2019-2020全国高考专题全国卷Ⅲ(理)数学试卷

；
故选 .
4.
【答案】
C
【考点】
指数式与对数式的互化
函数的求值
【解析】
根据所给材料的公式列出方程 ，解出 即可.
【解答】
解： ，
所以 ，
所以 ，
解得 .
故选 .
5.
【答案】
B
【考点】
抛物线的性质
抛物线的标准方程
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
【解析】
利用已知条件转化求解 两点的坐标，通过几何关系求解抛物线方程，即可得到抛物线的焦点.
20.
【答案】
解： 设 ， ，
则 ，
所以 .
因为 ，解得 ，
所以 ，
所以 的方程为 .
设点 ， ，又 ， ，
则 ， ，
所以 ，
得 .
过 作 轴，如图所示，
所以 ，又 ，
所以 ， ，又 ，
所以 ，
得 ， ，即 ，
所以 ,
得 .
将 的坐标代入椭圆方程得 ，
解得 ，则 或 ，
所以 ， 或 ， .
当 ， 时， ，
【解答】
解：设 ， ，且 ，
则由题意得 ， ，
又 ，
，
，
综上求得 ．
故选 ．
12.
【答案】
A
【考点】
对数值大小的比较
指数式与对数式的互化
【解析】
利用作商法可判断 的大小，然后通过指数与对数的互化又可以判断 的大小，最终确定 的大小关系．
【解答】
解：根据题意知 .
由
，
∴ .
因为 ， ，
所以 ， .
即 ， .
直线 的方程为： ，
到直线 的距离为 ，
所以 ；
当 ， 时， ，
直线 的方程为： ，
到直线 的距离为 ，
所以 .
综上， 的面积为 ．
【考点】
椭圆的离心率
三角形的面积公式
椭圆的应用
椭圆的标准方程
平面向量数量积
点到直线的距离公式
【解析】
根据 ， ， ，代入计算 的值，求出 的方程即可；
画出椭圆的图象，求出 点坐标，结合图象得出 的面积即可．
对于④，令 ，则 ，
由双勾函数 的性质，
可知 ，
所以 无最小值，④错．
故答案为：②③.
三、解答题
17.
【答案】
解： 由 ， ，
， ，
，
猜想 的通项公式为 .
证明如下：（数学归纳法）当 ， ， 时，显然成立；①
假设 时，即 成立，其中 ，
由 ，②
故假设成立.
综上①②，所以 .
令 ，
则前 项和
，③
由③两边同乘以 得：
16.
【答案】
②③
【考点】
函数的对称性
函数的最值及其几何意义
【解析】
根据函数奇偶性的定义，对称性的判定，对称轴的求法，逐一判断即可得出正确结论.
【解答】
解：对于①，由 可得函数的定义域为 ，
故定义域关于原点对称，
由 ，
所以该函数为奇函数，关于原点对称，①错②对；
对于③，
由 ，
所以 关于 对称，③对；
参考答案与试题解析
2019-2020全国高考专题全国卷Ⅲ（理）数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
不等式的概念与应用
交集及其运算
【解析】
利用交集定义求出 ，进而求出 中元素的个数．
【解答】
解：由题意可得 ， ，
∴ ，
∴点 ， ， ， 符合题意.
故选 ．
2.
【答案】
D
【考点】
复数代数形式的乘除运算
求数列 的前 项和 .
18.某学生兴趣小组随机调查了某市 天中每天的空气质量等级和当天到公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：
分别估计该市一天的空气质量等级为 ，ห้องสมุดไป่ตู้， ， 的概率；
求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；
若某天的空气质量等级为 或 ，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为 或 ，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下列的 列联表，并根据列联表，判断是否有 的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
，④
由③ ④得
，
化简得 .
【考点】
数列的求和
数列递推式
数学归纳法
【解析】
利用数列的递推关系式求出 ，猜想 的通项公式，然后利用数学归纳法证明即可；
化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的前 项和 .
【解答】
解： 由 ， ，
， ，
，
猜想 的通项公式为 .
证明如下：（数学归纳法）当 ， ， 时，显然成立；①
【解答】
解：将 代入 ，
得 ．
由 ，
得 ，
即 ，
得 ，
所以抛物线 的焦点坐标为 ．
故选 ．
6.
【答案】
D
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
平面向量数量积
向量的模
【解析】
利用已知条件求出 ，然后利用向量的数量积即可求出向量夹角的余弦值．
【解答】
解：由
，
又 ，
所以
.
