《结构力学》

基本未知量：力法以多余约束力作为基本未知量，其 数目等于多余约束的个数，即超静定次数。 基本系：超静定结构解除多余约束后得到的静定结构 为力法的基本系。
因解除约束的位置和方式不同，一个超静定结构可 以有各种不同的基本系，这些基本系的共同要求是保持 几何不变，同时应选择计算较简单的基本系。
一般来说悬臂式最简单，其次是简支式，三铰式与 组合式都较复杂。
第五章 力法
§5.1 超静定结构的一般概念
一、 概述
1. 静定结构与超静定结构
静定结构：从几何组成上来看，为无多余约束的几何 不变体系；从受力特征上来看，在任意荷载作用下， 全部的支座反力和内力可以由静力平衡条件唯一确 定。
FAx
FAy
FCy
超静定结构：在荷载等外来因素作用下，支座反力 或内力不能仅用平衡条件确定的结构。
★ 以多余约束力作为基本未知量， 以解除多余约束后剩下的静定结构作为基本系， 根据解除约束处的位移条件建立力法的典型方程， 求出多余约束力，然后利用叠加原理作内力图。
★ 力法是计算超静定结构的基本方法之一，可用来 分析各种类型的超静定结构。
§5.3 力法的基本未知量、基 本系和典型方程
一、基本未知量和基本系
212111
12 22
13 23
1P 2P
11X1 12 X 2 13 X 3 1P 0 21X1 22 X 2 23 X 3 2P 0
3 31 32 33 3P 31X1 32 X 2 33 X 3 3P 0
矩阵形式：
11 21 31
12 22 32
解除约束的常用做法：
（1）撤去一个链杆支座或切断一根链杆，相当于解 除一个约束；
（2）撤去一个固定支座或切断一根受弯杆，相当 于解除三个约束；
（3）撤去一个固定铰支座或切断一个单铰，相当于 解除二个约束；
（4）将固定支座改成固定铰支座或将受弯杆切断后 插入一铰，相当于解除一个约束。
wk.baidu.com意事项:
1 11X1 12 X 2 1n X n 1P 0 2 21X1 22 X 2 2n X n 2P 0
n n1X1 n2 X 2 nn X n nP 0
力法求解超静定结构的一般步骤
（1）确定超静定次数，解除多余约束，选择基本系； （2）根据位移条件建立力法典型方程：基本系在原有 荷载和多余约束力的共同作用下，解除多余约束处的位 移应与原结构中相应的位移相等。 （3）在基本系上作单位内力图及荷载内力图，按位移 公式计算系数和自由项； （4）求解典型方程，得多余约束力； （5）根据叠加原理计算内力，作内力图，并校核（包 括平衡条件校核和位移条件校核。
例题：用力法计算超静定刚架。
12BA
1A1
B 21
1A2
B 22
1AP
A 11
X1
A 12
X
2
1AP
0
B 2P
B 21
X1
B 22
X
2
B 2P
0
叠加原理作弯矩图:
超静定结构位移计算
例：求原超静定结构中，CB梁中点的竖向位移。
原 束超力静和定外结荷构载的F共P内同力作和用位的移基与本受系X是1 一 8样30 F的Pl,。X的求2 多原147余0超F约P静定结构 中 作D用点下的的竖基向本的系位中移D，点就的等竖于向求位在移X。1 而对830基FPl本,X系2和来1470共说FP同，可F将P X1,X 2 与 FP一同视为作用在基本系上的外力。因此，要求基本系中D的 竖向位移，只需在基本系中，D处施加一竖向单位虚力并作出M k 图，而基本系在这三个外力作用下的 M图P 即为原超静定结构的 弯矩图。
超静定梁
超静定刚架
超静定桁架
超静定拱 超静定组合结构 超静定铰接排架
对超静定结构的内力进行分析的方法主要有两 种，即力法和位移法。本章主要介绍如何用力法求 解超静定结构的内力。
超静定结构具有多余约束，用力法计算超静定 结构的内力时，首先应该确定超静定结构中多余约 束的个数。这个数目表示：除去静力平衡方程外， 尚需补充多少个反应位移条件的方程才能求解全部 的反力和内力。
FAx
FAx
FAy
FBy
FCy
外力超静定问题
FAy
FCy
内力超静定问题
超静定结构的优点：
➢最大内力和位移一般小于静定结构，内力分布 比较均匀；
➢抵抗破坏的能力强。
超静定结构举例 超静定结构举例
连续梁桥
厂 房 门 式 刚 架
2. 超静定结构基本特征
1）几何组成特征: 具有多余约束、几何不变。
★ 超静定结构在去掉多余约束后，就成为静定结构。
二、力法的典型方程
• 用力法解一般超静定结构的关键在于根据位移条 件建立力法的典型方程，从而求解多余约束力。
