(文章)函数的奇偶性的判定
函数的奇偶性
（1）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
①首先确定函数的定义域是否关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)的关系；③作出相应结论：
若f(－x) =f(x)或f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；
若f(－x) =－f(x)或f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数。
(14).设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝ ，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)＝()
A.0B.1C. D.5
(15)．若 ，g（x）都是奇函数， 在（0，＋∞）上有最大值5，
则f（x）在（－∞，0）上有（ ）
A．最小值－5 B．最大值－5 C．最小值－1 D．最大值－3
（16）定义在R上的函数f(x)满足：f(x)·f(x＋2)＝13，f(1)＝2，则f(99)＝( )
①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称。
(2)利用图像判断函数奇偶性的方法：
图像关于原点对称的函数为奇函数，图像关于y轴对称的函数为偶函数，
（3）简单性质：
设 ， 的定义域分别是 ，那么在它们的公共定义域上：
A．13B．2 C.13/2D.2/13
（17）定义在R上的函数f(x)满足：对于任意α，β∈R，总有f(α＋β)－[f(α)＋f(β)]＝2010，则下列说法正确的是( )
A．f(x)－1是奇函数 B．f(x)＋1是奇函数
C．f(x)－2010是奇函数 D．f(x)＋2010是奇函数
（18）设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x∈(0,1)时，f(x)＝log (1－x)，则函数f(x)在(1,2)上( )
高中数学解题方法谈函数奇偶性的判定方法
函数奇偶性的判定方法函数奇偶性的判定方法较多，下面把常见的判定方法分类加以研究分析．1．定义域判定法例1 判定()(1)2f x x x =--的奇偶性．解：要使函数有意义，须20x -≥，解得2x ≥，定义域不关于原点对称，∴原函数是非奇非偶函数． 评注：用定义域虽不能判定一个函数是奇函数还是偶函数，但可以通过定义域不关于原点对称，来否定一个函数的奇偶性． 2．定义判定法例2 判断()f x x a x a =++-和奇偶性． 解：函数()f x x a x a =++-的定义域为R ，且()()()()f a x a x a x a x a x a x a f x -=-++--=--+-+=-++=，∴函数()f x 是偶函数．评注：在定义域关于原点对称的前提下，可根据定义判定函数的奇偶性．3．等价形式判定法例3 判定2211()11xx f x x x ++-=+++的奇偶性． 解：()f x 的定义域为R ，关于原点对称，当0x =时，()0f x =， ∴图象过原点．又0x ≠时，2222()(1)(1)1()(1)(1)f x x x f x x x -+-+==-+--，(1)()f f x ∴-=-．又(0)0f =，∴()f x 为奇函数．评注：常用等价变形形式有：若()()0f x f x +-=或()1()f x f x -=-，则()f x 为奇函数；若()()0f x f x --=或()1()f x f x -=，则()f x 为偶函数（其中()0f x ≠）．4．性质判定法例4 若0a >，()([])f x x a a ∈-，是奇函数，()()g x x ∈R 是偶函数，试判定()()()x f x g x ϕ=的奇偶性．解：在()()f x g x ，的公共定义域[]a a -，内，任取一个x ，则()()()x f x g x ϕ-=-，()()f x g x ，分别是奇函数和偶函数，()()()()()()f x f x g x f x g x x ϕ∴-=-=-=-．()x ϕ∴在[]a a -，上为奇函数．评注：在两个函数（常函数除外）的公共定义域关于原点对称的前提下：①两个偶函数的和、差、积都是偶函数；②两个奇函数的和、差是奇函数、积是偶函数；③一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数．。
函数的对称性与奇偶性的判定
函数的对称性与奇偶性的判定函数是数学中的重要概念，它描述了一种输入和输出之间的关系。
在函数的研究中，对称性和奇偶性是两个常见的性质。
函数的对称性可以告诉我们函数在某个坐标轴或者某个点上是否对称，而奇偶性则指函数在自身点上的性质。
本文将介绍函数对称性和奇偶性的判定方法。
一、函数的对称性函数的对称性是指函数在某个坐标轴或者某个点上保持不变的性质。
常见的对称性有关于x轴、y轴以及原点的对称性。
1. 关于x轴的对称性如果函数f(x)在x轴上对称，即对于任意x，有f(x) = f(-x)，那么称函数f(x)关于x轴对称。
这意味着函数图像关于x轴对称，即将函数图像沿x轴翻转180度后，图像与原图像完全一致。
2. 关于y轴的对称性如果函数f(x)在y轴上对称，即对于任意x，有f(x) = f(-x)，那么称函数f(x)关于y轴对称。
这意味着函数图像关于y轴对称，即将函数图像沿y轴翻转180度后，图像与原图像完全一致。
3. 关于原点的对称性如果函数f(x)在原点上对称，即对于任意x，有f(x) = -f(-x)，那么称函数f(x)关于原点对称。
这意味着函数图像关于原点对称，即将函数图像绕原点旋转180度后，图像与原图像完全一致。
二、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在自身点上的性质，即函数在(-x, f(-x))和(x, f(x))两点上的关系。