故选 ．
7.
【答案】
A
【考点】
余弦定理
【解析】
又因为 ，
所以 ，
即 .
综上所述： ．
故选 ．
二、填空题
13.
【答案】
【考点】
求线性目标函数的最值
简单线性规划
【解析】
先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值， 表示直线在 轴上的截距的一半，只需求出可行域内直线在 轴上的截距最大值即可．
【解答】
解：如图所示，可行性区域为图中阴影部分，
可化为直线 ，
A. B. C. D.
11.已知双曲线 ： 的左右焦点 ， ，离心率为 ． 是 上的一点，且 ．若 的面积为 ，则 ( )
A. B. C. D.
12.已知 ， ．设 ， ， ，则( )
A. B. C. D.
二、填空题
13.若 ， 满足约束条件 则 的最大值是________.
14. 的展开式中常数项是________（用数字作答）.
【解答】
解： 设 ， ，
则 ，
所以 .
因为 ，解得 ，
所以 ，
所以 的方程为 .
设点 ， ，又 ， ，
则 ， ，
所以 ，
得 .
过 作 轴，如图所示，
所以 ，又 ，
所以 ， ，又 ，
所以 ，
得 ， ，即 ，
所以 ,
得 .
将 的坐标代入椭圆方程得 ，
解得 ，则 或 ，
所以 ， 或 ， .
当 ， 时， ，
2019-2020全国高考专题全国卷Ⅲ（理）数学试卷
一、选择题
1.已知集合 ， ，则 中元素的个数为( )
A. B. C. D.
2.复数 的虚部是( )
A. B. C. D.
3.在一组样本数据中， ， ， ， 出现的频率分别为 ， ， ， ，且 ，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是( )
由条件易知该圆锥内半径最大的球为该圆的内接球，数形结合可得出球的半径，最后根据球的体积公式即可求解.
【解答】
解：该圆锥轴截面为底边长为 ，腰为 的等腰三角形，其内切圆为该球的大圆.
该三角形的周长为 ，面积为 ，
由于三角形面积 ，周长 和内切圆半径 的关系为 ，
所以 ，
故该球的体积为 .
故答案为： .
当直线经过 时， .
故答案为： .
14.
【答案】
【考点】
二项式定理的应用
【解析】
先求出二项式展开式的通项公式，再令 的幂指数等于 ，求得 的值，即可求得展开式中的常数项的值．
【解答】
解：因为 ，
由 得 ，
所以常数项为 .
故答案为： .
15.
【答案】
【考点】
球的表面积和体积
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4. 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 （ 的单位：天）的 模型： ，其中 为最大确诊病例数.当 时，标志已初步遏制疫情，则 约为( )
A. B. C. D.
5.设 为坐标原点，直线 与抛物线 交于 ， 两点，若 ，则 的焦点坐标为( )
在 上单调递增，在 上单调递减，
易得 ， ，
先根据余弦定理求出 ，再代入余弦定理即可得出结论.
【解答】
解：如图，
由余弦定理可知
，
可得 .
又由余弦定理可知
.
故选 .
8.
【答案】
C
【考点】
由三视图求表面积
【解析】
先由三视图分析几何体的直观图，然后再利用三视图的数据和三棱锥的表面积公式计算即可.
【解答】
解：还原几何体，如图三棱锥 所示，
该三棱锥是棱长为 的正方体的一部分，
直线 的方程为： ，
到直线 的距离为 ，
所以 ；
当 ， 时， ，
直线 的方程为： ，
到直线 的距离为 ，
所以 .
综上， 的面积为 ．
21.
【答案】
解： ，
∵曲线 在点 处的切线与 轴垂直，
∴曲线 在点 处的切线斜率为 ，
∴ ，
解得 .
证明：设 为 的一个零点，
根据题意， ，且 ，
则 .
由 ， ，显然 在 上单调递减，
【解答】
解： 设 ， ， ，
如图，以 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系 .
连结 ，则 ． ， ， ，
， ，
得 ，
因此 ，
即 ， ， ， 四点共面，
所以点 在平面 内．
由 得 ， ， ，
， ，
， ，
设 为平面 的法向量，
则
即
可取 .
设 为平面 的法向量，
则
同理可取 .
因为 ，
所以二面角 的正弦值为 .
