理论力学拉格朗日方程
理论力学(Ⅱ)—拉格朗日方程
C
yC
M
g B
ma g 2
其中
M
g A
1 2
mR21
FBg ma
M
g B
1 2
mR2 2
此系统具有两个自由度，取轮A、轮B的转
角1、 2 为广义坐标。给系统一组虚位移，如图。
1
yC R 1 R 2 (1)
N
miri
k 1
ri qk
qk
Nn
(
k 1 i1
mi
ri
ri qk
)qk
ri
N k 1
ri qk
qk
n
i 1
Fi
δ
n
ri
i1
miai
δ
ri
N
(Qk
k 1
n i1
miri
ห้องสมุดไป่ตู้
ri qk
)qk
0
Qk
n i 1
xA l cos yA l sin xB l cos
O1
x1
rA
l l rB
FIA A m1g l
rC l
B
m1g
FIB
C
yB l sin
m2g
yC 2l sin
y1
2m1lsin2lcos 2m1glsin 2m2glsin 0
sin
1 g
(a1cos
3 2
ar
)
理论力学教学材料-11拉格郎日方程
xi yi zi Q j (X i Yi Zi ) i 1 q j q j q j
12
设有n个质点组成的质点系，具有k个自由度，可由k个广 义坐标q1， q2，... ， qk 确定其位置。在非定常约束下，质点 系中任一质点Mi的矢径
ri ri (q1 , q2 ,qk , t ) (i 1,2,n) (a)
Mi的虚位移（固定时间t）：
ri ri ri ri q1 q2 ... q k q1 q2 qk k r i q j (i 1,2, n) (b) j 1 q j
当质点系平衡时，由虚位移原理：
Firi W 0
i 1
n
或： Q jq j 0
j 1
k
由于δqj彼此独立，所以
Qj 0
( j 1,2,..., k )
7
即：具有理想约束的质点系，在给定位置平衡的必要与充分
条件是，系统的所有广义力都等于零。
例1：两均质杆，均长2l，均重P，用铰链连接，跨过半径为r 的光滑圆柱体上，并位于同一铅直面内，求杆的平衡位置。 解：由于两杆等长等重，平衡时他们的 位置必对称，这样系统就只有一个自由 度。以θ为广义坐标，C1、C2距O点的垂 直距离：
n 1 1 2 2 ( m v ) ( m v i i i i ) k d i 1 2 i 1 2 [ ]q j j q q j j 1 dt n
d T T [ ]q j j q j j 1 dt q
k
分析力学基础-拉格朗日方程
其他应用领域
要点一
机器人学
在机器人学中，拉格朗日方程被用于描述机器人的运动规 律。通过建立机器人运动的拉格朗日方程，可以求解出机 器人的关节角度和速度，为机器人的运动控制提供理论依 据。
要点二
生物力学
在生物力学中，拉格朗日方程也被应用于描述生物体的运 动规律。例如，在分析动物的运动行为或人体姿势控制时 ，可以使用拉格朗日方程来描述生物体的运动状态和变化 规律。
解析解法的优缺点分析
优点
解析解法可以得到系统的精确解，适用 于简单模型和特定条件下的复杂模型。
VS
缺点
对于复杂模型，解析解法可能非常困难甚 至无法求解，需要借助数值方法或其他近 似方法。
04
拉格朗日方程的数值解法
数值解法的概念和步骤
概念
数值解法是一种通过数学计算来求解数学问 题的方法，它通过将问题离散化，将连续的 问题转化为离散的问题，然后使用计算机进 行计算求解。
步骤
1.建立数学模型：根据实际问题建立数学模 型，将实际问题转化为数学问题。2.离散化 ：将连续的问题离散化，将连续的时间和空 间划分为若干个小的单元，每个单元称为一 个网格点或节点。3.求解离散化后的方程： 使用数值方法求解离散化后的方程，得到每 个网格点的数值解。4.后处理：对计算结果 进行后处理，提取所需的信息，并进行分析
分析力学基础-拉格 朗日方程
目录
• 引言 • 拉格朗日方程的推导 • 拉格朗日方程的解析解法 • 拉格朗日方程的数值解法 • 拉格朗日方程的应用领域
01
引言
拉格朗日方程的背景和重要性
背景
拉格朗日方程是分析力学中的基 本方程，它描述了系统的运动规 律。
重要性
拉格朗日方程在理论物理、工程 技术和科学研究等领域有着广泛 的应用，是理解和研究复杂系统 运动行为的关键工具。
拉格朗日运动方程
拉格朗日运动方程一、引言拉格朗日运动方程是经典力学中描述物体运动的重要工具，它是由法国数学家拉格朗日在18世纪提出的。
它与牛顿运动定律等价，但更加优美和普适，适用于各种力学问题。
二、拉格朗日函数拉格朗日函数是描述系统能量的函数，通常用L表示。
对于一个系统而言，其拉格朗日函数可以表示为：L = T - V其中T表示系统的动能，V表示系统的势能。
这个式子代表了系统总能量E=T+V。
三、广义坐标广义坐标是描述物体位置的变量，在使用拉格朗日方程时非常重要。
广义坐标可以是任意数量和类型的变量，例如位置、角度、长度等。
四、拉格朗日方程拉格朗日方程可以用来描述物体在给定势场中的运动。
它基于最小作用原理（Hamilton原理），即物体在两个时间点之间所经过的路径应该是使作用量最小化（或者称为稳定作用量）。