• 位移条件：超静定结构在解除多余约束后，要保 证基本系在原有荷载和多余约束力共同作用下的内 力、位移与原超静定结构一致，就必须使得解除多 余约束处的位移与原结构中相应的位移相等。
图(a)所示刚架为三次超静定结构。
—— 基本系与原结构所满足的平衡方程完全相同，作用在
基本系上的原有荷载q是已知的，而多余约束力X1是未知 的，因此，如果能用某种方法求出多余约束力X1，那么就 可以将原超静定结构的计算问题转化到静定的基本系上进
行求解。
q
q
A l
原结构
BA
B
基本系
X1
—— 单从平衡条件考虑， X1可取任意值，都可以维持基 本系的平衡。但这时结构中相应的反力、内力和位移就会
如果能用某种方法先求出超静定结构中的多 余约束力，那么就可以将超静定结构转化为静定 结构来计算。这就是力法的基本思路。
“化未知为已知”——科学研究的基 本方法之一。
引例
例：一端固定、另一端铰支的单跨超静定梁。
q
q
A l
原结构
BA
B
基本系
X1
—— 基本系：去掉多余约束，并用多余约束力代替后的静
定结构。
在原结构中，由于B端为固定端，无水平线位移、竖向线位 移和角位移。因此在三个多余约束力X1、X2、X3和外荷载
FP和1 共FP同2 作用下的基本系必须保持同样的位移条件，
即B点沿X1方向上的位移 1、沿X2方向上的位移 2和X3方 向上的角位移 都3 应该等于零，即:
1 0,2 0,3 0
根据叠加原理，位移条件可写成：
荷载和多余约束力的共同作用下，解除多余约束处 的位移应与原结构中相应的位移相等。
这样，基本系与原结构不仅受力状态相同，而且变 形状态也相同。于是，可用静定的基本系的计算代替原 超静定结构的计算。
——--- 为了唯一确定超静定结构的支座反力和内力，需同时 考虑静力平衡条件和位移协调条件。
二、力法的基本原理
1、对于同一超静定结构，可以采取不同方式去掉多 余约束，而得到不同形式的静定结构，但去掉多余 约束的总个数应相同。
2.去掉多余约束后的体系必须是几何不变的。因此, 某些必要约束是不能去掉的。
此链杆不能去掉
可变体系
瞬变体系
此链杆不能去掉
§5.2 力法的基本原理
一、力法的基本思路
超静定结构具有多余约束，若将多余约束去 掉，就变成静定结构。
iP 自由项。 系数和自由项求得后，即可求解典型方程得到
所有多余约束力。然后再按照分析静定结构的方法 利用叠加原理求出原结构的内力。例如弯矩为：
M M1X1 M2X2 M3X3 M P
更一般地，对于 n 次超静定结构来说，共有n 个 多余约束力，而每个多余约束力对应着一个已知的位移 条件，故可按 n 个位移条件建立 n 个方程。当已知多 余约束力作用处的位移为零时，则力法典型方程为：
17 40
FP
3 80 FPl
Dy
1 EI1
(
1 6
l 2
3 80
FPl
l
1 3
l 2
3 40
FPl
l)
11l 3
l 1 l 17 l
EI2
( 3
2
40
FPl
2
6
2
80
FPl
) 2
31FPl3 () 3840EI1
2）静力特征: 仅用静力平衡条件无法确定反力或 内力。
3）求解特征：同时满足静力平衡条件和位移协调 条件的超静定结构的解是唯一的、确定的。
★ 以上三个特征就是超静定结构区别于静定结构 的基本特征。总的来说，有多余约束 、外力／内力 超静定是超静定结构的本质特征。
3. 超静定结构的类型
1）超静定梁 2）超静定刚架 3）超静定桁架 4）超静定拱 5）超静定组合结构 6）超静定排架
13 23 33
X X X
1 2 3
12PP 3P
0 0 0
ΔxxX ΔP 0
--- 力法的典型方程
ΔxxX ΔP 0
Δxx ：柔度矩阵，即力法方程中的系数矩阵。 X ：基本未知量列阵。 ΔP：自由项列阵。
ii 主系数，恒为正。 ik 副系数，可正、负、零。互等关系ik ki(i k)
有不同的取值。因而，B点会发生大小和方向都各不相同
的位移。
而在原结构中，B点的竖向位移恒为零。因此，只有
当X1的数值恰与原结构右侧链杆支座上实际发生的支座反 力相等时，才能保证基本系在原有荷载和多余约束力X1的 作用下，B点的竖向位移是恒为零的。
q
q
A l
原结构
BA
B
基本系 X1
—— 确定多余约束力X1的位移条件：基本系在原有
§5.1.2 超静定次数的确定
1、定义
超静定次数：超静定结构中多余约束的个数。
多余约束力：多余约束中产生的约束力。
2、超静定次数的确定：采用解除多余约束 的方法。
从原超静定结构中去掉多余约束，代之以多余 约束力，直到原结构变成为几何不变、无多余约束 的静定结构，被解除的多余约束的个数即为超静定 次数。