圆锥曲线的综合应用及其求解策略
(完整版)解圆锥曲线问题常用方法及性质总结
解圆锥曲线问题常用方法+椭圆与双曲线的经典结论+椭圆与双曲线的对偶性质总结解圆锥曲线问题常用以下方法：1、定义法（1）椭圆有两种定义。
第一定义中，r 1+r 2=2a 。
第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。
（2）双曲线有两种定义。
第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。
（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。
设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02020=+k b y a x 。
（2）)0,0(12222>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02020=-k by a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.椭圆与双曲线的对偶性质总结椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法
浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法
圆锥曲线是解析几何学中的重要内容，主要包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
解决圆锥曲线问题需要掌握一定的数学知识和解题技巧。
下面将就几种常见的解决圆锥曲线问题的方法进行探讨。
一、几何法
对于一些简单的圆锥曲线问题，可以直接利用几何关系解决。
已知一个椭圆的焦点和一个点在椭圆上，要求确定这个点在椭圆上的位置。
可以通过对称关系把问题转化为确定这个点关于焦点和对称轴的对称点在椭圆上的位置，然后再通过对称关系确定原点的位置。
二、代数法
代数法是解决圆锥曲线问题的一种常用方法，主要是通过代数方程进行推导和计算。
已知一个椭圆的方程和一个点在椭圆上，要求确定这个点在椭圆上的位置。
可以将已知点的坐标代入椭圆的方程，得到一个含有未知数的代数方程，然后通过求解这个代数方程确定未知数的值，从而确定这个点在椭圆上的位置。
解决圆锥曲线问题可以采用多种方法，包括几何法、代数法、参数法和几何与代数相结合法。
根据具体问题的特点和要求选择适当的方法，可以使解决问题更加简单、直观和高效。
对于复杂的问题，可能需要综合运用多种方法，甚至借助计算机辅助求解。
只有不断学习和实践，才能更好地掌握解决圆锥曲线问题的方法，提高解题能力。
圆锥曲线的综合应用
求PF1·PF2的取值范围； (2)设过定点M（0,2)的直线l与椭圆交于 不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围.
解析： （1）由方程易知a 2,b 1,c 3，
所以 F1(－ 3,0), F2 3,0 .设P(x,y)，
则PF1·PF2= ( 3 x, y) ( 3 x, y) x2 y2 3
(2)几何法：若问题的条件和结论能明显 的体现几何特征，利用图形性质来解决最值 与定值问题.
在圆锥曲线中经常遇到求范围问题，这类问 题在题目中往往没有给出不等关系，需要我们去 寻找.对于圆锥曲线的参数的取值范围问题，解 法通常有两种：当题目的条件和结论能明显体现 几何特征及意义时，可考虑利用数形结合法求解 或构造参数满足的不等式（如双曲线的范围，直 线 与 圆 锥 曲 线 相 交 时 Δ>0 等 ） ， 通 过 解 不 等 式 （组）求得参数的取值范围；当题目的条件和结 论能体现一种明确的函数关系时，则可先建立目 标函数，进而转化为求解函数的值域.
所以
x1
x2
2a2 a2 b2
,
x1x2
a2 (1 b2 a2 b2
)
.
②
由OP·OQ=0得,x1x2+y1y2=0,
即 2x1x2-(x1+x2)+1=0,③
又y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4
3k 2 8k 2 4 k 2 1.
k2 1 k2 1
k2 1
所以
3
4 k
2
1
4
0,
4
k2 1 k2 14Biblioteka 4即k2<4.②
解析几何《圆锥曲线的综合应用》
解析几何【8】圆锥曲线的综合应用1、定值、最值、取值范围问题（1）在圆锥曲线中，还有一类曲线方程，对其变量取不同值时，曲线本身的性质不变；或形态发生某些变化，但其某些固有的共同性质始终保持着，这就是定值问题．（2）当变量取不同值时，相关几何量达到最大或最小，这就是最值问题．通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题，曲线遵循某种条件时，变量有相应的允许取值范围，即取值范围问题．求解时有两种方法：①代数法：引入新的变量，通过圆锥曲线的性质、韦达定理、方程思想等，用新的变量表示（计算）最值、范围问题，再用函数思想、不等式方法得到最值、范围．②几何法：若问题的条件和结论能明显地体现曲线几何特征，则利用图形性质来解决最值与取值范围问题．2、对称、存在性问题、圆锥曲线有关的证明问题涉及线段相等，角相等，直线平行、垂直的证明方法，及定点、定值问题的判断方法等．3、实际应用解决的关键是建立坐标系，合理选择曲线模型，然后转化为相应的数学问题，作出定量或定性分析与判断，解题的一般思想是【温馨点睛】1、圆锥曲线经常和函数、三角函数、平面向量、不等式等结合，还有解析思想的应用，这些问题有较高的能力要求，这是每年高考必考的一道解答题，平时加强训练，认真审题，挖掘题目的隐含条件作为解题的突破口．2、利用函数思想，讨论有关最值时，特别要注意圆锥曲线自身范围的限定条件．3、涉及弦长的问题时，在熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及垂直关系往往也是利用根与系数的关系设而不求简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑利用圆锥曲线的定义求解．4、圆锥曲线综合问题要四重视；①定义；②平面几何知识；③根与系数的关系；④曲线的几何特征与方程的代数特征．【例1】设1F 、2F 是椭圆22:12x C y 的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点．（1）求12PF PF 的取值范围；（2）设过点1F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆C 于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围.设点1F C 上任意一点，且12PF PF （1）（2）满足AD BD ，【例2】如图，已知抛物线2:4C x y ，过点 0,2M 任作一直线与C 相交于A 、B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）．（1）证明：动点D 在定直线上；（2）作C 的任意一条切线l （不含x 轴）与直线2y 相交于点1N ，与（1）中的定直线相交于点2N ，证明：2221MN MN 为定值，并求此定值．（1）（2）C 、D 两点（A 、【例3】已知抛物线2y x 上的动点 00,M x y ，过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x t 于A 、B 两点．（1）若点M ，求M 与焦点的距离；（2）若1t ， 1,1P ， 1,1Q ，求证：A B y y 为常数；（3）是否存在t ，使得1A B y y 且P Q y y 为常数？若存在，求t 的所有可能值；若不存在，请说明理由．x ．（1）（2）（3）使得PM PN 为【例4】为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km 的A 、B 两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过A 、B 两点的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系（如图）．在直线2x 的右侧，考察范围为到点B 的距离不超过5km 的区域；在直线2x 的左侧，考察范围为到A 、B两点的距离之和不超过km 的区域．（1）求考察区域边界曲线的方程；（2）如图，设线段12PP 、23P P 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km ，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间．【同类变式】某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设，规划中的轨道交通s号线线路示意图如图，已知M、N是东西方向主干道边两个景点，P、Q是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O均为km，线路AB段上的任意一点到景点N的距离比到景点M的距离都多10km，线路BC段上的任意一点到O的距离都相等，线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多10km，以O为原点建立平面直角坐标系xOy.