对于一个具有n个自由度（即n个广义坐标）的系统而言，其拉格朗日方程可以表示为：d/dt(dL/dq_i) - dL/dq_i = Q_i其中q_i表示第i个广义坐标，Q_i表示与该广义坐标相关的外力。
这个方程可以通过对系统能量的变化率进行求导得到。
五、应用举例1. 简谐振动简谐振动是物理学中最基本的振动形式之一，它可以通过拉格朗日方程来描述。
对于一个单摆而言，其拉格朗日函数可以表示为：L = 1/2m(l^2θ'^2 + gcosθ)其中m是单摆的质量，l是单摆的长度，θ是单摆的角度，g是重力加速度。
代入拉格朗日方程中可得到单摆运动的解析式。
2. 力学中的应用在力学中，拉格朗日方程被广泛应用于各种问题中。
例如弹性碰撞、刚体运动、万有引力等问题都可以使用拉格朗日方程来描述。
六、总结拉格朗日运动方程是经典力学中非常重要和实用的工具，它通过最小作用原理和系统能量来描述物体在给定势场中的运动。
在实际应用中，我们可以使用广义坐标和拉格朗日函数来构建拉格朗日方程，并通过求解该方程来得到物体运动的解析式。
理论力学 第3章 拉格朗日方程
记
3.1 拉格朗日方程
拉格朗日关系
3.1 拉格朗日方程
由拉格朗日关系
又
3.1 拉格朗日方程
3.1 拉格朗日方程
3.1 拉格朗日方程
（1）动能的显式： 直角坐标 平面极坐标 柱坐标 球坐标
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 2 T mi r i i 1 2
n
单个质点
x, y , z
r ,
, , z
3.1 拉格朗日方程
[思考2] 滑块作简谐运动
自由度 s 1 ，广义坐标为 ：
X x0 cos t l sin
X l cos
Y l cos Y l sin 约束力 T T sin i T cos j
约束力的虚功
3.2 运动积分 诺特定理
3.2 运动积分 诺特定理
讨论：质点在有心力场中的动能和势能
1 2 2 r 2 T m r 2
k 2m V r
2 1 k m 2 2 2 r L T V m r 2 r
广义坐标：r，
L 0
对应一个循环积分：
3.1 拉格朗日方程
（2）系统势能：（以弹簧原长为弹性势能零点，滑块A所在 平面为重力势能零点）
1 2 V kx m2 gl cos 2
（3）拉格朗日函数：
L T V 1 1 1 2 2 2 2 m 2 l m 2 xl cos kx m 2 gl cos ( m1 m 2 ) x 2 2 2
r Fi i q
n
3.1 拉格朗日方程
3.1 拉格朗日方程
理论力学中的拉格朗日方程
理论力学中的拉格朗日方程在理论力学中，拉格朗日方程是一种重要的数学工具，用于描述系统的运动行为和力学规律。
拉格朗日方程由意大利数学家和物理学家约瑟夫·拉格朗日于18世纪提出，被广泛应用于经典力学的各个领域。
1. 拉格朗日方程的引入拉格朗日方程的引入是为了解决在复杂的力学系统中，尤其是多体系统中，求解运动方程困难的问题。
拉格朗日方程通过引入广义坐标和广义速度的概念，将原来的N个质点受力问题转化为2N个一阶偏微分方程组的求解问题。
2. 广义坐标和广义速度在拉格朗日方程中，将系统的坐标由笛卡尔坐标系转化为广义坐标系，这样可以更好地描述系统的自由度。
广义坐标的数目等于系统的自由度，它们可以用来完全描述系统的构型。
广义速度则是对广义坐标的时间导数，表示系统的运动状态。
3. 拉格朗日量在拉格朗日力学中，拉格朗日量是一个以广义坐标、广义速度和时间为变量的函数，代表系统的能量和动力学性质。
拉格朗日量可以通过系统的动能和势能函数得到。
对于自由度为n的系统，拉格朗日量可以表示为L(q, q', t)，其中q表示广义坐标，q'表示广义速度，t表示时间。
4. 欧拉-拉格朗日方程欧拉-拉格朗日方程是拉格朗日方程的数学形式，它由拉格朗日原理引出。
欧拉-拉格朗日方程可以描述系统在运动过程中的动力学规律。
它可以表示为d/dt(dL/dq') - dL/dq = 0，其中d/dt表示对时间求导数。
通过求解这个方程组，我们可以得到系统的运动方程。
5. 应用与例子拉格朗日方程在经典力学中的应用非常广泛。
例如，它可以用于求解刚体的运动，弹性体的振动，以及受约束的质点系等问题。
通过将系统的动能和势能函数表示为广义坐标和广义速度的函数，可以得到相应的拉格朗日量，进而求解运动方程。
总结：拉格朗日方程是一种在理论力学中广泛应用的工具，用于描述系统的运动行为和力学规律。
它通过引入广义坐标和广义速度的概念，将系统的受力问题转化为求解一阶偏微分方程的问题。
理论力学拉格朗日方程
d mivi dt
( ri ) q j
所以
(mi
dvi ) ri dt q j
d dt
(mi vi
ri q j
)
mi vi
d dt
( ri q j
)
代入上式有
Q*j
n
[
i 1
d dt
(mi vi
ri q j
) mivi
d dt
( ri q j
)]
第七章 拉格朗日方程
§7-2 拉格朗日方程
r i
k
j 1
r i
q
q j
j
n
代入动力学普遍方程
(Fi Fi* ) ri 0 有
i 1
n [(Fi Fi* )
i 1
k j 1
ri q
q j
