一元二次不等式及其解法(习题课)

因一元二次不等式的系数的正负不清致误
[典例] 如果 ax2＋bx＋c>0 的解集为{x|x<－2 或 x>4}，那么对于函数
f(x)＝ax2＋bx＋c，f(－1)，f(2)，f(5)的大小关系是________．
[解析] 由 ax2＋bx＋c>0 的解集为{x|x<－2 或 x>4}知 a>0，且－2,4 是方程 ax2
Δ≥0 fk>0 － b <k
2a
根的分布 k<x1≤x2 x1<k<x2
图象
等价条件Ⅰ
Δ≥0 xx1＋1－xk2>·2k x2－k>0 Δx>1－0 k· x2－k<0
等价条件Ⅱ
Δf>k0>0 －2ba>k
f(k)<0
根的分布
图象
x1、x2∈(k1， k2)
k1<x1<k2<x2 <k3
等价条件Ⅰ 等价条件Ⅱ
答案：B
3．已知不等式 x2＋ax＋4<0 的解集为空集，则 a 的取值范围是( )
A．－4≤a≤4
B．－4<a<4
C．a≤－4 或 a≥4
D．a<－4 或 a>4
解析：依题意应有Δ＝a2－16≤0， 解得－4≤a≤4，故选 A. 答案：A
4．已知方程 x2－2ax＋1＝0 有两正根，则 a 的取值范围是________．
Δ≥0 ffkk12>>00 k1<－2ba <k2
fk1>0 fk2<0 fk3>0
[双基自测]
1．不等式43xx＋ －21>0 的解集是(
)
A.x|x>13或x<－12
B.x|－12<x<13
1
C.x|x>3
D.x|x<－12
解析：34xx－＋12>0 等价于(4x＋2)(3x－1)>0，
(1) f x ＞0⇔f (x)g(x )＞0； gx
[自主梳理]
(2)fx≤0⇔ gx
f xgx 0 gx 0
( f x agx)gx 0
(3)fx≥a ⇔ fx－agx≥0
gx
gx
gx 0
2．处理不等式恒成立问题的常用方法 (1)一元二次不等式恒成立的情况： ①ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立⇔aΔ＞＜00 ；
∴原不等式解集为x|x<－12或x>13. 答案：A
2．若集合 A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝x|x－x 2≤0，则 A∩B＝(
)
A．{x|－1≤x<0}
B．{x|0<x≤1}
C．{x|0≤x≤2}
D．{x|0≤x≤1}
解析：∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0<x≤2}，
∴A∩B＝{x|0<x≤1}．
a＝0 b＝0，c>0 b＝0，c<0
a≠0
a>0，
Δ<0
a<0，
Δ<0
2.有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法 (1)f(x)≤a 恒成立⇔f(x)max≤a. (2)f(x)≥a 恒成立⇔f(x)min≥a.
2．关于 x 的不等式(1＋m)x2＋mx＋m<x2＋1 对 x∈R 恒成立，
求实数 m 的取值范围．
，
3m＋16>0
解得 m<－2 m>－16 3
.
所以－16<m≤－4. 3
探究三 一元二次方程根的分布问题
[典例 3] 已知方程 x2＋2mx－m＋12＝0 的两根都大于 2，求实数 m
的取值范围．
法二：设函数 f(x)＝x2＋2mx－m＋12，
Δ≥0
m≤－4 或 m≥3
则 f2＝22＋2m·2－m＋12>0，
[典例 3] 已知方程 x2＋2mx－m＋12＝0 的两根都大于 2，求实数 m
的取值范围． [解析] 法一：设方程 x2＋2mx－m＋12＝0 的两根为 x1，x2.
由题意知Δx1＝＋4xm2＝2－－42－m>m4＋12≥0 x1－2x2－2>0
. m≤－4 或 m≥3
m2＋m－12≥0
即m<－2
解析：原不等式等价于 mx2＋mx＋m－1<0，对 x∈R 恒成立， 当 m＝0 时，0·x2＋0·x－1<0 对 x∈R 恒成立． 当 m≠0 时，由题意，得
m<0，
m<0，
Δ＝m2－4mm－1<0 ⇔3m2－4m>0
m<0， ⇔m<0，或m>43 ⇔m<0.
综上，m 的取值范围为 m≤0.