根据函数的奇偶性，可以将函数分为奇函数和偶函数。
1. 奇函数如果函数f(x)满足对于任意x，有f(-x) = -f(x)，那么称函数f(x)为奇函数。
换言之，奇函数关于原点对称，即函数图像关于原点对称。
2. 偶函数如果函数f(x)满足对于任意x，有f(-x) = f(x)，那么称函数f(x)为偶函数。
换言之，偶函数关于y轴对称，即函数图像关于y轴对称。
三、对称性与奇偶性的判定方法1. 对称性的判定方法对于函数的对称性判定，可以通过以下步骤进行：Step 1：将函数f(x)与f(-x)进行比较，判断是否相等。
函数奇偶性的判定方法
函数奇偶性的判定方法山东 刘海函数奇偶性的判定方法较多，下面举例介绍常见的判定方法．1．定义域判定法例1 判定()(1)2f x x x =--的奇偶性．解：要使函数有意义，须20x -≥，解得2x ≥，定义域不关于原点对称，∴原函数是非奇非偶函数．评注：用定义域虽不能判定一个函数是奇函数还是偶函数，但可以通过定义域不关于原点对称，来否定一个函数具有奇偶性．2．定义判定法例2 判断()f x x a x a =++-的奇偶性．解：函数()f x x a x a =++-的定义域为R ， 且 ()()()()f x x a x a x a x a x a x a f x -=-++--=--+-+=-++=， ∴函数()f x 是偶函数．评注：在定义域关于原点对称的前提下，可根据定义判定函数奇偶性．3．等价形式判定法例3 判定()f x =的奇偶性． 解：()f x 的定义域为R ，关于原点对称，当0x =时，()0f x =，∴图象过原点．又0x ≠时，2222()(1)(1)1()(1)(1)f x x x f x x x -+-+==-+--，()()f x f x ∴-=-． 又(0)0f =，()f x ∴为奇函数．评注：常用等价变形形式有：若()()0f x f x +-=或()1()f x f x -=-，则()f x 为奇函数；若()()0f x f x --=或()1()f x f x -=，则()f x 为偶函数（其中()0f x ≠）． 4．性质判定法 例4 若0a >，[]()()f x x a a ∈-，是奇函数，()()g x x ∈R 是偶函数，试判定()()()x f x g x ϕ=的奇偶性．解：在()()f x g x ，的公共定义域[]a a -，内，任取一个x ，则()()()x f x g x ϕ-=--， ()()f x g x ，分别是奇函数和偶函数，()()f x f x ∴-=-，()()g x g x -=．()()()()()()x f x g x f x g x x ϕϕ∴-=--=-=-．()x ϕ∴在[]a a -，上为奇函数．评注：在两个函数（常函数除外）的公共定义域关于原点对称的前提下：①两个偶函数的和、差、积都是偶函数；②两个奇函数的和、差是奇函数，积是偶函数；③一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数．。
函数的奇偶性
函数的奇偶性第一部分 知识梳理1.函数的奇偶性的定义：设()y f x =，x A ∈，如果对于任意x A ∈，都有()()f x f x -=-，则称函数()y f x =为奇函数；如果对于任意x A ∈，都有()()f x f x -=，则称函数()y f x =为偶函数；2.函数奇偶性的判定方法①定义法：ⅰ)若函数的定义域不是关于原点对称的对称区域，则该函数既不是奇函数也不是偶函数；ⅱ)若函数的定义域关于原点对称，在判断()f x -是否等于()f x ±-，或判断()()f x f x ±-是否等于零，或判断()()f x f x -是否等于1±；判断函数奇偶性一般步骤：ⅰ)求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称ⅱ）用x -代替x ，验证()()f x f x -=-，奇函数；若()()f x f x -=，偶函数；否则，非奇非偶。
②图像法③性质法：偶函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为偶函数；奇函数的和、差仍奇函数； 奇数个奇函数的积、商（分母不为零）为奇函数；一个偶函数与一个奇函数的乘积是奇函数3.奇偶函数图像的性质①()()()()0f x f x f x f x ⇔-=-⇔+-=奇函数⇔函数的图像关于中心原点对称；⇔偶函数()()()-()0f x f x f x f x -=⇔-=⇔函数的图像关于y 轴对称②若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =．③()f x 为偶函数()()(||)f x f x f x ⇔=-=④奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.第二部分 精讲点拨考点1 奇偶函数的概念与性质1、下列说法错误的个数（ ）①图像关于坐标原点对称的函数奇函数 ②图象关于y 轴对称的函数是偶函数③奇函数的图像一定过坐标原点 ④偶函数的图像一定与y 轴相交.1A 个 .2B 个 .3C 个 .4D 个[].1EX (1)已知函数()y f x =是偶函数，其图像与x 轴有四个交点，则方程()0f x =的所有实根之和是（ ）A ．4 B.2 C.1 D.0（2）已知()f x 是定义在[)(]2,00,2-⋃上的奇函数，当0x >时，()f x 的图像如图，那么()f x 的值域是___________[].2EX （1）设奇函数()f x 的定义域为[]5,5-若当[]0,5x ∈时,()f x 的图象如右图,则不等式()0f x < 的解是____________(2)设()f x 是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是 （ ）.()()A f x f x -是奇函数 .()()B f x f x -是奇函数 .()()C f x f x --是偶函数 .()()D f x f x +-是偶函数(3)若函数(1)()y x x a =+-为偶函数，则a 等于（ ）.2A - .1B - .1C .2D(4)已知2()1x f x m x =++为奇函数，则(1)f -的值是________考点2 奇偶函数的判断判断下列函数的奇偶性（1）()f x = （2）()11f x x x =++- （3）()(f x x =-（4）23()f x x x =- (5)2223(0)()0(0)23(0)x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪---<⎩考点3 函数奇偶性的应用（1） 已知53()8f x ax bx cx =++-，且()10f d =，求()f d -的值。
