函数的初步认识
初步认识函数
初步认识函数函数是数学中的一个重要概念，在数学和计算机科学领域都有广泛的应用。
函数可以描述不同变量之间的关系，并且在计算机编程中起到了关键的作用。
本文将从数学和计算机两个角度对函数进行初步的认识。
一、数学中的函数在数学中，函数是指一种特殊的映射关系，将一个集合中的元素与另一个集合中的元素进行对应。
简而言之，函数就是将输入映射为输出的规则。
函数通常用符号表示，例如 f(x) = 2x + 1。
在这个例子中，f(x) 是函数的名称，x 是自变量，2x + 1 是根据函数规则计算得到的因变量。
我们可以给函数一个输入值 x，然后计算出对应的输出值。
函数的定义域是指能够被输入到函数中的所有可能的值的集合，而值域是指函数所有可能的输出值的集合。
函数的图像可以通过在平面直角坐标系上绘制函数的输入和输出值的对应关系来表示。
二、函数在计算机科学中的应用在计算机科学中，函数被用来封装一段特定的代码，以便在需要的时候进行调用。
这样可以提高代码的重用性和可读性。
在大多数编程语言中，函数由函数头和函数体组成。
函数头定义函数的名称和参数列表，函数体则包含了函数要执行的具体代码。
通过调用函数并传递参数，我们可以在程序中多次使用该函数，并且每次使用可以传递不同的参数值。
函数可以用于实现各种不同的功能，例如计算数值，处理数据结构，执行算法等。
在编写程序时，我们可以通过编写自定义函数来解决问题，而不需要重复编写相同的代码。
三、函数的特征和分类函数有以下几个重要的特征：1. 唯一性：每个输入值只能对应一个输出值，同一个输入值不能对应多个输出值。
2. 一致性：对于相同的输入值，函数的输出值应该是相同的。
3. 可逆性：有些函数可以通过逆运算得到原来的输入值。
例如，如果一个函数将输入值加倍，逆运算就是将输出值除以2。
函数可以根据其性质和关系进行不同的分类。
例如，线性函数是指函数的图像是一条直线；多项式函数是指函数形式为多项式的函数；三角函数是指函数的输入和输出之间有特定的三角关系。
七年级数学上册《函数的初步认识》教案、教学设计
1.通过实际问题导入，引导学生自主探究函数的定义，培养独立思考和合作交流的方法，提高学生的动手能力。
3.利用信息技术手段，如几何画板等，让学生观察函数图像的变化，培养学生直观想象和空间思维能力。
4.通过分析典型例题，引导学生运用函数知识解决实际问题，提高学生的问题解决能力。
-设想活动：课堂小结时，让学生分享学习体会，同伴之间相互评价对方的学习成果。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在新课导入阶段，我们将通过一个贴近学生生活的实例来激发学生的学习兴趣，并引导学生思考背后的数学原理。
1.情境创设：以学校附近的公交站点的公交车发车时间为例，提出问题：“同学们，你们是否注意过公交车发车的时间间隔？这些时间间隔是否有什么规律？”通过这个问题，让学生意识到现实生活中存在一定的规律性。
（二）教学设想
1.引入生活实例：通过引入与学生生活密切相关的实例，如气温变化、物体运动等，让学生感知函数的存在和意义，激发学生的学习兴趣。
-设想活动：让学生记录一周的气温变化，并将其转化为函数模型，分析气温的日变化规律。
2.概念建构：采用探究式教学法，引导学生从具体实例中发现函数的普遍特征，逐步建构起函数的概念。
（四）课堂练习
在此环节，我们将进行课堂练习，以检验学生对函数知识点的掌握情况。
1.练习设计：设计具有代表性的练习题，包括选择题、填空题、解答题等，涵盖函数的定义、表示方法和性质等方面。
2.学生练习：让学生独立完成练习题，教师巡回指导，关注学生的解答过程和答案。
3.评价反馈：对学生的练习结果进行评价，及时反馈，纠正错误，巩固知识。
（三）学生小组讨论
在此环节，我们将组织学生进行小组讨论，以增强他们的合作能力和思维能力。
函数的介绍
函数的介绍一、函数的定义函数是数学中的一个基本概念。
简单来说，设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数，记作y = f(x)，x∈A。
例如，在一次函数y = 2x + 1中，对于任意给定的x值（x∈R），都可以通过这个表达式计算出唯一的y值。
二、函数的构成要素1. 定义域定义域是函数自变量x的取值范围。
例如，对于函数y = 1/x，由于分母不能为0，所以其定义域为x≠0的所有实数。
在实际问题中，定义域还可能受到具体情境的限制。
比如，计算一个物体运动的时间，时间不能为负数，那么定义域就会是大于等于0的实数。
2. 值域值域是函数值y的取值范围。
还是以y = 2x + 1为例，因为x 可以取任意实数，那么y也可以取任意实数，所以它的值域是R。
而对于y = x²，因为x²总是大于等于0的，所以它的值域是y≥0。
3. 对应法则对应法则决定了如何从自变量x得到函数值y。
不同的函数有不同的对应法则，像二次函数y = ax²+bx + c（a≠0）通过二次多项式的计算得到y值，而三角函数sin(x)、cos(x)等则是根据三角形中的比例关系或者单位圆的定义得到函数值。
三、函数的表示方法1. 解析法用数学式子表示两个变量之间的对应关系，就是解析法。
像前面提到的一次函数y = 2x+1、二次函数y = ax²+bx + c等都是用解析法表示的函数。
这种方法的优点是准确、简洁，便于进行理论分析和计算。
2. 列表法列出表格来表示两个变量之间的对应关系。
例如，某商店记录一周内每天的销售额与当天的客流量之间的关系，可以用列表法。
这种方法简单明了，适合于自变量取值是有限个的情况。
3. 图象法用图象来表示函数关系。
例如，一次函数y = kx + b的图象是一条直线，二次函数y = ax²+bx + c（a≠0）的图象是一条抛物线。
高一函数入门基础知识
高一函数入门基础知识
高一函数入门基础知识包括函数的定义、函数的表示方法、函数的性质、函数的定义域和值域等。
以下是具体的介绍：
1. 函数的定义：函数是一种数学概念，用来描述两个变量之间的关系。
函数的定义通常包括自变量和因变量两个部分，自变量是函数的输入值，因变量是函数的输出值。
函数可以表示为y=f(x)，其中x是自变量，y是因变量，f表示一种对应关系，称为函数关系。
2. 函数的表示方法：函数的表示方法有两种，一种是解析法，即用数学表达式表示函数关系；另一种是图表法，即用图形表示函数关系。
在高一函数入门中，我们主要学习解析法，通过给定的函数表达式来理解函数关系。
3. 函数的性质：函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性等。
单调性是指函数在某一段区间内单调递增或单调递减；奇偶性是指函数是否具有对称性；周期性是指函数是否存在周期性变化。
4. 函数的定义域和值域：函数的定义域是指自变量的取值范围，值域是指因变量的取值范围。
在高一函数入门中，我们需要掌握如何求函数的定义域和值域，以及理解定义域和值域的概念。
5. 初等函数：初等函数是指常见的函数类型，如一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等。
高一函数入门中，我们需要掌握这些函数的表达式、性质和图像。
总之，高一函数入门基础知识是学习函数的基础，需要掌握函数的定义、表示方法、性质、定义域和值域等概念，同时熟悉常见的初等函数的表达式、性质和图像。
有关函数的初步认识的教学教案
有关函数的初步认识的教学教案第一章：函数的定义与性质1.1 函数的概念引入函数的概念，引导学生理解函数是一种关系，将一个集合（定义域）中的每个元素对应到另一个集合（值域）中的元素。
通过示例和练习，让学生掌握函数的表示方法，如解析式和图像。
1.2 函数的性质讨论函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质。
利用图像和实际例子，解释函数的增减性、极值、拐点等概念。
第二章：函数的图像2.1 函数图像的基本特征引导学生理解函数图像的斜率、截距、对称性等基本特征。
通过绘制简单的函数图像，让学生观察和分析函数图像的形状和变化趋势。
2.2 函数图像的变换介绍函数图像的平移、缩放、翻转等变换方法。
通过示例和练习，让学生学会如何通过变换得到函数图像的新形状。
第三章：一次函数和二次函数3.1 一次函数引入一次函数的定义和表示方法。
讨论一次函数的图像特点，如直线斜率和截距的意义。
