李贤平 第2版《概率论基础》第五章答案

第5章 极限定理

1、ξ为非负随机变量，若(0)a Ee

a ξ

<∞>，则对任意x o >，{}ax a P x e Ee ξξ-≥≤。

2、若()0h x ≥，ξ为随机变量，且()Eh ξ<∞，则关于任何0c >，

1{()}()P h c c Eh ξξ-≥≤。

4、{}k ξ各以

12

概率取值s k 和s

k -，当s 为何值时，大数定律可用于随机变量序列1,,,n ξξL L 的算术平均值？

6、验证概率分布如下给定的独立随机变量序列是否满足马尔可夫条件：

（1）1{2}2

k

k P X =±=

； （2）(21)

2{2}2

,{0}12k k k k k P X P X -+-=±===-； （3）1

1

2

21{2},{0}12

k

k k P X k P X k --=±===-。

7、若k ξ具有有限方差，服从同一分布，但各k 间，k ξ和1k ξ+有相关，而1,(||2)k k l ξξ-≥是独立的，

证明这时对{}k ξ大数定律成立。

8、已知随机变量序列12,,ξξL 的方差有界，n D c ξ≤，并且当||i j -→∞时，相关系数0ij r →，证明

对{}k ξ成立大数定律。 9、对随机变量序列{}i ξ，若记11()n n n ηξξ=

++L ，11

()n n a E E n

ξξ=++L ，则{}i ξ服从大数定律的充要条件是22()lim 01()n n n n n a E a ηη→∞⎧⎫

-=⎨⎬+-⎩⎭

。 10、用斯特灵公式证明：当,,n m n m →∞→∞-→∞，而

0m

n

→时，

2

221~2n m

n n n m -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-⎝⎭

⎝⎭。 12、某计算机系统有120个终端，每个终端有5%时间在使用，若各个终端使用与否是相互独立的，试

求有10个或更多终端在使用的概率。

13、求证，在x o >时有不等式2221

1122221

1t x x x x e e dt e x x

-∞--≤≤+⎰。 14、用德莫哇佛——拉普拉斯定理证明：在贝努里试验中，01p <<，则不管k 是如何大的常数，总有

{||}0()n P np k n μ-<→→∞。

15之间的概率不小于90%。并用正态逼近计算同一问题。

16、用车贝晓夫不等式及德莫哇佛——拉普拉斯定理估计下面概率：n P p n με⎧⎫

-≥⎨⎬⎩⎭

并进行比较。这里n μ是n 次贝努里试验中成功总次数，p 为每次成功的概率。 17、现有一大批种子，其中良种占

16，今在其中任选6000粒，试问在这些种子中，良种所占的比例与1

6

之差小于1%的概率是多少？ 18、种子中良种占

16，我们有99%的把握断定，在6000粒种子中良种所占的比例与1

6

之差是多少？这时相应的良种数落在哪个范围内？

19、蒲丰试验中掷铜币4040次，出正面2048次，试计算当重复蒲丰试验时，正面出现的频率与概率之

差的偏离程度，不大于蒲丰试验中所发生的偏差的概率。

20、设分布函数列{()}n F x 弱收敛于连续的分布函数()F x ，试证这收敛对1

x R ∈是一致的。 22、试证若正态随机变量序列依概率收敛，则其数学期望及方差出收敛。

24、若n X 的概率分布为0

111n n n ⎛⎫ ⎪

⎪-

⎪⎝⎭

，试证相应的分布函数收敛，但矩不收敛。 25、随机变量序列{}n ξ具有分布函数{()}n F x ，且()()n F x F x →，又{}n η依概率收敛于常数0c >。试证：（I ）n n n ζξη=+的分布函数收敛于()F x c -；（II ）n

n n

ξζη=

的分布函数收敛于()F cx 。 26、试证：（1）0P P

n n X X X X −−

→⇒-−−→； （2）,{}1P

P

n n X X X Y P X Y −−

→−−→⇒==； （3）0(,)P P

n n m X X X X n m −−

→⇒-−−→→∞； （4）,P

P

P

n n n n X X X Y X Y X Y −−

→−−→⇒±−−→±； （5）,P n X X k −−

→是常数P

n kX kX −−→； （6）22P

P

n n X X X X −−

→⇒−−→；

（7）,,,P

P

n n X a Y b a b −−

→−−→常数P

n n X Y ab −−→； （8）111P

P

n n X X -−−

→⇒−−→； （9）,,,P P

n n X a Y b a b −−

→−−→常数110P

n n b X Y ab --≠⇒−−→；

（10）,P

n X X Y −−

→是随机变量P

n X Y XY ⇒−−→； （11）,P

P

P

n n n n X X Y Y X Y XY −−

→−−→⇒−−→。 27、设P

n X X −−

→。而g 是1R 上的连续函数，试证()()P

n g X X −−→。 28、若{}n X 是单调下降的正随机变量序列，且0P

n X −−

→，证明0a s n X ⋅⋅

−−→。 29、若12,,X X L 是独立随机变量序列，μ是整值随机变量，{}k P k p μ==，且与{}i X 独立，求

1X X μη=++L 的特征函数。

30、若()f t 是非负定函数，试证（1）(0)f 是实的，且(0)0f ≥；（2）()()f t f t -=；

（3）|()|(0)f t f ≤。

31、用特征函数法直接证明德莫佛——拉普拉斯积分极限定理。 33、若母体ξ的数学期望2

,E m D ξξσ

==，抽容量为n 的子样求其平均值ξ，为使

{||0.1}95%P m ξσ-<≥，问n 应取多大值？

34、若{,1,2,}n n ξ=L 为相互独立随机变量序列，具有相同分布11

{1},{0}22

n n P P ξξ-=

-=，而12n

k

n k k

ξη==∑

，试证n η的分布收敛于[0,1]上的均匀分布。

35、用特征函数法证明二项分布的普阿松定理。

36、用特征函数法证明，普阿松分布当λ→∞时，渐近正态分布。 计算n Y 的特征函数，并求n →∞时的极限。

38、设n X 独立同分布，2{2}2k k

n P X --== (1,2,)k =L ，则大数定律成立。

39、若{}i X 是相互独立的随机变量序列，均服从(0,1)N ，试

证1n n

W =

及n U =

渐近正态分布(0,1)N 。