理论力学拉格朗日方程
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可取OA杆转角 为广义坐标。
vA (Rr)
A
vA r
R r
r
14
T12IO212QgvA212IAA2
11P(Rr)221Q(Rr)2211Qr2(Rr)22
23g
2g
2 2g r2
12P9Q(Rr)22
12 g
W ( ) M
ddt(q Lj )qLj 0 (j1,2,,k) 并适当化简得：
(m1m2) x m2l cosm2l2sinkx0 x cosl gsin0
20
(m 1 m 2 ) x m 2 l co m s 2 l 2 si n k 0 x x co l s g si n 0
T1 2m 1x 21 2m 2vB 21 2m 1x 21 2m 2(x 2l2 22x l co )s 1 2(m 1m 2)x 21 2m 2l2 2m 2x l co s
18
系统势能：（以弹簧原长为弹性势能零点，滑块A所在平面为 重力势能零点）
代入初始条件，t =0 时， 0 0 , 0 0 得 1 C C 2 0
故：
3M
g2 t
(2P9Q)(Rr)2
16
[例2] 与刚度为k 的弹簧相连的滑块A，质量为m1,可在光 滑水平面上滑动。滑块A上又连一单摆，摆长l ， 摆锤质量为 m2 ，试列出该系统的运动微分方程。
Q
B
Q
e B
Q
r B
Q
e B
ma
,
Q
r B
ma r
5
由动力学普遍方程：
( Q A Q B e Q B r c ) x o A ( Q B e c s Q o s Q i B r s ) s n B 0
系统为二自由度，取互不相关的 xA,sB为独立虚位移，
ddtL x(m1m2) x m2l cosm2l2sin
Lm2l2m2x lcos, Lm2x l sinm2gsl in
ddt(L)m2l2 m2 x lcosm2x l sin
代入：
i n 1 m id d v i t q r ij i n 1 m id d (v it q r ij) i n 1 m iv id d ( q tr ij)
为简化计算 , 需要用到以下两个关系式：
q rij q v ij ;
dri vi d tqj qj
( c)
代入质点系动力学普遍方程，得：
n
n
n
(F i m ia i)r i F ir i m ia i r i 0 (d )
i 1
i 1
i 1
n
Fi
i1
ri
n
Fi
i1
(jk1qrij
qj
kn
)(Fi
j1 i1
ri qj
能来表达。
Qj
n
(Xi
i1
xi qj
Yi
yi qj
Zi
zi qj
)
( j1,2,,k)
in1(Uxi
xi qj
U yi
yi qj
U zi
zi qj
)
Qj
U qj
( j1,2,,k)
而拉氏方程为： d d tq T j q T j q U j
质点 Mi :mi ,ri 。若取系统的一组广义坐标为 q1,q2,qk，则
riri(q1,q2,qk,t) (i1,2,n)
viddri t jk1qrijq jrti (i1,2n)
( a) ( b)
称
qj
dq j dt
为广义速度。
7
ri jk 1 q rijqj (i1,2,n)
在理想约束的条件下，质点系的各质点在任一瞬时受到的 主动力与惯性力在任意虚位移上所作的虚功之和为零。
例1 三棱柱B沿三棱柱A的光滑斜面滑动，三棱柱A置于光
滑水平面上，A和B的质量分别为M和m，斜面倾角为 。试求三
棱柱A的加速度。
解：研究两三棱柱组 成的系统。该系统受理想 约束，具有两个自由度。
Q A Ma
Q
W (
)
M
T
1 6
2
P
g
9Q
(
R
r
)
2
;
d dt
T
1 6
2
P
g
9Q
(
R
r
)
2
;
T
0
15
代入拉氏方程：
12P9Q(Rr)2 0M
6g
6M
g
(2P9Q)(Rr)2
积分，得：
(2P 9 3 Q M )R (r)2g2tC 1tC 2
二、循环积分
如果拉格朗日函数L中不显含某一广义坐标 qr , 则该坐标 称为保守系统的循环坐标或可遗坐标。
当 qr (rk) 为系统的循环坐标时，必有
L qr
0
于是拉氏方程成为
d dt(q Lr)qLr 0
24
积分得：
q L rC (常)数 (rk) 循环积分
0 ddt( jk1q Ljq j L)0