探究三 一元二次方程根的分布问题
＋bx＋c＝0 的两实根，
－2＋4＝－b， a
得 －2×4＝c， a
得
b＝－2a c＝－8a
所以 f(x)＝ax2－2ax－8a＝a(x＋2)(x－4)．
当 a>0，所以 f(x)的图象开口向上．
又对称轴方程为 x＝1，
f (x )的大致图象如图所示， 由图可得 f(2)<f(－1)<f(5)．
[答案] f(2)<f(－1)<f(5)
解：原不等式可化为23x－－41x －1>0，
即3x 4x
－ －23<0.
等价于(3x－2)(4x －3)<0.
∴23<x<34.
∴原不等式的解集为 x|23<x<34 .
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探究二 不等式中的恒成立问题 [典例 2] 设函数 f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数 x，f(x)<0 恒成立，求 m 的取值范围；
为( ) A．0
B．－2பைடு நூலகம்
C．－52 解析：由
x2＋ax＋1≥0
对一切
D．－3 x∈0，12恒成立，
所以 ax≥－1－x2，所以 a≥－1x－x.
又－1x－x＝－x＋1x≤－52，所以 a≥－52.
即 a 的最小值为－52.
答案：C
4．已知关于 x 的方程 x2＋(a＋1)x＋2a＝0 两根均在(－1，1)之间，则
[解析] (1)若 m＝0，显然－1<0 恒成立；
若
m≠0，则
m<0， Δ＝m2＋4m<0
⇒ －4<m<0.
∴m 的取值范围为－4<m≤0.
探究二 不等式中的恒成立问题
[典例 2] 设函数 f(x)＝mx2－mx－1.
(2)对于 x∈[1,3]，f(x)<－m＋5 恒成立，求 m 的取值范围．
（2）法一：要使
f (x )<－m＋5
恒成立，就要使
m
x －1 2
2＋3m－6<0， 4
令
g(x)＝m
x
－1 2
2＋3m－6，x 4
∈[1,3]．当
m＝0
时，－6<0
恒成立．
当 m>0 时，g(x)在[1,3]上是增函数， 当 m<0 时，g(x)在[1,3]上是减函数．
∴g(x)max＝g(3)＝7m－6.
∴g(x)max＝g(1)＝m－6<0，解得 m<6，
即
m>－16. 3
－ b ＝－2m>2 2a 2
m<－2
解得－16<m≤－4. 3
总结：
设关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)对应的二次函数为： f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，结合二次函数的图象的开口方向、对称轴位 置，以及区间端点函数值的正负，可以得到以下几类方程根的分布问 题(此时Δ＝b2－4ac)．
则 x1，x2 的分布范围与方程系数之间的关系如下表所示．
根的分布
图象
等价条件Ⅰ 等价条件Ⅱ
0<x1≤x2
Δ≥0 x1＋x2>0 x1·x2>0
Δ≥0 f0>0 －2ba>0
根的分布 x 1<0<x 2 x1≤x2<k
图象
等价条件Ⅰ 等价条件Ⅱ
Δ>0 x 1x 2<0
f(0)<0
Δ0 x1 x2 2k x1 kx2 k 0
1．不等式xx－ ＋21≤0 的解集是( A．(－∞，－1)∪(－1,2] C．(－∞，－1)∪[2，＋∞)
)
B．[－1,2] D．(－1,2]
解析：将原不等式转化为(x＋1)(x－2)≤0，解此一元二次不等式可得 结果，注意 x＋1≠0. 答案：D
2．对于 x∈R，式子 mx2＋1mx＋1恒有意义，则常数 m 的取值范围
1．解不等式． (1)x2－x－x－1 6＞0；
解析：(1)原不等式等价于
⇔x2 x 6x 1 0
x 3x 2x 1 0
x 2, x 1, x 3
-2
13
解得 x＞3 或－2＜x＜1.
∴原不等式的解集为{x|x＞3 或－2＜x＜1}．
人教A版数学 ·必修5
1．解不等式． (2)23x－－41x >1.
∵函数
y＝x2－6x＋1＝x－1262＋34在[1,3]上的最小值为67，
∵x2－x＋1＝x－122＋34>0， ∴只需 m<67即可．
又 m(x2－x＋1)－6<0， ∴m<x2－6x＋1.