j
]
k
[
j 1
n i 1
(Fi
ri q j
)
n i 1
(Fi*
ri q j
)]q
j
0
广义力 记为Qj
k
这样动力学普遍方程可写为
[Q j
Q* ]q
代入前面所得动力学普遍方程的转化式
k
[Q j
Q* ]q
j
j
0
有
j 1
k
[Q j Q*j ]q j
j 1
k
[Q j
j 1
d dt
T ( q j
)
T q j
]q j
0
对于完整系统，广义虚位移δqj 都是独立的，并具有任意性，所以为使上
式成立，则有
Qj
d dt
T ( q j
)
理论力学 拉格朗日方程
xl
cos
1 2
k
x2
m2
gl
cos
L x
(m1
m2
)
x
m2
l
cos
,
L x
kx
d dt
L x
(m1
m2
)
x
m2
lcos
m2
l
2
sin
L
m2
l
2
m2
xlcos
,
L
m2
xl
sin
m2
glsin
(c)
代入质点系动力学普遍方程，得：
n
n
n
(Fi miai )ri Fi ri miairi 0 (d )
i 1
i 1
i 1
n
Fi
i 1
ri
n
Fi
i 1
( jk1qrij
q
j
kn
) (F
j1 i1
i
ri q j
)q j
kn
质点 M i : mi , 。ri 若取系统的一组广义坐标为
q，1则, q2 ,qk
ri ri (q1,q2 ,qk ,t) (i1,2,n)
(a)
vi
dri dt
jk1qrij
q j
ri t
(i 1,2n)
( b)
称
q j
dq j为广义速度。 dt
7
ri jk1qrij q j (i1,2,n)
22
dL dt
理论力学经典课件第九章拉格朗日方程
理论力学经典课件第九章拉格朗日方程是理论力学的重要组成部分，涉及欧 拉-拉格朗日方程和拉格朗日函数。在本次课件中，我们将深入探讨拉格朗日 方程的定义、应用实例及求解原理，并介绍多自由度的系统和哈密顿原理。 让我们一起来了解这一重要的物理学概念。
引言
理论力学的概念
欧拉-拉格朗日方程
理论力学是研究质点、质点系、 星系、表面、弹性体、流体等 物质运动规律与作用的一门自 然科学。
对于任意系统，在所有可能的 运动中，其真实运动使得作用 量达到最小值，作用量函数是 由拉格朗日函数定义的。
拉格朗日函数
描述了系统状态、参数、状态 变量与计算所有物理量的关系， 对于每一个系统都是唯一的。
拉格朗日方程的概念
参考文献
相关教材
• 《理论力学》（屠光 绍编）
• 《哈密顿力学：平凡 而重要的力学》（丘
• 维《声方编法）学与系统形态 学：拉格朗日方程的 理论与应用》（杨晋 编）
相关论文章
• Wei-Chiam Chung ，David Nezlin， Chuan-Jong Shih （2002）The
• LVa. gBraalankgriiasnhnan, S. FMo.rBmhualtattaiochna，rjee S（p2r0in0g7e）r CUlSassical M echanics: Point Particles and Special Relativity
• ， G.WEboardldi,SLc.iZeanntiefi（c 2008）On the Variational and Lag r an g i an Representations of Classical M echanics， INTECH Open Access Publisher
拉格朗日方程
拉格朗日方程
拉格朗日方程，因约瑟夫·路易斯·拉格朗日而命名，是拉格朗日力学的主要方程，可以用来描述物体的运动，特别适用于理论物理的研究。
拉格朗日方程的功能相等于牛顿力学中的牛顿第二定律。
拉格朗日方程：对于完整系统用广义坐标表示的动力方程，通常系指第二类拉格朗日方程,是法国数学家J.-L.拉格朗日首先导出的。
通常可写成：
式中T为系统用各广义坐标qj和各广义速度q'j所表示的动能；Qj为对应于qj的广义力;N(=3n-k)为这完整系统的自由度；n为系统的质点数；k为完整约束方程个数。
完整系的拉格朗日方程
从虚位移原理可以得到受理想约束的质点系不含约束力的平衡方程，而动静法(达朗贝尔原理)则将列写平衡方程的静力学方法应用于建立质点系的动力学方程，将这两者结合起来，便可得到不含约束力的质点系动力学方程,这就是动力学普遍方程。
而拉格朗日方程则是动力学普遍方程在广义坐标下的具体表现形式。
完整系的拉格朗日方程
拉格朗日方程可以用来建立不含约束力的动力学方程，也可以用来在给定系统运动规律的情况下求解作用在系统上的主动力。
如果要想求约束力，可以将拉格朗日方程与动静法或动量定理(或质心运动定理)联用。
通常，我们将牛顿定律及建立在此基础上的力学理论称为牛顿力学(也称矢量力学)，将拉格朗日方程及建立在此基础上的理论称为拉格朗日力学。
拉格朗日力学通过位形空间描述力学系统的运动，它适合于研究受约束质点系的运动。
拉格朗日力学在解决微幅振动问题和刚体动力学的一些问题的过程中起了重要的作用。
分析力学拉格朗日方程
分析力学拉格朗日方程拉格朗日方程是描述物体在力的作用下运动规律的一个重要工具，是分析力学中的核心内容之一、它由意大利科学家拉格朗日在17世纪末提出，是一种基于能量的方法，对于描述系统的运动非常方便和有效。