（1）求轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程；（2）规划中的线路AB段上需建一站点G到景点Q的距离最近，问如何设置站点G的位置？【真题自测】1.设A 、B 是椭圆22:13x y C m长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足120AMB ，则m 的取值范围是（）.A 0,19, ；.B 9, ；.C 0,14, ；.D 4, ．2.① ②P .A 13.②若 111,P x y 、 222,P x y 为曲线C 上任意两点，则有12120x x ．下列判断正确的是（）.A ①和②均为真命题；.B ①和②均为假命题；.C ①为真命题，②为假命题；.D ①为假命题，②为真命题．4.设圆C 位于抛物线22y x 与直线3x 所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆C 的半径能取到的最大值为．5.114c ，则c6.Q 使得AP AQ 07.如图，已知椭圆2221x y ，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A 、B 和C 、D ，记AOC 的面积为S ．（1）设 11,A x y ， 22,C x y ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明122112S x y x y ；（2）设1:l y kx ，若,33C ，13S ，求k 的值．（3）设1l 与2l 的斜率之积为m ，求m 的值，使得无论1l 和2l 如何变动，面积S 保持不变．。
浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法
浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法【摘要】圆锥曲线问题是数学中的经典难题，研究其解决方法对于深入理解数学的基本概念具有重要意义。
本文分别介绍了利用几何性质、代数方法、解析几何方法、计算机辅助方法和综合方法解决圆锥曲线问题的过程及特点。
通过比较各种方法的优缺点，给出了适用场景和方法选择的建议。
未来，随着数学技术的不断发展，可以进一步深入研究和探索圆锥曲线问题，为数学领域的发展做出更大的贡献。
通过本文的介绍，读者可以对解决圆锥曲线问题有一个全面而深入的了解，为相关领域的学习和研究提供重要参考。
【关键词】圆锥曲线问题、椭圆、双曲线、抛物线、利用几何性质、代数方法、解析几何方法、计算机辅助方法、综合方法、优缺点比较、适用场景、未来发展方向。
1. 引言1.1 什么是圆锥曲线问题圆锥曲线问题是指在平面几何学或代数几何学中研究与圆锥曲线相关的一类数学问题。
圆锥曲线是由平面上的一固定点（焦点）和一条不过焦点的直线（准线）确定的一类具有特殊性质的曲线。
常见的圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线。
椭圆是平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的轨迹，双曲线是平面上到两个固定点的距离之差等于常数的点的轨迹，而抛物线则是平面上到一个固定点的距离等于到一条固定直线的距离的点的轨迹。
这些曲线在几何形态和性质上有着独特的特点，因此对它们的研究具有重要的意义。
圆锥曲线问题不仅在数学理论研究中具有重要价值，而且在实际应用中也有着广泛的应用。
比如在工程学、物理学、经济学等领域，都有着对圆锥曲线问题的需求和应用。
深入研究和解决圆锥曲线问题，对于提高数学理论水平和促进实际应用具有重要的作用。
1.2 研究圆锥曲线问题的意义研究圆锥曲线问题具有重要的理论和实际意义。
圆锥曲线在几何学和代数学中有广泛的应用，可以描述各种自然现象和工程问题。
椭圆、双曲线和抛物线在物理学中的光学、力学、天体运动等领域都有重要应用。
研究圆锥曲线问题可以促进数学知识的深入理解和发展，探讨不同的解决方法和技巧，对于培养数学思维和解决问题的能力具有重要意义。
圆锥曲线的综合问题突破策略
圆锥曲线综合问题之重点突破类型1：关于弦的中点以及弦的垂直平分线问题的策略这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程,往往是利用点差法或者韦达定理．．．．．．．．．产生弦AB 的中点坐标M, 结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数,写出弦的垂直平分线L 的方程,然后解决相关问题.有时候题目的条件比较隐蔽,要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题,比如：弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形即|DA|=|DB|、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等.题1 椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点为1F 、2F ,点P 在椭圆C 上,且211F F PF ⊥,341=PF ,3142=PF . 1 求椭圆C 的方程；2 若直线l 过圆02422=-++y x y x 的圆心M ,交椭圆C 于A 、B 两点,且A 、B 关于点M 对称,求直线l 的方程.题1 解：1 6221=+=PF PF a ∴3=a …………1分 又202122221=-=PF PF F F∴c F F 25221== ∴5=c …………3分 故4222=-=c a b …………4分∴椭圆C 的方程为14922=+y x …………5分 2 圆的方程可化为：5)1()2(22=-++y x ,故圆心)1,2(-M所求直线方程为1)2(++=x k y ………… 7 分联立椭圆方程,消去y ,得0273636)1836()94(2222=-+++++k k x k k x k …………9分∵A 、B 关于M 对称∴29491822221-=++-=+kkk x x …………12分 ∴98=k :89250l x y ∴-+=…………14分点评点关于点对称的问题,实质是“中点弦”问题,还可以用“点差法”,请同学们尝试体会,并且比较两种解法的特点.题2知椭圆2212x y +=的左焦点为F,O 为坐标原点.设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点,线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G,求点G 横坐标的取值范围.题2解：设直线AB 的方程为(1)(0),y k x k =+≠代入221,2x y +=整理得2222(12)4220.k x k x k +++-=直线AB 过椭圆的左焦点F,∴方程有两个不等实根.记1122(,),(,),A x y B x y AB 中点00(,),N x y 则21224,21k x x k +=-+AB ∴的垂直平分线NG 的方程为001().y y x x k-=--令0,y =得222002222211.212121242G k k k x x ky k k k k =+=-+=-=-+++++ ∴点G 横坐标的取值范围为1(,0).2-点评 注意AB 中点M 以及两直线的垂直关系求出“线段AB 的垂直平分线”.题3设1F 、2F 分别是椭圆22154x y 的左、右焦点.1若P 是该椭圆上的一个动点,求21PF PF ⋅的最大值和最小值；2是否存在过点A5,0的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D,使得|F 2C|=|F 2D|若存在,求直线l 的方程；若不存在,请说明理由.题3解：1易知)0,1(),0,1(,1,2,521F F c b a -=∴===,设P x ,y , 则1),1(),1(2221-+=--⋅---=⋅y x y x y x PF PF =3511544222+=--+x x x]5,5[-∈x ,0=∴x 当,即点P 为椭圆短轴端点时,21PF PF ⋅有最小值3；当5±=x ,即点P 为椭圆长轴端点时,21PF PF ⋅有最大值4点评本小题体现“消元”的思想和“函数”的思想,注意定义域[x ∈. 2假设存在满足条件的直线l ,易知点A5,0在椭圆的外部,当直线l 的斜率不存在时,直线l 与椭圆无交点,所在直线l 斜率存在,设为k,直线l 的方程为)5(-=x k y由方程组2222221(54)5012520054(5)x y k x k x k y k x ⎧+=⎪+-+-=⎨⎪=-⎩，得依题意220(1680)0k k ∆=-><<，得 设交点C ),(),(2211y x D y x 、,CD 的中点为R ),(00y x ,则45252,4550222102221+=+=+=+k k x x x k k x x又|F 2C|=|F 2D|122-=⋅⇔⊥⇔R F k k l R F∴20k 2=20k 2－4,而20k 2=20k 2－4不成立, 综上所述,不存在直线l ,使得|F 2C|=|F 2D|点评要注意从判别式得到k 的范围,对于条件“|F 2C|=|F 2D|”不要轻易将点F 2和C 、D 的坐标用两点间距离公式表示,否则陷入计算繁杂的圈套. 类型2：关于定点和定值问题策略题4已知点P 与点F2,0的距离比它到直线x ＋4＝0的距离小2,若记点P 的轨迹为曲线C. 