角动量守恒PPT
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角动量守恒定律ppt课件
数学补充知识：
点积
abba
aaa2
叉积
a b b a
a a 0
c ( a b ) a ( b c ) b ( a c )
点积的微商 叉积的微商
c ( a b ) a ( b c ) b ( c a )
d(a b )a db da b
L
Or v
（对圆心的）角动量：
m
L r p r ( m v ) m r v (r v )
大小：
L mrv
方向：满足右手关系，向上。
2.行星在绕太阳公转时的椭圆轨道运动
对定点（太阳）的角动量：
v
L r p m (r v)
大小： Lmvsrin
v
r
r
Sun
方向： 满足右手关系，向上。
L dm trv m ( a c o ti s b si t jn )
( asit in bco t j) s
m m ( a a k c bb (2 恒矢o t k 量 ) a ss b 2 i t k ) n
M
dL
0
!
dt
或由 M rF 直接计算力矩
r a co ti s b sit j n
(1)对C点的角动量是否守恒？
(2)对O点的角动量是否守恒？
C T
O
mg C'
(3)对竖直轴CC'的角动量是否守恒？
请同学思考！
质点系的角动量定理和角动量守恒定律
1.一对作用力、反作用力对定点（定轴）的合力
矩等于零。
证明：
M 1r1f1
M 2r2f2
r2
f2
r
M 1 M 2 r 1 f 1 r 2 f 2
《角动量守恒定律》课件
未来对于角动量守恒定律的研究和应用，将会推动物理学和科技领域的 不断发展，为人类社会的进步提供更加坚实的理论基础和技术支持。
05
角动量守恒定律的拓展学习
与角动量相关的其他定律
角动量定理
描述角动量随时间变化的 规律，即角动量定理。
拉格朗日定理
与角动量守恒定律相关的 另一个重要定理，它描述 了系统在保守力作用下的 运动规律。
公式
L=r×p，其中L表示角动量，r表 示位置矢量，p表示动量。
Байду номын сангаас
角动量守恒的条件
无外力矩作用
系统内力的力矩相互抵消，或者系统受到的外力矩为零。
孤立系统
系统与外界没有能量交换或相互作用，即系统处于孤立状态 。
角动量守恒定律的应用场景
01
02
03
天体运动
行星绕太阳的旋转运动、 卫星绕地球的运动等都遵 循角动量守恒定律。
哈密顿原理
一个描述系统在保守力作 用下最短路径的原理，与 角动量守恒定律有密切联 系。
角动量守恒定律的深入学习资源
《经典力学》教材
深入探讨角动量守恒定律的理论 基础和应用，包括数学推导和实
例分析。
网络公开课
一些在线教育平台提供关于角动量 守恒定律的深入学习课程，可以作 为辅助学习资料。
学术论文
查阅相关学术论文，了解角动量守 恒定律在前沿科学研究中的应用和 最新研究成果。
们更好地设计和控制卫星轨道。
分子运动实例
总结词
分子转动是微观领域中角动量守恒的实例，对于理解化学反应机理和分子结构具有重要意义。
详细描述
分子转动是指分子中的原子或基团绕分子轴线的旋转运动。在分子转动过程中，分子的角动量是守恒的。这是因 为分子内部没有摩擦力矩，从而保证了角动量的守恒。了解和利用角动量守恒定律，可以帮助我们更好地理解和 预测化学反应机理和分子结构。
05
角动量守恒定律的拓展学习
与角动量相关的其他定律
角动量定理
描述角动量随时间变化的 规律，即角动量定理。
拉格朗日定理
与角动量守恒定律相关的 另一个重要定理，它描述 了系统在保守力作用下的 运动规律。
公式
L=r×p，其中L表示角动量，r表 示位置矢量，p表示动量。
Байду номын сангаас
角动量守恒的条件
无外力矩作用
系统内力的力矩相互抵消，或者系统受到的外力矩为零。
孤立系统
系统与外界没有能量交换或相互作用，即系统处于孤立状态 。
角动量守恒定律的应用场景
01
02