奇偶函数的判定方法
奇偶函数的判定方法多项式函数在数学中占有重要的地位，其性质和特点一直是学术讨论的重点。
其中一个比较常见的问题就是如何判定函数的奇偶性。
在这篇文章中，我们将探讨奇偶函数的判定方法，希望能够帮助读者更清晰地了解这一问题。
一、奇数函数和偶函数的概念首先，我们需要了解奇数函数和偶数函数的概念。
一个函数f(x) 被称为奇数函数，当且仅当对于任意实数 x，都有 f(-x) = -f(x) 。
另一方面，一个函数 g(x) 被称为偶数函数，当且仅当对于任意实数 x，都有 g(-x) = g(x) 。
这两个概念中，奇数函数的特点是对称于原点，即从原点过一条线，函数曲线两侧呈镜像关系；而偶数函数的特点则是对称于 y 轴，即从 y 轴上某一点过一条线，函数曲线两侧呈镜像关系。
二、判定奇偶函数的方法了解奇偶函数的定义后，我们需要明确一点：奇偶性是函数的本质属性，可以通过函数表达式进行判定，而不是通过函数图像判定。
因此，下面介绍的方法都是基于函数表达式的。
1. 奇偶函数的特殊函数表达式有些函数有特殊的函数表达式，可以直接判定其奇偶性。
具体来说，以下这些函数都是奇函数或偶函数：奇函数：f(x) = x^n(n为奇数)f(x) = sin(x)f(x) = tan(x)偶函数：f(x) = x^n(n为偶数)f(x) = cos(x)f(x) = sec(x)注意，以上列出的函数，只有在定义域的范围内才能判定它的奇偶性。
2. 利用函数的性质判定奇偶性如果函数表达式不属于上述特殊形式，那么我们可以利用函数的性质来判定它的奇偶性。
首先，每个函数都可以写为奇函数和偶函数的和：f(x) = g(x) + h(x)其中，g(x) 是函数的偶部分，h(x) 是函数的奇部分。
于是，我们可以通过以下方法判定 g(x) 和 h(x) 的奇偶性，从而判定 f(x) 的奇偶性。
- g(x) 和 h(x) 的奇偶性相同，且不为零。
则 f(x) 为偶函数。
函数的奇偶性
函数的奇偶性定义：设函数y=f(x)如果对于任意的x A ∈都有发y=f(x)f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数设函数y=f(x)如果对于任意的x A ∈都有发f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数注：1 函数y=f(x)是奇函数或偶函数，则称函数y=f(x)具有奇偶性2 定义域不关于原点对称或得不出y=f(x)和 f(-x)=-f(x)，则称f(x)不具有奇偶性一 判断函数奇偶性的几种方法1.直接利用定义判定如果函数f(x)的定义域关于原点对称，则可验证是否满足f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)，从而判定f(x)是奇函数还是偶函数。
注：a:既是奇函数又是偶函数只能f(x)=0f(x)=0,但定义域的不同。
f(x)=0有无穷个b:若函数是奇函数则f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0例1．判断下列函数的奇偶性 (1) 11)(--+=x x x f ； (2) xx x x f -+-=11)1()( ; (3)221)(2---=x x x f ; (4) ⎪⎩⎪⎨⎧>+<-=)0()1()0()1()(x x x x x x x f ④33)(22-+-=x x x f 既是奇函数又是偶函数 ⑤2)(2+--=a x x x f a=0时偶函数，a ≠0时非奇非偶函数 ⑥22)(+--=x x x f5．(2008年高考上海卷)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a 、b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________________.2.间接利用定义判定（定义的等价命题）f(x)+f(-x)=0⇔f(x)是奇函数，f(x)-f(-x)=0⇔f(x)是偶函数或当f(x)≠0时，1)()(-=-x f x f ⇔)(x f 是奇函数。
1)()(=-x f x f ⇔)(x f 是偶函数 注：函数以对数形式或根式出现时，可考虑此方法。
函数的对称性与奇偶性判定
函数的对称性与奇偶性判定函数的对称性在数学中有着重要的地位，它是判断一个函数性质的重要方法之一。
其中，奇偶性是对称性的一种特殊情况，在函数的对称性中占据了重要的角色。
本文将讨论函数的对称性与奇偶性判定，并探究其在数学中的应用。
一、函数的对称性函数的对称性是指函数图像具备某种对称性质。
常见的对称性包括轴对称、中心对称和周期性对称等。
下面将分别介绍这些对称性及其判定方法。
1.1 轴对称轴对称是指函数的图像关于某条直线对称。
对于任意给定的函数，要判断其是否具有轴对称性，可以通过以下方法进行：首先，确定函数的定义域和值域。
然后选取一个点P(x,y)，利用函数关系式计算对称点P’(2a-x,y)的函数值。
如果P'也在函数的定义域中，并且函数值与P相等，那么函数具有轴对称性。