直线L 与曲线C 相交于A 、B 两点,且OA ⊥OB. 1求曲线C 的方程.2求证：直线L 过定点,并求出该定点的坐标.题41解法1：点P 与点F2,0的距离比它到直线x ＋4＝0的距离小2,所以点P 与点F2,0的距离与它到直线x ＋2＝0的距离相等. 由抛物线定义得：点P 在以F 为焦点直线x ＋2＝0为准线的抛物线上, 抛物线方程为28y x =. 解法2：设动点(,)P x y ,|4|2x =+- 当4x ≤-时,222(2)(6)x y x -+=--,化简得：28(2)y x =+, 显然2x ≥-,而4x ≤-,此时曲线不存在.当4x >-时,222(2)(2)x y x -+=+,化简得：28y x =.点评解法1巧妙地利用圆锥曲线的定义判断曲线轨迹,解法2直接利用题目的条件建立等量关系,体现了“分类讨论”的思想方法.2设直线L ：y=kx+b 与抛物线交于点1122(,)(,)x y x y 、, ①若直线的斜率存在设为k220,880,864320y kx bk ky y b y x kb +≠⎧-+=⎨=-≥⎩=则{,222211121212222288,648y x y y bb y y x x k k y x =====所以又{，得,1212,1y y OA OB x x ⊥=-由得,即81k b =-,8b k =-, 直线为(8)y k x =-,所以(8,0)L 过定点 ②若直线L 的斜率不存在,则直线OA 或OB 的斜率为128,(80)8y xx y x==={得直线L 过定点、 综上所述,直线恒过定点(8,0).点评直线过定点问题,要将直线方程求出来利用直线方程的点斜式或者直线系方程判断是否经过定点.题5已知1F 、2F 分别为椭圆1C :22221(0)y x a b a b+=>>的上、下焦点,其中1F 也是抛物线22:4C x y =的焦点,点M 是1C 与2C 在第二象限的交点,且15||3MF =. 1求椭圆1C 的方程.2已知点(1,3)P 和圆O :222x y b +=,过点P 的动直线l 与圆O 相交于不同的两点,A B ,在线段AB 上取一点Q ,满足:AP PB λ=-,AQ QB λ=,0λ≠且1λ≠±.求证: 点Q 总在某定直线上.题51方法一：由22:4C x y =知1(0,1)F ,设000(,)(M x y x 分因M 在抛物线2C 上,故2004x y =…①又15||3MF =,则0513y +=……②, 得0x =023y =.…………4分 椭圆1C 的两个焦点1(0,1)F ,2(0,1)F -,点M 椭圆上,由椭圆定义得122||||4a MF MF =+= ……6分∴2a =,又1c =,∴2223b a c =-=, ∴椭圆1C 的方程为22143y x +=. …………8分 方法二：由22:4C x y =知1(0,1)F ,设000(,)(0)M x y x <, 因M 在抛物线2C 上,故2004x y =…① 又15||3MF =,则0513y +=……②,由①②解得03x =-,023y =.……………4分 而点M 椭圆上,故有22222()(331a b +=即2248193a b +=…③,又1c =,则221b a =-…④由③④可解得24a =,23b =,∴椭圆1C 的方程为22143y x +=.………………8分 2设1122(,),(,)A x y B x y ,(,)Q x y , 由AP PBλ=-可得:1122(1,3)(1,3)x y x y λ--=---,即121213(1)x x y y λλλλ-=-⎧⎨-=-⎩…10分 由AQ QB λ=可得:1122(,)(,)x x y y x x y y λ--=--,即1212(1)(1)x x xy y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩故得:222212(1)x x x λλ-=- 2222123(1)y y y λλ-=- ……………12分 两式相加得2222221122()()(1)(3)x y x y x y λλ+-+=-+………………………14分又点,A B 在圆223x y +=上,且1λ≠±,所以22113x y +=,22223x y += 即33x y +=, ∴点Q 总在定直线33x y += ………点评 关键是向量AP PB λ=-,AQ QB λ=的条件“坐标化”,要证点Q 总在某定直线上,则点Q 的坐标(,)Q x y 满足一个固定的二元一次方程. 题6已知椭圆C 以过点A1,32,两个焦点为－1,01,0.（1） 求椭圆C 的方程；（2）E,F 是椭圆C 上的两个动点,如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数,证明直线EF 的斜率为定值,并求出这个定值.题6解：1由题意,c ＝1,可设椭圆方程为2222114x y b b+=+ 因为A 在椭圆上,所以2219114b b +=+,解得2b ＝3,2b ＝34-舍去 所以椭圆方程为 22143x y +=． ．．．．．．4分2设直线ＡＥ方程：得3(1)2y k x =-+,代入22143x y +=得设ＥE x ,E y ,ＦF x ,F y ．因为点Ａ1,32在椭圆上,所以2234()12234E k x k--=+, 32E E y kx k =+- ．．．．．．．8分 又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数,在上式中以k -代k ,可得2234()12234F k x k +-=+, 32F Fy kx k =-++. 所以直线EF 的斜率()212F E F E EF F E F E y y k x x k k x x x x --++===--即直线EF 的斜率为定值,其值为12．．．．．．．12分点评圆锥曲线中有关定值的问题,关键要利用相关参数将式子的表达式求出,再利用“整体”的思想,消去参数得到定值.题7已知抛物线C:)0(22>=p px y 上横坐标为4的点到焦点的距离为5. 设直线b kx y +=与抛物线C 交于两点),(11y x A ,),(22y x B ,且a y y =-||210>a ,且a 为常数.过弦AB 的中点M 作平行于x 轴的直线交抛物线于点D ,连结AD 、BD 得到ABD ∆.求证：① )1(1622kb k a -=； ②ABD ∆的面积为定值.题7依题意得：452p+=,解得2p =. 所以抛物线方程为24y x = . 由方程组2,4,y kx b y x =+⎧⎨=⎩消去x 得：2440ky y b -+=.※依题意可知：0k ≠. 由已知得124y y k+=,124b y y k=. 由12y y a -=,得221212()4y y y y a +-=, 即221616b a k k-=,整理得221616kb a k -=. 所以2216(1)a k kb =- . 可以求出AB 中点222(,)bk M k k -, 所以点212(,)D k k ,依题意知12211122ABDbk SDM y y a k -=-=⨯⨯. 又因为方程※中判别式16160kb =->,得10kb ->. 所以2112ABDbkS a k-=⨯⨯ ,由Ⅱ可知22116a k bk -=, 所以23121632ABDa a Sa =⨯⨯=. 又a 为常数,故ABDS 的面积为定值.类型3：关于不等式证明、求参数的取值范围问题.题8 已知点P 到0,的距离之和为4,设P 的轨迹是C,并交直线1y kx =+ 于A 、B 两点.1求C 的方程;2若以AB 为直径的圆过O 点,求此时k 的值; 3若A 在第一象限,证明：0k OA OB >⇒>.题81得P 的轨迹是椭圆,c =2a =,故21b =,故方程为：22214y x +=2依题意设A 11(,)x y ,B 22(,)x y ,∵以AB 为直径的圆过O 点,则OA OB ⊥ ∴0OA OB ⋅= ∴12120x x y y +=…………………4分联立：22114y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消元得 4+22)230k x kx +-=∴12212202434k x x k x x k ⎧⎪∆>⎪⎪+=-⎨+⎪-⎪=⎪+⎩…………………7分 ∴212121212(1)(1)()1y y kx kx k x x k x x =++=+++ ………………8分=2222223244444k k k k k k --++-+=++ ………………9分 ∴2212122244314044k k x x y y k k -+--+===++ ………10分 ∴12k =± ………………11分点评将“AB 为直径的圆过点O ”巧妙地转化为0OA OB ⋅=,体现“以数论形”的思想.3 ∵2OA =2211x y +, 2OB =2222x y +∴2OA -2OB =2211x y +-2222x y +=12121212()()()()x x x x y y y y +-++- (12)分1212121221212122()()[()2][()]()[(1)()2]6()4x x x x k x x k x x x x k x x k kx x k =+-+++⋅-=-+++=-⋅+………………13分∵A 点在第一象限,∴120x x -> 又0k > ∴2OA -2OB =()()0OA OB OA OB +-> ∴0OA OB -> ∴OA OB >………………14分点评圆锥曲线与不等式证明的综合,注意作差比较法证明不等式的思路和步骤,利用曲线上点的坐标的范围讨论.