拉格朗日方程的形式为：d/dt(dL/dq) - ∂L/∂q = Q，其中L为系统的拉格朗日函数，q表示广义坐标，t表示时间，Q表示外力。
拉格朗日函数L通常由系统的动能和势能函数构成，即L = T - V，其中T表示动能，V表示势能。
拉格朗日方程的推导是基于广义坐标的变分原理，即作用量最小原理。
根据广义坐标的定义，系统的运动可以由广义坐标的函数关系描述。
在运动过程中，系统的作用量S定义为积分∫Ldt，即拉格朗日函数关于时间的积分。
根据变分原理，作用量的真实路径使得作用量的变分δS等于零。
通过变分运算可以得到拉格朗日方程。
拉格朗日方程的形式简洁、便于应用，可以用来描述各种复杂的物体和系统。
它可以用来研究刚体的转动、弹簧振子的运动、多体系统的动力学等。
拉格朗日方程的特点是将系统的动能和势能统一在一个函数中描述，因此能够非常清晰地反映出系统的能量变化情况。
拉格朗日方程的应用可以帮助我们解决物理问题和工程实践中的许多复杂情况。
例如，在机械系统中，可以根据拉格朗日方程求解刚体的绕定轴转动、杆塔的动力学问题等。
在电磁学中，可以使用拉格朗日方程来推导电磁场的变化规律，解决复杂电磁场的问题。
在天体力学中，拉格朗日方程可以用来计算行星、卫星和人造星的轨道运动。
总之，拉格朗日方程是分析力学中的一种重要工具，可以简洁明确地描述物体在力的作用下的运动规律。
它具有普适性和广泛的应用性，对于理解和解决物理问题有着重要的意义。
理论力学经典课件-第九章拉格朗日方程
理想弹性振子的振动分析
总结词
理想弹性振子是一个简化的模型，用于研究振动的规 律。通过拉格朗日方程，可以分析其振动行为。
详细描述
理想弹性振子是一个质量为m的质点，连接到一个无 质量的弹簧上。当振子受到一个外部力作用时，它会 开始振动。通过应用拉格朗日方程，可以计算出振子 的振动频率和振幅。
地球的运动分析
详细描述
分离变量法是一种求解偏微分方程的常用方法。它通过假设解可以表示为多个独立变量的乘积，将偏微分方程转 化为多个常微分方程，从而简化了求解过程。这种方法在求解波动方程、热传导方程等偏微分方程时非常有效。
哈密顿正则方程法
总结词
利用哈密顿原理和正则方程推导出系统 的运动方程，适用于完整约束系统。
VS
相对论力学中的拉格朗日方程
总结词
相对论力学中的拉格朗日方程是经典拉格朗 日方程的进一步发展，它考虑了相对论效应 ，适用于高速运动和高能量密度的物理系统 。
详细描述
在相对论力学中，由于物体的高速运动和相 对论效应的影响，经典拉格朗日方程需要进 行相应的修正。相对论力学中的拉格朗日方 程能够更好地描述高速运动和高能量密度下 的物理过程，如相对论性粒子的运动、高能
要点一
总结词
地球的运动是一个复杂的系统，涉及到多个力和力的矩。 通过拉格朗日方程，可以分析地球的运动轨迹和规律。
要点二
详细描述
地球的运动包括自转和公转，受到太阳和其他天体的引力 作用。通过应用拉格朗日方程，可以计算出地球的运动轨 迹和周期，以及地球上不同地区的重力加速度和潮汐现象 等。
非保守系统的拉格朗日方程
总结词
非保守系统中的拉格朗日方程需要考虑非保 守力的影响，这需要引入额外的变量和方程 来描述系统的运动。
理论力学经典课件-第九章拉格朗日方程
9-2-2
拉氏方程基本形式
d T T = FQ j dt qj qj
故
j = 1,2,...k
为拉式第二类方程基本形式，以t为自变量， qj
为未知函数的二阶常微分方程组，2k个积分常量，
需2k个初始条件 q j 0 ,q j 0 。 关于 FQ 的计算
j
由 WF j FQ q j (见下述例题中) j (仅δqi≠0时，计算所有主动力虚功)
第九章 拉格朗日方程
9-2-1 两个经典微分关系
n个质点，s个完整约束，k＝3n－s，
ri = ri q1 ,q2 ,...qk ,t ( i 1,2,...,n ) ri ri 1) “同时消点” qj qj
证明: 因 ri ri (t , q1 , , qk ), 对时间t求导数， 得
第九章 拉格朗日方程
运用矢量力学分析约束动力系统，未知约束力多， 方程数目多，求解烦琐。能否建立不含未知约束力 的动力学方程？ 将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合，建立动
力虚功方程，广义坐标化，能量化，化为拉氏第二
类方程，实现用最少数目方程，描述动力系统。
9-1 动力学普遍方程
9-1-1 方程的建立 9-1-2 典型问题
9-1-1 方程的建立
1. 一般形式
n个质点。对 m有 i
Fi FNi mi ai 0 则有 i 1, 2n
给 ri
i 1,2,...,n ,则有
Fi FNi m ai ri 0
而双面理想约束 故有
i Ii
F
i
Ni
ri 0
(9-1)
ri ri qj j 1 q j
理论力学(第三版)第5章第3节拉格朗日方程
前一个是质点绕极点运动的惯性离心力. 广义力Q , Q
可利用虚功来求. 先令=0, 虚功W=F r=F ,得到
Q = F . 这是力的径向分量.