jk1q Ljqj LC(常数 ) 广义能量积分。
保守系统的拉格朗日函数不显含时间t 时，保守系统的广 义能量守恒。可以证明，当系统约束为定常时，上式为
23
jk 1 q L jq jL2 T(T U )T U C(常)数 系统的广义能量积分式就是系统的机械能守恒方程式。
1
本章在达朗伯原理和虚位移原理的基础上，进一步导 出动力学普遍方程和拉格朗日第二类方程（简称拉格朗日 方程）。动力学普遍方程和拉格朗日方程是研究动力学问 题的有力手段，在解决非自由质点系的动力学问题时，显 得十分简捷、规范。
2
第十七章 拉格朗日方程 §17–1 动力学普遍方程 §17–2 拉格朗日第二类方程 §17–3 拉格朗日第二类方程的积分
i1
k
riQj
j1
qj i n1miai( jk1qrij
qj)
jk1(Qj i n1middvitqrij )qj0
Q j i n 1 m id d vi tq rij 0(j 1 ,2 ,k)
广义惯性力
(f)
9
广义惯性力可改变为用质点系的动能表示 , 因此
且 Qmg ，所以
Mamamracos0 mcaosmsginmra0
解得：
a2(Mmsmins2in2)g
6
§17-2 拉格朗日第二类方程
下面推导以广义坐标表示的动力学普遍方程的形式。 设质点系有n个质点，受s个完整约束且系统所受的约束是 理想约束，自由度 k=3n- s 。
因L = T - U，而U中不显含 qr ，故上式可写成
q L r q r(T U ) q T r P r C(常 )数
Pr称为广义动量，因此循环积分也可称为系统的广义动量积分。 保守系统对应于循环坐标的广义动量守恒。
能量积分和循环积分都是由保守系统拉格朗日方程积分一 次得到的，它们都是比拉格朗日方程低一阶的微分方程。
(j 1, 2 ,k),
引入拉格朗日函数：L=T-U 则：
d d( t q L j) q L j 0 (j 1, 2 ,k),
保守系统的拉格朗日方程。 12
应用拉氏方程解题的步骤：
1. 判定质点系的自由度k，选取适宜的广义坐标。必须注意： 不能遗漏独立的坐标，也不能有多余的（不独立）坐标。
ddt[
qj (in112mi
v2 i
)]q
j
(in112mi
vi2
)
ddtqTj qTj
代入( f )式, 得:
d d tq T j q T j Q j (j 1, 2 ,k),
拉格朗日第二类动力学方程，简称拉格朗日方程。
11
如果作用于质点系的力是有势力，则广义力Q j 可用质点系的势
2. 计算质点系的动能T，表示为广义速度和广义坐标的函数。
3. 计算广义力 Q j (j 1, 2 ,k),，计算公式为：
Qj i n1(Xi q xijYi q yijZi q zij) 或
Q
j
W q
( j
j)
若主动力为有势力，须将势能U表示为广义坐标的函数。
4. 建立拉氏方程并加以整理，得出k个二阶常微分方程。
系统的运动微分方程。
若系统在平衡位置附近作微幅运动，此时 <<1o,
cos 1, sin ，略去二阶以上无穷小量，则
(m 1m2) x m2l kx0 x l g0
上式为系统在平衡位置(x =0, =0)附近微幅运动的微分方程。
21
§17-3 拉格朗日第二类方程的积分
3
§17-1 动力学普遍方程
设质点系有n个质点，第i个质点 M i:m i,F i ,N i,a i;Q i m ia i
FiNiQi0
若质点系受有理想约束，将 Q i 作为主动力处理，则：
(FiQi)ri0
解析式： [ X i m ( i x i ) x i ( Y i m i y i ) y i ( Z i m i z i ) z i ] 0 动力学普遍方程。 4
5. 求出上述一组微分方程的积分。
源自文库13
[例1] 水平面内运动的行星齿轮机构。均质杆OA：重P， 可绕O点转动；均质小齿轮：重Q，半径 r ，沿半径为R的固 定大齿轮滚动。系统初始静止，系杆OA位于图示OA0位置。 系杆OA受大小不变力偶M作用后，求系杆OA的运动方程。
解：图示机构只有一个自由度 所受约束皆为完整、理想、定常的，
U1 2k2 xm2gcl os
拉格朗日函数：
LTU
1 2(m 1m2)x 21 2m2l2 2m2x l co s1 2k2 xm2gcl os L x (m 1m2)x m2l cos, L xkx
19
LTU