题9椭圆C :2222by a x +=1a ＞b ＞0的离心率为36,短轴一个端点到右焦点的距离为3.设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点,坐标原点O 到直线l 的距离为23,求△AOB 面积的最大值.题9设椭圆的半焦距为c ,依题意c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩1b ∴=,∴椭圆方程为2213x y +=．设11()A x y ，,22()B xy ，．1当AB x ⊥轴时,AB =．2当AB 与x 轴不垂直时, 设直线AB 的方程为y kx m =+．由已知2=,得223(1)4m k =+．把y kx m =+代入椭圆方程,整理得222(31)6330k x kmx m +++-=,122631kmx x k -∴+=+,21223(1)31m x x k -=+．22221(1)()AB k x x ∴=+-22222223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦ 22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++2422212121233(0)34196123696k k k k k k=+=+≠+=++⨯+++≤． 当且仅当2219k k =,即k =时等号成立． 当0k =时,AB =综上所述max 2AB =．∴当AB 最大时,AOB △面积取最大值max 12S AB =⨯=． 点评关于AOB △面积的最值问题,先用“弦长公式”求出AB 的长,根据面积的表达式的形式和特点,巧妙地利用基本不等式求出最值.题10已知一条曲线C 在y 轴右边,C 上没一点到点F1,0的距离减去它到y 轴距离的差都是1.是否存在正数m,对于过点Mm,0且与曲线C 有两个交点A,B 的任一直线,都有0FA FB ⋅<若存在,求出m 的取值范围；若不存在,请说明理由.题10设Px,y 是曲线上任意一点,那么,1x =化简可得到24(0)y x x =>点评本题对于过点Mm,0直线方程的设为x=ty+m 是简化计算的一个技巧,对不等式恒成立问题一般利用最值的方法处理.类型4：关于直线与圆锥曲线的综合问题中涉及线段分比的策略这类问题主要是研究过一个定点P 作直线与曲线产生两个交点AB,进而研究P 分两个交点AB 所成的比例关系. 往往是两种形式出现,一种是以比例：||||BP AP =λ,一种是向量：→-→-=PB AP λ,有时候是求直线方程,有时候是求分比λ的值或取值范围等等,这种问题主要是抓住分比λ与坐标)(2121y y x x 、、的关系,判断在联立方程时应该消去y x 或,以减少运算量,然后把问题转化到韦达定理的应用上.题11如图所示,已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点,点P 在AM 上,点N 在CM 上,且满足N AM NP AP AM 点,0,2=⋅=的轨迹为曲线E. 1求曲线E 的方程；2若过定点F0,2的直线交曲线E 于不同的两点G 、H 点G 在点F 、H 之间,且满足FH FG λ=,求λ的取值范围.题111.0,2=⋅=AM NP AP AM ∴NP 为AM 的垂直平分线,∴|NA|=|NM| 又.222||||,22||||>=+∴=+AN CN NM CN∴动点N 的轨迹是以点C －1,0,A1,0为焦点的椭圆. 且椭圆长轴长为,222=a 焦距2c=2. .1,1,22===∴b c a∴曲线E 的方程为.1222=+y x 2当直线GH 斜率存在时,设直线GH 方程为,12,222=++=y x kx y 代入椭圆方程 得.230.034)21(222>>∆=+++k kx x k 得由设),,(),,(2211y x H y x G ,,2121x x x x =∴=∴λλ, 又当直线GH 斜率不存在,方程为.31,31,0===λFH FG x题12已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,它的一个顶点恰好是抛物线214y x =的焦点,.1求椭圆C 的标准方程；2过椭圆C 的右焦点作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点,交y 轴于M 点,若1MA AF λ=,2MB BF λ= ,求证：1210λλ+=-.题12设椭圆C 的方程为22221x y a b += a ＞b ＞0 抛物线方程化为24x y =,其焦点为(0,1),则椭圆C 的一个顶点为(0,1),即 1b =由5c e a ===, ∴25a =,椭圆C 的方程为 2215x y += 2证明：右焦点(2,0)F ,设11220(,),(,),(0,)A x y B x y M y ,显然直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为 (2)y k x =-,代入方程2215x y += 并整理,得2222(15)202050k x k x k +-+-= ∴21222015k x x k +=+,212220515k x x k-=+ 又110(,)MA x y y =-,220(,)MB x y y =-,11(2,)AF x y =--,22(2,)BF x y =--, 而 1MA AF λ=, 2MB BF λ=,即110111(0,)(2,)x y y x y λ--=--,220222(0,)(2,)x y y x y λ--=-- ∴1112x x λ=-,2222x x λ=-,所以121212*********()2102242()x x x x x x x x x x x x λλ+-+=+==----++。
圆锥曲线教学的几点策略
圆锥曲线教学的几点策略圆锥曲线是数学中的重要概念，涉及到抛物线、椭圆、双曲线等多种曲线。
教学圆锥曲线需要综合运用几何、代数和解析几何等多种知识，因此需要采取一些策略来提高学生对这一内容的理解和掌握。
以下是关于圆锥曲线教学的几点策略：1. 引导学生理解圆锥曲线的基本概念圆锥曲线是平面上的曲线，它们可以通过圆锥与一个平面的交线来定义。
在教学之初，需要引导学生了解圆锥曲线的基本概念，例如什么是抛物线、椭圆、双曲线，它们的数学定义是什么，以及它们在实际生活中的应用等。
引导学生对这一内容有一个清晰的认识，为后续深入学习打下基础。
2. 运用几何图像辅助教学在教学过程中，运用几何图像来辅助教学是非常重要的。
通过几何图像，可以直观地展示圆锥曲线的形状、特点和性质，帮助学生更直观地理解这一概念。
可以通过绘制不同的圆锥曲线图像，帮助学生直观地理解抛物线、椭圆、双曲线的形状，以及它们之间的区别和联系。
3. 结合代数方法进行教学除了几何图像，代数方法也是教学圆锥曲线的重要手段。
采用代数方法可以让学生了解到圆锥曲线与数学方程之间的关系，从而帮助他们更深入地理解圆锥曲线的性质和特点。
可以通过将圆锥曲线表示为方程的形式，让学生学会如何通过代数方法求解圆锥曲线的焦点、直径等重要属性，从而更好地掌握这一内容。
4. 引导学生进行实际应用分析除了理论知识，圆锥曲线还有着丰富的实际应用。
在教学过程中，可以引导学生进行实际应用分析，例如通过实际问题来引导学生求解圆锥曲线的焦点、直径、离心率等属性，或者讨论圆锥曲线在工程、艺术等领域的应用。
通过实际应用分析，可以提高学生对圆锥曲线的兴趣和理解，增强他们的学习积极性。
5. 激发学生的学习兴趣激发学生的学习兴趣是任何一门学科教学的关键。
在教学圆锥曲线时，可以通过丰富多彩的教学方法和案例来激发学生的学习兴趣，例如通过引入一些生动有趣的实例，或者通过与学生交流讨论的形式，让学生更主动地参与到学习中来。
高中数学：求解圆锥曲线问题的方法和技巧
高中数学：求解圆锥曲线问题的方法和技巧圆锥曲线中的知识综合性较强，因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。
熟记各种定义、基本公式、法则固然重要，但要做到迅速、准确解题，还须掌握一些方法和技巧。
一. 紧扣定义，灵活解题灵活运用定义，方法往往直接又明了。
例1. 已知点A（3，2），F（2，0），双曲线，P为双曲线上一点。
求的最小值。
解析：如图所示，双曲线离心率为2，F为右焦点，由第二定律知即点P到准线距离。
二. 引入参数，简捷明快参数的引入，尤如化学中的催化剂，能简化和加快问题的解决。
例2. 求共焦点F、共准线的椭圆短轴端点的轨迹方程。
解：取如图所示的坐标系，设点F到准线的距离为p（定值），椭圆中心坐标为M（t，0）（t为参数），而再设椭圆短轴端点坐标为P（x，y），则消去t，得轨迹方程三. 数形结合，直观显示将“数”与“形”两者结合起来，充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性，以数促形，用形助数，结合使用，能使复杂问题简单化，抽象问题形象化。
熟练的使用它，常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题。
例3. 已知，且满足方程，又，求m范围。
解析：的几何意义为，曲线上的点与点（－3，－3）连线的斜率，如图所示四. 应用平几，一目了然用代数研究几何问题是解析几何的本质特征，因此，很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解。
例4. 已知圆和直线的交点为P、Q，则的值为________。