同理 先令 =0, 利用虚功得到Q= F .这是相对极点的
力矩.
例其2平移如方果某 向一 沿广 着义 单坐位标矢量q ,n反(映如力图学). 即系统的整体平移,
类型. 事实上, 研究第i个质点的运动时, 若选用跟随这个
质点一同平动的参考系统, 这个质点显然是(相对)静止的,
它应当遵守平衡方程. 最后一项就是惯性力. 这就叫做达
朗贝尔原理. n F im iri ri 0
(5.23)
i1
——达朗贝尔-拉格朗日方程
达朗伯原理是以牛顿定律加上理想约束假定作 为逻辑推理的出发点导出的. 从这个基本法出发再 利用约束对虚位移的限制关系式, 可以导出力学系 统的动力学方程，从而概括了力学系统的运动规律. 由于约束的性质是纯几何的或运动学的, 因此可认 为真正作为动力学理论的逻辑出发点就是这个基本 方程, 故称之为“原理”. 这比承认牛顿运动定律再 加上理想约束假定作为出发点更为简洁和富有概括 性. 当存在非理想约束时, 达朗贝尔原理也适用,它可 叙述为：主动力和非理想约束力及惯性力的虚功之 和为零. 对于完整约束或非完整约束, 这个原理都适 用, 因此它可以称为分析动力学的普遍原理.
i n1mirqri i n1mi ddtrqrii n1mirqri ddtqi n11 2mir2qi n11 2mir2
上式中的两个括号正是力学系统的动能T, 所以
i n1m ir q r id d t q T q T
s1Qddtq TqT0
(5.26)
所以
d d t q T q T Q 1, 2 ,s, (5.27
理论力学 拉格朗日运动方程
二,自由度与广义坐标 1,自由度:独立"坐标 "的个数. 自由度:独立" 的个数. 2,广义坐标:描写体系 位置的独立"坐标", 广义坐标: 位置的独立"坐标" 记为 q 1, q 2, q n. 广义坐标不一定是长度 ,可以是角度或其 它物理量. 它物理量. 例如:面积,体积等. 例如:面积,体积等. dq i 广义速度的定义: 广义速度的定义: q i = dt
O α C(x1,y1) β P1 A D(x2,y2) x P2 F B (x3,y3) y
几何 : 关系
x 1 = ( l 1 / 2 ) sin α x 2 = l 1 sin α + ( l 2 / 2) sin β y = l cos α + l cos β 2 3 1
δx 1 = ( l 1 / 2 ) cos α δα δx 2 = l 1 cos α δα + ( l 2 / 2 ) cos β δβ δy = l sin α δα l sin β δβ 1 2 3
解:体系为理想约束, 系统自由度为 2 个, 体系为理想约束, 选取 α , β . 虚功原理
∑ F δr
i
i
= P1 δ rC + P2 δ rD + F δ rB = P1δx 1 + P2 δx 2 + F δy 3 = 0 (1)
∑ F δr
i
i
= P1δx 1 + P2 δx 2 + F δy 3 = 0 (1)
第二章 拉格朗日运动方程 §2. 1 约束 广义坐标 §2. 2 达郎贝尔原理 §2. 3 完整约束拉格朗日方程 §2. 4 非完整约束的拉格朗日方程 §2. 5 对称性和守恒定律
理论力学 拉格朗日方程
d 3m m ( x r ) ( 2kx) 0 dt 2 2 3m m r 4kx 0 x (1) 对广义坐标φ
d 3m 2 m rx) (2kr 2 ) 0 ( r dt 4 2 m 3m x r 2kr 0 ( 2) 2 4 这就是系统的运动微分方程。
且圆柱体位于斜面最高点。试求：(1)系统的运动微分方程；(2) 楔形体的加速度。
解：其研究楔形体与圆柱体组
成的系统。系统受理想、完整、 定常约束，具有两个自由度。 取广义坐标为x, s ；各坐标原 点均在初始位置。
系统的动能：
1P 2 1Q 2 2 1 1Q 2 s 2 T x ( x s 2 xs cos ) r ( ) 2g 2g 2 2g r 1 PQ 2 3 Q 2 Q x s xs cos 2 g 4g g
例2 质量为m的物块A在光滑平面上运动 质量为 半径r 的圆盘作纯滚动，各弹簧连 接如图，均为自然长度。 建立系统运动微分 方程。
m 2
2K K A
B
K
d L L 0 d t q j q j
取广义坐标 x,
m 2 1m 11m 2 2 2 T x ( x r ) r 2 2 2 22 2 3m 2 3m 2 2 m x r rx 4 8 2
L L 2 m2l m2 xl cos , m2 xl sin m2 gl sin d L ( ) m2l 2 m2 l cos m2 xl sin x dt
d L L ( ) 0 dt q j q j
系统势能：（以弹簧原长为弹性势能零点，滑块A所在平面
理论力学第十四章 拉格朗日方程 [同济大学]
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动力学
韋林教授
第十四章拉格朗日方程(第二类方程) §14-1动力学普遍方程
达朗伯原理 虚位移原理
例14-1 一套滑轮系统悬挂两个重物.设:绳,滑轮质量不计.求重 为P1的物体上升的加速度a1。 解:
(P 1F 1 g )δS1 ( P 2 F2 g )δS 2 0
(F F
i
r
r i δq j j 1 q j
广义力 r r r i i i q j, (1) vi r t j 1 q j
r
d T T )δq j 0, j q j dt q
Qj
δq j 0
V q j
广义 速度
ri
d T T Qj, j q j dt q
T 1 1 1 2 m2v 2 (m1 m2 ) R 2 2 J 0 2 2 2
1 1 2 kR 2 2 L T V (m1 m2 )R 2 2 2
m1
V
1 l k k 2 2 mg θ (δ0 bθ )2 δ0 θ b 2 2 2 2 2
3
v0 v
x
L R 2 k1 k 2 ( y R )( R ),
d L L ( ) 0 dt y y L , m2 y y L ( y R )k 2 y
R 2 k1 ( y R)k 2 ( R) 0 m1 R 2
R 2 (k1 k 2 ) k 2 Ry m1 R 2
k 2 y k 2 R m2 y
r 1 3 3 xc x r sin 1 , c x r cos θ1θ x 1 v0 1 2 2 c 3 3 , v0 rθ x c r sin 1 yc r cos 1 , y 2 1 2 2 2 2 r 2 9 r 2θ 2 3θ θ 2 r 2 ( 3 r cos 2 3 2 3 r 2 cos θ vc2 2 1 2 1 cos θ1r 2 1 1 ) ( r sin 11 ) 2 2 1 1 4 2 2 2
理论力学第18章 拉格朗日方程
坐标的选择，选取其广义坐标只会改变函数 T和Q j，而方程(16-11)
的形式不会改变，这就是说拉格朗日方程具有不变性。
18.2.2 用广义速度表示的动能
T
1 2
n i 1
mi ri2
1 2
n i1
mi
m j 1
ri q j
第18章 拉格朗日方程
• 作为力学系统的运动规律，动力学普遍方程还 需要设法甩开有很大任意性的虚位移。当然， 我们可以在各个实际问题中具体进行这项工作。 但是，有没有可能一劳永逸地把虚位移甩掉， 得出某种一般的动力学方程？这种可能性确实 存在。在完整约束的情况下，这样得出的动力 学方程叫做拉格朗日方程。
。
18.2.3 广义力的计算
n
f
δWF Fi δri Qjδq j
i 1
j 1
Qj
n i1
Fi
ri q j
( j 1, 2,
, f)
(18-17) （18-18)
n mi
i 1
dri dt
ri q j
d dt
n i 1
mi ri
ri q j
n i 1
mi ri
ri q j
j 1,2, ,m
如果利用系统动能表达式
T
1 2
n i 1
mi ri2
则等式 (b)可以写成
n mi
i1
dri dt
δq j
(18-7)
n mi
i 1
dri dt
理论力学-拉格朗日方程
涨落力广泛应用于统计物理、凝聚态物理、材料科学等领域。
多体动力学问题的求解
拉格朗日方程也可以应用于多体动力学问题，下面将展示拉格朗日方程求解多体系统运动规律的实例。
数学表述
多体系统问题可以表示为n个质 点组成的整体。设第i个质点的 坐标为ri，速度为vi，将其表示 为广义坐标和广义速度，得到n 个广义坐标和广义速度的描述 向量Q。
应用
广泛应用于天体物理学、量 子力学、粒子物理学等领域。
数学表达
拉格朗日方程的核心在于始终作用量原理。通过最小作用量原理，我们可以得到物理系统的拉格朗日方程。
协变性
拉格朗日力学描述物体运动规律 不随坐标系的选择而改变。
数学形式
实验验证
拉格朗日方程为求解动力学问题 提供了一种非常便捷的数学语言。
大量实验结果证明拉格朗日方程 可以准确描述物体的运动规律。
优点
相比于牛顿运动定律，拉格朗日方程更加简明、严谨。
应用领域
涉及众多领域，如物理、数学、历史等。
研究意义
对拉格朗日方程深入理解有助于人们掌握某些方面的物理知识，提高人们的综合分析和问题 解决能力。
公式推导
拉格朗日力学与哈密顿力学是两种常用的力学描述方式。接下来，我们将比较两种描述方式，并展示拉 格朗日方程的具体公式表达。
1
拉格朗日力学
将物理问题转化为描述系统能量的拉格朗日函数，通过一组广义坐标和广义速度来表示 系统的状态。
2
哈密顿力学
基于哈密顿量，通过广义坐标和广义动量表示系统状态。哈密顿量表示粒子对系统全能 量的贡献。
公式推导
通过哈密顿原理或变分原理， 推导出Lagrangian和Lagrange's equations of motion，这样就可 以写下多体系统的Lagrangian方 程。
《理论力学 动力学》 第三讲 拉格朗日方程的初积分
3、拉格朗日方程的初积分拉格朗日方程给出的是关于广义坐标q k 的二阶微分方程组，如果要求系统的运动规律的话，需要求解该微分方程组，对方程进行积分。
一般来说，二阶微分方程组的积分是很困难的，但是对于保守系统，在某些特定条件下，可以方便地得出方程初积分的一般形式，这对于方程的求解是有帮助的。