否则，函数不具有轴对称性。
1.2 中心对称中心对称是指函数的图像关于某个点对称。
对于任意给定的函数，要判断其是否具有中心对称性，可以采用以下方法：确定函数的定义域和值域。
然后选取一个点P(x,y)，利用函数关系式计算对称点P'(-x,-y)的函数值。
如果P'也在函数的定义域中，并且函数值与P相等，那么函数具有中心对称性。
否则，函数不具有中心对称性。
1.3 周期性对称周期性对称是指函数的图像在一定的区间内重复出现。
对于任意给定的函数，要判断其是否具有周期性对称性，可以采用以下方法：确定函数的定义域和值域。
然后选取一个点P(x,y)，利用函数关系式计算对称点P'(x+a,y)的函数值。
如果P'也在函数的定义域中，并且函数值与P相等，那么函数具有周期性对称性。
否则，函数不具有周期性对称性。
二、函数的奇偶性判定函数的奇偶性是对称性的一种特殊情况。
在函数的定义域内，如果对于任意的x，都有f(-x) = f(x)，那么函数具有偶对称性；如果对于任意的x，都有f(-x) = -f(x)，那么函数具有奇对称性。
根据这一定义，我们可以采用以下方法判断函数的奇偶性：2.1 奇对称性判定对于给定的函数，要判断其是奇对称还是非奇对称，可以采用以下步骤：首先，将函数关系式进行变形，得到f(x) - f(-x) = 0。
函数的对称性与奇偶性的判断方法
函数的对称性与奇偶性的判断方法在数学中，对称性和奇偶性是研究函数性质的重要概念。
判断函数的对称性与奇偶性有助于我们深入理解函数的特点和行为。
本文将介绍几种常见的方法来判断函数的对称性与奇偶性。
一、函数的对称性1. 关于y轴对称如果函数在y轴两侧的取值相同，即f(x) = f(-x)。
这意味着函数图像关于y轴对称。
为了判断该对称性，我们可以通过将x替换为-x，然后观察方程两边是否相等。
2. 关于x轴对称如果函数在x轴上和下两侧的取值相同，即f(x) = -f(-x)。
这表示函数图像关于x轴对称。
同样，我们可以通过将x替换为-x来验证该对称性。
3. 关于原点对称如果函数在原点两侧的取值相同，即f(x) = -f(-x)，这说明函数图像关于原点对称。
同样地，我们可以通过将x替换为-x来检验该对称性。
二、函数的奇偶性1. 关于y轴对称的奇函数如果函数关于y轴对称，并且满足f(-x) = -f(x)，则函数是奇函数。
换句话说，当x取相反数时，函数的函数值也取相反数。
2. 关于y轴对称的偶函数如果函数关于y轴对称，并且满足f(-x) = f(x)，则函数是偶函数。
这表示当x取相反数时，函数的函数值保持不变。
3. 奇偶函数的性质奇函数和偶函数有一些特殊的性质。
对于奇函数，它的反函数也是奇函数；对于偶函数，它的反函数也是偶函数。
此外，奇函数和奇函数的乘积是偶函数，偶函数和偶函数的乘积是偶函数，奇函数和偶函数的乘积是奇函数。
三、判断方法示例下面通过几个简单的例子来说明判断函数对称性和奇偶性的方法。
例1：判断函数f(x) = 2x^4 - 3x^2是否关于y轴对称和奇偶性。
由于f(x)是一个多项式函数，它的所有指数都是非负整数，因此它是一个偶函数。
将x替换为-x，我们可以验证f(-x) = f(x)。
所以该函数关于y轴对称。
例2：判断函数f(x) = sin(x)是否关于x轴对称和奇偶性。
由于f(x)是正弦函数，它的值在不同的x值处取正负值，因此它是一个奇函数。
函数奇偶性
函数的奇偶性1、定义偶函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。
2、函数奇偶性的性质(1)若函数f(x)是偶函数，那么：①对任意定义域的x,都有f(-x)=f(x)；②函数f(x)的图象关于y 轴对称；③函数f(x)在两个半对称区间上的单调性是相反的。
(2)若函数f(x)是奇函数，那么：①对任意定义域内的x ，都有f(-x)=-f(x)；②函数f(x)的图象关于坐标原点对称；③函数f(x)在两个半对称区间上的单调性是相同的。
3、函数奇偶性的判定方法(1)定义法f(x)是奇函数0)()()()(=+-⇔-=-⇔x f x f x f x ff(x)是偶函数()()()()0f x f x f x f x ⇔-=⇔--=(2)利用图象的对称性f(x)是奇函数)(x f ⇔的图象关于原点对称。
f(x)是偶函数)(x f ⇔的图象关于y 轴对称。
一、选择题1．****给出如下3个等式：)()()(y f x f y x f +=+，)()()(y f x f xy f +=，)()()(y f x f xy f =，则函数①=)(x f 2x ②=)(x f x 3 ③=)(x f 1x ④()0f x = 都满足上述3个等式的是（）A =)(x f 2xB =)(x f x 3C =)(x f 1x D ()0f x = 2．函数432--=x x y 的定义域为4]425[],,0[，－－值域为m ，则实数m 的取值范围是（ ）A ]4,0[ B.]3,23[ C.]4,23[ D.),23[+∞ 3.***若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(,0]-∞上是减函数，且(2)0f =，则使得()0f x <的x 取值范围是 （ ）A 、(,2)-∞ B 、(2,)+∞ C 、(,2)(2,)-∞-+∞ D 、(2,2)-4.函数f(x)=|x+2|+|x-1|的单调递增区间是（）A （-2，+∞）B [1，+∞）C （-∞，1]D （-∞，-2]5.***定义在R 上的偶函数)()1(),(x f x f x f -=+满足，且在区间]0,1[-上递增，则（ ） A )2()2()3(f f f << B.)2()3()2(f f f << C.)2()2()3(f f f << D.)3()2()2(f f f <<6.函数11y x =--的图象是（）7.***函数y =） A )43,21(- B ]43,21[- C ),43[]21,(+∞⋃-∞ D ),0()0,21(+∞⋃- 8.