解：五. 应用平面向量，简化解题向量的坐标形式与解析几何有机融为一体，因此，平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。
例5. 已知椭圆：，直线：，P是上一点，射线OP交椭圆于一点R，点Q在OP上且满足，当点P在上移动时，求点Q的轨迹方程。
分析：考生见到此题基本上用的都是解析几何法，给解题带来了很大的难度，而如果用向量共线的条件便可简便地解出。
解：如图，共线，设，，，则，点R在椭圆上，P点在直线上，即化简整理得点Q的轨迹方程为：（直线上方部分）六. 应用曲线系，事半功倍利用曲线系解题，往往简捷明快，收到事半功倍之效。
圆锥曲线中的典型问题与方法：圆锥曲线解题技巧和方法综合
圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。
如：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有0220=+k b y a x 。
（2）)0,0(12222>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有0220=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.典型例题 给定双曲线x y 2221-=。
过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。
（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。
典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b 22221+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。
（1）求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ；（2）求|||PF PF 1323+的最值。
（3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。
典型例题抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。
y p x p x y t x 210=+>+=()()（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。
高中数学高分秘籍圆锥曲线的解策略
高中数学高分秘籍圆锥曲线的解策略在高中数学的学习中，圆锥曲线无疑是一个重点和难点。
它不仅在高考中占据着重要的地位，而且对于培养我们的数学思维和解题能力也有着极大的帮助。
然而，很多同学在面对圆锥曲线问题时，常常感到无从下手，或者在解题过程中出现各种错误。
那么，如何才能在圆锥曲线这一板块取得高分呢？下面我将为大家分享一些实用的解题策略。
一、扎实掌握基础知识要想在圆锥曲线的题目中取得高分，首先必须扎实掌握相关的基础知识。
这包括圆锥曲线的定义、标准方程、性质等。
椭圆的定义是平面内到两个定点的距离之和等于常数（大于两定点间的距离）的动点的轨迹。
其标准方程有两种形式：当焦点在 x 轴上时，方程为\（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a＞ b ＞ 0\））；当焦点在 y 轴上时，方程为\（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝1\）（＼（a ＞b ＞0\））。
椭圆的性质包括范围、对称性、顶点、离心率等。
双曲线的定义是平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于常数（小于两定点间的距离）的动点的轨迹。
其标准方程也有两种形式：当焦点在 x 轴上时，方程为\（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\）；当焦点在 y 轴上时，方程为\（＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）。
双曲线的性质包括渐近线、离心率等。
抛物线的定义是平面内到一定点和一条定直线的距离相等的动点的轨迹。
其标准方程有四种形式：＼（y^2 ＝ 2px\）（＼（p ＞ 0\）），＼（y^2 ＝－2px\）（＼（p ＞ 0\）），＼（x^2 ＝ 2py\）（＼（p ＞0\）），＼（x^2 ＝－2py\）（＼（p ＞ 0\））。
抛物线的性质包括焦点、准线等。
只有对这些基础知识了如指掌，我们才能在解题时迅速准确地运用它们。
二、学会分析题目条件在面对圆锥曲线的题目时，我们要学会仔细分析题目所给出的条件。
(完整版)圆锥曲线解题技巧和方法综合(经典)
圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储备：1. 直线方程的形式(1) 直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、 一般式。
(2) 与直线相关的重要内容①倾斜角与斜率 k tan , [0, )② 点 到 直 线 的 距 离 d Ax 0 By 0 CA 2B 2tan3)弦长公式直线 y kx b 上两点 A(x 1, y 1), B( x 2 , y 2 )间的距离： AB 1 k 2 x 1 x 2(1 k 2 )[( x 1 x 2)2 4x 1x 2] 或 AB 1 k 12 y 1 y 2 (4)两条直线的位置关系①l 1 l 2 k 1k 2=-1 ② l 1 //l 2 k 1 k 2且b 1 b 22、圆锥曲线方程及性质(1)、椭圆的方程的形式有几种？(三种形式)标准方程：22x y1(m 0,n 0且 m n) mn 距离式方程：(x c)2 y 2 (x c)2 y 22a 参数方程：x acos ,y bsin(2)、双曲线的方程的形式有两种③夹角公式：k21222标准方程：x y1(m n 0)mn距离式方| (x c)2 y 2 (x c) 2 y 2 | 2a(3) 、三种圆锥曲线的通径你记得吗？椭圆：2b；双曲线：2b；抛物线：2 p aa(4) 、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？b 2tan2 P 在双曲线上时， S F PF b cot| PF |2 | PF |2 4c 2 uuur uuuur uuur uuuur 其中 F 1PF 2,cos |PF 1||PF 1||P |F P 2F |2 | 4c ,u P u F ur1?u P u Fuur 2|u P uu F r 1 ||uu P u Fur2|cos(6) 、 记 住 焦 半 径 公 式 ： ( 1 )椭圆焦点在 x 轴上时为 a ex 0 ;焦点在 y 轴上时为 a ey 0，可简记为“左加右减，上加下减”(2)双曲线焦点在 x 轴上时为 e|x 0 | a(3) 抛物线焦点在 x 轴上时为 | x 1 | 2p ,焦点在 y 轴上时为 | y 1 | 2p(6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？第二、方法储备1、点差法(中点弦问题)2y1的弦 AB 中点则有3如： 已知 F 1、 22F2是椭圆 x4 y3 1的两个焦点， 平面内一个动点 M 足 MF 1MF 2 2 则动点 M 的轨迹是(A 、双曲线；B 、双曲线的一支；C 、两条射线；D 、一条射线(5)、焦点三角形面积公式： P 在椭圆上时， S F 1PF 2设 A x 1, y 1B x 2,y 2 ， M a,b 为椭圆 x42 2 2 2 2 2 2 2 x 1 y 1 1， x 2 y 2 1；两式相减得 x 1 x 2y 1 y 24 3 4 3 4 3x 1 x 2 x 1 x 2y 1 y 2 y 1 y 23a4 3kAB =4b2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？ 设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到 一个二次方程， 使用判别式 0，以及根与系数的关系， 代入弦 长公式，设曲线上的两点 A( x 1, y 1), B(x 2 , y 2 ) ，将这两点代入曲线方 程得到 ○1 ○2 两个式子，然后 ○1-○2 ，整体消元······，若有两个 字母未知数， 则要找到它们的联系， 消去一个，比如直线过焦点， 则可以利用三点 A 、B 、 F 共线解决之。
高中数学圆锥曲线的教学难点与解决策略
高中数学圆锥曲线的教学难点与解决策略圆锥曲线是高中数学中的重要内容，包括椭圆、双曲线和抛物线。
它不仅在数学学科中具有重要地位，也在实际生活和其他科学领域有着广泛的应用。
然而，对于学生和教师来说，圆锥曲线的教学和学习都存在着一定的难度。
一、教学难点1、概念抽象圆锥曲线的概念较为抽象，学生难以直观地理解和把握。
例如，椭圆的定义是“平面内到两个定点的距离之和等于常数（大于两定点间的距离）的点的轨迹”，双曲线的定义是“平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于常数（小于两定点间的距离）的点的轨迹”。
这些定义涉及到距离的运算和比较，对于学生的空间想象能力和逻辑思维能力要求较高。