3.2 二次函数引入二次函数的定义和表示方法。
讨论二次函数的图像特点，如开口方向、顶点、对称轴等。
第四章：函数的计算与应用4.1 函数的计算介绍函数的求值、导数、积分等基本计算方法。
通过示例和练习，让学生掌握函数计算的基本技巧。
4.2 函数的应用讨论函数在实际问题中的应用，如最优化问题、物理问题等。
通过案例分析和练习题，让学生学会如何将函数应用于解决实际问题。
第五章：函数的进一步研究5.1 函数的极限引入函数极限的概念，讨论函数在某一点的极限值。
通过示例和练习，让学生理解函数极限的性质和计算方法。
5.2 函数的连续性引入函数连续性的概念，讨论函数在某一点的连续性。
通过示例和练习，让学生理解函数连续性的性质和判断方法。
第六章：函数的导数与微分6.1 导数的概念引入导数的定义，解释导数表示函数在某一点的瞬时变化率。
通过示例和练习，让学生掌握导数的计算方法，如极限定义法、导数的基本公式。
6.2 微分的基本概念介绍微分的概念，解释微分表示函数在某一点的变化量。
函数的初步认识
•函数的基本概念•函数的分类与运算•常见函数解析式目•函数的应用场景•函数的实际应用案例录函数的定义函数是一种数学模型，它描述了一个输入值（或多个输入值）与一个输出值（或多个输出值）之间的对应关系。
在函数中，输入值被称为自变量，输出值被称为因变量。
函数的表示方法函数对应每个输入值只有一个输出值。
单值性封闭性连续性可导性函数的定义域和值域之间存在一种封闭关系，即通过函数关系转换后的值不会超出原始值的范围。
函数在定义域内的每一点都是连续的，即函数不会突然跳跃或中断。
函数在某一点处可导，即该点的切线存在。
函数的基本性质超越函数有理函数复合函数初等函数由常数、幂函数、指数函数、三角函数和反三角函数经过有限次四则运算加法减法乘法三角运算除法幂运算定义域值域复合运算规则030201定义图像性质一次函数定义图像性质图像正比例函数的图像是一条直线。
定义一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数。
性质当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。
1 2 3定义图像性质定义对数函数的图像与底数a的取值有关，不同的底数a对应不同的图像。
图像性质定义图像幂函数方程求解统计分析热学电学力学成本核算函数在成本核算中发挥着重要作用，如总成本、平均成本等。
市场需求预测函数可以帮助预测市场需求，从而制定合理的销售策略。
投资回报分析函数可以用来分析投资回报，为投资者提供参考。
函数在经济领域的应用03软件设计01算法实现02数据处理函数在计算机领域的应用利用函数解决实际问题的方法结果解释和评估模型训练和应用特征提取和选择数据探索和可视化利用函数进行数据分析数据预测和时间序列分析最优化决策和规划风险评估和风险管理机器学习和人工智能应用决策结果解释和实施利用函数进行预测与决策。
我国数学家对函数的认识
我国数学家对函数的认识1. 函数的初步认识1.1 函数的起源说起函数，那真是数学里头的一个“老大哥”。
古代数学家们在研究数的关系时，早就发现了类似于函数的东西。
那时候，还没啥“函数”这名词，但人家早就看出，数和数之间是有着千丝万缕的联系的。
咱们的祖先那是脑袋动得快，一下子就看懂了函数的“雏形”。
1.2 早期数学家的贡献在我国古代，数学家们对函数的认识并不是一蹴而就的，咱们最早的数学经典《九章算术》里就已经有了函数的影子。
不过，那会儿的数学家们用的术语和我们现在的可大相径庭。
比如说，解方程时，他们就用一些原理，咱们现在回过头来看，这不就有点像函数的味儿了吗？2. 近现代数学家的突破2.1 黎曼的贡献来到近现代，函数这块儿终于迎来了“大牛”。
德国数学家黎曼是个真正的“数学怪才”，他对函数的认识深入骨髓。
他提出了“黎曼面”的概念，打开了函数研究的新天地。
这些新的想法就像是给数学家们打开了一扇窗，让他们能看得更远、更清楚。
2.2 我国数学家的追赶我国的数学家们也不甘示弱，纷纷跟上了这股风潮。
比如，华罗庚大师就对数学函数的理论研究做出了很大的贡献。
华老先生的研究就像是给我们铺了一条通往数学“高峰”的小路，让我们在探究函数的过程中少走了很多弯路。
3. 函数的应用与未来展望3.1 函数在现代社会的应用说到函数，现代社会里可真是离不开它。
无论是计算机程序、经济模型，还是物理学的各种公式，函数都扮演着重要角色。
举个例子，咱们平时用的手机，背后好多的功能都是用函数来计算的，真是“函数无处不在”，这话一点也不夸张。
3.2 未来的无限可能未来，函数的研究还会继续深入。
科学家们就像是登山者一样，不断往上攀登，探索函数的更多奥秘。
谁知道，函数的研究会不会在未来带来更多“惊喜”呢？也许，某一天，我们会发现函数的“终极奥秘”，让数学这座大山显得更加神秘又迷人。
结语总之，函数这东西，看似简单，实则内涵丰富。
无论是古代的数学家，还是现代的科学家们，大家对函数的认识不断深入。
探索小学生对函数的初步认识
探索小学生对函数的初步认识近年来，数学教育在小学阶段的重要性日益凸显，函数作为数学中的重要概念之一，在培养学生数学思维能力和逻辑思维能力方面发挥着关键作用。
本文旨在探索小学生对函数的初步认识，并分析如何在教学中更好地引导学生理解和应用函数。
一、函数的基本概念理解在初步认识函数的过程中，让学生明确函数关系是最为重要的一环。
通过简单的实例，学生可以了解到函数是一个输入值与输出值之间的关系，其中每一个输入值都对应唯一的输出值。
例如，让学生考虑“如果我每天跑步30分钟，那么在跑步的过程中，我的心率是如何变化的？”通过引导学生思考，并进行观察和记录，他们可以发现跑步时间与心率之间的关系。
二、函数图像的初步认识在函数的初步认识中，函数图像是一个重要的视觉工具。
通过观察函数图像，可以帮助学生更加直观地理解函数的变化规律。
在教学中，教师可以通过绘制简单函数的图像，如直线、抛物线等，引导学生观察图像的特点，并与函数的输入输出关系做出关联。
三、函数与实际问题的联系为了帮助学生更好地理解函数与实际生活问题的联系，教师可以提供与学生生活经验相关的例子。
例如，让学生思考“如果我们从家到学校的距离是10公里，我们用时是多少？”通过引导学生建立输入与输出的对应关系，并引导学生使用图像表示函数的变化过程，进一步加深学生对函数的理解。
四、函数的运算与应用除了基本概念的认识，学生还需要掌握函数的运算法则。
在教学中，可以引入简单的函数运算，如函数的加减和乘除运算，帮助学生理解函数的变换规律。
同时，教师可以结合实际问题，让学生应用函数进行问题求解，培养他们发现和解决问题的能力。
五、游戏化学习与函数的结合在初步认识函数的教学中，游戏化学习可以发挥重要作用。
通过设计趣味的数学游戏，可以激发学生的学习兴趣和主动性。
例如，可以设计一个与函数相关的迷宫游戏，在游戏过程中，学生需要根据函数关系的特点来解决各种难题，从而巩固对函数的理解。
六、注意力引导和巩固知识在教学中，教师应该及时发现学生对函数的误解和困惑，并及时进行引导和讲解。
青岛版七年级数学上册《函数的初步认识》说课稿
青岛版七年级数学上册《函数的初步认识》说课稿一、引入1. 背景介绍《函数的初步认识》是青岛版七年级数学上册中的一篇重要内容，该部分内容旨在帮助学生初步了解函数的概念及其特点。
学习函数对学生的数学思维能力和问题解决能力的培养具有重要作用。
2. 教学目标通过本节课的学习，学生应能够：•理解函数的概念；•掌握函数的符号表示；•掌握函数的定义域、值域和自变量、因变量的关系。
二、分析1. 教材分析本节课的内容主要涵盖以下几个方面：•函数的定义及符号表示；•函数的定义域、值域；•自变量和因变量的关系；•图示函数的平面直角坐标系。
2. 学情分析大多数学生对函数的概念还比较陌生，对数学符号的理解也需要加强。
需充分利用学生已有的数学知识，通过具体的例子和练习，帮助学生理解抽象的函数概念。
1. 教学方法采用讲授法和示例法相结合的教学方法，通过讲解和演示，引导学生深入理解函数的概念和特点。
2. 教学步骤(1) 函数的定义•先通过一个生活中的例子引入函数的概念，如小明放学后的步行路线与时间的关系，让学生感受函数在生活中的应用；•引导学生描述这个例子中的自变量和因变量；•定义函数：函数是一个将一个数集与另一个数集建立起对应关系的规律；•解释函数的符号表示：函数通常用字母f表示，例如：y = f(x)。