***下列对应关系f 中，不是从集合A 到集合B 的映射的是（ ）A A=}{是锐角x x ，B=（0，1），f ：求正弦；B A=R ，B=R ，f ：取绝对值C A=+R ，B=R ，f ：求平方；D A=R ，B=R ，f ：取倒数9.二次函数245y x mx =-+的对称轴为2x =-，则当1x =时，y 的值为 （ ） A 7- B 1 C 17 D 2510.***已知⎩⎨⎧<+≥-=)6()2()6(5)(x x f x x x f ，则f(3)为（ ）A 2B 3C 4D 511.二次函数2y ax bx c =++中，0a c ⋅<，则函数的零点个数是（ ）A 0个B 1个C 2个D 无法确定12.已知定义域为R 的函数()x f 在区间()+∞,8上为减函数，且函数()8+=x f y 为偶函数，则（ ）A.()()76f f >B. ()()96f f >C. ()()97f f >D. ()()107f f >13.***若函数ｙ＝ｆ(ｘ)的定义域是{10|≤≤x x }，则函数Ｆ(ｘ)＝ｆ(ｘ＋a )＋ｆ(２ｘ＋a )（０＜a ＜１） 的定义域是（ ）A ．{212|ax ax -≤≤-} B ．{a x ax -≤≤-12|} Ｃ．{a x a x -≤≤-1|}Ｄ．{21|ax a x -≤≤-}14.已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，对任意R ∈x ，都有)1()1(+=-x f x f ，且在区间]1,0[上是增函数，则)5.5(-f 、)1(-f 、)2(f 的大小关系是（ ）A ．)1()2()5.5(-<<-f f fB ．)2()5.5()1(f f f <-<-C ．)1()5.5()2(-<-<f f fD ．)5.5()2()1(-<<-f f f15.设⎩⎨⎧<+≥-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．1316.***函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0>x 时，1)(+-=x x f ，则当0<x 时，()f x 的表达式为（ ）A ．1+-xB ．1--xC ．1+xD ． 1-x17.***设函数243,[1,4]y x x x =-+∈，则()f x 的最小值和最大值为（ ）A.-1 ，3B.0 ，3C.-1，4D.-2，018.***若)1(-x f 的定义域为[1，2]，则)2(+x f 的定义域为（ ）（A ）[0，1] （B ）[2，3] C ）[－2，－1] （D ）无法确定19***若对于任意实数x 总有)()(x f x f =-，且)(x f 在区间]1,(--∞上是增函数，则( )A ．)2()1()23(f f f <-<- B. )2()23()1(f f f <-<- C. )23()1()2(-<-<f f f D. )1()23()2(-<-<f f f20.函数y = （ ）A 、[]0,2B 、[]0,4C 、(],4-∞D 、[)0,+∞21.若函数f(x)是定义在[-6，6]上的偶函数，且在[-6，0]上单调递减，则 （ ）A ．f(3)+f(4)>0B ． f(-3)-f(-2)<0C ．f(-2)+f(-5)<0D ． f(4)-f(-1)>0二、填空题22.***定义在)1,1(-上的奇函数1)(2+++=nx x mx x f ，则常数=m ___,=n __23.***已知函数(21)32f x x +=+，且()4f a =，则a =____________24函数222(03)()6(20)x x x f x x x x ⎧-<≤=⎨+-≤≤⎩的值域为______________________ 25.已知a b ，为常数，若2()43f x x x =++，2()1024f ax b x x +=++，则5a b -=__________. 26.已知函数)(x f 满足),()(x f x f =-当)0,(,-∞∈b a 时总有)(0)()(b a b a b f a f ≠>--，若)2()1(m f m f >+，则实数m 的取值范围是27.已知函数()f x 满足对所有的实数,x y 都有2()(2)5(3)21f x f x y xy f x y x +++=-++,则(10)f 的值为 ．．28函数212+=x y 的值域为____________________.29.定义在R 上的奇函数()f x 为减函数，若0a b +≤，给出下列不等式： ①()()0f a f a ⋅-≤； ②()()()()f a f b f a f b +≤-+-； ③()()0f b f b ⋅-≥； ④()()()()f a f b f a f b +≥-+-． 其中正确的是 （把你认为正确的不等式的序号全写上）．30.设函数f(x)=x-1x ,对任意x [1,∈+∞），f(mx)+mf(x)<0恒成立，则实数m 的取值范围是________m<-131.函数43()1x xf x x -=-的奇偶性是 非奇非偶 .32．设函数(1)()()x x a f x x ++=为奇函数，则a = -1 ..三、解答题 33.二次函数)(x f 满足x x f x f 2)()1(=-+，且1)0(=f .（1）求)(x f 的解析式；（2）在区间[]1,1-上，)(x f y =的图象恒在直线m x y +=2上方，试确定实数m 的取值范围。
如何运用定义法判断函数的奇偶性