03
天体运动
行星绕太阳的旋转运动、 卫星绕地球的运动等都遵 循角动量守恒定律。
哈密顿原理
一个描述系统在保守力作 用下最短路径的原理，与 角动量守恒定律有密切联 系。
角动量守恒定律的深入学习资源
《经典力学》教材
深入探讨角动量守恒定律的理论 基础和应用，包括数学推导和实
例分析。
网络公开课
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学术论文
查阅相关学术论文，了解角动量守 恒定律在前沿科学研究中的应用和 最新研究成果。
们更好地设计和控制卫星轨道。
分子运动实例
总结词
分子转动是微观领域中角动量守恒的实例，对于理解化学反应机理和分子结构具有重要意义。
详细描述
分子转动是指分子中的原子或基团绕分子轴线的旋转运动。在分子转动过程中，分子的角动量是守恒的。这是因 为分子内部没有摩擦力矩，从而保证了角动量的守恒。了解和利用角动量守恒定律，可以帮助我们更好地理解和 预测化学反应机理和分子结构。
角动量守恒定律.pptx
角动量守恒定律
一、角动量定理
由转动定律
4-3 角动量守恒定律
M dL dt
Mdt dL
L L t2 Mdt L2 dL
t1
L1
21
系统所受合外力矩的冲量矩等于系统 角动量的增量。
4-3 角动量守恒定律
二、角动量守恒定律
由角动量定理：
t2 t1
M
d
t
L2
L1
若 M 0，则 L J =恒矢量
4-3 角动量守恒定律
一、角动量定理：
t2 tL1
二、角动量守恒定律：
若 M 0，则 L J =恒量
1、刚体： J不变， 也不变（大小、方向） 2、非刚体： J变， 变 → J ，；J ，
课后思考：
4-3 角动量守恒定律
试分析为什么直升机要安装尾翼螺旋桨呢？
4-3 角动量守恒定律
内容：当系统所受合外力矩为零时，则 系统的总角动量保持不变。
应用：
4-3 角动量守恒定律
1、刚体： J不变， 也不变 （大小、方向）
应用：
4-3 角动量守恒定律
2、非刚体： J变， 变 → J ，；J ，
4-3 角动量守恒定律
2、非刚体： J变， 变 → J ，；J ，
J ，
J ，
小结：
刚体转动及角动量守恒ppt
匀直细杆对端垂轴旳
平行移轴定理
对质心轴旳转动惯量 对新轴旳转动惯量
质心
例如：
时
新轴对心轴旳平移量
新轴 质心轴
代入可得 端
匀质薄圆盘对圆心垂盘轴算旳 例
取半径为 微宽为 旳窄环带旳质量为质元
球体算例 匀质实心球对心轴旳 可看成是许多半径不同旳共轴 薄圆盘旳转动惯量 旳迭加 距 为 、半径为 、微厚为 旳薄圆盘旳转动惯量为
a = Rb
T2 – m2 g = m2a ( T1 – T2 ) R = Ib
及
I
=
1 2
mR2
得
b=
(m1-m2)g
R(m1+ m2+ m
2)
常量
故
由
m2
a
G2
m1
a
G1
(m1-m2)g
R(m1+ m2+ m 2)
t (m1-m2)g
g 2 (rad)
R(m1+ m2+ m 2)
两匀直细杆
q
转动定两律者瞬例时题角加五速度之比
与 时刻相应，何时
则何时
，
何时 恒定 则何时 恒定。
匀直 细杆一 端为轴 水平静 止释放
转动定律例转题动 二( T2 – T1 ) R = Ib
I=mR2 2
R
m
T2
T1
a
m2
m1
b
平动 m2 g – T2 = m2a
T2
T1
T1 – m1 g = m1a
线-角 a = Rb
T2
T1
联立解得
a
G2
力矩旳功算例 拨动圆盘转一周，摩擦阻力矩旳功旳大小
大学物理角动量转动惯量及角动量的守恒定律PPT课件
dt M 外i riFi外
f2 1
2
m2
质点系总角动量的时间变化率等于质点系所受
外力矩的矢量和 (合外力矩 )
dL
dt M 外i riFi外
注意： 合外力矩 M是外质点系所受各外力矩的矢
量和，而非合力的力矩。
注意：质点系内力矩的作用
不能改变质点系总角动量，但是影响总角动量 在系内各质点间的分配。