(2) 函数的定义域和值域•引导学生进一步思考函数的定义域和值域的概念；•定义函数的定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
(3) 自变量和因变量的关系•通过具体的例子，如小明放学后的步行路线与时间的关系，让学生观察并描述自变量和因变量之间的关系；•加深学生对自变量和因变量的理解。
(4) 函数的平面直角坐标系示意图•引导学生绘制平面直角坐标系；•解释横坐标和纵坐标的含义，并在平面直角坐标系中标示函数的图象。
1. 教具准备•平面直角坐标系模板；•相关练习题。
2. 教学过程(1) 平面直角坐标系的绘制•在黑板上绘制一个平面直角坐标系；或者提供给学生预先准备好的平面直角坐标系模板。
有关函数的初步认识的教学教案
有关函数的初步认识的教学教案第一章：函数的概念1.1 函数的定义教学目标：让学生理解函数的定义，并能正确表达函数的概念。
教学内容：介绍函数的定义，解释函数的概念。
教学方法：通过举例、讲解、讨论等方式，让学生理解函数的定义。
教学步骤：(1) 引入函数的概念，让学生思考日常生活中遇到的函数例子。
(2) 给出函数的定义，解释函数的概念。
(3) 通过举例说明函数的特性，让学生理解函数的定义。
(4) 让学生进行练习，巩固对函数概念的理解。
1.2 函数的表示方法教学目标：让学生掌握函数的表示方法，并能正确绘制函数图像。
教学内容：介绍函数的图像表示方法，讲解函数图像的特点。
教学方法：通过讲解、绘制函数图像、讨论等方式，让学生掌握函数的表示方法。
教学步骤：(1) 介绍函数的图像表示方法，讲解函数图像的特点。
(2) 让学生绘制一些简单的函数图像，加深对函数图像的理解。
(3) 通过讨论，让学生理解函数图像与函数性质之间的关系。
(4) 让学生进行练习，巩固对函数图像表示方法的理解。
第二章：函数的性质2.1 函数的单调性教学目标：让学生理解函数的单调性，并能判断函数的单调区间。
教学内容：介绍函数的单调性概念，讲解函数单调性的判断方法。
教学方法：通过举例、讲解、讨论等方式，让学生理解函数的单调性。
教学步骤：(1) 引入函数的单调性概念，让学生思考日常生活中遇到的单调函数例子。
(2) 给出函数单调性的定义，讲解函数单调性的判断方法。
(3) 通过举例说明函数的单调性，让学生理解函数的单调性。
(4) 让学生进行练习，巩固对函数单调性的理解。
2.2 函数的奇偶性教学目标：让学生理解函数的奇偶性，并能判断函数的奇偶性。
教学内容：介绍函数的奇偶性概念，讲解函数奇偶性的判断方法。
教学方法：通过举例、讲解、讨论等方式，让学生理解函数的奇偶性。
教学步骤：(1) 引入函数的奇偶性概念，让学生思考日常生活中遇到的奇偶函数例子。
(2) 给出函数奇偶性的定义，讲解函数奇偶性的判断方法。
特殊函数初步认识和应用
特殊函数初步认识和应用一、指数函数1.定义：形如f(x) = a^x（a > 0 且a ≠ 1）的函数称为指数函数。
a)指数函数是单调函数；b)当a > 1时，指数函数是增函数；c)当0 < a < 1时，指数函数是减函数；d)指数函数的图像过（0，1）点。
二、对数函数1.定义：形如f(x) = log_a(x)（a > 0 且a ≠ 1）的函数称为对数函数。
a)对数函数是单调函数；b)当a > 1时，对数函数是增函数；c)当0 < a < 1时，对数函数是减函数；d)对数函数的图像过（1，0）点。
三、三角函数1.正弦函数：f(x) = sin(x)2.余弦函数：f(x) = cos(x)3.正切函数：f(x) = tan(x)a)三角函数是周期函数；b)三角函数具有奇偶性；c)三角函数的图像具有一定的对称性。
四、反三角函数1.反正弦函数：f(x) = arcsin(x)2.反余弦函数：f(x) = arccos(x)3.反正切函数：f(x) = arctan(x)a)反三角函数是单调函数；b)反三角函数的定义域和值域有限。
五、双曲函数1.双曲正弦函数：f(x) = sinh(x)2.双曲余弦函数：f(x) = cosh(x)3.双曲正切函数：f(x) = tanh(x)a)双曲函数是单调函数；b)双曲函数的图像具有一定的对称性。
六、反双曲函数1.反双曲正弦函数：f(x) = arcsinh(x)2.反双曲余弦函数：f(x) = arccosh(x)3.反双曲正切函数：f(x) = arctanh(x)a)反双曲函数是单调函数；b)反双曲函数的定义域和值域有限。
七、函数的应用1.函数图像的变换：平移、缩放、翻折等；2.函数解析式的求解：换元法、不等式法、方程法等；3.函数的性质分析：单调性、奇偶性、周期性等；4.函数的实际应用：物理、化学、经济学等领域。
函数的基础知识大全
函数的基础知识大全在数学的广阔天地中，函数就像是一座桥梁，连接着不同的数学概念和实际问题。
函数的概念虽然看似抽象，但它却在我们的日常生活和科学研究中有着广泛的应用。
接下来，让我们一起走进函数的世界，探索它的基础知识。
一、函数的定义简单来说，函数是一种对应关系。
给定一个输入值（通常称为自变量），通过这种对应关系，能唯一确定一个输出值（通常称为因变量）。
比如说，我们有一个函数 f(x) ＝ 2x ，当 x ＝ 3 时，通过这个对应关系，就能确定 f(3) ＝ 6 。
函数通常用字母 f 、g 等表示，自变量常用 x 、y 等表示。
函数的表达式可以是多种多样的，比如常见的整式、分式、根式等等。
二、函数的三要素1、定义域定义域是自变量 x 的取值范围。
例如，对于函数 f(x) ＝ 1 ／ x ，由于分母不能为 0 ，所以其定义域就是x ≠ 0 。
确定定义域时，需要考虑函数的表达式、实际问题的背景等因素。
2、值域值域是因变量 y 的取值范围。
它是由定义域和函数的对应关系共同决定的。
比如对于函数 f(x) ＝ x²，因为 x²总是大于等于 0 的，所以其值域就是y ≥ 0 。
3、对应法则对应法则是函数的核心，它规定了自变量和因变量之间的具体关系。
不同的对应法则会产生不同的函数。
三、函数的表示方法1、解析法用数学表达式来表示函数，如前面提到的 f(x) ＝ 2x 、f(x) ＝ 1 ／ x 等。
2、列表法通过列出自变量和对应的因变量的值来表示函数。
例如，在一个表格中列出不同时刻的温度值，就可以看作是一个函数。
3、图像法将函数用图像的形式表示出来。
图像能够直观地反映函数的性质，比如单调性、奇偶性等。
四、常见的函数类型1、一次函数形如 f(x) ＝ kx ＋ b （k、b 为常数，k ≠ 0 ）的函数称为一次函数。
它的图像是一条直线。
2、二次函数形如 f(x) ＝ ax²＋ bx ＋ c （a ≠ 0 ）的函数称为二次函数。
函数的基本概念和表示方法
函数的概念及其表示方法【知识点一】函数的概念1．函数的定义设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x A}叫做函数的值域.2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.3．区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示．区间表示：{x|a≤x≤b}=[a，b]；；；.【知识点二】函数的表示法1．函数的三种表示方法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值. 2．分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．【知识点三】映射与函数1.映射定义：设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B.象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b 叫做a的象，a叫做b的原象.注意：(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a的象记为f(a).2.函数：设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A 到集合B的函数，记为y=f(x).注意：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定义域，值域=象集合.规律方法指导1.函数定义域的求法(1)当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.