1 2(m 1m2)x 21 2m2l2 2m2x l co s1 2k2 xm2gcl os L x (m 1m2)x m2l cos, L xkx
下面来推导这两个关系式：
第一式只须将(b)式两边对 qj 求偏导数即可得到。
10
第二式可比较(a)式先对ql求偏导数 再对t求导数与(b)式对 ql求偏导数的结论得出。
n
mi
i1
dvi dt
ri qj
n
mi
i1
ddt(vi
q rij )in1mivi
vi qj
)qj
kn
[(Xi
j1 i1
xi qj
Yi
yi qj
Zi
zi qj
)]qj
k
Qj qj
j1
8
称 Q j i n 1 (X i q xij Y i q yij Z i q zij)为广义力
( e)
n
则(Fimiai)
解：将弹簧力计入主 动力，则系统成为具 有完整、理想约束的 二自由度系统。保守
系统。取x , 为广义
坐标，x 轴 原点位于 弹簧自然长度位置，
逆时针转向为正。
17
v
2 B
(
x
lcos
)
2
( lsin ) 2
x2 l 22
2 xlcos
系统动能：
对于保守系统，可以得到拉格朗日方程的某些统一形式 的首次积分，从而使得保守系统动力学问题的求解过程进一 步简化。
保守系统拉格朗日方程的首次积分包括：能量积分、循 环积分。 一、能量积分
设系统所受的主动力是有势力，且拉格朗日函数L = T - U 中不显含t ，则
22
ddLt jk1qLj qj jk1q Lj q j ddt( jk1q Lj qj) jk1(ddtq Lj qLj )qj
vA (Rr)
A
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R r
r
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T12IO212QgvA212IAA2
11P(Rr)221Q(Rr)2211Qr2(Rr)22
23g
2g
2 2g r2
12P9Q(Rr)22
12 g
W ( ) M
ddt(q Lj )qLj 0 (j1,2,,k) 并适当化简得：
(m1m2) x m2l cosm2l2sinkx0 x cosl gsin0
20
(m 1 m 2 ) x m 2 l co m s 2 l 2 si n k 0 x x co l s g si n 0
T1 2m 1x 21 2m 2vB 21 2m 1x 21 2m 2(x 2l2 22x l co )s 1 2(m 1m 2)x 21 2m 2l2 2m 2x l co s
18
系统势能：（以弹簧原长为弹性势能零点，滑块A所在平面为 重力势能零点）
代入初始条件，t =0 时， 0 0 , 0 0 得 1 C C 2 0
故：
3M
g2 t
(2P9Q)(Rr)2
16
[例2] 与刚度为k 的弹簧相连的滑块A，质量为m1,可在光 滑水平面上滑动。滑块A上又连一单摆，摆长l ， 摆锤质量为 m2 ，试列出该系统的运动微分方程。
Q
B
Q
e B
Q
r B
Q
e B
ma
,
Q
r B
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5
由动力学普遍方程：
( Q A Q B e Q B r c ) x o A ( Q B e c s Q o s Q i B r s ) s n B 0
系统为二自由度，取互不相关的 xA,sB为独立虚位移，
ddtL x(m1m2) x m2l cosm2l2sin
Lm2l2m2x lcos, Lm2x l sinm2gsl in
ddt(L)m2l2 m2 x lcosm2x l sin
代入：
i n 1 m id d v i t q r ij i n 1 m id d (v it q r ij) i n 1 m iv id d ( q tr ij)
为简化计算 , 需要用到以下两个关系式：
q rij q v ij ;
dri vi d tqj qj
( c)
代入质点系动力学普遍方程，得：
n
n
n
(F i m ia i)r i F ir i m ia i r i 0 (d )
i 1
i 1
i 1
n
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i1
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Fi