我们知道，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (-x )=f (x )，那么函数f (x )是偶函数；都有f (-x )=-f (x )，那么函数f (x )是奇函数.奇偶性是函数的重要性质之一.判断函数的奇偶性，我们一般用定义法，其基本思路是：第一步，判断函数的定义域是否关于原点对称.若函数的定义域不关于原点对称，则该函数不具有奇偶性.第二步，将-x 替换x ，求得f (-x )的表达式.第三步，将f (-x )的表达式与f (x )、-f (x )进行比较，若f (-x )=f (x )，则函数为偶函数；若f (-x )=-f (x )，则函数为奇函数.下面，我们结合实例来说明.例1.判断函数f (x )=x -1x3的奇偶性.解：由题意可知，该函数的定义域为()-∞,0⋃(0,+∞)，且关于原点对称，所以当x ∈(-∞,0)⋃(0,+∞)时，-x ∈(-∞,0)⋃(0,+∞)，又f (-x )=(-x )-1(-x )3=-x +1x 3=-(x -1x3)，所以函数f (x )=x -1x3为奇函数.在求出函数的定义域后，我们就会发现函数的定义域关于原点对称，所以接下来就可以直接根据函数奇偶性的定义来判断其奇偶性.例2.判断函数f (x )=ìíîïïx 3-3x 2+1,x >0,0,x =0,x +3x 2-1,x <0,的奇偶性.解：由题意知，函数的定义域为R ，且关于原点对称.当x >0时，-x <0，f (-x )=-x 3+3x 2-1=-(x 3-3x 2+1)=-f (x )，当x =0时，-x =0，f (-x )=f (0)=0,f (x )=f (0)=0，f (-x )=-f (x )，当x <0时，-x >0，f (-x )=-x 3-3x 2+1=-(x 3+3x 2-1)=-f (x )，综上，当x ∈R 时，总有f (-x )=-f (x )，所以该函数f (x )为奇函数.由于该函数为分段函数，所以需将函数的定义域分成三段，然后将-x 与x 代入相应区间的函数表达式中，得到f (-x )=-f (x )，所以可以判定该函数为奇函数.在判断分段函数的奇偶性时，很多同学经常会误用函数在定义域的某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性，大家要警惕.例3.已知函数f (x )的定义域为R .若对于任意实数a 、b 都存在f (a +b )+f (a -b )=2f (a )f (b )，请判断该函数的奇偶性.分析：由于该函数没有给出具体的解析式，属于抽象函数，需通过讨论f (x )±f (-x )是否等于0，以及f (x )与f (-x )之间的关系来判断其奇偶性.解：由题意可知函数的定义域为R ，所以函数的定义域关于原点对称.由任意a 、b ∈R ，都存在f (a +b )+f (a -b )=2f (a )f (b )可令b =0,则2f (a )=2f (a )f (0)，若f (a )=0，a 为任意实数，则f (x )=0，所以函数为偶函数.若f (a )≠0，则f (1)=0.令a =0，则f (b )+f (-b )=2f (0)f (b )=2f (b )，f (-b )=f (b ).所以该函数为偶函数.利用定义法判断抽象类函数的奇偶性有两种思路.一种是通过判断f (x )±f (-x )是否等于0来进行判断，当f (x )-f (-x )=0时，函数为偶函数；当f (x )+f (-x )=0时，函数为奇函数.另一种方法是根据f (x )与f (-x )之间的关系来进行判断，当f (-x )=-f (x )时，函数为奇函数；当f (-x )=f (x )时，函数为偶函数.判断函数奇偶性的方法还有很多，如数形结合法、转化法、导数法等.虽然有些题目中函数的解析式和类型并不相同，但运用定义法判断函数奇偶性的步骤和思路是一致的.希望同学们在学习了这篇文章后，能熟练运用定义法判断函数的奇偶性.(作者单位:江苏省东海县房山高级中学)何永知识导航39。
高考数学复习点拨 函数奇偶性的判定方法.doc
函数奇偶性的判定方法函数奇偶性的判定方法较多，下面举例介绍常见的判定方法．1．定义域判定法例1 判定()(1)2f x x x =--的奇偶性．解：要使函数有意义，须20x -≥，解得2x ≥，定义域不关于原点对称，∴原函数是非奇非偶函数．评注：用定义域虽不能判定一个函数是奇函数还是偶函数，但可以通过定义域不关于原点对称，来否定一个函数具有奇偶性．2．定义判定法例2 判断()f x x a x a =++-的奇偶性．解：函数()f x x a x a =++-的定义域为R ， 且 ()()()()f x x a x a x a x a x a x a f x -=-++--=--+-+=-++=， ∴函数()f x 是偶函数．评注：在定义域关于原点对称的前提下，可根据定义判定函数奇偶性．3．等价形式判定法例3 判定()f x =的奇偶性． 解：()f x 的定义域为R ，关于原点对称，当0x =时，()0f x =，∴图象过原点．又0x ≠时，2222()(1)(1)1()(1)(1)f x x x f x x x -+-+==-+--，()()f x f x ∴-=-． 又(0)0f =，()f x ∴为奇函数．评注：常用等价变形形式有：若()()0f x f x +-=或()1()f x f x -=-，则()f x 为奇函数；若()()0f x f x --=或()1()f x f x -=，则()f x 为偶函数（其中()0f x ≠）． 4．性质判定法 例4 若0a >，[]()()f x x a a ∈-，是奇函数，()()g x x ∈R 是偶函数，试判定()()()x f x g x ϕ=的奇偶性．解：在()()f x g x ，的公共定义域[]a a -，内，任取一个x ，则()()()x f x g x ϕ-=--，()()f x g x ，分别是奇函数和偶函数，()()f x f x ∴-=-，()()g x g x -=．()()()()()()x f x g x f x g x x ϕϕ∴-=--=-=-．()x ϕ∴在[]a a -，上为奇函数．评注：在两个函数（常函数除外）的公共定义域关于原点对称的前提下：①两个偶函数的和、差、积都是偶函数；②两个奇函数的和、差是奇函数，积是偶函数；③一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数．。
函数的奇偶性(精辟讲解)
， ①
解得－1≤m≤ 3.
