 确定)210(12cos2))(())(()(2-≤<+-=--=--=-n j n j x x x x x x x j n j j j j πεεεεϕ， 所以∏-=+--=-2112)12cos2()1(1n j n nj x x x x π当n 为偶数时，1-n x 有两个实根：10=ε和12-=nε，因此只有两个一次因式1-x 和1+x ，其余的均为二次不可约因式，由相互共轭的非实根j ε及)20(nj j n j <<=-εε确定 12,,2,1,12cos2)(2-⋅⋅⋅=+-=nj n j x x x j πϕ， 所以∏-=+-+-=-1212)12cos2()1)(1(1nj n nj x x x x x π再有理数范围内的分解式根据的不同要具体分析，但有定理2.1 1|1--nd x x 的充要条件是n d |证明 充分性 设n d |，ε是一个d 次单位原根，即12,,,,1-⋅⋅⋅d εεε是1-d x 的所有根，由于1=dε，所以1=n ε，于是1,2,1,0,11)()(-⋅⋅⋅====d s s s n n s εε，说明1-dx 的根全是1-nx的根，故1|1--n d x x必要性 因为1|1--n dx x，设ε是1-d x 的一个原根di edi d πππε22sin 2cos =+=因此1|)(--dxx ε，从而1|)(--n x x ε，说明12sin 2cos)(22=+===dn i d n eedn indinππεππ， 即n d|，证毕。

例6. 设)()()()(x S x R x Q x P 、、、是整系数多项式，满足)()1()()()(2345255x S x x x x x R x x xQ x P ++++=++，即1-x 是)()()(x R x Q x P 、、的公因式。

解： 设ε是15-x 的原根，则432,,,εεεε是1234++++x x x x 的四个根，将32,,εεε带入本题所设的等式得)1()1()1(0)1()1()1(0)1()1()1(63422=++=++=++R Q P R Q P R Q P εεεεεε 这是关于)1()1()1(R Q P 、、的齐次线性方程组，其系数行列式 ∏≤≤≤≠-=31634220)(111j i j i εεεεεεεε ，从而只有零解，即0)1()1()1(===R Q P ，所以)(|1,)(|1,)(|1x R x x Q x x P x ---例7. 设)(x f 是整系数多项式，试证：如果)0(f 和)1(f 都是奇数，那么)(x f 不能有整数根。

证明： 若α是)(x f 的一个整数根，有)()()(1x f a x x f -=，)(1x f 是整系数多项式，于是)0()0(1f f α-=，)1()1()1(1f f α-=，因为α与α-1中有一个是偶数，所以)0(f 和)1(f 不可能都是奇数。

例8. 设d cx bx x x f +++=23)(是整系数多项式，如果cd bd +是奇数，则)(x f 在有理数域上不可约。

证明： 如果)(x f 在有理数域上可约，则在整数环上可约，于是存在整数r q p ,,，使d cx bx x r qx x p x x f +++=+++=232))(()(得到⎪⎩⎪⎨⎧==+=+d pr c r pq b q p 由cd bd +为奇数推出c b +和d 均为奇数，又由q p r p r pq q p c b )1(+++=+++=+为奇数推出q p )1(+为奇数，从而p +1为奇数，由此又得p 为偶数，矛盾!故)(x f 在有理数域上不可约。