(文章)函数的奇偶性的判定

函数的奇偶性的判定

一。要点解读

1、 理解奇、偶函数的左义要把握好两个问题：英一，左义域关于原点对称是函数f (X ) 为奇函数或偶函数的必须满足的条件：其二，/(-X )= -/(x)或/(—x) = /(x)是左义域上 的恒等式。

2、 具有奇偶性的函数的图像的特征：偶函数的图像关于y 轴对称：奇函数的图像关于 原点对称。所以判断函数的奇偶性，除了定义法还有图像法。

3、 由奇函数的泄义可知，在x=0处有意义的奇函数f (x),有f (0) =0成立。

4、 有时可以应用定义的等价形式来判断函数的奇偶性。

5、偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反：奇函数在关于原点对称的区间上单调 性相同。

二.典例剖析

1、常见函数的奇偶性的判断

例1、判断函数f(x) = 1 是否具有奇偶性。

解：先看左义域，由，一1工0得XH±1,则崔义域D = {xlxe^x^±l］关于原点 对称，即任取xwD,都有—xeD,又/(-x)= i =亠1 =蚀,

(-X )- -1 JC _]

I Y I

所以fW = 为偶函数。 -1

点评：第一步：判断立义域是否关于原点对称；第二步：若泄义域不关于原点对称，则 该函数既不是奇函数也不是偶函数，若左义域关于原点对称，则进一步寻找f(-X )与f(x) 之间的关系：第三步：根据定义下结论。

2.分段函数的奇偶性

\(l-x)(x<0) 一 x(l + x)(x>0) 解：由题意，得函数f (X)的泄义域关于原点对称，当XV0时.一x>0,

所以 /(-X )= x(l - X )= f(x),当 x>0 时,—x<0,所以 f(-x) = -x(l + x) = f(x), 综上所述，得f (一x) =f (x),则f(x)是偶函数。

点评：对于分段函数要在左义域的不同部分上来分析奇偶性，但是要在整体上给该函数 下结

论。

3、抽象函数的奇偶性

例4、已知函数f (x)对一切x, y 都有f(x + y) = /(x)+ /(y)-

(1) 求证：f (x)是奇函数：

(2) 若 f (一3) =a,试用 a 表示 f (12) •

分析：要证f (x)为奇函数,需证f (一x) =-f (x),即/(—x) + /(x)=O.

解：(1)令 x=y=O,得/(0 + 0) = /(0) + /(0),所以 f (0) =0,令 y=-x 得

/(—X )= ±/(x), 即心)即册

例2、判断函数/(%)=

的奇偶性。

/(X-X)=/(X)+/(-A),所以/(-x) + /(A) = 0.所以函数f (x)为奇函数。

(2)因为f (一3) =a,函数f (x)为奇函数，所以f (3) =-a,

所以f ⑹=/⑶ + /(3) = -2a ,所以/(12) = f(6) + f(6) = -4a.

点评：在解有关抽象函数的问题时，常用赋值法。常常赋值为0或1,在判断函数的奇偶性时，需要判断f (一x)与f (x)的关系，可以从f (一X)开始化简得到，也可以从考虑+ f(x)或/(A)-/(-A)是否为零来判断两者的关系。