圆锥曲线的综合应用及其求解策略

圆锥曲线的综合应用及其求解策略

有关圆锥曲线的综合应用的常见题型有：①、定点与定值问题；②、最值问题；③、求参数的取值范围问题；④、对称问题；⑤、实际应用问题。

解答圆锥曲线的综合问题，应根据曲线的几何特征，熟练运用圆锥曲线的相关知识，将曲线的几何特征转化为数量关系（如方程、不等式、函数等），再结合代数知识去解答。解答过程中要重视函数思想、方程与不等式思想、分类讨论思想和数形结合思想的灵活应用。 一、定点、定值问题：

这类问题通常有两种处理方法：①、第一种方法：是从特殊入手，先求出定点（或定值），再证明这个点（值）与变量无关；②、第二种方法：是直接推理、计算；并在计算的过程中消去变量，从而得到定点（定值）。 ★【例题1】（2007年高考〃湖南文科〃19题〃13分）已知双曲线222x y -=的右焦点为F ，过点F 的

动直线与双曲线相交于A 、B 两点，又已知点C 的坐标是(10)，．（I ）证明CA 〃CB 为常数；（II ）若动

点M 满足CM CA CB CO =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程．

◆解：由条件知(20)F ，

，设11()A x y ，，22()B x y ，． （I ）当AB 与x 轴垂直时，可求得点A 、B

的坐标分别为(2

，(2，

，此时则有

(12)(11CA CB =⨯=-，．

当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±．代入222x y -=，则有

2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=．则12x x ，是上述方程的两个实根，

所以212241k x x k +=-，2122421

k x x k +=-，于是

212121212(1)(1)(1)(1)(2)(2)

CA CB x x y y x x k x x =--+=--+--2

2

2

1212(1)(21)()41k x x k x x k =+-++++22222

22

(1)(42)4(21)4111

k k k k k k k +++=-++--22(42)411k k =--++=-．

∴ 综上所述，CA CB 为常数1-．

（II ）设()M x y ，，则(1)CM x y =-，，11(1)CA x y =-，，22(1)CB x y =-，，(10)CO =-，，由

CM CA CB CO =++得：121213x x x y y y -=+-⎧⎨=+⎩，即1212

2x x x y y y +=+⎧⎨+=⎩，于是AB 的中点坐标为222x y +⎛⎫

⎪⎝⎭，．

当AB 不与x 轴垂直时，121222

22

y

y y y x x x -==

---，即1212()2y y y x x x -=--． 又因为A 、B 两点在双曲线上，所以22112x y -=，22

222x y -=，两式相减得

12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(2)()x x x y y y -+=-．

将1212()2

y

y y x x x -=

--代入上式，化简得224x y -=． 当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(20)M ，，

也满足上述方程．所以点M 的轨迹方程是224x y -=． ▲ 点拨：本题中“CA 〃CB 为常数”的证明，采用特殊位置“当AB 与x 轴垂直时”可轻易得出

CA 〃CB = -1；接下来再从一般情况“当AB 不与x 轴垂直时”去加以论证，有了明确的目标，推理计

算就要容易得多了！

★【例题2】已知A,B 为椭圆22221x y a b +=(a>b>0)和双曲线22

221x y a b

-=的公共顶点,P,Q 分别为双曲线和椭

圆上不同于A,B 的动点,且有→AP+→BP=λ(→AQ+→

BQ)(λ∈R,|λ|>1),设AP,BP,AQ,BQ 斜率分别为k 1,k 2,k 3,k 4,求证:k 1+k 2+k 3+k 4为一个定值.

◆解、点A(-a,0)；B(a,0)；∵由→AP+→BP=λ(→AQ+→

BQ),依据向量加法的平行四边形法则,则有O 、Q 、P 三点共线；设P(x 1,y 1)、Q （x 2，y 2）,则x 12

a 2 - y 1

2

b 2 =1,

则x 12

-a 2

= a 2

b 2〃y 12

；∴ k 1+k 2 = y 1x 1+a + y 1x 1-a = 2x 1y 1x 12-a 2 = 2b 2

a 2〃x 1y 1

；

同样有k 3+k 4= -2b 2

a 2〃x 2y 2；由于x 1y 1 = x 2

y 2

，∴ 所求的定值为0。

▲ 点拨：本题中的特殊位置难以确定，因而采用直接推理、计算；并逐渐化简，从而得到其定值为0。

二、最值问题：

常见解法有两种：几何法与代数法。①若题目中的条件或结论能明显体现某种几何特征及意义，或反映出了某种圆锥曲线的定义，则直接利用图形的性质或圆锥曲线的定义来求解，这就是几何法；②将圆锥曲线中的最值问题通过建立目标函数，转化为二次函数或三角函数的最值问题，再充分利用均值不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等相关知识去求解。

★【例题3】、抛物线x 2

=4y 的焦点F 和点A(-1,8),P 为抛物线上一点,则|PA|+|PF| 最小值

是( )

A 6

B 9

C 12

D 16

▲若将上题中点A 的条件改为A(3,1),其它不变,则应为____

◆ 解析：由抛物线定义，可知当A 、P 、H （如图1）三点共线时，

|PA|+|PF|最小，其最小值为9。

▲条件改动之后，则当A 、P 、F 三点共线时（如图2），|PA|+|PF|最小，其最小值为3。

▲ 点拨：本题的求解，主要是扣住了抛物线的定义，

充分挖掘图形的特征，