2、图形复杂圆锥曲线的图形较为复杂，其形状和性质随着参数的变化而变化。
学生在绘制图形和分析图形时容易出现错误，难以准确把握图形的特点和规律。
3、计算量大在求解圆锥曲线的相关问题时，往往需要进行大量的计算，如联立方程、求解方程组、化简表达式等。
这些计算过程繁琐，容易出错，对学生的计算能力和耐心是一个很大的考验。
4、综合应用难度高圆锥曲线常常与其他数学知识，如函数、不等式、向量等综合考查。
学生需要具备较强的知识整合能力和综合运用能力，才能解决这些综合性的问题。
二、解决策略1、加强直观教学利用多媒体技术，如动画、视频等，直观地展示圆锥曲线的形成过程和图形特点，帮助学生理解抽象的概念。
例如，通过动画演示动点到两个定点的距离之和或之差的变化过程，让学生直观地看到椭圆和双曲线的形成。
2、注重图形分析在教学中，引导学生仔细观察圆锥曲线的图形，分析图形的对称性、顶点、焦点、准线等重要元素的位置和性质。
通过大量的图形练习，培养学生的图形感知能力和分析能力。
3、优化计算方法教给学生一些简化计算的方法和技巧，如设而不求、整体代换等。
同时，加强学生的计算训练，提高计算的准确性和速度。
4、强化知识整合在教学中，有意识地引导学生将圆锥曲线与其他数学知识进行联系和整合，通过综合性的例题和练习，让学生体会知识之间的相互关系，提高综合运用能力。
高中数学圆锥曲线教学方法及解题技巧探究
高中数学圆锥曲线教学方法及解题技巧探究高中数学中的圆锥曲线是一门重要的内容，它包括了椭圆、双曲线和抛物线三种曲线形式。
在教学中，我们应该注重培养学生的几何直觉和解题能力，采用启发式的教学方法，帮助学生理解和掌握圆锥曲线的性质和特点。
下面将介绍一些教学方法和解题技巧，帮助教师更好地进行教学。
一、教学方法1. 图像法引入：可以先给学生展示圆锥曲线的图像，让学生观察和感受曲线的形状和特点。
通过观察和描述图像的方式，引导学生猜测曲线的定义和方程，并通过实际推导验证猜想的正确性。
2. 推导法讲解：通过对曲线方程的推导，将曲线的性质和特点逐步展示给学生。
可以从直线、圆和平行线的特殊情况开始，引导学生理解曲线的定义和方程。
3. 实例分析法：通过解决一些实际问题，如抛射问题、光学问题等，引入圆锥曲线的定义和方程。
使学生能够将数学知识应用到实际问题中，提高学生的学习兴趣和学习动力。
4. 研究探索法：引导学生进行一定的研究和探索，使学生能够发现圆锥曲线的推导规律和性质。
通过学生自主发现和思考，培养学生的创造性思维和问题解决能力。
二、解题技巧1. 辅助直线法：对于一些复杂的曲线方程，可以通过引入辅助直线的方式进行简化。
根据直线与曲线的交点和切线的斜率关系，可以得到曲线的方程和性质。
2. 参数化方程法：对于一些参数方程难以解析的曲线，可以通过将参数去掉，转化为一般方程进行求解。
可以根据参数方程中的参数关系，化简方程为一般方程。
3. 曲线性质利用法：对于一些问题，可以根据曲线的性质和特点进行推导和解答。
如利用椭圆的切线性质、双曲线的渐近线性质等，简化问题的解题过程。
4. 对称性利用法：对于一些具有对称性的曲线，可以利用对称性进行求解。
如利用抛物线的对称性质，求解抛物线的焦点、顶点等重要点。
5. 极坐标方程法：对于一些具有极坐标特点的曲线，可以将一般方程转化为极坐标方程，从而求出曲线的性质和特点。
可以利用极坐标方程的几何意义和性质，简化问题的解题过程。
高中圆锥曲线综合题目的做题思路
高中圆锥曲线综合题目的做题思路文章标题：深度剖析高中圆锥曲线综合题目的做题思路在高中数学学习中，圆锥曲线是一个重要的数学概念，它包括椭圆、双曲线和抛物线。
而在高中数学的教学中，圆锥曲线综合题目通常是考察学生对于曲线性质和相关知识的综合运用能力。
本文将对高中圆锥曲线综合题目的做题思路进行全面评估，并探讨解题方法，以帮助学生更深入地理解和掌握这一重要知识点。
一、对题目进行分析和梳理在做圆锥曲线综合题目时，首先需要对题目进行仔细分析和梳理。
找到题目中的关键信息，包括已知条件、所求内容以及题目中可能涉及的数学知识点。
在梳理题目的过程中，可以使用图表或者逻辑分析的方式将题目中的信息清晰地呈现出来，这有助于建立解题的基础，也能够帮助我们更好地理解题目。
二、掌握曲线性质和相关知识在解圆锥曲线综合题目时，深入理解曲线的性质是至关重要的。
椭圆、双曲线和抛物线各有其独特的性质，包括焦点、准线、离心率等。
在解题过程中，我们需要充分掌握这些性质，并能够灵活地运用到具体的题目中。
还要深入了解曲线方程的一般形式、参数方程和极坐标方程等知识，这些都是解题的重要基础。
三、运用数学方法和技巧在解圆锥曲线综合题目时，需要充分运用数学方法和技巧。
可以采用代数、几何、坐标和参数方程等多种方法进行求解，根据题目的具体情况选择合适的方法。
灵活运用数学技巧，包括配方法、变量代换、化简等，有时候甚至需要创造性地运用数学方法，这都需要我们在平时的学习中多加练习和思考。
四、总结和回顾题目在解完圆锥曲线综合题目后，需要进行总结和回顾。
回顾解题的过程，看是否有更简便、更巧妙的解题方法，检查解题过程中是否有错误或者不足之处。
也要总结题目中涉及的重要性质和方法，这有助于我们更深刻地理解并掌握这一知识点。
个人观点和理解圆锥曲线综合题目是高中数学中的一大难点，但也是我们学习数学的一个重要环节。
在解题过程中，需要保持良好的思维习惯和解题方法，多加练习，锻炼自己的数学思维能力。
圆锥曲线的综合应用及其求解策略prt
圆锥曲线的综合应用及其求解策略有关圆锥曲线的综合应用的常见题型有：①、定点与定值问题；②、最值问题；③、求参数的取值范围问题；④、对称问题；⑤、实际应用问题。
解答圆锥曲线的综合问题，应根据曲线的几何特征，熟练运用圆锥曲线的相关知识，将曲线的几何特征转化为数量关系（如方程、不等式、函数等），再结合代数知识去解答。
解答过程中要重视函数思想、方程与不等式思想、分类讨论思想和数形结合思想的灵活应用。
一、定点、定值问题：这类问题通常有两种处理方法：①、第一种方法：是从特殊入手，先求出定点（或定值），再证明这个点（值）与变量无关；②、第二种方法：是直接推理、计算；并在计算的过程中消去变量，从而得到定点（定值）。
★【例题1】（2007年高考〃湖南文科〃19题〃13分）已知双曲线222x y -=的右焦点为F ，过点F 的动直线与双曲线相交于A 、B 两点，又已知点C 的坐标是(10)，．（I ）证明CA 〃CB为常数；（II ）若动点M 满足CM CA CB CO =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程．◆解：由条件知(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，． （I ）当AB 与x 轴垂直时，可求得点A 、B的坐标分别为(2，(2，，此时则有(11CA CB =⨯=-．当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±．代入222x y -=，则有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=．则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-，2122421k x x k +=-，于是212121212(1)(1)(1)(1)(2)(2)CA CB x x y y x x k x x =--+=--+--2221212(1)(21)()41k x x k x x k =+-++++2222222(1)(42)4(21)4111k k k k k k k +++=-++--22(42)411k k =--++=-． ∴ 综上所述，CA CB为常数1-． （II ）设()M x y ，，则(1)CM x y =- ，，11(1)CA x y =- ，，22(1)CB x y =- ，，(10)CO =-，，由CM CA CB CO =++ 得：121213x x x y y y -=+-⎧⎨=+⎩，即12122x x x y y y +=+⎧⎨+=⎩，于是AB 的中点坐标为222x y +⎛⎫ ⎪⎝⎭，．当AB 不与x 轴垂直时，12122222yy y y x x x -==---，即1212()2y y y x x x -=--． 又因为A 、B 两点在双曲线上，所以22112x y -=，22222x y -=，两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(2)()x x x y y y -+=-．将1212()2yy y x x x -=--代入上式，化简得224x y -=． 当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(20)M ，，也满足上述方程．所以点M 的轨迹方程是224x y -=． ▲ 点拨：本题中“CA 〃CB为常数”的证明，采用特殊位置“当AB 与x 轴垂直时”可轻易得出CA 〃CB= -1；接下来再从一般情况“当AB 不与x 轴垂直时”去加以论证，有了明确的目标，推理计算就要容易得多了！★【例题2】已知A,B 为椭圆22221x y a b +=(a>b>0)和双曲线22221x y a b-=的公共顶点,P,Q 分别为双曲线和椭圆上不同于A,B 的动点,且有→AP+→BP=λ(→AQ+→BQ)(λ∈R,|λ|>1),设AP,BP,AQ,BQ 斜率分别为k 1,k 2,k 3,k 4,求证:k 1+k 2+k 3+k 4为一个定值.◆解、点A(-a,0)；B(a,0)；∵由→AP+→BP=λ(→AQ+→BQ),依据向量加法的平行四边形法则,则有O 、Q 、P 三点共线；设P(x 1,y 1)、Q （x 2，y 2）,则x 12a 2 - y 12b 2 =1,则x 12-a 2= a 2b 2〃y 12；∴ k 1+k 2 = y 1x 1+a + y 1x 1-a = 2x 1y 1x 12-a 2 = 2b 2a 2〃x 1y 1；同样有k 3+k 4= -2b 2a 2〃x 2y 2；由于x 1y 1 = x 2y 2，∴ 所求的定值为0。