L r c m i v ir i m i v c r i m i v i
第三项：
i
i
i
与 i 有关
rimivi 各质点相对于质心角动量的矢量和
i
反映质点系绕质心的旋转运动，与参考点O的选择无关，
描述系统的内禀性质： L自 旋
L自 旋
L轨 道
于是：
∑
L=rc×Mvc+
本讲内容：三个基本概念
1.角动量
质点
L r p r m v
质点系 L r c M v c r i m iv i L 轨 L 自 道
i
定轴刚体 Lz ri2mi J
i
2. 转动惯量
J ri2mi J r2dm i
3.力矩
M rF M zrF
Mi内0
i
上讲 §5.1 角动量 转动惯量
动量对参考点（或轴）求矩
1.质点的角动量
定义 ： L = r× p = r× m v r
m θ
p p
r
大小： L=rmvs inθ
o
=r p⊥= pr⊥
z
方向：
垂直r于 和p组
成
L
的平面o，
服从右手定则。
x
r
r m
大学物理角动量守恒定律ppt课件
v M 外 dt
d J
dt
v L1 v L2
v L1
dL v
dL
J d
dt
L2 v L2
L1 v L1
积分
M轴 dt Jd J2 J1
当 M 轴合外 0 时
t1
1
J2 J1 恒量
定轴转动刚体 角动量守恒
若转动惯量有变化，则有：J22 J11 恒量 19
5.5 定轴转动刚体的转动定律 转动中的功和能
Jz Jc mh2
式中:
J
关于通过质心轴的转动惯量
c
m 是刚体质量, h 是 c 到 z 的距离
h Cz
J z 是对平行于质心轴的一个轴的转动惯量
23
2） 转动惯量叠加，如图
z B
Jz JA JB JC
A
C
式中:J A 是A球对z轴的转动惯量
JB 是B棒对z轴的转动惯量
J c 是C球对z轴的转动惯量
点的角动量
有 r
1 2
g
t
2
LA
r
p
1 2
mpt3gmvg
mgt 0
o
r
RA r
（2） 对 O 点的角动量
m
mv
r r R
LO r p (R r) p R p R mgt
Rg
LO Rmgt
4
2. 质点的角动量定理
角动量的时间变化率
dL
d
(r
v
r
O
B S
A r
[证明] (1) 行星对太阳O的角动量的大小为
L r p rmvsin
其中 是径矢 r 与行星的动量 p 或速度 v 之间的夹角.
d J
dt
v L1 v L2
v L1
dL v
dL
J d
dt
L2 v L2
L1 v L1
积分
M轴 dt Jd J2 J1
当 M 轴合外 0 时
t1
1
J2 J1 恒量
定轴转动刚体 角动量守恒
若转动惯量有变化，则有：J22 J11 恒量 19
5.5 定轴转动刚体的转动定律 转动中的功和能
Jz Jc mh2
式中:
J
关于通过质心轴的转动惯量
c
m 是刚体质量, h 是 c 到 z 的距离
h Cz
J z 是对平行于质心轴的一个轴的转动惯量
23
2） 转动惯量叠加，如图
z B
Jz JA JB JC
A
C
式中:J A 是A球对z轴的转动惯量
JB 是B棒对z轴的转动惯量
J c 是C球对z轴的转动惯量
点的角动量
有 r
1 2
g
t
2
LA
r
p
1 2
mpt3gmvg
mgt 0
o
r
RA r
（2） 对 O 点的角动量
m
mv
r r R
LO r p (R r) p R p R mgt
Rg
LO Rmgt
4
2. 质点的角动量定理
角动量的时间变化率
dL
d
(r
v
r
O
B S
A r
[证明] (1) 行星对太阳O的角动量的大小为
L r p rmvsin
其中 是径矢 r 与行星的动量 p 或速度 v 之间的夹角.
大学物理-角动量守恒定律 PPT
dt 12
dt
考虑到 t
dr g cost 7lg cos(12v0 t)
dt 2
24 v0
7l
37
例6 一杂技演员M由距水平跷板高为h 处 自由下落到跷板的一端A，并把跷板另一端 的演员N弹了起来．问演员N可弹起多高?