(2)当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.(3)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.2.如何确定象与原象对于给出原象要求象的问题，只需将原象代入对应关系中，即可求出象.对于给出象，要求原象的问题，可先假设原象，再代入对应关系中得已知的象，从而求出原象；也可根据对应关系，由象逆推出原象.3.函数值域的求法实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的"最高点"和"最低点"，观察求得函数的值域；配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些"分式"函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.经典例题透析类型一、函数概念1.下列各组函数是否表示同一个函数？(1)(2)(3)(4)思路点拨：对于根式、分式、绝对值式，要先化简再判断，在化简时要注意等价变形，否则等号不成立.解：(1)，对应关系不同，因此是不同的函数；(2)的定义域不同，因此是不同的函数；(3)的定义域相同，对应关系相同，因此是相同的函数；(4)定义域相同，对应关系相同，自变量用不同字面表示，仍为同一函数.总结升华：函数概念含有三个要素，即定义域，值域和对应法则，其中核心是对应法则，它是函数关系的本质特征.只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，换言之就是：(1)定义域不同，两个函数也就不同；(2)对应法则不同，两个函数也是不同的.(3)即使定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则.举一反三：【变式1】判断下列命题的真假(1)y=x-1与是同一函数；(2)与y=|x|是同一函数；(3)是同一函数；(4)与g(x)=x2-|x|是同一函数.答：从函数的定义及三要素入手判断是否是同一函数，有(1)、(3)是假命题，(2)、(4)是真命题.2.求下列函数的定义域(用区间表示).(1)；(2)；(3).思路点拨：由定义域概念可知定义域是使函数有意义的自变量的取值范围.解：(1)的定义域为x2-2≠0，；(2)；(3).总结升华：使解析式有意义的常见形式有①分式分母不为零；②偶次根式中，被开方数非负.当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量x有意义，必须取使得各式有意义的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解.举一反三：【变式1】求下列函数的定义域：(1)；(2)；(3).思路点拨：(1)中有分式，只要分母不为0即可；(2)中既有分式又有二次根式，需使分式和根式都有意义；(3)只要使得两个根式都有意义即可．解：(1)当|x-2|-3=0，即x=-1或x=5时，无意义，当|x-2|-3≠0，即x≠-1且x≠5时，分式有意义，所以函数的定义域是(-∞，-1)∪(-1，5)∪(5，+∞)；(2)要使函数有意义，须使，所以函数的定义域是；(3)要使函数有意义，须使，所以函数的定义域为{-2}.总结升华：小结几类函数的定义域：(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合；(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；(即求各集合的交集)(5)满足实际问题有意义.3.已知函数f(x)=3x2+5x-2，求f(3)，，f(a)，f(a+1).思路点拨：由函数f(x)符号的含义，f(3)表示在x=3时，f(x)表达式的函数值.解：f(3)=3×32+5×3-2=27+15-2=40；；；.举一反三：【变式1】已知函数.(1)求函数的定义域；(2)求f(-3)，的值；(3)当a＞0时，求f(a)×f(a-1)的值.解：(1)由；(2)；；(3)当a＞0时，.【变式2】已知f(x)=2x2-3x-25，g(x)=2x-5，求：(1)f(2)，g(2)；(2)f(g(2))，g(f(2))；(3)f(g(x))，g(f(x))思路点拨：根据函数符号的意义，可以知道f(g(2))表示的是函数f(x)在x=g(2)处的函数值，其它同理可得．解：(1)f(2)=2×22-3×2-25=-23；g(2)=2×2-5=-1；(2)f(g(2))=f(-1)=2×(-1)2-3×(-1)-25=-20；g(f(2))=g(-23)=2×(-23)-5=-51；(3)f(g(x))=f(2x-5)=2×(2x-5)2-3×(2x-5)-25=8x2-46x+40；g(f(x))=g(2x2-3x-25)=2×(2x2-3x-25)-5=4x2-6x-55.总结升华：求函数值时，遇到本例题中(2)(3)(这种类型的函数称为复合函数，一般有里层函数与外层函数之分，如f(g(x))，里层函数就是g(x)，外层函数就是f(x)，其对应关系可以理解为，类似的g(f(x))为，类似的函数，需要先求出最里层的函数值，再求出倒数第二层，直到最后求出最终结果.4. 求值域(用区间表示)：(1)y=x2-2x+4；.思路点拨：求函数的值域必须合理利用旧知识，把现有问题进行转化.解：(1)y=x2-2x+4=(x-1)2+3≥3，∴值域为[3，+∞)；(2)；(3)；(4)，∴函数的值域为(-∞，1)∪(1，+∞). 类型二、映射与函数5. 下列对应关系中，哪些是从A到B的映射，哪些不是?如果不是映射，如何修改可以使其成为映射?(1)A=R，B=R，对应法则f：取倒数；(2)A={平面内的三角形}，B={平面内的圆}，对应法则f：作三角形的外接圆；(3)A={平面内的圆}，B={平面内的三角形}，对应法则f：作圆的内接三角形．思路点拨：根据定义分析是否满足“A中任意”和“B中唯一”．解：(1)不是映射，集合A中的元素0在集合B中没有元素与之对应，不满足“A中任意”；若把A改为A={x|x≠0}或者把对应法则改为“加1”等就可成为映射；(2)是映射，集合A中的任意一个元素(三角形)，在集合B中都有唯一的元素(该三角形的外接圆)与之对应，这是因为不共线的三点可以确定一个圆；(3)不是映射，集合A中的任意一个元素(圆)，在集合B中有无穷多个元素(该圆的内接三角形有无数个)与之对应，不满足“B中唯一”的限制；若将对应法则改为：以该圆上某定点为顶点作正三角形便可成为映射．总结升华：将不是映射的对应改为映射可以从出发集A、终止集B和对应法则f三个角度入手．举一反三：【变式1】判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？①A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则②A=N*，B={0，1}，对应法则f:x→x除以2得的余数；③A=N，B={0，1，2}，f：x→x被3除所得的余数；④设X={0，1，2，3，4}，思路点拨：判断是否构成映射应注意：①A中元素的剩余；②“多对一”“一对一”构成，而“一对多”不构成映射.解：①构成映射，②构成映射，③构成映射，④不构成映射，0没有象.【变式2】已知映射f：A→B，在f的作用下，判断下列说法是否正确？(1)任取x∈A，都有唯一的y∈B与x对应；(2)A中的某个元素在B中可以没有象；(3)A中的某个元素在B中可以有两个以上的象；(4)A中的不同的元素在B中有不同的象；(5)B中的元素在A中都有原象；(6)B中的元素在A中可以有两个或两个以上的原象.答：(1)、(6)的说法是正确的，(2)、(3)、(4)、(5)说法不正确.【变式3】下列对应哪些是从A到B的映射？是从A到B的一一映射吗？是从A到B的函数吗？(1)A=N，B={1，-1}，f：x→y=(-1)x；(2)A=N，B=N+，f：x→y=|x-3|；(3)A=R，B=R，(4)A=Z，B=N，f：x→y=|x|；(5)A=N，B=Z，f：x→y=|x|；(6)A=N，B=N，f：x→y=|x|.答：(1)、(4)、(5)、(6)是从A到B的映射也是从A到B的函数，但只有(6)是从A到B的一一映射；(2)、(3)不是从A到B的映射也不是从A到B的函数.6. 