又 f(x)为奇函数，且在[－2,0]上递减，∴在[－2,2]上递减， ∴f(1－m)<－f(1－m2)＝f(m2－1)⇒1－m>m2－1， 即－2<m<1. 综合①②可知，－1≤m<1. ②
探究提高 (1)奇函数的图象关于原点对称； 偶函数的图 象关于 y 轴对称． (2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同， 偶函 数在关于原点对称的区间上的单调性相反． (3)奇函数 f(x)在 x＝0 处有意义，一定有 f(0)＝0.但是在 用 f(0)＝0 求出参数后，要注意验证． (4)f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)． 在应用特殊值求参数时，求出参数后要注意验证．
2．函数奇偶性的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性， 则其单 调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单 调性，则其单调性恰恰相反． (2)若 f(x)为偶函数，则 f(－x)＝f(x)＝f(|x|)． (3)若奇函数 f(x)定义域中含有 0，则必有 f(0)＝0. f(0)＝0 是 f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件． (4)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数， 都可表 示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”． (5)复合函数的奇偶性特点是： “内偶则偶， 内奇同外”． (6)既奇又偶的函数有无穷多个(如 f(x)＝0，定义域是关 于原点对称的任意一个数集)．
x 2 x 1 ( x 0) f ( x) 0 ( x 0). 2 x x 1 ( x 0)
(2)方法一 ∵f(x)是 R 上的偶函数， ∴f(－x)＝f(x)在 R 上恒成立． e－x a ex a 即 a ＋ －x＝ a ＋ x， e e (a2－1)e2x＋1－a2＝0 对任意的 x 恒成立， a2－1＝0 ∴ ，解得 a＝1. a>0
判断函数奇偶性知识点总结
判断函数奇偶性知识点总结判断函数奇偶性知识点总结函数奇偶性是高中数学中的一类重要的概念和方法，对于理解函数的性质和解题有着重要的指导作用。
掌握函数奇偶性的判断方法，可以帮助我们更好地分析和解决数学问题。
本文将总结判断函数奇偶性的相关知识点，包括奇偶函数的定义、判断方法及常见函数的奇偶性。
一、奇偶函数的定义1. 定义函数的奇偶性是指函数图像关于y轴对称或关于原点对称的性质。
具体而言，对于定义域中的任意实数x，若函数满足f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数；若函数满足f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。
2. 奇函数的性质（1）奇函数在原点对称，即函数图像关于原点对称；（2）如果函数是奇函数，且存在一个值x0使得f(x0) = 0，那么f(-x0) = 0。
3. 偶函数的性质（1）偶函数在y轴对称，即函数图像关于y轴对称；（2）如果函数是偶函数，且存在一个值x0使得f(x0) = 0，那么f(-x0) = 0。
二、判断函数奇偶性的方法1. 使用定义判断要判断函数奇偶性，可以使用定义进行判断。
即对于定义域中的任意实数x，如果满足f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；如果满足f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数；如果无法满足以上两个条件，则函数既不是奇函数也不是偶函数。
2. 使用图像判断利用函数图像的对称性质，我们可以判断函数的奇偶性。
具体而言，对于函数的图像图形，如果它关于y轴对称，则函数为偶函数；如果它关于原点对称，则函数为奇函数；如果既不关于y轴对称也不关于原点对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数。
3. 使用性质判断对于一些特定的函数，可以利用其性质来判断其奇偶性。
（1）多项式函数：多项式函数中的偶次幂项为偶函数，奇次幂项为奇函数。
（2）三角函数：正弦函数和正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
（3）指数函数和对数函数：指数函数和对数函数既可以是奇函数，也可以是偶函数，具体与函数的定义和参数相关。
函数奇偶性的判断方法
函数奇偶性的判断方法
函数奇偶性的判断方法可以通过以下步骤进行：
1. 对函数进行求导，求得函数的导函数。
根据函数导数的性质，奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数。
2. 对导函数进行判断。
如果导函数是奇函数，则原函数是偶函数；如果导函数是偶函数，则原函数是奇函数。
这是因为奇函数的导函数是偶函数，而偶函数的导函数是奇函数。
3. 对函数进行奇偶性的验证。
可以选择任意一个点，例如选择$x=0$或$x=1$，计算函数在这个点上的值。
如果函数在选定
的点上的函数值与该点的对称点的函数值相等，则函数是偶函数；如果函数在选定的点上的函数值与该点的对称点的函数值相反，则函数是奇函数。
4. 对函数进行数学性质的分析。