1.循环积分拉格朗日函数L 中可能显含所有的广义速度，但可能不显含某广义坐标q k ，则称该坐标为循环坐标，此时有：0kLq ¶=¶d ()0d k L t q¶=¶&k Lq¶=¶&常数---拉格朗日方程的循环积分如果系统的循环坐标不止一个，那么有几个循环坐标就有几个循环积分。
注意势能V 中不显含任何广义速度，因此对于循环坐标来说，有：k q k k L Tqq ¶¶=¶¶&&常数p k , 与广义坐标q k 对应的广义动量k p ==对于循环坐标，其广义动量守恒。
3、拉格朗日方程的初积分2.广义能量积分若系统所受到的约束均为定常约束，我们知道：12()(12)i i N q q q i n =×××=×××r r ，，，，，1Nii i k i kqq =¶==¶år v r &&11111122n nN N i i i i i i k l i i k l k l T m m q q q q ====æöæö¶¶=×=×ç÷ç÷¶¶èøèøåååår r v v &&从而有:11112N N ni i i k l k l i k l m qq q q ===æö¶¶=×ç÷¶¶èøååår r &&1112N Nkl k l k l m qq ===åå&&1ni ikl i i k l m m q q =¶¶=׶¶år r ——广义质量12Nk k k Tq T q=¶=¶å&&——关于齐次函数的欧拉定理将T 展开后，很容易证明：3、拉格朗日方程的初积分注意势能V 不含项，k q &从而有：112N Nk k k k k k L T q q T q q==¶¶==¶¶åå&&&&d ()0(12)d k k L Lk N t qq ¶¶-==¶¶L &，，，d d d2(2)0d d d T L T L t t t-=-=1d ()0d Nk k k kk L L qq t q q =éù¶¶-=êú¶¶ëûå&&&1d ()0d Nk k k k kk k L L L q q q t q q q =éù¶¶¶--=êú¶¶¶ëûå&&&&&&11d 0d N N k k k k k k k k L LL q q q t q q q ==æöæö¶¶¶-+=ç÷ç÷¶¶¶èøèøåå&&&&&&2T L T V C-=+=---保守系统的机械能守恒定律---保守系统中拉格朗日方程的能量积分循环积分和广义能量积分都是由原来的二阶微分方程积分一次得到的，即将原方程降了一阶。
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系统。取x , 为广义
坐标，x 轴 原点位于 弹簧自然长度位置，
逆时针转向为正。
17
v
2 B
(
x
lcos
)
2
( lsin ) 2
x2 l 22
2 xlcos
系统动能：
ddt(q Lj )qLj 0 (j1,2,,k) 并适当化简得：
(m1m2) x m2l cosm2l2sinkx0 x cosl gsin0
20
(m 1 m 2 ) x m 2 l co m s 2 l 2 si n k 0 x x co l s g si n 0
因L = T - U，而U中不显含 qr ，故上式可写成
q L r q r(T U ) q T r P r C(常 )数
Pr称为广义动量，因此循环积分也可称为系统的广义动量积分。 保守系统对应于循环坐标的广义动量守恒。
能量积分和循环积分都是由保守系统拉格朗日方程积分一 次得到的，它们都是比拉格朗日方程低一阶的微分方程。
代入初始条件，t =0 时， 0 0 , 0 0 得 1 C C 2 0
故：
3M
g2 t
(2P9Q)(Rr)2
16
[例2] 与刚度为k 的弹簧相连的滑块A，质量为m1,可在光 滑水平面上滑动。滑块A上又连一单摆，摆长l ， 摆锤质量为 m2 ，试列出该系统的运动微分方程。
(j 1, 2 ,k),
引入拉格朗日函数：L=T-U 则：
d d( t q L j) q L j 0 (j 1, 2 ,k),
保守系统的拉格朗日方程。 12
应用拉氏方程解题的步骤：
1. 判定质点系的自由度k，选取适宜的广义坐标。必须注意： 不能遗漏独立的坐标，也不能有多余的（不独立）坐标。
Q
W (
)
M
T
1 6
2
P
g
9Q
(
R
r
)
2Leabharlann ;d dtT
1 6
2
P
g
9Q
(
R
r
)
2
;
T
0
15
代入拉氏方程：
12P9Q(Rr)2 0M
6g
6M
g
(2P9Q)(Rr)2
积分，得：
(2P 9 3 Q M )R (r)2g2tC 1tC 2
ddt[
qj (in112mi
v2 i
)]q
j
(in112mi
vi2
)
ddtqTj qTj
代入( f )式, 得:
d d tq T j q T j Q j (j 1, 2 ,k),
拉格朗日第二类动力学方程，简称拉格朗日方程。
11
如果作用于质点系的力是有势力，则广义力Q j 可用质点系的势
ddtL x(m1m2) x m2l cosm2l2sin
Lm2l2m2x lcos, Lm2x l sinm2gsl in
ddt(L)m2l2 m2 x lcosm2x l sin
代入：
U1 2k2 xm2gcl os
拉格朗日函数：
LTU