已知A=R，B={(x，y)|x，y R}，f：A→B是从集合A到集合B的映射，f：x→(x+1，x2+1)，求A中的元素的象，B中元素的原象.解：∴A中元素的象为故.举一反三：【变式1】设f：A→B是集合A到集合B的映射，其中(1)A={x|x＞0}，B=R，f：x→x2-2x-1，则A中元素的象及B中元素-1的原象分别为什么？(2)A=B={(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(x-y，x+y)，则A中元素(1，3)的象及B中元素(1，3)的原象分别为什么？解：(1)由已知f：x→x2-2x-1，所以A中元素的象为；又因为x2-2x-1=-1有x=0或x=2，因为A={x|x＞0}，所以B中元素-1的原象为2；(2)由已知f:(x，y)→(x-y，x+y)，所以A中元素(1，3)的象为(1-3，1+3)，即(-2，4)；又因为由有x=2，y=1，所以B中元素(1，3)的原象为(2，1).类型三、函数的表示方法7. 求函数的解析式(1)若f(2x-1)=x2，求f(x)；(2)若f(x+1)=2x2+1，求f(x).思路点拨：求函数的表达式可由两种途径.解：(1)∵f(2x-1)=x2，∴令t=2x-1，则；(2)f(x+1)=2x2+1，由对应法则特征可得：f(x)=2(x-1)2+1即：f(x)=2x2-4x+3.举一反三：【变式1】(1) 已知f(x+1)=x2+4x+2，求f(x)；(2)已知：，求f[f(-1)].解：(1)(法1)f(x+1)=x2+4x+2=(x+1)2+2(x+1)-1∴f(x)=x2+2x-1；(法2)令x+1=t，∴x=t-1，∴f(t)=(t-1)2+4(t-1)+2=t2+2t-1∴f(x)=x2+2x-1；(法3)设f(x)=ax2+bx+c则f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c∴a(x+1)2+b(x+1)+c=x2+4x+2；(2)∵-1＜0，∴f(-1)=2·(-1)+6=4f[f(-1)]=f(4)=16.总结升华：求函数解析式常用方法：(1)换元法；(2)配凑法；(3)定义法；(4)待定系数法等.注意：用换元法解求对应法则问题时，要关注新变元的范围.8.作出下列函数的图象.(1)；(2)；(3)；(4).思路点拨：(1)直接画出图象上孤立的点；(2)(3)先去掉绝对值符号化为分段函数.解：(1)，∴图象为一条直线上5个孤立的点；(2)为分段函数，图象是两条射线；(3)为分段函数，图象是去掉端点的两条射线；(4)图象是抛物线.所作函数图象分别如图所示：类型四、分段函数9. 已知，求f(0)，f[f(-1)]的值.思路点拨：分段函数求值，必须注意自变量在不同范围内取值时的不同对应关系.解：f(0)=2×02+1=1f[f(-1)]=f[2×(-1)+3]=f(1)=2×12+1=3.举一反三：【变式1】已知，作出f(x)的图象，求f(1)，f(-1)，f(0)，f{f[f(-1)+1]}的值.解：由分段函数特点，作出f(x)图象如下：∴如图，可得：f(1)=2；f(-1)=-1；f(0)=；f{f[f(-1)+1]}=f{f[-1+1]}=f{f(0)}=f()=+1.10. 某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：(1)乘坐汽车5公里以内，票价2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按5公里计算)，已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途(包括起点站和终点站)设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.解：设票价为y元，里程为x公里，由空调汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图所示：举一反三：【变式1】移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元，若一个月内通话x分钟，两种通讯方式的费用分别为y1，y2(元)，Ⅰ. 写出y1，y2与x之间的函数关系式？Ⅱ. 一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？Ⅲ. 若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？解：Ⅰ：y1=50+0.4x，y2=0.6x；Ⅱ：当y1=y2时，50+0.4x=0.6x，∴0.2x=50，x=250∴当一个月内通话250分钟时，两种通讯方式费用相同；Ⅲ：若某人预计月付资费200元，采用第一种方式：200=50+0.4x，0.4x=150 ∴x=375（分钟）采用第二种方式：200=0.6x，∴应采用第一种(全球通)方式.基础达标一、选择题1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( )⑴，；⑵，；⑶，；⑷，；⑸，．A．⑴、⑵B．⑵、⑶C．⑷D．⑶、⑸2．函数y=的定义域是()A．-1≤x≤1B．x≤-1或x≥1 C．0≤x≤1 D．{-1，1}3．函数的值域是( )A．(-∞，)∪(，+∞)B．(-∞，)∪(，+∞)C．R D．(-∞，)∪(，+∞)4．下列从集合A到集合B的对应中：①A=R，B=(0，+∞)，f:x→y=x2；②③④A=[-2，1]，B=[2，5]，f:x→y=x2+1；⑤A=[-3，3]，B=[1，3]，f:x→y=|x|其中，不是从集合A到集合B的映射的个数是( )A． 1 B． 2 C． 3 D． 45．已知映射f:A→B，在f的作用下，下列说法中不正确的是( )A．A中每个元素必有象，但B中元素不一定有原象B．B中元素可以有两个原象C．A中的任何元素有且只能有唯一的象D．A与B必须是非空的数集6．点(x，y)在映射f下的象是(2x-y，2x+y)，求点(4，6)在f下的原象( )A．(，1)B．(1，3) C．(2，6)D．(-1，-3)7．已知集合P={x|0≤x≤4}，Q={y|0≤y≤2}，下列各表达式中不表示从P到Q的映射的是( ) A．y=B．y=C．y=x D．y=x28．下列图象能够成为某个函数图象的是( )9．函数的图象与直线的公共点数目是( )A．B．C．或D．或10．已知集合，且，使中元素和中的元素对应，则的值分别为( )A．B．C．D．11．已知，若，则的值是( )A．B．或C．，或D．12．为了得到函数的图象，可以把函数的图象适当平移，这个平移是( ) A．沿轴向右平移个单位B．沿轴向右平移个单位C．沿轴向左平移个单位D．沿轴向左平移个单位二、填空题1．设函数则实数的取值范围是_______________．2．函数的定义域_______________．3．函数f(x)=3x-5在区间上的值域是_________．4．若二次函数的图象与x轴交于，且函数的最大值为，则这个二次函数的表达式是_______________．5．函数的定义域是_____________________．6．函数的最小值是_________________．三、解答题1．求函数的定义域．2．求函数的值域．3．根据下列条件，求函数的解析式：(1)已知f(x)是二次函数，且f(2)=-3，f(-2)=-7,f(0)=-3，求f(x)；(2)已知f(x-3)=x2+2x+1，求f(x+3)；(3)已知；能力提升一、选择题1．设函数，则的表达式是( )A．B．C．D．2．函数满足则常数等于( )A．3 B．-3 C．D．3．已知，那么等于( )A．15 B．1 C．3 D．304．已知函数定义域是，则的定义域是( ) A．B．C．D．5．函数的值域是( )A．B．C．D．6．已知，则的解析式为( )A．B．C．D．二、填空题1．若函数，则=_______________．2．若函数，则=_______________．3．函数的值域是_______________．4．已知，则不等式的解集是_______________．5．设函数，当时，的值有正有负，则实数的范围_______________．三、解答题1．设是方程的两实根，当为何值时，有最小值?求出这个最小值．2．求下列函数的定义域(1)；(2)．3．求下列函数的值域(1)；(2)．综合探究1．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程.在下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，如图四个图象中较符合该学生走法的是( )2.如图所表示的函数解析式是( )A. B.C. D.3．函数的图象是( )。