对于多项式函数，可以通过观察多项式的幂次、系数的奇偶性来判断函数的奇偶性。
例如，对于只包含偶次幂的多项式函数，它是偶函数；对于只包含奇次幂的多项式函数，它是奇函数。
5. 对函数进行图像观察。
通过绘制函数的图像，观察函数的对称性和变化趋势来判断函数的奇偶性。
奇函数的图像通常具有关于原点对称的特点，而偶函数的图像则具有关于y轴对称的特点。
通过以上方法的一个或多个的综合应用，可以准确地判断一个函数的奇偶性。
判断函数奇偶性的三种方法
判断函数奇偶性的三种方法函数的奇偶性是指函数关于原点的对称性。
当函数在原点对称时，我们称其为偶函数；当函数关于原点对称时，我们称其为奇函数。
判断函数奇偶性的三种方法分别是函数表达式的法则、函数图像的法则和函数的性质法则。
一、函数表达式的法则：设函数表达式为f(x)，则有以下判断准则：1.当f(x)=f(-x)时，函数为偶函数。
如f(x)=x^2，f(-x)=(-x)^2=x^2，因此函数f(x)=x^2是偶函数。
2.当f(x)=-f(-x)时，函数为奇函数。
如f(x)=x^3，f(-x)=(-x)^3=-x^3，因此函数f(x)=x^3是奇函数。
通过观察函数表达式中的幂指数的奇偶来判断函数的奇偶性，奇次幂代表奇函数，偶次幂代表偶函数。
二、函数图像的法则：函数图像关于y轴对称时，函数为偶函数；函数图像关于原点对称时，函数为奇函数。
通过绘制函数的图像来观察图像的对称性，从而判断函数的奇偶性。
如果图像关于y轴对称，则函数为偶函数；如果图像关于原点对称，则函数为奇函数。
三、函数的性质法则：对于连续函数，可以通过计算函数的导数来判断函数的奇偶性。
1.对于偶函数，其导函数也为偶函数。
如果函数f(x)是偶函数，则f'(x)=0，即f'(-x)=0。
因此，函数f(x)的导函数f'(x)也是偶函数。
例如f(x)=x^2，f'(x)=2x，f'(-x)=2(-x)=-2x，f'(x)也是偶函数。
2.对于奇函数，其导函数也为奇函数。
如果函数f(x)是奇函数，则f'(x)=-f'(-x)。
因此，函数f(x)的导函数f'(x)也是奇函数。
例如f(x)=x^3，f'(x)=3x^2，f'(-x)=3(-x)^2=3x^2，f'(x)也是奇函数。
综上所述，判断函数的奇偶性主要有三种方法：函数表达式的法则、函数图像的法则和函数的性质法则。
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函数的奇偶性的判定
一。
要点解读
1、 理解奇、偶函数的左义要把握好两个问题：英一，左义域关于原点对称是函数f (X ) 为奇函数或偶函数的必须满足的条件：其二，/(-X )= -/(x)或/(—x) = /(x)是左义域上 的恒等式。
2、 具有奇偶性的函数的图像的特征：偶函数的图像关于y 轴对称：奇函数的图像关于 原点对称。
所以判断函数的奇偶性，除了定义法还有图像法。
3、 由奇函数的泄义可知，在x=0处有意义的奇函数f (x),有f (0) =0成立。
4、 有时可以应用定义的等价形式来判断函数的奇偶性。
5、偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反：奇函数在关于原点对称的区间上单调 性相同。
二.典例剖析
1、常见函数的奇偶性的判断
例1、判断函数f(x) = 1 是否具有奇偶性。
解：先看左义域，由，一1工0得XH±1,则崔义域D = {xlxe^x^±l］关于原点 对称，即任取xwD,都有—xeD,又/(-x)= i =亠1 =蚀,
(-X )- -1 JC _]
I Y I
所以fW = 为偶函数。
-1
点评：第一步：判断立义域是否关于原点对称；第二步：若泄义域不关于原点对称，则 该函数既不是奇函数也不是偶函数，若左义域关于原点对称，则进一步寻找f(-X )与f(x) 之间的关系：第三步：根据定义下结论。
2.分段函数的奇偶性
\(l-x)(x<0) 一 x(l + x)(x>0) 解：由题意，得函数f (X)的泄义域关于原点对称，当XV0时.一x>0,
所以 /(-X )= x(l - X )= f(x),当 x>0 时,—x<0,所以 f(-x) = -x(l + x) = f(x), 综上所述，得f (一x) =f (x),则f(x)是偶函数。
点评：对于分段函数要在左义域的不同部分上来分析奇偶性，但是要在整体上给该函数 下结
论。
3、抽象函数的奇偶性
例4、已知函数f (x)对一切x, y 都有f(x + y) = /(x)+ /(y)-
(1) 求证：f (x)是奇函数：
(2) 若 f (一3) =a,试用 a 表示 f (12) •
分析：要证f (x)为奇函数,需证f (一x) =-f (x),即/(—x) + /(x)=O.
解：(1)令 x=y=O,得/(0 + 0) = /(0) + /(0),所以 f (0) =0,令 y=-x 得
/(—X )= ±/(x), 即心)即册
例2、判断函数/(%)=
的奇偶性。
/(X-X)=/(X)+/(-A),所以/(-x) + /(A) = 0.所以函数f (x)为奇函数。
(2)因为f (一3) =a,函数f (x)为奇函数，所以f (3) =-a,
所以f ⑹=/⑶ + /(3) = -2a ,所以/(12) = f(6) + f(6) = -4a.
点评：在解有关抽象函数的问题时，常用赋值法。
常常赋值为0或1,在判断函数的奇偶性时，需要判断f (一x)与f (x)的关系，可以从f (一X)开始化简得到，也可以从考虑+ f(x)或/(A)-/(-A)是否为零来判断两者的关系。