高考数学复习 圆锥曲线的综合应用及其求解策略
2008高考数学复习 圆锥曲线的综合应用及其求解策略有关圆锥曲线的综合应用的常见题型有：①定点与定值问题；②最值问题；③求参数的取值范围问题；④对称问题；⑤实际应用问题。
解答圆锥曲线的综合问题，应根据曲线的几何特征，熟练运用圆锥曲线的相关知识，将曲线的几何特征转化为数量关系（如方程、不等式、函数等），再结合代数知识去解答。
解答过程中要重视函数思想、方程与不等式思想、分类讨论思想和数形结合思想的灵活应用。
一、定点、定值问题：这类问题通常有两种处理方法：①第一种方法：是从特殊入手，先求出定点（或定值），再证明这个点（值）与变量无关；②第二种方法：是直接推理、计算；并在计算的过程中消去变量，从而得到定点（定值）。
★【例题1】（2007年高考·湖南文科·19题·13分）已知双曲线222x y -=的右焦点为F ，过点F 的动直线与双曲线相交于A 、B 两点，又已知点C 的坐标是(10)，．（I ）证明CA ·CB 为常数；（II ）若动点M 满足CM CA CB CO =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程．◆解：由条件知(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，．（I ）当AB 与x 轴垂直时，可求得点A 、B 的坐标分别为(2，(2，此时则有(12)(11CA CB =⨯=-，．当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±．代入222x y -=，则有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=．则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-，2122421k x x k +=-，于是212121212(1)(1)(1)(1)(2)(2)CA CB x x y y x x k x x =--+=--+--2221212(1)(21)()41k x x k x x k =+-++++2222222(1)(42)4(21)4111k k k k k k k +++=-++--22(42)411k k =--++=-．∴ 综上所述，CA CB 为常数1-． （II ）设()M x y ，，则(1)C M x y =-，，11(1)CA x y =-，，22(1)CB x y =-，，(10)CO =-，，由CM CA CB CO =++得：121213x x x y y y -=+-⎧⎨=+⎩，即12122x x x y y y +=+⎧⎨+=⎩，于是AB 的中点坐标为222x y +⎛⎫⎪⎝⎭，． 当AB 不与x 轴垂直时，121222222yy y y x x x x -==+---，即1212()2y y y x x x -=--． 又因为A 、B 两点在双曲线上，所以22112x y -=，22222x y -=，两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(2)()x x x y y y -+=-．将1212()2yy y x x x -=--代入上式，化简得224x y -=． 当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(20)M ，，也满足上述方程．所以点M 的轨迹方程是224x y -=．▲ 点拨：本题中“CA ·CB 为常数”的证明，采用特殊位置“当AB 与x 轴垂直时”可轻易得出CA ·CB = -1；接下来再从一般情况“当AB 不与x 轴垂直时”去加以论证，有了明确的目标，推理计算就要容易得多了！★【例题2】已知A,B 为椭圆22221x y a b +=(a>b>0)和双曲线22221x y a b-=的公共顶点,P,Q 分别为双曲线和椭圆上不同于A,B 的动点,且有→AP+→BP=λ(→AQ+→BQ)(λ∈R,|λ|>1),设AP,BP,AQ,BQ 斜率分别为k 1,k 2,k 3,k 4,求证:k 1+k 2+k 3+k 4为一个定值.◆解、点A(-a,0)；B(a,0)；∵由→AP+→BP=λ(→AQ+→BQ),依据向量加法的平行四边形法则,则有O 、Q 、P 三点共线；设P(x 1,y 1)、Q （x 2，y 2）,则x 12a 2 - y 12b 2 =1,则x 12-a 2 = a 2b 2·y 12；∴ k 1+k 2 = y 1x 1+a + y 1x 1-a= 2x 1y 1x 12-a 2 = 2b 2a 2·x 1y 1； 同样有k 3+k 4= -2b 2a 2·x 2y 2；由于x 1y 1 = x 2y 2，∴ 所求的定值为0。
圆锥曲线解题技巧综合运用不同解题方法
圆锥曲线解题技巧综合运用不同解题方法圆锥曲线是高中数学中的一个重要内容，经常在各类考试中出现。
掌握圆锥曲线的解题技巧，可以帮助我们高效解答题目。
本文将介绍几种常见的圆锥曲线解题方法，并综合运用它们来解决各类题目。
一、直接法直接法是最常用的解题方法之一，它适用于给定了圆锥曲线的方程，要求我们找出特定点或确定一些性质的情况。
以二次曲线为例，我们可以通过将方程标准化，然后研究其各项系数的符号、平方项的系数与常数项的关系等来推导出特定点的坐标、曲线的类型等信息。
二、参数法参数法常用于求解曲线上的点的坐标或曲线的方程。
当我们遇到较复杂的曲线方程，难以直接分析时，可以通过引入参数的方法，将曲线的方程转化为参数方程进行处理。
例如，对于椭圆和双曲线，我们可以通过引入参数来表示曲线上的点的坐标。
设参数为θ，则椭圆的参数方程为x=acosθ，y=bsinθ；双曲线的参数方程为x=asecθ，y=btanθ。
通过选取不同的参数值，我们可以得到曲线上的不同点，进而求解问题。
三、几何法几何法是通过几何图形的性质来解决问题的方法。
在圆锥曲线的学习过程中，我们会学到各种曲线的几何性质，如椭圆的离心率、焦点定理、双曲线的渐近线等。
利用这些性质，我们可以通过绘制几何图形，运用几何关系来解决问题。
四、导数法导数法常用于求解曲线的切线、法线以及曲率等问题。
对于给定的曲线方程，我们可以通过求导数来得到曲线的斜率，从而得到切线或法线的方程。
同时，导数还可以帮助我们研究曲线的凸凹性、极值等性质，进一步推导出曲线的特点。
五、解析法解析法是一种基于代数分析的方法，适用于较复杂的曲线方程求解。
通过对方程进行代数运算、化简等操作，我们可以得到曲线的一些基本性质或特定点的坐标。
在解析法中，我们常用的技巧包括配方法、消元法、代入法等，根据方程的特点和题目要求来灵活选择合适的方法。
此外，还需要注意方程中的各项系数和常数项之间的关系，以便得到准确的解答。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
圆锥曲线的综合应用及其求解策略有关圆锥曲线的综合应用的常见题型有：①、定点与定值问题；②、最值问题；③、求参数的取值范围问题；④、对称问题；⑤、实际应用问题。
解答圆锥曲线的综合问题，应根据曲线的几何特征，熟练运用圆锥曲线的相关知识，将曲线的几何特征转化为数量关系（如方程、不等式、函数等），再结合代数知识去解答。
解答过程中要重视函数思想、方程与不等式思想、分类讨论思想和数形结合思想的灵活应用。
一、定点、定值问题：这类问题通常有两种处理方法：①、第一种方法：是从特殊入手，先求出定点（或定值），再证明这个点（值）与变量无关；②、第二种方法：是直接推理、计算；并在计算的过程中消去变量，从而得到定点（定值）。
★【例题1】（2007年高考〃湖南文科〃19题〃13分）已知双曲线222x y -=的右焦点为F ，过点F 的动直线与双曲线相交于A 、B 两点，又已知点C 的坐标是(10)，．（I ）证明CA 〃CB 为常数；（II ）若动点M 满足CM CA CB CO =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程．◆解：由条件知(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，． （I ）当AB 与x 轴垂直时，可求得点A 、B的坐标分别为(2，(2，，此时则有(12)(11CA CB =⨯=-，．当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±．代入222x y -=，则有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=．则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-，2122421k x x k +=-，于是212121212(1)(1)(1)(1)(2)(2)CA CB x x y y x x k x x =--+=--+--2221212(1)(21)()41k x x k x x k =+-++++2222222(1)(42)4(21)4111k k k k k k k +++=-++--22(42)411k k =--++=-．