i1
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)(Fi
j1 i1
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能来表达。
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(Xi
i1
xi qj
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)
( j1,2,,k)
in1(Uxi
xi qj
U yi
yi qj
U zi
zi qj
)
Qj
U qj
( j1,2,,k)
而拉氏方程为： d d tq T j q T j q U j
质点 Mi :mi ,ri 。若取系统的一组广义坐标为 q1,q2,qk，则
riri(q1,q2,qk,t) (i1,2,n)
viddri t jk1qrijq jrti (i1,2n)
( a) ( b)
称
qj
dq j dt
为广义速度。
7
ri jk 1 q rijqj (i1,2,n)
在理想约束的条件下，质点系的各质点在任一瞬时受到的 主动力与惯性力在任意虚位移上所作的虚功之和为零。
例1 三棱柱B沿三棱柱A的光滑斜面滑动，三棱柱A置于光
滑水平面上，A和B的质量分别为M和m，斜面倾角为 。试求三
棱柱A的加速度。
解：研究两三棱柱组 成的系统。该系统受理想 约束，具有两个自由度。
Q A Ma
Q
W (
)
M
T
1 6
2
P
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(
R
r
)
2
;
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0
15
代入拉氏方程：
12P9Q(Rr)2 0M
6g
6M
g
(2P9Q)(Rr)2
积分，得：
(2P 9 3 Q M )R (r)2g2tC 1tC 2
二、循环积分
如果拉格朗日函数L中不显含某一广义坐标 qr , 则该坐标 称为保守系统的循环坐标或可遗坐标。
当 qr (rk) 为系统的循环坐标时，必有
L qr
0
于是拉氏方程成为
d dt(q Lr)qLr 0
24
积分得：
q L rC (常)数 (rk) 循环积分
0 ddt( jk1q Ljq j L)0
jk1q Ljqj LC(常数 ) 广义能量积分。
保守系统的拉格朗日函数不显含时间t 时，保守系统的广 义能量守恒。可以证明，当系统约束为定常时，上式为
23
jk 1 q L jq jL2 T(T U )T U C(常)数 系统的广义能量积分式就是系统的机械能守恒方程式。
1
本章在达朗伯原理和虚位移原理的基础上，进一步导 出动力学普遍方程和拉格朗日第二类方程（简称拉格朗日 方程）。动力学普遍方程和拉格朗日方程是研究动力学问 题的有力手段，在解决非自由质点系的动力学问题时，显 得十分简捷、规范。
2
第十七章 拉格朗日方程 §17–1 动力学普遍方程 §17–2 拉格朗日第二类方程 §17–3 拉格朗日第二类方程的积分
i1
k
riQj
j1
qj i n1miai( jk1qrij
qj)
jk1(Qj i n1middvitqrij )qj0
Q j i n 1 m id d vi tq rij 0(j 1 ,2 ,k)
广义惯性力
(f)
9
广义惯性力可改变为用质点系的动能表示 , 因此
且 Qmg ，所以
Mamamracos0 mcaosmsginmra0
解得：
a2(Mmsmins2in2)g
6
§17-2 拉格朗日第二类方程
下面推导以广义坐标表示的动力学普遍方程的形式。 设质点系有n个质点，受s个完整约束且系统所受的约束是 理想约束，自由度 k=3n- s 。
因L = T - U，而U中不显含 qr ，故上式可写成
q L r q r(T U ) q T r P r C(常 )数
Pr称为广义动量，因此循环积分也可称为系统的广义动量积分。 保守系统对应于循环坐标的广义动量守恒。
能量积分和循环积分都是由保守系统拉格朗日方程积分一 次得到的，它们都是比拉格朗日方程低一阶的微分方程。
(j 1, 2 ,k),
引入拉格朗日函数：L=T-U 则：