青岛版数学七年级上册5.5《函数的初步认识》说课稿
青岛版数学七年级上册5.5《函数的初步认识》说课稿一. 教材分析《函数的初步认识》这一节内容，主要让学生了解函数的概念，理解函数的性质，以及会运用函数解决实际问题。
本节课的内容是初中学段数学的重要知识点，也是学生进一步学习高中数学的基础。
教材通过具体的例子，引导学生认识函数，理解函数的定义，以及函数的图像。
二. 学情分析七年级的学生已经掌握了初步的代数知识，具备了一定的逻辑思维能力。
但是对于函数这一概念，学生可能还是比较陌生。
因此，在教学过程中，我将会注重引导学生通过具体的例子，去理解函数的概念，培养学生的抽象思维能力。
三. 说教学目标1.让学生理解函数的概念，知道函数的定义。
2.让学生了解函数的性质，能够通过实例分析函数的性质。
3.培养学生运用函数解决实际问题的能力。
四. 说教学重难点1.重点：让学生理解函数的概念，知道函数的定义。
2.难点：让学生理解函数的性质，能够通过实例分析函数的性质。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用讲授法、案例分析法、讨论法等多种教学方法。
同时，利用多媒体教学手段，如PPT等，帮助学生直观地理解函数的概念和性质。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引入函数的概念。
2.讲解：讲解函数的定义，通过具体的例子，让学生理解函数的概念。
3.分析：分析函数的性质，让学生通过实例理解函数的性质。
4.练习：让学生通过练习题，巩固对函数的理解。
5.总结：总结本节课的主要内容，强调函数的概念和性质。
6.作业：布置作业，让学生进一步巩固函数的知识。
七. 说板书设计板书设计主要包括函数的定义、函数的性质等内容。
通过板书，让学生能够清晰地了解函数的概念和性质。
八. 说教学评价教学评价主要通过学生的课堂表现、作业完成情况、练习题的正确率等方面进行。
通过这些评价，了解学生对函数知识的掌握情况，以便进行下一步的教学。
九. 说教学反思在教学过程中，我可能会发现一些问题，如学生对函数概念的理解不够深入，或者对函数性质的掌握不够牢固等。
函数的初步认识ppt
函数的变换
• 平移变换：将函数沿着坐标轴进行平移得到新的函数。 • 向上平移：将函数向上平移若干个单位得到新的函数。 • 示例：将 $y=f(x)$ 向 上平移 $k$ 个单位得到 $y=f(x)+k$。 • 向下平移：将函数向下平移若干个单位得到新的函数。 • 示例：将 $y=f(x)$ 向 下平移 $k$ 个单位得到 $y=f(x)-k$。 • 伸缩变换：通过改变函数的比例关系得到新的函数。 • 横向伸缩：通过改变自变量 x 的系数得到新的函数。 • 示例：将 $y=f(x)$ 向 左伸缩 a 倍得到 $y=af(ax)$，将 $y=f(x)$ 向 右伸缩 a 倍得到 $y=f(ax)/a$。 • 纵向伸缩：通过改变因变量 y 的系数得到新的函数。 • 示例：将 $y=f(x)$ 向 上伸缩 b 倍得到 $y=bf(x)$，将 $y=f(x)$ 向 下伸缩 b 倍得到 $y=f(x)/b$。
值域
因变量y的取值范围，也称输出集或输出域。
3
函数关系
一种映射关系，将定义域中的每个元素映射到 值域中的唯一元素。
自变量和因变量之间的关系
单射关系
每个自变量x只能对应一个因 变量y。
满射关系
每个因变量y都能找到至少一个自 变量x对应。
双射关系
单射和满射的组合，每个自变量x 只能对应一个因变量y，且每个因 变量y都能找到至少一个自变量x对 应。
04
函数的应用
函数在数学领域的应用
基础运算函数
加、减、乘、除等基本运算函数，用于实 现数学运算。
指数函数
幂函数、对数函数等，用于进行指数运算 和拟合数据。
三角函数
正弦、余弦、正切等三角函数，用于进行 三角运算和图形设计。
5.5 函数的初步认识-七年级上册数学
总结
在_同__一__个__变__化__过_程___中，有_两__个__变__量_x_和__y_，如果_对_于__变__量__x 的__每__一__个__确_定__的__值__，__都__能_随__之__确__定__一__个_y_值__，我们就把y叫做 x的函数，其中x叫做__自__变__量__。如果自变量x取a时，y的 值是b，就把b叫做x=a时的_函__数__值__。
解：n=50-0.8m 在这个问题中，n的值是由m的取值确定的。 当m=13时，n=50-0.8×
函数及相关概念
对函数概念的理解要抓住以下三点：
（1） “一”
同一个变化过程
（2） “二” （3）“一对一”
有两个变量x和y
对于变量x的每一个确定的 值，都能随之确定一个y值
不能把函数概念理解成“当x发生变化时，y 也随之发生变化”，因为y也可以保持不变。
随堂练习
（3）小树的高度与小明的体重。 答：小树的高度与小明的体重虽然是两个变量，但这两个 变量不是在同一变化过程中，这两个变量没有直接关系， 故这两个变量不是函数关系。
考查函数概念问题的解题关键是看在同一个变化过程中，自变 量每取一个确定的值时，函数是否有唯一确定的值与之对应。
随堂练习
例1 人行道用同样大小的小
答：y=3x＋2
函数及相关概念
（3）在问题（2）中，哪些量是常量？哪些量是变量？ y的值是由哪个变量的取值确定的？ 答：在问题（2）中，y用关于x的代数式表示为y=3x＋2，
其中3,2是常量，y和x是变量， y的值是由x的取值确定的, 例如，当x=4时，y=14（枚）
你发现y和x之间有什么关系？
函数及相关概念
如果一个变量与另一个变量之间的函数关系可以用一个数学 式子表示出来，我们就把这个数学式子叫做该函数的_表__达__式_。
函数入门基础知识
函数入门基础知识函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数，y的值称为函数值。
常函数：x取定义域内任意数时，都有y=C（C是常数），则函数y=C 称为常函数，其图象是平行于x轴的直线或直线的一部分。
一次函数：一般形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0），其中x是自变量，y是因变量。
特别地，当b=0时，y=kx+b（k为常数，k≠0），y叫做x 的正比例函数。
一次函数的图像及性质：1）、在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。
2）、一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（－b/k，0)。
3）、正比例函数的图像总是过原点。
二次函数：基本表示形式为y=ax²+bx+c（a≠0）。
二次函数最高次必须为二次，二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。
二次函数的三种表达式：1）、一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)。
2）、顶点式：y=a(x-h)^2+k。
3）、交点式：y=a(x-x）（x-x）［仅限于与x轴有交点A(x，0)和B(x，0)的抛物线］。
二次函数图像的对称关系，对于一般式：①、y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c两图像关于y轴对称。
②、y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c两图像关于x轴对称。
③、y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx+c-b2/2a关于顶点对称。
④、y=ax2+bx+c与y=-ax2+bx-c关于原点中心对称。
三角函数：是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。