∴ 综上所述，CA CB 为常数1-．（II ）设()M x y ，，则(1)CM x y =-，，11(1)CA x y =-，，22(1)CB x y =-，，(10)CO =-，，由CM CA CB CO =++得：121213x x x y y y -=+-⎧⎨=+⎩，即12122x x x y y y +=+⎧⎨+=⎩，于是AB 的中点坐标为222x y +⎛⎫⎪⎝⎭，．当AB 不与x 轴垂直时，12122222yy y y x x x -==---，即1212()2y y y x x x -=--． 又因为A 、B 两点在双曲线上，所以22112x y -=，22222x y -=，两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(2)()x x x y y y -+=-．将1212()2yy y x x x -=--代入上式，化简得224x y -=． 当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(20)M ，，也满足上述方程．所以点M 的轨迹方程是224x y -=． ▲ 点拨：本题中“CA 〃CB 为常数”的证明，采用特殊位置“当AB 与x 轴垂直时”可轻易得出CA 〃CB = -1；接下来再从一般情况“当AB 不与x 轴垂直时”去加以论证，有了明确的目标，推理计算就要容易得多了！★【例题2】已知A,B 为椭圆22221x y a b +=(a>b>0)和双曲线22221x y a b-=的公共顶点,P,Q 分别为双曲线和椭圆上不同于A,B 的动点,且有→AP+→BP=λ(→AQ+→BQ)(λ∈R,|λ|>1),设AP,BP,AQ,BQ 斜率分别为k 1,k 2,k 3,k 4,求证:k 1+k 2+k 3+k 4为一个定值.◆解、点A(-a,0)；B(a,0)；∵由→AP+→BP=λ(→AQ+→BQ),依据向量加法的平行四边形法则,则有O 、Q 、P 三点共线；设P(x 1,y 1)、Q （x 2，y 2）,则x 12a 2 - y 12b 2 =1,则x 12-a 2= a 2b 2〃y 12；∴ k 1+k 2 = y 1x 1+a + y 1x 1-a = 2x 1y 1x 12-a 2 = 2b 2a 2〃x 1y 1；同样有k 3+k 4= -2b 2a 2〃x 2y 2；由于x 1y 1 = x 2y 2，∴ 所求的定值为0。
▲ 点拨：本题中的特殊位置难以确定，因而采用直接推理、计算；并逐渐化简，从而得到其定值为0。
二、最值问题：常见解法有两种：几何法与代数法。
①若题目中的条件或结论能明显体现某种几何特征及意义，或反映出了某种圆锥曲线的定义，则直接利用图形的性质或圆锥曲线的定义来求解，这就是几何法；②将圆锥曲线中的最值问题通过建立目标函数，转化为二次函数或三角函数的最值问题，再充分利用均值不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等相关知识去求解。
★【例题3】、抛物线x 2=4y 的焦点F 和点A(-1,8),P 为抛物线上一点,则|PA|+|PF| 最小值是( )A 6B 9C 12D 16▲若将上题中点A 的条件改为A(3,1),其它不变,则应为____◆ 解析：由抛物线定义，可知当A 、P 、H （如图1）三点共线时，|PA|+|PF|最小，其最小值为9。
▲条件改动之后，则当A 、P 、F 三点共线时（如图2），|PA|+|PF|最小，其最小值为3。
▲ 点拨：本题的求解，主要是扣住了抛物线的定义，充分挖掘图形的特征，从而解决所求之问题。
运用几何法求解，解答过程简单、明了，但对综合运用图形的几何性质（或把握曲线定义的灵活运用）的能力要求较高。
★【例题4】（2007年安徽高考题）设F 是抛物线2:4G x y =的焦点．设A 、B 为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0FA FB =，延长AF ，BF 分别交抛物线G 于点C 、D ，求四边形ABCD 面积的最小值． ◆解：设11()A x y ，，22()C x y ，；由题意知，直线AC 的斜率k 存在，由对称性，不妨设0k >． 因直线AC 过焦点(01)F ，，所以直线AC 的方程为1y kx =+．点A 、C 的坐标满足方程组214y kx x y =+⎧⎨=⎩，，得2440x kx --=，由根与系数的关系知121244.x x k x x +=⎧⎨=-⎩，则有：24(1)AC k ===+．因为A C B D ⊥，所以BD 的斜率为1k -，从而BD 的方程为11y x k=-+．同理可求得22214(1)41k BD k k ⎛⎫+⎛⎫=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∴2222218(1)18(2)322ABCD k S AC BD k k k +===++≥．当1k =时，等号成立．所以，四边形ABCD 面积的最小值为32．▲ 点拨：本题首先通过计算，建立好四边形ABCD 面积的函数表达式，然后根据其函数特征，转化出均值不等式的形式，再利用均值不等式求出其最小值。
★【例题5】（2007年全国高考题〃12分）在直角坐标系xOy 中，以O为圆心的圆与直线4x =相切．（1）求圆O 的方程；（2）圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内的动点P 使PA PO PB ，，成等比数列，求PA PB 的取值范围．◆解：（1）依题设，圆O 的半径r 等于原点O到直线4x =的距离，即2r ==；得圆O 的方程为224x y +=．（2）不妨设1212(0)(0)A x B x x x <，，，，．由24x =即得(20)(20)A B -，，，． 设()P x y ，，由PA PO PB ，，222(2)x x y -+=+，即222x y -=．(2)(2)PA PB x y x y =-----，，224x y =-+22(1).y =-由于点P 在圆O 内，故222242.x y x y ⎧+<⎪⎨-=⎪⎩，由此得21y <．所以PA PB 的取值范围为[20)-，． ▲ 点拨：本题同样是先通过计算，建立好“PA PB ”的函数表达式，然后依据“点P 在圆O 内”，得出相应的约束条件“21y <”，从而得出所求。
三、求参数的取值范围范围问题：求参数的取值范围问题，常用的解决方法有两种：①、第一种是不等式（组）求解法⇒根据题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式（组）再得出参数的变化范围；②、第二种⇒是函数的值域求解法：把所讨论的参数表示为某个变量的函数，通过讨论函数的值域求得参数的变化范围。
★【例题6】、若圆x 2+(y-1)2= 1上的任一点P(x,y),有不等式x+y+c ≥0恒成立，则c 的取值范围是_____◆解：可设cos sin 1x y θθ=⎧⎨=+⎩；则有cos θ+sin θ+1+c ≥0恒成立，即有c ≥ -(cos θ+sin θ+1)恒成立， ∴ c≥ 2 -1为所求。
▲ 点拔：本题通过圆的参数方程进行三角代换，将所求问题转化成求三角函数的最值的问题，从而简捷易解。
★【例题7】（2007年福建高考题〃14分）如图，已知(10)F ，，直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ =．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于A B ，两点，交直线l 于点M ． （1）已知1MA AF λ=，2MB BF λ=，求12λλ+的值； （2）求MA MB 的最小值．◆解析：（Ⅰ）由QP QF FP FQ =得：()0FQ PQ PF +=，()()0PQ PF PQ PF ∴-+=，220PQ PF ∴-=，PQ PF ∴=．所以点P 的轨迹C 是抛物线，由题意，轨迹C 的方程为：24y x =． （Ⅱ）、（1）：由已知1MA AF λ=，2MB BF λ=，得120λλ<．则：12MA AF MB BFλλ=-．…………①过点A B ，分别作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ，则有：11MA AA AF MBBB BF==．…………②；由①、②得：12AF AF BF BFλλ-=，即120λλ+=． （Ⅱ）、（2）：设直线AB 的方程为：1(0)x my m =+≠．设11()A x y ，，22()B x y ，，又21M m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，联立方程组24y x x my ⎧=⎨=⎩消去x 得：2440y my --=，2(4)120m ∆=-+>，121244y y y y +=⎧⎨=-⎩．∴(2121M M MA MB y y y y =--221212(1)()M M m y y y y y y =+-++2224(1)44m m m m =+-+⨯+224(1)4m m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭222214(2)4216m m m ⎛=+++= ⎪ ⎪⎝⎭≥． 当且仅当221m m=，即1m =±时等号成立，所以MA MB 最小值为16． ▲ 点拨：本题中“求12λλ+的值”，首先是建立好条件不等式组，再化简计算得出所求。