M
h
N
C
A
B
l/2
l
38
设跷板是匀质的，长度为l，质量为m'，
6mv0
(M 3m)l
v0 m
31
例3 摩擦离合器 飞轮1：J1、 w1 摩擦轮2： J2 静止，两轮沿轴向结合，结合后两轮达到 的共同角速度。 解：两轮对共同转轴的角动量守恒
21
试与下例的齿轮啮合过程比较。
32
例4 两圆盘形齿轮半径r1 、 r2 ，对通过盘心
垂轮直以于0 盘转面动转，轴然的后转两动轮惯正量交为啮J1合、，J2求，啮开合始后1
点o的矢径为 r ，动量为 p ，如下图。在计算其
角动量时，注意有两个特点：
(1) o点到 p 方向的垂直距离 r sin 不变;
(2) L 方向不变;
p2
假如 p 的大小也不变， 显然L 的大小不变。这表
明，自由质点对任意参考 点的角动量保持不变。
p1
1 r1
2
r2
r sin o
5
1.5.2 质点角动量定理
必须指明是对哪个点而言的
注意两点：
(1) 质点的角动量是相对某一参考点而言的，因此
对不同的参考点，角动量 L 不同;
(2) L 的大小在0~ rp 之间变化，如果把动量分解
为径向分量 pcos 和横向分量 psin ，则仅横
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J02
n2 0
2 3
mmgRdq
0
1 4
mR202
n 3R02 16m g
第 31 页
例6 一质量为 m 、长为 l 的均质细杆，转轴在 O 点，距A端 l/3 。 杆从静止开始由水平位置绕O点转动。求：
（1）水平位置的角速度和角加速度。
（2）垂直位置时的角速度和角加速度。
（3）任意位置时的角速度和角加速度。
0
J zd
1 2
J z 2
1 2
J
2
z0
q
定义： A q0 Mzdq
q
A
M q0
z
dq
合外力矩对定轴转动的刚体做的功等于刚体转动 动能的增量。
第 27 页
3.定轴转动刚体的重力势能
Ep Dmi ghi g Dmihi mg( Dmihi / m)
i
i
i
h
hC Dmihi / m
解
第 11 页
（1）由匀变速转动运动方程：
1 0 100 50 5 (rad/s2 )
t
10
（2）10s内，飞轮的角位移：
q
0t
1 2
t2
750
(rad)
N q / 2 375(r)
（3）t = 5s时， 0 t 75
飞轮边缘上一点P的速度大小：
v r 235.6(m/s)
dL Mdt d
dt
M mgr J sinq J
第 45 页
考察刚体中相互作用的两个质点i、j，其相互
作用力为fij和fji，对空间定点O，这对力的力 矩和为：
ri fij rj f ji (ri rj ) fij
rj
f ji 因相互作用力沿两点的连线，故
O
ri
fij
(ri rj ) fij 0
第 15 页
3.转动惯量 质点对定轴的转动惯量：
J z mr 2
质点系对定轴的转动惯量：
J z miri2
i
第 16 页
刚体（连续质量体）的转动惯量：
r2dV
V
J
r
2dm
r2 dS
m
S
r 2dl
l
dm
dV
dm
dS
dm
dl
J 的单位：kg·m2。 它与刚体对给定转轴的质量分布有关。
第3章 刚体的定轴转动 Chap.3 Rotation of Rigid Body
3.1 刚体定轴转动的运动学描述
1. 刚体的平动和转动 2. 角位移、角速度和角加速度 3. 刚体定轴转动的角量描述和线量描述的关系
第2页
1.刚体的平动和转动 刚体(rigid body)：
在运动过程中形状和大小都不变的物体。 研究刚体的运动，可以将刚体看成在运动过程中， 任意两质点之间的相对位置保持不变的质点系。
该点的切向加速度和法向加速度
a r 15.7(m/s2) an r2 5.55 104 (m / s2 )
a at2 an2 5.55 104 (m/s2 )
第 12 页
3.2 刚体定轴转动的转动定律
1. 质点系的角动量定理 2. 刚体的定轴转动定律 3. 转动惯量
第 13 页
1.质点系的角动量定理
如果将z轴沿x方向平移至距棒的中点C为h的A处：
JA
1 3
l 2
h
l 2
h
2
1 3
l 2
h
l 2
h
2
1 12
ml 2
mh2
如果取过杆的中点C并与z轴平行的轴为z’轴：
JC
1 3
1 2
m
1 2
l
2
2
1 12
ml 2
平行轴定理：
J A JC mh2
第 20 页
平行轴定理的证明
i
Ep mghC
C D mi
hc
hi
关于保守力、势能、机械能等的分析，同样适用于刚体
第 28 页
例5 半径为R，质量为m的圆形平板在粗糙的水平桌面