它包含六种基本函数:正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。
快速记忆三角函数公式：1）、“奇变偶不变，符号看象限”：“奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。
函数知识点归纳
函数知识点归纳函数是数学中的一个重要概念，它在计算机科学、统计学和物理学等领域也有广泛的应用。
本文将对函数的基本概念、性质和常见的函数类型做一个全面的归纳总结，以帮助读者更好地理解和运用函数知识。
一、函数的基本概念函数是一种映射关系，将一个或多个自变量映射到一个因变量上。
函数通常表示为f(x)或y=f(x)，其中x是自变量，f(x)或y是因变量。
函数的定义域是自变量可能取值的集合，值域是因变量的集合。
函数可以用不同的方式表示，如数学表达式、图形、表格或文字描述。
函数的图形通常用坐标系上的点表示，自变量在横轴上，因变量在纵轴上。
二、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域确定了自变量可能取值的范围，值域确定了因变量的取值范围。
2. 单调性：函数的单调性描述了函数在定义域上的增减趋势，可以是递增、递减或不变。
3. 奇偶性：函数的奇偶性描述了函数图像的对称性质，奇函数关于原点对称，偶函数关于纵轴对称。
4. 周期性：周期函数具有一定的重复性，函数的图像在一定的区间内重复出现。
5. 极值点：函数的极值点是函数图像上的局部极大值或极小值点，可以通过导数求解。
三、常见的函数类型1. 多项式函数：多项式函数是由常数、变量和指数幂运算组成的函数，可表示为f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0，其中an为系数，n为次数。
2. 指数函数：指数函数的函数表达式为f(x) = ax，其中a为常数，x为自变量。
3. 对数函数：对数函数是指以某个正数为底的幂运算的逆运算，常见的对数函数有自然对数函数ln(x)和以10为底的常用对数函数log(x)。
4. 三角函数：三角函数是以单位圆上的点坐标表示的函数，常见的三角函数有正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。
5. 反三角函数：反三角函数是三角函数的逆运算，常见的反三角函数有反正弦函数arcsin(x)、反余弦函数arccos(x)和反正切函数arctan(x)等。
函数的基本概念及表示(高考总复习)
函数的概念及其表示1．函数的基本概念:⑴函数的定义：设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作：y ＝f(x)，x ∈A.⑵函数的定义域、值域在函数y ＝f(x)，x ∈A 中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做定义域，与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{f(x)|x ∈A}叫值域．值域是集合B 的子集．①分式的分母不能为零；②偶次方根的被开方式其值非负；③对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.⑶函数的三要素：定义域、值域和对应关系．⑷相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等； 例1．下列四个图形中，可以表示函数y ＝f(x)的图像的是( )例2．分别求下列函数的定义域：(1)⑴f(x)＝|x －2|－1log 2x －1； (2)⑵f(x)＝ln x ＋1－x 2－3x ＋4.例3．求下列函数的值域： ⑴y ＝x ＋1，x ∈{2,3,4,5,6}；⑵y ＝x ＋1；⑶y ＝2x ＋1x －3； ⑷y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)；⑸y ＝2x －x －1；⑹y ＝x 2－2x 2＋1. 例4．判断下列各组函数是否表示同一函数：(1)f(x)＝x ，g(x)＝(x)2；(2)f(x)＝x ，g(x)＝x 2；(3)f(x)＝x ＋2，g(x)＝x 2－4x －2； (4)f(x)＝3x 2－1，g(t)＝3t 2－1.2．函数的三种表示方法解析法、列表法、图象法．例1(1)已知f(x)＝x 2，求f(x －1)；(2)已知f(x －1)＝x 2，求f(x)；(3) 已知2f(x)＋f(－x)＝3x ＋2，求f(x)3．分段函数例1．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ |x －1|－2，|x|≤111＋x 2，|x|>1，则f[f(12)]＝( ) A.12 B.413 C ．－95 D.2541例2．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x，x≤1，－x ，x ＞1.若f(x)＝2，则x ＝___ _____.例3．(1)已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2，x ＞6，f (x ＋2)，x ≤6，求f(－3)的值． 4．复合函数例1．已知f(x)＝x 2－4，g(x)＝3x ＋2(x ∈R )．⑴求f(2)和g(a)；⑵求g[f(2)]和f[g(x)]．例2.已知一次函数y ＝f(x)满足f(f(x))＝9x ＋4，求函数f(x)的解析式；5．抽象函数注：①定义域一定是x 的取值范围②前后两个括号的范围是一致的例1．(1)已知y ＝f(x)的定义域为[0,1]，求f(x －1)的定义域．(2)已知y ＝f(x ＋1)的定义域为[0,1]．求f(x)的定义域．(3)已知函数y ＝f(x ＋1)的定义域为[－2,3]，求f(x －1)的定义域．例2．定义在R 上的函数f(x)满足f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy ，其中x ，y∈R ，若f(1)＝2，则f(－2)的值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．96．模型函数（双勾函数）例1.分别求下列函数的值域 ⑴24)(-+=x x x f （3≥x ） ⑵162)(2++-=x x x x f （1-≠x ） 例2．若函数y ＝f(x)的值域是[12，3]，则函数F(x)＝f(x)＋1f(x)的值域是( ) A ．[12，3] B ．[2，103] C ．[52，103] D ．[3，103]巩固提升1．已知函数()f x =的定义域为M ，g(x)=ln(1)x +的定义域为N ，则M ∩N=（ ）A ．{|1}x x >-B ．{|1}x x <C ．{|11}x x -<<D ．∅ 2．函数y ＝f(x)的定义域为[－1,1]，则在同一坐标系中，y ＝f(x)的图象与直线x ＝1的交点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．0或13．若函数f(x)满足f(x ＋1)＝12f(x)，则f(x)的解析式在下列式子中只可能是( ) A.x 2 B ．x ＋12 C ．2－x D ．log 12x 4．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2，x≤1，x 2＋x －2，x ＞1.则f[1f(2)]的值为( ) A.1516 B ．－2716 C.89D ．18 5．下列各对函数中，表示同一函数的是( )．A ．f(x)＝lg x 2，g(x)＝2lg xB ．f(x)＝lg x ＋1x －1，g(x)＝lg(x ＋1)－lg(x －1) C ．f(u)＝ 1＋u 1－u，g(v)＝ 1＋v 1－v D ．f(x)＝(x)2，g(x)＝x 26．已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x ＋1)＝f(x)＋x ＋1，试求f(x)的表达式．7．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x ＞1，则满足f(x)≤2的x 的取值范围是( )．