d d( t q L j) q L j 0 (j 1, 2 ,k),
保守系统的拉格朗日方程。 12
应用拉氏方程解题的步骤：
1. 判定质点系的自由度k，选取适宜的广义坐标。必须注意： 不能遗漏独立的坐标，也不能有多余的（不独立）坐标。
ddt[
qj (in112mi
v2 i
)]q
j
(in112mi
vi2
)
ddtqTj qTj
代入( f )式, 得:
d d tq T j q T j Q j (j 1, 2 ,k),
拉格朗日第二类动力学方程，简称拉格朗日方程。
11
如果作用于质点系的力是有势力，则广义力Q j 可用质点系的势
2. 计算质点系的动能T，表示为广义速度和广义坐标的函数。
3. 计算广义力 Q j (j 1, 2 ,k),，计算公式为：
Qj i n1(Xi q xijYi q yijZi q zij) 或
Q
j
W q
( j
j)
若主动力为有势力，须将势能U表示为广义坐标的函数。
4. 建立拉氏方程并加以整理，得出k个二阶常微分方程。
系统的运动微分方程。
若系统在平衡位置附近作微幅运动，此时 <<1o,
cos 1, sin ，略去二阶以上无穷小量，则
(m 1m2) x m2l kx0 x l g0
上式为系统在平衡位置(x =0, =0)附近微幅运动的微分方程。
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§17-3 拉格朗日第二类方程的积分
3
§17-1 动力学普遍方程
设质点系有n个质点，第i个质点 M i:m i,F i ,N i,a i;Q i m ia i
FiNiQi0
若质点系受有理想约束，将 Q i 作为主动力处理，则：
(FiQi)ri0
解析式： [ X i m ( i x i ) x i ( Y i m i y i ) y i ( Z i m i z i ) z i ] 0 动力学普遍方程。 4
5. 求出上述一组微分方程的积分。
源自文库13
[例1] 水平面内运动的行星齿轮机构。均质杆OA：重P， 可绕O点转动；均质小齿轮：重Q，半径 r ，沿半径为R的固 定大齿轮滚动。系统初始静止，系杆OA位于图示OA0位置。 系杆OA受大小不变力偶M作用后，求系杆OA的运动方程。
解：图示机构只有一个自由度 所受约束皆为完整、理想、定常的，
U1 2k2 xm2gcl os
拉格朗日函数：
LTU
1 2(m 1m2)x 21 2m2l2 2m2x l co s1 2k2 xm2gcl os L x (m 1m2)x m2l cos, L xkx
19
LTU
1 2(m 1m2)x 21 2m2l2 2m2x l co s1 2k2 xm2gcl os L x (m 1m2)x m2l cos, L xkx
下面来推导这两个关系式：
第一式只须将(b)式两边对 qj 求偏导数即可得到。
10
第二式可比较(a)式先对ql求偏导数 再对t求导数与(b)式对 ql求偏导数的结论得出。
n
mi
i1
dvi dt
ri qj
n
mi
i1
ddt(vi
q rij )in1mivi
vi qj
)qj
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[(Xi
j1 i1
xi qj
Yi
yi qj
Zi
zi qj
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k
Qj qj
j1
8
称 Q j i n 1 (X i q xij Y i q yij Z i q zij)为广义力
( e)
n
则(Fimiai)
解：将弹簧力计入主 动力，则系统成为具 有完整、理想约束的 二自由度系统。保守
系统。取x , 为广义
坐标，x 轴 原点位于 弹簧自然长度位置，
逆时针转向为正。
17
v
2 B
(
x
lcos
)
2
( lsin ) 2
x2 l 22
2 xlcos
系统动能：
对于保守系统，可以得到拉格朗日方程的某些统一形式 的首次积分，从而使得保守系统动力学问题的求解过程进一 步简化。
保守系统拉格朗日方程的首次积分包括：能量积分、循 环积分。 一、能量积分
设系统所受的主动力是有势力，且拉格朗日函数L = T - U 中不显含t ，则
22
ddLt jk1qLj qj jk1q Lj q j ddt( jk1q Lj qj) jk1(ddtq Lj qLj )qj