上，以初始角速度为0绕垂直于平板的中心轴转动， 摩擦系数为m，试求：
（1）经过多少时间该圆形平板才停止转动。 （2）该圆形平板转动多少圈后才停止。
第 29 页
解二：
mv0l
1 3
mv0l
J0
J 1 Ml2 3
0
2mv0 Ml
第 40 页
例8
第 41 页
1 2
mgl
1 2
J02
1 6
ml
2 2 0
1 2
J02
1 2
J2
1 2
Mv 2
J0 J Mvl
mMgs 0 1 Mv 2
2
m 6m2l
(m 3M )2 s
第 42 页
讨论
子细 弹绳
o
M iz (Ri Fi )z ri Fi sin
Z
Mz
Fi Fi
r
Fi
第 48 页
z
先研究一个质元 Dmi
对O点的角动量
L
ri D Li v i DLi Ri (Dmiv i )
q
Dmi
Ri
v i Ri
O
DLi Dmi Rivi
故棒的总角动量 L大小：
n
L Dmi Rivi ，方向如图
6
Jo
oq
1 2
J0 2
mg
l sin q
6
00
，重力势能零点取O点
可以求出任意位置的角速度和角加速度。
3g sinq
l
3g cosq
2l
第 34 页
3.4 角动量定理和角动量守恒定律
1. 刚体定轴转动角动量定理 2. 定轴转动的角动量守恒定律
第 35 页
1.刚体定轴转动角动量定理
第3页
平动和转动 平动(translation)：
刚体在运动过程中，其上任意两点的连线始终保持平行。
rA rB BA BA 是恒矢量
dr dr
vA
A
dt
B
dt
vB
aA
d 2 rA dt 2
d 2 rB dt 2
aB
可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题。
第4页
转动(rotation)：
刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。这种运动称为刚体 的转动。这条直线称为转轴。转动又分定轴转动和非定轴转动
第5页
刚体的一般运动： 质心的平动＋绕过质心瞬时轴的转动
第6页
2.角位移、角速度和角加速度
角坐标：q (t)
在转动面内取一固定的方向Ox 作参方向，令OP与Ox方向的
夹角为角坐标q q (t)为刚体绕定轴转动的
J r2dm
J 2 R r3dr 0 R4 1 mR2 22
r dr Ro
第 22 页
例4 质量m1、半径为 R的实心滑轮，可绕通过其质心 的轴无摩擦的转动。一根轻绳绕在其上，绳端挂一质
量为 m2的物体，绳子与滑轮间无相对滑动。求物体下 落的加速度和绳子的张力。
解
T
R
J
1 2
m1R2
Ri (Fi
ji
fij
)
d dt
( Ri
miv i
)
N
i 1
Ri Fi +
N i 1
ji
Ri
fij
d dt
N
Ri miv i
i 1
N
Ri fij 0
i1 j i
N
i 1
Ri Fi
d dt
N i 1
Ri miv i
系统角动量对时间的变化率等于系统所受合外力矩。
第 14 页
运动学方程
第7页
角位移：Dq
角速度(Angular Velocity)：
lim Dq dq
Dt0 Dt dt
dq k ，方向: 右手螺旋方向
dt
角速度(Angular Acceleration)：β
β
dω dt
d2q
dt 2
k
第8页
刚体作匀变速定轴转动时，有以下的运动方程：
0 t
刚体中任一质元 mi 动能：
1 2
Dmivi2
1 2
Dmi ri 2 2
ri
vi
因此，刚体的转动动能：
Ek
1 2
Dmi ri 2
2
1 2
Dmiri2 2
Ek
1 2
J z 2
第 26 页
2.力矩的功 定轴转动的动能定理
Mz
Jz
d
dt
M zdq
Jz
d
dt
dq
Jz
dq
dt
d
J zd
q
q0 M zdq
(Lz )t Jiz (t)i (t)
i
第 37 页
(Lz )t0 Jiz (t0 )i (t0 )
i
2.定轴转动的角动量守恒定律
Mz 0
Lz J zt t J zt0 t0 const.
Lz Jii const.
i
若系统合外力矩为零，则系统的角动量守恒。 ——自然界重要的普遍规律
JZ
r 2dm
m
r2 r r (r h) (r h)
r2 h2 2h r
rdm 0 质心的定义 m
Jz
r2dm
m
h2dm 2h
m
m r2dm JC mh2
第 21 页
例3 一质量为 m ，半径为 R 的均匀薄圆盘，求通 过盘中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。