A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞) D．[0，＋∞)8．函数g(x)＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4}的值域是 .9．已知n ∈N *，且f(n)＝⎩⎪⎨⎪⎧n －2，n ≥10，f (f (n ＋5))，n ＜10，则f(4)＝________； 10．下列各图中，不能是函数f(x)图象的是 ( )11．已知函数f(2x ＋1)＝3x ＋2，且f(a)＝4，则a ＝__ ______． 12．已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1 (x ≤0)－(x －1)2 (x>0)，使f(x)≥－1成立的x 的取值范围为________．13. ⑴已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝4x －1，求f(x)；⑵已知f(x)是二次函数，且f(0)＝1，f(x ＋1)－f(x)＝2x ，求f(x)．14．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，例如解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{9}的“孪生函数”三个：(1)y ＝2x 2＋1，x∈{－2}；(2)y ＝2x 2＋1，x∈{2}；(3)y ＝2x 2＋1，x∈{－2,2}． 那么函数解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{1,5}的“孪生函数”共有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个15．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出则f[g(1)]的值为___ _____；若g[f(x)]＝2，则x ＝_____ ___.16．函数y ＝f(x)的值域是[－2,2]，定义域是R ，则函数y ＝f(x －2)的值域是( )A ．[－2,2]B ．[－4,0]C ．[0,4]D ．[－1,1]17．若函数f(x)＝log a (x ＋1)(a ＞0且a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a 等于( )A.13B. 2C.22D ．2 18．已知函数)86(log )(22++-=m mx mx x f⑴若函数f(x)的定义域为R ，求实数m 的值⑵若函数f(x)的值域为R ，求实数m 的值。
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(二) 什么是一个函数的函数值？怎样求？ 如果自变量x取a时，y的值是 b， 就把b叫做x=a时的函数值。
• 例题：函数y=- x +８中，当x＝2 时，函数值为多少？
解：当x＝2时， y=- x +８=- 2 +８=６
练一练:
当x分别取-1，0，2时，求下列函数 对应的43;2 ) ；
解：(1) 当x＝-1时，y=8x +2=8×(-1) +2=-6 当x＝0时，y=8x +2=8×0 +2=2 当x＝2时，y=8x +2=8×2 +2=18 (2) 当x＝-1时， y=x/(x+2 ) =-1/(-1+2)=-1 当x＝0时， y=x/(x+2 ) =0/(0+2 )=0 当x＝2时,y=x/(x+2 ) =2/(2+2)=1/2
• 4、你家的电视机是多少英寸的，合多少厘米？ • 当x=（ 34 ）英寸时，y=（ 86.36 ）厘米； • 当x=（ 26 ）英寸时，y=（66.04 ）厘米； • 当x=（ ）英寸时，y=（ ）厘米； • 当x=…时，y=… 。 • 想一想，本题提到了（ 2）个变量；当x每取一个 值时，都能随之确定1个( y )值对应。 • 5．自主学习课本124页，回答“什么是函数,什么 是自变量。 ” 在同一个变化过程中，有两个变量x和y ，如 果对于变量x的每一个确定的值，都能随之确定一 个y值，我们就说把（ y ）叫做（ x ）的函数，其中 （ x ）叫自变量。
1
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2
8
3
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14
5
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……
……
（１）写出l与n的关系式，在这个关系式中， 哪个量是常量，哪个量是变量？ （2）求n=11时的图形周长.
• • • • • •
变式训练题的解题方法： ①把第一个数（5）作为基数 ②8 ＝ 5 +3＝ 5 +3×1 ③11 ＝ 5 +6＝ 5 +3×2 ④14 ＝ 5 +9＝ 5 +3×3 第n个 5 +3×(n－1) = 3n +2
• ４．写出下列函数关系式，指出自变量 与函数.
• 一辆汽车从南京开出，行驶在去上 海的高速公路上，速度为120km／h， 南京至上海约270km，则该汽车离上海 的路程S与行驶时间t 之间的函数关系； S=270-120t, t是自变量，S是t的函数。
•
六、作业
• 习题１ 、２
知识像一艘船 让它载着我们 驶向理想的 ……
点拨：函数应满足的条件： 1.必须有两个变量 2.自变量每取一个值，函数都有唯一的值对应。
• 想一想,你能举出一个函数关系的事例或 公式吗? • 路程Ｓ＝60 t • 正方形的周长C=4 a（ a 为边长） • 正方形的面积Ｓ＝ a 2（ a 为边长） • 一天中，随着时间的推移气温也在变化。
做一做，试试你的身手！
下列变量之间的关系不是函数关系的（ D ） 。 • A.长方形的一条边长是6 ，它的面积S 与另 （Ｓ＝6x） 一边长x 的关系 (S=a2 ) • B.正方形的面积S与边长a的关系 • C.圆的面积S与半径r的关系 （Ｓ＝∏r 2 ） • D.图形的面积与它所在的平面的位置关系 • 提示：先写出已知量与未知量的等量关系
• 所以图形周长l = 3n +2， • ３,２是常量， l , n是变量 • 当n=11时，图形周长l = 3n +2 =3×11 +2 =35
四.
学习小结
1.你学到了哪些知识？
要注意什么问题？
2.在学习的过程 中你有什么体会？
五、 课堂检测站
1.举三个日常生活中遇到的函数关系的例子． 答：(1)____________________________ ； (2)____________________________； (3)____________________________
２.函数y=－3x +7中，当x＝2时，函数值为 ( ) A．3 B．2 C．1 D．0 ３.如果三角形一条边的长为x厘米，这条边上的高为
6厘米，那么这个三角形的面积y= 3X 平方厘米；在 这里， X 是自变量, Y 是 X 的函数。 当x=4厘米时，y= 12 平方厘米； 24 平方厘米。 当x=8厘米时，y=
学习目标
• 1、了解函数和函数值的概念,在实例 中分清哪个量是自变量，谁是谁的函 数 。 • 2、对于给定的函数，会求出函数值。 • 3、会从实例中抽象出函数表达式， 培养符号意识和模型思想。
• 一、自学提示：（一）自变量与函数
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1、一台彩色电视机屏幕的对角线长度是34英寸，它 合多少厘米？26英寸呢？（注：1英寸=2.54厘米） 2.54×34=86.36（厘米） 2.54×26=66.04（厘米） 2、如果某种电视机屏幕的对角线长度是x英寸，换 算为公制是y厘米，试写出y与x之间的关系式？ y=2.54x 3、在y与x的关系式中，哪些量是常量？哪些量是变 量？y的值是由哪个变量的取值确定的？ 2.54是常量，x,y是变量, y的值是由x取值确定的.
• 二、研讨探究（小组合作完成）
自学课本125页 ，了解函数表达式的概念和 例1的解题方法。
例1的解题方法： ① 5×３ ② 5×５ ③ 5×７ ④ 5×９ 第n个 5 ×(2n+1) 所以S= 5 (2n+1)
三、反思拓展:
变式训练题：观察下图，根据表格中的问题回答下 列问题：
梯形个数n
图形周长l