∴m 的取值范围为－∞，67
1．不等式的解集为 R 的条件
不等式的解集为 R(或恒成立)
不等式 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx＋c<0
a＜0 ②ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔Δ≤0 . (2)一般地，若函数 y＝f(x)，x∈D 既存在最大值，也存在最小值，则： ①a＞f(x)，x∈D 恒成立⇔a＞f(x)max； ②a＜f(x)，x∈D 恒成立⇔a＜f(x)min.
3．一元二次方程根的分布
设 x1，x2 是实系数二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的两实根，f(x)＝ax2＋bx＋c，
为( )
A．0<m<4
B．0≤m≤4
C．0≤m<4
D．0<m≤4
解析：m＝0 时，mx2＋mx＋1＝1 满足题目要求，m≠0 时，mx2＋mx
m>0， ＋1>0 恒成立，需Δ<0， 解得 0<m<4，∴0≤m<4.
答案：C
3．若不等式 x2＋ax＋1≥0 对一切 x∈0，12恒成立，则 a 的最小值
(4)方程 f(x)＝0 的一根小于 k1，另一根大于 k2 且 k1<k2 的条件是 fk1<0， fk2<0.
3．关于 x 的方程 2kx2－2x－3k－2＝0 的两根， 一个小于 1，一个大于 1，求实数 k 的取值范围． 解析：因为关于 x 的方程 2kx2－2x－3k－2＝0 有两不同实根，所以 2k≠0.又因为一个小于 1，一个大于 1， 所以设 f(x)＝2kx2－2x－3k－2， 当 k>0 时，f(1)<0，即 2k－2－3k－2<0，整理后得 k>－4，所以 k>0. 当 k<0 时，f(1)>0，即 2k－2－3k－2>0，整理后得 k<－4，所以 k< －4. 综上：当 k<－4 或 k>0 时，方程 2kx2－2x－3k－2＝0 的两根，一个 根小于 1，一个根大于 1.
解析：设方程 x2－2ax＋1＝0 两根 x1，x2，
Δ＝－2a2－4≥0
则x1＋x2＝2a>0
，解得 a≥1.
答案：[1，＋∞)
探究一 解简单的分式不等式
[典例 1] 解不等式． (1)x1＋ －2x＜0；
[解析] (1)由x1＋－2x＜0，得xx＋－21＞0. 此不等式等价于(x ＋2)(x －1)＞0.
(2)xx＋ －12≤2.
∴原不等式的解集为{x|x＜－2 或 x＞1}．
(2)移项，得xx＋－12－2≤0，
它的同解不等式为
x－2x －5≥0， x －2≠0，
左边通分并化简，得－xx－＋25≤0，即xx－－52≥0，∴ 原不 x＜等2式或的x解 ≥5集. 为{x|x＜2 或 x≥5}
1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一 元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． 2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不 要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
∴7m－6<0，解得 m<67. ∴0<m<6.
7
∴m<0.
综上所述，m
的取值范围为
－∞，6 7
.
探究二 不等式中的恒成立问题
[典例 2] 设函数 f(x)＝mx2－mx－1.
(2)对于 x∈[1,3]，f(x)<－m＋5 恒成立，求 m 的取值范围．
法二：f(x)<－m＋5 恒成立， 即 m(x2－x＋1)－6<0 恒成立．
Δ≥0， (1)方程 f(x)＝0 在区间(k，＋∞)内有两个实根的条件是－ fk2ba>>0k. ，
(2)方程 f(x)＝0 有一根大于 k，另一根小于 k 的条件是 f(k)<0.
(3) 方 程 f(x) ＝ 0 在 区 间 (k1 ， k2) 内 有 两 个 实 根 的 条 件 是
Δ≥0 k1<－2ba<k2， fk1>0， fk2>0.
一元二次不等式及其解法(习题课)
考纲定位
重难突破
1.会求解方程根的存在性问题 重点：有关不等式恒成立求
和不等式恒成立问题． 参数的值或范围问题和分式
2．会将简单的分式不等式化为 不等式的解法．
一元二次不等式求解
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
课时作业
1．解分式不等式的同解变形法则
实数 a 的取值范围是________．
解析：依题意有：Δ－≥1<0－，a＋2 1<1， f－1>0， f1>0
－a≥3<3＋a<21，2或a≤3－2 2， ⇒a>0，
a>－23
⇒0<a≤3－2 2. 答案：(0,3－2 2]