1 2(m 1m2)x 21 2m2l2 2m2x l co s1 2k2 xm2gcl os L x (m 1m2)x m2l cos, L xkx
19
LTU
1 2(m 1m2)x 21 2m2l2 2m2x l co s1 2k2 xm2gcl os L x (m 1m2)x m2l cos, L xkx
)qj
kn
[(Xi
j1 i1
xi qj
Yi
yi qj
Zi
zi qj
)]qj
k
Qj qj
j1
8
称 Q j i n 1 (X i q xij Y i q yij Z i q zij)为广义力
( e)
n
则(Fimiai)
0 ddt( jk1q Ljq j L)0
jk1q Ljqj LC(常数 ) 广义能量积分。
保守系统的拉格朗日函数不显含时间t 时，保守系统的广 义能量守恒。可以证明，当系统约束为定常时，上式为
23
jk 1 q L jq jL2 T(T U )T U C(常)数 系统的广义能量积分式就是系统的机械能守恒方程式。
能来表达。
Qj
n
(Xi
i1
xi qj
Yi
yi qj
Zi
zi qj
)
( j1,2,,k)
in1(Uxi
xi qj
U yi
yi qj
U zi
zi qj
)
Qj
U qj
( j1,2,,k)
而拉氏方程为： d d tq T j q T j q U j
5. 求出上述一组微分方程的积分。
13
[例1] 水平面内运动的行星齿轮机构。均质杆OA：重P， 可绕O点转动；均质小齿轮：重Q，半径 r ，沿半径为R的固 定大齿轮滚动。系统初始静止，系杆OA位于图示OA0位置。 系杆OA受大小不变力偶M作用后，求系杆OA的运动方程。
解：图示机构只有一个自由度 所受约束皆为完整、理想、定常的，
系统的运动微分方程。
若系统在平衡位置附近作微幅运动，此时 <<1o,
cos 1, sin ，略去二阶以上无穷小量，则
(m 1m2) x m2l kx0 x l g0
上式为系统在平衡位置(x =0, =0)附近微幅运动的微分方程。
21
§17-3 拉格朗日第二类方程的积分
( c)
代入质点系动力学普遍方程，得：
n
n
n
(F i m ia i)r i F ir i m ia i r i 0 (d )
i 1
i 1
i 1
n
Fi
i1
ri
n
Fi
i1
(jk1qrij
qj
kn
)(Fi
j1 i1
ri qj
Q
B
Q
e B
Q
r B
Q
e B
ma
,
Q
r B
ma r
5
由动力学普遍方程：
( Q A Q B e Q B r c ) x o A ( Q B e c s Q o s Q i B r s ) s n B 0
系统为二自由度，取互不相关的 xA,sB为独立虚位移，
可取OA杆转角 为广义坐标。
vA (Rr)
A
vA r
R r
r
14
T12IO212QgvA212IAA2
11P(Rr)221Q(Rr)2211Qr2(Rr)22
23g
2g
2 2g r2
12P9Q(Rr)22
12 g
W ( ) M
3
§17-1 动力学普遍方程
设质点系有n个质点，第i个质点 M i:m i,F i ,N i,a i;Q i m ia i
FiNiQi0
若质点系受有理想约束，将 Q i 作为主动力处理，则：
(FiQi)ri0
解析式： [ X i m ( i x i ) x i ( Y i m i y i ) y i ( Z i m i z i ) z i ] 0 动力学普遍方程。 4
质点 Mi :mi ,ri 。若取系统的一组广义坐标为 q1,q2,qk，则
riri(q1,q2,qk,t) (i1,2,n)
viddri t jk1qrijq jrti (i1,2n)
( a) ( b)
称
qj
dq j dt
为广义速度。
7
ri jk 1 q rijqj (i1,2,n)
i1
k
riQj
j1
qj i n1miai( jk1qrij
qj)
jk1(Qj i n1middvitqrij )qj0
Q j i n 1 m id d vi tq rij 0(j 1 ,2 ,k)
广义惯性力
(f)
9
广义惯性力可改变为用质点系的动能表示 , 因此
T1 2m 1x 21 2m 2vB 21 2m 1x 21 2m 2(x 2l2 22x l co )s 1 2(m 1m 2)x 21 2m 2l2 2m 2x l co s
18
系统势能：（以弹簧原长为弹性势能零点，滑块A所在平面为 重力势能零点）
1
本章在达朗伯原理和虚位移原理的基础上，进一步导 出动力学普遍方程和拉格朗日第二类方程（简称拉格朗日 方程）。动力学普遍方程和拉格朗日方程是研究动力学问 题的有力手段，在解决非自由质点系的动力学问题时，显 得十分简捷、规范。
2
第十七章 拉格朗日方程 §17–1 动力学普遍方程 §17–2 拉格朗日第二类方程 §17–3 拉格朗日第二类方程的积分
i n 1 m id d v i t q r ij i n 1 m id d (v it q r ij) i n 1 m iv id d ( q tr ij)
为简化计算 , 需要用到以下两个关系式：
q rij q v ij ;
dri vi d tqj qj