【解答】
解：由于直线 与圆相切，
故圆心 到直线 的距离为圆半径 ，
符合条件的只有 ， ，
将答案 的直线方程代入 ，得： ，无解；
将答案 的直线方程代入 ，得： ，有一解 .
故选 .
11.
【答案】
A
【考点】
双曲线的应用
双曲线的标准方程
【解析】
利用双曲线的定义，三角形的面积以及双曲线的离心率，转化求解 即可．
若 有一个绝对值不大于 的零点，证明： 的所有零点的绝对值都不大于 .
22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数且 ）， 与坐标轴交于 ， 两点．
求 ；
以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 的极坐标方程．
23.设 ， ， ， ， .
证明： ；
用 表示 ， ， 的最大值，证明： .
生活中概率应用
用频率估计概率
众数、中位数、平均数
独立性检验
【解析】
用频率估计概率，从而得到估计该市一天的空气质量等级为 ， ， ， 的概率；
采用频率分布直方图估计样本平均值的方法即可得到答案；
由公式 计算 的值，从而查表即可.
【解答】
解： ，
，
，
.
.
完成 列联表如下：
人次
人次
合计
空气质量好
空气质量不好
附： ，
19.如图，长方形 中，点 ， 分别在棱 ， 上，且 ， .
证明：点 在平面 内；
若 ， ， ，求二面角 的正弦值．
20.已知椭圆 的离心率为 ， ， 分别为 的左、右顶点．
求 的方程；
若点 在 上，点 在直线 上，且 ， ，求 的面积．
21.设 ， ，曲线 在点 处的切线与 轴垂直.
求 ；
复数的基本概念
【解析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再根据复数的基本概念即可得到答案．
【解答】
解： ，
所以该复数的虚部为 .
故选 ．
3.
【答案】
B
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
利用已知条件求出各组数据的方差，方差大的对应的标准差也大.
【解答】
解： ， ，
所以 ；
， ，
；
， ，
；
， ，
合计
则
.
∵ ，
∴有 的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.
19.
【答案】
解： 设 ， ， ，
如图，以 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系 .
连结 ，则 ． ， ， ，
， ，
得 ，
因此 ，
即 ， ， ， 四点共面，
所以点 在平面 内．
由 得 ， ， ，
， ，
， ，
设 为平面 的法向量，
假设 时，即 成立，其中 ，
由 ，②
故假设成立.
综上①②，所以 .
令 ，
则前 项和
，③
由③两边同乘以 得：
，④
由③ ④得
，
化简得 .
18.
【答案】
解： ，
，
，
.
.
完成 列联表如下：
人次
人次
合计
空气质量好
空气质量不好
合计
则
.
∵ ，
∴有 的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.
【考点】
A. B. C. D.
6.已知向量 ， 满足 ， ， ，则 （）
A. B. C. D.
7.在 中， ， ， ，则 ( )
A. B. C. D.
8.如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是( )
A. B. C. D.
9.已知 ，则 ( )
A. B. C. D.
10.若直线 与曲线 和圆 相切，则 的方程为( )
其中 ，
，
所以其面积为：
.
故选 .
9.
【答案】
D
【考点】
两角和与差的正切公式
【解析】
利用两角和与差的正切公式进行展开化简，结合一元二次方程的解法进行求解即可.
【解答】
解：由题可知 ，
化简得： ，
解得： ．
故选 .
10.
【答案】
D
【考点】
圆的切线方程
点到直线的距离公式
【解析】
根据直线 与圆 相切，利用选项中直线到圆心的距离等于半径，再将直线与曲线 联立求解即可得出答案.
则
即
可取 .
设 为平面 的法向量，
则
同理可取 .
因为 ，
所以二面角 的正弦值为 .
【考点】
用空间向量求平面间的夹角
用向量证明平行
空间点、线、面的位置
空间直角坐标系
【解析】
建立空间直角坐标系，通过直线平行的关系，可以证明四点共面；
通过空间直角坐标系，分别求出平面 的一个法向量与平面 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角 的余弦值，再由同角三角函数基本关系式求得二面角 的正弦值．
15.已知圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，则该圆锥内半径最大的球的体积为________.
16.关于函数 .
① 的图像关于 轴对称；
② 的图像关于原点对称；
③ 的图像关于 对称；
④ 的最小值为 ．
其中所有真命题的序号是________.
三、解答题
17.设数列 满足 ， .
计算 ， ，猜想 的通项公式并加以证明；